Sử dụng điều kiện cần và đủ để giải phương trình

                                       

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN
KHOA  TOÁN
LỚP SƯ PHẠM TOÁN K29
=====0=====

Đề tài:   

SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ
ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
         Sinh viên thực hiện:

1.
2.
3.
4.
5.
6.

7.

Phan Duy Luân
Lê Thị Lư
Nguyễn Thị Ly
Lê Nguyễn Hoàng Lý
Nguyễn Trọng Minh
Nguyễn Thị Nga
Hồ Văn Nguyên.

                                                                    Gv hướng dẫn: Dương Thanh 

Vỹ 

Quy Nhơn: 11/2009


                                       

LỜI NÓI ĐẦU
Như  chúng ta đã biết trong thực tế  khi giải phương 
trình   học   sinh   được   giới   thiệu   rất   nhiều   phương   pháp, 
trong đó phương pháp sử  dụng điều kiện cần và đủ  để 
giải phương trình được dùng một cách ẩn tàng ( như phép 
giải các phương trình hệ  quả  và phép thử  nghiệm). Một 
khái niệm được hình thành luôn tiềm tàng đã nhân rộng 
cách giải phương trình lên đáng kể. Ở đây chúng tôi quyết 
định làm sáng tỏ  thêm khái niệm đó để  xét được các  ứng 
dụng đẹp (nhất là trong các bài toán có chứa tham số) của 
nó trong phạm vi cho phép. 
Ở  đây chúng tôi chỉ  trình bày một số  bài toán điển 
hình của phương pháp này mà nó thường hay xuất hiện. 
Tuy nhiên do đây là một phương pháp không quen thuộc 
đối với học sinh nên các em thường ít sử dụng. Nhưng nếu  
các em sử dụng thì có những bài toán sẽ được nhanh hơn.
Vì thời gian có hạn, còn rất nhiều dạng toán khác của 
chuyên đề  này không được trình bày  ở  đây. Hy vọng một 
dịp nào đó chúng tôi sẽ  trình bày   một cách đầy đủ  hơn. 
Với phương pháp này mong rằng sẽ  trang bị  cho các bạn 
thêm một phương pháp mới về  giải phương trình. Cuối 
cùng chúng tôi mong nhận được sự  góp ý, phê bình của 

độc giả  về  nội dung, cách trình bày của chuyên đề  này. 
Xin chân thành cảm ơn!
                                                 
                                                                                      Nhóm sinh viên thực hiện.


                                       

MỤC LỤC
LỜI  NÓI  ĐẦU..............................................
Chương  I: SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ 
ĐỂ GIẢI  BÀI TOÁN VỀ TÍNH CHẤT DUY 
NHẤT NGHIỆM
Dạng.    Tìm điều kiện của tham số m để phương 
trình f(x, m) =0  có nghiệm duy  nhất
Chương II: SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ 
ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN VỀ TÍNH CHẤT NGHIỆM.
Dạng 1.   Giải bài toán về tính chất các nghiệm cho 
phương trình....................................................
Dạng 2.   Giải bài toán về tập nghiệm.......... 
Dạng 3.   Giải bài toán về phương trình hệ quả..
Dang 4. Giải bài toán về hai phương trình tương 
đương..............................................................
Chương III:  SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU 
KIỆN CẦN VÀ ĐỦ GIẢI BÀI TOÁN VỀ TÍNH 
CHẤT THAM SỐ


                                       

Dạng.    Phương trình nghiệm đúng với giá trị xác 
định của tham số.............................................
TÀI LIỆU THAM KHẢO.

CHƯƠNG I:

SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ ĐỂ GIẢI BÀI 
TOÁN VỀ TÍNH CHẤT NGHIỆM.
 

 Dạng .   Tìm điều kiện của tham số m để phương trình 
f(x, m) =0 (1) có nghiệm duy nhất.
PHƯƠNG PHÁP:
Bước 1: Đặt điều kiện để các biểu thức trong (1) có nghĩa.
I.

Bước 2:    Điều kiện cần: 
            
   Giả sử (1) có nghiệm là x = x 0 , khi đó:
a. Dựa trên tính chất đối xứng của các biểu thức giải tích trong 
(1), ta đi khẳng định khi đó x = φ ( x 0 ) cũng là nghiệm của (1).
b. Do đó, để hệ có nghiệm duy nhất cần có: 
  x 0 = φ ( x 0 )  Giá trị  x 0 .                                 (2)
c. Thay (2) vào (1) ta xác định được điều kiện cần cho tham số 
m để (1) có nghiệm  duy  nhất, giả sử m Dm .
Bước 3:  Điều kiện đủ: 


                                       

        Với m Dm , ta đi kiểm tra lại tính duy nhất nghiệm cho (1).
          Thông thường trong bước này, ta chỉ  phải xét các phương 
trình cụ thể (thường là không có tham số hoặc nếu có thì đã được  
đơn giản đi nhiều). Kết quả của bước này cho phép ta loại đi khỏi  
tập  Dm các giá trị không thích hợp của m.
Bước 4:  
Kết hợp ba bước giải trên ta tìm được đáp số.

II.

VÍ DỤ MINH HỌA

Trước tiên chúng ta minh họa các ví dụ sử dụng tính chất hàm 
chẵn để xác định điều kiện cần, tức là xuất phát từ nhận xét:
Giả sử phương trình có nghiệm  x 0  khẳng định rằng nó cũng 
nhận  − x 0  nghiệm 
Vậy để phương trình có nghiệm duy nhất điều kiện là:
                       x 0 = − x 0 � x 0 = 0 .
 Ví dụ 1:[1]   Tìm m để phương trình:
                        mx 4 − 2(m −1)x 2 + m −1 = 0.          (1)                    
    Có nghiệm duy nhất.
Giải 
Điều kiện cần: Giải sử (1) có nghiệm  x 0 , suy ra
m.x 0 4 − 2(m −1).x 0 2 + m −1 = 0
� m( −x 0 ) 4 − 2(m −1)( −x 0 ) 2 + m −1 = 0

Tức là   − x 0  cũng là nghiệm của phương trình.
Vậy để phương trình có nghiệm duy nhất  điều kiện là:
− x 0 = x 0 � x 0 = 0.

Khi đó:  (1) � m − 1 = 0 � m = 1.
Điều kiện đủ: Với m=1, ta có:


                                       

x 4 = 0 � x = 0  là nghiệm duy  nhất của phương trình.

Vậy, với m=1 phương trình có nghiệm duy nhất.

Chú ý:
1. Yêu cầu trên hoàn toàn có thể được thực hiện  bằng phương 
pháp đặt ẩn phụ, cụ thể:
Đặt  t = x 2 , t 0 . Phương trình có dạng:
f(t) =   mt 2 −2(m −1)t +m −1 = 0.      (2)
                              


Trường hợp 1. Với m = 0
(2) � 2t − 1 = 0 � t =

1
1
1
� x2 = � x = � .
2
2
2

Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Trường hợp 2. Với  m 0.
Phương trình (1) có nghiệm duy nhất
(2) có nghiệm 
t1 �
0 =t 2

2(m −1)
S 0
m
�
�
�
�
P =0
m −1
=0
m

0

�
m =1

Vậy, với m=1 phương trình có nghiệm duy nhất.
2. Như vậy, để tìm điều kiện của tham số sao cho phương 
trình trùng phương:
                      a.x 4 + bx 2 + c = 0     (1)
                                          
 Có nghiệm duy nhất, bằng phương pháp điều kiện cần và đủ 
được thực hiện theo các bước:

Bước 1: Điều kiện cần:
Giả sử (1) có nghiệm  x 0 , suy ra  − x 0  cũng là nghiệm của phương 
trình. Vậy để phương trình có nghiệm duy nhất điều kiện là:
                − x 0

= x0

�x 0 = 0.


                                       

Khi đó:

(1) � c = 0.

Đó chính là điều kiện cần để phương trình có nghiệm duy nhất.
Bước 2:  Điều kiện đủ: Thực hiện việc thử lại với c=0.
 Ví dụ 2 : [1]Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy 
nhất :


                    
        
        

1 − x 2 + 2 3 1 − x 2 = m.                          (1)

 Giải 
Điều kiện cần: 

Nhận xét rằng nếu phương trình có nghiệm  x 0 , thì cũng nhận   − x 0  
làm nghiệm.
           
 Do đó phương trình có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là
      x 0 = − x 0 � x 0 = 0
             Khi đó: (1) � 1 + 2 = m � m = 3.
 Điều kiện đủ: 
Với m=3, khi đó phương trình có dạng:
1 − x 2 + 2 3 1 − x 2 = 3.

