Rèn luyện kỹ năng chứng minh các bài toán về đường tròn cho học sinh khá giỏi lớp 9 trung học cơ sở

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THỊ KIỀU OANH

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG CHỨNG MINH CÁC BÀI TOÁN VỀ
ĐƯỜNG TRÒN CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI LỚP 9 TRUNG
HỌC CƠ CỞ

LUẬN VĂN THẠC SỸ SƯ PHẠM TOÁN
Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60.14.01.11

HÀ NỘI - 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THỊ KIỀU OANH

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG CHỨNG MINH CÁC BÀI TOÁN VỀ
ĐƯỜNG TRÒN CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI LỚP 9 TRUNG
HỌC CƠ CỞ

LUẬN VĂN THẠC SỸ SƯ PHẠM TOÁN
Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60.14.01.11

Cán bộ hướng dẫn: PGS. TS. Nguyễn Chí Thành

HÀ NỘI - 2015


LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới PGS.TS Nguyễn Chí Thành
người Thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn này.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trường Đại học Giáo Dục
_Đại họcQuốc Gia Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả
trong quá trình học tập và nghiên cứu đề tài.
Xin cảm ơn Ban giám hiệu và đồng nghiệp trường THCS Đền Lừ,
Hoàng Mai, Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học
tập, công tác và thực hiện luận văn tốt nghiệp này.
Tuy đã có nhiều cố gắng, song chắc chắn luận văn sẽ không tránh khỏi
những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được ý kiến đóng góp chân tình của các
thầy cô giáo, đồng nghiệp và bạn bè quan tâm.
Hà Nội, tháng 11 năm 2014
Tác giả

Nguyễn Thị Kiều Oanh

i


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

Viết đầy đủ

Viết tắt
GV

Giáo viên

HS

Học sinh

Nxb

Nhà xuất bản

PBT

Phiếu bài tập

THCS

Trung học cơ sở

SGK

Sách giáo khoa

ii


DANH MỤC BẢNG BIỂU
Bảng 3.1: Đánh giá kết quả kiểm tra về kỹ năng khai thác bài toán....................79
Bảng 3.2: Đánh giá kết quả kiểm tra về kỹ năng vẽ thêm đường phụ.................79

iii


DANH MỤC BIỂU ĐỒ, ĐỒ THỊ
Biểu đồ tần suất 3.1: Kết quả kiểm tra nội dung khai thác bài toán của lớp
9A.................................................................................................................................................. 80
Biểu đồ tần suất 3.2: Kết quả kiểm tra nội dung khai thác bài toán của lớp
9C.................................................................................................................................................. 81
Biểu đồ tần suất 3.3: Kết quả kiểm tra nội dung vẽ thêm hình phụ của lớp
9A................................................................................................................................................. .81
Biểu đồ tần suất 3.4: Kết quả kiểm tra nội dung vẽ thêm hình phụ của lớp
9C…………………………………………………………………………..82

iv


MỤC LỤC
Lời cảm ơn...................................................................................................................................... i
Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt.............................................................................. ii
Danh mục các bảng................................................................................................................... iii
Danh mục các biểu đồ.............................................................................................................. iv
MỞ ĐẦU........................................................................................................................................ 1
1. Lý do chọn đề tài.................................................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu............................................................................................................ 2
3. Khách thể nghiên cứu........................................................................................................... 2
4. Đối tượng nghiên cứu........................................................................................................... 2
5. Giả thuyết nghiên cứu.......................................................................................................... 2
6. Phạm vi nghiên cứu............................................................................................................... 2
7. Nhiệm vụ và nội dung nghiên cứu.................................................................................. 2
8. Phương pháp nghiên cứu..................................................................................................... 3

9. Nghiên cứu luận cứ............................................................................................................... 3
10. Cấu trúc luận văn................................................................................................................. 4
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN
CỨU................................................................................................................................................. 5
1.1. Lý luận về dạy học giải bài tập toán........................................................................... 5
1.1.1. Vai trò và ý nghĩa của việc giải bài tập toán ở trường phổ thông.................5
1.1.2. Chức năng của giải bài tập toán................................................................................ 6
1.2. Kỹ năng.................................................................................................................................. 7
1.2.1. Kỹ năng là gì?.................................................................................................................. 7
1.2.2. Đặc điểm của kỹ năng.................................................................................................. 8
1.2.3. Sự hình thành và phát triển kỹ năng........................................................................ 8
1.2.4. Phân biệt kỹ năng với năng lực.............................................................................. 10
v


