bồi dưỡng học sinh giỏi toán hình học 9 trần thị vân anh

BỒI DƯỠNG
HỌC SINH GIỞ TOÁN

HINH HOC
BỐI dưỡng học sinh khá giỏi.
Rèn kĩ năng giải toán tử CO’ bản đến nâng cao.


TRẦN THỊ VÂN ANH

r Mil

BÒI DƯỠNG
HỌC SINH GIỞ TCÁN

■

HÌNH HỌC
• Bồi dưỡng học sinh khá giỏi.
• Rèn kĩ năng giải toán từ cơ bản đến nâng cao.

Hà

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

9


NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC Quốc GIA HÀ NỘI
16 Hàng Chuối - Hai Bà Trưng - Hà Nội
Điện thoại: Biên tập-Chế bản: (04) 39714896;

Hành chính: (04) 39714899; Tổng biên tập: (04) 39714897
Fax: (04) 39714899
***

Chịu trách nhiệm xuất bản:
Giám đốc PHÙNG Qưốc BẢO
Tổng biên tập PHẠM THỊ TRẦM

Biên tập nội dung

BÍCH HẠNH
Sửa bài

LÊ HOÀ
Chế bản

CÔNG TI ANPHA

Trình bày bìa
SƠN KỲ
Đối tác liên kết xuất bản
CÔNG TI ANPHA

SÁCH LIÊN KẾT
BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN HÌNH HỌC 9

Mã số: 1L-315ĐH2010
In 2.000 cuổn, khổ 16 X 24 cm tại công ti TNHH MTV Song Nguyên
Số xuất bản: 238-2010/CXB/23-45/ĐHQGHN, ngày 12/03/2010
Quyết định xuất bản số: 315LK-TN/ĐHQGHN

ỉn xong và nộp lưu chiểu quý IV năm 2010.


LỜI NÓI ĐẦU
Để đáp ứng nhu cầu học tập của học sinh, tài liệu tham khảo cho giáo
viên, chúng tôi xin giới thiệu cuôn sách

Bồi dưững học sinh giỏi Toán
HÌNH HỌC 9
Trong quyên sách này, tác giả đã phân chia thành 7 chuyên đề cơ bản
sau, bao gồm:
Chuyên đề 1: Các bài toán tính toán hình học
Chuyên để 2: Các bài toán chứng minh về đa giác.
Chuyên đề 3: Các bài toán chứng minh về đường tròn.
Chuyên để 4: Các bài toán dựng hình, quỹ tích.
Chuyên đề 5: Các bài toán hình học không gian.
Chuyên để 6: Bài tập tong họp.
Chuyên đề 7: Một sổ để thi học sinh giói và để thi tự luyện
Trong mồi phần, sách được cấu trúc gồm 4 nội dung chính như sau:
1. Phương pháp chung.
2. Các ví dụ minh họa.
3. Bài tập vận dụng.
4. Hướng dẫn và đáp số.
Các bài tập được lựa chọn từ dễ đến khó, bám sát theo chuẩn kiến
thức kỹ năng của chương trình SGK Toán 9 và nhiều bài tập được tác giá
đưa ra nhiều phương pháp khác nhau để bạn đọc tham khảo thêm. Với mồi
dạng bài tập cơ bản đều có phương pháp giải cụ thể và ví dụ minh họa.
Ngoài ra, các bài tập đều có hướng dẫn giải chi tiết, dễ hiểu. Nhiều ví dụ có
lời nhận xét để giúp học sinh tránh các sai lầm cơ bản. Mặc dù đã hết sức cố
gắng, song lời giải các bài toán trong quyến sách này có khi chưa phải là

phương án giải hay nhất và cũng có thể còn thiếu sót. Tuy vậy, tác giả hy
vọng rằng quyển sách này sẽ giúp ích cho bạn đọc trong quá trình học tập và
giảng dạy, đặc biệt là quá trình tự học. Chúc các em học sinh và các thầy cô
giáo quan tâm đến quyển sách này thành công trên mọi lĩnh vực. Rất mong
nhận được sự góp ý chân thành của các em học sinh và các thầy cô giáo, tác
giả xin chân thành cảm ơn trước.
Mọi ý kiến đóng góp xin liên hệ:
- Trung tâm Sách giáo dục Anpha .
225C Nguyễn Tri Phương, p.9, Q.5, Tp. HCM.
- Công ti Sách - thiết bị giáo dục Anpha
50 Nguyễn Văn Săng, Quận Tân Phú, TP.HCM
ĐT: 08.62676463, 38547464.
Email:
Xin trân trọng cảm ơn!


1. Các bài toán tính toán hình học
Một số kiến thức cơ bân
I. Một số hệ thức về cạnh và dường cao trong tam giác vuông
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (hình vẽ). Ta có:

1 b2 -ab'; c‘ = ac'.
2. b2 + c2 = a2 (định lí Py-ta-go).
3 h2 - b'c'.
4 ah - bc.

2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn
Các ti so lượng giác của góc nhọn a
(hình vẽ) được định nghĩa như sau:
sin a = cạnh đoi / cạnh huyền;

cosa = cạnh kè / cạnh huyền;
tan a = cạnh đối / cạnh kể;
cot a = cạnh kề / cạnh đối;

Cạnh kề

Với hai góc a và p phụ nhau, ta có: sin a = cos(3, cosa = sin Ị3;
tan«=cot/?,' cotnr = tan/7.
Với một số góc đặc biệt, ta có:

sin 30' - cos60 — Ậ;
2
COS30 = sin 60' = ệ;
2

sin 45 = COS45' = -T-;
2
cot60 = tan 30’ = —7=-;
V3
cot30' = tan 60’ = V3.

tan 45 = cot45" = 1;
3. Một sổ hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
Trong một tam giác vuông, moi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân
với sin góc đoi hoặc nhân với côsin góc kề; mỗi cạnh góc vuông bằng
cạnh góc vuông kia nhân tang góc đổi hoặc nhân với côtang góc kề.
4. Độ dài đường tròn còn được gọi là chu vi hình tròn và được kí hiệu là c.
Gọi bản kính cùa đường tròn là R, ta có c = 2ĩĩR.
Trẽn đường tròn bán kính R, độ dài l của một cung n được tỉnh theo công
, ĩĩRn

thức l = — —.
Diện tích s của hình tròn bán kính R được tính theo công thứcS = ĩtR1.

5


Các dạng bài tập cơ bản
1.
2.
3.
4.

