CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (229.15 KB, 13 trang )
CHUN ĐỀ TÍCH PHÂN
A./ C Ơ SỞ LÝ THUYẾT :
!"#$%&'!(
)dx C=
∫
*) +,
-
x
x
a
a dx C a
a
= + < ≠
∫
dx x C= +
∫
.! !/xdx x C= +
∫
+
* +,
+
x
x dx C
α
α
α
α
+
= + ≠ −
+
∫
!/ .!xdx x C= − +
∫
- * ),
dx
x C x
x
= + ≠
∫
0
.!
dx
tgx C
c x
= +
∫
x x
e dx e C= +
∫
0
.#
!/
dx
gx C
x
= − +
∫
1/ ĐỊNH NGHĨA :
1 F(x) là nguyên hàm của f(x) trên đoạn
[ ]
ba 2
thì tích phân của f(x) trên đoạn
[ ]
ba 2
được xác đònh bởi:
∫
b
a
dxxf ,3*
= F(x)
a
b
= F(b) - F(a) (1) .
Chú ý : Tích phân
∫
b
a
dxxf ,3*
chỉ phụ thuộc vào f , a , b mà không phụ thuộc vào các kí hiệu biến số tích
phân, vì vậy mà ta có thể viết :
∫
b
a
dxxf ,3*
=
∫
b
a
dttf ,3*
=
∫
b
a
duuf ,3*
= ......
2/ CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH :
∫
=
a
a
dxxf ),*
;
∫
b
a
dxxf ,*
= -
∫
a
b
dxxf ,*
;
∫
b
a
dxxfk ,*3
= k.
∫
b
a
dxxf ,*
( k là hằng số )
[ ]
∫
±
b
a
dxxgxf ,*,*
=
∫
b
a
dxxf ,*
±
∫
b
a
dxxg ,*
;
∫
b
a
dxxf ,*
=
∫
c
a
dxxf ,*
+
∫
b
c
dxxf ,*
( Với a
≤
c
≤
b ).
Nếu f(x)
≥
0
∀
x
[ ]
ba 2
∈
thì
∫
b
a
dxxf ,*
≥
0 .
Nếu f(x)
≥
g(x)
∀
x
[ ]
ba 2
∈
thì
∫
b
a
dxxf ,*
≥
∫
b
a
dxxg ,*
Ta luôn có :
∫
b
a
dxxf ,*
≤
∫
b
a
dxxf ,*
.
Nếu m
≤
f(x)
≤
M ,
∀
x
[ ]
ba 2
∈
thì m(b - a)
≤
∫
b
a
dxxf ,*
≤
M( b - a)
B/ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN :
VẤN ĐỀ 1 : CÁCH TÌM TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
I./Cơng thức tính tích phân:
∫
b
a
dxxf ,3*
= F(x)
a
b
= F(b) - F(a)
VẤN ĐỀ 2 : CÁCH VIẾT VI PHÂN HOÁ TRONG TÍCH PHÂN
1
I./ Phương pháp :
Ta đã biết 4#5#67/'8: df(x) = f’(x).dx
Do đó muốn tìm tích phân : I =
[ ]
dxxhxgf 3,*9,*
∫
, ta có thể làm theo các bước sau:
+/ Tìm hàm u(x) nào đó mà đạo hàm của u(x) sè có mặt trong các hàm
[ ]
,*9,* xhxgf
+/ Sau đó xem u(x) là biến số tích phân (khi đó x không còn là biến số nửa ) .
Tìm tích phân mới theo biến số mới.
II/ Bài tập áp dụng:
Câu 1 : Tìm các tích phân sau: a/
∫
dxxx 3!/3.!
:
b/
∫
−
;
0
0x
.dx c/
∫
x
dxx3-
ĐSỐ : a/ - (1/6).cosx + C b/ 16/3 c/ (1/2).ln
2
x + C.
Câu 2 : Tìm các tích phân sau : a/
dx
x
x
3
-+
∫
+
b/
∫
cox
dxtgx3
c/
∫
x
dxe
x
3
ĐSỐ : a/ (1/2).ln
2
x
+ ln
x
+ C b/ (1/cosx) + C c/ 2.
x
e
+ C .
BÀI TẬP TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUN HÀM CƠ BẢN
+3
+
<
)
* +,x x dx+ +
∫
2.
0
0
+
+ +
* ,
e
x x dx
x x
+ + +
∫
2.
<
+
0x dx−
∫
3.
0
+
+x dx+
∫
4.
0
<
*0!/ < ,x cosx x dx
π
π
+ +
∫
5.
+
)
* ,
x
e x dx+
∫
6.
+
<
)
* ,x x x dx+
∫
7.
0
+
* +,* +,x x x dx+ − +
∫
8.
0
<
+
*<!/ 0 ,x cosx dx
x
π
π
+ +
∫
9.
+
0
)
* +,
x
e x dx+ +
∫
10.
0
0
<
+
* ,x x x x dx+ +
∫
11.
0
+
* +,* +,x x x dx− + +
∫
12.
<
<
+
= + >=( ).
−
+
∫
13.
0
2
2
-1
x.dx
x +
∫
14.
0
?
+
@= 0 = :
>=
=
− −
∫
15.
= 0
5
2
dx
x 2+ + −
∫
16.
0
0
+
= + >=
= = =
( ).
ln
+
+
∫
17.
0
<
<
;
= >=
=
cos .
sin
π
π
∫
18.
A
0
)
#= >=
=
.
cos
π
∫
19.
+
= =
= =
)
? ?
? ?
dx
−
−
−
+
∫
20.
+
=
= =
)
? >=
? ?
.
−
+
∫
21.
0
0
+
>=
A= B=+
∫
22.
<
= =
)
>=
? ?
ln
.
−
+
∫
22.
0
)
>=
+ =sin
π
+
∫
VẤN ĐỀ 3 : TÌM TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN ( DẠNG ĐƠN GIẢN )
I./ Phương pháp :
2
Cho tích phân : I =
[ ]
dxxxf
b
a
,3*C3,*
ϕϕ
∫
(1)
Để tính tích phân (1) theo cách đổi biến, ta có thể thực hiện theo các bước:
Bước 1 : Đặt t =
ϕ
(x)
⇒
dt =
ϕ
’(x).dx
Bước 2 : Đổi cận tương ứng
+/ x = a thì t =
ϕ
(a)
+/ x = b thì t =
ϕ
(b)
Bước 3 : Khi đó tích phân I được viết lại I =
∫
,*
,*
,3*
b
a
dttf
ϕ
ϕ
là tích phân cần tìm.
II/ Bài tập áp dụng :
Câu 1 : Tìm các tích phân sau :
a/
∫
−
A
A
3
π
π
dxtgx
b/
( )
dx
x
x
e
3
+-0
+
0
∫
+
c/
∫
+
dxx 3,+<*
A
Câu 2 : Tìm các tích phân sau :
a/
∫
dxxx 3!/3.!
A
b/
∫
−
+
)
+
0
+x
xdx
c/
dxxx 3<3
)
+
0
∫
−
+
C./ BÀI TẬP
Câu 1 : Tìm các tích phân sau : a/
∫
e
x
dx
+
b/
∫
−
+
dx
xx
xx
3
.!!/0
.!0!/
c/
∫
+
+
dx
x
x
3
+
+
A
ĐSỐ : a/ 1 b/ ln
xx .!!/0
−
+ C c/ .......
Câu 2 : Tìm các tích phân sau : a/
∫
+
+
dx
x
xx
3
<
<
0
0
b/
∫
+
dxxtgtgx ,3*
<
c/
( )
∫
+
0-
)
0
3
+
3
dx
e
dxe
x
x
ĐSỐ : a/
<
0
+
x
+ C b/ (1/2).tg
2
x + C c/ 1/6 .
Câu 3 : Tìm các tích phân sau : a/
∫
A
)
A
.!
π
x
dx
b/
∫
x
dx
!/
c/
( )
∫
+
0))B
+
3
x
dxx
HD : a/ 4/3 b/ ln
0
x
tg
+ C c/ Phân tích tử .......
Câu 4 : Tìm các tích phân sau : a/
∫
+−+
0<A<
0
xx
dx
b/
∫
+
x
dx
<0:
c/
∫
+
+−
dx
x
xx
3
+
<
0
HD : a/ 2
( )
<
A<
+
x
+ ...b/ (2/3).
x<0:
+
+ C c/ (1/2).x
2
– 2x + ln
+
+
x
+ C
Câu 5 : Tìm các tích phân sau :
a/
( )
∫
+
dxbax
m
, ( m
+
≠
, a
)
≠
) b/
∫
−
+
)
<
0
0
3
x
dxx
c/
( )
∫
+
+
)
;
0
+ dxxx
HD : a/ ..... b/ (1/3).ln2 c/ 127/14 .
Câu 6 : Tìm các tích phân sau : a/
∫
<
)
.!
33!/
π
dxex
x
b/
∫
+
e
x
dxx
+
,3-0*
c/
∫
A
)
0
3
.!
π
dx
x
e
tgx
3
Câu 7 : Tìm các tích phân sau : a/
∫
<
)
<
.!
3!/
π
x
dxx
b/
∫
+
0
)
3!/3.!+
π
dxxx
c/
( )
∫
+
;
)
30.!0!/
π
dxxx
HD : a/ 3/2 b/ (2/3).(2
0
- 1) c/ (1/4)(
<
+ 1) .
Câu 8 : Tìm các tích phân sau :
a/
∫
−
+
−
+
)
0
3
<
<
-
D
+
dx
x
x
x
b/
∫
+
0
-+
e
e
xx
dx
c/
( )
∫
−
+
)
:
30< dxx
ĐSỐ : a/ 2(
0<
−
) b/ (1/2).(ln2)
2
c/ - 7/2 .
Câu 9 : Tìm các tích phân sau :
a/
∫
−
−
+
+
0
<
3 dxex
x
b/
∫
+
+
)
<
0
+
0
x
dxx
c/
∫
0
-3
e
e
xx
dx
ĐSỐ : a/ (1/3e).(e
2
- 1) b/ (4/3).(
0
- 1) c/ ln2 .
ĐSỐ : a/ 2(
0<
−
) b/ (1/2).(ln2)
2
c/ - 7/2 .
Câu 10 : Tìm các tích phân sau :
a/
∫
+
dxebea
xmx
3,3*
,(a
≠
0 ,m
≠
1) b/
∫
−
−
0
0
+dxx
c/
( )
dxxxx 3A0+
0
∫
+++
d/
∫
,-*-3- xxx
dx
e/
∫
+
tgxx
dx
+.!
0
f/
dx
x
xx
3
.!
.!3!/3<A
A
A
0
0
∫
−
−
π
π
HD : a/ Đặt t = ... b/ 5 c/ .......... d/ Đặt ... f/ 8 .
VẤN ĐỀ 4: PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
4#5#6'8#E'F
* ,7C*=, = * , * , * , C* ,
b b
b
a
a a
x d u x v x v x u x dx= −
∫ ∫
hay
∫ ∫
−=
b
a
b
a
b
a
vduudv
uv
GDa
̣
ng 1
!/
* ,
ax
ax
f x cosax dx
e
β
α
∫
&#
* , C* ,
!/ !/
.!
ax ax
u f x du f x dx
ax ax
dv ax dx v cosax dx
e e
= =
⇒
= =
∫
GDa
̣
ng 2:
* ,-* ,f x ax dx
β
α
∫
H
I
#
-* ,
* ,
* ,
dx
du
u ax
x
dv f x dx
v f x dx
=
=
⇒
=
=
∫
GDa
̣
ng 3:
!/
3
∫
ax
ax
e dx
cosax
β
α
J
K
>
I
#J
K
(
K
#J
K
'8!(
4
(L
+
0
0
)
* +,
x
x e
dx
x +
MH
I
#
0
0
* +,
x
u x e
dx
dv
x
=
=
+
NL
<
B
A <
0
* +,
x dx
x
MH
I
#
:
<
A <
* +,
u x
x dx
dv
x
=
=
L
+ + + +
0 0 0
+ 0
0 0 0 0 0 0 0
) ) ) )
+
*+ , *+ , + *+ ,
dx x x dx x dx
dx I I
x x x x
+
= = =
+ + + +
J
K
O
+
+
0
)
+
dx
x
=
+
NH
P
'$Q'(
K
'M4
R
/N/
K
!4
K
J
K
O
0
S
+
0
0 0
)
*+ ,
x dx
x+
NH
P
'$Q'(
K
'#$
P
'8
P
MH
I
#
0 0
*+ ,
u x
x
dv dx
x
=
=
+
VAN ẹE 5 : TCH PHN HM Vễ T:
b
a
dxxfxR ,,*9*
Trong đó R(x, f(x)) có các dạng:
+) R(x,
xa
xa
+
) Đặt x = a cos2t, t
T
0
2)U
; +) R(x,
00
xa
) Đặt x =
ta !/
hoặc x =
ta .!
+) R(x,
n
dcx
bax
+
+
) Đặt t =
n
dcx
bax
+
+
; +) R(x, f(x)) =
+++
xxbax
0
,*
+
Với (
++
xx
0
) = k(ax+b)
Khi đó đặt t =
++
xx
0
, hoặc đặt t =
bax
+
+
+) R(x,
00
xa
+
) Đặt x =
tgta
, t
T
0
2
0
U
; +) R(x,
00
ax
) Đặt x =
x
a
.!
, t
V
0
WXT2)U
+) R
( )
+ 0 /
= = =; ;...;
Gọi k = BCNH(n
1
; n
2
; ...; n
i
) Đặt x = t
k
VAN ẹE 6: MT S TCH PHN C BIT:
Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục trên [-a; a], khi đó:
+=
aa
a
dxxfxfdxxf
)
,T*,*U,*
Ví dụ: +) Cho f(x) liên tục trên [-
0
<
2
0
<
] thỏa mãn f(x) + f(-x) =
x0.!00
,
Tính:
0
<
0
<
,*
dxxf
; Tính
+
+
+
+
0
A
+
!/
dx
x
xx
Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục và lẻ trên [-a, a], khi đó:
a
a
dxxf ,*
= 0.
Ví dụ: Tính:
++
+
+
0
,+-* dxxx
++
0
0
0
,+-*.!
dxxxx
Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục và chẵn trên [-a, a], khi đó:
a
a
dxxf ,*
= 2
a
dxxf
)
,*
5
