Bài tập Chương 4: Phương pháp định giá dòng tiền chiết khấu

BÀI TẬP CHƯƠNG 4
Phương pháp định giá dòng tiền chiết khấu
1. Lãi đơn so với lãi kép. First City Bank chi trả  8 phần lãi đơn cho số  dư  tiền tài  
khoản tiết kiệm, trong khi Second City Bank trả 8 phần tram ghép lãi hàng năm. Nếu  
bạn gửi tiết kiệm $5.000 vào mỗi ngân hàng,, bạn sẽ kiếm được bao nhiêu tiền từ tài 
khoản tiết kiệm ở Second City Bank sau 10 năm nữa?
rFCB = 8% lãi đơn
rSCB = 8% lãi ghép
C0 = $5.000
T = 10 năm
Bài làm
Giá trị tương lai của 1 khoản đầu tư :
FV = C0 × ( 1+ r )T
FVFCB = C0 + ( C0 × rFCB × T ) = $5.000 + ($5.000 × 8% × 10) = $9.000
FVSCB  = C0 × ( 1+ rFCB )T = $5.000 × (1+8%)10 = 10.795
 Bạn sẽ kiếm thêm được 10.795 – 9.000 = $1.795
2. Tính giá trị tương lai. Hãy tính giá trị tương lai của $1.000 ghép lãi hàng năm cho:
a. 10 năm với lãi suất 5 phần trăm 
b. 10 năm với lãi suất 10 phần trăm 
c. 20 năm với lãi suất 5 phần trăm
d. Tại sao tiền lãi tiết kiệm được trong câu (c ) không gấp đôi số tiền kiếm được trong  
câu ( a ) ?
Bài làm


Giá trị tương lai của 1 khoản đầu tư :
FV = C0 × ( 1+ r )T
a. T = 10 năm , r = 5%
FV = $1.000 × (1+5%)10 = $1.628,89
b. T = 10 năm , r = 10%
FV  = $1.000 × (1+10%)10 = $2.593,74

c. T = 20 năm , r = 5%
FV  = $1.000 × (1+5%)20 = $2.653,30
d. Tiền lãi kiếm được trong câu (c) không gấp đôi số tiền kiếm được trong câu (a) vì 
phần lãi trên lãi câu a và c khác nhau.

3. Tính giá trị hiện tại. Hãy tính giá trị hiện tại cho các giá trị bảng sau:
Giá trị hiện tại

Bài làm
Giá trị hiện tại:
PV = 
PV =  = $9.213,51
PV =  = $12.465,48
PV =  = $110.854,15
PV =  = $13.124,66

Năm

Lãi suất

Giá trị tương lai

6

%7

$13.827

9

15

43.852

18

11

725.380

23

18

590.710


4. Tính lãi suất. Tìm lãi suất chưa biết trong các câu sau:
Giá trị hiện tại

Năm

$ 242
410
51.700
18.750

4
8
16

27

Lãi suất

Giá trị tương lai
$ 307
896
162.181
483.500

Bài làm
Giá trị tương lai:
FV = PV × 
 r =  – 1
r =  – 1 =6,13%
r =  – 1 = 10,27%
r =  – 1 = 7,41%
r =  – 1 = 12,79%
5. Tính số kỳ hạn. 
Giá trị hiện tại
$ 625
810
18.400
21.500

Năm

Bài làm
Áp dụng công thức giá trị tương lai:
FV = PV × 

625 × (1 + 9%)n = 1.284
 n = 8,35 
810 × (1 + 11%)n = 4.341

Lãi suất
9%
11
17
8

Giá trị tương lai
$ 1.284
4.341
402.662
173.439


 n = 16,09
18.400 × (1 + 17%)n = 402.662
 n = 19,65
21.500 × (1 + 8%)n = 173.439
 n = 27,13
6. Tính số kỳ hạn
Ở  mức lãi suất 8%, bạn mất bao lâu để  gấp đôi số  tiền của mình? Để  gấp 4 lần số 
tiền đó?
Bài làm
FV = PV (1 + r)n 
 Thời gian để được gấp đôi số tiền
 FV = 2 = 1(1,08) n
 n = 9,01 năm

