Đề thi học sinh giỏi lớp 11 tỉnh Nam Định năm 2000

ĐỀ THI HOC SINH GIỎI LỚP 11 TỈNH NAM ĐỊNH
NĂM 2000
Câu I (5 điểm).
Cho hàm số
Giải các phương trình sau:
1)
2)
Câu II (5 điểm)
Các góc A, B, C của một tam giác thỏa mãn:
Tìm các góc của tam giác đó.
Câu III (7 điểm)
Cho tam giác ABC vuông góc tại A. Trên đường thẳng (d) vuông góc
với mặt phẳng (ABC) tại B ta lấy một điểm S sao cho SB = BA = AC
= 1. (P) là mặt phẳng song song với các cạnh SB và AC cắt các cạnh
SA, SC, BC, BA lần lượt tại D, E, F, H.
1) Chứng minh DEFH là hình chữ nhật.
2) Xác định vị trí của mặt phẳng (P) sao cho diện tích hình chữ nhật
đó lớn nhất.
Câu IV (3 điểm).
a, b, c là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức:
--------------------------------------------------------
NĂM 2001
Câu I (5 điểm).
1) Chứng minh với mọi giá trị của x, ta có:
2) Giải phương trình:
Câu II (5 điểm)
Tính các góc của tam giác ABC nếu tam giác đó thỏa mãn:
Trong đó BC = a, CA = b, AB = c và A, B, C là độ lớn 3 góc của tam
giác ABC đối diện lần lượt với 3 cạnh BC, CA và AB.
Câu III (7 điểm)
Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn (O) bán kính R và điểm A cố

định trên đường tròn (O). Tứ giác ABCD biến thiên, nội tiếp trong
đường tròng (O) sao cho 2 đường chéo luôn vuông góc với nhau. Trên
đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (P) tại A ta lấy điểm S. Nối
S với A, B, C, D.
1) Chứng minh
2) Nêu cách xác định điểm I cách đều 5 điểm A, B, C, D và S.
3) Tứ giác ABCD là hình gì để diện tích của nó lớn nhất. Tìm giá trị
lớn nhất đó theo R.
Câu IV (3 điểm).
Cho các số thực a, b, c và d thỏa mãn điều kiện:
Chứng minh rằng tồn tại các số thực u và v sao cho:
và .
------------------
NĂM 2004
Câu I (6 điểm).
Cho phương trình sau:
1) Giải phương trình khi .
2) Xác định tham số m để phương trình có đúng một nghiệm
Câu II (4 điểm)
Trên mặt phẳng cho tứ giác lồi ABCD có AB = BC = CD = a.
1) Nếu biết Hãy tính diện tích tứ giác
ABCD theo a.
2) Giả sử tứ giác ABCD thay đổi, mà AB = BC = CD = a không đổi.
Hãy tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác ABCD.
Câu III (7 điểm)
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a.
1) Ta coi hình chóp đã cho là tứ diện SABC có trọng tâm O, gọi là
góc giữa mp(SAB) và mp(ABC). Hãy tính để O cách đều tất cả
các mặt của SABC.
2) Biết Xét mặt phẳng (P) thay đổi đi qua A, sao cho

mp(P) cắt các đoạn thẳng SB, SC thứ tự tại B', C'. Tìm giá trị nhỏ nhất
của chu vi tam giác AB'C' theo a.
Câu IV (3 điểm).
Cho phương trình:
Chứng minh rằng phương trình có 3 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
, x
3
.
Giả sử x
1
< x
2
< x
3
, chứng minh rằng:
và
NĂM 20005
Câu I (6 điểm).
Cho phương trình sau:
với m là tham số.
1) Khi m = 0, hãy tìm tất cả các nghiệm của phương
trình.
2) Xác định m để phương trình có nghiệm
Câu II (3 điểm)
Biết rằng số đo 3 góc trong của tam giác ABC lập thành một cấp số
nhân với công bội q = 2. Gọi (O;R) là đường tròn ngoại tiếp và G là
trọng tâm của tam giác ABC.

1) Tính độ dài đoạn OG theo R.
2) Biêt R = 57, hãy tính gần đúng số đo diện tích tam giác ABC (lấy
đến 5 chữ số sau dấu phảy).
Câu III (3 điểm)
Cho tam giác ABC thỏa mãn:
Hãy xác định số đo các góc của tam giác ABC.
Câu IV (8 điểm).
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau tại
O. Gọi A
1
, B
1
, C
1
thứ tự là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.
1) Chứng minh tam giác A
1
B
1
C
1
là tam giác nhọn.
2) Biết số đo 3 góc của tam giác ABC là A, B, C. Gọi là số đo của
góc nhị diện , tìm theo B và C.
3) Gọi d là độ dài lớn nhất trong độ dài 3 cạnh OA, OB, OC và gọi h
là độ dài lớn nhất trong độ dài 3 đường cao của tam giác ABC.
Chứng minh rằng: