Rèn luyện tư duy thông qua giải toán phương trình hàm cho học sinh khá, giỏi toán trung học phổ thông

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

PHÙNG VĂN ĐOÀN

RÈN LUYỆN TƢ DUY THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI TOÁN
“PHƢƠNG TRÌNH HÀM” CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI TOÁN
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC
CHUYÊN NGHÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC

(BỘ MÔN TOÁN)
Mã số: 60 14 10

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS Phạm Văn Quốc

HÀ NỘI – 2011

1


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài………………………………………………………….
2. Mục tiêu nghiên cứu………………………………………………….......
3. Đối tƣợng và khách thể nghiên cứu………………………………………
4. Vấn đề nghiên cứu………………………………………………………..
5. Giả thuyết khoa học………………………………………………………
6. Phƣơng pháp nghiên cứu…………………………………………………
7. Phạm vi nghiên cứu……………………………………………………….

8. Một số nét mới của đề tài…………………………………………………
9. Cấu trúc luận văn…………………………………………………………
Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN………………………....
1.1 Lịch sử vấn đề nghiên cứu………………………………………………
1.2. Tƣ duy và vai trò của dạy học chuyên đề “Phƣơng trình hàm” cho học
sinh khá, giỏi Toán THPT…………………………………………………...
1.2.1. Khái niệm tƣ duy………………………………………………….......
1.2.2. Một số đặc điểm cơ bản của tƣ duy…………………………………..
1.2.3. Tƣ duy Toán học………………………………………………….......
1.2.4. Dạy học giải toán “Phƣơng trình hàm”……………………………….
1.2.5. Công tác bồi dƣỡng học sinh khá, giỏi Toán THPT về chuyên đề
“Phƣơng trình hàm”…………………………………………………………
Chƣơng 2: PHƢƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN
“PHƢƠNG TRÌNH HÀM” VÀ VIỆC RÈN LUYỆN TƢ DUY CHO
HỌC SINH KHÁ, GIỎI TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG…………
2.1. Một số kiến thức cơ bản về hàm số……………………………………..
2.1.1. Hàm số……………………………………………………………......
2.1.2. Đặc trƣng của một số hàm số trong chƣơng trình Toán THPT……….
2.1.3. Khái niệm về “Phƣơng trình hàm”……………………………………

2


2.2. Phƣơng pháp giải một số dạng “Phƣơng trình hàm”…………………
2.2.1 Phƣơng pháp đƣa về hệ phƣơng trình…………………………………
2.2.2. Phƣơng pháp đƣa về phƣơng trình “Sai phân cấp 2”…………………
2.2.3. Phƣơng pháp sử dụng giới hạn và tính liên tục của hàm số…………..
2.2.4. Phƣơng pháp Quy nạp Toán học……………………………………
2.2.5. Phƣơng pháp thế biến…………………………………………………
2.2.6. Phƣơng pháp sử dụng phƣơng trình hàm Cauchy…………………….

2.2.7. Phƣơng pháp sử dụng tính đơn điệu , cộng tính và nhân tính của hàm
số, tính đối xứng giữa các biến……………………………………………
2.3. Rèn luyện một số phẩm chất tƣ duy thông qua một số bài toán ……….
2.3.1. Rèn luyện tƣ duy “Khái quát hóa” và “Đặc biệt hóa” thông qua một
số bài toán…………………………………………………………………...
2.3.2. Tiếp cận giải bài toán “Phƣơng trình hàm” theo nhiều cách…………
2.3.3. Nhận dạng các hằng đẳng thức qua các “Phƣơng trình hàm”………...
Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM…………………………………
3.1. Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm…………………………………….
3.1.1. Mục đích thực nghiệm………………………………………………..
3.1.2. Nhiệm vụ thực nghiệm………………………………………………..
3.2. Tổ chức thực nghiệm…………………………………………………...
3.2.1. Đề kiểm tra lần 1……………………………………………………...
3.2.2. Đề kiểm tra lần 2……………………………………………………...
3.2.3. Bài tập làm ở nhà……………………………………………………..
3.3. Kết quả các lần kiểm tra và một số nhận xét sau thực nghiệm…………
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ………………………………………...
TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………

3


DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT
APMO:
Balkan:
IMO:
IMO Sortlist :
KHTN:
KoMal:
¥:

¥*:
Nxb:
Putnam:
¤:
¤+ :
¤- :
¡

:

¡

*

¡

+

¡

+

:

-

:

¡
THPT:

:
:

THTT:
TST:

1


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Luật giáo dục của Việt Nam nêu rõ “ Phƣơng pháp giáo dục phổ thông phải
phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tƣ duy sáng tạo của học sinh, phù hợp với
đặc điểm của từng lớp học, bồi dƣỡng phƣơng pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận
dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học
tập của học sinh” ( Điều 24, chƣơng I của luật giáo dục năm 2005 ).
Trong thời đại khoa học công nghệ phát triển mạnh mẽ, hội nhập đã trở thành
xu thế tất yếu thì yêu cầu của xã hội đối với con ngƣời càng ngày càng cao. Do đó
việc phát triển giáo dục không chỉ nhằm “nâng cao dân trí” mà còn phải “đào tạo
nhân lực, bồi dƣỡng nhân tài”. Kiến thức thì lại mênh mông, sau khi học xong có
thể nhiều kiến thức mà con ngƣời đƣợc học sẽ bị quên đi, nhƣng cái còn lại lâu dài
ở trong mỗi ngƣời sau khi học đó là tƣ duy đƣợc thể hiện trong xã hội, cuộc sống
hàng ngày nhƣ giao tiếp ứng xử, giải quyết vấn đề …
Việc dạy học ngày nay về cơ bản là để đạt đƣợc mục tiêu hình thành và phát
triển năng lực tƣ duy, trí tuệ của học sinh. Để phát triển đƣợc tƣ duy học sinh,
chúng ta phải đầu tƣ thời gian cho các chƣơng trình rèn luyện kỹ năng phát triển tƣ
duy, phải có ý thức thƣờng xuyên khuyến khích và giúp đỡ học sinh thông qua việc
dạy học nhằm nâng cao trình độ và năng lực tƣ duy phù hợp với khả năng và tâm
sinh lí của học sinh.

Qua quá trình đổi mới phƣơng pháp dạy học của toàn ngành giáo dục nƣớc ta
hiện nay, mặc dù vai trò của ngƣời học đƣợc nâng cao, giáo dục đòi hỏi ngƣời học
phải là cá nhân tích cực, chủ động, sáng tạo trong quá trình dạy và học nhƣng vai trò và
nhiệm vụ của ngƣời thầy không hề bị mờ nhạt mà còn đƣợc coi trọng hơn và đòi hỏi
cao và khắt khe nhiều hơn trƣớc đây. Muốn phát triển năng lực tƣ duy của học sinh,
giáo viên không chỉ dạy theo chuẩn kiến thức mà còn phải mở rộng, nâng cao cho học
sinh tiếp cận với các vấn đề khoa học theo nhiều khía cạnh khác nhau, đặt ra nhiều tình
huống có vấn đề đòi hỏi học sinh phải tƣ duy để giải quyết. Khi học sinh đã học đƣợc
cách giải quyết các vấn đề khoa học thì giáo viên lại yêu cầu giải quyết nhanh hơn,
thậm chí giải quyết theo nhiều phƣơng án khác nhau. Làm

2


nhƣ vậy không chỉ đơn thuần để nâng cao hiệu quả dạy học, vƣợt qua các kì thi mà
còn để phát triển năng lực tƣ duy, từ đó học sinh có thể xử lý tốt những vấn đề phức
tạp, luôn luôn thay đổi mà cuộc sống hiện đại đặt ra sau này.
Trong chƣơng trình Toán học THPT hiện nay, hàm số là một khái niệm rất cơ
bản và quan trọng, có nhiều ứng dụng trong thực tế, dùng để mô tả các mối liên hệ
giữa các đối tƣợng, thuộc tính thay đổi với nhau. Trong nội dung hàm số ở chƣơng
trình Toán THPT có nhiều vấn đề thƣờng gặp khi dạy học và bồi dƣỡng học sinh
nhƣ xây dựng hay thiết lập các hàm số sơ cấp theo một quy tắc nào đó, bài toán này
còn đƣợc gọi là “Các bài toán về Phƣơng trình hàm” , nghiên cứu khảo sát tính chất
của một số hàm số thƣờng gặp, dựng đồ thị của chúng, xem xét việc ứng dụng của
hàm số để giải quyết một số dạng toán nhƣ giải phƣơng trình, bất phƣơng trình…
Trong những vấn đề đó của hàm số thì “ Phƣơng trình hàm” là vấn đề hấp dẫn tuy
nhiên lại rất khó cho cả ngƣời dạy lẫn ngƣời học, chính vì vậy chúng thƣờng có
mặt trong các kì thi học sinh giỏi Toán cấp Tỉnh, Thành phố, Quốc gia, Khu vực và
Quốc tế.
Hệ thống các bài tập về “ Phƣơng trình hàm” rất đa dạng và phong phú,

cách giải chúng cũng không đơn giản có thể bằng một phƣơng pháp hay phải kết
hợp nhiều phƣơng pháp mới giải đƣợc, vì vậy khi bồi dƣỡng cho học sinh khá, giỏi
về vấn đề này sẽ rèn luyện, phát triển tƣ duy linh hoạt, sáng tạo cho ngƣời học và
nâng cao đƣợc chất lƣợng giáo dục.
Hiện nay, việc dạy học giải bài tập “ Phƣơng trình hàm” để rèn luyện tƣ duy,
phát triển trí tuệ cho học sinh còn ít, mới chỉ chú trọng trong công tác ôn luyện, bồi
dƣỡng đội tuyển thi học sinh giỏi của các trƣờng THPT chuyên trên cả nƣớc. Vì
vậy đối với các học sinh khá, giỏi Toán ở các trƣờng THPT, các học sinh ở các
trƣờng THPT chuyên không nằm trong đội tuyển thì hầu nhƣ không có cơ hội đƣợc
học chuyên đề “Phƣơng trình hàm” để rèn luyện tƣ duy, phát triển trí tuệ.
Với mong muốn xây dựng đƣợc một số dạng bài tập và phƣơng pháp giải “
Phƣơng trình hàm” để rèn luyện tƣ duy cho học sinh THPT qua việc dạy học theo
chuyên đề bồi dƣỡng học sinh khá, giỏi toán THPT, chúng tôi chọn đề tài “Rèn

3


luyện tư duy thông qua dạy học giải toán “ Phương trình hàm” cho học sinh
khá, giỏi Toán Trung học Phổ thông” làm đề tài để nghiên cứu.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Hệ thống các bài tập phƣơng trình hàm trong các tài liệu chuyên khảo môn
Toán, trong các diễn đàn toán học, các đề thi học sinh giỏi Toán ở các địa phƣơng,
Quốc gia và Quốc tế, để từ đó xem xét phân loại và nghiên cứu phƣơng pháp giải
chúng. Qua đó có thể đƣa ra đƣợc một số dạng bài tập phƣơng trình hàm có thể
khai thác để rèn luyện các thao tác và các kĩ năng tƣ duy cho học sinh.
Với mục tiêu trên hy vọng đề tài sẽ đóng góp một phần nhỏ vào việc nâng
cao chất lƣợng dạy học Toán THPT nói chung và công tác bồi dƣỡng học sinh giỏi
nói riêng.
3. Đối tƣợng và khách thể nghiên cứu
3.1 Đối tượng nghiên cứu

Việc khai thác sử dụng bài tập “Phƣơng trình hàm” để rèn luyện tƣ duy cho
học sinh THPT.
3.2 Khách thể nghiên cứu
Quá trình dạy học bồi dƣỡng học sinh khá, giỏi toán THPT.
4.
-

Vấn đề nghiên cứu
Các “Phƣơng trình hàm” đƣợc phân loại theo dạng và phƣơng pháp giải

nhƣ thế nào ?
-

Các bài toán, dạng toán “Phƣơng trình hàm” đƣợc khai thác để rèn luyện

tƣ duy cho học sinh khá, giỏi Toán THPT nhƣ thế nào?
5.

