Bài giảng Giải tích 1: Chương 3.1 - ĐH Bách Khoa Tp.HCM

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng
-------------------------------------------------------------------------------------

Giải tích 1

Chương 3: Tích phân (tt)
•

Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (11/2008)



Nội dung
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2 – Tích phân xác định.
3 – Tích phân suy rộng.
4 – Ứng dụng của tích phân.
Tài liệu:
1) Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по мат. анализу, Том 2, Москва, 2003.
2) James Stewart. Calculus. 6th edition, USA, 2008


I. Tích phân xác định
Bài toán
Tìm diện tích S miền phẳng giới hạn bởi đường cong:
y  f ( x), trục hoành, hai đường thẳng x = a và x = b.


Chia S một cách tùy ý ra làm n miền con: S1, S2, …, Sn.

Xấp xỉ mỗi miền con S1, S2, …, Sn bằng các hình chữ nhật


Hình dưới là các trường hợp chia thành 2 và 4 phần.


Hình dưới là các trường hợp chia thành 8 và 12 phần.
n càng lớn, diện tích tính được càng chính xác.


Trên mỗi miền S1, S2, …, Sn lấy tùy ý một điểm


Ta có S  S1  S2  ...  Sn
*
1

*
2

*
n

S  f ( x )  ( x1  x0 )  f ( x )  ( x2  x1 )  ...  f ( x )  ( xn  xn1 )
n

S   f ( xi* )  xi
i 1

n



*
Nếu giới hạn I  lim   f ( xi )  xi  tồn tại không phụ
xi 0
 i 1

*
i

thuộc cách chia S và cách lấy điểm x , thì I

gọi là

tích phân xác định của hàm y = f(x) trên đoạn [a,b] và
n

b



S  lim   f ( xi )  xi    f ( x)dx
max( xi )0
 i 1
 a

Ví dụ
Tìm diện tích S miền phẳng giới hạn bởi đường cong:

y  x 2 , trục hoành, hai đường thẳng x = 0 và x = 1.


Chia S thành 4 miền, và chọn điểm trung gian bên trái


Chia S thành 4 miền, và chọn điểm trung gian bên phải


8 miền con (chọn điểm trung gian bên trái, bên phải)


10 miền con (chọn điểm trung gian bên trái, bên phải)


30 miền con (chọn điểm trung gian bên trái, bên phải)


50 miền con (chọn điểm trung gian bên trái, bên phải)


Bảng thống kê một vài giá trị của Ln và Rn


Tính chất
b

 dx  b - a

1.

a
b

c

b

2.  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx; a  c  b
a

a

c

b

b

b

a

a

a

3.   f ( x)   g ( x) dx    f ( x)dx    g ( x)dx
b

b

a

a

4. Nếu  x   a, b  f ( x)  g ( x), thì  f ( x)dx   g ( x)dx

5.  x   a, b  f ( x)  0 & x0   a, b  f ( x0 )  0
b

  f ( x)dx  0
a


Tính chất

6.  x   a, b  f ( x)  g ( x) & x0   a, b  f ( x0 )  g ( x0 )
b

b

 f ( x)dx   g ( x)dx
a

a

7. Nếu f(x) khả tích trên [a,b], thì | f | khả tích trên [a,b]:
b

b

 f ( x)dx   g ( x) dx
a

a

8. Nếu f(x) khả tích trên [a,b], thì
x

b

F ( x)   f (t )dt ; G ( x)   f (t )dt
a

x

là những hàm liên tục trên đoạn này.


Tính chất

9.

 f ( x) lẻ

a

 f ( x)dx  0
a

10.

 f ( x) chẵn

a

a

 f ( x)dx  2 f ( x)dx
a

11.

0

 f ( x) tuần hoàn chu kỳT 

a T

a

 f ( x)dx  f ( x)dx
a

0

2008

Ví dụ

Tính

I



sin(2008 x  sin x)dx

0

Hàm liên tục, tuần hồn chu kỳ T  2008 và hàm lẻ:
tuầ
n hoà
n T 1004

I




1004

lẻ

sin(2008 x  sin x)dx  0

Công thức Newton - Leibnitz
Nếu f(x) liên tục trên [a,b], thì với mọi nguyên hàm F(x)
b

b

 f ( x)dx  F ( x) a  F (b)  F (a)
a

Công thức Đạo hàm theo cận trên
Nếu f(x) liên tục trên [a,b], thì với mọi nguyên hàm F(x)
'

x

  f (t )dt   f ( x)
a






 ( x)


a

'


'
f (t )dt   f ( x)   ( x)



Hai phương pháp tính tích phân xác định
Đổi biến
'

Nếu f(x) liên tục trên (a,b),  (t ),  (t ) xác định và liên tục
trong khoảng  t1 , t2  , ngoài ra
Khi đó:

b

t2

a

t1

 t  (t1 , t2 )  a   (t )  b

'
f
(
x
)

dx

f
(

(
t
))


(t )dt



trong đó  (t1 )  a, (t2 )  b


Hai phương pháp tính tích phân xác định
Từng phần
Nếu u(x), v(x) cùng với các đạo hàm liên tục trên [a,b],
b

b
b

udv

uv

vdu



a

a

Chứng minh.

a


Ví dụ

Tích phân nào lớn hơn
 /2

I



 /2

sin 3 xdx, J 

sin 7 xdx



0

0
 /2

7
3

x

0,

/
2
sin
x

sin
x 

 



 /2

sin 7 xdx 

0

1

Ví dụ

 x  (0,1)  :

x

2

19



0

19

1
x dx
1


20 2 0 1  x 2 20

Chứng minh

19



sin 3 xdx

x

1 x

19

2

x

tích phân hai vế ta có biểu
thức cần chứng minh


5

Ví dụ

5

1  2  n
Tính giới hạn của dãy S n 
6
n

5

5

Xét hàm f ( x)  x trên đoạn [0,1].
Chia đoạn [0,1] ra thành n phần bằng nhau, mỗi
phần có độ dài 1/n.
k
k 1 k 

Trên mỗi đoạn con
chọn điểm
,
 n n 
n
5
5
5
n

1 1  2  n 
1
lim S n  lim 

lim
f


5
n
n n
n

 n n k 1

6 1

x
lim S n 
n
6

0

1

6

1

k
    f ( x)dx
n 0