TCC2 tài liệu bài tập tổng hợp

Winner - 2016
Hong Bỏ Mnh_ST:0986.960.312

CHNG I: HM S
1. Túm tt lý thuyt
1.1.
nh ngha: y f x : t tng ng s thc x vi 1 v ch 1 s thc y thụng qua quy tc f
1.2.

Min xỏc nh: D các giá trị x đảm bảo biểu thức của f(x) có nghĩa

1.3.
Min giỏ tr: G các giá trị của y có được từ x thông qua quy tắc f(x)
1.4.
Tớnh n iu, b chn trờn, b chn di, b chn
1.5.
Hm ngc: y f x x f 1 y f x đơn điệu
2. Bi tp
2.1.
2.2.

x 3 1
Tỡm MX: y ln ln 1 x ; f x
; y 1 ln 2e e 2x
3x 1
Hm s sau cú hm ngc khụng: y x 2 ln x ; y x 3 3x 4 ; y x 3 3x 2 3x 1
4

CHNG I: GII HN V TNH LIấN TC CA HM S
1. Túm tt lý thuyt
1.1.

Gii hn
Kớ hiu: L lim f x ; L lim f x ; lim f x ; lim f x
x

x a

x a

x a

Cỏc phộp toỏn: nu cú lim f x m ; lim g x n
x a

x a

lim f x g x lim f x lim g x m n
x a

x a

x a

lim f x .g x lim f x . lim g x m .n
x a

lim
x a

x a

x a

f x m
f x lim
x a

n 0
g x lim g x n
x a

lim f x
x a

g x

lim g x

x a
lim f x
x a


m 0

mn

Gii hn mt s hm c bn:

lim a x a 1

x

lim a x 0

0 a 1

lim arccos x 0

lim ln x

x 1

x

lim arccos x

lim ln x

x 0

2
lim
cot
x



lim tan x
lim arcsin x
x 2

2
x 0
x 1
Khụng tn ti gii hn x ca cỏc hm s: sin x ,cos x , tan x ,cot x
Gii hn vụ nh c bn
x

lim
x 0

sin x

x

lim
x 0

ln 1 x

x

x 1

e x 1
1;
x 0
x

lim

u u x 0 khi x 0 thỡ: lim
x 0

sin u

u

lim

ln 1 u

x 0

u

Mt s cỏch tớnh gii hn thụng dng
1

eu 1
1
x 0
u

lim

lim arccotx 0

x

lim arc cot x

x

lim arctan x

x

2


Winner - 2016





Hoàng Bá Mạnh_SĐT:0986.960.312

(*) Dùng vô cùng bé tương đương: sin x ~ x ; ln 1  x  ~ x ; e  1 ~ x ;tan x ~ x ;arcsin x ~ x
x

f  x  L 
f x 
 lim
L
g  x  x a g   x 

(*) Lopitan: lim
x a





(*) Định lý kẹp: lim f  x   0 và g  x  bị chặn hay g  x   M thì lim f  x  .g  x   0
x a
x a
1.2.

Hàm số liên tục

Với f  x  xác định trên D , xét x 0  D :
 lim f  x   f  x 0 
x xo
(*) f  x  liên tục tại x 0  
 lim f  x   lim f  x 
 x x 0
x x 0

(*) f  x  liên tục trên D  f  x  liên tục tại mọi điểm x 0  D
2. Bài tập
2.1.
Bài tập giới hạn
Thay
VCB
tương
đương



sin 2x 2  4x  6

L1  lim



ln x 3  26

x 3

ln  cos3x 

L4  lim



ln 1  tan x

x 0

2





L5  lim




x 0


L10  lim  cot 2 x 



1 
x 2 

L3  lim

2



tan 4  x

2

1   cos x 





L6  lim

ln 1  x tan x 

x 2  sin 3 x

x 0

1 1



 

sin x 2  x 2

L8  lim   cot 3x 
x 0 x 3x



L9  lim

L11  lim sin  x  ln  3  x 

L12  lim

L13  lim

x

sin t dt

L14  lim

0

2
x 0 x


x 0

 ln  cos 2t dt

ln 1  tan 3x   3x

 ln  2  cos t dt
2

2

L15  lim 0

e 2 x  1  tan  2x 

x 0

Lũy
thừa
mũ

L16  lim

x x  1  cos x

L19  lim  2x  2
2

x 

L22  lim  tan 3x 



1

L20  lim e  cos x 

x x

3x



5

t2



 1 dt

L23  lim  x  cos3x 

2 x 3 x

2

x 

2

x 0

7
x x

1

L24  lim  x  3

sin2 x

x 



Nhân
3
1  5x sin 2 x  1
2
L


lim
x

2
x

x
L

lim
liên
25
26
x 
x 0 tan  x  ln  cos3x 
hợp
2.2.
Bài tập về sự liên tục của hàm số



