Một số phương pháp giải toán hình học không gian ở trường THPT

                                                1.  MỤC LỤC

 ­ Đôi t
́ ượng nghiên cứu…………………..........………....…………………  
1
­ Muc đich nghiên c
̣ ́
ứu …………………………................………………… 1
­ Đôi t
́ ượng nghiên cứu……………………………….….................……….. 
1
­Phương phap nghiên c
́
ứu…………………………………..................…….. 1
                                                2. NÔI DUNG
̣
                                                  2  
2.1. Cơ sở li luân..………………………………………...............………..    2
́ ̣
2.1.1. Vai net vê s
̀ ́ ̀ ự hinh thanh vec t
̀
̀
ơ va toa đô……................…………..     2
̀ ̣
̣
2.1.2. Căn cư vao ban chât hinh hoc……………………...............………      2
́ ̀ ̉
́ ̀
̣
2.2. Thực trang vân đê tr

̣
́ ̀ ước khi ap dung sang kiên kinh nghiêm ..............    3
́ ̣
́
́
̣
2.3. Thực hanh giai môt sô dang bai toan hinh hoc không gian ...................   3
̀
̉
̣ ́ ̣
̀ ́ ̀
̣
                    thông qua 3 phương phap giai khac nhau.
́
̉
́
2.3.1. Cac bai toan vê tinh thăng hang………………...............……………   3
́ ̀ ́ ̀ ́
̉
̀
2.3.2. Cac bai toan vê quan hê song song………………..............…………   6
́ ̀ ́ ̀
̣
2.3.3.Cac bai toan vê quan hê vuông goc………..............………………      10
́ ̀ ́ ̀
̣
́
2.3.4. Cac bai toan vê tinh khoang cach……………….............…….....…    13
́ ̀ ́ ̀ ́
̉

́
2.3.5. Cac bai toan vê tinh goc………………............……………....……    16
́ ̀ ́ ̀ ́
́
2.4.  Thực nghiêm s
̣ ư pham…………………………………….........….....   
̣
18
                                3. KÊT LUÂN VA KIÊN NGHI
́
̣
̀
́
̣                                  20
Tai liêu tham khao 
̀ ̣
̉
Phu luc
̣ ̣

1


1. MỞ ĐẦU
   ­LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

   Việc tổ chức dạy học các kiến thức hình học bằng các phương pháp khác  
nhau nhăm tao ra cho hoc sinh tinh linh hoat, đa dang khi tiêp cân môt bai
̀
̣

̣
́
̣
̣
́ ̣
̣
̀ 
toan hinh hoc.
́ ̀
̣
           Thực trạng hiện nay, tại trường THPT việc học hình học với một bộ 
phận học sinh là điều miễn cưỡng, môn hình chỉ đưa lại say mê với số ít học 
sinh khá và giỏi thì việc tạo ra cho các em hứng thú trong học hình bằng các 
cách tiếp cận  đối với một bài toán bằng các phương pháp khác nhau  là một 
việc nên làm. Điều đó sẽ góp phần làm cho các em nắm vững kiến thức hình 
học,hiểu được bản chất các đối tượng hình học trong chương trình phỏ 
thông.
    Hình học không gian chiếm một vị  trí quan trọng trong chương trình toán 
cấp THPT, do vậy việc tìm kiếm các con đường tổ  chức dạy học cho phần 
hình học không gian luôn được nhiều người quan tâm. Đặc biệt, hiện nay với 
những tiện ích do việc sử dụng phương tiện dạy học hiện đại đưa lại, giáo 
viên có thể trình chiếu và nhanh chóng phân tích, so sánh những phương pháp 
giải khác nhau cho một bài toán cụ thể trong một đơn vị thời gian nhất định, 
cách làm này đã tạo được ấn tượng rất tốt và thực sự có hiệu quả đối với học 
sinh.
Vi vây tôi chon đê tai:
̀ ̣
̣
̀ ̀
       ‘’ Môt sô ph

̣ ́ ương phap giai toán hình h
́
̉
ọc không gian ở trường THPT’’ 
­ MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
    Mục đích nghiên cứu của đề  tài là xây dựng hệ  thống các dạng bài tập  
hình học không gian giải bằng các phương pháp khác nhau từ đo giup cho
́ ́
 
hoc sinh tiêp cân hinh hoc va giai toan hinh hoc môt cach dê h
̣
́ ̣
̀
̣
̀ ̉
́ ̀
̣
̣ ́
̃ ơn.
­ĐÔI T
́ ƯỢNG NGHIÊN CƯU
́

2


     Xây dựng cơ sở lý luận và thực tiễn của việc rèn luyện năng lực chuyển đổi  
của ba phương pháp.
    Xây dựng hệ thống các dạng bài tập hình học không gian giải bằng các 
phương pháp khác nhau.

­PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
    Nghiên cứu các tài liệu về phương pháp giảng dạy toán, sách giáo khoa, 
sách giáo viên về  chương trình hình học  ở  cấp THPT; Điêu tra tim hiêu,
̀
̀
̉  
khao sat th
̉
́ ực tê va thu thâp thông tin.
́ ̀
̣
    Tìm hiểu về  việc dạy và học hình học  ở  trường THPT Ham Rông theo
̀
̀
 
các chủ đề: hình học tổng hợp,vec tơ và toạ độ.
Đôi chiêu kêt qua kiêm tra 
́
́ ́
̉ ̉
ở 2 lơp thuôc khôi 12 tr
́
̣
́
ường THPT Ham Rông
̀
̀
                                            2. NỘI DUNG
2.1. CƠ SỞ LI LUÂN
́

̣
 2.1.1 Vài nét về sự hình thành kiến thức vec tơ và toạ độ.
  Phương pháp toạ độ  đã có nguồn gốc trong lịch sử cổ đại. Các nhà thiên 
văn học Hy lạp(Hippocrates thế kỷ II­TCN,Ptolemaeus thế kỷ II ) đã dùng 
các toạ  độ  cầu (vĩ độ  và kinh độ)để  xác định các điểm khác nhau trên trái 
đất, tuy nhiên sự phát triển của phương pháp toán học này đã bị kìm hãm do 
chưa có ký hiệu bằng chữ  và quan niệm tổng quát về số.
  Việc không có những phương pháp toán học tổng quát để giải các bài toán  
và chứng minh một số  định lý hình học là một hạn chế  rất lớn của hình 
học sơ  cấp.Trong vật lý, cơ  học, kỹ  thuật ... người ta thấy hạn chế  này 
một cách sâu sắc khi gặp những đường, những mặt phức tạp như  đường 
Parabol,   đường   hypecbol,   đường   elip...,  mặt   Paraboloit,   mặt 
Hypecboloit,....Cho   đến   thế   kỷ   XVII,   nhà   toán   học   Đêcac(R.Descartes)
(1596­1650) đã sáng lập ra môn hình học giải tích một cách độc lập với  
Phecma(P.Fermat)(1601­1665).   Hai   ông   đã   cống   hiến   cho   khoa   học   một 
phương pháp mới – phương pháp toạ  độ  làm cơ  sở cho hình học giải tích, 
môn học đã dùng hệ  toạ  độ  để  chuyển những hình  ảnh của hình học về 
ngôn ngữ của đại số.
   Có thể nói, sự ra đời của khái niệm toạ độ và sau đó là khái niệm vec tơ 
đã góp phần thúc đẩy sự phát triển của lý thuyết toán học  và sự ứng dụng 
của toán học vào thực tế đời sống.
  2.1.2 Căn cứ vào bản chất toán học của kiến thức hình học.
3


