Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến: Chương 7 - Trường ĐH Bách Khoa TP. Hồ Chí Minh

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ mơn Tốn Ứng dụng
-------------------------------------------------------------------------------------

Giải tích 2
Chương 7. Chuỗi số, chuỗi luỹ thừa.

•

Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (11/2008)



Nội dung

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Khái niệm chuỗi số.

– Chuỗi khơng âm.
Chuỗi có dấu tuỳ ý. Hội tụ tuyệt đối.

- Chuỗi đan dấu. Tiêu chuẩn Leibnitz.
Chuỗi luỹ thừa. Bán kính và miền hội tụ.


h nghĩa chuỗi không âm

uỗi số không âm là chuỗi



 an ,

(n)an  0,

n 1

ận xét

i chuỗi không âm, dãy tổng riêng S n là dãy không g

y chuỗi không âm hội tụ khi và chỉ khi bị chặn trên.


u chuẩn so sánh 1


chuỗi



 an ,  bn
n 1

thoả điều kiện 0  an  bn , n  n0

n 1


Nếu chuỗi



 bn

hội tụ, thì chuỗi

n 1

 an
n 1



Nếu chuỗi

 an

hội tụ.



phân kỳ, thì chuỗi

n 1

 an

phân kỳ.

n 1



Chuỗi



b n hội tụ nên dãy tổng riêng S n bị chặ

n 1

n

n

k 0

k 0

S n'   an   bn S n



dãy

tổng

riêng an củ
n 1

u chuẩn so sánh 2


chuỗi



 an
n 1

(1) ,  bn (2) thoả 0  an  bn , n  n0
n 1

an
K  lim
n b
n

K  0 : Nếu chuỗi (2) hội tụ, thì chuỗi (1) hội tụ.

K hữu hạn,  0 : Chuỗi (1) và (2) cùng HT hoặc cùng

K   :

Nếu chuỗi (1) HT, thì chuỗi (2) HT.




2


cos n
  an
dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 
n 1 n( n  1)
n 1

Chuỗi dương

cos 2 n
1
1

 2
n(n  1) n(n  1) n



1
Chọn chuỗi số  2   bn
n 1 n
n 1

an
im  1
 b
n

hữu hạn, khác khơng.


Suy ra hai chuỗi

Vì chuỗi





 an ,  bn
n 1


 bn  

cùng tính chất hội tụ.

n 1

1
2

hội tụ, nên chuỗi đã cho hội tụ


5  3(1)n 
 a

dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 
n 3
2
n 1
n 1


n
5

3(

1)
8
1
uỗi dương 0 
 n 3  n
n 3
2
2
2

1
1
chuỗi  n , |q |  1 hội tụ, nên chuỗi đã cho hội t
2
n 1 2



n

3


e n
 a
dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi  n
3
n 1 2  ln n
n 1
n

huỗi dương

huỗi



e

n

3

n

n

e n

e
e
 n  
n
3
2  ln n 2  2 
e
FK, nên chuỗi đã cho FK.




dụ Khảo sát sự hội tụ

ln(1  sin(1/ n) 
 n  ln 2 n   an
n 1
n 1

ln(1  sin(1/ n) 1/ n 1
uỗi dương

 2
2
n
n  ln n
n

1
chuỗi  2 hội tụ, nên chuỗi đã cho hội tụ.

n 1 n


dụ Khảo sát sự hội tụ

n 1





 n  cosh  1
n 


huỗi







2








n  cosh  1   an
n  n1


2
2




 n1/ 2  1  2  1  3/ 2
 2n
 2n

HT, nên chuỗi đã cho HT.




dụ Khảo sát sự hội tụ





n  1  ln  cosh(1/ n)    a

n 1

n 1

1
 n  1  ln  cosh(1/ n)   n  ln(1  1/(2n ))  3/ 2
2n

1
chuỗi  3/ 2 hội tụ, nên chuỗi đã cho hội tụ.
n 1 2n
2



dụ Khảo sát sự hội tụ

2

arctan( n  2n) 
 3n  n2   an
n 1
n 1

 /2  1
arctan(n 2  2n)
 n 

n
n
2
2

3
3
3 n

1
huỗi
HT, nên chuỗi đã cho HT.


dụ Tìm  để chuỗi HT



 1  n  sin(1/ n) 
n 1




1 
1
1
an  1  n  sin(1/ n)   1  n   
3     2
6 n
 n 3!n  

1
huỗi đã cho hội tụ khi và chỉ khi  
2







dụ Tìm  để chuỗi HT


1
1

  ln sin n  ln n 
n 1


 1
1 
1  
1
1 
  ln   3   ln    ln 1  2     2
n    6n  
6 n
  n 6n 
1






1
 cos(1/ n) 
dụ Tìm  để chuỗi HT  
n 1  n sin(1/ n)




1
1 

an  
 1  2  
3
 n(1/ n  1/ 6n )  2n  



1
1 

an  
 1  2  
2
 1  1/ 6n  2n  




2
1

1 
1 
an  1  2  1  2      2
3 n
 6n  2n  

1
Chuỗi đã cho hội tụ khi và chỉ khi  
2


e  1  1/ n  




dụ Tìm  để chuỗi HT

n 1

1  cos(1/ n) 

2

n

 1

n ln(11/ n )
n (1/ n 1/ 2 n 2 )
11/ 2n
 1    e  e
 ee

e

e
 n
e
1 

1/ 2 n
 e  e 1   
e  e.e
 2n  2n

1  cos(1/ n) 

2

1
 2
4n







e /2 n
 an 
4n 2





e

2  2 n 2

Chuỗi đã cho hội tụ khi và chỉ khi 2    1    1


u chuẩn d'Alembert

uỗi dương



 an
n 1

an 1
. Giả sử lim
D
n a

n

D  1: chuỗi hội tụ.

2) D  1: chuỗi phân kỳ.

D  1: khơng kết luận được, chuỗi có thể HT, hoặc PK


u chuẩn Cô si


uỗi dương

 an

. Giả sử lim n an  C

n 1

C  1: chuỗi hội tụ.

n

2) C  1: chuỗi phân kỳ.

C  1: không kết luận được, chuỗi có thể HT, hoặc P




3  n! 
dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi  n   an
n 1 n
n 1
n 1

n

n

 (n  1)! 3  3  (n  1)  n!
3  3  n!


n 1 
n 1
n
n
(n  1)
(
n

1)
(n  1)  (n  1)
3

3
3
an 1 3  3n  n! n n

n


 n
  1 Phân
n 
n
e
an
(n  1) 3  n! (1  1/ n)


n

 3n  2 
dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi  n 
 
 4n  3  n
n 1

m an  lim



n

3n  2

n

5

 n 

3

1

5

HT theo t/c Cô si.


dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi

 an
n 1

2  5  8 (3n  1)
an 
1  6 11 (5n  4)

2  5  8 (3(n  1)  1)
2  5  8 (3n  2)

1 
1  6 11 (5(n  1)  4)
1  6 11 (5n  1)
2  5  8 (3n  1)(3n  2)
(3n  2)


 an 
1  6 11 (5n  4)(5n  1)
(5n  1)

an 1
3n  2 3
 lim
 lim


1
n a
n 5n  1
5
n


dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi

 an
n 1

2  5  8 (3n  2)
an 
n
2  (n  1)!

2  5  8 (3(n  1)  2)
2  5  8 (3n  5)

 n
1 
n 1
2  (n  1  1)!
2  2  (n  2)!

2  5  8 (3n  2)  (3n  5)
(3n  5)

 an 
n
2  2  (n  1)!(n  2)
2( n  2)
an 1
3n  5
3
 lim
 lim
 1
n a
n  2 n  4
2
n


n
, 
ụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 
n/2
n 1 (ln( n  1))


1
n
n
 lim
 0 1
m an  lim n
n
/
2
n ln( n  1)

n (ln( n  1))

uỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Cô si với mọi 


dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
n3

n2

1 

  cos n 

n 1 

n3

2 n 2
 1


1
1




n a  lim n cos
 lim  cos   lim 1  1
n


n 
n  n 
n  n  2n 2 


1


1/ 2 
 1 Hội tụ theo Cô si.










n

1


ụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi  

n 1  n  1 
n3 3 n 1

n 3n 1

 ( n 1)


n

1


n
2
2



m n an  lim 


 lim 1 

n  n  1 

n 

n 1 


uỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Cô si.



3

dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi

n 1
1
 ( n 3) n 3 n

 1


1

n


n
m an  lim 3  3  1 


n
 n  3 

n 1




2 n 4  3 n 

n 1
n

n2


 n3

1

e
n2

3
  1 Phân

e


h nghĩa hội tụ tuyệt đối

uỗi





 an gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi  an
n 1

hội

n 1

h lý

ếu chuỗi



 an
n 1



hội tụ, thì chuỗi

 an

hội tụ.

n 1

eo định lý: chuỗi hội tụ tuyệt đối thì hội tụ.

ệnh đề ngược lại khơng đúng: có những chuỗi hội tụ




dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi



(2n  3)cos3n

n 1

3

7

n  n 1



uỗi có dấu tuỳ ý. Xét chuỗi

 | an | là chuỗi dương
n 1



2n  3

(2n  3) cos3n
3

Hội t

2n
2

 7 / 3  4 / 3  tuyệt
3 7
n
n  n 1 n

n7  n  1



dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi

4
n 1

n

an |

| arctan(n) |
4

6



 /2
n

6/4




2n

3/ 2

arctan(n)

n

6

n  3n  1

 Hội tụ tuyệt đối


h nghĩa chuỗi đan dấu
n

(1) an , n, an  0 hoặc n, an  0 gọi là chuỗi đan d

h nghĩa chuỗi Leibnitz


huỗi đan dấu

n
(

1)
an gọi là chuỗi Leibnitz, nếu:

n 1

1) lim an  0
n


n n 1

2) dãy (a )

là dãy giảm.


h lý (Leibnitz)

uỗi Leibnitz hội tụ. Tổng của chuỗi này thoả 0 | S |




dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi


n 1


(1) n
  (1) n
n  2 n1

1
0
uỗi không hội tụ tuyệt đối. lim an  lim
n 
n n  2

1 
 là dãy giảm. Đây là chuỗi Leibnitz và hội tụ
n  2 n 1



dụ Khảo sát sự hội tụ của

ln n
an  lim
 0.

n
n


n 1



(1)

n 1

n

ln n



  (1)
n 1

 ln n 


 dãy giảm (có thể k/s đạo
 n n1

n


khô
ng
Điều kiện cần 
 Phân kỳ thơ

có

Sử dụng các tiêu chuẩ

Chuỗi dương

có

hội tụ của chuỗi dương

khơng
đan dấu

có

Leibnitz

khơng

Đ/nghĩa, các

/chuẩn khác khơng

có

Hội tụ

khơng


 an hội tụ

có

HT tuyệt