Giả thuyết khoa học
Qua việc dạy học giải một số dạng toán “Phƣơng trình hàm” có thể rèn luyện

đƣợc cho học sinh một số phẩm chất, năng lực tƣ duy Toán học, qua đó góp phần
nâng cao đƣợc chất lƣợng dạy và học Toán mang tính chiều sâu ở các trƣờng
THPT hiện nay.
6. Phƣơng pháp nghiên cứu
6.1. Nghiên cứu lí luận

4

Nghiên cứu cơ sở lí luận về tƣ duy trong các tài liệu tâm lý học, giáo dục
học, lý luận dạy học môn Toán.
Nghiên cứu các tài liệu về giải tích, các tài liệu viết về hàm số và phƣơng
trình hàm.
Nghiên cứu các đề thi học sinh giỏi Toán ở các địa phƣơng, cấp Quốc gia, vô
địch Toán các nƣớc trên thế giới, vô địch Toán các khu vực và vùng lãnh thổ, vô
địch Toán quốc tế.
Nghiên cứu vấn đề “Phƣơng trình hàm” trên các diễn đàn toán học hiện nay.
6.2. Nghiên cứu thực tiễn
Tìm hiểu một số dạng bài tập “Phƣơng trình hàm” qua một số giáo viên có
kinh nghiệm trong việc bồi dƣỡng học sinh chuyên Toán ở một số trƣờng THPT
chuyên.
Đánh giá sự rèn luyện, phát triển tƣ duy của học sinh thông qua thực nghiệm
sƣ phạm tại trƣờng THPT Ngô Quyền – Ba Vì thuộc thành phố Hà Nội.
7. Phạm vi nghiên cứu
Bài tập “Phƣơng trình hàm” và một số phƣơng pháp giải “Phƣơng trình
hàm” thƣờng dùng.
8. Một số nét mới của đề tài
Tuyển chọn đƣợc phƣơng pháp giải một số dạng “Phƣơng trình hàm” để có
thể dùng để dạy học bồi dƣỡng học sinh khá, giỏi toán THPT.
Khai thác đƣợc một số bài tập “Phƣơng trình hàm” để rèn luyện một số
phẩm chất tƣ duy cho học sinh khá, giỏi Toán THPT.
9. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận
văn đƣợc trình bày trong 3 chƣơng
Chƣơng 1 : Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chƣơng 2 : Phƣơng pháp giải một số dạng “Phƣơng trình hàm” và việc rèn
luyện tƣ duy cho học sinh khá, giỏi Toán Trung học Phổ thông.
Chƣơng 3 : Thực nghiệm sƣ phạm.

5


CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Lịch sử vấn đề nghiên cứu
Từ trƣớc đến nay cũng đã có một số tác giả nghiên cứu về vấn đề phát triển
tƣ duy thông qua dạy học ở một số chủ đề thuộc môn toán THPT, và cũng có tác giả
nghiên cứu “Phƣơng trình hàm” qua luận văn thạc sĩ đã bảo vệ tại hội đồng chấm
luận văn trƣờng Đại học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội nhƣ :
Nguyễn Hoàng Cƣơng với đề tài “Phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho
học sinh chuyên toán thông qua giảng dạy chuyên đề “phép biến hình trong mặt
phẳng”.
Tô Thị Linh với đề tài “Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi
trong dạy học phương trình, bất phương trình chứa căn thức ở trường THPT”.
Phạm Thị Thảo với đề tài “Phát hiện và bồi dưỡng học sinh năng khiếu
qua việc giảng dạy phương trình hàm”.
Và còn nhiều tác giả khác cũng nghiên cứu về vấn đề tƣ duy qua dạy học.
Nhƣng vấn đề rèn luyện tƣ duy qua việc dạy học chuyên đề “Phƣơng trình hàm” thì
hầu nhƣ chƣa có tác giả nào đề cập và nghiên cứu đến. Chuyên đề “Phƣơng trình
hàm” rất hay, lại có nhiều dạng toán đòi hỏi ngƣời học phải có kiến thức chuyên sâu,
phải tƣ duy nhiều mới giải quyết đƣợc. Vì vậy qua việc dạy học chuyên đề “Phƣơng
trình hàm” sẽ giúp ích một phần nhỏ vào việc rèn luyện tƣ duy cho học sinh để nâng
cao chất lƣợng giáo dục, nên tác giả đã chọn đề tài này để nghiên cứu.

1.2. Tƣ duy và vai trò của dạy học chuyên đề “Phƣơng trình hàm” trong việc
rèn luyện tƣ duy cho học sinh khá, giỏi Toán THPT
1.2.1. Khái niệm tư duy
Tƣ duy là quá trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất, những
mối quan hệ có tính quy luật của sự vật và hiện tƣợng trong hiện thực khách quan.

( Dựa theo [4] ).
Tƣ duy là một quá trình tâm lý liên quan chặt chẽ với ngôn ngữ - quá trình
tìm tòi sáng tạo cái chính yếu, quá trình phản ánh một cách từng phần hay khái quát

6


thực tế trong khi phân tích và tổng hợp nó. Tƣ duy sinh ra trên cơ sở hoạt động thực
tiễn, từ nhận thức cảm tính và vƣợt xa giới hạn của nó.
( Dựa theo [17] ).
1.2.2. Một số đặc điểm cơ bản của tư duy
Tƣ duy chỉ nảy sinh khi gặp hoàn cảnh có vấn đề, tƣ duy có tính khái quát,
tƣ duy có tính gián tiếp;
Tƣ duy của con ngƣời có quan hệ mật thiết với ngôn ngữ: tƣ duy và ngôn
ngữ có quan hệ chặt chẽ với nhau, không tách rời nhau, nhƣng cũng không đồng
nhất với nhau. Sự thống nhất giữ tƣ duy và ngôn ngữ thể hiện rõ ở khâu biểu đạt kết
quả của quá trình tƣ duy;
Tƣ duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính, tƣ duy thƣờng bắt đầu
từ nhận thức cảm tính, dù tƣ duy có khái quát và trừu tƣợng đến đâu thì nội dung
của tƣ duy vẫn chứa đựng những thành phần cảm tính (cảm giác, tri giác, biểu
tƣợng trực quan,…). X. L. Rubinstein khẳng định rằng: “Nội dung cảm tính bao giờ
cũng có trong trừu tƣợng, tựa hồ nhƣ làm thành chỗ dựa cho tƣ duy”.
( Dựa theo [3] ).
1.2.3. Tư duy Toán học
Chƣa có một định nghĩa thống nhất giữa các nhà khoa học thế nào là tƣ duy
Toán học. Cách sử dụng thuật ngữ để đặt tên cho các loại hình tƣ duy là chƣa thống
nhất, và cũng khó mà thống nhất. Một loại hình tƣ duy nào đó theo cách hiểu của
tác giả này có thể không đồng nhất với loại hình tƣ duy ấy theo cách hiểu của tác
giả kia, và cũng không phân biệt hoàn toàn với loại hình tƣ duy có tên gọi khác.
Tuy nhiên, cho dù có những quan niệm khác nhau về thuật ngữ, cũng nhƣ

việc phân chia các thành tố của tƣ duy Toán học hay năng lực tƣ duy toán, thì các
nhà khoa học đều thống nhất trong vai trò quan trọng của việc giáo dục tƣ duy Toán
học cho học sinh, tác động nâng cao chất lƣợng dạy học môn Toán. Có thể nêu ra
một số loại hình và thao tác tƣ duy Toán học dƣới đây:
1.2.3.1. Các loại hình tư duy Toán học

7


Tư duy hàm là suy nghĩ để nhận thức, giải quyết vấn đề trong tƣơng quan khi
một đối tƣợng này thay đổi kéo theo đối tƣợng khác thay đổi.
Tư duy lôgic là suy nghĩ để nhận thức, giải quyết vấn đề theo các quy tắc suy
luận lôgic.
Tư duy thuật toán là suy nghĩ để nhận thức, giải quyết vấn đề theo một trình
tự nhất định.
Tư duy trừu tượng là suy nghĩ để nhận thức, giải quyết vấn đề theo những
dấu hiệu bản chất.
Tư duy sáng tạo là suy nghĩ nhận thức theo một phƣơng diện mới, giải quyết
vấn đề theo cách mới, vận dụng trong hoàn cảnh mới.
Tư duy biện chứng là xem xét sự vật và hiện tƣợng trong mối quan hệ biện
chứng, có tính quy luật, trong quan điểm toàn diện, vận động và phát triển theo
nhiều quan điểm khác nhau.
( Dựa theo [14] ).
1.2.3.2. Các thao tác tư duy Toán học
Phán đoán : Dựa vào điều đã biết, đã thấy để suy xét rút ra nhận định về điều
chƣa biết, chƣa xảy ra.
Phân tích và tổng hợp : Theo từ điển tiếng Việt thì Phân tích là phân chia thật
sự hay bằng tƣởng tƣợng một đối tƣợng nhận thức ra thành các yếu tố; trái với
tổng hợp. Tổng hợp là tổ hợp bằng tƣởng tƣợng hay thật sự các yếu tố riêng rẽ nào
đó làm thành một chỉnh thể; trái với phân tích. Còn theo Triết học thì Phân tích là

phƣơng pháp phân chia cái toàn thể thành ra từng bộ phận, từng mặt, từng yếu tố để
nghiên cứu và hiểu đƣợc các bộ phận, mặt, yếu tố đó. Tổng hợp là phƣơng pháp
dựa vào sự phân tích và liên kết, thống nhất các bộ phận, mặt, yếu tố lại để nhận
thức đƣợc cái toàn thể.
Trong hoạt động giải toán, trƣớc hết phải quan sát một cách tổng hợp để nhận
dạng bài toán thuộc loại gì cần huy động những kiến thức nào, sau đó phân tích cái đã
cho và cái phải tìm, hoặc phân tích ra nhiều bài toán nhỏ, phân tích các mối liên hệ giữa
các yếu tố để tìm lời giải. Thông thƣờng khi tìm tòi lời giải, ta dùng phƣơng pháp

