Xây dựng hệ thống bài tập chủ đề phương trình vô tỉ nhằm phát triển tư duy phê phán cho học sinh trung học phổ thông

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

TÔ THỊ DINH

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
NHẰM PHÁT TRIỂN TƯ DUY PHÊ PHÁN
CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI – 2015

1


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

TÔ THỊ DINH

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
NHẰM PHÁT TRIỂN TƯ DUY PHÊ PHÁN
CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học (bộ môn Toán)
Mã số: 60 14 01 11

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Minh Tuấn

HÀ NỘI – 2015

2


LỜI CẢM ƠN
Hoàn thành được luận văn này, ngoài sự nỗ lực của bản thân, tôi đã nhận
được sự chỉ bảo, giúp đỡ từ nhiều phía của các thầy, cô giáo, gia đình và bạn
bè.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới người thầy kính mến PGS.TS.
Nguyễn Minh Tuấn, người đã trực tiếp truyền thụ kiến thức, định hướng nghiên
cứu và tận tình hướng dẫn cho tôi hoàn thành bản luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo khoa Sư phạm, trường Đại học
Giáo dục - Đại học Quốc gia Hà Nội, những người đã trực tiếp giảng dạy và
giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại trường cùng toàn thể bạn bè và người
thân đã đóng góp ý kiến, giúp đỡ, động viên tôi trong quá trình học tập, nghiên
cứu và hoàn thành luận văn này.
Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên khi
làm luận văn không tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Kính mong nhận
được ý kiến đóng góp của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp để bản luận văn
được hoàn chỉnh hơn.
Xin chân thành cảm ơn.
Hà Nội, ngày 10 tháng 11 năm 2014
Học viên

Tô Thị Dinh

3

MỤC LỤC
Lời cảm ơn.........................................................................................................
Mục lục..............................................................................................................
Danh mục bảng .............................................................................................
Danh mục biểu đồ ..................... ......................................................................
MỞ ĐẦU........................................................................................................
Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN .......................................................................
1.1. Dạy học phương trình vô tỉ .......................................................................
1.1.1. Khái niệm phương trình vô tỉ .................................................................
1.1.2. Mục tiêu dạy học phương trình vô tỉ ......................................................
1.1.3. Khó khăn và thách thức trong dạy học nội dung phương trình vô tỉ .......
1.2. Hệ thống bài tập .......................................................................................
1.2.1. Khái niệm hệ thống bài tập ....................................................................
1.2.2. Mục đích hệ thống bài tập phương trình vô tỉ ........................................
1.2.3. Cách thức hệ thống bài tập phương trình vô tỉ .......................................
1.3. Tư duy phê phán .......................................................................................
1.3.1. Khái niệm tư duy ...................................................................................
1.3.2. Khái niệm tư duy phê phán ....................................................................
1.3.3. Dấu hiệu của năng lực tư duy phê phán ..........................................................
1.3.4. Nguyên tắc cơ bản của tư duy phê phán ........................................................
1.3.5. Thực trạng dạy học tư duy phê phán ở trường phổ thông ............................
1.3.6. Biện pháp phát triển tư duy phê phán ............................................................
1.4. Hệ thống bài tập phương trình vô tỉ như thế nào để phát triển tư duy phê
phán cho học sinh …………………………………………………………..16
Chương 2. CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
2.1. Phương pháp biến đổi tương đương…………………………………….18
2.1.1. Nâng lên lũy thừa
2.1.2. Trục căn thức ..................................................................................................

2.1.3. Phương trình biến đổi về tích.................................................................................. 30
2.1.4. Đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.............................. 35
2.2. Phương pháp đặt ẩn phụ………………………………………………...38
2.2.1. Đặt một ẩn phụ hoàn toàn......................................................................................... 38
2.2.2. Đặt hai ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất............................................... 44
2.2.3. Đặt ẩn phụ đưa về hệ.................................................................................................. 48
2.2.4. Đặt ẩn phụ không hoàn toàn.................................................................................... 54
2.3. Phương pháp lượng giác hóa....................................................................................... 58
2.4. Phương pháp đánh giá................................................................................................... 61
2.5. Phương pháp hàm số...................................................................................................... 64
2.6. Phương pháp đồ thị......................................................................................................... 68
Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM........................................................................ 73
3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm................................................................................. 73
3.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm................................................................................. 73
3.2.1. Đối tượng thực nghiệm.............................................................................................. 73
3.2.2. Tổ chức thực nghiệm.................................................................................................. 73
3.3. Kết quả thực nghiệm sư phạm…………………………………………..82
3.3.1. Tổng hợp kết quả thực nghiệm............................................................................... 82
3.3.2. Phân tích kết quả thực nghiệm sư phạm.............................................................. 88
KẾT LUẬN............................................................................................................................... 92
TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................................................... 93
PHỤ LỤC................................................................................................................................... 95

5


DANH MỤC BẢNG
Bảng 3.1. Bảng phân phối kết quả các bài kiểm tra................................................... .82
Bảng 3.2. Kết quả mức độ hứng thú học tập của học sinh....................................... 83
Bảng 3.3. Tổng hợp kết quả các bài kiểm tra............................................................... .85

Bảng 3.4. Tổng hợp phân loại kết quả học tập............................................................. 85
Bảng 3.5. Bảng thống kê các tham số đặc trưng từng lớp........................................ 87
Bảng 3.6. Bảng thống kê các tham số đặc trưng từng nhóm thực nghiệm.........87
DANH MỤC BIỂU ĐỒ
Biểu đồ 3.1. Tổng hợp phân loại kết quả học tập........................................................ 86
Biểu đồ 3.2. Mức độ hứng thú học tập của học sinh.................................................. 86