   Một nội dung,một khái niệm toán học có thể diễn đạt theo ngôn ngữ,ký  
hiệu khác nhau.Chẳng hạn:
  + Khái niệm: “M là trung điểm của đoạn thẳng AB”
                         
                         

M AB
          (theo ngôn ngữ tổng hợp)
MA = MB
MA MB 0        ( theo ngôn ngữ vec tơ)

x A + xB
2
y +y
                          � yM = A B     (theo ngôn ngữ toạ độ)
2
z +z
zM = A B
2
xM =

   + Khái niệm: “đường thẳng AB”
                         

M / AM
�

t AB, t

                          � �M ( x; y; z ) /
�

R.                ( theo ngôn ngữ vec tơ)

x − xA

y − yA
z − zA �
=
=
� (theo ngôn ngữ toạ độ)
xB − x A y B − y A z B − z A

   Như vậy,một khái niệm toán học có thể có những vỏ ngôn ngữ khác nhau 
và ta có thể dựa vào mỗi cách diễn đạt theo các ngôn ngữ khác nhau ấy mà  
định hướng để  tìm ra các phương pháp khác nhau để  giải quyết bài toán 
hình học.  Chẳng hạn,dựa vào cách diễn đạt khái niệm:”Hai mặt phẳng  
vuông góc với nhau trong không gian” ta sẽ  định hướng cách chứng minh 
hai mặt phẳng vuông góc:
   1/ Theo ngôn ngữ tổng hợp: Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với 
nhau,ta chứng minh góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 900.
    2/ Theo ngôn ngữ  vec tơ: Để  chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với 
nhau,ta chứng minh tích vô hướng  (qua phép biến đổi) của hai vec tơ pháp 
tuyến của hai mặt phẳng bằng 0.
  3/ Theo ngôn ngữ toạ độ:Để chứng minh hai mặt phẳng A1x + B1y + C1z + 
D1 = 0 và A2x + B2y + C+C2z + D2 = 0 vuông góc với nhau, ta chứng minh 
biểu thức toạ  độ  của tích vô hướng hai vec tơ  pháp tuyến của hai mặt 
phẳng bằng 0.
                                          A1.A2 + B1.B2 + C1.C2  = 0
 2.2  THỰC TRANG VÂN ĐÊ TR
̣
́
̀ ƯỚC KHI AP DUNG SANG KIÊN KINH NGHIÊM
́
̣
́

́
̣

4


  Trươc khi ap dung sang kiên kinh nghiêm tôi nhân thây viêc hoc sinh THPT
́ ̣
́
́
̣
̣
́
̣
̣
 
(     cu thê hoc sinh cac l
̣
̉ ̣
́ ơp 12) khi giai môt bai toan hinh hoc không gian
́
̉
̣
̀
́ ̀
̣
 
thương rât lung tung, lam bai rât châm,
̀
́ ́

́
̀
̀ ́
̣  cac đôi t
́ ́ ượng hoc sinh trung binh tr
̣
̀
ở 
xuông th
́
ường không lam đ
̀ ược cac bai hinh.
́ ̀ ̀        
  2.3.  THỰC   HÀNH   GIẢI   MỘT   SỐ   BÀI   TOÁN   HÌNH   HỌC   KHÔNG   GIAN  
THÔNG QUA VIỆC KHAI THÁC CÁC PHƯƠNG PHÁP KHÁC NHAU.
 2.3.1.  CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH THẲNG HÀNG

   Dạng toán 1: Chứng minh ba điểm thẳng hàng
* Phương pháp tổng hợp: Để chứng minh ba điểm A,B,C thẳng hàng ta có 
thể sử dụng một trong các hướng sau:
  + Chứng minh A,B,C cùng thuộc hai mặt phẳng khác nhau nào đó
  + Chứng minh AB và AC cùng song song với một đường thẳng nào đó...
* Phương  pháp vec tơ
  + Chứng minh  AC t. AB (t R)
  + Chứng minh với điểm O tuỳ ý có:  OC t.OB (1 t ).OA (t 1)
  + Chứng minh với điểm O tuỳ ý có:  OC t.OB l.OA (t l 1)
* Phương pháp toạ độ    Chọn hệ trục toạ độ Oxyz
+ Biểu thị  toạ  độ  A,B,C  theo hệ  toạ  độ  đã chọn:  A(xA;yA;zA), B(xB;yB;zB) 
,C(xC;yC;zC)
+ Tính toạ độ của  AB( x B

xA , yB

yA , zB

z A ) ,  AC ( x C

xC

xA

t.( x B

xA

+ Chỉ ra sự tồn tại  t R  sao cho  y C

yA

t.( y B

yA )

zC

zA

t.( z B

x A , yC

y A , zC

zA)

zA)

Hoặc thay toạ độ  cuả  điểm C vào phương trình đường thẳng AB thấy thoả 
mãn
Ví dụ  1:Cho hình hộp chữ  nhật  ABCD.A1B1C1D1.  Gọi  G  là trọng tâm tam 
giác 
A1BD. Chứng minh rằng A,G,C1 thẳng hàng.
Lời giải
* Phương pháp tổng hợp:   Chứng minh A,G,C1  cùng thuộc hai mặt phẳng  
khác nhau.

5


Ta có:  G A1O ( ACC1 A1 ) nên  G ( ACC1 A1 ) .
Vậy  A, G, C1 ( ACC1 A1 ) .
Mặt khác  G DI ( ADC1 B1 ) nên
G ( ADC1 B1 ) .
Vậy  A, G, C1 ( ADC1 B1 ) .
Từ trên suy ra ba điểm A,G,C1  thẳng hang
̀

A

D

O
B
C

G
I

A1

D1

B1

C1

Phương pháp vec tơ. Quy trình giải bài toán gồm:
+ Bước 1: Chọn hệ vec tơ gốc,biểu diễn các dữ kiện của bài toán sang ngôn ngữ vec 
tơ:
    ­ Chọn hệ vec tơ gốc  AA1 , A1 B1 , A1 D1 .Theo bài ra, G là trọng tâm tam giác 
A1BD nên  A1G

2
. A1O
3

.

    ­  Để chứng minh rằng A,G,C1 thẳng hàng, ta chứng minh   A1G t.AC1
+ Bước 2: Biến đổi các biểu thức vec tơ phù hợp với yêu cầu bài toán.

Ta có:  AC1

AA1

     = AA1

1
.( A1 B
3

A1C1

A1 A

A1 B1

1
A1 D) =  .( A1 A
3

A1 D1 ,  AG
A1 B1

A1 D1 )

AA1

A1G

A1 A

2
. A1O
3

1
. AC1
3

+ Bước 3: Chuyển kết luận ra ngôn ngữ hình học tổng hợp
   Như vậy,ta có: A1G

2
. A1O
3

hay A,G,C1 thẳng hàng.

* Phương pháp toạ độ: Quy trình giải bài toán gồm:
 

+ Bước 1: Chọn hệ  toạ  độ,chuyễn các dữ 
kiện bài toán sang ngôn ngữ toạ độ
Chọn hệ  trục toạ  độ  Oxyz  sao cho:  O A1 , 
D1 Ox , B1 Oy , A Oz .Khi   đó   ta   có: 
A1(0;0;0),D1(a;0;0),B1(0;b;0),A(0;0;c),
B(0;b;c),D(a;0;c),C1(a;b;0).Vì  G  là   trọng 
tâm tam giác nên: G = 

z

A

B
C
G
I

c
)
3

1
(a; b; c)
3

y

1
AC1
3

+ Bước 3: Chuyển kết luận ra ngôn ngữ hình học tổng hợp

6

D1

B1

+ Bước 2: Biến đổi các biểu thức toạ độ.

a b
3 3

x

A1

a b c
; ; .
3 3 3

Ta có:  AC1 (a; b; c) , AG ( ; ;

D

O

C1


AG

1
. AC1
3

 hay A,G,C1 thẳng hàng.

Dạng toán 2:Cho ba điểm A,B,C thẳng hàng, từ đó suy ra các tính chất khác.
Ví dụ  2: Cho hình hộp chữ  nhật  ABCD.A1B1C1D1.  P  là điểm trên đường 

thẳng 
CC1 sao cho  CP
trên 

3
.CC1 , M là một điểm trên đường thẳng  AD, N là điểm 
2

đường thẳng BD1 sao cho M,N,P thẳng hàng.Tính 

MD
.
MA

Lời giải:
MP; BD1 MD1  
Phương pháp tổng hợp: Ta có: ADD1 A1
BCC1 B1
MP; BD1 BP .Vì   ADD1 A1 // BCC1 B1  nên MD1// BP, 
do đó  MD1D=.....suy ra  MD1 D ... BPC ,vậy nên 
  từ đó 

MD
MA

MD
2
 hay 
AD
3

P

D1

C1

A1

c

B1

3
3
.CC1
.b .Vì 
2
2
D,M,A thẳng hàng nên:  DM x.DA x.a .

N

Theo   giả   thiết,ta   có:   CP

D

  Vì M,N,P thẳng hàng nên:     
A
B

           CN .CM (1 ).CP .
    Vì B,N,D1 thẳng hàng nên: 
    CN
.CD1 (1
).CB
+ Bước 2: Biến đổi các biểu thức vec tơ phù hợp với yêu cầu bài toán.
Tacó:  CN

.(CD

DM ) (1

).CP

.(c

                                                           
Lại   có CN

2
 
3

2.

* Phương pháp vec tơ. Quy trình giải bài  
toán gồm:           
+ Bước 1: Chọn hệ vec tơ gốc, biểu diễn  
các dữ kiện của bài toán sang ngôn ngữ vec  
tơ: Chọn hệ  vec tơ  gốc :   CB a , CC1 b ,

CD

DD1
CP

MD
DC

.(CC1

CD) (1

.x.a

x.a ) (1

.(b

).CB

(2)

7

(1

3
). .b   (1)
2

3
). .b
2

c) (1

C

.c .

3
). a
2

(1

).a

.b

.c


.x 1

Từ   (1)   và   (2)suy   ra:
DM

2
.DA

3

MD
MA

3
.(1
2

)

3
;x
5

 

2
.Vậy 
3

2.

Phương pháp toạ độ: Quy trình giải bài toán gồm:
+ Bước 1: Chọn hệ toạ độ,chuyên các d
̉
ữ kiện bài toán sang ngôn ngữ toạ  
độ
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho: C O ,  B Ox , D Oy , C1 Oz .
Khi đó: C(0;0;0), B(a;0;0), D(0;b;0),C1(0;0;c) ,D1(0;b;c), D  0;0;

3c
.
2

+ Bước 2: Biến đổi các biểu thức toạ độ.
Mặt phẳng (BD1P) (chứa N) đi qua B(a;0;0) 
có vec tơ chỉ phương là 
BP

( a;0;

z
P

3c
) và  BD1 ( a; b; c)
2

D1

nên có phương trình:  3bcx+acy+2abz­3abc =  0 
(3)    
x a.t
Đường thẳng AD có phương trình:  y b    (4)
z 0

 do đó M có toạ độ là nghiệm của hệ (3) 
và (4) nên M=

2a
; b;0 ,từ đó có  DM
3

2a
;0;0 , MA
3

C1

A1

B1
N

y

D
M

C

C
1

A

B

M

a
;0;0  
3

x

DM

2 MA .

+ Bước 3:  Chuyển kết luận ra ngôn ngữ  hình học tổng hợp   DM
MD
MA

2MA

2.

 2.3.2 CÁC BÀI TOÁN VỀ QUAN  HỆ SONG SONG.
Dạng toán 1:  Chứng minh đường thẳng song song với đường thẳng,  
đường thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song.
Phương pháp tổng hợp:
   + Để  chứng minh hai đường thẳng  a  và  b  song song với nhau,ta chứng 
minh chúng đồng phẳng rồi áp dụng các cách chứng minh trong hình học 
phẳng như:  tính chất   đường trung bình,  định lý Talet  đảo...hoặc chứng 
minh hai đường thẳng đó cùng song song với một đường thẳng thứ ba,...
  + Để chứng minh a//(P) ta chứng minh a//b với b (P)

8

  + Để chứng minh hai mặt phẳng song song với nhau, ta chứng minh mặt  
phẳng này chứa hai đường thẳg cắt nhau cùng song song với mặt phẳng  
kia,...
Phương pháp vec tơ, phương pháp toạ độ
   Khi giải bài toán dạng này, ta có thể  tiến hành:Chuyển các dữ  kiện của  
bài toán ra ngôn ngữ vec tơ hoặc toạ độ,sau đó biến đổi các đẳng thức vec 
tơ  (hoặc toạ  độ) thu được về  dạng các đẳng thức vec tơ  ( hoặc toạ  độ) 
tương đương với các điều kiện song song.
Ví dụ3:  Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1. M là điểm chia đoạn AD 
theo tỉ  số  

1
2
, N là điểm chia đoạn A1C theo tỉ  số  
.Chứng minh: MN//
4
3

(BC1D).
Lời giải  * Phương pháp tổng hợp: 
Đặt O =  AC BD , I =  MC BD ,
J =  A1C C1O

D1
A1

JC
Ta có:  JA

1
1
CJ
.CA1
3

OC
1
 suy ra 
A1C1 2
1 5
CJ 5
. .CN  Vậy 
   (1).
3 3
CN 9
IC
CB
AD 5
Mặt khác  
IM MD MD 4

 

IC
CM

5
CJ
.Từ  (1) và (2) có:  

9
CN

C1

B1
N
J
D
M

I

A

CI
  hay MN//IJ (
CM

C
O
B

BC1 D ), do đó   MN//

(BC1D).
* Phương pháp vec tơ. Quy trình giải bài toán gồm:
+ Bước 1: Chọn hệ vec tơ gốc, biểu diễn các dữ kiện của bài toán sang ngôn  
ngữ vec tơ:
Chọn hệ vec tơ gốc :  BA a , BB1 b , BC c  M là điểm chia đoạn AD theo tỉ 

số  
A1 N
MN

1
1
2
. AD   N  là   điểm   chia   đoạn  A1C  theo   tỉ   số  
,nên AM
nên
4
3
5
2
. A1C ,   để   chứng   minh:  MN//(BC1D)   ta   sẽ   chứng   minh 
5
m.BD n.BC1

+ Bước 2: Biến đổi các biểu thức vec tơ phù hợp với yêu cầu bài toán.
Ta có:  BD a c , BC1 b c , MN BN BM = BA AA1 A1 N BA AM
2
(c a b) a
5
2
3
BD
BC1
5
5

a b

1
c
5

2
a
5

3
b
5

1
c
5

9

2
(a c)
5

3
(b c)
5


+  Bước   3:  Chuyển   kết   luận   ra   ngôn   ngữ   hình   học   tổng   hợp   MN

2
3
BD
BC1
5
5

* Phương pháp toạ độ: Quy trình giải bài toán gồm:
+ Bước 1: Chọn hệ toạ độ,chuyển các dữ kiện  
bài toán sang ngôn ngữ toạ độ.
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho: C O , 
B Ox , D Oy , C1 Oz . Giả sử ba kích thước 
của hình hộp là a,b,c, khiđó: 
A
C(0;0;0),B(a;0;0),D(0;b;0),C1(0;0;c), 
A(a;b;0),A1  a; b; c . M là điểm chia đoạn AD 

z
P

D1

B

1

theo tỉ số 

1
4a

3a 3b 3c
,nên M=( , b,0) ,N=( , , )
4
5
5 5 5

N

x
M

1

D

C

A

B

M

y

1 3 

bcx+acy+abz+abc = 0

+ Bước 2: Biến đổi các biểu thức toạ độ.

Mặt phẳng (BC1D) có phương trình là: 

x
a

y
b

z
c

Đường thẳng MN có vec tơ chi phương  MN (

a 2b 3c
,
, ).
5 5 5

+ Bước 3: Chuyển kết luận ra ngôn ngữ hình học tổng hợp
Vì  n.MN 0 nên  n MN  hay MN//(BC1D)
Dạng toán 2:Cho biết các quan hệ song song,từ đó suy ra các tính chất hình học  
khác.
Ví dụ  4: Cho hình hộp chữ  nhật  ABCD.A1B1C1D1. M  là điểm trên đường 
chéo AC của mặt phẳng (ABCD), N là điểm trên đường chéo thẳng C1D của 
MN

mặt phẳng (CDD1C1) sao cho MN//BD1. Tính  tỉ só  BD .
1

* Phương pháp tổng hợp: 

Đặt I =  BM D1 N , vì  I BM

( ABCD) và  I

DN
DI
do CD // C1 D1 ,
NC1 C1 D1
1
IM CM CI
do AB // CD  mặt 
MB MA AB
IN
IM
khác  ND MB do MN // BD1 . nên 
1
DI
CI
suy ra:  C D AB  do đó DI = CI hay 
1 1

D1 N

(CDD1C1 ) nên  I

CD

IN

Ta có:  ND

A1

D1

B1

C1

N
A

I là trung điểm của CD.

M
B

10

I
C

D


Vậy 

IM
MB

IM
1
 hay  IB
2

1
3

MN
  .
BD1

* Phương pháp vec tơ. Quy trình giải bài toán gồm:
+ Bước 1: Chọn hệ vec tơ gốc, biểu diễn các dữ kiện của bài toán sang ngôn  
ngữ vec tơ:
 Chọn hệ vec tơ gốc :  BA a , BB1 b , BC c  Theobài ra A, M, C thẳng hàng 
nên   MC x. AC ,  C1,   N,   D  thẳng   hàng   nên   C1 N y.C1 D ,   vì  MN//BD1  nên 
MN

k .BD1

+ Bước 2: Biến đổi các biểu thức vec tơ phù hợp với yêu cầu bài toán.
Tacó: MN k .(a b c) (1) AC c a , CC1 b , C1 D a b , MN MC CC1 C1 N  
x

y x k
(2) . Vì   a , b , c  đồng phẳng nên từ (1) và (2) suy ra  1 y k
x k

 Vậy  MN

y
k

1
3
2
3
1
3

1
.BD1
3

+ Bước 3: Chuyển kết luận ra ngôn ngữ hình học tổng hợp
MN

1
.BD1
3

MN
BD1

1 hay  MN = 1 .
BD1 3
3

Phương pháp toạ độ: Quy trình giải bài toán gồm:

   + Bước 1: Chọn hệ toạ độ,chuyên các d
̉
ữ kiện bài toán sang ngôn ngữ toạ  
độ
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho: A O ,  B Ox , D Oy , A1 Oz . Giả sử 
ba kích thước của hình hộp là a,b,c, khiđó: 
A(0;0;0),B(a;0;0),D1(0;b;c),C1(0;0;c),C(a;b;0),C1  a; b; c .
Vì nên M(xM;yM;0), Vì nên N=(xN;b;zN) 
+ Bước 2: Biến đổi các biểu thức toạ độ.
,,,,, .        Từ giả thiết suy ra: MN//BD1 suy 
ra 