L27  lim  2x  1
x 


 1  sin 2 x
(2) f  x   

e3





2

e 2x
3

x 0



4
;x  1
1  x  cos
(1) f  x   
x 1

0
;x  1


3x  sin 5x

L18  lim

L21  lim  x cot x  x

x

x 

x 0 





L17  lim sin x  1  sin x
x 

x 3  4x  8

x 

 e
0

x

0

Kẹp

x  1  x  3x 2

x 

1 cos3x



x 5 sin x
3x  5 3 2  8x 3

x 0

x 3

sin x

x3

x 0

sin 3x 2  2x  8

x 2

L7  lim ln x .ln 1  x 
x 0
Ứng
dụng
đạo
hàm

1 x
ln 1  x 

L2  lim
x 0



x

arcsin



2

x2

;x  0
;x 0

4x  1
x3 x


Winner - 2016
Hoàng Bá Mạnh_SĐT:0986.960.312

3
3
;x  1
 1  x sin
(3) y  

x 1

0
;x  1

1

 1  4x 2 1cos2 x ; x  0
(5) y  

a
;x 0




Tìm a
để
hàm số
1
6
5
liên
;x 3
  x  3 arctan
(7)
f x   
x 3
tục


a
;x 3


x

2
;x  2
 4  x  sin
(6) y  
x 2

a
;x  2


CHƯƠNG II: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM SỐ
1. Tóm tắt lý thuyết

f x   f x0 
f x   f x0 
; f   x 0   lim
x x
x x
x  x0
x  x0
dy df  x 
1.2. Kí hiệu đạo hàm của y  f  x  : y   f   x  
; y , y , y  4  , y  5 ,..., y  n  ,...


dx
dx
1.1. Định nghĩa đạo hàm: f   x 0   lim


0

0

1.3. Công thức đạo hàm hàm số cơ bản
1.4. Đạo hàm theo quy tắc
Nếu có u  u  x  ; v  v  x  sao cho tồn tại u   x  ; v   x  thì:
Với C là hằng số

Cu   Cu 

C0

uv   u v v u

u v   u  v 

 u  u v v u
v   v 2
 

1.5.Đạo hàm của hàm hợp
Nếu có hàm số của biến u là f u  , trong đó u là hàm số của x , tức là u  u  x  thì:

f x 

df u  df u  du

.
 f  u  .u   x 
dx
du dx

1.6. Khai triển Taylor, Mac Laurin
Tay lor: f  x   f  x 0  

f  x0 
1!

x  x0  

n
r  x   o  x  x 0   hoặc r  x  





Mac Laurin: f  x   f  0  

r x   o x

n



f  0
1!

x

f   x 0 
2!

x  x0 

2

f n   x 0 
n
 ... 
x  x 0   r x 
n!

f  n 1 c 
n 1
 x  x 0  với c nằm giữa x và x 0
 n  1!

f   0 
2!

x 
2

f   0 

f n  0 n
x  ... 
x  r x 
3!
n!
3

f  n 1 c  n 1
x với c nằm giữa x và 0
hoặc r  x  
 n  1!

1.7. Vi phân

3


Winner - 2016
Hoàng Bá Mạnh_SĐT:0986.960.312

Xét y  f  x  có đạo hàm tại x 0 (còn gọi là khả vi tại x 0 ). Khi đó:

f   x 0   lim

x x 0

f x   f x0 
 f x   f x 0   x  x 0  f x 0   o x  x 0 

x  x0

Vi phân của hàm f  x  tại điểm x 0 là: df  x 0    x  x 0  f   x 0  .
x  x  x 0 ; f  x   f  x   f  x 0  thì: df  x 0   x .f   x 0  và y  f  x   x .f   x 0   o  x 

