Đề thi học sinh giỏi lớp 11 tỉnh Nam Định (Đề số 13)

Câu I (6 điểm).
Cho phương trình sau:
với m là tham số.
1) Khi m = 0, hãy tìm tất cả các nghiệm của phương trình.
2) Xác định m để phương trình có nghiệm
Câu II (3 điểm)
Biết rằng số đo 3 góc trong của tam giác ABC lập thành một cấp số nhân với công
bội q = 2. Gọi (O;R) là đường tròn ngoại tiếp và G là trọng tâm của tam giác ABC.
1) Tính độ dài đoạn OG theo R.
2) Biêt R = 57, hãy tính gần đúng số đo diện tích tam giác ABC (lấy đến 5 chữ số
sau dấu phảy).
Câu III (3 điểm)
Cho tam giác ABC thỏa mãn:
Hãy xác định số đo các góc của tam giác ABC.
Câu IV (8 điểm).
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau tại O. Gọi A
1
, B
1
,
C
1
thứ tự là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.
1) Chứng minh tam giác A
1
B
1
C
1
là tam giác nhọn.
2) Biết số đo 3 góc của tam giác ABC là A, B, C. Gọi là số đo của góc nhị diện

, tìm theo B và C.
3) Gọi d là độ dài lớn nhất trong độ dài 3 cạnh OA, OB, OC và gọi h là độ dài lớn
nhất trong độ dài 3 đường cao của tam giác ABC.
Chứng minh rằng: