Điểm bất động chung đối với các ánh xạ nửa tương thích và ánh xạ tương thích với các biến thể của nó trong không gian metric nhân

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
–––––––––––––––––––––––––––––––

MẪN THỊ BẮC

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ
NỬA TƢƠNG THÍCH VÀ ÁNH XẠ TƢƠNG THÍCH
VỚI CÁC BIẾN THỂ CỦA NÓ

TRONG KHÔNG GIAN METRIC NHÂN
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 8.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Hiến Bằng

THÁI NGUYÊN-2020


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Các tài liệu trong luận văn là trung
thực. Các kết quả chính của luận văn chưa từng được công bố trong các luận
văn Thạc sĩ của các tác giả khác.
Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện Luận văn này
đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong Luận văn đã được chỉ rõ nguồn
gốc.
Tác giả

Mẫn Thị Bắc

i


LỜI CẢM ƠN

Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Nhân dịp này
tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong
quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ
nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái
Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và
tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy
rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học
viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong
thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Tháng 04 năm 2020
Tác giả

ii


MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN

i

LỜI CẢM ƠN

ii

MỤC LỤC

iii

MỞ ĐẦU

1

1. Lý do chọn đề tài

1

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

2

3. Phương pháp nghiên cứu

2

4. Bố cục luận văn

2
3

Chƣơng 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Không gian metric nhân

3

1.2. Mối quan hệ và các tính chất của các ánh xạ tương thích và các
biến thể của nó trong không gian metric nhân

9

Chƣơng . ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ
NỬA TƢƠNG THÍCH VÀ ÁNH XẠ TƢƠNG THÍCH VỚI CÁC
BIẾN THỂ CỦA NÓ TRONG KHÔNG GIAN METRIC NHÂN

20

2.1. Điểm bất động chung đối với các ánh xạ nửa tương thích trong
không gian metric nhân

20

2.2. Điểm bất động đối với các ánh xạ tương thích và các biến thể của
nó trong không gian metric nhân

24

KẾT LUẬN

38

TÀI LIỆU THAM KHẢO

39

iii


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Như đã biết, tập các số thực dương

là không đầy đủ đối với metric

thông thường. Để khắc phục vấn đề này, năm 2008, ashirov [1] và các cộng
sự đã đưa ra khái niệm không gian metric nhân. Năm 2012, Ozavsar [8] và
Cevikel [8] đã đưa ra khái niệm về ánh xạ co nhân và chứng minh một vài định
lý về điểm bất động của các ánh xạ đó trong không gian metric nhân. Năm
2015, Kang [6] và các cộng sự đã đưa ra khái niệm về các ánh xạ tương thích
trong không gian metric nhân đồng thời đạt được một số kết quả về điểm bất
động chung đối với các ánh xạ tương thích trong không gian metric nhân. Một
hướng nghiên cứu gần như đồng thời với việc nghiên cứu đã nêu ở trên là việc
xét điểm bất động đối với ánh xạ nửa tương thích, ánh xạ tương thích yếu, ánh
xạ giao hoán và giao hoán yếu. Năm 1995, . J. Cho [2] và các cộng sự đã đưa
ra khái niệm về ánh xạ nửa tương thích trong các không gian tôpô. Năm 1996,
Jungck [5] đã đưa ra khái niệm về các ánh xạ tương thích yếu và đạt được kết
quả về điểm bất động của ánh xạ tương thích yếu trong không gian metric.
Năm 2013, Gu [3] và các cộng sự đã đưa ra định nghĩa về các ánh xạ giao hoán
và giao hoán yếu trong một không gian metric nhân và chứng minh một vài
định lý về các điểm bất động của những ánh xạ này. Năm 2016, P.Kumar, S.
Kumar, S.M. Kang [7] đã đưa ra khái niệm ánh xạ nửa tương thích trong không

gian metric nhân và thiết lập định lí điểm bất động chung đối với các ánh xạ đó.
Theo hướng nghiên cứu này, chúng tôi chọn đề tài: “Điểm bất động chung đối
với các ánh xạ nửa tương thích và ánh xạ tương thích với các biến thể của nó
trong không gian metric nhân ”.
Ý nghĩa thời sự: Đề tài có ý nghĩa thời sự, đã và đang được nhiều nhà toán học
trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu.

1


2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Mục đích của luận văn là nghiên cứu và trình bày một số kết quả về
không gian metric nhân và một số định lý về sự tồn tại điểm bất động chung
đối với các ánh xạ nửa tương thích và điểm bất động chung đối với các ánh xạ
tương thích với các biến thể của nó trong không gian metric nhân.
3. Phƣơng pháp nghiên cứu
Sử dụng phương pháp của giải tích hàm.
4. Bố cục luận văn
Nội dung đề tài được viết chủ yếu dựa trên các tài liệu [6] và [7], gồm 39
trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh
mục tài liệu tham khảo.
Chương 1: Trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản của không
gian metric nhân.
Chương 2: Là nội dung chính của đề tài, trình bày một số kết quả về
Điểm bất động chung đối với các ánh xạ nửa tương thích và ánh xạ tương thích
với các biến thể của nó trong không gian metric nhân.
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.

2

CHƢƠNG 1
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Không gian metric nhân
Đ nh ngh a 1.1.1. Cho E là một tập khác r ng. Một metric nhân là một ánh xạ

:E

E

thỏa mãn các điều kiện sau:
1 , u, v

E và (u, v)

(i)

(u, v)

(ii)

(u, v)

(v, u) , u, v

(iii)

(u, v)

(u, w)

1

u

v;

E;

(w, v) , u, v, w

E bất đ ng thức tam giác nhân .

Khi đó (E, ) được gọi là một không gian metric nhân.
Ví dụ 1.1.2. Cho
:

n

n

n

là tập hợp tất cả các bộ n số thực dương và hàm số

được xác định bởi:
u, v

ở đó u

u1, , un , v

u1
v1

n

v1, , vn

1

Khi đó,

n

,

và a

un
vn

và | . | :

khi

1

khi

1.

xác định bởi

là một không gian metric nhân.

Ví dụ 1.1.3. Cho

u, v

u2
v2

:

1 . Khi đó,

thỏa mãn

1,

(u, v)

a

u v

, với mọi

là một metric nhân và ( , ) là một không gian

metric nhân. Ta có thể gọi đó là không gian metric nhân thông thường.
Nhận

t 1.1.4. Chú ý rằng ví dụ 1.1.2 đúng với các số thực dương và ví dụ

1.1.3 đúng với mọi số thực.
Ví dụ 1.1.5. Cho (E, ) là một không gian metric. Cho

3

a

là ánh xạ xác định


trên E bởi
(u, v)
a

ở đó u, v

E và a

1 . Khi đó,

1 khi u
a khi u

u ,v

a

v,
v,

là một metric nhân và E ,

a

a

gọi là không

gian metric nhân rời rạc.
Ví dụ 1.1.6. Cho E
trên [a,b ]

C [a,b ] là tập tất cả các hàm liên tục nhân giá trị thực

. Khi đó, E ,
(x, y )

Nhận

supt

là một không gian metric nhân với

[a ,b ]

x (t )
y(t )

với x, y

E tùy ý.

t 1.1.7. Metric nhân và metric là độc lập với nhau.

Thật vậy, ánh xạ

được định nghĩa trong ví dụ 1.1.2 là một metric nhân mà

không là metric vì nó không thỏa mãn bất đ ng thức tam giác
1 1
,
3 2

1
,3
2

3
2

6

M t khác, metric thông thường trên

7.5

1
,3 .
3

9

không là metric nhân bởi vì nó không

thỏa mãn bất đ ng thức tam giác nhân
2, 3

3,6

3

4

2,6 .

Đ nh ngh a 1.1.8. Cho (E, ) là một không gian metric nhân. Khi đó
(1) dãy {un }
B (u)

n

E gọi là hội tụ nhân tới u nếu với m i hình cầu mở nhân

v | (u, v)

N tức là (un , u)

(2) dãy {un }
cho (un , um )

,

1 , tồn tại N

1 khi n

sao cho un

.

E gọi là dãy Cauchy nhân nếu mọi

với mọi n, m

B (u) với mọi

N tức là (un , um )

1 , tồn tại N
1 khi n, m

sao
.

(3) E gọi là không gian metric nhân đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy nhân đều hội
tụ nhân đến một phần tử thuộc E .