Tinh độ dài các đoạn thẳng
Tinh số đo các góc
Tính độ dài cung tròn
Tỉnh dện tích các hình

Các ví dụ minh họa
1. Tính độ dài các đoạn thẳng
Ví dụ 1: Hình thang cân ABCD có đáy lớn CD = 10cm, đáy nhỏ bànj chường
cao, đường chéo vuông góc với cạnh bên. Tính đường cao của hình tiarig.
Giải
Gọi AH, BK là đường cao của hình thang.
Đạt AB = AH = BK - X.
Dễ dàng chứng minh được DH - CK = iO-"do đó: HC = ^^.
2
Xét tam giác ADC vuông tại A ta có AH2 = HD.HC.
__
2 10-X 10+ x 100-X2
,

10V3
Do đó: X = ————-— = ———. 1 ứ đó X = —-7—cm.

2

~ .__ ___

2

, ... ,,___ , i

Đường cao của hình thang băng

2

3

I0V3 „

■ cm.
3
Vỉ dụ 2: Tính cạnh đáy BC của tam giác cân ABC biết đường cao ingỊ với
cạnh đáy bằng 15,6cm và đường cao ứng với cạnh bên bằng 12cm
G7ả/
Gọi AH, BK là các đường cao của A ABC.
Ta có: AC = B(AAH = BC*5,6 = 1,3BC. Đặt BC = X thì AC = 1,3:. Theo
BK
12

định lí Pytago: AH2 + HC2 = AC2 nên 15,62 + A2 = (l,3x)2

Ta tính được X = 13. Vậy BC = 13cm.
Vi dụ 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác AD, đưòig cao
AH. Biết BD = 7,5 cm và DC = 10cm. Tính các độ dài AH, BH, H).
Giải
Ta có -7— = —— = -77- = — nên tính được AB = 10,5 cm và AC = llcim.
AC DC 10 4
Nhờ công thức ah = bc ta tính được AH = 8,4 cm.
Nhờ công thức c2 = a.c' ta tính được BH = 6,3cm nên HD = l,2cm
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, AB = 20cm.
9cm. Tính độ dài AH.
L/


Đặt BI 1 = X, ta có AB2 - BC.BH nên 202 = (x + 9).x.
Giải phương trình trên, ta được (x - 16)(x + 25) = 0 nên X = 16 (thích hợp).
Từ đo AH = 12cm.
Vi dụ 5; a. Cho tam giác ABC có Â = 120°, AB = 3cm, AC = 6cm. Tính độ
dài đường phân giác AD.

b. Cho tam giác ABC với đường phân giác AD thỏa mãn

AD

AB

AC

.

Tính số đo góc BAC.

Giải
a. Kẻ DE // AB, AADE đều. Đặt AD = DE = EA = X.
, DE CE
X 6-X
1 a có: —— =
- =>77 = ———.
AB CA
3
6
Từ đó X = 2. Vậy AD = 2cm.
b. Kẻ DE // AB. Đặt DE - EA = X. Ta có:
DK_.CE
X
AC-X
X
AB " CA
AB " AC
AC
X
X
1
1
1
-X*
~ '1—-——- — 1
——— 4—~~~z — —
(1)
AB AC

AB AC X
Theo đề bài Ụ— +
. Suy ra AD = X, AADE đều, ABC = 120°.
AB AC AD
J
Ví dụ 6 : Cho tam giác BC có AB = 6cm, AC = 8cm, các đường trung tuyến
BD và CE vuông góc với nhau. Tính độ dài BC.

Giải:
Gọi G là giao điểm của BD và CE. Đặt GD = X, GE = y thì GB = 2x,
GC = 2y. Áp dụng định lý Pi ta go cho các tam giác vuông BGE, CGD
Ta có EG2 + BG- = EB2 = 9 => 5x2 = 9, DG2 + CG2 = DB2 = 16 => 5y2 = 16
suy ra X2 + y2 = 5. Áp dụng định lý Pi ta go cho tam giác vuông BCG ta
có 4(x2 + y2) = 20 => BC = 2 Vs.

Vi dụ 7: Cho tam giác ABC có B = 60°,BC = 8cm, AB + AC = 12cm.
Tính các độ dài AB, AC.

Giải
Dặt AB = X. Ta có AH2 + HC2 = AC2 nên

+ (8 - -J)2 = (12 - x)2. Giải

phương trình trên ta được X = 5. Đáp so: AB = 5cm, AC = 7cm.
■Iỉ

fi'lí

1

Vỉ dụ 8: Trong một tam giác vuông. Đường cao ứng với cạnh huyền chia
tam giác thành hai phân có diện tích bằng 54cm2 và 96cm2. Tính đ( dài
cạnh huyền.

Ta có hc’ = 54.2, hb’ = 96.2, mà h2 = b'.c' nên h4 = 124,suy ra h - 12.

AA. Dr
_ ------------2(54 + 96) =_25(cm).
Do đó:
BC =
Ví dụ 9: Một hình thoi có diện tích bằng một nừa diện tích hình vuôrụ có
cạnh bằng cạnh của hình thoi. Tính tỉ số của đường chéo dàii và đrờng
chéo ngắn của hình thoi.

Giải
Gọi 2m và 2n là độ dài các đường chéo của hình thoi cạnh a.

Ta có m2 + n2 = a2 và 2mn =
Từ đó ta tính được m + n =

2V2
Suy ra — = 2=
n 73-1

2

/0
a
^,m-n = —ị=

2
V2

2V2
—— = 2 + V3.
2

Vỉ dụ 10: Cho hình vuông ABCD có cạnh Idm. Tính cạnh cùa taim giác đều
AEF có E thuộc cạnh CD và F thuộc cạnh BC.

Giải
Đặt DE = X thìCE = 1 - X thi:
CF = CE = 1-X, AE2=X2+1.
Đưa về phương trình:

Do X < 1 nên ta chọn X - 2 - V3.

Ví dụ 11: Tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD. Tiai phân giác
của góc A cắt BD ở I. Biết IB = 10x/5cm,ID = õVõcm, tính dicện tíchtam
giác ABC.
8


Giải

Die) tính chất đường phân giác:
AB IB 10 Vo 9 BC = BA =2
AẼ ID ~ 5^5
’CD AD
Đặt AD = X, DC = y. Ta có AB = 2x.