Vì: 

3

1− x2

1

1− x2

1

� 1 − x 2 + 2 3 1 − x 2 �3.

Do đó phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
1 − x 2 =1
3

1 − x 2 =1

� x = 0.

Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m=3.


                                       

 Ví dụ 3 :[1]Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy 
nhất:
x 4 + mx 3 + 2mx 2 + mx +1 = 0.
           
                  (1)


       Giải 
      Nhận xét rằng x=0  không phải là nghiệm của phương trình.
Điều kiện cần: Giả sử (1) có nghiệm  x 0 0, suy ra
x 0 4 + mx 03 + 2mx 0 2 + mx 0 +1 = 0

�1 + m

1
1
1
1
+ 2m 2 + m 3 + 4 = 0
x0
x0
x0
x0

4

3

2

�1 �
�1 �
�1 �
1
� � �+ m � �+ 2m � �+ m
+1 = 0
x
x
x
x
0
�0 �
�0 �
�0 �
1

Tức là  x  cũng là nghiệm của phương trình.
0

Vậy để phương trình có nghiệm duy nhất điều kiện là:
        

1
= x 0 �x 0 = �

1.
x0

Với  x 0 = 1 , ta được:

1
2

  (1) � 1 + m + 2m + m + 1 = 0 � m = − .
Với  x 0 = −1 , ta được:
(1)     � 1 − m + 2m − m + 1 = 0 , vô nghiệm.
1
Vậy,  m = −  là điều kiện cần để phương trình có nghiệm duy 
2
nhất.
1

Điều kiện đủ: Với  m = − 2 , ta có:

1
1
(1) � x 4 − x 3 − x 2 − x + 1 = 0 � 2x 4 − x 3 − 2x 2 − x + 2 = 0
2
2
    
� (x − 1) 2 (2x 2 + 3x + 2) = 0 � x = 1
1

Vậy,  m = − 2  phương trình có nghiệm duy nhất.

                                       


 Chú ý: 

1. Yêu cầu trên hoàn toàn có  thể được thực hiện bằng phương 
pháp đặt ẩn phụ.
Nhận xét rằng x=0 không phải là nghiệm của phương trình. 
Chia cả hai vế của phương trình cho  x 2 0 , ta được:
1 1
x 2 + mx + 2m + m. + 2 = 0
x x
        
�2 1 � � 1 �
��
x + 2�
+ m. �
x+ �
+ 2m = 0
x
x
�
� �
�
Đặt  t = x +

� x2 +

1

, điều kiện  t
x

2.

1
= t 2 − 2.
2
 
x

Khi đó phương trình có dạng:
                              f(t) = t 2 + mt + 2m − 2 = 0.            (2)
                                              
Phương trình (1) có nghiệm duy nhất  pt (2) có đúng một 
2.
nghiệm thỏa mãn  t
2. Như vậy, để tìm điều kiện của tham số sao cho phương 
trình hồi quy:
      a.x 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0,  với  a 0                           (1)
Có nghiệm duy nhất, bằng phương pháp điều kiện cần và đủ 
được thực hiện theo các bước:
Bước 1:  Nhận xét rằng x=0 không phải là nghiệm của phương 
trình.
Bước 2:     
Điều kiện cần:


                                       
1

           Giả sử (1) có nghiệm  x 0 , suy ra  x  cũng là nghiệm của 
0

phương trình. Vậy để phương trình có nghiệm duy nhất điều kiện 
là:
1
= x 0 �x 0 =�
1 � Giá trị tham số.
x0
Đó chính là điều kiện cần để phương trình có nghiệm duy nhất.
Bước 3:    Điều kiện đủ: 
Thực hiện việc thử lại.



Ví dụ 4:[1]  Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:

                      4

x + 4 2 − x + x + 2 − x = m.           (1)

                                   
Giải
Điều kiện cần : 
Giả sử phương trình (1) có nghiệm là  x = x 0  suy ra 2­ x 0  cũng là 
nghiệm của (1).
Vậy (1) có nghiệm duy nhất khi  x 0 = 2 − x 0 � x 0 =1.
Thay  x 0 =1 vào (1), ta được m=4.
Điều kiện đủ: Với m=4 , khi đó (1) có dạng:

                       4 x + 4 2 − x + x + 2 − x = 4.      (2)                   
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta được:
                        x + 2 − x 2  và  4 x + 4 2 − x 2
 Do đó:
x + 2 −x = 2

(2)

4

x + 4 2 −x = 2

�x =1


 Ví dụ 4 : Tìm a, b, c để phương trình sau có nghiệm duy 
nhất:


                                       

                  

x − a + x − b = c.             (1)

 Giải
Điều kiện cần: 
Giả sử (1) có nghiệm là x = x 0  suy ra
x − a + x 0 − b = c � (a + b − x 0 ) − a + (a + b − x 0 ) − b = c
  0

 
Suy ra a + b ­  x 0  cũng là nghiệm của (1).
Vậy (1) có  nghiệm duy nhất khi

x0 = a +b −x0 � x0 =
 Thay    x 0 =

a +b
2

a+b
vào (1), ta được:  c =  a − b
2

.

Đó chính là điều kiện cần để phương trình có nghiệm duy nhất.
Điều kiện đủ:   
Giả sử c = a − b , khi đó (1) có dạng:
x −a + x −b = a −b
� x −a + x −b = (x −a) −(x −b)

      �( x −a ) ( x −b ) �
0

(2)

Nếu  a b ( ta giả sử khi đó a< b), khi đó :
(2) � a x b , tức là (2) không  có nghiệm duy nhất.
Nếu a=b, khi đó: 

2
           ( 2 ) � ( x − a ) �0
x=a là nghiệm duy nhất của phương trình.
Vậy, với c=0 và a=b phương trình có nghiệm duy nhất.


 Ví dụ 5 :   [1]  Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy 
nhất:

                
     Giải

( x + 1) + ( x + 3)
4

4

= 2m.              (1)


                                       

Điều kiện cần:   giả sử (1) có nghiệm  x 0 , suy ra

( x 0 + 1) + ( x 0 + 3)
4

4

= 2m � ( − x 0 − 1) + ( − x 0 − 3) = 2m

4

4

��
1+ ( − x0 − 4) �
�3 + ( − x 0 − 4 ) �
�+ �
�
� = 2m
4

4

Tức là ­ x 0 − 4  cũng là nghiệm của phương  trình.
Vậy để phương trình có nghiệm duy nhất điều kiện là:
­ x 0 − 4 = x 0 � x 0 = − 2. Khi đó :
(1) � ( −2 + 1) + ( −2 + 3) = 2m � m = 1.
Điều kiện đủ:
4
4
  Với m=1, ta có: (1) � ( x + 1) + ( x + 3) = 2.              (2)
4

Đặt  t = x +

4

1+3
= x + 2,  suy ra:

2

x +1 =t −1
.
x +3 =t +1

Khi đó :
(2)

�( t −1) + ( t +1) = 2 � 2t 4 +12t 2 = 0
4

4

� t 2 (t 2 + 6) = 0 � t = 0
� x + 2 = 0 � x = −2

Vậy, m=1 phương trình có nghiệm duy nhất.



 Chú ý : 
1. Như vậy, để tìm điều kiện của tham số sao cho phương 
trình.

( x +a )

4

+ ( x + b ) = c.                 (1)

4

                                             
Có nghiệm duy nhất, bằng phương pháp đk cần và đủ được thực 
hiện theo các bước:
Bước 1: Điều kiện cần:


                                       

      Giả sử (1) có nghiệm  x 0 , suy ra  − x 0 − a − b cũng là nghiệm của 
phương trình. Vậy để phương trình có nghiệm duy nhất điều kiện 
là:
−x 0 − a − b = x 0 � x 0 = −

a+b
� Giá trị tham số.
2

Bước 2:  Điều kiện đủ:  Thực hiện việc thử lại.
2.Yêu cầu trên có thể thực hiện được bằng phương pháp đặt 
ẩn phụ, cụ thể:
Đặt  t = x +
Khi đó:(1)

1+3
= x + 2 , suy ra:
2

x +1 =t −1

.
x +3 = t +1

� ( t − 1) + ( t + 1) = 2m � 2t 4 + 12t 2 + 2 = 2m
4

4

� t 4 + 6t 2 + 1 − m = 0.

(2)

Đặt  u = t 2 , u 0. Khi đó: 
(2) � f (u) = u 2 + 6u + 1 − m = 0.                              (3)                     
Phương trình (1) có nghiệm duy nhất  (3) có nghiệm 

u1

0 = u2

Kết luận m=1 phương trình có nghiệm duy nhất.
     Ví dụ 6: [2] Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
                                          x + 2 −x = m.            (1)
  Giải
Điều kiện  0 x 2.
Điều kiện cần: Giả sử (1) có nghiệm  x 0 .Khi đó:
x0 + 2 − x0 = m � 2 − ( 2 − x0 ) + 2 − x0 = m
� 2 − x0 + 2 − ( 2 − x0 ) = m

       Tức là  2 −x 0 cũng là nghiệm của (1).

        Vậy (1) có nghiệm duy nhất khi  2 − x 0 = x 0 � x 0 = 1
Khi đó: (1) � m = 2.
Điều kiện đủ: Với m=2, ta có:


                                       

x + 2− x = 2 � 4 =

(

x + 2− x

)

2

�( 1 + 1) ( x + 2 − x ) = 4 (Bunhicopxki)

� x = 2 − x � x = 1   là nghiệm duy nhất.

  Chú ý: 
1. Như vậy để tìm điều kiện của tham số sao cho phương  
trình:
        x + a + b − x = c.                                                       (1)
Có nghiệm duy nhất, bằng pp điều kiện cần và đủ được thực 
hiện theo các bước:
Bước 1: Điều kiện cần:
Giả sử (1)  có nghiệm  x 0 , 
suy ra

x0 + a + b − x0 = c
� b − ( −x 0 − a + b ) + a + ( −x 0 − a + b ) = c
� a + ( −x 0 − a + b ) + b − ( −x 0 − a + b ) = c

Tức là  −x 0 − a + b cũng là nghiệm của phương trình. Vậy để 
phương trình có nghiệm duy nhất, điều kiện là:
−x 0 − a + b = x 0 � x 0 =

b −a
� Giá trị của tham số.
2

Bước 2: Điều kiện đủ: Thực hiện việc thử lại.

2. Yêu cầu trên hoàn toàn có thể thực hiện được bằng phương 
pháp như: đặt ẩn phụ, pp hàm số, pp lượng giác hóa.
3. Mở rộng cho phương trình  
     m a − f (x) + m b + f (x) = c.

BÀI TẬP THAM KHẢO CHƯƠNG I.
Bài 1.Tìm giá trị của tham số m để pt sau có nghiệm duy nhất
             ( 3m − 2 ) .2 x −1 = 1                 
Bài 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất


                                       

                4 x + 4 1 − x + x + 1 − x = m
Bài 3. Tìm điều kiện của m để phương trình sau có  nghiệm duy 
nhất.

                 x + 1 − x + 2m x ( 1 − x ) − 2 4 x ( 1 − x ) = m3 .
                  
                          ************************

                                       

 

Chương 2: 
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ GIẢI 
BÀI TOÁN VỀ TÍNH CHẤT NGHIỆM
Dạng 1: Giải bài toán về tính chất các nghiệm cho phương 
trình
I. PHƯƠNG PHÁP:


                                       

Với yêu cầu:  “Tìm điều kiện của tham số  (giả  sử  m) để  
phương trình:   f(x, m) = 0 có nghiệm thỏa mãn tính chất “K”, ta 
thực hiện các bước sau:
Bước 1:  Điều kiện cần: Giả  sử  phương trình có nghiệm 
thỏa mãn tính chất K, khi đó ta có:
 Hệ thức Viet giữa các nghiệm  (I)
 Biểu diễn điều kiện thông qua (I)
 Suy ra điều kiện cho tham số.
Bước 2: Điều kiện đủ: Thực hiện phép thử lại.
II. VÍ DỤ MINH HỌA:


 VD1 : [2] Xác định m để phương trình: 
(m + 1)x2 – 2(m – 1)x + m – 2 = 0 
có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn 4(x1 + x1) = 7x1x2  (*)

Giải: Điều kiện cần:
Giả sử phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn (*) khi đó:
x1 + x 2 =
x1.x 2 =

2(m ­ 1)
m +1

m­2
m +1

2(m ­ 1)
m­2
Từ đó: (*)  � 4 m + 1 = 7 m + 1 � m = ­ 6

Điều kiện đủ:
Với m = 6 thay vào (1) ta được:
­5x2 + 14x – 8 = 0     x1 = 2

thỏa mãn (*)


                                       

2
   x 2 =

5

Vậy, với m = ­6 thỏa mãn điều kiện đầu bài.


 VD2:[2]  Phương trình: ax2 + bx + c = 0

Có hai nghiệm x1, x2. Chứng minh hệ  thức: b3 + a2c + ac2 = 
3abc là điều kiện cần và đủ để phương trình có một nghiệm bằng  
bình phương nghiệm còn lại.
Giải: Theo giả thuyết ta được:
S = x1 + x2 =  ­

b
a

c

P = x1x2 =  a

Xét biểu thức: P

= (x1 –  x 22 ) (x 2 ­ x12 ) = x 1x 2 + x12 x 22 ­ (x13 + x 22 )

= x1x2 +  x12 x 22 ­ [(x1 + x 2 )3 ­ 3x1x 2 (x1 + x 2 )]
c c2 �b3
c b � b3 + a 2c + ac3 ­ 3abc
+
­
­

+
3
. �=
�
=  a
a d�
a 2 �a 3
a3

Vậy, nếu: b3 + a2c + ac2 = 3abc
thì một trong hai thừa số của P bằng 0 và ngược lại (Đpcm).



 VD3: [3] 

Giải phương trình : ax2 + bx + c = 0

Có hai nghiệm x1, x2. Chứng minh hệ thức: 
(k + 1)2ac – kb2  = 0 (k     0) là điều kiện cần và đủ  để 
phương trình có một nghiệm bằng k lần nghiệm còn lại.

Giải: Theo giả thiết ta được:


                                       

x1 + x2 =  ­

b

a

c

x1x2 =  a

Xét:      P = (x1 – kx2)(x2 – kx1) = x1x2 – k( x12 + x 22 ) + k 2 x1x 2
= x1x2 – k[(x1 + x2)2 – x1x2 ] + k2x1x2
�
c
b2
c � 2 c (k + 1)2 ac ­ kb 2
­
k
­
2
=  a � 2 a �+ k a =
a
a2
�
�

Vậy, nếu (k + 1)2ac – kb2 = 0 thì một trong hai thừa số của P 
phải bằng 0 và ngược lại (Đpcm).


 VD4: [3]  Xác định m để phương trình:
 x3 – 3mx2 – 3x + 3m +2 = 0    
có 3 nghiệm phân biệt x1, x2, x3 thỏa mãn  x12 + x 22 + x 32  > 15.

Giải: 
Điều kiện cần: 
    Giả sử phương trình có 3 nghiệm phân biệt x1, x2, x3 khi đó
x1 + x2 + x3 = 3m
x1x2 + x2x3 + x3x1 = ­3
x1x2x3 = ­3m – 2
Khi đó:
15 <  x12 + x 22 + x 32  = (x1 + x2 + x3)2 – 2(x1x2 + x2x3 + x3x1) = 9m2 +6
 m2 > 1    m  >1
Điều kiện đủ: 
Viết lại  phương trình về dạng 
(x – 1) [x2 – (3m – 1)x – 3m – 2] = 0


                                       

 

x = 1
g(x) = x2 – (3m – 1)x – 3m – 2 = 0 

(2)

ta chứng minh với m  >1 thì (2) có 2 nghiệm phân biệt khác, 
tức là chứng minh:
g > 0

       9m2 + 6m + 9 = 0

g(1)   0

m   0

luôn đúng với  m  >1

Vậy với  m  >1 thỏa mãn điều kiện đầu bài.


 Chú ý:  Bài toán trên cũng có thể được trình bày như sau:

Viết lại phương trình về dạng:
(x – 1) [x2 – (3m – 1)x – 3m – 2] = 0 
x = 1
g(x) = x2 – (3m – 1)x – 3m – 2 = 0 
Trước hết 
 

(2)

(1) có 3 nghiệm phân biệt

(2) có nghiệm phân biệt   1 
9m2 + 6m + 9 > 0
m   0

g > 0
g(1)   0

 m   0

Với điều kiện (1) có 3 nghiệm  phân biệt x1, x2, x3 thỏa mãn:
x1 + x2 + x3 = 3m
x1x2 + x2x3 + x3x1 = ­3
x1x2x3 = ­3m – 2
Khi đó:
15 <  x12 + x 22 + x 32  = (x1 + x2 + x3)2 – 2(x1x2 + x2x3 + x3x1) = 9m2 +6
 m2 > 1    m  >1
Vậy với  m  >1 thỏa mãn điều kiện đầu bài.