4


Chú ý 1.1.9. Tập các số thực dương
thường. Lấy E

và dãy un

là không đầy đủ theo metric thông
{1 / n} . Hiển nhiên, un

là một dãy

Cauchy trong E với metric thông thường và E không là không gian metric
đầy đủ do 0
a 1/n

un

n

. Trong trường hợp không gian metric nhân, ta lấy dãy
,

ở đó a

1 . Khi đó, un

là một dãy Cauchy nhân vì với

m,

un
um

un , um

a 1/n
a 1/m

Ta có un

1 khi n

a

1 1
m n

a

1
m

a khi a 1,
1 / a khi a 1.

log a
, trong đó a
log

nếu m

a

1 1
n m

và 1

. Vậy E ,

là một không gian metric

nhân đầy đủ.
Năm 2012, Ozavsar và Cevikel [8] đã đưa ra khái niệm về các ánh xạ co
nhân và đã chứng minh một vài định lý về điểm bất động của các ánh xạ đó
trong một không gian metric nhân.
Đ nh ngh a 1.1.10. Cho f là ánh xạ từ một không gian metric nhân (E, )
vào chính nó. Khi đó, f được gọi là một phép co nhân nếu tồn tại một số thực
[0,1) sao cho

(u, v) với mọi u, v

(fu, fv)

E.

Năm 2015, Kang và các cộng sự [6] đã đưa ra khái niệm về ánh xạ tương thích
trong các không gian metric nhân như sau
Đ nh ngh a 1.1.11. Cho f và g là các ánh xạ từ không gian metric nhân (E, )
vào chính nó. Khi đó,
lim

n

fgun , gfun

f

và g

1 , với mọi dãy un

5

được gọi là tương thích nếu
E sao cho


lim fun

n

lim gun

n

t với t

E nào đó.

Đ nh ngh a 1.1.12. Cho f và g là các ánh xạ từ một không gian metric nhân
(E, ) vào chính nó. Khi đó, f và g được gọi là tương thích yếu nếu chúng

giao hoán tại những điểm trùng, tức là nếu ft

gt với t

E thì fgt

gft .

Năm 1995, Cho và các cộng sự [2] đã đưa ra khái niệm về nửa tương
thích trong các không gian topo như sau
Đ nh ngh a 1.1.13. [2] Cho f và g là các ánh xạ từ một không gian topo vào
chính nó. Khi đó, f và g được gọi là nửa tương thích nếu
(1) fv

gv kéo theo fgv
u và gun

(2) fun

gfv và
u kéo theo fgun

gu khi n

.

ây giờ, ta sẽ định nghĩa tính nửa tương thích theo điều kiện 2 chỉ trong
phạm vi không gian metric nhân như sau:
Đ nh ngh a 1.1.14. Cho f và g là các ánh xạ từ một không gian metric nhân
(E, ) vào chính nó. Khi đó, f và g được gọi là nửa tương thích nếu

lim

n

fgun , gu

1 , với mọi dãy {un }

E sao cho lim fun
n

lim gun

u

n

với u nào đó thuộc E .
Điều này suy ra rằng nếu f và g là nửa tương thích và fv

gv thì fgv

gfv .

Chú ý rằng f và g là nửa tương thích không nhất thiết f và g là tương thích.
Hơn nữa, tính nửa tương thích của f và g không kéo theo tính nửa tương thích
của g và f .
Ví dụ 1.1.15. Cho E
(u, v)

a

u v

[1, 3] và

, trong đó u, v

E và a

metric nhân. Lấy các ánh xạ f , g : E
fu

u khi 1
3 khi 2

u
u

:E

2,
3,

E

[1,

) được xác định bởi

1 . Khi đó, (E, ) là một không gian

E xác định bởi
gu

6

4
3

u khi 1
khi 2

u
u

2,
3,


ét un

1
. Khi đó,
n

2
fun

2

fgun

1
và gun
n

f 2

1
n

2

1
nên fun
n

3 và gfun

g 2

2 và gun

1
n

2

2

u.

1
.
n

Ta có

lim d fgun , gfun

a

n

3 2

a

1.

Điều này kéo theo f và g không tương thích. M t khác, ta có

lim d fgun , gu

a

n

3 3

1.

o đó, f và g là nửa tương thích và

lim d gfun , fu

a

n

2 3

a

1.

Vậy g và f không là nửa tương thích.
Tiếp theo, ta chỉ ra nửa tương thích là tương thích yếu. Thật vậy, với
u

1,2

fu

gu

tùy ý, điều này hiển nhiên đúng. Với u

3 và fgu

f3

3 , gfu

g3

2, 3 tùy ý, ta có

3 . o vậy, f và g là tương thích

yếu.
Ví dụ 1.1.16. Cho E
bởi

u, v

a

u v

0,1 và

, ở đó u, v

:E

E

E và a

E là các ánh xạ xác định bởi

7

là ánh xạ được xác định

1 . Khi đó, E ,

metric nhân.
Lấy f , g : E

1,

là một không gian


1

fu

1 u , gu

u khi 0

u

2
khi u
3

1
,
3
1
,1
3
2
.
3

1 khi u
1
khi u
3

ét un

1
3

1
,
3
2
,
3

1
. Khi đó
n
fun

2
3

fgun

f

1
n

2
3

2
3

u và gun

1
n

2
3

u.

Ta có
2
3

1
n

1
3

1
và gfun
n

2
3

g

1
n

1.

Suy ra f và g không tương thích. Hơn nữa,

lim d fgun , gu

a

1/3 1/3

lim d gfun , fu

a

1 1/3

n

n

1
1.

o đó f và g là nửa tương thích, nhưng g và f không là nửa tương thích.
Tính tương thích yếu không kéo theo tính nửa tương thích. Ở đây, g và

f là tương thích yếu vì chúng giao hoán tại điểm trùng của chúng

2
, nhưng

3

không là nửa tương thích. Tính nửa tương thích không nhất thiết kéo theo
tương thích vì lim d fgun , gfun

1 trong các ví dụ 1.1.15 và 1.1.16.

n

Trong ví dụ tiếp theo, ta sẽ chỉ ra tính tương thích không nhất thiết kéo
theo tính nửa tương thích.
Ví dụ 1.1.17. Cho E
(u, v)

[0,1] và

a

u v

:E

E

, trong đó u, v

8

[1,

) xác định bởi

E và a

1.


Khi đó, (E, ) là một không gian metric nhân. Lấy f , g : E

E là các ánh xạ

xác định bởi
u khi 0

fu

1
3

ét un

1
khi u
2
1
khi u
2

u , gu

1
3

u
1
,
3
1
.
3

1
. Khi đó
n
fun

1
3

1
n

1
3

fgun

1
3

1
n

1
và
3

1
3

u và gun

1
3

gfun

1
n
1
n

1
3

u.

1
.
3

Hơn nữa,
lim d fgun , gfun

n

1.

o vậy, f và g là tương thích. Nhưng
lim d fgun , gu

a

n

1 1
3 2

1.

Điều này kéo theo f và g không là nửa tương thích.
1.2. Mối quan hệ và các tính chất của các ánh ạ tƣơng thích và các biến
thể của nó trong không gian metric nhân
ây giờ, ta sẽ xem xét các định nghĩa về các ánh xạ tương thích và các
biến thể của nó trong các không gian metric nhân như sau:
Đ nh ngh a 1.2.1. Cho f và g là hai ánh xạ từ không gian metric nhân (E, )
vào chính nó. Khi đó f và g được gọi là
(1) tương thích nếu lim
n

cho lim fun
n

lim gun

n

1 , trong đó {un }

fgun , gfun
t với t

E.

9

E là một dãy sao


(2) tương thích kiểu (A) nếu

trong đó {un }

1 và lim

fgun , ggun

lim

n

n

gfun , ffun

E là một dãy sao cho lim fun
n

lim gun

n

1,
t với t

E.

(3) tương thích kiểu (B ) nếu
fgun , ggun

lim

n

fgun , ft

lim

n

lim

n

ft, ffun

1
2

và
gfun , ffun

lim

n

trong đó {un }

gfx n , gt

lim

n

E là một dãy sao cho lim fx n
n

lim

n

gt, ggun

lim gx n

n

1
2

,

t với t

E.

(4) tương thích kiểu (C ) nếu
fgun , ggun

lim

n

lim

n

fgun , ft

lim

ft, ffun

lim

gt, ggun

n

lim

n

ft, ggun

lim

gt, ffun

1/3

và
lim

n

lim

n

trong đó {un }

gfun , ffn
gfun , gt

n

E là một dãy sao cho lim fun
n

(5) tương thích kiểu (P ) nếu lim d ffun , ggun
n

một dãy sao cho lim fun
n

lim gun

n

t với t

n

lim gun

n

1/3

,

t với t

E.