.
jx2+(2x)2 =(15/5)2
(1)
BC = 2y nen o 7
[(2x)2 + (x + y)2 = (2y)2 (2)
1 ừ 1) ta được X = 15. Thay vào (2) và rút gọn được
y2 1 Oy - 375 = 0 o (y - 25)(y + 15) = 0
1 ừ ló y = 25. Dáp sổ 600cm2.
17 dụ ,2: Tam giác ABC vuông tạị A, gọi I là giao điểm của các đường phân
giá..
a. Fiet AB = 5cm. IC = 6cm. Tính độ dài BC.
b. Fiet IB = VõcmTC = Vĩõcm. Tính các độ dài AB, AC.
Giải
D
a. Kẻ JH±BI, CH cắt BA tại D.
AFCD cân nên CH = HD. Đặt BC = X thì AD = X -5.
a/ \

A CHI vuông cân có:
(TH =45° >('H

72
Xé AACD vuông có:

=>DC = XI72
72

A-—-a----- —Ềặ
B
K

AP2 + AC2 = DC2 => (X - 5)2 + (x2 - 25) = 72

Rú gọn được X2 - 5x - 36 = 0 <=> (x - 9)(x + 4) = 0.
Dái số BC = 9cm.
b. Kẻ CHI BI. Ta có ACIH vuông cân nên CH =

=

- Vb(cm).

Su/ ra BH = 2ự5cm. Xét A BHC vuông; BC2 = BH2 + CH2 = 20 + 5 = 25
nêi BC = 5cm.
Tacó ABCD cân tại B => BC = BD = 5cm; CD = 2CH = 2 x/5 cm
2S.,.

AC =

BH.CD = AC.BD => AC
Js.2\ls
2.

= 4cm

._

BD

CZA------ 7TT

BC

nrz——

AB = 7BC2 - AC2 = 725-16 = 3cm

5

Ví dụ 13: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi I là giao điếm của các đường
phin giác, M là trung điếm của BC.
a. Biết AB = 6cm, AC = 8cm. Tính BIM.
b. Biết BIM = 90° . Ba cạnh của tam giác ABC ti lệ với ba số nào?
9


Giải
BI cắt AC tại D.
a. Dễ dàng tính được: BC = 10cm, DA = 3cm, DC = 5cm.
Do DC = MC = 5cm nên AIMC = AIDC (c.g.c)
Suy ra Ỉ2 = Ĩ1 = Bl + Cl = 45°. Vậy BIM = 90°.
b. Đặt BC = a, AC = b, AB = c.
Ta sẽ biểu thị a và c theo b.

À
/
Jxp

/

Trước hết có a2 -c2 = b2 (1).

Do BIM = 90°, Ì1 = 45° nên ì2 = 45°.

X.
s

\?|\
M
3

Ta có A Die = A MIC (g.c.g) nên DC = MC.
Do đó a = 2DC, c = 2AD (tính chất đường phân giác).
Suy ra a + c = 2(DC + AD) = 2AC = 2b. (2)

Ta có a2 — c2 - b2,a + c = 2b. Giả sử b > c, ta được a = —,c = —
4
4
5
3
Do đó a : b : c = —•: 1: — = 5:4:3.
4
4
Ví dụ 14: Cho tam giác ABC vuông tại A. BC = 3\/5cm. Hình vuông
ADEF cạnh 2cm có D thuộc AB, E thuộc BC, F thuộc AC. Tính các độ
dài AC, AB.
Giải
Đặt BD = X, FC = y.
'
.
'
X 2

Các tam giác BDE và EFC đông dạng nên A =—, suy ra xy = 4 (1)
2 y
Ta lại có AB2 + AC2 = BC2 nên (x + 2)2 + (y + 2)2 = 45. (2)
Từ (2) suy ra X2 + y2 + 4(x + y) - 37.
Đặt X + y = a, kết hợp với (1) ta được:
a2-8 + 4a = 37 <=> (a-5)(a + 9) = 0 nên a = 5.

B
X

Suy ra y = 5 - X.Thay y bởi 5 - X vào (1) được:
X2 - 5x + 4 = 0 <=> (x - l)(x - 4) = 0.

Với X = 1 thì y =4, khi đó AB = 3cm, AC = 6cm.
Với X = 4 thì y = 1, khi đó AB = 6cm, AC = 3cm.
Vi dụ 15: Tam giác ABC cân tại A, gọi I là giao điểm của các đường phân
giác. Biết IA = 2\/5cm,IB = 3cm. Tính độ dài AB.

Giải
Đường vuông góc với AB tại A cắt BI ở K.
Ta có K phụ với Bi.AIKphụvới B2,B1=B2, nên K = AIK.


Ké AH1BK. Đặt 1H = HK = X.
Xét A ABK vuông có:
AK2 = KH.HB hay (2^5 )2 = x(2x + 3).
Rút gọn phương trình:
2x2 + 3x - 20 = 0 <=> (2x - 5)(x + 4) = 0.
Nghiệm dương X = 2,5 thích hợp.
Suy ra KB = 8cm. Từ đó ÀB - 2>/ĩĩ cm.

Ví dụ 16: Tam giác ABC cân tại A, đường cao AD, trực tâm H. Tính độ dài
AI), biết AH= 14cm. BH = HC = 30cm.

Giải
Gọi E là điếm đối xứng với H qua BC. Ta có BHCE là hình thoi, A ABE
vuông tại B nên BE2 = ED.EA. Đặt DE = x. Có 2 trường hợp:
a. BÃC < 90° (h.a). Ta có x(2x + 14) = 302.

Rút gọn phương trình X2 + 7x - 450 = 0 <=> (x - 18)(x + 25) = 0.

Nghiệm dương X = 18 thích hợp. Từ đó AD = 32cm.
b. BAC > 90° (h.b). Ta có
x(2x -14) = 302.

Rút gọn phương trình
X2 -7x-450 = 0

c>(x-25)(x + 18) = 0.

Nghiệm dương X -■ 25 thích hợp.
Tư đó AD = 11 cm.

a)

b)

Ví dụ 17: Tam giác ABC có BC = 40cm, đường phân giác AD dài 45cm,
đường cao AH dài 36cm. Tính các độ dài BD, DC.

Giải

Đặt BD = X, DC = y. Giả sử X < y. Ta tính được HD = 27cm. Vẽ tia phân
giác của góc ngoài tại A, cắt BC ở E.

Ta có AE1AD nên AD2 = DE.DH.
Suy ra DE = ——— = -77- = 75(cm).
7
DH
27
v ’
Theo tính chất đường phân giác trong và ngoài
..____ ., DB FB x 75-x ...
của tam giác: —— = —— => — = 7-7——. (1)
6
DC EC y 75 + y

Mặt khác X + y = 40 (2). Thay y = 40 - X vào (1) và rút gọn được
x2 -115x +1500 = 0 o (X - 15)(x -100) = 0.