                                       



 VD5:[3]  Xác định  m để phương trình:

 x3 – 3x2 – 9x + m = 0 

(1)

Có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.
Giải: 
Điều kiện cần: Giả sử phương trình có 3 nghiệm phân biệt  
lập thành cấp số cộng, khi đó:
x1 + x3 = 2x2
x1 + x2 + x3 = 3   3x2 = 3   x2 = 1
Với x2 = +1 thay vào (1) ta được:
11 – m = 0   m = 11
Đó chính là điều kiện cần để (1) có 3 nghiệm lập thành cấp 
số cộng.

Điều kiện đủ: Với m = 11, ta được:
x3 – 3x2 – 9x + 11 = 0   (x – 1) (x2 – 2x – 11) = 0
x1 = 1 –  12
x2 = 1

, thỏa mãn (1)

x3 = 1 +  12
Vậy với m = 11 thỏa mãn điều kiện đầu bài.


 Chú ý:      1. Trong bài toán trên  ở  điều kiện đủ  ta khẳng 
định được.

a. pt (1) có 3 nghiệm phân biệt.
b. Ta có x1 + x3 = 2x2, tức là x1, x2, x3 lập thành cấp số cộng.
Do đó có kết luận m = 11 thỏa mãn điều kiện đầu bài.


                                       

Tuy nhiên tồn tại bài toán mà các giá trị  của tham số  tìm  
được trong điều kiện cần không thỏa mãn điều kiện đủ  thì kết 
luận giá trị đó không thỏa mãn điều kiện bài toán.
            2. Bài toán trên có thể được giải bằng phương pháp  
hệ số bất định, như sau:
pt (1) có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.
 (1) có 3 nghiệm x0 – d, x0, x0 + d (d   0)
Khi đó:  x3 – 3x2 – 9x + m  = [x – (x0 – d)] (x – x0) [x – (x0 + d)]
  = (x – x0) [(x – x0)2 – d2]

   = x3 – 3x0x2 + (3 x 02  – d2)x ­  x 30  + d2x0
­3 = ­3x0

x0 = 1

­9 = 3 x 20  – d2 

d =  ±2 3

m = ­ x 30  + d2x0

m = 11

Vậy với m = 11 thỏa mãn điều kiện đầu bài.
         3. Để tìm điều kiện của tham số sao cho phương trình:
          ax3 + bx2 + cx + d = 0, với a   0  (1) 
Có 3 nghiệm x1, x2, x3 lập thành cấp số  cộng, bằng phương 
pháp điều kiện cần và đủ ta thực hiện thao các bước:
Bước 1:  Điều kiện cần: Giả  sử  pt có 3 nghiệm phân biệt 
lập thành cấp số cộng, khi đó:
x1 + x3 = 2x2
x1 + x2 + x3 = 
Với   x2 
3

2

­b
 
a

=

 3x2 = 
 

­b
 
a

­b
 
3a

�­b �
�b �
�­b �
a � � + b �­ � + c � �+ d = 0  
�3a �
�3a �
�3a �

 x2 = 

­b
3a

thay   vào   (1)   ta   được: 
 2b3 – 9abc + 27a2d = 0       (2)

                                       

Đó chính là điều kiện cần để (1) có 3 nghiệm lập thành cấp 
số cộng.
Bước 2: Điều kiện đủ ­ Thực hiện phép thử lại.


 Lưu ý:  Với các em học sinh đã tiếp xúc với kiến thức về 
đồ thị của học sinh bậc ba có thể  sử  dụng điều kiện cần 
là “Điểm uốn thuộc trục hoành”, cụ thể:

Điều kiện cần: Để  pt có 3 nghiệm phân biệt với hoành độ 
lập thành cấp số cộng thì điểm uốn U của đồ  thị hàm số  y = x3 – 
3x2 – 9x + m thuộc trục hoành.
 y0 = 0   y(1) = 0   ­11 + m = 0   m = 11
Điều kiện đủ:
Với m = 11, ta được:
x3 – 3x2 – 9x + 11 = 0   (x – 1) (x2 – 2x – 11) = 0
x1 = 1 − 12
� x2 = 1

       thỏa mãn (*)

x 3 = 1 + 12

Vậy, với m = 11 thỏa mãn điều kiện đầu bài.