8


phân tích nhiều hơn, nhƣng khi trình bày lời giải, ta dùng phƣơng pháp tổng hợp
cho gọn. Các kiến thức trong sách giáo khoa thƣờng đƣợc trình bày theo phƣơng
pháp tổng hợp cho cô đọng, súc tích. Khi dạy học toán, giáo viên nên có những câu
hỏi dẫn dắt phân tích để rèn luyện kỹ năng phân tích cho học sinh. Rèn luyện năng
lực phân tích và tổng hợp cho học sinh có vai trò quan trọng. Khi có năng lực này,
học sinh sẽ nhìn nhận bài toán một cách có hệ thống, biết phán đoán, biết suy luận
để tìm lời giải cho bài toán cụ thể hay một hệ thống các bài toàn nào đó.
So sánh : Thao tác này nhằm phát hiện những đặc điểm chung và sự khác
nhau của một số đối tƣợng. So sánh thƣờng dẫn đến tƣơng tự, khái quát hóa.
Tương tự : Là thao tác tƣ duy dựa trên sự giống nhau về tính chất và quan hệ
của những đối tƣợng khác nhau ( Hai phép chứng minh là tƣơng tự nhau nếu
đƣờng lối và phƣơng pháp chứng minh giống nhau )
Khái quát hóa và đặc biệt hóa : Khái quát hóa là suy luận chuyển từ khảo sát
một tập hợp đối tƣợng (khái niệm, tính chất,…) này sang tập hợp khác rộng hơn
chúa tập hợp ban đầu làm tập con bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các
phần tử trong tập hợp xuất phát, hay mở rộng khái niệm, tính chất ngay trên tập hợp
đã xét. Khái quát hóa trong Toán học thƣờng đƣợc thể hiện ở các mặt:
Khái quát các quan hệ Toán học (thứ tự, bằng nhau, tƣơng đƣơng, hàm số,

vị trí, cùng cấu trúc, …);
Khái quát đặc điểm của các vấn đề toán học: Khái quát một cách khoa học
đặc điểm của vấn đề làm cho ta nhận thức nhiều vấn đề bề ngoài có vẻ khác nhau,
nhƣng bản chất là giống nhau, tức là thống nhất đƣợc các vấn đề, ta đã nhận thức
đƣợc tính đồng nhất của các vấn đề. Phƣơng pháp này giúp ngƣời học giảm nhẹ
gánh nặng về trí nhớ, nâng cao hiệu quả tƣ duy, hiểu rõ đƣợc vấn đề chính xác, dễ
dàng hơn, giúp học sinh phát triển đƣợc năng lực phát hiện vấn đề và giải quyết vấn
đề.
Khái quát hƣớng suy nghĩ và phƣơng pháp giải quyết vấn đề: Sự khái quát đặc
điểm nói trên là vô cùng quan trọng, nhƣng sự khái quát hƣớng suy nghĩ và phƣơng pháp
giải quyết vấn đề còn quan trọng hơn. Bởi, đây là tri thức phƣơng pháp mà giáo viên đƣợc
cần đƣợc trang bị để hƣớng dẫn học sinh. Từ hƣớng suy nghĩ và cách giải quyết

9


vấn đề này mà ta có thể dùng để chỉ đạo giải quyết một loạt các vấn đề cùng loại
hay mở rộng hơn. Vì thế sau khi dạy giải một bài toán cần chú ý khái quát hƣớng
suy nghĩ và cách giải cho học sinh.
Dùng hình thức khái quát để giải quyết vấn đề, mà cụ thể hơn là giải các bài
toán, là quá trình vận dụng những kết quả đã khái quát, những kiến thức chung vào để
giải quyết các bài toán. Bởi vì khái quát hóa và đặc biệt hóa là hai mặt đối lập của một
quá trình tƣ duy thống nhất. Quá trình giải bài toán tất nhiên theo lƣợc đồ 4 bƣớc của
Polya. Nhƣng việc giải bài tập toán có thể theo quy trình: trƣớc hết phân tích các thành
phần của bài toán, khái quát nhanh những đặc điểm, liên tƣởng nhanh bài toán giống
với bài nào, nhận dạng bài toán. Từ đó mở ra hƣớng suy nghĩ, tìm cách giải quyết.

Đặc biệt hóa là ngƣợc lại của khái quát hóa. Trong quá trình dạy học Toán ở
phổ thông học sinh cũng đã đƣợc tập luyện nhiều hoạt động đặc biệt hóa trong một
mối quan hệ với hai hoạt động khác là: hoạt động phát hiện mối quan hệ chung

riêng, hoạt động khái quát hóa. Quan điểm: “Khai thác mối quan hệ giữa ba hoạt
động trên, trong việc tập luyện cho học sinh khái quát hóa, không chỉ yêu cầu họ đi
từ riêng đến chung (khái quát hóa) mà còn đòi hỏi họ đi từ chung đến riêng (đặc biệt
hóa) và làm rõ mối quan hệ chung riêng giữa cái đạt đƣợc và cái xuất phát.” là đúng
đắn.
Đặc biệt hóa là áp dụng một kết quả trong trƣờng hợp tổng quát vào một trƣờng
hợp đặc biệt. Tất nhiên là nếu kết quả đúng cho trƣờng hợp tổng quát thì nó cũng phải
đúng cho trƣờng hợp đặc biệt. Suy diễn đó không có gì khó khăn và chúng ta vẫn
thƣờng làm khi áp dụng định lý tổng quát vào các bài toán cụ thể mà ta đang giải.

Tuy nhiên, vai trò của đặc biệt hóa càng trở nên quan trọng trong trƣờng hợp
ta đang có dự đoán nào đó về một đối tƣợng đang xét và ta đang muốn chứng minh
rằng dự đoán đó đúng, nhƣng ta chƣa tìm cách chứng minh. Trong trƣờng hợp này
ta nên sử dụng “đặc biệt hóa”.
Ta hãy áp dụng dự đoán vào một trƣờng hợp đặc biệt, và nếu đối với trƣờng hợp
này dự đoán là đúng thì dự đoán của ta đáng tin hơn. Không những thế nếu ta có thể

10


chứng minh dự đoán trong trƣờng hợp đó thì có thể hy vọng các chứng minh đó có
thể mở rộng cho trƣờng hợp tổng quát. Còn trái lại đối với trƣờng hợp đặc biệt
đang xét không đúng thì mọi chuyện sẽ kết thúc.
Trừu tượng hóa : Là gạt bỏ những dấu hiệu không bản chất để tìm ra dấu hiệu
bản chất(Việc phân biệt bản chất hay không bản chất chỉ mang tính tƣơng đối).

( Dựa theo [7] ).
1.2.4. Dạy học giải toán “ Phương trình hàm”
1.2.4.1. Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học
Hình thành, củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những giai đoạn khác nhau

của quá trình dạy học, kể cả kĩ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn;
Phát triển năng lực trí tuệ : Rèn luyện những thao tác tƣ duy, hình thành
những phẩm chất trí tuệ;
Bồi dƣỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất
đạo đức của con ngƣời lao động mới.
( Dựa theo [7] ).
1.2.4.2. Phương pháp chung để giải Toán
Trên thực tế không có một thuật giải tổng quát để giải mọi bài toán. Tuy
nhiên chúng ta có thể trang bị những hƣớng dẫn chung, gợi ý cách suy nghĩ tìm tòi,
phát hiện cách giải bài toán lại là có thể và cần thiết trong quá trình dạy học.
Dựa trên những tƣ tƣởng tổng quát cùng với bản gợi ý chi tiết của
Polya(1975) về cách thức giải bài toán có thể nêu ra phƣơng pháp chung để giải
toán nhƣ sau:
Bước 1( Tìm hiểu nội dung đề bài): Phát biểu đề bài dƣới những dạng thức
khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán, phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải
chứng minh, có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề
bài.
Bước 2(Tìm cách giải): Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có
tính chất tìm đoán: biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh,
liên hệ cái đã cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần

11


giải với một bài toán cũ tƣơng tự, một trƣờng hợp riêng, một bài toán tổng quát
hơn, hay một bài toán nào có liên quan, sử dụng những phƣơng pháp đặc thù với
từng dạng toán nhƣ chứng minh phản chứng, quy nạp toán học,…
Kiểm tra lời giải bằng cách xem xét lại kĩ từng bƣớc thực hiện hoặc đặc biệt
hóa kết quả tìm đƣợc hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan,…
Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn đƣợc cách giải hợp lí

nhất.
Bước 3(Trình bày lời giải): Từ cách giải đã đƣợc phát hiện, sắp xếp các việc
phải làm thành một chƣơng trình gồm các bƣớc theo một trình tự thích hợp và thực
hiện các bƣớc đó.
Bước 4(Nghiên cứu sâu lời giải): Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả
của lời giải.
Nghiên cứu giải những bài toán tƣơng tự, mở rộng hay lật ngƣợc vấn đề.
1.2.4.3. Tiềm năng của chuyên đề “Phương trình hàm” trong việc rèn luyện tư duy
cho học sinh THPT
Chuyên đề “Phƣơng trình hàm” có nhiều bài tập hay và đẹp cả về mặt thẩm
mĩ và Toán học, tuy rất khó đối với học sinh THPT nhƣng đối với học sinh khá và
giỏi Toán thì nếu đƣợc bồi dƣỡng chuyên đề này thì tƣ duy của học sinh sẽ đƣợc
rèn luyện và phát triển rất tốt vì các bài toán về phƣơng trình hàm thể hiện đƣợc
nhiều nét để học sinh có thể rèn luyện tƣơng đối đầy đủ các thao tác tƣ duy Toán
học, nó còn đòi hỏi học sinh phải tƣ duy rất cao. Vì vậy việc bồi dƣỡng chuyên đề
này cho học sinh khá, giỏi Toán là việc cần thiết và quan trọng trong quá trình giáo
dục ở các trƣờng THPT hiện nay.
1.2.5. Công tác bồi dưỡng học sinh khá, giỏi Toán THPT về chuyên đề “Phương
trình hàm”
1.2.5.1. Khái niệm học sinh khá, giỏi Toán THPT
Học sinh khá, giỏi Toán THPT là những học sinh có khả năng về Toán và đạt
thành tích cao trong học tập môn Toán. Những học sinh có khả năng về Toán là
những học sinh tiếp thu nhanh bài học, thành thạo biến đổi các biểu thức Toán học,

12


biết suy luận và lập luận trong chứng minh định lí hay bài toán, biết liên hệ các chủ
đề toán trong chƣơng trình Toán THPT.
1.2.5.2. Vai trò của công tác bồi dưỡng học sinh giỏi

Đảng ta quan niệm: “Hiền tài là nguyên khí của quốc gia” và rất coi trọng
việc bồi dƣỡng nhân tài cho đất nƣớc. Bộ giáo dục và đào tạo có những chủ trƣơng
mới về công tác bồi dƣỡng học sinh giỏi. Đó là tiếp tục chú trọng xây dựng hệ
thống các trƣờng chuyên một cách hoàn thiện hơn, khuyến khích và tôn vinh các
học sinh đạt thành tích cao. Chƣơng trình giáo dục phổ thông đƣợc phân thành các
ban giúp học sinh phát huy đƣợc năng khiếu của mình, nhà trƣờng có thể vận dụng
việc dạy phân hóa vào bồi dƣỡng học sinh giỏi. Tổ chức các lớp bồi dƣỡng học
sinh khá, giỏi học theo chƣơng trình nâng cao và yêu cầu khắt khe hơn so với học
sinh bình thƣờng.
1.2.5.3. Thực trạng dạy học chuyên đề “Phương trình hàm”ở các trường THPT
hiện nay
Hiện nay, chuyên đề “Phƣơng trình hàm” chƣa đƣợc đề cập nhiều trong các
trƣờng THPT. Các học sinh chuyên Toán đã đƣợc tiếp cận và đƣợc học “Phƣơng
trình hàm” từ nhiều năm nay, còn các học sinh ở các trƣờng phổ thông thì rất ít có
cơ hội tiếp cân và là lĩnh vực rất xa đối với họ, khi gặp phải thì rất bỡ ngỡ và gặp
nhiều khó khăn để gải quyết. đa số học sinh đều cảm thấy “Phƣơng trình hàm” là
lĩnh vực rất khó bởi một trong các lí do là: ít đƣợc rèn luyện, tài liệu tham khảo viết
về “Phƣơng trình hàm” rất ít, các giáo viên không dạy chuyên không đầu tƣ nghiên
cứu sâu về mảng này nên ngại dạy cho học sinh.
Vì vậy chuyên đề “Phƣơng trình hàm” là cũ trong Toán học sơ cấp nhƣng lại
là vấn đề mới đối với hầu hết học sinh THPT hiện nay.