Do X < 40 nên X = 15, từ đó y = 25. Vậy DB = 15cm, DC = 25cm.


Vi dụ 18: Cho đường tròn (O) tâm o. bán kính R, hai đường kính AB VI CD
vuông góc với nhau. Đường tròn (O|) nội tiếp trong tam giác /CD.
Đường tròn (O2) tiếp xúc với 2 cạnh OB và OD của tam giác OB) và
tiếp xúc trong với đường tròn (O). Đường tròn (O3) tiếp xúc với 2 :ạnh
OB và oc của tam giác OBC và tiếp xúc trong với đường tròn(O).
Đường tròn (O4) tiếp xúc với 2 tia CA và CD và tiếp xúc ngoà với
đường tròn (O|). Tính bán kính cùa các đường tròn (01), (02), (Oí),(Ơ4)
theo R.

Giải
+ Gọi r là độ dài bán kính đường tròn (01).
Ta co:
= pr
0R2 =|(2AC + CD)r

D'

R

I-

B
1 + n/2
Đường tròn (02) tiêp xúc với OB và OD nên tâm O2 ở trên tia phán giác
của góc BOD, (O2) lại tiếp xúc trong với (O) nên tiếp điểm T của clúng
ờ trên đường thẳng nối 2 tâm o và O2, chính là giao điểm của tia |hân

giác BOD với (O).
+ Đường thẳng đi qua T vuông góc với OT cắt 2 tia OB và OD tại B’ và ù’ là
tiếp tuyến chung của (O) và (O2). Do đó (O2) là đường tròn nội tiếp A OPD’.
A OB’D’ có phân giác o vừa là đường cao, nên nó là tam giác vuông câi và
B'D' = 20T = R,OB' = OD' = R 72,suy ra: AB'OD'= AACD.
'
R
Vậy: Bán kính của (O2) cũng bằng r =----- .
1 + 72
Hai hình quạt OBC và OBD đối xứng với nhau qua AB nên (O3) òing

băng r = ——2=.

I + V2
Đường tròn (O4) có hai trường hợp.
a. Trường họp 1: (O4) ờ bên trái (0|):
Kẻ tiếp tuyến chung cúa (O4) và (0|) tại tiếp điểm K cắt AC và AD tii E
và F. CO và CA còn là 2 tiếp tuyến của (O3), nên chu vi của VCEI'' bíng
2C0, suy ra nửa chu vi của nó là p = R.
Ta có: CO, = x/r2 + r2 = —

CK = CO, - 0,K = R^4 +

12

I + V2

R(4 + 2V2 - 1)


KF - °.°
1
_vr-K(^ + 2^ -1)
— — = —■'— = tan 22 30 - ——Ị= => K r =------ --- 7=—---------Kc CO
1+72
(l + x/2)2

Svw=CK.KF=«4^»i
(1 + V2)3

'

R(74 + 2ự2 -l)2

Suy ra bán kính của đường tròn (O4) là:

(1 + Tã)3

b. Trtàrtg /tọp 2: (0’4) ớ bên phải (0|):
Khi đó: K’ là tiếp điếm cùa 2 đường tròn, tiếp tuyến chung cắt CA và CD
tại ĩ ' và F‘, CD tiếp xúc với (0'4) tại H.

CK =C0, + 0,K'
R74 + 2V2

R

1 +V2

1 +V2

~ R(74 + 2ự2 -1) .

’

I + T2

c

F'H = K'F'= CK'tan22°30'

R(74 + 2a/2 -1)
(1 + 72 )2
CK' _ CO

CF, _ CK'.COj _ R(^4 + 2V2 + 1)74 + 272
CF 'co,^
CO
(1 + 72)2

ru - CFL

_ R(V4 + 2T2 +1)74+ 2V2

R(74 + 272 +1)

- (Jr + r ri =------------- ------------------------- +------- - ------ 7=—----------

(1 + 72)2

(1 + V2)2

R(74 + 272 +1)2

(l + Tã)2

■

Sm ra : bán kính của đường tròn (0’4) là:
r4 = 04H = CH tan22°30' = R(^4 + 2^.+—
4

4

(1 + 72)3

Ví dụ ,9. Tam giác ABC có chu vi 80cm ngoại tiếp đường tròn (O). Tiếp
tuyỉn của đường tròn (O) song song với BC cắt AB, AC theo thứ tự ở

a. Cho biết MN = 9,6cm. Tính độ dài BC.
b. Cho biết AC-AB = 6cm. Tính các độ dài AB, AC, BC để MN có giá
tcịàn nhất.


Giải
MN 11 BC nên tam giác AMN và tam giác ABC
,____ 14- MN chuviAMN
đông dạng, do đó
7 rỏ* • (1)
BC
chu vi ABC
Gọi D, E, F theo thứ tự là các tiếp điểm cùa
đường tròn (O) với AB, AC, BC.
Ta có AD = AE, BD = BF, CE = CF.
Chu vi tam giác AMN bằng:

AD +AE = AB +AC-BC.
(2)
a. Đặt BC = X.
Từ (2) suy ra chu vi tam giác AMN bằng 80 - 2BC, hay 80 - 2x.
9 6

80 — 2x

Từ (1) suy ra -2— = ~8Q

—

• Đưa

phương trình: X2 - 40x + 384 ---■ 0

o (x-24)(x-16) = 0
Có hai đáp số:

BC = 24cm, hoặc BC = 16cm.
b. Đặt BC = X.
MN

80 — 2x

Từ (1) suy ra —— = -go

nên 40MN = x(40-x) = -(x-20)2 + 400 s 400.

max MN =10 <=> X = 20.
Dễ dàng tính được BC = 20cm, AB = 27cm, AC - 33cm.

2. Tính số đo các góc
Ví dụ 1: Tính tan 15° mà không dùng bảng số, không dùng máy tính.
Giải
Cách 1. Xét tam giác ABC có Â = 90°,B = 15°,

AC = 1 (h. 18). Đường trung trực của BC cắt AB ở I.