1 , trong đó {un }

E là

E.

Tiếp theo là một số kết quả về mối liên hệ và các tính chất của các ánh
xạ tương thích và các biến thể của nó.
Mệnh đề 1.2.2. Cho f và g à các ánh xạ tương thích kiểu (A)
trong f ho c g à i n t c th f và g à tương thích.

10

ếu một


h ng minh Vì f và g là tương thích kiểu (A) nên lim

fgun , ggun

n

và lim
n

1 , ở đó lim fun

gfun , ffun

n

Giả sử f liên tục. Khi đó lim ffun
n

lim gun

n

lim fgun

n

t với t

1

E nào đó.

ft với t nào đó thuộc E .

M t khác, ta có
(ggun , ft )

1

(ggun , fgun ). (fgun , ft )

1.

Từ đó suy ra
1

Vậy lim
n

fgun , gfun

fgun , ggun . ggun , ffun .

ffun , gfun

1

1 , tức là f và g là các ánh xạ tương thích.

fgun , gfun

Tương tự, nếu g là liên tục, khi đó f và g là các ánh xạ tương thích.
Mệnh đề 1.2.3.

i c p ánh xạ tương thích kiểu (A) à tương thích kiểu (B ) .

h ng minh Giả sử f và g là các ánh xạ tương thích kiểu (A) . Khi đó, ta có
1

lim

n

fgun , ggun

lim

fgun , ft

lim

gfun , ffun

lim

gfun , gt

n

n

lim

ft, ffun

lim

gt, ggun

1/2

và
1

n

n

n

1/2

.

Vậy f và g là các ánh xạ tương thích kiểu (B ) .
Mệnh đề 1.2.4. Cho f và g à các ánh xạ i n t c t một không gian metric
nhân (E, ) vào chính nó

ếu f và g à các ánh xạ tương thích kiểu (B ) th f

và g à tương thích kiểu (A) .
h ng minh Cho {un }

E là một dãy sao cho lim fun
n

nào đó thuộc E . Vì f và g là các ánh xạ liên tục, nên ta có

11

lim gun

n

t với t


gfun , ggun

lim

n

fgun , ft

lim

n

lim

n

ft, ffun

1
2

1

và
gfun , ffun

lim

n

gfun , gt

lim

n

lim

n

gt, ggun

1
2

1.

o đó, f và g là các ánh xạ tương thích kiểu (A) . Mệnh đề được chứng minh.
Mệnh đề 1.2.5. Cho f và g à các ánh xạ i n t c t một không gian metric
ếu f và g à các ánh xạ tương thích kiểu (B ) th f

nhân (E, ) vào chính nó
và g à tương thích.
h ng minh Cho {un }

E là một dãy sao cho lim fun
n

lim gun

n

t với t

nào đó thuộc E . Vì f và g là các ánh xạ liên tục, nên ta có
lim ffun

ft

lim gfun

gt

n

lim fgun

n

và
n

lim ggun .

n

Theo bất đ ng thức tam giác nhân, ta có
fgun , gfun

fgun , ggun

ggun , gfun .

và chú ý đến giả thiết f và g là các ánh xạ tương thích kiểu (B ) ,

Cho n
ta có

fgun , gfun

lim

n

lim

n

fgun , ft

lim

n

ft, ffun

1
2

lim

n

ggun , gfun

1.

o đó f và g là các ánh xạ tương thích. Mệnh đề được chứng minh.
Mệnh đề 1.2.6. Cho f và g à các ánh xạ i n t c t một không gian metric
nhân (E, ) vào chính nó

ếu f và g à các ánh xạ tương thích th f và g à

tương thích kiểu (B ) .

12


h ng minh Vì f và g là tương thích nên tồn tại dãy {x n }
lim fun

n

lim gun

n

t với t

E và lim
n

X sao cho

1 . Vì f và g là các

fgun , gfun

ánh xạ liên tục, nên ta có
lim ffun

ft

lim gfun

gt

n

lim fgun

n

và
n

lim ggun ,

n

do đó
lim ffun

n

lim fgun

lim gfun

n

lim ggun .

n

n

Từ đó ta có
lim

n

fgun , ggun

fgun , ft

lim

n

lim

n

ft, ffun

1
2

và
lim

n

gfun , ffun

gfun , gt

lim

n

lim

n

gt, ggun

1
2

.