 

z
A1
B1

C1

N
A
D
M
B
x

11

D1

C

y


xN
MN

k .BD1

b

yM

zN
N

x
y
k

C1 D

C1 N

xM

ka
kb

    (1),M AC

kc

yC1 D

1
3
2
 như vậy  MN
3
1
3

xN

a

zN

c

MC

x AC

a

xM

b

yM

xa    (2) , 
xb

y x k
    (3) . Từ (1),(2),(3) suy ra  1 y k
yc
x k
ya

1
.BD1
3

+ Bước 3: Chuyển kết luận ra ngôn ngữ hình học tổng hợp .
 2.3.3  CÁC BÀI TOÁN VỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC.
Dạng toán 1:  Chứng minh tính vuông góc của các đường thẳng và mặt  
phẳng.
Phương pháp tổng hợp:
* Để chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P), ta có thể chứng 
minh:
+ a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong (P).
+ a song song với dường thẳng b mà b  (P)
+ Sử dụng định lý:” Nếu a thuộc mặt phẳng (P) mà (P) vuông góc với (Q) 
và a vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) thì  a  (P)”
+ Sử dụng định lý:” Nếu a là giao tuyến của hai  mặt phẳng  (P) và (Q) cùng 

vuông góc với mặt phẳng (R) thì a vuông góc với mặt phẳng (R)”...
* Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau,ta có thể chứng minh :
+ Mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
+ Góc giữa hai mặt phẳng có số đo bằng 900....
Phương pháp vec tơ:
Để  chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau,ta quy về  chứng minh 
đường   thẳng   vuông   góc   với   mặt   phẳng,   để   chứng   minh   đường   thẳng  
vuông góc với mặt phẳng,ta quy về  chứng minh đường thẳng vuông góc 
với đường thẳng. Như  vậy đối với phương pháp vec tơ  ta chỉ  cần chú ý: 
AB CD AB.CD 0
Phương pháp toạ độ
+ Để chứng minh AB CD ta chứng minh:
                         (xB­xA)(xD­xC)+ (yB­yA)(yD­yC)+ (zB­zA)(zD­zC)=0
+ Để  chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ta chứng minh 
vec tơ  chỉ  phương của đưòng thẳng cùng phương với vec tơ  pháp tuyến 
của mặt phẳng.

12


+ Để chứng minh hai mặt phẳng A1x + B1y + C1z + D1 = 0 và A2x + B2y + 
C2z + D2 = 0 vuông góc với nhau, ta chứng minh  A1.A2 + B1.B2 + C1.C2  = 0
Ví dụ5: Cho hình lập phương  ABCD.A1B1C1D1. Gọi  P  là trung điểm của 
AB, Q là giao điểm của BC1 và CB1. Chứng minh rằng D1Q (PB1C).
Lời giải:
* Phương pháp tổng hợp: 
 
B
C
P

R
D
B
C
Vì   1 1   đều và  Q  là trung điểm của  B1C 
D
A

nên D1Q B1C    (1).

Q

Gọi R và S lần lượt là trung điểm của CD và 
CC1, khi đó: RC1//PB1, QS (CDD1C1) nên   
QS RC1.Mặt khác D1S RC1  nên RC1
(QSD1). Vậy  RC1 D1Q nên .  

S

B1

C1

A1

D1

D1Q PB1    (2).Từ (1) và (2) suy ra D1Q (PB1C).      
Phương pháp vec tơ. Quy trình giải bài toán gồm:
+ Bước 1: Chọn hệ vec tơ gốc, biểu diễn các dữ kiện của bài toán sang 

ngôn ngữ vec tơ: Chọn hệ vec tơ gốc  D1Q

1
( D1 B1
2

D1C )

+ Bước 2: Biến đổi các biểu thức vec tơ phù hợp với yêu cầu bài toán.
1
1
B1 B ) = .( B1 A1 2.B1 B )
a b , B1C
2
2
1
1
1
1
1
1
D1Q
( D1 B1 D1C ) = ( a
b
c a) = a
b
c
2
2
2

2
2
2
1
1
1
b
c )= 0
B1 P . D1Q = ( a b) .( a
2
2
2
1
1
b
c)  = 0
B1C . D1Q (b c) . ( a
2
2

 Ta có  B1 P

1
.( B1 A
2

B1 B

B1C1

b c

+ Bước 3: Chuyển kết luận ra ngôn ngữ hình học tổng hợp
B1 P . D1Q = 0   D1Q PB1    
B1C . D1Q  = 0   D1Q B1C .Vậy D1Q B1C 
* Phương pháp toạ độ: Quy trình giải bài toán gồm:
+  Bước  1:  Chọn  hệ  toạ  độ,chuyển  các  d  ữ 
kiện bài toán sang ngôn ngữ toạ độ.
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho: B1, . Giả  A
sử kích thước của hình lập phương là a, 
khiđó: B1(0;0;0),C1(a;0;0), P là trung điểm 
của AB nên , B(0;0;a),C(a;0;a), D1(a;a;0),
A
 A . 

z
B

C
D
Q

x

B1
C1

1

y

13

D1


a
2

a
2

Q là trung điểm của B1C nên   Q ( ;0; )     
 + Bước 2: Biến đổi các biểu thức toạ độ.
a
2

a
2

Ta có:  QD1 ( ; a; )  là vec tơ  chỉ phương của đường thẳng QD1.Mặt phẳng 
(PB1C) qua B1 nhận hai vec tơ chỉ phương là  B1 P  và  B1C  nên có vec tơ pháp 
1
2

1
a
a
)  cùng phương với  QD1 ( ; a; ) nên D1Q (PB1C).  
2

2
2

tuyến là  n ( ;1;

Dạng toán 2: Cho biết các đường thẳng hay mặt phẳng vuông góc rồi  
từ đó suy ra các tính chất hình học khác.
Ví dụ 5  Cho hình chóp S.ABCD, đáy là nửa lục giác đều.AB = B = CD = a. 
Cạnh bên SA vuông góc với đáy và  SA a 3  .M là điểm trên cạnh SB sao 
cho M khác B và  AM MD.
1)Tính tỉ số 

SM
 
SB

2)Tính diện tích thiết diện tạo bởi hình chóp và mặt phẳng (AMD)
S
Lời giải:* Phương pháp tổng hợp: 
1) Ta có: 

BD
BD

AB
 suy ra BD
SA

(SAB) và BD

AM.Mặt khác AM MD nên AM (BMD),
do đó: AM SB.khi đó: SA2­SM2 = AB2 – BM2, 
hơn nữa SM + BM =SB. Suy ra: 
SM
SM

2

2

BM
2a
BM 2a

2

SM
BM

3a
2
a
2

M

N

A

SM
SB

D

3
4

B

C

2/ Thiết diện là hình thang AMND có diện tích S được tính theo công thức: 
S

1
.(MN
2

AD).MH  

 MN là đường cao của hình thang và AD = 2a , MN
 Tính MH: Vì AM MD nên: 
a 3
 với AM = 
,  MD 2
2
11 39a 2
Vậy  S
.