Ta có AIC = 30° nên IC = 2AC = 2,
AC
1
r—— = tan30° = -7=, suy ra AI = Vã.
AI
V3
Ta có: AB = AI + BI = AI + IC = V3 + 2
tanlõ0 =4ĩt=_ 1/-=2-V3,
AB 2 + Vã
Cách 2. Xét tam giác ABC cỏ Â = 90°,B = 30°, AC = 1.
_
AC
1
_
rTa có,ỈÈfc 30° nên AB = 2AC = 2, —— = tan 30° = —r~ nên AB = Vã.
Á*
AB
V3


Kẻ đường phân giác BD.
Theo tính chất đường phân giác:
AD DC AD + DC
1
AB"BC’AB + BC 73 + 2
Ta ìó tan 15“ =45 = 2-73.
' . _ '
AB
T

B
\
JT

_______

=

.

Cách 3. Xét tam giác ABC có A = 90°, c = 15°,BC = 4.
Kè đường trung tuyến AM, đường cao AH.
Tacó ẤMB = 30°,AM = 2nênAH = 1,
r-

\\
\ \

,

A
■*

D
1

c
*

= tan 30° = 4- nên HM = V3.

HM
73
«

AH

1

r~

Suy ra HC = HM + MC = 73 + 2 . tanl5° = 777T = —= 2 - Tã
7
HC 2 + 73
Vi dụ 2 : Tam giác ABC vuông tại A, C = 40°, đường cao AH, điểm I thuộc
Cạm AC sao cho AI = 4 AC, điểm K thuộc tia đối của tia HA sao cho
3
HK = i AH. Tính số đo góc BIK.

Giải
Kẻ.ElAH. Tacó AE = 4aH = HK
3
Nêr AH = EK.
Ta có:
BI2 = BA2 + AI2 = (AH2 + BH2) + (AE2) + (EI2)
= (XH2 + EI2) + (BH2 + AE2) = (EK2 + EI2) + (BH2 + HK2) = IK2 + BK2
Suj ra BKI = 90°.

Tứ giác ABKI là tứ giác nội tiếp nên BIK - BAH = C = 40°
Vi diụ ỉ: Tam giác ABC cân có Â = 100°. Điểm D thuộc nửa mặt phẳng
klhôig chứa A có bờ BC sao cho CBD = 15°,BCD - 35°. Tính số đo góc

ADB

M

Giải
Xét A BCD ta tính được D = 130°. Vẽ
đìườig tròn (A; AB), lấy M bất kì thuộc
điưèng tròn đó (M và A cùng phía đối với

B;C>. Do BAC = 100° nên BMC = 50°. Do
đ<ó MBDC là tứ giác nội tiếp, tức là D
thuộc đitừng tròn (A).

éân tại A nên ẤDB = ABD = 40° +15° = 55°.
15


Ví dụ 4: Tam giác ABC có A = B + 2C và độ dài ba cạnh là ba sô tự nhiên
liên tiếp.
a. Tính độ dài các cạnh của tam giác.
b. Dùng bảng lượng giác hoặc máy tính bỏ túi đế tính số đo của các góc
A, B, C.
Giải
a. Trên cạnh CB lay điểm D sao cho CD = CA.
Ta có: Â = Â1 + Â2 = D1 + Â2 = B + Â2 + Â2 = B + 2Â2
A
Theo đề bài, Â = B + 2C, suy ra Â2 = c.
A A D/~' - A r>D A In r.\
AB BC

A ABC ~ A DBA (g.g) => 77— = —77.
DB AB

z' /1
z—Jj------------- X
B
D
C

Đặt BC = a, AC = b AB = c với a, b, c e N, ta CÓ —C— - - =>c2 = a(a - b) (1).
a-b c
Do các cạnh của tam giác ABC là ba số tự nhiên liên tiếp và a > b nên
a - b = 1 hoặc a - b = 2.
c=2
Neu a - b - 1 thì a - c = 2, (1) => c2 = c + 2 <=> c(c -1) = 2
c -1 = 1
« c = 2. Khi đó a = 4, b = 3. Ba số 2, 3, và 4 thỏa mãn bất đẳng thức tam

giác. Neu a - b = 2 thì a - c = 1, khi đó (1) <=> c2 - 2(c + !)<=> c(c - 2) - 2
íc = 2
íc = 2
.
<=>4
„ - <^> <
. loại.
|c-2 = l
|c = 3
Vậy AB = 2, AC = 3, BC = 4.
b. Ke AH1BC.
Đặt HC = X, HB = y.

Ta có X2-y2 =(32-AH2)-(22 Từ đó X = 2,625; y = 1,375; cosC = £ = 0,875; C = 28°57 ’;
3
cosB = ị = 6,875;B = 46°34’;Â = 104°29'.
2
Vỉ dụ 5. Đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB tại D.
Tính số đo góc c biết rằng AC.BC - 2AD.DB.
Giải
Gọi E, F là các tiếp điểm của đường ứòn (O) trên CB, CA.
Ta có: AD = AF, BD = BE, CE = CF.
Đặt AD = AF = X, BD = BE = y.
Theo già thiết ab = 2xy (1)
Ta có:
H BC = (x + y) + (x + CF) - (CE + y) = 2x


nên 2x - b + (• - a. Tương tự 2y = a + c - b

Suy :a 2x.2y - [c - (a - b)][c + (a - b)] = c2 - (a - b)2 = c2 -a2 + 2ab-b2. (2).

Tù ( ) và (2) suy ra 2ab = c2 - a2 + 2ab - b2 hay a2 + b2 = c2. Theo định li
pytago đao, ACB = 90n.

3. Tính độ dài các cung
Ví dụ / Cho đường tròn tâm o, cung AB bàng 120°. Các tiếp tuyến cùa
dườrg tròn tại A và tại B cắt nhau ờ c. Gọi (1) là dường tròn tiếp xúc với
các đoạn tháng CA, CB và cung AB nói trên. So sánh độ dài của đường
tròn I) với độ dài cung AB cúa đường trôn (O).

Giải

Gọi R, r theo thứ tự là bán kính cùa đường tròn (O), (ĩ). Gọi tiêp diêm
cùa dường tròn (í) với cung AB và với cạnh CA theo thứ tự là M và H.

A OAC vuông tại A, AOC = 60° nên oc = 2OA = 2R.
Và CM = OC-OM = 2R-R = R (1)
A IEC vuông tại H, HIC = 60° nên 1C = 2IH = 2r.
Do có MC = MI + IC = r = 2r = 3r. (2)

Từ (1) và (2) suy ra r

= 77.

2tĩR

Độ cài cung AB của (O) bang -7-—.
3

2tĩR

Độ cài đường tròn (I) bang 2nr = -77—
3
Vậy độ dài đường tròn (I) bàng độ dài cung AB cùa đường tròn (O).
Ví dụ 2 Cho hai đường tròn đồng tâm. Biết khoáng cách ngẩn nhất giữa hai
điềni thuộc hai đường tròn bàng Im. Tính hiệu các độ dài cùa hai đường
tròn

Giải
Gọi A là điếm bất kì thuộc đường
tròn (O; r), B là điếm bất kì thuộc
đườig tròn (O; R) với R > r.