13


CHƢƠNG 2
PHƢƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG “PHƢƠNG TRÌNH HÀM” VÀ
VIỆC RÈN LUYỆN TƢ DUY CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI TOÁN TRUNG
HỌC PHỔ THÔNG
2.1. Một số kiến thức cơ bản về hàm số

2.1.1. Các định nghĩa và tính chất
2.1.1.1. Hàm số
Cho D và Y là hai tập hợp con của tập ¡ . Một hàm số f : D ® Y là một quy tắc
sao cho mỗi phần tử x Î D ứng với duy nhất phần tử y Î Y .
D

đƣợc gọi là tập xác định của hàm số f , y đƣợc gọi là giá trị của hàm số

tại đối số x Î D và đƣợc kí hiệu là f ( x ) .
Tập hợp { f ( x ) x Î D} đƣợc gọi là tập giá trị của hàm số f .
Điểm x 0 Î D đƣợc gọi là điểm bất động của hàm số f nếu f (x 0 ) = x 0 .
Các hàm số sơ cấp thƣờng gặp trong chƣơng trình Toán THPT là các hàm
lũy thừa, hàm mũ, hàm lôgarit, hàm lƣợng giác và các hàm số đƣợc tạo bởi hữu hạn
các phép toán số học (Cộng, trừ, nhân, chia), hoặc phép lấy hàm hợp của các hàm số
sơ cấp trên.
2.1.1.2. Hàm số đơn ánh, toàn ánh, song ánh
Hàm số f : D ® Y
"

đƣợc gọi là đơn ánh nếu

x 1, x 2 Î D ta có x 1 ¹ x 2 Þ f (x 1 ) ¹ f (x2 ) .

Từ đó ta có f là đơn ánh Û f (x 1 ) = f (x 2 ) Þ
Hàm số f : D ® Y

x 1 = x2 .

đƣợc gọi là toàn ánh nếu " y Î Y

đều tồn tại x Î D sao

cho f (x ) = y .
Hàm số f : D ® Y

đƣợc gọi là song ánh nếu nó vừa là đơn ánh, vừa là toàn

ánh.
2.1.1.3. Hàm hợp

14


Cho hai hàm số f : D ® Y

và g :Y ® ¡ . Hàm hợp của hai hàm số f , g là

hàm số h : D ® ¡
Hàm hợp lặp bậc n (n Î ¥ * )
xác định bởi công thức truy hồi:

Hàm số
k Î ¥ * sao cho f
trên đƣợc gọi là chu kì của hàm lặp tuần hoàn f ( x ) .
(Với fk + 1(x ) =
2.1.1.4. Hàm số liên tục
Hàm số
lim f ( x ) = f ( x 0 ) .
x ® x0

Hàm số
(a ; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm x Î (a ; b) .
Hàm số
nếu nó liên tục trên khoảng (a ; b) và
Các hàm số sơ cấp trong chƣơng trình Toán THPT liên tục trên từng khoảng
xác định của nó.
2.1.1.5. Hàm số khả vi
Hàm số f ( x )
x 0 Î (a ; b) nếu tồn tại

đạo hàm của hàm số f ( x ) tại điểm x 0 , kí hiệu f '( x 0 ) .


15


Hàm số f ( x )
điểm x Î (a ; b) .
Hàm số f ' : (a ; b) ® ¡ đƣợc gọi là đạo hàm của hàm số f kí hiệu là f '( x ) .
2.1.1.6. Hàm số cộng tính, nhân tính
Hàm số f : D ® ¡
x + y Î D và f (x + y ) = f (x ) + f (y) .
Chú ý 1: Nếu hàm số f : D ® ¡
và f (x - y ) = f (x ) Nếu

hàm số

"xÎ

¡,"rÎ

Hàm số f : D ® ¡

xy Î D và f (xy ) = f (x ) f (y) .
2.1.1.7. Hàm số bị chặn
Hàm số f ( x )
cho f (x ) £ M
Hàm số f ( x )
cho f (x ) ³ m với mọi x Î
Hàm số f ( x )
trên và bị chặn dƣới.
2.1.1.8. Hàm số đơn điệu
Hàm số f ( x )
"

x 1, x 2 Î (a ; b) mà x 1 £ x 2 Þ f (x 1 ) £ f (x2 ) .

Hàm số f (x ) đƣợc gọi là giảm trên khoảng (a ; b) nếu
"

x 1, x 2 Î (a ; b) mà x 1 £ x 2 Þ f (x 1 ) ³ f (x2 ) .

Hàm số tăng hoặc giảm trên khoảng (a ; b) đƣợc gọi là đơn điệu trên (a ; b) .

16


Hàm số f ( x ) đƣợc gọi là tăng thực sự (đồng biến) trên khoảng (a ; b) nếu
"

x 1, x 2 Î (a ; b) mà x 1 < x 2 Þ f (x 1 ) < f (x2 ) .

Hàm số f (x ) đƣợc gọi là giảm thực sự (nghịch biến) trên khoảng (a ; b) nếu
"
x 1, x 2 Î (a ; b) mà x 1 < x 2 Þ f (x 1 ) > f
(x2 ) .

