Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến: Chương 2(tt) - Trường ĐH Bách Khoa TP. Hồ Chí Minh

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng
-------------------------------------------------------------------------------------

Giải tích hàm nhiều biến

Chương 2: Đạo hàm riêng và vi phân (tt)

•

Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (2/2008)



Nội dung
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

0.4 – Đạo hàm theo hướng
0.5 – Công thức Taylor, Maclaurint
0.6 – Cực trị của hàm nhiều biến


IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

có đạo hàm riêng đến cấp n + 1 trong một lân cận của


IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

f = f(x,y)

oy


u  (u1 , u2 )


M 0 ( x0 , y0 )




Véctơ đơn vị cùng phương u

 u
l0     l1 , l2 
u
 M ( x, y )

l0   cos  ,cos  

 ,  là góc tạo bởi u và chiều dương
trục 0x và 0y tương ứng.

ox



 x  x0  t cos 

t0
Phương trình tham số của tia M 0 M : 
 y  y0  t cos 

Đạo hàm của hàm f theo hướng véctơ u tại điểm M 0 là giới hạn (nếu có)
fu' ( M 0 ) 

f (M )  f (M 0 )
f
 ( M 0 )  lim
M M 0
MM 0
u


IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2

fu' ( M 0 )

2

M 0 M  ( x  x0 )  ( y  y0 )  t
fu' ( M 0 )

f ( x, y )  f ( x0 , y0 )
 lim
t

t 0

f ( x0  t cos  , y0  t cos  )  f ( x0 , y0 )
 lim
t
t 0

Đây chính là đạo hàm của hàm f theo biến t
fu' ( M 0 )

fu' ( x0 , y0 ) 



'
'
'
'
'
'

f

x

f

y

f

(
x
,
y
)

cos


f
 ft
x
t
y
t
x 0 0
y ( x0 , y0 )  cos 
'



f x' ( x0 , y0 ), f y' ( x0 , y0 ) ,  cos  ,cos  


gradf ( x0 , y0 )  f x' ( x0 , y0 ), f y' ( x0 , y0 )



fu' ( M 0 )



 gradf ( x0 , y0 ), l0









véctơ gradient của f tại M0

Tích vô hướng của véctơ
gradient tại M0 với véctơ đơn vị.


IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Tương tự, ta có định nghĩa đạo hàm của f=f(x,y,z) tại M0 theo hướng u

fu' ( M 0 )  f x' ( M 0 )  cos   f y' ( M 0 )  cos   f z' ( M 0 )  cos 

fu' ( M 0 )




 gradf ( x0 , y0 , z0 ), l0







Trong đó: véctơ đơn vị cùng phương với u là: l0   cos , cos , cos 

 ,  ,  là các góc tạo bởi u và chiều dương trục 0x, 0y và 0z tương ứng.


Véctơ Gradient của f(x,y,z) tại M0 là: gradf ( M 0 )  f x' ( M 0 ), f y' ( M 0 ), f z' ( M 0 )






IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ.
Tìm đạo hàm của f ( x, y )  xy 2  3x 4 y 5 tại điểm M0(1,1)

theo hướng của véctơ u  (1, 2)
Giải.



  1
2
Véctơ đơn vị cùng phương với u là: l0   ,     cos , cos 
5
 5
f x'  y 2  12 x3 y 5
f y'

4 4

 2 xy  15 x y

fu' (1,1)



 f x' (1,1)  11

 f y' (1,1)  13

f x' (1,1)  cos



f y' (1,1)  cos

11 26


3 5

5
5


IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ.
Tìm đạo hàm của f ( x, y )  x3  3xy  4 y 2 tại điểm M0(1,2)
theo hướng của véctơ tạo với chiều dương trục 0x một góc 300.


Giải. Véctơ đơn vị là: l0   cos , cos 





6

2

  , 




6



 

   3 1
 l0   cos , cos    , 
6
3   2 2



3

 3x  3 y

 f x' (1, 2)  3

f y'  3 x  8 y

 f y' (1, 2)  13

f x'

fl' (1, 2)
0

2



f x' (1, 2)  cos



f y' (1, 2)  cos

3 3 13


2
2


IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ.

1 3
y
Tìm đạo hàm của f ( x, y )  arctg tại điểm M 0   , 
x
2 2 
theo hướng pháp véctơ của đường tròn x2 + y2 = 2x tại M0.
Giải.


F ( x, y )  x  y  2 x  0  n  Fx' , Fy'   2 x  2, 2 y   (1, 3)
2



Véctơ đơn vị là: l0 

f x'

y
 2
x  y2

f y'

x
 2
x  y2

fl' ( M 0 )
0





2

f x' ( M 0 )  cos



 1 3 
 , 
 2 2 

3


2
1
'
 f y (M 0 ) 
2
f x' ( M 0 )



f y' ( M 0 )  cos

3

2


IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ.
Tìm đạo hàm của f ( x, y, z )  x3  2 xy 2  3 yz 2 tại điểm M0(3,3,1)
theo hướng của véctơ l=(2,1,2).

  2 1 2 
Giải. Véctơ đơn vị là: l0   , ,   (cos  , cos  ,cos  )
 3 3 3
f x'  3x 2  2 y 2

 f x' (3,3,1)  45

f y'  4 xy  3 z 2

 f y' (3,3,1)  39

f z'  6 yz

 f z' (3,3,1)  18

fl' ( M 0 )  f x' ( M 0 )  cos  f y' ( M 0 )  cos  f z' ( M 0 )  cos  55


IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ.
Tìm đạo hàm của

f ( x, y, z )  x 2  3 yz  4 tại điểm M0(1,2,-1)

theo hướng của véctơ tạo với các trục tọa độ những góc nhọn bằng nhau.


Giải. Véctơ đơn vị là: l0  (cos  ,cos  ,cos  )
1
cos   cos   cos   1  3cos   1  cos  
3
'

'

f
fx  2x
x (1, 2, 1)  2
2

f y'
f z'

2

2

2

 3z

 f y' (1, 2, 1)  3

 3 y

 f z' (1, 2, 1)  6

fl' ( M 0 )



f x' ( M 0 )  cos



f y' ( M 0 )  cos



f z' ( M 0 )  cos

3

3


IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Chú ý.

Cho hàm f=f(x,y,z).

Đạo hàm của f tại M0 theo hướng của véctơ (1,0,0) là:
fi ' ( M 0 )  f x' ( M 0 )  cos   f y' ( M 0 )  cos   f z' ( M 0 )  cos   f x' ( M 0 )

Vậy đạo hàm theo hướng véctơ (1,0,0) tại M0 là đạo hàm riêng theo x tại đó, nếu
đạo hàm riêng theo x tồn tại.
Nếu đạo hàm riêng theo x không tồn tại, thì đạo hàm theo hướng vẫn có thể có.
(vì theo định nghĩa, đạo hàm theo hướng là giới hạn một phía)


IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ.
Tìm đạo hàm của

f ( x, y, z ) | x | 2 yz

tại điểm M0(0,1, 1)

theo hướng của véctơ (1,0,0).


Giải. Véctơ đơn vị là: l0 

1, 0,0 

Không tồn tại đạo hàm riêng theo x tại M0.
Tìm đạo hàm của f theo hướng của véctơ (1,0,0) bằng định nghĩa

fi' (0,1,1)

f ( x0  t cos  , y0  t cos  , z0  t cos  )  f ( x0 , y0 , z0 )
 lim
t
t 0

fi' (0,1,1)

f (t ,1,1)  f (0,1,1)
| t | 2  2

|t |
t
 lim
 lim
 lim  lim  1
t
t
t 0
t 0
t 0 t
t 0 t

Lý do: trong định nghĩa đạo hàm theo hướng, M dần đến bên phải của M0.


IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Theo công thức tính đạo hàm đạo hàm theo hướng:

fu' ( M 0 )





 gradf ( M 0 ), l0  gradf ( M 0 )  l0  cos 








 gradf ( M 0 )  l0  gradf ( M 0 )


Đạo hàm của f tại M0 đạt giá trị lớn nhất theo hướng của véctơ gradf ( M 0 )
Giá trị lớn nhất của đạo hàm theo hướng bằng:


gradf ( x0 , y0 )


Đạo hàm của f tại M0 đạt giá trị nhỏ nhất theo hướng ngược với gradf ( M 0 )


Giá trị nhỏ nhất của đạo hàm theo hướng bằng:  gradf ( x0 , y0 )


IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ.
Cho hàm f ( x, y, z )  xyz  2 xy 2  yz 3 và một điểm M 0  1,1, 2 
1) Tìm hướng mà đạo hàm của f theo hướng đó tại M0 đạt giá trị lớn nhất.
Tìm giá trị lớn nhất này.
2) Tìm hướng mà đạo hàm của f theo hướng đó tại M0 đạt giá trị nhỏ nhất.
Tìm giá trị nhỏ nhất này.

Giải. 1) Hướng cần tìm là hướng của véctơ gradf (M0)


gradf ( M 0 )  f x' ( M 0 ), f y' ( M 0 ), f z' ( M 0 )





Giá trị lớn nhất bằng độ lớn véctơ gradf (M0):

'
f grad
f (M0 )

2) Hướng cần tìm là ngược hướng của véctơ gradf (M0)


| gradf ( M 0 ) |


IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ.
Cho hàm f ( x, y )  ln( xyz ) và một điểm M 0  1, 2, 3
1) Tìm giá trị lớn nhất của đạo hàm theo hướng của f tại M0.
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của đạo hàm theo hướng của f tại M0.
Giải.
1) Đạo hàm theo hướng của hàm f tại M0 là một hàm phụ thuộc vào

hướng của véctơ l =(l1, l2,l3).
Giá trị lớn nhất của đạo hàm theo hướng bằng độ lớn véctơ gradf (M0)
Giá trị lớn nhất đạt được khi lấy đạo hàm theo hướng của véctơ gradf (M0)


IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ.
Cho hàm f ( x, y )  x 2  sin( xy ) và một điểm M 0  1,0 
Tìm hướng mà đạo hàm của f theo hướng đó tại M0 có giá trị bằng 1
2
2
Giả sử hướng cần tìm là hướng của véctơ đơn vị: l0  (a, b), a  b  1

fl0' ( M 0 )  f x' ( M 0 )  a  f y' ( M 0 )  b

f x'  2 x  y cos( xy )  f x' ( M 0 )  2

f y'  x cos( xy )  f y' ( M 0 )  1

fl0' ( M 0 )  2a  b  1

a  0  a  4 / 5
;

 b  1 b  3/ 5

Vậy có hai hướng:

l0  (0,1) hoặc l0  (4 / 5, 3/ 5)


IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ.
Cho hàm f ( x, y )  x 2  y 2  2 x  4 y.
Tìm tất cả các điểm mà tốc độ thay đổi nhanh nhất của hàm f tại những
 
điểm đó là theo hướng của véctơ i  j .
Giả sử điểm cần tìm là M(a,b)
Tốc độ thay đổi nhanh nhất của f tại M là theo hướng của véctơ
gradf(M) 
gradf ( M )  f x' (a, b), f y' (a, b)  (2a  2, 2b  4)





Theo đề: gradf(M) cùng hướng với véctơ i + j = (1,0) + (0,1) = (1,1)

a 1 t / 2
a 1 s

, s0
(2a  2, 2b  4)  t (1,1), t  0  
b  2  t / 2
b  2  s
Tập hợp các điểm là nửa đường thẳng.

IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ.
Nhiệt độ T tại một điểm (x,y,z) được cho bởi công thức

T ( x, y, z )  200  e

 x 2 3 y 2 9 z 2

T tính bằng 0C; x, y, z tính bằng mét.
1) Tìm tốc độ thay đổi của nhiệt độ tại điểm P(2,-1,2) theo hướng đến
điểm (3,-3,3).
2) Tìm hướng mà nhiệt độ thay đổi nhanh nhất tại điểm P(2,-1,2).
3) Tìm giá trị lớn nhất của tốc độ thay đổi tại điểm P(2,-1,2).


IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


gradf ( x0 , y0 , z0 )

Mặt phẳng tiếp diện
Mặt cong S có ptrình: F(x,y,z) = 0
P là một điểm thuộc S
Phương trình mặt phẳng
tiếp diện tại P với S:

Fx' ( P)( x  x0 )  Fy' ( P )( y  y0 )  Fz' ( P )( z  z0 )  0
Pháp véctơ của mặt phẳng tiếp diện chính là vectơ gradf(P)


Ví dụ.
Viết phương trình mặt tiếp diện và phương trình của pháp tuyến với mặt
2
x2
z
 y2   3
4
9

tại điểm P(-2, 1, -3).
2
x2
z
F ( x, y , z )   y 2   3  0
4
9

Fx'

x '
2z
'
 ; Fy  2 y; Fz 
2
9

Phương trình mặt tiếp diện
2
1( x  2)  2( y  1)  ( z  3)  0
3

3 x  6 y  2 z  18  0
Phương trình pháp tuyến qua P và có VTCP (-1, 2, -2/3):

x  2 y 1 z  3


1
2
2 / 3


V. Công thức Taylor, Maclaurint
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cho hàm f  f ( x, y ) có các đạo hàm riêng đến cấp n + 1 trong lân cận V
của điểm M 0   x0 , y0  .
Công thức Taylor của f đến cấp n tại điểm M0 là

dk f
f ( x, y )  f ( x0  x, y0  y )  f ( x0 , y0 )  
( x0 , y0 )  Rn (x, y )
k 1 k !
n

trong đó Rn (x, y ) là phần dư cấp n.
Khai triển Taylor tại điểm M0(0,0) được gọi là khai triển Maclaurint


V. Công thức Taylor, Maclaurint
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Có hai cách thường dùng để biễu diễn phần dư:
1) Nếu cần đánh giá phần dư, thì sử dụng phần dư ở dạng Lagrange:

Rn (x, y ) 

1
d n1 f ( x0    x, x0    y )
(n  1)!

trong đó 0    1
2) Nếu không quan tâm phần dư, thì sử dụng phần dư ở dạng Peano:

Rn (x, y )  o(  n )
trong đó   ( x  x0 )2  ( y  y0 ) 2


V. Công thức Taylor, Maclaurint
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ứng dụng khai triển Taylor
1) Xấp xĩ hàm đã cho với một đa thức (một hoặc nhiều biến) trong lân cận
một điểm cho trước.
2) tính đạo hàm cấp cao của f tại một điểm cho trước.

3) Tính giới hạn của hàm số (giới hạn kép nếu hàm 2 biến)
4) Tính gần đúng với sai số cho trước (vi phân cấp một không làm được điều
này).


V. Công thức Taylor, Maclaurint
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ.
Cho hàm

f ( x, y )  x 2  2 xy

và một điểm M 0  1, 2 

Tìm công thức Taylor của f tại M0 đến cấp hai.

df (1, 2) d 2 f (1, 2)
f ( x, y )  f (1, 2) 

 o(  2 )
1!
2!
f ( x, y )  f (1, 2) 



f x' (1, 2)( x  1)  f y' (1, 2)( y  2)
1!



f xx'' (1, 2)( x  1)2  2 f xy'' (1, 2)( x  1)( y  2)  f yy'' (1, 2)( y  2) 2
2!

  ( x  1) 2  ( y  2) 2
tính tất cả các đạo hàm riêng trong công thức, thay vào!!

 o(  2 )