Với mọi A và B ta có: AB > OB - OA = R - r
Vậy min AB = R - r.
DHiệu các độ dài của hai đường tròn bàng 2n(r +1) - 2nr = 2n(m).
Ví dụ 3: Cho hình quạt tròn có cung BC bằng 120°, tâm A bán kính R. Tính
độ cài đường tròn nội tiêp hình quạt đó (đường tròn nội tiêp hình quạt là
đườag tròn tiếp xúc với cung BC và với các bán kính AB, AC).
ĐAI HỌC QUỐC GIA HA NỘI
TRUNG TÁM TI-IỎNG ĨIN THƯ VIÊN

I

10/

17


Giải
Kè tiếp tuyến chung tại tiếp điểm
H, cắt AB, AC ở D, E. đường tròn
(O) nội tiếp hình quạt là đường tròn
nội tiếp A ADE.
Ta tính được AH = R, AD = 2R, DH = R\/3. Sau đó tính OH theo tính

chất đường phân giác của A ADH, được OH = R(2\/3 - 3).
Đáp số: 2(2^3 -3)7tR.
Ví dụ 4: Lấy bốn điểm A, B, c, D theo thứ tự trên đường tròn (O) sao cho

sđ AB = 60°, sđ BC = 90°, sđ CD = 120° .
a. Tứ giác ABCD là hình gì?

b. Tính độ dài đường tròn (O). Biết diện tích tứ giác ABCD bằng 100m2.
Giải
a. ABCD là hình thang cân.
b. Gọi R là bán kính của (O), EF là đường cao đi qua o của hình thang.
„„
2.100
200
...
Ta có: EF = . _
_ = —^=-—, (1)

Đáp số: Độ dài đường tròn bằng 20(^3 - l)n m.

4. Tính diện tích các hình
Ví dụl: Một hình thang cân có đường chéo vuông góc với cạnh bên. Tính
diện tích hình thang biết ràng đáy nhỏ dài 14cm, đáy lớn dài 50cm.
Kè AH 1 CD. Ta tính được HD = 18cm,
HC = 32cm, AH = 24cm. AD = 30cm.
Chu vi hình thang bằng 124cm, diện
tích hình thang bằng 768cm2.
Ví dụ 2. Tính diện tích hình thang ABCD có đường cao bàng 12cm, hai
đường chéo AC và BD vuông góc với nhau, BD = 15 cm.
Giải
Qua B vẽ đường thẳng song song với
AC, cắt DC ở E. Gọi BH là đường cao
cùa hình thang.
Ta có BE // AC, AC 1BD nên BE 1BD.
$ ,n*
•fiW ổi'

18


Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông BDI í. ta có:
BI I2 + HI)2 - Bĩ)2 => 122 + HD2 - 152 => HI)2 = 225-144 = 81 => HI) = 9(cm).
Xét tam giác BDE vuông tại B
BI)2 = DE.DH => 152 = DE.9 => DE = 225 : 9 = 25(cm).
Ta có AB = CE nên AB + CD = DE = 25 (cm).
Do dó SABCI) = 25.12 : 2 = 150(cm2).

ví dụ 3: Tính diện tích một tam giác vuông có chu vi 72cm. hiệu giữa đường
trung tuyên và đường cao ứng với cạnh huyên băng 7cm.
Giải
Dặt AM = X. ta có BC = 2x, AH = X - 7.
Theo hệ thức trong tam giác vuông AB2 + AC2 - BC2 = 4x2
AB.AC = BC.AH = 2x(x-7)
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
AB2 + AC2 + 2AB.AC = 4x2 + 4x(x - 7).
o(AB + AC)2 = 8x2-28x = 0
<=> (72 - 2x)2 = 8x2 - 28x

Dưa về phương trình X2 + 65x -1296 = 0 <=> (x - 16)(x + 81) = 0.
Nghiệm dương của phương trình là X = 16.
Từ đó BC = 32cm, AH - 9cm.

SaBC =— .32.9 = 144(cm2).
vỉ dụ 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Độ dài các cung AB,
BC, CA theo thứ tự bằng 37T,4n,5n. Tính diện tích tam giác ABC.

Giải
Gọi R là bán kính cùa đường tròn (0).
Ta có 2nR - 3n + 4n + 5rt nên R = 6.
Số đo cùa các góc AOB, BOC, COA
tỉ lệ với 3, 4, 5 nên
ẤÔB BÓC _ CÕẦ _ ẤÕB+BÕC+CÔẦ
3
4 ~ 5 _
3+4+5

360°
12

Suy ra AO B = 90°, BOC = 120°, CO A = 150°.

Ta có: SAOB =-OA.OB = ị.6.6 = 18. Đe chứng minh: nếu một tam giác
AOB
2
2
có hai cạnh bàng a, b và góc tạo bởi hai cạnh này là góc tù a thì diện tích

lam giác bằng -^absin(180° -a).
2
Do đó: SBOC = ị R2 sin 60° = ị ,62. ệ = 9Vã
BOC
2
2
2
19

Scoa = ị R2 sin 30° = ị.62.ị = 9.Vậy SAB(. = 18 + 9^3 + 9 = 27 + 9a/t
Diện tích s cùa hình tròn bán kính R được tính theo công thức s - nR2.
Vi dụ 5. Cho tam giác đều có tâm o, cạnh 3cm. Vẽ đường tròn tâm o bán
kính lem. Tính diện tích phần tam giác nam ngoài hình tròn.

Giải

A

Gọi AH là đường cao của tam giác đều ABC, ta có:
AH

ATT _ 3V3

5/3 ,

.

AH = —T—,OH =-—- = -37-(cm).
2
3
2
Xét A OHD vuông tại H, ta có:
HD2 =OD2 -OH2 = l-- = -=x>HD = ịcm.
4 4
2
Suy ra CD = lem. Tương tự CE = lem.