Vậy f và g là các ánh xạ tương thích kiểu (B ) .
Mệnh đề 1.2.7. Cho f và g à các ánh xạ i n t c t một không gian metric
nhân (E, ) vào chính nó
(1) f và g à tương thích

hi đó

f và g tương thích kiểu (B ) .

(2) f và g à tương thích kiểu (A)

f và g à tương thích kiểu (B ) .

h ng minh (1) Chứng minh suy ra từ Mệnh đề 1.2.5 và Mệnh đề 1.2.6.
(2) Chứng minh được suy ra từ Mệnh đề 1.2.3 và Mệnh đề 1.2.4.
Mệnh đề 1.2.8. Cho f và g à các ánh xạ tương thích t một không gian
metric nhân (E, ) vào chính nó

fgt
h ng minh Giả sử rằng {un }

ếu ft

fft

ggt

gt với t

E th

gft .

E là một dãy được xác định bởi un

13

t,


n

1,2,... với t

E và ft

gt . Khi đó, fun , gun

. Vì f và

ft khi n

g là tương thích, nên ta có
fgt, gft

Từ đó ta có fgt

fgun , gfun

lim

n

gt nên fgt

ggt . Vì ft

fft

1.

ggt

gft . Ta có điều phải

chứng minh.
Từ Mệnh đề 1.2.8 ta có
Mệnh đề 1.2.9. Cho f và g à các ánh xạ tương thích t một không gian

metric nhân (E, ) vào chính nó

i

ử lim fun
n

lim gun

n

t với t

E

hi đó

(a ) lim gfun

ft nếu f i n t c tại t .

(b) lim fgun

gt nếu g i n t c tại t .

n

n

(c) fgt

gft và ft

gt nếu f và g i n t c tại t .

h ng minh a Giả sử rằng f liên tục tại t . Vì lim fun
n

t

E , nên fgun

lim gun

n

t với

. Vì f và g là các ánh xạ tương thích, nên

ft khi n

ta có
lim

n

o đó lim gfun
n

gfun , ft

lim

n

gfun , fgun

lim

n

fgun , ft

ft . Ta được điều phải chứng minh.

b Chứng minh tương tự a ta được lim fgun

gt .

c Giả sử rằng f và g liên tục tại t . Vì gun

t khi n

n

t , nên theo (a), ta có gfun
gfun

gt . Như vậy ft

1.2.8, ta có fgt

1.

ft khi n

và f liên tục tại

. M t khác, g liên tục tại t , nên

gt do tính duy nhất của giới hạn và theo Mệnh đề

gft .

Mệnh đề 1.2.10. Cho f và g à ánh xạ tương thích kiểu (B ) t

14

không gian


ếu ft

metric nhân (E, ) vào chính nó

fgt

fft

ggt

h ng minh Giả sử rằng {un }

n

1,2,... với t

E và ft

gt với t nào đó thuộc E th
gft .

E là một dãy xác định bởi un

gt . Khi đó, ta có fun , gun

t,

.

ft khi n

Vì f và g là tương thích kiểu (B ) , nên ta có

fgt, ggt

fgun , ggun

lim

n

fgun , fft

lim

n

Suy ra fgt

gt , nên fgt

ggt . Vì ft

lim

n

fft

fft, ffun

ggt

1
2

1

gft .

Mệnh đề 1.2.11. Cho f và g à ánh xạ tương thích kiểu (B ) t một không gian
metric nhân (E, ) vào chính nó.

i

ử lim fun
n

lim gun

t với t

lim gun

t với t

n

E

hi đó

(a ) lim ggun

ft nếu f i n t c tại t .

(b) lim ffun

gt nếu g i n t c tại t .

n

n

(c) fgt

gft và ft

gt nếu f và g i n t c tại t .

Ch ng minh. (a) Giả sử f liên tục tại t . Vì lim fun
n

nên ffun , fgun

lim (ft, ggun )

lim ( fgun, ggun )

n

lim ( fgun , ft ). lim ( ft, ffun )

n

n

1/2

n

d(ft, ft )
o đó lim ggx n

E

. Vì f và g tương thích kiểu (B ) , nên ta có

ft khi n

n

n

1.

ft .