 Thời gian để được gấp 4 số tiền
 FV = 4 = 1(1,08) n
 n = 18,01 năm

7. Tính giá trị hiện tại
Imprudential Inc. có khoản nợ  tiền hưu trí mà chưa trả  (Unfunded pension liability)  
$630 triệu mà phải hoàn trả trong 20 năm nữa. Để  đánh giá giá trị  cổ  phiếu của công  
ty , chuyên gia phân tích tài chính muốn chiết khấu khoản nợ này về hiện tại. Nếu lãi 
suất chiết khấu là 7,1% giá trị hiện tại cuat khoản nợ này là bao nhiêu?
FV = $630 
n = 20 năm 
r = 7,1%
Giá trị hiện tại của khoản nợ này là bao nhiêu?


Bài làm
Giá trị hiện tại:
PV =  =  = $159,79
8. Tính tỷ suất sinh lợi.
Mặc dù hấp dẫn đối với những người có thị hiếu tinh tế, các tác phẩm nghệ thuật nổi  
tiếng mà các nhà sưu tập truy tìm không phải lúc nào cũng mang lại lợi nhuận. Trong 
năm 2010, Deutscher­ Menzies đã bán Arkies under the Shower, một bức tranh của một  
họa sỹ  trứ  danh người úc, Brett Whiteley tại một phiên đấu giá với   giá $1.100.000. 
Thật không may cho người chủ cũ, ông ta đã mua bức tranh này 3 năm trước đây với 
giá $1.680.000. Tỷ  suất sinh lợi hằng năm bức tranh này mang lại cho ông là bao 
nhiêu?
Bài làm
PV = $1.680.000
FV = $1.100.000
n = 3 năm

FV = PV (1 + r)n 
 $1.100.000 =  $1.680.000 (1 + r)3
 r = ­13,17%
9.  Dòng tiền đều vô hạn
Một nhà đầu tư mua một trái phiếu consol của Anh được quyền nhận thanh toán hằng 
năm từ chính phủ Anh cho đến mãi mãi. Giá của trái phiếu consol mà chi trả $150 mỗi 
năm là bao nhiêu nếu kỳ thanh toán kế tiếp sẽ là 1 năm sau kể từ ngày hôm nay?  Lãi 
suất thị trường là 4,6%.
Bài làm
Hiện giá của dòng tiền đều vô hạn
PV =  =  = $3.260,87


10. Ghép lãi liên tục Hãy tính giá trị tương lai của $1.900 ghép lãi liên tục cho:
a. 7 năm với lãi suất công bố theo năm 12%
b. 5 năm với lãi suất công bố theo năm 10%
c. 12 năm với lãi suất công bố theo năm 5%
d. 10 năm với lãi suất công bố theo năm 7%
Bài làm
Giá trị tương lai ghép lãi liên tục:
FV = PV × e r×T
a. FV = 1.900 × e 12%×7 = 4.401
b. FV = 1.900 × e 10%×5 = 3.133
c. FV = 1.900 × e 5%×12 = 3.462
d. FV = 1.900 × e 7%×10 = 3.826

11. Giá trị hiện tại và dòng tiền nhiều kỳ
Conoly Co. đã xác định 1 dự án đầu tư có dòng tiền sau đây. Nếu  lãi suất chiết khấu là 
10%, giá trị  hiện tại của dòng tiền này là bao nhiêu? Giá trị  hiện tại là bao nhiêu với 
mức lãi suất 18%? 24%?

Năm
1
2
3
4
Bài làm

Dòng tiền
$960
840
935
1350
0
PV

PV = 
 Lãi suất chiết khấu 10%
PV =  = $3.191,49
 Lãi suất chiết khấu 18%

1
$960

2
840

3
935

4

1350


PV =  = $2.682,22
 Lãi suất chiết khấu 24%
PV =  = $2.381,91

12. Giá trị hiện tại và dòng tiền nhiều kỳ
Dự án đầu tư X đề nghị trả cho bạn $4.500 một năm trong 9 năm, trong khi dự án đầu 
tư  Y đề nghị  trả cho bạn $7.000 một năm trong 5 năm. Trong hai dòng tiền này, dòng 
tiền nào có giá trị  hiện tại cao hơn nếu   lãi suất chiết khấu 5%? Nếu lãi suất chiết  
khấu 12%?
Bài làm
X
0
PV

1
$4.500

2
$4.50
0

3
$4.50
0

4
$4.500

5
$4.50
0

6
$4.50
0

7
$4.50
0

8
$4.50
0

9
$4.500

Y
0
1
2
3
4
5
PV
$7.000 $7.000 $7.000 $7.000 $7.000
Giá trị hiện tại của dòng tiền đều:

PV = C × 
 Lãi suất chiết khấu 5%
X: PV = 4.500 ×  = $31.985,2
Y: PV = 7.000 ×  = $30.306,34
 Lãi suất chiết khấu 12%
X: PV = 4.500 ×  = $23.977,12
Y: PV = 7.000 ×  = $16.221,49
13. Tính giá trị hiện tại của dòng tiền đều.
Một dự  án đầu tư  đề  nghị  trả  $5,900 một năm trong vòng 15 năm với kỳ  thanh toán 
đầu tiên bắt đầu từ năm sau. Nếu tỷ suất sinh sinh lợi đòi hỏi là 8%, giá trị của dự án 


đầu tư này là bao nhiêu? Giá trị sẽ là bao nhiêu nếu các kỳ thanh toán sẽ kéo dài trong 
40 năm? 75 năm? Mãi mãi.
Bài làm
Giá trị hiện tại của dòng tiền đều:
PV = C × 
PV15 năm = 4.900 ×   = $41.941,45
PV40 năm = 4.900 ×   = $58.430,6
PV75 năm = 4.900 ×   = $61.059,3
PVmãi mãi  =    =    = $61.250

14. Tính giá trị dòng tiền của dòng tiền đều vô hạn.
The Perpetual Life Insurance Co. đang cố gắng bán cho bạn một chính sách đầu tư mà  
sẽ  trả cho bạn và hậu duệ của bạn $15.000 một năm cho đến vĩnh viễn. Nếu tỷ suất 
sinh lợi đòi hỏi của chương trình đầu tư này là 5,2%  bạn sẽ trả cho chính sách đầu tư 
này là bao nhiêu? Gỉa sử Perpetual Life Insurance Co. cho bạn biết  giá của chính sách 
này là $320.000  .  Ở  mức lãi suất bao nhiêu thì chính sách đầu tư  này mới là một  
thương vụ hợp lý?
Bài làm

Giá trị hiện tại của dòng tiền đều vô hạn:
PV =  =   =  $288.461,5385
 Nếu PV = $320.000
 320.000 =  
 r = 4,69%
15. Tính EAR
Tìm EAR cho các trường hợp sau:
Lãi suất công bố (ARP)

Số lần ghép lãi

7%

Hàng quý

Lãi suất hiệu dụng 
(EAR)


16
11
12

Hàng tháng
Hàng ngày
Liên tục

Bài làm
EAR = 
Hàng quý

EAR =  = 7,19%
Hàng tháng
EAR =  = 17,23%
Hàng ngày
EAR =  = 11,63%
Liên tục
EAR = e r  – 1 = 12,75%
16. Tính APR Tìm APR hay lãi suất công bố cho các trường hợp sau:
Lãi suất công bố (APR)

Bài làm
EAR = 
 APR = m 
Bán niên
APR = 2  = 9,57% 
Hàng tháng

Số lần ghép lãi

Lãi suất hiệu dụng 
(EAR)