Tổng quát ta có:

dy  df  x   x .f   x 
y  dy  o  x   dy ®iÒu nµy gióp ta tÝnh to¸n xÊp xØ

2. Bài tập
2.1.Đạo hàm
Dùng định nghĩa tìm công thức đạo hàm của: sin x ; cos x ; tan x ; arcsin x ; a x ; ln x ; loga x
Dùng định nghĩa tính đạo hàm các hàm số sau
a, y  f  x   2 x  1  x  2
c , f  x   x  4 ln 3 5x 2  9
b , y  x  1 sin 2 x 2  1



1
1
6
5
5
4
; x  1
;x  2
  x  2  arctan
  x  1 cos

e, y  
d,y  
x 1
2x


0
0
; x  1
;x  2
Chứng minh hàm số sau liên tục và xém xét đạo hàm tại x 0

a, f  x  

b , y  3  x  1 arctan  x  1 ,
2

x
, x 1
x 1 1 0

x0  1

Chứng minh các hàm số có hàm ngược và tính
a, y  f  x   x 3  3x 2  6x  2
b , y  f  x   2x  cos x ;

TÝnh f 1  2 

 

   4 
1

 

TÝnh f

3

arctan
;x  0

x

c , f x   


;x  0


2

c , y  f  x   2x 2  ln x
1

2

f , y  f  x   x 3  3x 2  3x  1
TÝnh f

 
 

1



1
2
3
;x  3
  x  3 sin
y 
3x

0
;x  3


TÝnh f



e , y  f  x   3x  3cos  x  
6


d , y  f  x   1  2x  x 3
TÝnh f

1

TÝnh f





1

2

Tìm khoảng tăng giảm và cực trị hàm
(1) y  2  3x .
3

2 3

5  x 

 3x  2 x

1  2t 2 dt 
(4) y   
 1



2

(2) f  x   e

2

4



x

(3) f  x   e   e t t  1dt

x2
 x
(5) y 
arctan     2  x  arctan  ln   1  
x

2 
2 4
2
 4
 4



x

1  t 2 dt  3 2x

(8) y 

x2 

8



 4x  1

x

x

2

x

3 x

 x 2

(6) y    e t 3 2t 2  3dt 
 0

(9) y  2 x 2  2 arccos

3x

(7) y 



x 1
3

0

x 4x2 

2
Khai triển Taylor, Mac Laurin


3


0

x2
4

3

2  9t 2 dt  3 3x


Winner - 2016
Hoàng Bá Mạnh_SĐT:0986.960.312

(2) f  x   ln 1  x 

(1) y  e 2x 3x  1 Mac Laurin cấp 3





x 1

Mac Laurin cấp 4

(3) f  x   ln x 2  5x  6 Mac Laurin cấp 4

(4) y  4xe x  x 2  3 , Taylor bậc 3 tại x  0

(5) y  x 3x  1 , Mac Laurin bậc 5

(6) f  x  

(7) y   x  1 arcsin  x  1 , Taylor bậc 5 tại 1

(8) y   x  1 arctan  x  1 ,Taylor bậc 5 tại 1

3x  1
, Taylor bâc 3 tại 1
x  5x  6
2

3

3

x

e 6 x
(9) y  2
, Mac Laurin cấp 2
x  15x  26

(10) y   e sin x dx , Mac Laurin cấp 4
0

Ứng dụng phân tích kinh tế
1) Một doanh nghiệp độc quyền đứng trước đường cầu Q D  100  2 p . Tính hệ số co giãn của cầu
theo giá tại mức giá p  10 và nêu ý nghĩa.
2) Hàm cầu và hàm cung của người tiêu dùng đối với một loại sản phẩm lần lượt là
Qd  54  3 p ;Qs  2 p 2  10 . Tính hệ số co dãn của hàm cung và hàm cầu tại mức giá cân bằng
và giải thích ý nghĩa.
1
3) Một công ty độc quyền có hàm doanh thuTR  200Q  Q 2 . Tính hệ số co giãn của cầu theo
6
giá tại mức giá p  50 và giải thích ý nghĩa.
5Q 2
, Q là sản lượng. Tính hệ số co giãn của TC theo Q tại
Q 3
Q = 17 và giải thích ý nghĩa kinh tế của kết quả nhận được.

4) Biết hàm tổng chi phíTC  5000 

2
3

5) Ước lượng hàm sản suất của một công ty có dạng Q  90L  L  0  .Cho biết giá sản phẩm
bằng 3, giá thuê 1 đơn vị lao động bằng 2 và chi phí cố định 100 000. Xác định mức sử dụng lao
động L để công ty tối đa lợi nhuận
6) Một doanh nghiệp độc quyền có hàm doanh thu biến MR  300  Q và hàm tổng chi phí

TC  2Q 2  30 . Tìm mức sản lượng mà doanh nghiệp tối đa lợi nhuận.
7) Hàm cầu đối sản phẩm của một nhà độc quyền là Q  80  0,2 p . Hàm chi phí biên của nhà sản
suất tại mỗi mức sản lượng MC  3Q 2  20Q  200 . Tính hệ số co dãn của cầu theo giá tại mức
giá mà doanh nghiệp tối da lợi nhuận và nêu ý nghĩa kinh tế của kết quả nhận được.
8) Hàm cầu thị trường đối với sản phẩm của một hãng độc quyền có dạng p  1400  4Q :
a. Tính hệ số co dãn của cầu theo giá tại p  80 và nếu ý nghĩa
b. Biết hàm chi phí sản xuất của hãng là TC  Q 3  7Q 2  80Q  844 , hãy xác định mức sản
lượng tối đa lợi nhuận
2.2.Vi phân
(1) Viết biểu thức vi phân của các hàm số sau:

a, y  e

2x





2x  1

b , y  ln

 x  1 3x  2
3
x  2




c , y  ln  tan

2x  1 
4 

(2) Cho hàm số f  x   3x 4  4x 3 . Tính df 1 trong các trường hợp

a , x  1

b , x  0,2

5

c , x  0,05


Winner - 2016
Hoàng Bá Mạnh_SĐT:0986.960.312

CHƯƠNG III: HÀM NHIỀU BIẾN: ĐẠO HÀM RIÊNG – VI PHÂN – CỰC TRỊ
1. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Hàm 2 biến: z  f  x ; y  , n biến: w  f  x 1 ; x 2 ;...; x n 

w
 f x  x ; y   f x
x
 2w
 2w
 2w
  2 ; w xy
 
 
Đạo hàm cấp 2, hỗn hợp cấp 2: w x2  w xx
; w yx
x
x y
y x
1.3. Công thức định nghĩa: f  x ; y  với  x 0 ; y 0  thuộc miền xác định
1.2. Đạo hàm riêng: w  f  x ; y ; z  : w x 

f x ; y 0   f x0 ; y 0 
x  x0

Riêng
cấp 1

f x  x 0 ; y 0   lim

Hỗn
hợp
cấp 2

f xy  x 0 ; y 0   lim

x x 0

y y 0

f x0; y   f x0; y 0 
y y
y  y0
f   x ; y 0   f y  x 0 ; y 0 
f yx  x 0 ; y 0   lim y
x x
x  x0

f y  x 0 ; y 0   lim

0

f x  x 0 ; y   f x  x 0 ; y 0 
y  y0

0

1.4. Vi phân toàn phần của hàm w  w  x ; y ; z 
Cấp 1
dw  w x dx w y dy w zdz

Cấp 2
d w  w x dx  w y dy  w z dz 2  2w xy dxdy  2w xz dxdz  2w yz dydz

2

2

2

2

2

2

1.5. Hàm ẩn
Hàm

y  y x 
z  z x ; y 

Phương trình xác định

Đạo hàm

F x ; y   0

 Fx 
F x

y x   
; y   x    y   x    
 F  

F y
 y

F x ; y ;z   0

 F x 
F y
 F x 
F x
   
z x   ; z y   ; z x     ; z xy
 F  
F z
F z
 F z  x
y  y

2

1.6.Cực trị w  w  x ; y ; z 
Cực trị tự do
Hàm số

w x ; y 

w x ; y ;z 

Điều kiện cần

w x  0

 M x0; y 0 
 
w y  0
w x  0

w y  0 
 
w z  0
 M x0; y 0;z 0 

Đạo hàm bậc 2
a11  w x2 ;a22  w y2

a12  a21  w xy
D  a11a22  a12a21
 a11 a12 a13 
H   a21 a22 a23 
a

 31 a32 a33 
 ;...
a11  w x2 ;a12  w xy

6

Điều kiện đủ
Cực đại

Cực tiểu

a11  0
D 0

a11  0
D 0

D1  0; D 2  0;
D3  0

D1  0; D 2  0;
D3  0
Dk  0
k  1,2,3

 1

k

Dk  0

k  1,2,3


Winner - 2016
Hoàng Bá Mạnh_SĐT:0986.960.312

Cực trị với điều kiện
(*)Hàm Lagrange Hàm số
(*)Điều kiện cần
(*)L  w  x ; y  

  b  g  x ; y 

w x ; y 

 0 g1 g 2 
H   g 1 L11 L12 
g L
L22 
 2
21
g 1  g x ; g 2  g y

Lx  0

(*) L y  0  M  x 0 ; y 0 
 
 L  0

g x ; y   b

Điều kiện đủ
Cực đại

Đạo hàm bậc 2

Cực tiểu

H 0

H 0

L11  Lx ; L12  Lxy

víi   0

2

2. Bài tập
2.1.Đạo hàm riêng

 3y
(2)w  x 2  y 2 f 
x y
(3) Cho f  x  khả vi tại mọi x và f   1  1; f   1  0 . Xét hàm số



 

(1)w  x 2  2 y 2 f x 2  y 2

Dạng
1







w   2x  3y  f  x 2  y 2  . Hãy tính đạo hàm riêng cấp 2:


2  x 
x g 


 4y 

 2w
 0; 1
x y

x
y
u
u
(5) u  f  ;tan  cmr: x
y
0
x
x
y
y
(6) Cho f u ;v  thỏa mãn f 1;0   f u 1;0   2; fv 1;0   1 và
(4)w  e 3x

2

y

 5zx

3



 2 y 2 x . w zx  1;2;0   ?

y
y x 
w  x y .f  ;sin
 . Tính: w x  2;2 
2x  y 
x
1
(2) f  x ; y   y 2 3 3  x . Tính f x  2;1
(1) f  x ; y   2 3 y  2 . Tính f y 1;3
x
2y 1

2
; x ; y   2 : x  0
x y  2 arctan
x
(3) w  
. Có hay không f x  0;3 ; f y  0;3 ?
2


0
; x ; y   ;x  0






 xy 2x 2  y 2

;x 2  y 2  0
2
2
(5) f  x    x  y

0
;x  y  0


 x 3  xy  y 3 2
;x  y 2  0

Dạng (4) f  x ; y    x 2  y 2
2

0
;x  y  0

Tính f x  0;0  , f y  0;0 

Tính f xy  0;0 

 x 3  xy  y 3
;x 2  y 2  0

(6) f  x ; y    x 2  y 2

0
;x  y  0

Tính f x  x ; y 

 x 2  2y 3
;x 2  y 2  0

(7) f  x ; y    2 y 2  3x 2

0
;x  y  0

Tính f xy  x ; y 

2.2.Vi phân toàn phần
Viết biểu thức vi phân toàn phần của các hàm số sau
1) z   5x  7 
2

3x  2 y



2)w  y  3arc cot x
2

7



y

 5x 2  5z 3 
3)w  

4
 2y


sin y


Winner - 2016
Hoàng Bá Mạnh_SĐT:0986.960.312

x
z
x
4) z  z  x ; y  xác định bởi
 ln  1
5) z  z  x ; y  xác định bởi z  e y sin  2 y
z

y
z
2
2
6) Biểu thức vi phân toàn phần cấp 2 của F  x ; y   4  3y  8x  4x  y
7) Biểu thức vi phân toàn phần cấp 2 của z  z  x ; y  xác định bởi x 2  y 2  z 2  x  y  4z 

9
0
2

2.3.Cực trị
Cực trị tự do
a, u  3x 2  4 y 2  5z 2  4xz  6x  8 y  15

b , w  3x 2  3y 2  11z 2  6xz  12x  12 y  20z  1

c, w  4x 2  2 y 2  5z 2  4xy  12 y  15z  4
1
e , z  y 4  8xy  4x 2  13
8
g , z  z  x ; y   z  1 xác định bởi:

d , u  x 2  4 y 2  9z 2  4 yz  6x  8z  5
1
f , z  y 4  12xy  6x 2  11
3

x 2  3y 2  z 3  2x  12 y  2z  14  0

x 2  3y 2  z 3  2x  12 y  15z  27  0

Cực trị kèm điều kiện
1) w  x 0,5 y 0,3 điều kiện 5x  2 y  656
1
1
1 1
1
3) z   điều kiện 2  2 
x
y
x y
9

h , z  z  x ; y   z  1 xác định bởi phương trình:

2) w  x 0,8 y 0,6 điều kiện 8x  5y  280
4) z  2x 2  y 2  2xy  3x  4 y ; x 2  y  3

2.4.Ứng dụng phân tích kinh tế

Hàm
sản
xuất

1. Mô ̣t doanh nghiê ̣p có hàm sản xuấ t Q  8 3 K L .
a. Đánh giá hiệu quả theo quy mô của doanh nghiệp
b. Hãy tiń h sản phẩ m hiê ̣n vâ ̣t câ ̣n biên của tư bản và lao đô ̣ng ta ̣i mức L  16; K  8 và
giải thích ý nghĩa.
2

3

1
3

2. Cho hàm sản xuất Q  75K L
a. Tính sản phẩm hiện vật cận biên theo vốn và lao động tại mức K = 64, L = 125 và
cho biết ý nghĩa kinh tế.
b. Nếu giá một đơn vị tư bản K là 16$ và giá một đơn vị lao động L là 7$ và doanh
nghiệp sử dụng các yếu tố đầu vào ở mức k = 64, L = 125 thì doanh nghiệp nên sử
dụng thêm một đơn vị tư bản hay một đơn vị lao động mỗi ngày? Vì sao?
1. Giả sử hàm tổng chi phí của doanh nghiệp cạnh tranh là:TC  7Q12  2Q 22  5Q1Q 2
Biết giá các sản phẩm tương ứng là p1  65, p 2  45 . Hãy các định các mức sản lượng cho
lợi nhuận tối đa.
2. Một doanh nghiệp độc quyền sản xuất kết hợp hai loại sản phẩm với hàm tổng chi phí:
TC  Q12  2Q1Q 2  Q 22  40

Cực
trị
tự do

Cầu của thị trường đối với xác sản phẩm như sau Q1  35  0,5 p1 ; Q 2  40  p 2 . Hãy chọn
mức sản lượng kết hợp và giá bán cho lợi nhuận tối đa. Tại điểm tối đa hóa lợi nhuận,
nếu giả sản phẩm 1 tăng 3% thì cầu sản phẩm đó thay đổi như thế nào?
3. Một doanh nghiệp cạnh tranh thuần túy sản xuất kết hoạp 3 loại sản phẩm với hàm tổng
3
chi phí kết hợpTC  Q12  2Q 22  Q 32  Q1Q 3  2Q 2Q 3 . Hãy chọn kết hợp sản lượng cho
2
lợi nhuận tối đa khi giá các sản phẩm là p1  20$; p 2  28$; p 3  26$ .
4. Một công ty độc quyền sản xuất một loại sản phẩm và bán tại hai thị trường khác nhau

(Được phép phân biệt giá). Cho biết hàm chi phí cận biên:

8


Winner - 2016

MC  3,5  0,1Q ; Q  Q1  Q 2 

Hoàng Bá Mạnh_SĐT:0986.960.312

Và cầu của các thị trường đối với sản phẩm: p1  24  0,3Q1 và p 2  18  0,15Q 2 .
Xác định giá bán trên mỗi thị trường để công ty thu lợi nhuận tối đa
1. Cho hàm lơ ̣i ích của hô ̣ gia đình khi tiêu dùng 2 loa ̣i hàng hoá U  10x 0,6 y 0,4 trong đó x
là lươ ̣ng hàng hoá thứ nhấ t, y là lươ ̣ng hàng hoá thứ 2. Trong điề u kiê ̣n giá của hàng hoá
thứ nhấ t là 10$, giá của hàng hoá thứ 2 là 3$ và thu nhâ ̣p dành cho tiêu dùng là 3000$.
Hãy xác định cơ cấ u tiêu dùng tố i đa hoá lơ ̣i ích và xác định mức lơ ̣i ích tố i ưu tăng thêm
khi lươ ̣ng tiề n dành cho tiêu dùng tăng 1$ (và khi tăng 1%).
2

Cực
trị
điều
kiện

1

2. Cho hàm lơ ̣i ích U  20x 3 y 3 với x,y lầ n lươ ̣t là lươ ̣ng cầ u của hàng hóa 1 và 2. Biế t giá
mỗi đơn vi ̣hàng hóa lầ n lươ ̣t là $8 và $4. Hãy tìm lươ ̣ng cầ n x,y để người tiêu dùng tố i
thiể u hóa chi tiêu của mình với lơ ̣i ić h không đổ i là 400.