Chú ý 1.2.12. Trong Mệnh đề 1.2.10, giả sử f và g là ánh xạ tương thích kiểu
(C ) ho c kiểu (P ) thay cho ánh xạ tương thích kiểu (B ) , thì kết luận của

15


Mệnh đề 2.10 vẫn đúng.
Chú ý 1. .13. Trong Mệnh đề 1.2.11, giả sử f và g là ánh xạ tương thích kiểu
(C ) ho c kiểu (P ) thay cho ánh xạ tương thích kiểu (B ) , thì kết luận của Mệnh

đề 1.2.11 vẫn đúng.
Chú ý 1.2.14. M i ánh xạ giao hoán yếu là tương thích nhưng điều ngược lại
nói chung không đúng.
Thật vậy, vì f và g là các ánh xạ giao hoán yếu nên
(fu, gu) với mọi u

(fgu, gfu)

Giả sử lim fun

n

fgun , gfun

1
n

Ví dụ 1.2.15.

ét E

ánh xạ f , g : E

E . Khi đó

(fun , gun )

(fun , t ). (gun , t )

1

1 , do đó f và g là ánh xạ tương thích.

fgun , gfun

suy ra lim

t với t

lim gun

n

E.

[0,

e|u

) với metric nhân (u, v)

u 3 và gu

E xác định bởi fu

v|

trên E .

ét các

2u 3 . Khi đó f và g là các

ánh xạ tương thích nhưng không giao hoán yếu.
Chú ý 1.2.16. Khái niệm về các ánh xạ tương thích và các biến thể của nó là
độc lập với nhau.
Ví dụ 1.2.17. Cho E

, tập hợp tất cả số thực với metric nhân thông thường

. ét các ánh xạ f , g : E
fu

1
u4
1

E xác định bởi

khi u

0,

khi u

0

và gu

Khi đó f và g không liên tục tại 0 .

n

1,2,... Khi đó fun
lim

n

1
n4

t

1
u2
1

ét dãy un

0 , gun

fgun , gfun

lim

n

16

khi u

0,

khi u

0.

E xác định bởi un

1
n2

t

n8
n8

1.

0 khi n

n,

và


Tuy nhiên:
fgun , ggun

lim

n

lim

n

n8
lim 4
n
n

fgun , f 0 lim

n8
lim
n
1

1/2

f 0, ffun

n

,
n 16
lim
n
1

1/2

và
gfun , ffun

lim

n

lim d gfx n , g 0 lim

n

n 16
lim 8
n
n

g 0, ggun

n

,

n8
n4
lim
lim
n

2 n
2

1/2

1/2

.

Hơn nữa
và lim

fgun , ggun

lim

n

gfun , ffun

n

và ta nhận được
lim

n

fgun , f 0 lim
n

n8
lim
n
1

f 0, ffun

f 0, ggun

lim

n

1/3

1/3

n 16
n4
lim
lim
n
1 n
1

và
lim

n

gfun , g 0

n8
lim
n
2

lim

n

n4
lim
n
2

g 0, ggun

n 16
lim
n
2

g 0, ffun

lim

n

1/3

.

Ta cũng có
lim

n

ffun , ggun

17

n 12
1

.

1/3


o đó f và g là tương thích nhưng không tương thích kiểu (A), tương thích
kiểu (B ) , kiểu (C ) và kiểu (P ).
Ví dụ 1.2.18. Cho E

f,g : E

[0, 6] với metric nhân thông thường

, xét các ánh xạ

E xác định bởi

fu

u khi u

0, 3

6 khi u

3, 6

và

Khi đó f và g không liên tục tại t

6

gu

u khi u

0, 3

khi u

3, 6

6

3 . Ta sẽ chỉ ra f và g là không tương

thích nhưng chúng tương thích kiểu (A) , kiểu (B ) , kiểu (C ) , và kiểu (P ) .
Thật vậy, giả sử {un }
t

t . Theo định nghĩa của f và g ,

[0, 6] và fun , gun

3,6 . Vì f và g bằng nhau trên đoạn 3, 6 , nên ta chỉ cần xét t

vậy, ta giả sử un
phải và fun

3 và un

3 với mọi n . Khi đó, gun

3 từ bên trái. Như vậy, vì un

un

6

3 và 6

un

3.