64

SM

2

1
MH 2
SD

2

1
AM 2

1
MD 2

2.SM .SD. cos DSM

3
.BC
4

13a 2
4

3
a
4

MH

a 39
.
8

* Phương pháp vec tơ. Quy trình giải bài toán gồm:
+ Bước 1: Chọn hệ vec tơ gốc, biểu diễn các dữ kiện của bài toán sang ngôn 
ngữ vec tơ:
 Chọn hệ vec tơ gốc :  AB a , AD b , AS c ; a a , b 2a , c a 3  

14


Khi đó ta có:  a.b a 2 , b.c a.c 0 . AM MD  MA.MD 0    (1)
 + Bước 2: Biến đổi các biểu thức vec tơ phù hợp với yêu cầu bài toán.
1) Ta có  SM
1
( a
2
= c

.SB

( AB

1
( D1 B1
2

(a c) , D1Q

SA)

D1C ) =

1
1
1
1
b
c a) = a
b
c ( Với  0
1 , do M B);  MA SA
2
2
2
2
(a c ) MD MA AD = .a (
1)c b .

SM

 Khi đó 
(1) 

[ c

Vậy  SM

(a c ) ].[ .a

(

1)c b ] =0

4

2

7

1 (loai )
3
4

3 0

3
SB
4

Phương pháp toạ độ: Quy trình giải bài toán gồm:
+ Bước 1: Chọn hệ toạ độ, chuyên các d
̉
ữ kiện bài toán sang ngôn ngữ toạ  
độ
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho: A O , 

D Ox , S Oz , Oy ( ABCD) : Oy Oz .
a a 3
;0) .    
2 2

Khi đó: A(0;0;0),D(2a;0;0), S(0;0;a 3 ),  B ( ;

+ Bước 2: Biến đổi các biểu thức toạ độ.
Đặt M= ( x0;y0;z0) SB . Đường thẳng SB có phương trình:  
x
                      a
2

Vì  M SB nên:  
khác AM MD 
x0

ta tìm được:  y 0
z0

Vậy  SM (

y
a 3
2
y0
3x0
z0

a 3

z

a 3

a 3 .
z

2 3a

Mặt 

MA.MD 0     do đó 
3a
8
3a 3
8
a 3
4

S

N

M

x

A

D
C

B
y

3a 3a 3 3a 3
a a 3
;
;
)  ;  SB ( ;
; a 3 )  do đó  SM
8
8
4
2 2

3
SB
4

 2.3.4  CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH KHOẢNG CÁCH

Dạng toán 1: Chứng minh tính vuông góc của các đường thẳng và mặt  
phẳng.

15


Phương pháp tổng hợp:

+ khoảng cách từ  điểm M đến đường thẳng a: d(M;a) = MH ( MH a;H a
)
+ khoảng cách từ  điểm M đến mặt phẳng (P) được xác định như  sau:
- Chọn trong  (P)  một đường thẳng a rồi dựng mặt   phẳng   (Q)  qua  A 
vuông góc  với a( nên chọn a để mặt phẳng (Q) dễ xác định)
Q
- Xác định  b P
- Dựng  AH b  tại H, khi đó d(A;( P)) = AH
+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.
Ngoại trừ  trường hợp đoạn vuông góc chung có sẵn, ta phải dựng đoạn 
vuông góc chung bằng các cách sau:
Cách 1: (áp dụng cho trường hợp a b)
- Dựng mặt phẳng (P) chứa b và vuông góc với a tại A.
- Dựng AB  b tại B, khi đó: d(a;b) = AB
Cách 2: 
- Dựng mặt phẳng (P) chứa b và song song với a
- Chọn M  a , dựng  MH (P )  tại H
- Từ H dựng a///a;  a / b B
- Từ B dựng đường thẳng song song với MH cắt a tại A,khi đó d(a;b) = AB.
Phương pháp vec tơ:  đối với phươngpháp này, ta cần chú ý áp 
dụng tích vô hướng của hai vec tơ để tính khoảng cách
-

Khoảng cách giữa hai điểm A và B:  AB

AB

AB

2

Khoảng cách từ điểm M đến đuờng thẳng a: Giải theo trình tự sau: 
 Chọn A  a  và đặt  AM b .Gọi N là hình chiếu vuông góc của điểm M trên 
a,   khi   đó:   MH AH AM = x a b .   Tìm  x  nhờ   điều   kiện   vuông   góc   của 
MH , a : 
-

2

    ( x a b  ).  a 0  suy ra  MH
x a b  . 
- Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) có cặp vec tơ chi phương 
là  a , b :
Chọn  A  a   và đặt   AM m .Gọi  H  là hình chiếu vuông góc  M  trên mặt 
phẳng (P),khi đó:   MH AH AM = x a yb m .Ta tìm được các hệ  số  x,y 
nhờ  điều kiẹn vuông góc của  MH ; a ; b  từ đó suy ra khoảng cách cần tìm 
là:  MH

xa

yb m

2

.

+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b lần lượt có hai vec 
tơ chỉ phương  a , b , Giải theo trình tự sau:
- Chọn A  a  và B  b  và đặt  AB m .

16


MA x a
-

Gọi MN là đoạn vuông góc chung của a và b, khi đó: 

BN

yb

MN .a

0

MN .b 0

Biểu diễn  MN  theo các vec tơ không đồng phẳng
                           MN MA AB + BN = x a yb m . 
- Ta tìm được các hệ số  x,y nhờ điều kiên vuông góc c
̣
ủa  AB ; a ; b  từ đó 
-

suy ra khoảng cách cần tìm là:  MH

xa

yb m

2

.

* Phương pháp toạ  độ: Đối với phương pháp này, ta cần chú ý một số 
công thức:
- Khoảng   cách   giữa   hai   điểm
 A 
và   B: 
AB

-

xB

xA

2

yB

yA

2

2

zB zA
Khoảng cách từ một điểm  M ( x 0 ; y 0 ; z 0 )  đến đường thẳng  đi qua điểm 

M 1 x1 ; y1 ; z1  và có vec tơ chỉ phương  u (a; b; c) :  d ( M ; )
-

u

Khoảng cách từ điểm  M x1 ; y1 ; z1  đến mặt phẳng (P):Ax + By +Cz +D =  
0

                       d ( M ; ( P))
-

MM 1 ,u

Ax 0

By 0
A2

B2

Cz 0

D

C2

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b lần lượt đi qua hai 
điểm M, M1 có  hai vec tơ chỉ phương  a , b :   d (a; b)

a,b MM 1
a, b

 

Chú ý: ­ Việc tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau có thể quy  
về  tính khoảng cách giưã hai điểm hoặc giữa đường thẳng và mặt phẳng 
song song hoặc giữa hai mặt phẳng song song.
- Việc tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, 
giữa hai mặt phẳng song song có thể quy về tính khoảng cách từ  một  
điểm đến mặt phẳng.
Ví dụ 6:  Cho tứ diện OABC có các góc AOB=BOC=COA = 900 và OA = a,
OB = b, OC = c. Gọi D là trung điểm của OC.
1) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng BD.
2) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC).
Lời giải:
* Phương pháp tổng hợp:
1) Gọi M là hình chiếu vuông góc của A trên BD,khi đó có: OM  BD
Xét tam giác vuông AOM có: AM2 = AO2+OM2 = a2+OM2
17