Bán niên

9,8%

Hàng tháng

19,6

Hàng tuần

8,3

Liên tục

14,2


APR = 12  = 18,03% 
Hàng tuần
APR = 52  = 7,98%
Liên tục
EAR = e APR  – 1 = 14,2%
 APR= 13,28%
17. Tính  EAR.  First National Bank tính 11.2 phần trăm ghép lãi hàng tháng   cho các 
khoản vay của khách hàng doanh nghiệp. First United Bank tính 11.4 phần trăm ghép lãi 
bán niên. Là một người có khả  năng phải đi vay., bạn sẽ  đến ngân hàng nào để  vay 
tiền?
Bài làm
EAR = 
 First National Bank tính 11,2% ghép lãi hàng tháng:
 EAR =  = 11,79%
 First United Bank tính 11,4% ghép lãi bán niên:
 EAR =  = 11,72%
 Chọn ngân hàng  First United Bank để vay tiền.
18.   Lãi suất   Một nhà báo tài chính nổi tiếng Andrew Tobias cho rằng ông có thể 
kiếm được 177 phần trăm một năm bằng cách mua rượu vang theo thùng. Cụ thể, ông 
giả  định rằng ông có thể  uống mỗi tuần một chai Bordeaux hảo hạng  giá $10 trong 
vòng 12 tuần tới. Ông có thể hoặc mỗi tuần trả $10 cho mỗi chai rượu hoặc ngay hôm 

sau mua một thùng 12 chai. Nếu ông mua rượu theo thùng, ông sẽ  được chiết khấu 10 
phần trăm và bằng cách như  vậy, ông có thể  kiếm được 177 phần trăm. Giả  sử  ông  
mua rượu và tiêu thụ chai đầu tiên vào hôm nay. Bạn có đồng ý với phân tích của ông  
ấy không? Bạn có thấy vấn đề gì với các con số của ông ấy không?
Bài làm
Chi phí cho 1 thùng rượu được chiết khấu 10%
= 12 × $10 × (1 – 10%) = $108


0
$10
­$108

1
$10

2
$10

$10

$10

…
$10

$10

$10

$10

12
$10

Hiện giá của dòng tiền đều đầu kỳ:
PVĐK = PV × ( 1 + r )
= C ×  × ( 1 + r )
 108 = 10 ×  × ( 1 + r )
 r = 1,98%/tuần
 EAR =  =  = 177,2%
Vậy phân tích của ông ấy dường như là chính xác.
19. Tính số kỳ. Một trong những khách hàng của bạn không trả khoản phải trả người 
bán của mình. Các bạn đã đồng ý với nhau một biểu trả  nợ   $700 một tháng. Bạn sẽ 
tính lãi 1,3 phần trăm một tháng trên số dư nợ quá hạn. Nếu số dư hiện giờ là $21.500, 
phải mất bao lâu để trả dứt khoản nợ này?
Bài làm
0
–$21.500

1
$700

2
$700

$700

$700

…
$700

$700

$700

$700

?
$700

Giá trị hiện tại của dòng tiền đều:
PV = C × 
 $21.500 = 700 ×  
  n = 39,46 tháng
20. Tính EAR. Friendly’s Quick Loans, Inc. đề  nghi bạn “đổi ba lấy bốn, hoặc tôi sẽ 
gõ cửa nhà bạn”. Nghĩa là bạn sẽ nhận được $3 ngay trong hôm nay và hoàn trả $4 khi 
bạn lĩnh lương trong vòng 1 tuần(hay khác). Tỷ suất sinh lợi hiệu dụng Friendly kiếm 
được trong hoạt động cho vay này là bao nhiêu? Nếu bạn đủ  dũng cảm đặt câu hỏi, 
APR mà Friendly nói bạn phải trả là bao nhiêu?
Bài làm