Hàm số tăng hay giảm thực sự trên (a ; b) đƣợc gọi là hàm số đơn điệu thực
sự trên(a ; b) .
Một số tính chất của các hàm số đơn điệu
Mọi hàm đơn điệu thực sự trên khoảng (a ; b) đều là đơn ánh trên khoảng (a ; b) .
Nếu f ( x ) và g( x ) là hai hàm tăng (giảm) thì f (x ) + g( x ) cũng là hàm tăng (giảm).
Nếu f ( x ) và g( x ) là hai hàm tăng và không âm thì f (x )g(x ) cũng là hàm tăng.
Nếu f ( x ) là hàm đơn điệu trên (a ; b) thì f ( f (x )) là hàm tăng.
Nếu f ( x ) là đơn ánh và liên tục trên khoảng (a ; b) thì nó đơn điệu thực sự trên
khoảng đó.
Nếu hàm số

f

Nếu hàm số

f

2.1.1.9. Hàm số chẵn, lẻ, hàm số tuần hoàn
Hàm số f : D ® ¡

đƣợc gọi là hàm chẵn khi và chỉ khi

" x Î D Þ - x Î D và f (- x ) = f (x )
Hàm số f : D ® ¡

đƣợc gọi là hàm lẻ khi và chỉ khi

"

x Î D Þ - x Î D và f (- x ) = - f (x )

Hàm số f : D ® ¡ đƣợc gọi là hàm tuần hoàn (cộng tính) chu kì T > 0 khi và
chỉ khi " x Î D Þ x ± T Î D và f (x ± T ) = f (x )
2.1.2. Đặc trưng của một số hàm số trong chương trình Toán THPT
2.1.2.1. Hàm tuyến tính f (x ) = ax có đặc trưng hàm là:
f (x + y ) = f (x ) + f (y) , " x , y Î ¡ .
2.1.2.2. Hàm nhị thức f (x ) = ax + b có đặc trưng hàm là:

17


f(
2.1.2.3. Hàm bậc hai y = ax 2 (a ¹
f (x + y ) + f (x - y ) = 2 f (x ) + 2 f (y) , " x , y Î ¡ .
2.1.2.4. Hàm lũy thừa f (x ) = x a (với a Î ¡ ) có đặc trưng hàm là:
f (xy ) = f (x ) f (y) , " x , y Î ¡ + .
2.1.2.5. Hàm mũ f (x ) = ax (với a > 0 và a ¹

1 ) có đặc trưng hàm là:

f (x + y ) = f (x ) f (y) , " x , y Î
2.1.2.6. Hàm lôgarit f (x ) = loga x

¡

(a > 0 và a ¹ 1 ) có đặc trưng hàm là:

f (xy ) = f (x ) + f (y) , " x , y Î

¡*.

2.1.2.7. Hàm sin f (x ) = sin x có đặc trưng hàm là:
f (3x ) = 3 f (x ) - 4 f 3(x ) , " x Î ¡ .
2.1.2.8. Hàm côsin f (x ) = cos x
f (2x ) = 2 f 2(x ) - 1 và f (x + y ) + f (x - y ) = 2 f (x ) f (y) , " x Î ¡ .
2.1.2.9. Hàm tang f (x ) = t an x
f(x+y)=

2.1.2.10. Hàm côtang f (x ) = cot x có đặc trưng hàm là:
f(x+y)=

2.1.2.11. Hàm số hằng f (x ) = C
f (x ) = f (y) , " x , y Ρ .
2.1.3. Khái niệm về “Phương trình hàm”
Cho D ,Y là hai tập con của tập các số thực ¡ . Bài toán xác định tất cả các
hàm số f : D ® Y thỏa mãn một số điều kiện về (đẳng thức, tính chất của hàm số,


18


tính chất của tập hợp, …) nào đó là bài toán quan trọng và thƣờng gặp trong Giải tích
và đƣợc đặt tên cho lớp phƣơng trình đặc biệt đƣợc gọi là “Phƣơng trình hàm”.

Phƣơng trình hàm là phƣơng trình đặc biệt mà ẩn là một (hoặc vài) hàm số.
Giải phƣơng trình hàm là việc tìm tất cả các hàm số thỏa mãn phƣơng trình
hàm đã cho và một số điều kiện cho trƣớc.
2.2. Phƣơng pháp giải một số dạng “Phƣơng trình hàm”
2.2.1. Phương pháp đưa về hệ phương trình
Phƣơng pháp đƣa về hệ phƣơng trình là một phƣơng pháp thƣờng đƣợc sử
dụng cho việc giải các phƣơng trình hàm có dạng
a (x ) f [u (x )] + b(x ) f [v (x )] = c(x ) , trong đó a (x ), b(x ), c(x ), u (x ), v(x) là các hàm số

cho trƣớc, còn f là hàm số cần tìm thỏa mãn phƣơng trình hàm trên.
Thông thƣờng khi giải phƣơng trình hàm dạng trên thì chúng ta thƣờng dùng
các phép thế thích hợp để tạo ra các phƣơng trình hàm khác có dạng tƣơng tự. Kết hợp
phƣơng trình hàm đã cho với các phƣơng trình hàm vừa tạo ra sẽ đƣợc một hệ gồm
nhiều phƣơng trình hàm và từ hệ này ta có thể tìm ra đƣợc hàm số theo yêu

cầu. Phƣơng pháp làm nhƣ vậy đƣợc gọi là phƣơng pháp đƣa về hệ phƣơng
trình. Bài toán 1 (Việt Nam 2000). Tìm tất cả các hàm số f : ¡ ® ¡ thỏa mãn

Lời giải. Thay x

Từ (1) và (2) ta có hệ phƣơng trình ì

Þ

(x 2 - x - 1) f (x ) = (x 2 - x - 1)(1 - x 2 ) , " x Î ¡ .

Nếu x 2 - x - 1 ¹ 0 Û x ¹


19