0Ỉ

H '

B

Tứ giác ODCE là hình thoi cạnh lem, DCE - 60°.
Do đó: S0DCE = ^^—.2 = ^p-(cm2). Diện tích hình quạt ODE bằng
4
71

2

7Ĩ

(cm2). Diện tích “tam giác cong” CED (phần gạch sọc giíi hạn
6
6
bời các đoạn thẳng CD, CE và cung DE) bằng^p=ỉ(3a/3 - n)(cm2)
2
6 6

=

Diện tích phải tìm bằng: -|(3a/3 -n).3 = ^(3^3 -n)(cm2).
6
2
Ví dụ 6: Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 1. Trên cạnh AC lấy các điểm

D, E sao cho ABD = CBE = 20°. Gọi M là trung điểm của BE va N là
điểm trên cạnh BC sao BN = BM. Tính tổng diện tích hai tam giác BCE

và tam giác BEN.

Giải
Kẻ BI _L AC => I là trung điểm AC.
Ta có: ABD = CBE = 20° => DBE = 20° (1); A ADB = A CEB (g-c-g)
=> BD = BE => A BDE cân tại B
=> I là trung điểm DE

mà BM = BN và MBN = 20°
=> A BMN và A BDE đồng dạng.
=>

BMN

SBED

_ (——)2 = — => Sbne = 2Sbmn = Sbie
BE

4

I
E

Vậy Sbce + Sbne = Sbce + Sbie = Sbic
= Ịq
=
2 ABC ■ 8 ■
•/3 £

20

M

N


Ví dụ 7: Gọi o là trung diêm cùa đoạn tháng AB = 2R. Vẽ vê một phía cúa
AB các nứa dường tròn có đường kính theo thứ tự là OA, OB, AB. Vẽ
dường tròn tâm I tiếp xúc ba nứa dường tròn trên.
a. l ính bán kính cúa dường tròn (I).
I). Tính diện tích phan hình tròn lớn nam ngoài hình tròn tâm I và nam
ngoài hai nưa hình tròn nhó.

Giải
a. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của OA, OB. Gọi X là bán kính cùa (I).
Xét A ION vuông, ta có:

1O2 + ON2 = IN2
=i>(R-x)2+A2=(^ + x)2

=> R(R - 3x) = 0 => R = 3x => X = ^.

b Đáp số: —-rtR2.
1
36
Vi dụ 8: Cho hai đường tròn đồng tâm, đường tròn nhỏ chia hình tròn lớn
thành hai phần có diện tích bàng nhau. Chứng minh rằng diện tích phần
hình vành khăn giới hạn bới hai tiếp tuyến song song của đường tròn nhỏ
bằng diện tích hình vuông nội tiếp đường tròn nhỏ.

Giải
Gọi R, r theo thứ tự là bán kính của hai đường tròn (R > r).
A
Ta có nR2 - 2nr2 => R = rự2 => AOHC vuông cân.

Diện tích hình vành khăn bang
Diện tích phần gạch sọc của hình vành
khăn và diện tích hình vuông đều bang R2
(bạn đọc tự giải).
Ví dụ 9: Cho đa giác đều n cạnh độ dài mỗi cạnh bằng a. Vẽ các đường tròn
ngoại tiếp và nội tiếp đa giác.
a. Tính diện tích hình vành khăn giới hạn bời hai đường tròn.
b. Tính chiều rộng của hình vành khăn đó.

Giải
Gọi AB là cạnh của đa giác đều.
’
,
na2
a. Diện tích hình vành khăn băng -Ị-

b. Chiều rộng hình vành khăn bằng:
HI = AH.taníÁH.
Đáp,SÔ: 37tan——.
. Ểỵ ỉ 2
n
21

Vi dụ 10: Một hình quạt có chu vi bang 28cm và diện tích bàng 49cm (chu
vi hình quạt bằng độ dài cung hình quạt cộng với hai lần bán kính), rinh
bán kính của hình quạt.

Giải

Giả sử hình quạt đã cho có bán kính R, độ dài cung là m, diện tích s.
Tacó ^ = s = 49 nên mR=98. (1)

Ta lại có m + 2R = 28 nên m - 28 - 2R.
Thay vào (1) được (28-2R).R = 98 => (R - 7)'2 = 0 => R = 7(cm).
Vi dụ 11: Cho ba đường tròn cùng có bán kính r và tiếp xúc ngoài đôi một.
a. Tính diện tích “tam giác cong” có đỉnh là các tiếp điểm cùa hai trong ba
đường tròn đó.
b. Kẻ ba đường thẳng, mồi đường thẳng tiếp xúc với hai đường tròn và
không giao với đường tròn thứ ba. Tính diện tích tam giác tạo bởi ba
đường thẳng đó.

Giải
a. Diện tích tam giác cong GHI bằng hiệu của SDEF(bằng r2V3 ) và diện tích
„
í 7ir2 ,
ba hình quạt bán kính r, sô đo cung 60° (băng 3.-^-).
6
b. Ta có BM = NC = rựã; MN = 2r nên BC - 2r(V3 +1)

Đáp số:

= 2r2(2V3 + 3).

Vỉ dụ 12: Cho tam giác ABC vuông tại A. AB = 15, AC = 20, đường cao
AH. Vẽ Đường tròn tâm A bán kính AH. Kẻ các tiếp tuyến BD, CE với
đường tròn (D, E là các tiếp điểm). Tính diện tích hình giới hạn bởi các
đoạn thẳng BD, BC, CE và cung DE không chứa H của đường tròn.

Giải
Dễ thấy D, A, E thẳng hàng, lần
lượt tính được BC = 25, BH = 9,
HC=16, AH = 12.
Từ đó tính được
^ABC -1^’^BDEC -300.

số: .300 + 72n.


Ví dụ 13: Cho tam giác đều AB có cạnh bàng 2a. Gọi (I) là đường tròn nội
tiẻp tam giác. Tính diện tích phần chung cùa hình tròn (I) và hình tròn
tâm A bán kính a.
Giải
Điện tích s phái tìm (phần gạch sọc trên hình bên) bang tổng diện tích
cùa hai hình viên phân (s = Sj + S2).
Hình viên phân bán kính AD = AE

a, cung 60° có diện tích

s = -7-(2rt - 373).
12
Hình viên phân bán kính
cung 120°có diện tích:

IE =

II)

S, = ^(4n-373).
2 36
, a2
rĐáp sô: Y^(5n-6\/3).
Vi dụ 14: Cho hình vuông ABCD cạnh a, vẽ đường tròn (c) đường kính AB,
o là tâm đường tròn (c). Từ c vẽ tiếp tuyến CT với đường tròn (c) khác
CB, gọi T là tiếp điểm, gọi E là giao điếm của AD và OT

a. Đặt DE = X tính theo a, X các cạnh cùa tam giác OAE, sau đó tính X theo a
b. Tính theo a diện tích tam giác OCE và đường cao EH xuất phát từ E của
tam giác đó.