0
$3

1
$4

FV = PV (1 + r) 
 4 =  3 (1 + r)
 r = 33,33%/tuần
 APR = 33,33% × 52 = 17,3316%
EAR =  =  = 3.135.086,841%
21. Giá Trị Tương Lai    Giá trị tương lai trong  6 năm nữa của $1.000 đầu tư vào một 
tài khoản với lãi suất công bố theo năm 9 phần trăm
a. Ghép lãi hàng năm
b. Ghép lãi bán niên
c. Ghép lãi hàng tháng
d. Ghép lãi liên tục
e. Tại sao giá trị tương lai lại tăng khi mà kỳ ghép lãi ngắn hơn?
Bài làm
Giá trị tương lai:
FV = PV × 
a. Ghép lãi hàng năm
FV = 1.000 ×  = $1.677,1
b. Ghép lãi bán niên
FV=$1,000× = $1.695,88
c. Ghép lãi hàng tháng
FV=$1,000× = $1.712,55
d. Ghép lãi liên tục
FV = PV × e r×T = 1.000 × e 9%×6 = $1.716,01
22. Lãi Đơn So Với Lãi Kép       First Simple Bank trả  lãi đơn 5 phần trăm  trên tài 
khoản đầu tư vào ngân hàng này. Nếu First Complex Bank trả lãi cho tài khoản ở ngân 


hàng của mình ghép lãi hàng năm, lãi suất ngân hàng này tính sẽ là bao nhiêu nếu họ 
muốn bằng với First Simple Bank cho khoảng thời gian đầu tư là 10 năm?
Bài làm

Tổng tiền lãi mà First Simple Bank phải trả là lãi suất mỗi kỳ nhân với số chu kỳ. Nói  
cách khác, tiền lãi của First Simple Bank đã trả trong 10 năm sẽ là 5%×10 = 0,5
FV = PV × 
First Complex Bank trả lãi ghép lãi hàng năm nên tiền lãi mà ngân này trả sẽ là 
Họ muốn bằng tiền lãi với First Simple Bank cho khoảng thời gian đầu tư là 10 năm
 0,5 =  – 1 
 r = 4,14%
23. Tính Dòng Tiền Đều     Bạn đang lập kế  hoạch tiết kiệm để  nghỉ  hưu trong 30 
năm nữa. Để thực hiện điều này, bạn sẽ phải đầu tư $800 một tháng vào tài khoản cổ 
phiếu ( stock account ) và $350 một tháng vào một tài khoản trái phiếu (bond account). 
Tỷ suất sinh lợi của tài khoản cổ phiếu được kỳ vọng sẽ là 11 phần trăm và tài khoản 
trái phiếu sẽ trả 6 phần trăm. Khi bạn nghỉ hưu, bạn sẽ gộp tiền của mình vào một tài 
khoản có lãi suất 8 phần trăm. Bạn có thế  rút mỗi tháng bao nhiêu tiền từ  tài khoản 
của mình giả sử cho một kỳ rút tiền dài 25 năm?
Bài làm
0
Cổ phiếu
Trái phiếu

1
$800
$350

2
$800
$350

361
362
C

C
C
Giá trị tương lai của dòng tiền đều:

…
$800
$350
…
C

$800
$350

360
$800
$350

C

660
C

FV = C × 
 Giá trị tương lai của dòng tiền đầu tư vào cổ phiếu:
FVB = 800 ×  = $2.243.615,79
 Giá trị tương lai của dòng tiền đầu tư vào trái phiếu
FVS = 350 ×  = $351.580,26
 Tổng số tiền đưa vào tài khoản sau 30 năm = $2.243.615,79 + $351.580,26
= $2.595.196,05