6


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước và hội nhập quốc tế
đang đặt ra cho ngành giáo dục nước ta một nhiệm vụ quan trọng là đào tạo ra
những con người có phẩm chất tốt, năng động và sáng tạo. Một trong những
điểm yếu của đa số học sinh hiện nay là thái độ thụ động trong học tập, ngại
khó, lười đặt ra câu hỏi và trả lời để nhìn nhận vấn đề một cách sâu sắc và toàn
diện. Bên cạnh đó, học sinh chưa biết cách chọn lọc thông tin, hệ thống kiến
thức một cách hợp lý trong học tập. Chính vì lẽ đó, học sinh cần được rèn
luyện ý thức, tư duy phê phán và tư duy sáng tạo ngay từ khi ngồi trên ghế nhà
trường.
Toán học là một môn khoa học của tư duy nhưng lại có mối liên hệ mật
thiết với thực tiễn và được ứng dụng rộng rãi trong rất nhiều lĩnh vực khác
nhau của khoa học, công nghệ cũng như trong sản xuất và đời sống. Trong dạy
học toán, một trong những nhiệm vụ quan trọng là hình thành và phát triển tư
duy phê phán, tư duy sáng tạo cho học sinh.
Thực tế giảng dạy toán ở trường phổ thông hiện nay cho thấy tư duy phê
phán chỉ được phát triển một cách tự nhiên theo nội dung dạy học mà chưa
được định hướng rõ ràng, cụ thể. Như vậy, vấn đề đặt ra là làm thế nào để học
sinh học tập toán một cách hiệu quả? Làm thế nào để học sinh có khả năng hệ

thống các nội dung toán học theo khả năng tư duy logic của mình? Làm thế
nào để giúp học sinh có thể phân tích đánh giá các bài toán một cách toàn
diện? Hay nói một cách khác, làm thế nào để phát triển tư duy phê phán cho
học sinh trong dạy học toán? Nhận thấy nội dung phương trình vô tỉ khá quan
trọng và phù hợp cho việc phát triển tư duy phê phán của học sinh trung học
phổ thông. Do đó, để phần nào giải đáp các câu hỏi trên tác giả đã chọn đề tài :
‘‘Xây dựng hệ thống bài tập chủ đề phương trình vô tỉ nhằm phát triển tư duy
phê phán cho học sinh trung học phổ thông’’ làm luận văn thạc sĩ.

7


2. Mục đích nghiên cứu
Định hướng cho người học cách hệ thống các dạng toán quan trọng trong
nội dung phương trình vô tỉ. Việc khai thác sâu từng bài toán cụ thể sẽ giúp
học sinh phát triển khả năng tư duy phê phán một cách toàn diện khi đánh giá
một bài toán hay một vấn đề.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Thứ nhất: Nghiên cứu cơ sở lý luận về phương trình vô tỉ và tư duy phê
phán.
Thứ hai: Hệ thống các dạng toán về chủ đề phương trình vô tỉ, đồng thời
thiết kế các bài toán theo hướng phát triển vấn đề, phân tích và khai khác sâu
nhằm phát triển tư duy phê phán cho học sinh một cách toàn diện.
Thứ ba: Thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của
đề tài trong dạy học.
4. Khách thể và đối tượng nghiên cứu
Khách thể nghiên cứu là quá trình dạy học nội dung phương trình vô tỉ
ở trường trung học phổ thông (cụ thể là trường trung học phổ thông Ngô
Quyền).
Đối tượng nghiên cứu là các dạng toán về phương trình vô tỉ được khai

thác sâu theo hướng phát triển tư duy phê phán cho học sinh trung bình, khá.
5. Vấn đề nghiên cứu
Đề tài tập trung vào nghiên cứu vấn đề cơ bản sau:
Khai thác các bài toán về phương trình vô tỉ như thế nào để phát triển tư
duy phê phán cho học sinh trung học phổ thông một cách toàn diện?
6. Giả thuyết khoa học
Xây dựng hệ thống bài tập chủ đề phương trình vô tỉ nhằm phát triển tư
duy phê phán cho học sinh sẽ có hiệu quả tích cực trong việc giúp học sinh chủ
động chiếm lĩnh tri thức, nội dung kiến thức bài học, trở thành con người có tư
duy độc lập tự chủ, năng động và nắm bắt vấn đề một cách sâu sắc và toàn
diện.

8


7. Giới hạn và phạm vi nghiên cứu
- Phạm vi về thời gian: Từ tháng 01 năm 2014 đến tháng 10 năm
2014.
-

Phạm vi về nội dung: Các bài toán về phương trình vô tỉ được khai

thác theo hướng phát triển tư duy phê phán cho học sinh trung học thổ thông.
-

Khảo sát tại trường trung học phổ thông Ngô Quyền thành phố Hải

Phòng.
8. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
- Ý nghĩa lý luận của đề tài:

Cung cấp một cách rõ ràng và hệ thống cơ sở lý luận những vấn đề cơ
bản về phương trình vô tỉ và tư duy phê phán.
- Ý nghĩa thực tiễn của đề tài:
Đề tài có thể làm tài liệu tham khảo hữu ích với giáo viên và học sinh
trung học phổ thông trong giảng dạy và học tập.
9. Phương pháp nghiên cứu
Luận văn sử dụng một số phương pháp nghiên cứu sau:
-

Nhóm phương pháp nghiên cứu lý luận: Sưu tầm, đọc, nghiên cứu các

bài báo, luận văn, sách tham khảo về phương trình vô tỉ và tư duy phê phán.
-

Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Quan sát, tổng kết kinh

nghiệm, tham vấn chuyên gia.
-

Nhóm phương pháp xử lý thông tin: Định lượng, định tính, thống kê

và phân tích thống kê.
10.

Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn
được trình bày theo ba chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận.
Chương 2: Các bài toán phương trình vô tỉ.

