Sáng tạo toán học trong hoạt động dạy học giải toán

SÁNG TẠO TOÁN HỌC TRONG HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC GIẢI TOÁN
HOA ÁNH TƯỜNG(*)
TÓM TẮT
Sáng tạo toán học trong hoạt động dạy học góp phần rèn luyện các phẩm chất của tư
duy cho học sinh đồng thời phát huy tính tích cực, sáng tạo, chủ động của người học. Trong
khuôn khổ bài báo, từ một hiện tượng trong thực tiễn dạy học, chúng tôi trình bày và phân
tích “Nhìn bài toán ở nhiều góc độ khác nhau” góp phần nâng cao chất lượng hoạt động dạy
học giải các bài toán ở trường Trung học phổ thông.
ABSTRACT
Creating mathematics in teaching activities have a part in training qualities of
thinking for students and promote positive, creative and active learners. Within the
framework of article, we present and analyze "seeing the problem with many different
angles" to contribute raising the operational teaching quality of solving mathematics at
secondary school from a practical phenomenon.
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Môn Toán ở trường phổ thông có rất nhiều mục tiêu trong đó một mục tiêu quan trọng
là phát triển tư duy. Học sinh ngày nay thường hài lòng sau khi cố gắng tìm lời giải cho một
bài toán mà không tìm hiểu thêm cách giải khác. Học sinh học rất nhiều nhưng tính hiệu quả
của việc học chưa tương xứng với công sức và thời gian các em bỏ ra. Từ thực tiễn này cho
thấy vai trò của người thầy càng quan trọng hơn. Người thầy ngoài việc cố gắng tìm mọi cách
truyền thụ tri thức đến học sinh để đạt hiệu quả giáo dục cao nhất, còn tạo cho học sinh niềm
say mê, hứng thú và dạy cho học sinh phương pháp học để học sinh tự học, tự tin chiếm lĩnh
tri thức trong giai đoạn hiện nay.
Trong khuôn khổ bài viết, chúng tôi đề cập: Sáng tạo toán học trong hoạt động dạy
học giải toán; trình bày ví dụ và phân tích tính sáng tạo được thể hiện qua tình huống cụ thể.
2. NỘI DUNG
2.1. Sáng tạo và tư duy sáng tạo
2.1.1. Khái niệm sáng tạo
Theo từ điển triết học, “Sáng tạo là quá trình hoạt động của con người tạo ra các giá trị
vật chất và tinh thần, mới về vật chất”.
Theo Solso R.L (1991), “Sáng tạo là một hoạt động nhận thức mà nó đem lại một cách

nhìn nhận hay cách giải quyết mới mẻ đối với một vấn đề hay một tình huống”.
2.1.2. Tư duy sáng tạo

(*)

NCS, Trường Trung học Thực hành Sài Gòn, thuộc Đại học Sài Gòn


Theo Mehlhorn, “Tư duy sáng tạo là hạt nhân của sự sáng tạo cá nhân, đồng thời là
mục tiêu cơ bản của giáo dục”.
Theo J.Danton (1995), “Tư duy sáng tạo là những năng lực tìm những ý tưởng mới,
tìm những mối quan hệ mới”.
Trong nghiên cứu của Tôn Thân, “Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra
ý tưởng mới, độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao. Bắt đầu từ tình huống gợi vấn đề,
tư duy sáng tạo giải quyết mâu thuẫn tồn tại trong tình huống đó với hiệu quả cao thể hiện ở
tính hợp lí, tiết kiệm, tính khả thi và ở cả vẻ đẹp của giải pháp”.
2.1.3. Các dấu hiệu đặc trưng của tư duy sáng tạo
Theo V. A. Krutecxki, các dấu hiệu đặc trưng của tư duy sáng tạo là:
- Tính mềm dẻo được đặc trưng bởi khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này
sang hoạt động trí tuệ khác.
- Tính độc đáo là khả năng tìm kiếm và quyết định phương thức giải quyết mới lạ hoặc
duy nhất.
- Tính nhuần nhuyễn được đặc trưng bởi khả năng tìm được nhiều giải pháp dưới
nhiều góc độ và tình huống khác nhau.
- Tính hoàn thiện được đặc trưng ở khả năng lên kế hoạch, khả năng phối hợp các ý
nghĩa và hành động phát triển ý tưởng, kiểm tra và chứng minh ý tưởng.
- Tính nhạy cảm được đặc trưng ở khả năng nhanh chóng phát hiện ra vấn đề, phát
hiện các mâu thuẫn, sai lầm, sự thiếu logic và do đó nhanh chóng xuất hiện các mong muốn
cấu trúc lại một cách hợp lí, hài hoà, tạo ra cái mới.
- Tính chính xác được đặc trưng ở khả năng sử dụng chính xác các kí hiệu, tính có căn