3. Giả sử một doanh nghiệp có hàm sản xuất là Q  120K 0,7 L0,4 . Sử dụng phương pháp nhân
tử Lagrange, tìm mức sử dụng các yếu tố đầu vào của sản xuất sao cho doanh nghiệp phải
bỏ ra chi phí nhỏ nhất khi sản xuất Q 0  4000 đơn vị sản phẩm. Cho biết giá thuê tư bản
và lao động lần lượt là w K  16 ; w L  14 .
4. Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q  20K 0,4 L0,4 . Giả sử giá thuê một đơn vị tư bản là
$10, giá thuê một đơn vị lao động là $8 và doanh nghiệp tiến hành sản xuất với ngân sách
cố định là $320. Tìm mức sử dụng lao động và tư bản để doanh nghiệp có sản lượng cực
đại. Khi ngân sách sản xuất tăng 3% thì sản lượng cực đại thay đổi như thế nào?

CHƯƠNG IV: TÍCH PHÂN
1. Tóm tắt lý thuyết
b

1.1.Tích phân:  f  x  dx ;  f  x  dx
a

x

1.2.Hàm cận trên: nếu có f  x   F   x  thì: F  x    f t  dt ; với u  u  x  thì F u  
a

b

u x 

a f t dt

1.3.Định lý giá trị trung bình:  f  x  dx  f  c b  a  trong đó c là 1 giá trị nào đó nằm giữa a, b
a

1.4.Bảng nguyên hàm
1.  kdx  kx  C
2.


 x dx 

3.



4.

x

5.

x
 a dx 

6.
7.
8.

u  u  x  ; du  u dx

x  1
 C   1
 1


 u du 

du
 2 u C
u

dx
 2 x C
x



dx

u

du

 ln x  C
ax
C
ln a

u  1
C
 1

 ln u  C

u
 a du 

au
C
ln a

 sin udu   cosu  C
 cosudu  sin u  C
 tan udu   ln cosu  C

 sin xdx   cos x  C
 cos xdx  sin x  C
 tan xdx   ln cos x  C
9


Winner - 2016
Hoàng Bá Mạnh_SĐT:0986.960.312

9.

 cot xdx  ln sin x

10.



11.



dx
1 x

2

dx

 cot udu  ln sin u  C

C

 arcsin x  C



 ln x  x 2  b  C



1u 2

 arcsin u  C

du

 ln u  u 2  b  C

u b

du
 1  u 2  arctanu  C

x b
dx
 arctan x  C
12. 
1 x 2
1.5.Các dạng tích phân thông dụng
2

du

2

Công thức tích phân từng phần:
Đặc điểm
u  P  x  là đa thức

Bất định



b

b b
a udv  uv a  a vdu

 udv  uv  vdu

v  sin ax ; cos ax ; e ax ; ln ax ; arctan ax 
Đổi biến: t 

Xác định



ax  b ; 3 ax  b ; ...

b

Công thức thế cận: F   x   f  x    f  x  dx  F  x 
a

b
 F b   F a 
a

1.6.Tích phân suy rộng: hội tụ, phân kì
2. Bài tập
Phân thức

1)

Lượng
giác

1)
1)

Căn thức

1

dx
4x  5x  1
2

dx
cos x

2)

dx
2 1  6x 1  3x 

2)

3

1

cos4 x
dx

x  4x  5
2

2x  4  x 2

d ,

e, 

1)
1

x2
dx

x 4x  5x  1

0

2

x

4)  x 2e 3 dx


0

7)  e 2 x cos 2xdx


x2

arctan x

x

2

dx

dx



xdx
4x  20x 2  26


2) 



5) 
0

4

dx
4 x  1 2  x 



8)   3x  2  sin 5xdx
0

10

2sin x  cos x  3

dx
x 2  4 x  5

2

b ,   3x  1 cos  3x  dx

dx

dx

1

a ,   7x  1 e 3x 1dx
ln  2x  5

4

3) 

5)