 Số tiền hàng tháng có thể rút được với kỳ 25 năm :
2.595.196,05 = C × 
 C = $20.030,14
24. Tính Tỷ Suất Sinh Lời    Giả sử một dự án đầu tư đề nghị trả gấp 4 lần số tiền 
bạn đầu tư trong vòng 12 tháng ( đừng có tin). Lãi suất một quý bạn được đề  nghị là  
bao nhiêu?
Bài làm
FV = PV × 
 4 = 1 ×  
 r = 41, 42%
25. Tính Tỷ Suất Sinh Lời    Bạn đang cố  gắng chọn giữa hai dự án đầu tư, cả  hai  
cùng có chi phí ban đầu là $65.000. Dự án đầu tư  G trả lại cho bạn là $125.000 sau 6 
năm. Dự án đầu tư H trả lại cho bạn $185.000 sau 10 năm. Dự  án nào có tỷ  suất sinh 
lời cao hơn?
Bài làm
C0 = $ 65.000
FVG = $125.000   TG = 6 năm
FVH = $185.000   TH = 10 năm
FVG  = C0 × (1+ rG )T 
 125.000 = $65.000 × (1+ rG) 6
 rG = 11,52%
FVH  = C0 × (1+ rH )T 
 185.000 = $65.000 × (1+ rH) 10
 rH = 11,03%
26. Dòng tiền đều tăng trưởng ổn định vô hạn.
Mark Weinstein đã và đang nghiên cứu một công nghệ cao trong phẫu thuật laser mắt. 
Công nghệ của anh ấy sẽ xuất hiện trong thời gian ngắn nữa. Anh dự đoán rằng dòng 
tiền đầu tiên từ công nghệ này sẽ  là $175.000, sẽ nhận được hai năm nữa kể từ hôm 
nay. Dòng tiền các năm sau đó sẽ tăng trưởng 3,5 phần trăm một năm cho đến vô hạn. 

Giá trị  hiện tại của công nghệ  này là bao nhiêu nếu  lãi suất chiết khấu là 10 phần 
trăm?
Bài làm
C =  175.000
r = 0,1
g = 0,035
PV =  
      =    = $2.692.307,69
Phương trình tính giá trị hiện tại của dòng tiền đều là tại một khoảng thời gian trước 
khi thanh toán đầu tiên. Trong trường hợp này, kể từ lần đầu tiên thanh toán trong hai  
năm, tính giá trị hiện tại một năm kể từ bây giờ. 
PV =  =  $2.447.552,45
27. Dòng tiền đều vô hạn
Một ngân hàng đầu tư nổi tiếng đã thiết kế một chứng khoán mới trả cổ tức hàng quý 
$4,50 cho đến vô hạn. Cổ  tức đầu tiên sẽ  được nhận sau 1 quý kể  từ  hôm nay. Giá  
chứng khoán là bao nhiêu nếu  lãi suất công bố  hàng năm là 6,5 phần trăm, ghép lãi 
hàng quý?
Bài làm
Ta có: Lãi suất theo quý: = 6,5%/4 = 1,625%/quý
Giá chứng khoán là: 
PV =   =  = $276.92
28. Giá trị hiện tại của dòng tiền đều
Giá trị hiện tại của dòng tiền đều $6.500 một năm là bao nhiêu với dòng tiền đầu tiên 
được nhận 3 năm nữa kể từ hôm nay và dòng tiền cuối cùng được nhận 25 năm nữa 
kể từ hôm nay? Sử dụng lãi suất chiết khấu 7 phần trăm.
Bài làm
0
PV

1

2

3
4
5
6
…
25
$6.500 $6.500 $6.500 $6.500 $6.500 $6.500 $6.500


Phương trình tính giá trị hiện tại của dòng tiền đều là tại một khoảng thời gian trước 
khi thanh toán đầu tiên nên có tổng cộng 23 kỳ thanh toán.
Giá trị hiện tại của dòng tiền đều tại năm 2:
PV = C ×  = 6.500 ×  = $73.269,22
Đây là giá trị của một kỳ trước lần thanh toán đầu tiên, hoặc năm 2. Vì vậy, giá trị của  
dòng tiền ngày hôm nay là:
PV =  =  =  $63.996,17
29. Giá trị hiện tại của dòng tiền đều Giá trị ngày hôm nay của một dòng tiền đều 
kỳ hạn 15 năm chi trả $650 một năm là bao nhiêu? Nếu kỳ thanh toán đầu tiên diễn ra 
sau 6 năm kể  từ  hôm nay. Lãi suất hàng năm là 11 phần trăm cho giai đoạn từ  năm 1 
đến năm 5 và 13 phần trăm cho giai đoạn sau đó.
Bài làm
0
1
2
3