1.3. Giải toán và kỹ năng giải toán.................................................................................... 11
1.3.1. Kỹ năng giải toán......................................................................................................... 11
1.3.2. Sự hình thành kỹ năng giải toán............................................................................. 12
1.3.3. Dạy học phương pháp giải bài tập toán............................................................... 13
1.4. Chứng minh toán học và dạy học chứng minh..................................................... 17
1.4.1. Chứng minh................................................................................................................... 17
1.4.2. Bác bỏ.............................................................................................................................. 18
1.4.3. Chứng minh phản chứng........................................................................................... 18
1.4.4. Dạy học chứng minh.................................................................................................. 19
1.4.5. Phân loại chứng minh:............................................................................................... 19
1.4.6. Phương pháp tìm tòi chứng minh.......................................................................... 19
1.5. Một số kỹ năng giải một bài toán chứng minh hình học.................................. 20
1.5.1. Kỹ năng vẽ hình........................................................................................................... 20
1.5.2. Kỹ năng tìm hướng giải............................................................................................. 20
1.5.3. Kỹ năng vẽ thêm hình phụ trong chứng minh.................................................. 21

1.5.4. Kỹ năng nghiên cứu lời giải bài toán (phát hiện lỗi sai, đặc biệt hóa,
khái quát hóa, tương tự hóa)................................................................................................ 21
1.6. Dạy học rèn luyện kỹ năng giải toán chứng minh.............................................. 22
1.6.1. Phân tích chương trình sách giáo khoa................................................................ 22
1.6.2. Nội dung các dạng toán chứng minh đường tròn............................................ 22
1.6.3. Đối tượng học sinh khá giỏi.................................................................................... 23
1.6.4. Một phần thực trạng dạy học giải toán chứng minh đường tròn...............23
1.7. Một số khó khăn của học sinh khi giải bài toán chứng minh hình học về
đường tròn................................................................................................................................... 23

vi


1.8. Một số khó khăn của giáo viên trong dạy học giải toán chứng minh hình
học về đường tròn.................................................................................................................... 24
Kết luận chương 1.................................................................................................................... 24
CHƯƠNG 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI
TOÁN CHỨNG MINH VỀ ĐƯỜNG TRÒN CHO HỌC SINH LỚP 9..........26
2.1. Một số biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán chứng minh đường tròn .. 26
2.1.1. Biện pháp 1: Rèn luyện kỹ năng đọc hiểu và vẽ đúng hình theo yêu cầu
đề bài............................................................................................................................................. 26
2.1.2. Biện pháp 2: Rèn luyện kỹ năng phân tích tìm phương pháp chứng
minh bài toán............................................................................................................................. 27
2.1.3. Biện pháp 3: Thiết kế hệ thống câu hỏi gợi ý giúp học sinh tìm hướng
giải quyết bài toán.................................................................................................................... 29
2.1.4. Biện pháp 4: Rèn luyện kỹ năng tìm nhiều cách giải khác nhau cho một
bài toán......................................................................................................................................... 30
2.1.5. Biện pháp 5: Rèn luyện kỹ năng trình bày lời giải......................................... 30
2.1.6. Biện pháp 6: Rèn luyện kỹ năng vẽ thêm hình phụ cho học sinh.............32
2.1.7. Biện pháp 7: Rèn luyện kỹ năng khai thác bài toán....................................... 36

2.2. Xây dựng hệ thống bài tập nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán về đường
tròn cho học sinh khá giỏi lớp 9......................................................................................... 48
2.2.1. Một số chú ý khi xây dựng hệ thống bài tập..................................................... 49
2.2.2. Các bài toán chứng minh sự bằng nhau.............................................................. 50
2.2.3. Các bài toán chứng minh quan hệ song song, vuông góc của hai đường
thẳng.............................................................................................................................................. 52
2.2.4. Các bài toán chứng minh tính chất của các phần tử và xác định hình
dạng của các đa giác đặc biệt............................................................................................... 54
2.2.5. Các bài toán chứng minh các hệ thức.................................................................. 57
vii


2.2.6. Các bài toán chứng minh có kẻ thêm hình phụ................................................ 60
2.2.7. Các bài toán tổng hợp................................................................................................ 71
Kết luận chương 2.................................................................................................................... 72
CHƯƠNG 3:THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM.................................................................... 74
3.1. Mục đích............................................................................................................................. 74
3.2. Tổ chức thực nghiệm...................................................................................................... 74
3.2.1. Chọn lớp thực nghiệm................................................................................................ 74
3.2.2. Phương pháp thực nghiệm........................................................................................ 75
3.2.3. Thời gian thực nghiệm............................................................................................... 75
3.3. Nội dung thực nghiệm................................................................................................... 75
3.4. Đánh giá kết quả thực nghiệm.................................................................................... 78
3.4.1. Thống kê kết quả kiểm tra........................................................................................ 78
3.4.2. Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm.............................................................. 79
Kết luận chương 3.................................................................................................................... 82
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ.................................................................................... 83
TÀI LIỆU THAM KHẢO..................................................................................................... 84
PHỤ LỤC.................................................................................................................................... 85

viii


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong thời kỳ cả nước đang tiến nhanh trên con đường công nghiệp hóa,
hiện đại hóa đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng đang được đổi mới và phát
triển không ngừng, nhất là đổi mới phương pháp dạy học (PPDH) là một vấn
đề đáng được đề cập, nghiên cứu và bàn luận rất sôi nổi. Đặc biệt đối với bộ
môn toán là một bộ môn khoa học trừu tượng song có ý nghĩa vô cùng quan
trọng trong việc đổi mới PPDH nói chung và dạy toán ở nhà trường THCS nói
riêng.
Dạy như thế nào để HS không những nắm chắc kiến thức cơ bản một cách
có hệ thống mà phải được nâng cao để các em có hứng thú, say mê học tập là
một câu hỏi mà mỗi GV chúng ta luôn đặt ra cho mình.
Trong quá trình giảng dạy, việc đánh giá chất lượng năng lực hay khả
năng tiếp thu kiến thức của HS chủ yếu là thông qua giải bài tập. Thông qua
việc giải bài tập, HS có thể củng cố, hoàn thiện, khắc sâu, nâng cao những nội
kiến thức đã học, rèn luyện kỹ năng giải toán. Việc giải toán là hình thức chủ
yếu của hoạt động toán học, giúp HS phát triển tư duy, tính sáng tạo. Dạy giải
bài tập toán cho HS có tác dụng phát huy tính chủ động sáng tạo, phát huy tính
tích cực, gây hứng thú học tập cho HS, yêu cầu HS có kỹ năng vận dụng kiến
thức vào tình huống mới, có năng lực độc lập suy nghĩ.
Đối với HS lớp 9, ngoài việc truyền đạt kiến thức cơ bản theo chương trình
đại trà chúng ta còn rất cần đầu tư bồi dưỡng cho một bộ phận HS khá, giỏi.
Đây là một việc rất cân thiết, phải được tiến hành thường xuyên để tao điều
kiện cho các em phát huy được năng lực trí thông minh sáng tạo. Từ đó tạo
tiền đề cho các em học toán các lớp THPT.
Thực tiễn dạy học cho thấy: Môn hình học lớp 9 là môn học khó đối với
các em. Nội dung hình học trong các bài thi vào THPT, tập trung nhiều vào các

bài toán về đường tròn. Trong khi HS còn lúng túng trong giải toán như: chứng
minh hình học, dựng hình, tìm tập hợp điểm … về đường tròn.
1


Với những lí do trên và trong khuôn khổ của luận văn Thạc sĩ tôi chọn
đề tài: “Rèn luyện kỹ năng chứng minh các bài toán về đường tròn cho học
sinh khá giỏi lớp 9 – Trung học cơ sở”
2. Mục đích nghiên cứu
Trên cơ sở tổng quan các khái niệm về giải toán chứng minh và phân
tích chương trình, sách giáo khoa cũng như một phần thực trạng dạy học giải
toán chứng minh để xây dựng hệ thống bài tập và đề xuất một số biện pháp rèn
kỹ năng giải toán chứng minh hình học về đường tròn cho HS, qua đó phát
triển năng lực giải toán cho HS.
3. Khách thể nghiên cứu
Chương trình sách giáo khoa môn Toán lớp 9 và dạy học giải toán chứng
minh hình học cho HS lớp 9 trường THCS Đền Lừ, Hoàng Mai, Hà Nội.
4. Đối tượng nghiên cứu
Các kỹ năng giải toán và các biện pháp rèn kỹ năng giải toán về chứng
minh về đường tròn cho HS.
5. Giả thuyết nghiên cứu
Nếu xây dựng được hệ thống bài tập phù hợp và có biện pháp dạy học
thích hợp thì sẽ góp phần rèn luyện kĩ năng giải toán chứng minh hình học về
nội dung đường tròn cho HS.
6. Phạm vi nghiên cứu
- Nghiên cứu giải toán chứng minh về đường tròn theo chương trình

sách giáo khoa lớp 9 và tài liệu tham khảo lớp 9 phần hình học.
- Thời gian: Học kỳ 1 năm học 2014 – 2015.
7. Nhiệm vụ và nội dung nghiên cứu