3

Suy rộng

Tính và
cho biết
các tích
phân sau
hội tụ hay
phân kì

3)

dx

4) x 3 1  x 2 dx
0

Từng phần

xdx
x  5x 2  6
0

3)

dx
2)
5  4x  x 2

dx

6)

x 4x 4  1
c ,  e 3x sin 2xdx


f ,4 x 




3) 
2

1  x
 e dx
x x

dx
x  3x 2  4
4



6)  e  x cos 2xdx
0



9) 
1

ln  5x  2 

x2

dx


Winner - 2016
Hoàng Bá Mạnh_SĐT:0986.960.312

CHƯƠNG V: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
1. Tóm tắt lý thuyết
1.1.Phương trình vi phân : F  x ; y ; y ; y ;dy ;dx   0
1.2.Nghiệm tổng quát và tích phân tổng quát

y  y  x   C =>Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (Rút được y theo x)
  x ; y   C =>Tích phân tổng quát của phương trình vi phân (Không rút được y theo x)

1.3.Một số dạng phương trình vi phân cấp 1 có thể giải được
Phương trình
Dạng
Cách xử lý
f  x  dx  g  y  dy
Phân ly biến
Lấy tích phân 2 vế
Đưa về phân ly

dy
 f ax  by 
dx

dy
 f x ; y   f
dx

dz
dy
 a b
dx
dx
dy
dz
z x
Đặt y  zx 
dx
dx
M y  N x
Đặt z  ax  by 

 y
 1; x 



Tích phân tổng quát:   x ; y   C với:
x

y

x0

y0

  x ; y    M  x ; y 0  dx   N  x ; y  dx

Vi phân toàn
phần

M  x ; y  dx  N  x ; y  dy  0

Thừa số tích
phân
Tuyến tính

y   p x  y  q x 

Bernoulli

y   p  x  y  y  q  x   1

x

y

x0

y0

  M  x ; y  dx   N  x 0 ; y  dy

M y  N x

f  x dx
 f x   p x   e 
N

M y  N x
 f  y dy
 f y   p y  e 
M
Biến thiên hằng số
Đưa về tuyến tính bằng cách:
y
 p  x  y 1  q  x 

y
Rồi đặt z  z  x   y 1

2. Bài tập
Phân ly biến (tách biến)
xy 
1
1)

y
2x  3
Đưa về phân ly biến
a , y   sin  2x  y 

dy 2x  y

dx x  2 y

g ,  3x  y  dx   x  2 y  dy  0
Phương trình vi phân toàn phần
d,





2) y   3x 2 y  4x 2 y 3

3) x 2  3x  2 y   2 y  y  x  1

b , y   4x  2 y

c ,  2x  6 y  3 dx   x  3y  1 dy  0

e,

dy
2
 8x  2 y  1
dx

f ,  x 2  6xy  y   3y 2  5x 2  2xy

h ,  4 y  6x  3 dx   3x  2 y  4  dy  0

11

Winner - 2016
Hoàng Bá Mạnh_SĐT:0986.960.312



x
1, xy 2  x 2 y  2 dx   x 2 y   y 2  5  dy  0
3







1 
2x 
2,  2xy  2  dx   x 2  3  dy  0
y 
y 


4, 2xydx   x 2  y 2  dy  0 thỏa

3



y 2  3x 2
3, 3 dx 

dy  0
y
y4
2x

y  1; x  0

5,  y  2  x  y  ln  x  y   dx  x  2  x  y  ln  x  y   dy  0
Thừa số tích phân





2,  3x  1 y   4x  5 y

1, ydx  x  y 2 dy





4, 2xydx  y  x 2 dy  0

5,

dy 1  xy

dx x  1



y2
3,  2x 
 3x 3  dx   xy  y  dy  0
2


6, y 2 cos xydx   y  xy cos xy dy  0

Phương trình tuyến tính

1) y  

y
x 1





 x 2  x  2 ln3x

4) y   y  4 x 

1

x x

7)  3x  1 y   4x  5y

2) xy   y  x 2e x
5) y   y 

2  x  e x

x
dy 1  xy
8)

dx x  1

3

3) x

dy
  2  x  y   x  x 2 e x
dx





6) x 2  3x  2 y   2 y  y  x  1

9) y  

2x  6
y  2x  7

x  6x  13
2

Phương trình Bernoulli

1) y . y   7xy 2  2x
4) y   y 2e x  2 y  0
dy
7)
 3y tan 3x  y 2  2x  5 cos3x
dx

9)

y 5 ln x
x
x
2
3
5) 3y y   y  x  0
2) y  

2y



3) y   3x 2 y  4x 2 y 3
6) xy   y  x 3 y 4





8) 3 y 2  x 2 dx   y  6xy  dy  0

dy
 4 y tan 2x  y  4  cos2x 
dx

12