cứ đầy đủ của các lập luận, đặc biệt không bao giờ chấp nhận những khái quát không có suy
luận, những phép tương tự không có cơ sở.
2.2. Sáng tạo toán học trong hoạt động dạy học giải toán
Sáng tạo trong hoạt động dạy học giải toán có một số dấu hiệu cơ bản như sau (xem
[1], trang 11):
- Biết nhận ra những vấn đề mới trong các điều kiện đã biết. Biết dự đoán trước các
hướng sai lầm và hướng khắc phục.
- Nhìn thấy được cấu trúc mới của bài toán. Biết kết hợp các phương thức giải đã biết
tạo thành phương thức mới để giải quyết bài toán.
- Nhìn một đối tượng dưới nhiều góc độ khác nhau để tìm cách giải quyết có thể có.
Cố gắng tìm nhiều cách giải, luôn luôn có ý tưởng tìm cách giải mới lạ, độc đáo và ngắn gọn.
Nhìn thấy chức năng mới của đối tượng.


- Biết kết hợp, hoàn thiện các phương pháp đã có, vận dụng vào toán học. Biết toán
học hoá các tình huống cụ thể.
- Biết hệ thống hoá các tri thức phương pháp khi giải toán. Biết xây dựng các phương
pháp chung, các thuật giải để giải các bài toán thuộc cùng một loại.
- Biết khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự hoá phương pháp cho các bài toán mở
rộng.
2.3. Thể hiện trong dạy học toán phổ thông
Dựa vào cơ sở lí luận đã trình bày, chúng tôi đề cập hai ví dụ “Nhìn bài toán ở nhiều
góc độ khác nhau” trong thực tiễn dạy học góp phần nâng cao chất lượng hoạt động dạy học
giải các bài toán ở trường Trung học phổ thông.
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A(2;2) và hai đường thẳng

 d1  : x  y  2  0;  d2  : x  y  8  0.

Tìm tọa độ các điểm B   d1  ; C   d2  sao cho ABC
vuông cân tại A (Trích đề thi tuyển sinh đại học năm 2007).

a) Lời giải phổ biến của học sinh
Gọi B   d1  ; C   d2  có tọa độ B  b;2  b  ; C  c;8  c  .
ABC vuông cân tại A

 b  2 2  b 2   c  2 2   6  c 2
2
2
2
2

AB

AC


 b  2   b   c  2    6  c 




c2
 AB. AC  0
 c  4


b 
 b  2  c  2   b  6  c   0
c4

2

2
 c  2
2
2
 c2
c 4  16c3  99c 2  280c  300  0

2


 
   c  2   6  c 
 c  4

 c4


c2
 c  4
b  c  2 c  4
b 
c4




c4

 c  3 c  5   c 2  8c  20   0



c2
 c  4
b 
c4

Vậy C  3;5 ; B  1;3 hoặc C  5;3 ; B  3; 1
b) Phân tích
Về phía học sinh: Lời giải trên phù hợp với các học sinh có học lực từ trung bình trở
lên; do số liệu đề bài cho đáp số “đẹp”, nhờ phương tiện máy tính bỏ túi học sinh dễ dàng tìm
ra lời giải bài toán nhưng đòi hỏi học sinh phải khéo léo biến đổi hệ phương trình để có một
phương trình bậc bốn một ẩn. Nếu số liệu thay đổi hoặc số liệu đề bài cho đáp số “không đẹp”
thì lời giải trên không còn hiệu quả nữa.


Về phía giáo viên: Trong chương trình toán lớp 10, hình học chương 3 có dạng bài
tập “Tìm tọa độ hình chiếu của một điểm lên một đường thẳng cho trước”; Trong chương
trình toán lớp 11, hình học chương 1 có đề cập đến “Phép quay”; Đây chính là cơ hội để giáo
viên rèn luyện cho học sinh kĩ năng nhìn bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau. Người thầy
trong trường hợp này cần khơi dậy ở học sinh tính hiệu quả của các kiến thức đã học tránh
tình trạng học sinh được học rất nhiều kiến thức nhưng việc ứng dụng kiến thức đó mờ nhạt.
c) Một giải pháp tạo ra sự sáng tạo trong hoạt động dạy học
Giáo viên có thể sử dụng sơ đồ phân tích đi lên kết hợp phương pháp diễn giải giúp
học sinh giải toán bằng các cách khác nhau dưới góc độ nhìn nhận bài toán theo hai phương
pháp khác nhau được tóm tắt như sau:
Lớp 10: Phương pháp tọa độ kết hợp phương pháp tổng hợp
Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên (d1) và (d2). Khi đó, tọa độ của H và K là
H 1;1 ; K  4; 4  .
14

Theo đề bài ta có (d1) // (d2). Do ABC vuông cân tại A nên AH=CK.
12

Điểm C, B hoàn toàn xác định như sau: Gọi C   d 2  có tọa độ C  c;8  c  .

 c  4   c  4
B   d1  có tọa độ B  b; 2  b  .