7.1. Nhiệm vụ nghiên cứu

2


- Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn của dạy học giải toán chứng
minh.
- Xây dựng hệ thống bài tập nhằm phát triển kĩ năng giải toán cho HS.
- Đề xuất một số biện pháp rèn kỹ năng giải toán về đường tròn cho

HS.
7.2. Nội dung nghiên cứu
- Các vấn đề lý luận về dạy học giải toán, dạy học chứng minh và dạy

học rèn luyện kĩ năng.
- Vấn đề về rèn kỹ năng giải toán chứng minh hình học về nội dung

đường tròn cho HS lớp 9.
8. Phương pháp nghiên cứu

8.1. Nghiên cứu lý luận
- Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục học môn Toán, tâm lý học,lý luận

và phương pháp dạy học môn Toán.
- Các sách báo, tạp chí, các bài viết, luận văn liên quan đến đề tài.

8.2. Điều tra quan sát
- Dự giờ, quan sát việc dạy của GV, việc học của HS ở các lớp 9 của trường

THCS Đền Lừ về nội dung đường tròn.
- Điều tra HSkhá giỏi lớp 9 của trường THCS Đền Lừ.

8.3. Thực nghiệm sư phạm
- Kiểm chứng giả thuyết khoa học và tính khả thi của biện pháp đề xuất.
9. Nghiên cứu luận cứ

9.1. Luận cứ lý thuyết
- Khái niệm về kỹ năng, đặc điểm của kỹ năng, sự hình thành kỹ năng.
- Vấn đề rèn kỹ năng giải toán chứng minh hình học về đường tròn cho

HS lớp 9.
- Các biện pháp rèn kỹ năng giải toán về đường tròn cho HS lớp 9.

3


9.2. Luận cứ thực tế
Dựa vào việc quan sát việc dạy và học giải toán chứng minh hình học về
nội dung đường tròn cho HS lớp 9 tại trường THCS Đền Lừ.
10. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, luận văn gồm 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn trong dạy học giải toán chứng
minh về đường tròn
Chương 2: Một số biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán chứng minh về
đường tròn cho HS lớp 9
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

4

CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
1.1. Lý luận về dạy học giải bài tập toán
1.1.1. Vai trò và ý nghĩa của việc giải bài tập toán ở trường phổ thông
Theo G. Polya: “Trong toán học, nắm vững bộ môn toán quan trọng hơn
rất nhiều so với một kiến thức thuần túy ma ta có thể bổ sung nhờ một cuốn
sách tra cứu thích hợp. Vì vậy cả trong trường trung học cũng như trong các
trường chuyên nghiệp, ta không chỉ truyền thụ cho HS những kiến thức nhất
định, mà quan trọng hơn nhiều là phải dạy cho họ đến một mức độ nào đó nắm
vững môn học. Vậy thế nào là muốn nắm vững môn toán? Đó là biết giải toán”
[12,tr.82].
Vai trò: Toán học có vai trò lớn trong đời sống, trong khoa học và công
nghệ hiện đại, kiến thức toán học là công cụ để HS học tốt các môn học khác,
giúp HS hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực. Các-Mác nói: “Một khoa
học chỉ thực sự phát triển nếu nó có thể sử dụng được phương pháp của toán
học”[9,tr.5].
Môn toán có khả năng to lớn giúp HS phát triển các năng lực trí tuệ như:
phân tích, tổng hợp, so sánh, đặc biệt hóa, khái quát hóa. Rèn luyện những
phẩm chất, đức tính của người lao động mới như: tính cẩn thận, chính xác, tính
kỷ luật, khoa học, sáng tạo.
Ý nghĩa:Ở trường phổ thông giải bài tập toán là hình thức tốt nhất để

củng cố, hệ thống hóa kiến thức và rèn luyện kỹ năng, là một hình thức vận
dụng kiến thức đã học vào những vấn đề cụ thể, vào thực tế, vào những vấn đề
mới, là hình thức tốt nhất để GV kiểm tra về năng lực, về mức độ tiếp thu và
khả năng vận dụng kiến thức đã học.
Các bài tập toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả
và không thể thay thế được trong việc giúp HS nẵm vững tri thức, phát triển
5

tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn. Việc giải
bài tập toán có tác dụng lớn trong việc gây hứng thú học tập cho HS nhằm phát
triển trí tuệ và góp phần giáo dục, rèn luyện HS về nhiều mặt.
Việc giải một bài toán cụ thể không những nhằm một dụng ý đơn nhất
đơn nhất nào đó mà thường bao hàm ý nghĩa nhiều mặt như đã nêu ở trên.
1.1.2. Chức năng của giải bài tập toán
Mỗi bài tập toán đặt ra ở thời điểm nào đó của quá trình dạy học đều
chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau. Các
chức năng đó là:
Chức năng dạy học;
Chức năng giáo dục;
Chức năng phát triển;
Chức năng kiểm tra.
Các chức năng đều hướng tới việc thực hiện các mục đích dạy học:
Chức năng dạy học: Bài tập toán nhằm hình thành củng cố cho HS
những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình
dạy học.
Chức năng giáo dục: Bài tập toán nhằm hình thành cho HS thế giới quan
duy vật biện chứng, hứng thú học tập, sáng tạo, có niềm tin và phẩm
chất đạo đức của người lao động mới.
Chức năng phát triển: Bài tập toán nhằm phát triển năng lực tư duy cho
HS, đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ hình thành những phẩm
chất của tư duy khoa học.
Chức năng kiểm tra: Bài tập toán nhằm đánh giá mức độ kết quả dạy và
học, đánh giá khả năng độc lập học toán, khả năng tiếp thu, vận dụng
kiến thức và trình độ phát triển của HS.

6

1.2. Kỹ năng
1.2.1. Kỹ năng là gì?
Trong tâm lý học, kỹ năng là khả năng thực hiện có kết quả một hành
động nào đó nhằm đạt một mục đích trong những điều kiện nhất định. Nếu tạm
thời tách kiến thức và kĩ năng để xem xét riêng thì kiến thức thuộc phạm
vi nhận thức, thuộc khả năng “biết”, còn kỹ năng thuộc phạm vi hành động,

thuộc khả năng “biết làm”.
Theo [1, tr. 548]: “Kỹ năng là khả năng vận dụng tri thức khoa học vào
thực tiễn, trong đó khả năng được hiểu là: Sức đã có (về một mặt nào đó) để
thực hiện việc gì”
Các nhà giáo dục học cho rằng: mọi kiến thức bao gồm một phần là
thông tin kiến thức thuần túy và một phần là kỹ năng.
Kỹ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng những hiểu biết có
được để đạt được mục đích, kỹ năng còn có thể đặc trưng như toàn bộ các thói
quen nhất định; kỹ năng là khả năng làm việc có phương pháp”. G. Polya đã
khẳng định rằng: “Trong toán học, kỹ năng là khả năng giải các bài toán, thực
hiện các chứng minh cũng như các phân tích có phê phán các lời giải và chứng
minh nhận được kỹ năng trong toán học quan trọng hơn nhiều những kiến thức
thuần túy, so với thông tin trơn” [12, tr.99]
Như vậy, có nhiều cách phát biểu khác nhau về kỹ năng. Tuy nhiên trong
các cách phát biểu về kỹ năng, vẫn có thể tìm ra những điểm chung, đó là nói
đến cách thức, thủ thuật và trình tự thực hiện các thao tác hành động để đạt
được mục đích đã thuật và trình tự thực hiện các thao tác hành động để đạt
được mục đích đã định. Khi nói đến khả năng là nói đến triển vọng và kết quả
khi hành động sẽ diễn ra. Khi nói đến kỹ năng là nói đến sự nắm vững cách
thức thực hiện các thao tác, trình tự thực hiện các thao tác. Vậy ta có thể hiểu
về kỹ năng như sau:

Kỹ năng là khả năng biết vận dụng những kiến thức, kinh nghiệm đã có
một cách hợp lý, phù hợp với điều kiện thực tiễn cho phép để thực hiện có kết
7


quả một hành động hay một hoạt động nào đó. Nói đến kỹ năng là nói đến
cách thức, thủ thuật và trình tự thực hiện các thao tác hành động để đạt được
mục đích đã định. Kỹ năng được hình thành và phát triển dựa trên kiến thức,
nó tiếp tục giúp củng cố kiến thức và có thể phát triển thành kỹ năng mới phù
hợp với sự phát triển trí tuệ và rộng hơn là phù hợp với yêu cầu của cuộc
sống. Kỹ năng chính là kiến thức trong hành động, nó hình thành và phát triển
trong hoạt động và bằng hoạt động.
1.2.2. Đặc điểm của kỹnăng
Theo [6, tr. 13] thì trong vận dụng ta thường chú ý tới các đặc điểm của kỹ
năng:
Bất cứ kỹ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết, đó là kiến thức,
bởi vì cấu trúc của kỹ năng bao gồm: hiểu mục đích đến biết cách thức
đi tới kết quả, rồi đến hiểu các điều kiện để triển khai các cách thức đó.
Kiến thức là cơ sở của kỹ năng khi kiến thức đó phản ánh đầy đủ các
thuộc tính bản chất của đối tượng, được thử nghiệm trong thực tiễn và
tồn tại trong ý thức với tư cách của hành động.
Vây muốn có kỹ năng về một hành động nào đó thì cần phải:
Có kiến thức để hiểu được mục đích của hành động, biết được mục đích
của hành động, biết được điều kiện, cách thức để đi đến kết quả, để thực
hiện hành động.
Tiến hành hành động đó với yêu cầu của nó.
Đạt được kết quả phù hợp với mục đích đề ra.
Có thể hành động có hiệu quả trong những điều kiện khác nhau.
-