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

9


CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1. Dạy học phương trình vô tỉ
1.1.1. Khái niệm phương trình vô tỉ
Khái niệm phương trình là một trong những khái niệm quan trọng của
toán học. Khi nói đến phương trình ta hiểu rằng đó là hai biểu thức chứa biến
số nối với nhau bởi dấu ‘‘ = ’’ mà ta phải tìm giá trị của biến số để giá trị tương
ứng của hai biểu thức bằng nhau (xem [7, tr. 59, 60]).
Có thể định nghĩa cơ bản về phương trình vô tỉ như sau: ‘‘Phương trình vô
tỉ là phương trình chứa ẩn dưới dấu căn’’.
Ví dụ: 2x

3

x 3 là một dạng phương trình vô tỉ.

1.1.2. Mục tiêu dạy học phương trình vô tỉ
Phương trình là phần kiến thức nền tảng, cơ bản, quan trọng xuyên suốt
chương trình phổ thông với nhiều ứng dụng rộng rãi trong thực tế và cuộc
sống. Lí thuyết phương trình không phải chỉ là cơ sở để xây dựng đại số học
mà còn giữ vai trò quan trọng trong các bộ môn khác của toán học (xem [7, tr.
64,65]). Việc dạy học kiến thức về phương trình là rất quan trọng. Một trong
những nội dung hay và khó trong phần kiến thức này là phương trình vô tỉ. Do
đó, cần đặt ra mục tiêu dạy học nội dung này một cách hợp lý giúp cho quá
trình dạy học đạt hiệu quả cao nhất, cụ thể:

tỉ.
-

Học sinh có thể nhận biết được các dạng bài tập về phương trình vô

Học sinh hiểu và giải quyết được các bài toán về phương trình vô tỉ từ

đơn giản đến phức tạp và theo các cách khác nhau.
-

Học sinh được rèn luyện về tính quy củ, tính kế hoạch, tính kỉ luật (xem

[7, tr. 68]).
-

Rèn cho học sinh kĩ năng tính toán, suy luận logic, đánh giá, phân tích,

tổng hợp các vấn đề. Học sinh được phát triển tư duy phuật giải (xem [7, tr.
68]).

10


-

Học sinh biết mở rộng, phát triển bài toán theo hướng tư duy của mình,

liên hệ nội dung phương trình vô tỉ với các nội dung học tập khác.
-

Giảm bớt áp lực, khó khăn cho học sinh trong quá trình học tập nội

dung phương trình vô tỉ.
-

Kích thích tư duy, niềm say mê, hứng thú của học sinh trong học tập nội

dung phương trình vô tỉ nói riêng và bộ môn toán nói chung.
1.1.3. Khó khăn và thách thức trong dạy học nội dung phương trình vô tỉ
Phương trình vô tỉ là dạng toán khó và quan trọng trong chương trình
phổ thông, yêu cầu người học và người dạy cần có kiến thức chắc chắn và có
tầm nhìn thật tổng quát về toán học thì mới giải quyết tốt các các bài tập về nội
dung này. Do vậy, trong dạy học nội dung phương trình vô tỉ giáo viên và học
sinh đều gặp những khó khăn nhất định.
1.1.3.1. Khó khăn đối với giáo viên
Giáo viên thường gặp khó khăn trong việc tổng hợp tài liệu, phân tích,
nghiên cứu sâu các dạng bài tập về phương trình vô tỉ do đây là một nội dung
khá khó, phức tạp đòi hỏi sự kiên trì, kiến thức chắc chắn và sâu rộng. Hiện
nay, sách vở, tài liệu tham khảo rất nhiều với nhiều hình thức khác nhau, do
vậy nếu không biết cách chọn lọc tài liệu hợp lí, chất lượng thì giáo viên sẽ
nghiên cứu dàn trải, lan man, thiếu trọng tâm trong việc hệ thống kiến thức và
không đảm bảo tính chính xác, đúng đắn của nội dung kiến thức cần nghiên
cứu.
Nội dung phương trình vô tỉ khá khô khan, phức tạp nhiều bài tập có vấn
đề, học sinh dễ chán nản nên ít hứng thú học tập và giải toán do chưa đủ khả
năng bao quát vấn đề, dẫn đến khó khăn cho giáo viên trong quá trình giảng
dạy. Đòi hỏi giáo viên cần chuẩn bị kĩ càng, thiết kế nội dung dạy học hợp lí,
khéo léo, kiến thức chắc chắn thì mới đạt được hiệu quả.
Giáo viên chưa có kinh nghiệm, chuyên môn chưa sâu sẽ gặp nhiều khó
khăn trong quá trình giảng dạy nội dung này, nếu chuẩn bị không tốt dễ làm

mất niềm tin đối với học sinh, không đảm bảo chất lượng dạy học.

11


1.1.3.2. Khó khăn đối với học sinh
Trong quá trình học tập và nghiên cứu nội dung phương trình vô tỉ, học
sinh dễ mắc phải một số khó khăn sau:
Thứ nhất, trong quá trình giải các bài tập về phương trình vô tỉ học sinh
thường mắc sai lầm. Nguyên nhân chủ yếu về mặt kiến thức dẫn đến sai lầm là
học sinh nắm không vững chắc các định nghĩa, định lí, quy tắc...vận dụng
chúng một cách máy móc, không chú ý đến các điều kiện hạn chế phạm vi tác
dụng của chúng (xem [6, tr. 209]).
Thứ hai, vì chưa đủ khả năng phân tích, khai thác bao quát mọi trường
hợp, vấn đề trong các bài tập về phương trình vô tỉ nên bài giải không được
trọn vẹn, thiếu sót.
Thứ ba, học sinh chưa biết cách hệ thống logic các dạng bài tập về
phương trình vô tỉ nên gặp khó khăn với các bài toán phức tạp và các bài tập
mới.
Thứ tư, học sinh chưa được định hướng rõ ràng về phương pháp giải cho
từng dạng toán, chưa biết khai thác một bài toán theo nhiều hướng khác nhau
để lựa chọn một cách hợp lý. Do đó, các em chưa linh hoạt, sáng tạo trong giải
toán.
1.2. Hệ thống bài tập
1.2.1. Khái niệm hệ thống bài tập
Hệ thống là tập hợp các phần tử có quan hệ hữu cơ với nhau, tác động chi
phối lẫn nhau theo các quy luật nhất định để trở thành một chỉnh thể. Từ đó
xuất hiện thuộc tính mới gọi là tính trồi của hệ thống mà từng phần tử riêng lẻ
không có hoặc có không đáng kể.
Hệ thống bài tập là liệt kê, sắp xếp, phát triển các bài tập theo một trật tự

logic nhất định tạo thành một tập hợp các bài toán với các phương pháp giải
đặc trưng nhất cho từng dạng toán.

12


1.2.2. Mục đích hệ thống bài tập phương trình vô tỉ
Việc hệ thống bài tập về nội dung phương trình vô tỉ nhằm thực hiện các
mục đích cơ bản sau:
-

Giúp học sinh có thể nghiên cứu các bài tập về nội dung phương trình

vô tỉ một cách đơn giản, nhẹ nhàng, vừa sức với các em.
-

Giúp học sinh dễ dàng tiếp cận với các dạng toán, các bài tập quen

thuộc, đến các bài tập khó hơn.
-

Học sinh có lối tư duy mở, biết khai thác, phát triển mở rộng sáng tạo ra

các bài tập mới trên cơ sở các bài tập cơ bản đã học.
-

Học sinh có kinh nghiệm trong việc hệ thống bài tập trong nội dung

phương trình vô tỉ nói riêng và trong toán học nói chung.
-

Giảm bớt áp lực cho giáo viên và học sinh trong dạy và học nội dung

phương tình vô tỉ.
1.2.3. Cách thức hệ thống bài tập phương trình vô tỉ
Hệ thống bài tập phương trình vô tỉ được định hướng như sau:
-

Phân dạng cụ thể, rõ ràng các bài toán về phương trình vô tỉ.

Sắp xếp logic các bài toán về phương trình vô tỉ từ đơn giản đến phức

tạp, từ dễ đến khó, từ cụ thể đến tổng quát.
-

Khai thác, đánh giá, phân tích từng bài toán cụ thể trong từng dạng

nhằm làm sáng tỏ phương pháp tư duy để giải bài toán.
-

Liên hệ, mở rộng, phát triển các bài toán nhằm phát triển tư duy sáng

tạo cho người học.
1.3. Tư duy phê phán
1.3.1. Khái niệm tư duy
Tư duy là quá trình tâm lý thuộc nhận thức lý tính là một mức độ nhận
thức mới về chất so với cảm giác và tri giác. Tư duy phản ánh những thuộc
tính bên trong, bản chất, những mối liên hệ có tính quy luật của sự vật, hiện
tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết (xem [11]).

13


1.3.2. Khái niệm tư duy phê phán
Tư duy phê phán là một trong những loại hình tư duy bậc cao của tư duy.
Có nhiều quan niệm về tư duy phê phán (xem [9]). Tư duy phê phán là quá
trình vận dụng tích cực trí tuệ vào việc phân tích, tổng hợp, đánh giá sự việc,
ý tưởng, giả thuyết...từ sự quan sát, kinh nghiệm, chứng cứ, thông tin và lý lẽ
nhằm đưa ra nhận định về sự việc, ra quyết định và hình thành cách ứng xử
của mỗi cá nhân.
Người có tư duy phê phán thường suy nghĩ chủ động hướng tới những vấn
đề và tình huống phức tạp dựa trên những suy nghĩ, quan điểm và niềm tin của
mình. Họ hoàn toàn có thể khiến chính những suy nghĩ, quan điểm và niềm tin
của mình trở nên hợp lí và chính xác hơn bằng cách tự khám phá, đặt ra hàng
loạt câu hỏi và tìm ra câu trả lời hay giải pháp cho những câu hỏi đó.
Tư duy phê phán thể hiện ở năng lực phân tích sự việc, hình thành và sắp
xếp các ý tưởng, bảo vệ ý kiến, so sánh, rút ra các kết luận, đánh giá các lập
luận, giải quyết vấn đề.
Có thể nói, tư duy phê phán là quá trình vận dụng trí tuệ tích cực và khéo
léo để khái quát, ứng dụng, phân tích, tổng hợp và đánh giá thông tin từ sự
quan sát, kinh nghiệm, chứng cứ, thông tin, vốn kiến thức và lý lẽ.
Bên cạnh đó, tư duy phê phán là quá trình xác định thận trọng, kĩ lưỡng
sự việc có thể chấp nhận, từ chối hay nghi ngờ và mức độ tin cậy của nó trước
khi chấp nhận hay từ chối sự việc đó.
Tóm lại, tư duy phê phán có thể định nghĩa như sau: “Tư duy phê phán là
quá trình vận dụng tích cực trí tuệ vào việc phân tích, cân nhắc, tổng hợp, đánh
giá và liên hệ mọi khía cạnh các nguồn thông tin với thái độ hoài nghi tích cực
dựa trên những tiêu chuẩn nhất định để đưa ra các thông tin phù hợp nhất
nhằm giải quyết vấn đề”.
1.3.3. Dấu hiệu của năng lực tư duy phê phán

1.3.3.1. Dấu hiệu của năng lực tư duy phê phán
Năng lực tư duy phê phán thể hiện ở các dấu hiệu sau:

14


-

Biết đề xuất những câu hỏi và vấn đề quan trọng khi cần thiết, diễn đạt

chúng một cách rõ ràng, chính xác.
-

Biết lắng nghe, cân nhắc suy xét từ những ý kiến khác nhau và sẵn sàng

đưa ra ý tưởng đối trọng với ý tưởng của người khác (nếu cần).
-

Sẵn sàng xem xét các giả định, các ý kiến khác nhau và cân nhắc chúng

một cách thận trọng.
-

Tổ chức, sắp xếp các ý tưởng và diễn đạt một cách logic.

Có khả năng tự lựa chọn lấy giải pháp, không phụ thuộc vào khuôn mẫu

có sẵn, đánh giá tính hợp lí của việc giải quyết vấn đề.
-

Có khả năng bình luận, đánh giá kiến thức và ý tưởng của người khác.

Sẵn sàng bảo vệ ý kiến và quan điểm của mình.
-

Đưa ra những cách giải quyết, những kết luận đúng, hay và kiểm tra

xem chúng có mâu thuẫn gì so với chuẩn đã có hay không.
-

Có khả năng loại bỏ những thông tin chưa chính xác, sai lệch và không

có liên quan.
-

Sẵn sàng ngừng việc đánh giá khi còn thiếu sót chứng cứ và lý do.

Có thể nhận ra các thiếu sót, sai lầm và tự giải quyết, sửa chữa sai
lầm.
-

Có khả năng đưa ra các quyết định nhằm giải quyết vấn đề.

1.3.3.2. Dấu hiệu của năng lực tư duy phê phán trong toán học
Năng lực tư duy phê phán trong toán học được thể hiện qua một số dấu
hiệu sau:
-

Biết phân tích đúng đắn, rõ ràng các yêu cầu của bài toán.

Khai thác các giả thiết của bài toán theo nhiều khía cạnh khác nhau để

tìm ra cách giải phù hợp.
-

Biết liên hệ các dữ kiện cần thiết trong một bài toán.

Biết đưa ra những dự đoán cần thiết để giải bài toán. Tác giả [13, tr. 5]

có viết: Tất nhiên chúng ta sẽ học chứng minh nhưng chúng ta sẽ học cả dự
đoán nữa.
Đặt ra các câu hỏi và trả lời trong quá trình đi đến lời giải của bài
toán.

15


-

Sắp xếp lời giải một cách logic, phù hợp đối với bài toán.

Có thể tìm kiếm những căn cứ trong các lập luận khi giải quyết vấn
đề.
Sẵn sàng xem xét các ý kiến khác nhau với thái độ hoài nghi tích
cực.
-

Có khả năng phản bác lại ý kiến của người khác với luận cứ chắc chắn,

đầy đủ và khẳng định, bảo vệ, thể hiện, chứng minh quan điểm và lời giải của

mình là đúng.
-

Có khả năng nhận ra những thiếu sót, sai lầm trong quá trình lập luận

giải quyết bài toán.
-

Có khả năng sửa chữa sai lầm khi lập luận để chứng minh hoặc giải

toán.
-

Có khả năng phát hiện, tìm tòi nhiều cách giải khác nhau trong một bài

toán và biết lựa chọn phương pháp phù hợp, tối ưu nhất dể hoàn thiện bài giải.
Tổng hợp cách giải, so sánh, đánh giá các cách giải trong một bài
toán.
-

Biết phân tích, liên hệ, mở rộng, phát triển thành bài toán mới.

1.3.4. Nguyên tắc cơ bản của tư duy phê phán
Một trong các nguyên tắc quan trọng nhất và đồng thời khó thực hiện
nhất
trong tư duy phê phán chính là tính triệt để, tức là việc thu thập đủ tất cả những
cơ sở lập luận, các chứng cứ sẵn có cho một chủ đề dựa trên sự nghiên cứu kĩ
lưỡng. Mọi ý kiến phải có cơ sở lập luận của nó, những tri thức không đầy đủ
thường là xuất phát điểm cho những kết luận sai lệch. Do vậy, cần có các
nguyên tắc quan trọng để quá trình tư duy phê phán đi đúng hướng tránh tình

trạng lệch lạc, ngụy biện, thiên vị... như sau:
-

Thu thập đủ thông tin cần thiết: Trong quá trình thu thập, tổng hợp và xử

lý thông tin không đưa ngay ra kết luận về vấn đề một cách vội vàng dễ dẫn
đến định hướng cảm tính, phán xét chủ quan đem lại kết quả chưa chính xác.

16


-

Hiểu và xác định rõ tất cả các khái niệm liên quan: Mỗi khía cạnh, vấn

đề nhỏ trong một vấn đề lớn cần được phân tích, tìm hiểu cẩn thận rõ ràng để
phát hiện ra vấn đề lớn.
-

Đưa ra những câu hỏi về nguồn gốc của các cơ sở lập luận và trả lời các

câu hỏi đó.
-

Đặt câu hỏi về các kết luận và trả lời. Câu hỏi có thể giữ vai trò chất

kích thích, làm cho phản ứng mong đợi nhanh chóng diễn ra. Những câu hỏi có
nội dung như thế dường như là những máy phát nhỏ sản xuất ra các ý nghĩ
(xem [12, tr. 235]).
-

Chú ý các giả thiết và các khuynh hướng ngầm: Giả thiết chính là cơ sở,

căn cứ để định hướng cách phát hiện vấn đề.
-

Đừng mong đợi mình sẽ có tất cả các câu trả lời.

-

Xem xét vấn đề trên phạm vi lớn.

-

Xem xét những nguyên nhân và hệ quả khác nhau của vấn đề.

-

Chú ý loại bỏ các tác nhân gây cản trở suy nghĩ.

1.3.5. Thực trạng dạy học tư duy phê phán ở trường phổ thông
1.3.5.1. Quan điểm về tư duy phê phán của giáo viên hiện nay
Chúng tôi đã tiến hành điều tra quan điểm về tư duy phê phán của 100
giáo viên trường trung học phổ thông Ngô Quyền qua kết quả thống kê ở bảng
1.1 cho thấy nhận thức về tư duy phê phán của giáo viên còn nhiều hạn chế:
- Nhiều giáo viên cho rằng tư duy phê phán là chê bai, tranh cãi, không
chấp
nhận ý kiến của người khác.
-

Có giáo viên quan niệm rằng tư duy sáng tạo và phương pháp dạy học

hiện đại không liên quan gì với tư duy phê phán.
-

Đa số giáo viên cho rằng rèn tư duy phê phán cho học sinh trong dạy

học nói chung và trong bộ môn toán nói riêng là không quá cần thiết.

17


-

Giáo viên chưa hiểu tường tận về tư duy phê phán cũng như tầm quan

trọng của việc rèn luyện tư duy phê phán trong quá trình dạy học.
-

Nhiều giáo viên nhận thức được tầm quan trọng của việc rèn luyện và

phát triển tư duy phê phán cho học sinh nhưng lại chưa biết khai thác các nội
dung dạy học như thế nào, bằng cách nào cho đúng đắn, hợp lý và hiệu quả.
Nhìn chung, giáo viên vẫn chưa nhận thức rõ ràng về vai trò của tư duy
phê phán trong dạy học. Điều này có thể do một số nguyên nhân sau:
-

Một trong những đặc điểm văn hóa và tư duy của người Việt là đề cao

quan hệ xã hội theo hướng dĩ hoà vi quý. Do đặc điểm này, tranh luận sẽ dễ

dàng bị đồng nhất với tranh cãi hay tranh chấp, nghĩa là những thái độ tiêu cực
mang tính cá nhân, cục bộ, địa phương hay gây mất đoàn kết. Vì vậy, trong
tâm thức người Việt Nam, phê phán thường bị hiểu ngầm là chê bai, coi
thường.
-

Phương pháp dạy học sử dụng chưa hiệu quả. Việc vận dụng các

phương pháp dạy học hiện đại chưa hợp lí, nặng về hình thức. Do đó, sự tương
tác giữa học sinh và học sinh, giáo viên và học sinh trong và ngoài lớp học còn
hạn chế.
-

Tập trung vào ghi nhớ kiến thức theo kiểu thuộc lòng mà chưa chú ý

vào việc học khái niệm hoặc học ở cấp độ cao (như phân tích, tổng hợp) dẫn
đến hậu quả là học hời hợt thay vì học chuyên sâu.
-

Chương trình giảng dạy nặng về lí thuyết, mục đích chính là kết quả thi

cử nên đã hạn chế phần nào khả năng phát triển tư duy ở cấp độ cao.
1.3.5.2. Tư duy phê phán của học sinh hiện nay
Học sinh hiện nay có biết cách sử dụng tư duy phê phán trong học tập
cũng
như trong cuộc sống hay không? Điểm yếu của học sinh Việt Nam là gì? Câu
hỏi này đã được rất nhiều người làm công tác giáo dục đặt ra, đã và đang tìm
cách khắc phục. Qua kết quả điều tra ý kiến của học sinh khối 12 trường trung

18

học phổ thông Ngô Quyền ở bảng 1.2 cho thấy nhận thức của học sinh về tư
duy phê phán còn khá mơ hồ:
-

Đa số học sinh có thái độ thụ động trong học tập, chưa tự tin vào bản

thân mình, chưa dám khẳng định mình.
-

Học sinh ngại bảo vệ ý kiến của bản thân, không dám bắt bẻ ý kiến chưa

đúng, kém thuyết phục của người khác.
-

Tuy nhiên, cũng có những học sinh muốn thể hiện quan điểm, sự hiểu

biết của mình nhưng lại trở thành ngụy biện, suy diễn do thiếu thông tin, thiếu
kiến thức, thiếu chiều sâu, thiếu hệ thống.
-

Nhiều học sinh mắc phải hội chứng đám đông, không biết thể hiện ý

kiến lập trường của mình mà quan điểm lúc nào cũng chung chung, hình thức,
hoặc né tránh vấn đề mà không đánh giá trực diện.
Nguyên nhân có thể là do phương pháp đào tạo, cách giảng dạy thầy đọc
trò ghi, học tập còn coi trọng kết quả thi cử, học thiếu đi đôi với hành, cơ sở
vật chất trang thiết bị phục vụ học tập còn chưa đầy đủ đồng bộ. Học sinh có ít
cơ hội để thể hiện mình. Do đó, nhà trường cần trang bị cho học sinh các kĩ

năng tư duy đặc biệt là kĩ năng tư duy phê phán. Bởi không thể phủ định rằng
tư duy phê phán là chiếc chìa khóa cần được trao cho học sinh để mở ra cánh
cửa tư duy độc lập, sáng tạo nhằm phát huy trí tuệ của dân tộc.
1.3.6. Biện pháp phát triển tư duy phê phán
1.3.6.1. Làm thế nào để phát triển tư duy phê phán cho giáo viên và học sinh
Điều cần thiết trước tiên là nâng cao nhận thức, hiểu biết của giáo viên
và học sinh về việc rèn luyện và phát triển tư duy phê phán. Giáo viên và học
sinh cần hiểu rằng tư duy phê phán ở đây không phải là bài xích, chỉ trích, chê
bai hay coi thường người khác, cũng không phải không phải là sự hoài nghi để
tìm cách soi mói hay luôn tìm cách phủ định mà phê phán ở đây mang tính tích
cực, mang tính phát triển trên cơ sở tôn trọng ý kiến của mọi người từ đó tìm
ra phương án tốt nhất để đánh giá hay giải quyết vấn đề. Chúng ta cần ý