Giải
Cho hình vuông ABCD cạnh a, vẽ đường tròn (c) đường kính AB, o là
tâm đường tròn (c). Từ c vẽ tiếp tuyến CT với đường tròn (c) khác CB,
gọi T là tiếp điểm, gọi E là giao điểm của AD và OT
a. Đặt DE = X tính theo a, X các cạnh cùa tam giác OAE, sau đó tính X theo a
Ta có. ADCE=ATCE (EC chung,CT = CD = BC)
B
c
=> ET = ED = X.

=> OA = ậ; AE = a - x;OE = OT + TE = ị + X
2
2
Ap dụng định lí Pi-ta-go trong tam giác

vuông AOE: OE2 = OA2 + AE2
<=> (ọ + x)2 =
Zj

a2

+
b

Zu

a2

a

-— + X2 + ax - —— + a 2 + X2 - 2ax <=> 3ax = a2 <=> X = -9(a * 0)
4
4
3

23


b. Tính theo a diện tích tam giác OCE và đường cao EH xuất phát từ E cùa
tam giác đó.
,a . ..X
,
Sa0CE=£^g=X^°a<a:2x>°

, 2a\
3 =^(khix4>

A0CE
2
2
4
4
12
Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông BOC:

3

oc2 = OB2 + BC2 =— + a2 = — o oc =
4
4
2
q
EH.OC
„„ _ 2Sa0CE _ 5a2 aVs _ V5a
AOCE
2
- OC ”12
2 ” 3
Q

- 5a2 .Ị?u _ a''/s

Saoce- 12 ;EH- —•

Bài tập vận dụng
1. Tam giác ABC có đường trung tuyến AM bằng cạnh AC. Tính tanB : tanC.
_
x
1
cosa + sina
2. Cho tana = -T. Tính —-—-—-—.
2
cos a - sin a

3. Cho hình vuông ABCD. Tính cos MAN biết rằng M, N theo thứ tự là
trung điểm của BC, CD.
4. Cho tam giác ABC vuông tại A. Các điểm D, E thuộc cạnh BC sao cho
BD = DE = EC. Biết AD 10cm, AE = 15cm. Tính độ dài BC.

5. Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) có AB = 8cni.
AC = 15cm, đường cao AH = 5cm (điểm H nằm trên cạiih BC). Tính bán
kính của đường tròn.
6. Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 12cm. Một đường thẳng đi qua
A cắt đường tròn (O) ở M và cắt tiếp tuyến của đường tròn tại B ờ N. Gọi
I là trung điểm của MN. Tính độ dài AM. Biết rằng AI = 13 cm.
7. Cho đường tròn tâm o bán kính R, các đường kính AB và CD vuông góc
với nhau. Gọi I là trung điểm của OB. Tia CI cắt đường tròn Ở E, EA cắt
CD ở K. Tính độ• dài DK.
8. Các đường cao BH, CK của tam giác ABC cắt đường tròn ngoại tiếp theo
thứ tự ở D, E. Tính số đo góc A biết ràng DE là đường kính của đường
tròn.
9. Tính số đo góc A của tam giác ABC biết rằng khoảng cách từ A đến trực
tâm của tam giác bằng bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác
10. Dùng bàng lượng giác hoặc máy tính bỏ túi. Hãy tính:

a. Clũêĩi cao ứng với cạnh 40cm của một tam giác, biết góc kề với cạnh
.
40° và 50°.


b. Góc tạo bởi dường cao và dường trung tuyến kè từ một đinh cúa tam
giác, biết các góc ớ hai đinh kia bàng 60° và 80°.

11. Tam giác ABC có Â = 105", B = 45", BC = 4cm. Tính các độ dài
ABAC.
12. Tam giác ABC cóÂ = 60", AB = 28cm, AC = 35cm. Tính độ dài BC.
13. Cho một hình vuông có cạnh Idm. Người ta cắt đi ớ mồi góc cùa hình
vuông một tam giác vuông cân đế dược một bát giác đều. Tính tống diện
tích của bốn tam giác vuông cân bị cắt đi.
14. Tam giác đều ABC có cạnh 60cm. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho
BD = 20cm. Đường trung trực cùa AD cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự ớ
E, 1’. Tính độ dài các cạnh cùa tam giác DEF.
15. Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b. Đường phân giác AD, đường
trung tuyến AM. Đường thắng đối xứng với AM qua AD cắt BC Ở N.
Tính ti số BN : NC.
16. Tính diện tích bát giác đều cạnh a.
17. Cha đa giác đều 20 cạnh Aj A2...A20 nội tiếp đường tròn (O; R). Gọi M là
mộ: điểm bất kì thuộc đường tròn. Tính tổng MAj + MA2 +... + MA20.

18. Cho tam giác đều ABC và hình vuông ADEG cùng nội tiếp đường tròn
(O: R). Tính diện tích phan chung của tam giác và hình vuông.
19. Cho đường tròn (O), cung AB bàng 60°. Vẽ cung OB có tâm A bán kính
R. Vẽ cung OA có tâm B bán kính R. Chứng minh ràng diện tích hình
giói hạn các cung OA, OB, AB nhỏ hơn diện tích hình tròn (O, R)
20. Cho trường tròn (O; R). Một đưòng tròn (O') cắt đường tròn (O) ở A và

B sao cho cung AB cúa đường tròn (O') chia hình tròn (O) thành hai phần
có điện tích bang nhau. Chứng minh rằng độ dài cung AB cùa đường tròn
(OI lớn hơn 2R.
21. Cho tam giác ABC có diện tích s. Gọi S| là diện tích hình tròn ngoại tiếp
tani giác. Sỉ là diện tích hình tròn nội tiếp tam giác. Chứng minh rằng:
2S22. Cho hình viên phân BC có dây BC = a, cung BC = 90°.
a. "ính diện tích hình viên phân.
b. Tính diện tích hình vuông DEGH nội tiếp trong viên phân đó (D và E
thrộc BC, G và H thuộc cung BC).
23. Tnh bán kính của hình viên phân BC có dây BC = 6cm, cạnh của hình
vuóng MNPO nội tiếp viên phân ấy bằng 2cm (M và N thuộc BC, p và Q
thrộc cung BC).
24. Tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O), đồng thời nội tiếp một đường
tròi khác, AB = 14 cm, BC = 18 cm, CD = 26 cm. Gọi H là tiếp điểm của
CP và đường tròn (O). Tính các độ dài HC, HD.

ÍỆ

25