Có thể qua bắt chước, rèn luyện để hình thành kỹ năng nhưng phải trải

qua thời gian đủ dài.
1.2.3. Sự hình thành và phát triểnkỹ năng
1.2.3.1. Sự hình thành kỹ năng
Theo từ điển giáo dục học, để hình thành được kỹ năng trước hết cần có
kiến thức làm cơ sở cho việc hiểu biết, luyện tập từng thao tác riêng rẽ cho
8


đến khi thực hiện đợc hành động theo đúng mục đích, yêu cầu. Do
kiến thức là cơ sở của kĩ năng cho nên tùy theo kiến thức học sinh cần
nắm đợc mà có những yêu cầu rèn luyện kỹ năng tơng ứng.
Kỹ năng chỉ đợc hình thành thông qua quá trình t duy để giải quyết các
nhiệm vụ đặt ra. Khi tiến hành t duy trên các sự vật thì chủ thể thờng phải
biến đổi, phân tích đối tợng để tách ra các khía cạnh và những thuộc tính mới.
Quá trình t duy diễn ra nhờ các thao tác phân tích, tổng hợp trừu tợng hóa và
khái quát hóa cho tới khi hình thành đợc mô hình về một mặt nào đó của đối tợng mang ý nghĩa bản chất đối với việc giải bài toán đã cho.

Con đờng hình thành kỹ năng rất phong phú và nó phụ thuộc
vào các tham số nh: Kiến thức xác định kỹ năng, yêu cầu rèn luyện kỹ
năng, mức độ tích cực, chủ động của học sinh. Có hai con đờng để
hình thành kĩ năng cho HS đó là:
- Truyền thụ cho HS những trí thức cần thiết, rồi sau đó đề ra

cho HS những bài toán vận dụng những tri thức đó. Từ đó, HS sẽ phải
tìm tòi cách giải, bằng những con đờng thử nghiệm đúng đắn hoặc
sai lầm (Thử các phơng pháp rồi tìm ra phơng pháp tối u), qua đó phát
hiện ra các mốc định hớng tơng ứng, những phơng thức cải biến thông
tin, những thủ thuật hoạt động.

- Dạy cho HS nhận biết những dấu hiệu mà từ đó có thể xác

định đợc đờng lối giải cho một dạng bài toán và vận dụng đờng lối giải
đó vào bài toán cụ thể.
Thực chất của sự hình thành kỹ năng là tạo dựng cho HS khả
năng nắm vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi
và sáng tỏ các thông tin chứa đựng trong bài toán.
Khi hình thành kỹ năng cho HS cần tiến hành:
- Giúp HS biết cách tìm tòi để nhận ra các yếu tố đã cho, yếu

tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng.

9


- Giúp HS hình thành một mô hình khái quát để giải các bài toán cùng
loại.
- Xác lập được mối liên quan giữa bài toán mô hình khái quát và kiến

thức tương ứng.
Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng: Sự dễ dàng hay khó
khăn trong sự vận dụng kiến thức phụ thuộc ở khả năng nhận dạng kiểu nhiệm
vụ, dạng bài tập tức là tìm kiếm phát hiện những thuộc tính và quan hệ vốn có
trong nhiệm vụ hay bài tập để thực hiện một mục đính nhất định.
Sự hình thành kỹ năng bị ảnh hưởng bởi các yếu tố sau đây:
- Nội dung của bài tập, nhiệm vụ đặt ra được trừu tượng hóa hay bị che

phủ bởi những yếu tố phụ làm chệch hướng tư duy có ảnh hưởng tới sự hình
thành kỹ năng.
- Tâm thế và thói quen cũng ảnh hưởng tới sự hình thành kỹ năng. Vì

thế, tạo tâm thế thuận lợi trong học tập sẽ giúp HS trong việc hình thành kỹ
năng.
- Có khả năng khái quát hóa đối tượng một cách toàn thể.

1.2.3.2. Sự phát triển kỹ năng
Rõ ràng kỹ năng được phát triển qua việc thực hành. Để thông thạo một
kỹ năng đòi hỏi phải thực hành có trọng điểm với một thời lượng nhất định.
Trong quá trình thực hành cần thay đổi và định hình những gì mình đã học
được.
1.2.4. Phân biệt kỹ năng với năng lực
Năng lực là những đặc điểm tâm lí cá nhân của con người, đáp ứng được
yêu cầu của một loại hoạt động nhất định và là điều kiện cần thiết để hoàn
thành tốt hoạt động đó.
Thông thường, một người được coi là có năng lực nếu người đó nắm
vững tri thức, kỹ năng, kỹ xảo của một loại hoạt động nào đó và đạt được kết
quả tốt hơn, cao hơn so với trình độ trung bình của những người khác cũng tiến
hành hoạt động đó trong những điều kiện hoàn cảnh tương đương.
10


Khi nói đến năng lực phải nói đến năng lực trong loại hoạt động nhất
định của con người. Năng lực chỉ nảy sinh và quan sát được trong hoạt động
giải quyết những yêu cầu đặt ra.
Trong khuôn khổ của luận văn, tác giả đưa ra các biện pháp rèn kỹ năng
toán học cho HS, cụ thể là kỹ năng giải toán về đường tròn cho HS, hình thức
thấp hơn năng lực toán học.
1.3. Giải toán và kỹ năng giải toán
1.3.1. Kỹ năng giải toán
Kỹ năng giải toán là khả năng vận dụng các kiến thức Toán học để giải

các bài tập Toán học (tìm tòi, suy đoán, suy luận, chứng minh …).
Kỹ năng giải toán dựa trên cơ sở của tri thức toán học bao gồm: kiến
thức, kỹ năng, phương pháp. HS sau khi nắm vững lý thuyết, trong quá trình
luyện tập, củng cố, đào sâu kiến thức thì kỹ năng được hình thành, phát triển,
đồng thời nó cũng góp phần củng cố, cụ thể hóa tri thức Toán học.
Kỹ năng toán học được hình thành và phát triển thông qua việc thực hiện
các hoạt động toán học và các hoạt động học tập trong môn Toán. Kỹ năng có
thể được rút ngắn, bổ sung, thay đổi trong quá trình hoạt động.
Sựtrừu tượng hóa trong Toán học diễn ra trên nhiều cấp độ, cần rèn
luyện cho HS những kỹ năng trên những bình diện khác nhau.
Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn Toán: Là sự thể hiện mức
độ thông hiểu tri thức Toán học. Một người hiểu những tri thức Toán học sẽ
vận dụng được để làm toán.
Kỹ năng vận dụng tri thức coán học vào các môn học khác: Kỹ năng trên
bình diện này thể hiện vai trò công cụ của Toán học đối với những môn học
khác, điều này thể hiện tính liên môn giữa các môn học trong nhà trường đòi
hỏi người GV dạy Toán cần có quan điểm tích hợp trong việc dạy bộ học bộ
môn.
Kỹ năng vận dụng Toán học vào đời sống: Đây là mục tiêu quan trọng
của môn Toán, nó cho HS thấy rõ mối liên hệ giữa Toán học và đời sống.
11


1.3.2. Sự hình thành kỹ năng giải toán
“Giải toán là một nghệ thuật được thực hành giống như bơi lội, trượt
tuyết hay chơi đàn vậy. Có thể học được nghệ thuật đó, chỉ cần bắt chước theo
những mẫu mực đúng đắn và thường xuyên thực hành” (Đề Các)
Việc hình thành một kỹ năng nào đó gồm ba bước:
Nhận thức đầy đủ về mục đích, cách thức và điều kiện hành động.
Quan sát theo mẫu, làm thử theo mẫu.