19


thức được rằng không có gì là tuyệt đối, ai cũng có thể sai, thậm chí sách cũng
có thể viết sai, nhầm lẫn, chân lí không phải bao giờ cũng thuộc về đa số.
Bên cạnh đó, cần xây dựng môi trường học tập thân thiện, bình đẳng giữa
giáo viên và học sinh, khuyến khích học sinh tự do phát biểu ý kiến cá nhân
theo hướng tích cực. Có như vậy, học sinh mới tự tin vào bản thân để thể hiện
quan điểm mình trước mọi người mà không rụt rè, e ngại.
Cung cấp trang thiết bị dạy học cần thiết cho giáo viên và học sinh, đồng
thời tổ chức các hoạt động trong trường, lớp cho học sinh tham gia, rèn luyện.
Định hướng cho người giáo viên biết cách khai thác, tìm tòi, nghiên cứu,
xây dựng, thiết kế hoạt động dạy học cho hợp lý phát triển tối đa tư duy phê
phán cho học sinh.
Có như vậy, mới tạo điều kiện phát triển tư duy bậc cao của học sinh, xây
dựng niềm tin, hứng thú học tập của các em và đảm bảo quá trình dạy học đạt
kết quả cao theo mục tiêu dạy học đã đề ra.

1.3.6.2. Biện pháp phát triển tư duy phê phán cho học sinh trung học phổ
thông trong dạy học toán
Việc rèn luyện và phát triển tư duy bậc cao cho học sinh trong bộ môn
toán là rất cần thiết. Trong quá trình dạy học, để phát triển tư duy phê phán cho
học sinh một cách tích cực giáo viên cần lưu ý các biện pháp sau:
- Biên soạn tài liệu giảng dạy phù hợp với năng lực và trình độ của học
sinh.
-

Giáo viên cần tích cực nghiên cứu, tìm tòi, xây dựng các câu hỏi mở,

các tình huống dạy học và các bài toán thực tế nhằm kích thích học sinh động
não, tìm ra nhiều cách giải, xây dựng các dạng toán tương tự.
-

Giáo viên cần rèn cho học sinh các thao tác tư duy cơ bản và khả năng

quan sát, động não. Tạo điều kiện cho học sinh suy nghĩ độc lập, tự nghiên cứu
và tìm ra phương án giải quyết vấn đề trước khi đưa ra sự trợ giúp.
-

Tạo cơ hội để học sinh trình bày lời giải, nhận xét và đánh giá kết quả

của mình và người khác. Đồng thời, tạo điều kiện cho các em tự phát hiện ra

20


sai lầm và khắc phục sai lầm của mình và người khác. Bởi vì con người phải
biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình (xem [7]).

-

Ngoài ra, giáo viên cần khuyến khích học sinh sử dụng các kỹ năng lập

luận, chứng minh, kĩ năng thảo luận làm việc nhóm.
-

Đánh giá quá trình học của học sinh trong suốt học kỳ chứ không chỉ

dựa vào kết quả kỳ thi cuối kỳ.
-

Giảm khối lượng giảng dạy và tăng cường chấm bài, trả bài kiểm tra và

chấm điểm bài tập về nhà cho học sinh.
Ngoài sự hỗ trợ, định hướng, dẫn dắt của giáo viên thì học sinh cũng cần
tự rèn luyện các kĩ năng cần thiết để phát triển tư duy phê phán cho mình trong
học
toán một cách toàn diện. Cụ thể:
-

Học sinh cần biết thu thập thông tin, xác định vấn đề đang cố gắng giải

quyết. Phải chắc chắn rằng bản thân nhìn vấn đề rõ ràng, khách quan, chính
xác để thực hiện một quyết định thông minh, đúng đắn khi giải quyết vấn đề.
-

Xây dựng giả thuyết, phác thảo và động não những giải pháp khác có

thể. Vạch ra những ưu khuyết điểm của mỗi giải pháp, từ đó mở ra những cách

giải quyết vấn đề mới của bài toán.
-

Cần biết đặt câu hỏi cho mỗi câu trả lời mà bản thân tìm thấy. Chẳng

hạn như: Lời giải chính xác chưa? Còn sai sót gì không? Còn cách giải nào
khác ?...
-

Khi thu nhận được một thông tin, điều cần trước tiên là hiểu rõ nội dung

thông tin đó, về điều gì, liên quan đến những vấn đề gì, lĩnh vực nào. Tiếp
theo, dựa trên những cơ sở khoa học và logic, đặt ra các câu hỏi như: Tại
sao lại khẳng định là A mà không phải là B trong khi B cũng có các khả năng
như A? Nếu là B thì khi đó sẽ có kết quả là B 1, kết quả này có giống kết quả
A1 của khả năng A không? Nếu có giống thì sẽ rút ra kết luận nào và nếu
không thì lí do là ở đâu?...(xem [9]).

21


-

Trong bất cứ thời điểm, tình huống nào học sinh cũng phải sẵn sàng

động não, suy luận và đánh giá.
-

Phân tích các trường hợp có thể xảy ra khi giải bài toán.

Không chỉ bó hẹp trong nguồn tài liệu mà giáo viên cung cấp, học sinh

cũng cần học cách tự tìm những tài liệu mới để phục vụ cho học tập.
-

Học sinh cần biết xác định cho mình các nhiệm vụ cụ thể trước mắt, các

nhiệm vụ lâu dài để đặt ra kế hoạch, mục tiêu thực hiện các nhiệm vụ.
Như vậy, có thể nói tư duy phê phán có vai trò rất lớn trong việc học tập
toán của học sinh. Kết quả học tập và tốc độ phát triển trí tuệ phụ thuộc rất lớn
vào phương pháp học tập của các em. Học sinh nào nắm vững phương pháp tư
duy phê phán thì chất lượng học tập càng cao và trí tuệ phát triển vững chắc.
Tư duy phê phán vận dụng không chỉ tri thức về logic mà còn những tiêu chí
trí tuệ khác như sự rõ ràng, đáng tin cậy, sự xác đáng, sự sâu sắc, tính thiết
thực, chiều sâu và tầm rộng cũng như sự quan yếu và tính công bằng. Và kỹ
năng này không phải ngày một ngày hai để có được mà phải là một quá trình
học tập, rèn luyện kiên trì và lâu dài của mỗi cá nhân.
1.4. Hệ thống bài tập phương trình vô tỉ như thế nào để phát triển tư duy phê
phán cho học sinh
Căn cứ vào những kiến thức lý luận về tư duy phê phán, đồng thời dựa
vào nội dung kiến thức phương trình vô tỉ, cho thấy đây là nội dung kiến thức
phù hợp để khai thác trong dạy học nhằm phát triển tư duy phê phán cho học
sinh phổ thông. Với mục đích hệ thống bài tập để phát triển tư duy bậc cao cho
học sinh, khai thác các bài toán với những góc nhìn đa chiều tạo điều kiện cho
người học dễ tiếp nhận mảng kiến thức quan trọng này. Do đó, có thể hệ thống
bài tập về phương trình vô tỉ như sau:
-

Phân dạng các bài tập trong nội dung phương trình vô tỉ một cách hợp

lý, đầy đủ, phù hợp với năng lực và trình độ học sinh.

22


-

Chọn lọc các bài toán ví dụ hay trong từng dạng toán phương trình vô tỉ

và sắp xếp chúng một cách logic theo hướng phát triển bài toán từ đơn giản
đến phức tạp.
-

Phân tích những sai lầm mà người học dễ mắc phải khi giải các bài toán.

Định hướng cho người học cách phát hiện ra sai lầm và tự mình khắc phục
những sai lầm đó.
-

Phân tích các bài toán theo nhiều cách giải khác nhau từ đó phân tích

đánh giá, nhận xét để lựa chọn ra phương pháp giải hợp lý nhất cho từng bài
toán cụ thể.
-

Đặt ra các câu hỏi, các vấn đề mở cho người học tìm hướng giải quyết

hoặc định hướng phát triển bài toán tổng quát.
-

Sắp xếp các bài tập tương tự theo trật tự logic phù hợp với các ví dụ đã

trình bày.
Việc hệ thống bài tập như trên nhằm giúp người học dễ hiểu và tiếp nhận
kiến thức về phương trình vô tỉ hơn, đặc biệt là đối với những bài tập mang
tính tổng quát, phức tạp, nhiều vấn đề. Do đó sẽ kích thích hứng thú học tập,
niềm say mê tìm tòi nghiên cứu đào sâu các vấn đề về phương trình vô tỉ nói
riêng và bộ môn toán nói chung cho học sinh. Đồng thời, phát triển tư duy học
sinh từ thấp đến cao, các em biết cách hệ thống các kiến thức đã học theo khả
năng tư duy và tìm tòi của bản thân. Giúp học sinh phát triển tư duy logic, rèn
luyện khả năng phân tích đánh giá bài toán theo nhiều khía cạnh khác nhau.
Bên cạnh đó, các em cũng rút ra được những kinh nghiệm mình trong quá trình
học tập giải quyết vấn đề. Từ đó, rèn luyện và phát triển tư duy phê phán cho
học sinh một cách toàn diện trong dạy và học bộ môn toán.

23


CHƯƠNG 2
CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
2.1. Phương pháp biến đổi tương đương
2.1.1. Nâng lên lũy thừa
Ví dụ 1. Giải phương trình x3


x2x2

3x 2 .

Lời giải. Điều kiện xác định x 1.

Bình phương hai vế của phương trình (1) ta được
x2 x 1
Phương trình này có nghiệm x

x 1 x

1 hoặc x

Vậy tập nghiệm của phương trình là S


2.

2 (thỏa mãn điều kiện).
1; 2 .

Nhận xét

- Sai lầm thường gặp của học sinh khi giải phương trình này là chia cả hai vế
của phương trình (1) cho x 1 , để được phương trình
x2

x

2

0.

Việc này có thể dẫn tới thiếu nghiệm của phương trình do chia cả hai vế của

phương trình cho một biểu thức chứa ẩn chưa khác 0. Khắc phục sai lầm bằng
cách đặt x 1 ( x 1) làm nhân tử chung, được phương trình
x


hoặc

x2

x

f x

2

gx

0.

tương đương
f
.

Phươn
g trình
dạng
f
x

Phát triển bài toán

1

gx

tương
đương
gx
0

x

gx


f x
f
x
gx
- Tổng quát,
f x 0
f

x

phương

trình

dạng

2n

f x

2n

gx

tương

đương

gx
24

hoặc 2n f x

2n

gx

tươ

Tương tự, ta có

f x

2n 1

Ví dụ 2. Giải phương trình 2x 1 3x 1.
 Lời giải.
Điều kiện xác
định x

1

.2

Phương trình (2) tương đương

8
Giải hệ trên ta được x

3x
2x

1 0
1 (3x 1)2 .

thỏa mãn điều kiện.
8

Vậy tập nghiệm của phương trình là S .

9



Nhận xét

-

Học sinh thường mắc sai lầm là cho phương

trình (2) tương đương với 2x 1 3x 1 2 .
8

Khi đó, giải phương trình trên ta được hai nghiệm x

0 và x

.

Nhưng rõ ràng x = 0 không phải là nghiệm của phương trình (2). Nguyên nhân dẫn đến sai
lầm này là phép biến đổi bình phương hai vế tạo ra phương trình mới không tương đương
với phương trình (2) (vế trái của (2) là một biểu thức không âm, còn vế phải thì chưa phải
biểu thức không âm tức là chỉ được bình phương hai vế của phương trình nếu hai vế cùng
dấu).