Mặt khác,xét tam giác vuông OBD có:
1
OM 2

1
OB 2

d ( A; BD)

1
OD 2

1
b2

AM

a

2

4
c2

O
2

2

b .c
4b 2 c 2

OM 2

D

b 2 .c 2
4b 2 c 2

M

2) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên 
mặt phẳng  (ABC)  và   £ AH BC .Vì  OH 

C

BC và  OA   BC nên  BC (OAH) do đó 
BC AH và BC  OE

A

H

E

B

Ta
1
OH 2

 

có:
1
a2

1

1
1
1
4
 
2
2
2
2
OH
OA
OE
a
OE 2
1
1
4
 hay  d (O; ( ABC ) OH
2
2
c
b
c2

 

1
b2

với,

 

vì

vậ y  

 

abc
a 2b 2

b2c 2

c2a2

* Phương pháp vec tơ. Quy trình giải bài toán gồm:
+ Bước 1: Chọn hệ vec tơ gốc, biểu diễn các dữ kiện  sang ngôn ngữ vec  
tơ:
  Chọn   hệ   vec   tơ   gốc   :   OA a , OB b , OC c ;khi   đó   a a , b b , c c   và 
a.b b.c a.c 0 .D là trung điểm của OC nên  .OD

1
OC
2

1
c    
2

 + Bước 2: Biến đổi các biểu thức vec tơ phù hợp với yêu cầu bài toán.
1) Ta có  AM
AM

BD

BM

BA

x.BD

AM .BD 0

Vậy  d ( A; BD) AM

AM

AB

a

[ a (1 x)b
a2

x
c .Vì 
2
x
c) ]. .( c b)  = 0 

2
2

(1 x).b

x=

4b 2
4b 2

c2

b 2 .c 2
4b 2 c 2

 *Phương pháp toạ độ: Quy trình giải bài toán gồm:
+ Bước 1: Chọn hệ toạ độ,chuyên
̉  
các   dữ   kiện  bài   toán   sang   ngôn  
ngữ toạ độ
Chọn   hệ   trục   toạ   độ  Oxyz  sao 
cho:  A Ox , B Oy , C Oz .
khiđó:  O(0;0;0),A(a;0;0),B(0,b;0)  
C(0;0;c),  Vì  D  là trung điểm của 

O

D
M
C

A

c
2

OC nên D (0;0; ) .    

H
x
B

18

z


+ Bước 2: Biến đổi các biểu thức toạ độ.
1) Đặt M là hình chiếu vuông góc của A trên BD. Ta có:
  BD

0, b,

c
; BA
2

a, b,0 .Vậy 

BA, BD

d ( A; BD)

AM

b 2 .c 2
4b 2 c 2

a2

BD

2) Gọi  H  là hình chiếu  vuông góc của  O  trên mặt phẳng (ABC), mặt 

phẳng (ABC) có phương trình ( theo đoạn chắn) là: 

                  

x
a

y
b

z
1
c

  =>  d (O; ( ABC )) OH

bcx

acy

abc 0   

abz

abc
a 2b 2

b 2c 2

c2a2

 2.3.5 CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH GÓC

* Phương pháp vec tơ:
+ Góc giữa hai đường thẳng d1  và d2  lần lượt có hai vec tơ  chỉ  phương 
a1 , a 2 được xác định: cos(d 1 ; d 2 )

a1 ..a 2

cos(a1 ;a 2 )

a1 . a 2

+ Việc tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng quy về  tính góc giữa  
đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.
+ Việc tính góc giữa hai mặt phẳng quy về tính góc giữa hai đường thẳng 
tương ứng vuông góc với hai mặt phẳng đó.

* Phương pháp toạ độ:
   + Góc giữa hai vec tơ  a1 ( x1 ; y1 ; z1 ) , a 2 ( x 2 ; y 2 ; z 2 ) la  ̀
ur ur
cos(
α
1,α 2 ) =
                               

x1 x2 + y1 y2 + z1 z2

x + y12 + z12 . x22 + y22 + z22
2
1

+ Góc giữa hai đường thẳng   d1 và d2 lần lượt có hai vec tơ  chỉ  phương 
a1 , a 2 được xác định: cos(d 1 ; d 2 )

+ Góc giữa đường thẳng d: 

x

x0

a1 ..a 2

cos(a1 ;a 2 )
y

a

y0

z

b

a1 . a 2
z0

1  và mặt phẳng P): 

c

                                                                                               Ax + By +Cz +D = 0
được xác định: sin(d ; ( P))

Aa
A2

B2

Bb Cc
C 2. a2

b2

c2

+ Góc giữa hai mặt phẳng (P):A1x + B1y + C1z + D1 = 0 và (Q): A2x + B2y + 
C2z + D2 = 0 được xác định:  cos(( P); (Q))

19

A1

2

A1 A2

B1 B2

2

C1 . A2

B1

2

C1C 2
2

B2

2

C2

2

Ví dụ 7: Cho hai tia Ax1 và By1 hợp với nhau một góc 600. Đường thẳng AB 
vuông góc với cả hai Ax1 và By1. AB = a. Hai điểm M, N lần lượt nằm trên 
hai tia  Ax1  và  By1sao cho  AM = m, BN = n.  Tính cosin của góc giữa hai 
đường thẳng MN và AB theo a, m ,n
Lời giải:
Phương pháp tổng hợp:
N
Dựng At//By1 và NH//AB ( H At )Ta 
B
y
có: AB AH ,  AB AM AB (MHA)
.Mặt khác NH//AB nên  NH (MHA)
NH MH .Vì NH = AB = a,MH2 = 
A
AM2 + AH2 ­ 2.AM.AH.cos600 
H
t
1

M

2

2

2 

2 

2

2 

2

2

= m  + n  –m.n suy ra MN = MH + AH  = m + n  + a  – m.n.
Vậy  cos(MN ; AB) cos MNH

x1

a
m

2

n

2

a2

mn

* Phương pháp vec tơ. Quy trình giải bài toán gồm:
+ Bước 1: Chọn hệ vec tơ gốc, biểu diễn các dữ  kiện sang ngôn ngữ  vec  
tơ:
 Chọn hệ vec tơ gốc :  MA a , AB b , BN c ;khi đó  a m , b a , c n

 và  a.b b.c 0; a.c

1
mn .
2

+ Bước 2: Biến đổi các biểu thức vec tơ phù hợp với yêu cầu bài toán.
Ta có:  MN MA AB .BN a b c ;  AB..MN b.(a b c) a 2 ;  AB
MN

(a b c) 2

m2

n2

a2

b

a ; 

m.n

* Phương pháp toạ độ: Quy trình giải 
bài toán gồm:+ Bước 1: Chọn hệ toạ 
độ,chuyển các dữ kiện bài toán sang 
ngôn ngữ toạ độ. Chọn hệ trục toạ độ 
Oxyz sao cho:  O A , 
Ox �Ax1 , B �Oz , Oy �(Oxz ), Oy ⊥ Oz , .khiđó:

A(0;0;0),M(m;0;0),B(0,0;a),.   

y
B

N
y1

A

H
M
x1

20

t


n
2

 Bước 2: Biến đổi các biểu thức toạ độ. Ta có:  MN
AB

m2

0,0, a  suy ra  MN

n2

a2

m.n ; AB

m,

n 3
,a ,
2

a ; MN . AB

a2 .

a

Vậy  cos( MN ; AB)

2

2

m
n
a2
2.4. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

mn

2.4.1 Mục đích thực nghiệm: Nhằm đánh giá tính khả thi, kiểm tra tính 
đúng đắn của gỉả thuyết khoa học,tính hiệu quả của quy trình giải các bài 
toán bằng các phương pháp khác nhau: tổng hợp, vec tơ và toạ độ .
2.4.2 Nội dung thực nghiệm: Các tiết thực nghiệm là tiết 38­Tự chon, và
̣
 
một bài 
kiểm tra 45 phút trong chương trình lớp 12. Sau khi đã dạy cho học sinh quy  
trình giải bài toán bằng các phương pháp khác nhau, ở tiết bài tập 38, chúng  
tôi muốn kiểm tra kỹ năng vận dụng quy trình đó của các em.
2.4.3 Tổ chức thực nghiệm
 Chúng tôi tiến hành thực nghiệm tại hai lớp  của trường THPT Ham Rông,
̀
̀  
lớp thực nghiệm là 12C6 và chọn lớp đối chứng  là lớp 12C2.
  Thời gian thực nghiệm: Năm học 2015­2016
Bài kiểm tra 45 phút
Hãy giải các bài toán sau bằng các phương pháp khác nhau:
Bài 1: Cho tứ diện OABC có các tam giác AOB, BOC, COA là những tam giác 
vuông đỉnh O và OA =a, OB = b,OC = c. Tính khoảng cách từ O tới mặt phẳng 
(ABC).
Bài 2: Cho hình hộp chữ  nhật  ABCD.A1B1C1D1.  Gọi  M, N  lần lượt là các 
điểm chia hai đoạn thẳng CA và DC1 theo tỉ số 
(ABC1D1).
3.2  Kết quả thực nghiệm
Điểm
Lớp
Thực  
nghiệm
Đối  

chứng

1
. Chứng minh rằng MN//
2

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Số 
bài

0

2

1

3

12

13

11

4

1

47

2

4

11

13

9

6

2

1

0

48

Kết quả sơ bộ: + Lớp thực nghiệm tỉ lệ học sinh đạt kết quả trung bình trở 
lên là: 44( tỉ lệ khá giỏi là:55% )

21


+ Lớp đối chứng tỉ lệ học sinh đạt kết quả  trung bình trở  lên là: 22 ( tỉ  lệ 
khá giỏi là:18% )
3.3  Kết luận thực nghiệm
  + Việc dạy học cho học sinh quy trình giải các bài toán hình học không  
gian bằng các phương pháp khác nhau thông qua một số  tiết và dạng bài 
tập đã giúp cho các em thấy được các mối liên hệ giữa các chủ đề hình học  
tổng hợp, vec to và toạ độ
 + Giúp các em có kỹ năng thực sự  giả một bài toán hình theo quy trình đã  
đưa ra,
+ Việc tổ  chức dạy học tốt nhờ   ứng dụng công nghệ  thông tin,dùng các 
phương tiện dạy học hiện đại đã gây cho học sinh hứng thú học tập môn 
hình, nâng cao hiệu quả của giờ dạy.
  Như vậy, mục đích thực nghiệm đã đạt và giả thuyết khoa học của đề tài là chấp 
nhận được.
                               

 

      3. KẾT LUẬN VA KIÊN NGHI
̀
́
̣
­ Kêt luân:
́ ̣
     Qua quá trình nghiên cứu đề  tài: “Môt sô ph
̣
́ ương phap gi
́ ải toán hình 
học không gian ở trường THPT ” đã thu được một số kết quả:
  + Đề tài đã làm sáng tỏ các căn cứ lý luận và thực tiễn của việc rèn luyện  
năng lực chuyển đổi ngôn ngữ.

22


   + Đề  tài đã đưa ra quy trình giải một lớp các bài toán bằng các phương  
pháp hìmh học tổng hợp, vec tơ và toạ độ.
  +Dựa trên kinh nghiệm thực tế của giáo viên và qua kết quả thực nghiệm  
cho phép xác nhận giả  thuyết của đề  tài là chấp nhận được, có tính hiệu  
quả và mục đích nghiên cứu đã hoàn thành.
-

Kiên nghi: Đôi v
́
̣
́ ơi giao viên day hoc môn toan cân tach loc cac đôi
́
́

̣
̣
́ ̀ ́
̣
́
́ 
tượng hoc sinh đê t
̣
̉ ừ đo co ph
́ ́ ương phap day hoc phu h
́ ̣
̣
̀ ợp. Đôi v
́ ới hoc̣  
sinh  ở mưc trung binh va d
́
̀
̀ ươi trung binh thi trang bi cho cac hoc sinh
́
̀
̀
̣
́ ̣
 
phương phap hê truc toa đô hoa đê cac em co s
́ ̣ ̣ ̣
̣ ́ ̉ ́
́ ự tiêp cân dê h
́ ̣
̃ ơn.

Xác nhận của thủ  trưởng đơn        Thanh Hoá, ngày 30 tháng 3 năm 2016
vị

   Tôi xin cam đoan đây là SKKN do mình 
viết, không sao chép  nội dung của người 
khác.
                         Người viết

                    Trinh Đinh Chiên
̣
̀
́

TÀI LIỆU THAM KHẢO

23


1. Tài liệu bồi dưỡng giáo viên môn Toán­ Nhà xuất bản giáo dục.
2. Phương pháp giải toán hình học, Lê Hồng Đức – Đào Thiện Khải –
 Lê Bích Ngọc,Nhà xuất bản đại học sư phạm­Năm 2004.
3. Sách Hình học 12, Nhà xuất bản giáo dục­ Năm 2008.
4. Sách Hình học 12 Nâng cao, Nhà xuất bản giáo dục­ Năm 2008.
5. Sách Hình học 11, Nhà xuất bản giáo dục­ Năm 2007.
6. Sách Hình học  11 Nâng cao, Nhà xuất bản giáo dục­ Năm 2007.
7. Sách Giáo viên Hình học 12, Nhà xuất bản giáo dục­ Năm 2008.
8. Sách Giáo viên Hình học 12 Nâng cao, Nhà xuất bản giáo dục­ Năm 
2008.
9. Sách Giáo viên Hình học 11, Nhà xuất bản giáo dục­ Năm 2007.

10.Sách Giáo viên Hình học 11 Nâng cao, Nhà xuất bản giáo dục­ Năm 
2007.

24