 VD6:  [3]Cho phương trình:  3' sin x + m cos x = 1

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2   [0, 2 ) sao cho 
x1 + x2 = 

2π
3

Giải:
Điều kiện cần: 
� 2π �

Giả sử phương trình có nghiệm x =      �0, 3 �, khi đó:
�
�


                                       

3' sin   + m cos   = 1

Mặt khác, vì x1 + x2 = 

2π
2π
 nên x =   –   cũng là nghiệm, khi đó:
3
3

�2π
�

3  sin  � ­α � = 1
�3
�

Như vậy:

3 sin 

 + m cos   = 1

�2π
�
�2π
�
3 sin  � ­α � + m cos  � ­α � = 1
�3
�
�3
�

 
m cos α = 1 − 3 sin α
�
­1
m � cosα +
�2
�

  

        

�
�3
�
3
1
sin α �
=
1
­
3
cos
α
+
sin
α
�
�
�
�2
�
2
2
�
�
�

cos α
1 ­ 3'sin α

=
­cos α + 3'sin α 2 ­ 3cos α ­ 3sin α

(2 – 3 cos   ­ 

3 sin 

) cos   = (­cos   + 

3 sin 

) (1 –  3 sin  )

3 cos 2  +  3 sin 2  = 3 cos   –  3 sin 
3
1
3
1
cos 2α + sin 2α =
cos α ­ sin α
2
2
2
2
π

π

π

π

cos 2  . cos  6  + sin 2  . sin 6  = cos   . cos  6  – sin   . cos  6
�

π�

π�

�

2α ­ �= cos �α + �
cos �
6�
6�
�
�

 

π

π

        2  ­  6  =   +  6  + 2k

α=

π
+ 2kπ

3


                                       

π

π

α = 2kπ
3

2  ­  6  = ­  ­  6  + 2k
π
3
� α=0
α=

α=

2π
3

π

 Với  α = 3 , thay vào phương trình ta được:
3sin

π
π

+ m cos = 1
3
3

m = ­1

 Với   = 0, thay vào phương trình ta được:
3 sin 0 + m cos 0 = 1 

 m = 1

2π

 Với  α = 3 , thay vào phương trình ta được:
3sin

2π
2π
+ m cos
=1
3
3

m =1

Vậy với m =  1 là điều kiện cần.
Điều kiện đủ:
Với m = 1, thay vào phương trình ta được:
3 sin x + cos x = 1 
π

3 sin x + 1 cos x = 1
2
2
2
π

1

�

π�

π

x + �= sin
sin x . cos 6  + cos x . sin 6  =  2     sin �
6�
6
�
π

π

x +  6  =  6  + 2k
π

π

x +  6  =   –  6  + 2k

x = 2k
2π

 

x =  3  + 2k


                                       
x�[0,2 π )

x1 = 0
x2 =

2π
3

Nhận xét rằng khi đó:
x1 + x2 = 

2π
, do đó m = 1 thỏa mãn.
3

 Với m = ­1 thay vào phưong trình, giải ra nghiệm.

Dạng 2:

Giải bài toán về tập nghiệm

I. PHƯƠNG PHÁP:
Với yêu cầu:  “Tìm giá trị  của tham số  m để  phương trình  
nghiệm đúng với mọi x thuộc Dx”, ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Đặt điều kiện để  các biểu thức của phương trình  
có nghĩa.
Bước 2: Điều kiện cần: Giả sử nghiệm đúng với  x   Dx 
suy ra nghiệm đúng với x0   Dx.
 Giải bài toán với x = x0   Giá trị của tham số m0.
Bước 3: Điều kiện đủ: Thực hiện phép kiểm tra với x = x0.


 Chú ý:   Việc chỉ  ra giá trị  x0    Dx được gọi là phương 
pháp sử dụng điểm thuận lợi trong việc tìm điều kiện cần 
và:

 Hoàn toàn có thể sử dụng một hoặc nhiều thuận lợi x 0, x1, 
… trong việc xác định điều kiện cần.