3 từ bên

3 với mọi

un

n , nên ta có

6

fgun , gfun

lim

n

6

2.

un

Hơn nữa, ta có
lim

n

lim

n

fgun , f 3 lim
n

6
6

fgun , ggun

f 3, ffun

1,

6
6
lim
lim
n
6 n
un

1/2

1/2

2

và
lim

n

lim

n

gfun , g 3 lim
n

g 3, ggun

un

6

gfun , ffun

1,

un
1/2

lim

n

18

6

6

un

6
lim
n
6

o

1/2

2.


Hơn nữa, lim

1 và lim

fgun , ggun

n

n

lim

fgun , f 3 lim

lim

gfun , g 3

n

f 3, ffun

n

gfun , ffun

1 và ta nhận được

lim

f 3, ggun

lim

g 3, ffun

n

1/3

3

2

và
n

khi un

3 và lim fun

lim

n

g 3, ggun

lim gun

n

n

lim

n

n

1/3

3

2

3 . Hơn nữa, ta có

ffun , ggun

6
6

1.

Vậy f và g là tương thích kiểu (A) , kiểu (B ) , kiểu (C ) , kiểu (P ) nhưng
chúng không tương thích.

19


CHƢƠNG

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ
NỬA TƢƠNG THÍCH VÀ ÁNH XẠ TƢƠNG THÍCH VỚI
CÁC BIẾN THỂ CỦA NÓ TRONG KHÔNG GIAN
METRIC NHÂN
2.1. Điểm bất động chung đối với các ánh ạ nửa tƣơng thích trong không
gian metric nhân
Đ nh ý .1.1. Cho f , g, S và T à các ánh xạ t một không gian metric nhân
đ

đủ (E, ) vào chính nó th a m n nh ng đi u ki n au:

i ) f (E )

T (E ) và g(E )

S (E ) ;
3

ii )

3

(fu, gv )

với m i u, v

max

2

(2.1)

Su,Tv , 3 fu, Su , 3 Tv, gv ,
Tv, gv , Su, gv , fu,Tv

E , trong đó

(2.2)

(0,1) ;

iii ) f ho c g i n t c;

(2.3)

iv ) (f , S ) à nửa tương thích (g,T ) à tương thích ếu

hi đó f , g , S , T có

một điểm bất động chung du nhất trong E .
h ng minh. Lấy u0
u1

E sao cho fu0

gu1

E tùy ý. Vì f (E )

(2.4)

T (E ) và g(E )

Tu1 và với điểm u1 này, tồn tại u2

Su2 . ằng quy nạp, ta xác định dãy vn

v2n

với n

1,2,...

Đ tu

u2n , v
3

1

Tu2n

1

gu2n , v2n

u2n 1 trong (2.2), ta có

(v2n 1, v2n 2 )

S (E ) , nên tồn tại

3

fu2n , gu2n

1

20

Su2n

E sao cho

gu2n

1

E sao cho


3

max

2

3

max

2

3

max

max
Nếu max

3

2

3

Su2n ,Tu2n 1 , 3 fu2n , Su2n , 3 Tu2n 1, gu2n 1 ,
Tu2n 1, gu2n 1 , (Su2n , gu2n 1 ), fu2n ,Tu2n 1
v 2n , v 2n 1 , 3 v 2 n , v 2 n 1 ,
v2n 1, v2n 2 , (v2n , v2n 2 ),

3

v 2n , v 2n 1 , 3 v 2 n , v 2 n 1 ,
v2n 1, v2n 2 , (v2n , v2n 2 ),

3

3

(v2n , v2n 1 ),

v2n , v2n

1

3

,

(v2n 2, v2n

v2n 1, v2n
v2n 1, v2n

2

,

1

2

,

1

1
3

v2n 1, v2n

v2n 1, v2n
v2n 1, v2n

v2n 1, v2n

2

2

, điều này là mâu

thuẫn, do đó
3

3

v2n 1, v2n

2

v2n 1, v2n

2

v2n , v2n

,

1

suy ra
v2n , v2n

1

.

Tương tự , ta có
v2n , v2n

v2n 1, v2n ,

1

Từ đó
vn , vn

vn 1, vn

1
2

vn 2, vn

...

Lấy m, n

với m
vn , vm

n

1

v0, v1 .

n , ta có

vn , vn

n

n 1

vn 1, vn

1
m 1

(v0, v1)

n

1

(v0, v1 ) .

21

2

vm 1, vm