Luyện tập cách thức hành động theo đúng yêu cầu, điều kiện của nó
nhằm đạt được mục đích đề ra.
Trong thực tế giảng dạy, khi hình thành kỹ năng cho HS, khó có thể
phân chia được rạch ròi theo các giai đoạn nói trên. Chẳng hạn, khi thực hiện
hành động giải toán, HS chưa hẳn đã nắm vững tri thức về hành động đó, mà
chính trong quá trình thực hiện hành động, các em dần dần nắm vững các tri
thức cần thiết. Điều đó chứng tỏ giữa tri thức và kỹ năng là hai mặt không thể
tách rời của hành động học. Lí luận dạy học cũng xác định cách dạy của GV sẽ
ảnh hưởng sâu sắc đến cách học của HS. Cũng như các kỹ năng khác, kỹ năng
giải toán cũng được hình thành qua bắt chước và tập luyện. Để kỹ năng giải
toán được rèn luyện và vận dụng trong quá trình nhận thức, trước hết HS phải
thấy rõ tác dụng của những kỹ năng thành phần, mối quan hệ giữa chúng trong
việc giải quyết một bài toán cũng như quy trình thực hiện.
Khi dạy các kỹ năng, điều quan trọng là không dạy quá nhiều kỹ năng
cùng một lúc. Sẽ tốt nhất nếu mỗi bài tập phức tạp sẽ được chia thành một
chuỗi các bước đi, các bước đó được học một cách tách biệt nhau. Rồi mỗi
bước đó được thực hành chậm rãi, chính xác cho đến khi nào đạt được tốc độ
cần thiết, sau đó các bước đi có thể xâu chuỗi lại để làm nên bài tập phức tạp.
Tùy theo từng nội dung kiến thức mà GV có những yêu cầu rèn luyện kỹ
năng tương ứng cho HS.

12


1.3.3. Dy hc phng phỏp gii bi tp toỏn
Trong mụn Toỏn trng ph thụng cú nhiu bi toỏn cha cú hoc
khụng cú thut gii v cng khụng cú mt thut gii tng quỏt no gii tt
c cỏc bi toỏn. Chỳng ta ch cú th thụng qua vic dy hoc gii mt s bi
toỏn c th m dn dn truyn th cho HS cỏch thc, kinh nghim trong vic
suy ngh, tỡm tũi li gii cho mi bi toỏn.

Dy hc gii bi tp toỏn khụng cú ngha l GV cung cp cho HS li gii
bi toỏn. Bit li gii ca bi toỏn khụng quan trng bng lm th no gii
c bi toỏn. lm tng hng thỳ hc tp ca HS, phỏt trin t duy, GV
phi hỡnh thnh chung cho HS mt quy trỡnh chung, phng phỏp tỡm li gii
cho mt bi toỏn.
Giỏo viờn cn rốn luyn cho hc sinh gii toỏn theo qui trỡnh bn bc
ca G. Polya ri t ú hỡnh thnh k nng gii toỏn theo quy trỡnh ny.
Bớc 1: Tìm hiểu nội dung bài toán
- Phát biểu đề bài dới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội

dung bài toán.
- Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh.
- Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài.

- Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm

đoán: biến đổi cái đã cho, cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã
cho, cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một
bài toán tơng tự, một trờng hợp riêng, một trờng hợp tổng quát,
- Kiểm tra lời giải bằng cách xem kĩ lại từng bớc thực hiện.
- Tìm những cách giải khác, so sánh chúng để tìm đợc cách hợp lí nhất.

Bớc 3: Trình bày lời giải
Từ cách giải đã đợc phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chơng
trình gồm các bớc theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bớc đó.

Bớc 4: Nghiên cứu sâu lời giải

13

- Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải.
- Nghiên cứu giải những bài toán tơng tự, mở rộng hay lật ngợc vấn đề.

Vớ d minh ha:
Cho na ng trũn tõm O cú ng kớnh AB (ng kớnh ca mt ng
trũn chia ng trũn ú thnh hai na ng trũn).Gi Ax, By l cỏc tia vuụng
gúc vi AB (Ax, By v na ng trũn thuc cựng mt na mt phng b AB).
Qua im M thuc na ng trũn (M khỏc A v B), k tip tuyn vi na
ng trũn, nú ct Ax v By theo th t C v D. Chng minh rng:
a)

=900

b) CD=AC+BD
c) Tớch AC.BD khụng i khi im M di chuyn trờn na ng trũn

Ax, By ^ AB
Ax, By, na (O) cựng thuc mt na mt phng b AB
M l tip im ca CD v na (O)
M khỏc A, B
Gúc COD bng 900
AC+BD=CD
AC.BD khụng i khi M di chuyn trờn na (O)
Bc 2: Tỡm cỏch gii
)

=900
S chng minh:
= 900

OC^OD

14


O +O =90

0

O =O ;O =O

AC, DC là các tiếp
tuyến
BD, DC là các tiếp
tuyến
hướng khác là có thể chứng minh
Một

b) CD = AC + BD
Sơ đồ chứng minh
CD=AC+BD

CD=CM+DM

CM=AC;DM=DB

CA, CM là hai tiếp tuyến của nửa (O) cắt nhau tại C
DB, DM là hai tiếp tuyến của nửa (O) cắt nhau tại D
c) Tích AC.BD không đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn

Sơ đồ chứng minh
AC.BD không đổi
CM.MD không đổi (do AC = CM; BD = MD)
CM.MD = OM2 = AB/2

15