AH  CK  2 
Gọi

2

10

2

 c  3 c  5

ABC vuông tại A
 AB. AC  0   b  2  c  2   b  6  c   0 .

(d2): x+y-8=0
8

(d1): x+y-2=0
6

C
4

Nếu c= 3 thì b= -1. Nếu c= 5 thì b=3.

K

B

Vậy C  3;5 ; B  1;3 hoặc C  5;3 ; B  3; 1

2

A
H

15
10
5
Nhận xét: Với
cách làm trên, đòi
hỏi học sinh 5
O
phải tư duy vận dụng linh hoạt kiến thức đã học vào
giải toán. Hơn nữa, phương trình trong lời giải trên là
2
Hình 1
phương trình bậc hai rất quen thuộc với đại đa số học
sinh cho dù số liệu “không đẹp”, học sinh vẫn dễ dàng giải phương trình tìm ra lời giải cho
bài toán.

Lớp 11: Phương pháp tọa độ kết hợp phương pháp biến hình

Gọi I, J lần lượt là giao điểm của (d1) với trục tung và trục hoành. Khi đó
I  2;0  ; J  0; 2  đồng thời là hình chiếu của điểm A lên trục tung và trục hoành.
Phép quay tâm A, góc quay -900 biến: điểm J thành điểm I; điểm I thành điểm Q;
đường thẳng (d1) thành đường thẳng IQ.


Gọi C là giao điểm của IQ với (d2). Khi đó C là điểm cần tìm.
Ta có: Q  2;4  ;  IQ  : x  y  2  0; C  3;5 . Từ đó suy ra B  1;3 .
Tương tự xét phép quay tâm A, góc quay 900 biến: điểm I thành điểm J; điểm J thành
điểm P; đường thẳng (d1) thành đường thẳng JP.
Gọi C là giao điểm của JP với (d2). Khi đó C là điểm cần tìm.
10

Ta có: P  4; 2  ;  JP  : x  y  2  0; C  5;3 . Từ đó
suy ra B  3; 1 .

8

(d2): x+y-8=0

Vậy C  3;5 ; B  1;3 hoặc C  5;3 ; B  3; 1

6

C

Nhận xét: Đại đa số học sinh thường không (d1): x+y-2=0
nắm vững phép quay và sợ phép biến hình. Qua
B
cách giải trên, chúng tôi muốn cho học sinh thấy

rằng hệ phương trình trong lời giải là hệ phương
trình bậc nhất hai ẩn và yêu cầu tính toán được đơn
giản hoá. Hơn nữa, lời
giải đã tận dụng
tối đa số
15
10
5
liệu “đẹp” như: điểm I, J vừa là giao điểm của (d1)
với trục tung và trục hoành đồng thời là hình chiếu
của điểm A lên trục tung và trục hoành; hình ảnh
trực quan hỗ trợ tìm ảnh của điểm qua phép quay.

Q

K

4

2

A

I

P

H
O

J

5

2

Hình 2
4

Nhận xét chung: Bài toán trong ví dụ 1 được nhìn nhận dưới nhiều góc độ khác nhau
giúp học sinh vận dụng linh hoạt các kiến thức được học (lớp 10 và lớp 11) để giải quyết bài
toán; qua đó học sinh thấy được tính hiệu quả và tính cần thiết của các kiến thức được trang
bị cho các em đồng thời góp phần phát triển được tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc
lập của tư duy. Để có cái nhìn linh hoạt trong một bài toán cụ thể, giáo viên từ kinh nghiệm
của bản thân, luôn tạo điều kiện và động viên cho học sinh cố tìm các cách giải có thể có, rèn
cho học sinh thao tác quy lạ thành quen.
Ví dụ 2: Giải phương trình

4 x2  1  2 x 

3
4 4 x2  1

(2)

a) Nhận xét: Bài toán trên tương đối khó với học sinh trung bình và khá.
Để giúp học sinh tìm lời giải bài toán, giáo viên gợi ý như sau:
Câu 1: Viết công thức giải phương trình A2  B2
Câu 2: Viết công thức giải phương trình

AB

Dựa vào gợi ý trên, học sinh tìm cách biến đổi phương trình và giải phương trình.
b) Lời giải:


Cách 1: Phương trình (2) trở thành









2



2 4 x 2  1  2. 2 4 x 2  1 .2 x   2 x   4 x 2  3  2 4 x 2  1  2 x
2

 
2



4 x2  3



2

 2 4 x 2  1  2 x  4 x 2  3 (3)  2 4 x 2  1  2 x   4 x 2  3 (4)

* 2 4 x 2  1  2 x  4 x 2  3 (3)  2 4 x2  1  4 x 2  3  2 x



 2 4 x2  1  4 x2  3

x



2

 4 x2  4

 4x

2

 1 4 x 2  3  16 x 2  7  32 x 2  1

2
2
2
(nhận nghiệm x  

)
x
8
8
8

* 2 4 x2  1  2 x   4 x2  3 (3)  2 4 x 2  1  4 x 2  3  2 x (*)

x  0


2 4 x2  1  4 x2  3







2

x0



 2
 4 x2
16 x  7  4


((*): Chúng ta cũng có thể lập luận như sau:

 4x

2

 1 4 x 2  3  0

 x 

4 x 2  3  4 x 2 ; 4 x 2  2 x  2 x

 4 x 2  3  2 x do đó 2 4 x2  1  4 x2  3  2 x nên phương trình (*) vô nghiệm).
Nghiệm của phương trình (2) là x  
Cách

2:

2
8

Ta

4x  1  4x ; 4x  2x  2x  4x 1  2x  4x  1  2x  0 .
2

2

2

2


Phương trình (2) trở thành


1
4x 1  2x



3

4 x2  1  2 x





2

4 x2  1  2 x

4 x2  1  2 x

 4 4 x2  1  3





4 4x 1
x  0
2
 4 x 2  1  6 x   2
 x
2
8
4 x  1  36 x
2

2



3
4 4x2  1

4 x2  1  2 x



Nghiệm của phương trình (2) là x  

2
8

có

c) Phân tích: Thông qua việc tìm lời giải cho bài toán trong ví dụ 2 bằng các cách khác
nhau, giáo viên giúp học sinh phát hiện ưu điểm và khuyết điểm của từng cách giải, cụ thể:
- Cách 1 tương đối dài, yêu cầu học sinh phải cẩn thận trong biến đổi phương trình.
- Cách 2 vừa ngắn gọn vừa hay nhưng đòi hỏi học sinh phải thông minh, sáng tạo bằng
cách khéo léo sử dụng kỹ thuật nhân lượng liên hợp (kiến thức toán lớp 9).
Hơn nữa lời giải trong cách 2 còn hiệu quả khi nội dung ví dụ 2 thay đổi, chẳng hạn:
* Giải các phương trình

4 x2  1  2 x 

* Giải bất phương trình

4 x2  1  2 x 

3
4 4x 1
2

3
4 4x2  1

(5);

4 x2  1  2 x 

5
4 4 x2  3

(6)

(7);

Điều này góp phần rèn luyện hoạt động tư duy tương tự cho học sinh.
3. KẾT LUẬN
Trong bài viết, giáo viên tạo ra sự kích thích việc học Toán cho học sinh ở chỗ: Nhìn
bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau, học sinh thấy được vẻ đẹp tiềm ẩn của các cách giải,
học sinh có sự liên hệ các kiến thức đã học; học sinh rút ra bài học cho bản thân.
Đổi mới phương pháp dạy học Toán đã được nhiều nhà nghiên cứu giáo dục quan tâm,
nhưng thực tiễn cho thấy việc thực hiện ở các trường phổ thông còn gặp nhiều khó khăn. Với
thời lượng 45 phút cho mỗi tiết học, giáo viên phải cân nhắc và sáng tạo một kế hoạch dạy
học phù hợp với trình độ học sinh. “Nhìn bài toán ở nhiều góc độ khác nhau” để tìm cách giải
quyết có thể, điều này góp phần rèn luyện và phát triển tư duy, các hoạt động tư duy cho học
sinh đồng thời phát huy tính tích cực, sáng tạo, chủ động của người học.
Vì vậy, trong thực tiễn giảng dạy những tình huống dạy học có thể xem xét dưới nhiều
góc độ khác nhau có các cách giải độc đáo khác nhau, giáo viên cần tận dụng triệt để các
trường hợp này để tạo cơ hội cho học sinh tự khẳng định, tự thể hiện mình; từ đó góp phần
kích thích sự sáng tạo ở học sinh.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Nguyễn Bá Kim (2007), Phương pháp dạy học môn Toán, NXB Đại học Sư phạm.
2. Nguyễn Văn Vĩnh (2006), Phát triển tư duy cho học sinh qua môn Toán, Trường ĐHSP
TP.HCM.