4
5
6
7
…
25
$650
$650
$650
$650
PV
Phương trình tính giá trị hiện tại của dòng tiền đều là tại một khoảng thời gian trước 
khi thanh toán đầu tiên nên có tổng cộng 15kỳ thanh toán.
Giá trị hiện tại của dòng tiền đều tại năm 5:
PV = C ×  = 650 ×  = $4.200,55
Đây là giá trị của một kỳ trước lần thanh toán đầu tiên, hoặc năm 5. Vì vậy, giá trị của  
dòng tiền ngày hôm nay là:
PV =  =  = $2.492,82
30. Thanh toán dồn một lần ( Balloon Payment)
Audrey Sanborn vừa sắp xếp vay nợ  để  mua một ngôi nhà nghỉ   ở  Bahamas với giá  
$550.000 với điều kiện thanh toán trước ngay lập tức (down payment) 20 phần trăm.  
Khoản vay cầm cố  này có lãi suất công bố  theo năm 6,1 phần trăm, ghép lãi hàng 
tháng, và yêu cầu chi trả  các khoản thanh toán hàng tháng bằng nhau trong vòng 30 
năm tới. Khoản thanh toán đầu tiên cô phải trả sẽ đến hạn 1 tháng nữa kể từ hôm nay.  
Tuy nhiên, khoản vay cầm cố  này có một khoản thanh toán dồn (balloon payment)  
trong 8 năm, nghĩa là dư nợ của khoản vay phải được trả hết vào năm thứ 8. Không có  


chi phí giao dịch hay chi phí tài trợ nào khác phát sinh. Khoản thanh toán dồn (balloon 
payment) của Audrey vào năm thứ 8 là bao nhiêu?

Bài làm
Khoản nợ vay sau khi đã thanh toán trước 20% 
= $550.000 × ( 1 – 20% )
= $440.000
0
$440.00
0

1

2

V

V

…
V

V

V

360
V

V

V

V

Số tiền cần thanh toán hàng tháng:
PV = V ×  
440.000 = V × 
 V = $2666,38
Sau năm thứ 8 ( 96 tháng ) vẫn còn một khoản nợ vay 264 tháng ( 360 – 96 = 264 tháng  
). Dư nợ của khoản vay phải được trả hết vào năm thứ 8 sẽ là giá trị hiện tại của các 
kỳ thanh toán còn lại ( 264 tháng ).
96
PV

…
360
$2666,38 $2666,38 $2666,38 $2666,38 $2666,38 $2666,38

PV = V × 
= 2666,38 ×  
= $386.944,5367
31. Tính Chi Phí Lãi Vay:  Bạn nhận được một thư  mời chào khách hàng mở  tài 
khoản thẻ tín dụng ( credit card application ) từ Shady Banks Savings and Loan v ới đề 
nghị lãi suất ban đầu 2,4 phần tram một năm, ghép lãi hằng tháng cho 6 tháng đầu tiên,  
sau đó tăng lên đến 18 phần tram ghép lãi tháng. Giả  sử bạn chuyển số dư $7.500 từ 
thẻ tín dụng hiện có của bạn và không thực hiện bất kỳ chi trả nào sau đó, tiền lãi mà 
bạn sẽ nợ vào cuối năm thứ nhất là bao nhiêu?
Bài làm
6 tháng đầu: 


FV = PV × 

= 7500 ×  = $7590,45
6 tháng sau: 
FV = PV × 
= 7590,45 ×  = $8299,73
Tiền lãi nợ cuối năm 1: 8299,73 – 7500 = $799,73
32. Dòng Tiền Đều Vô Hạn : Barrett Pharmaceuticals đang xem xét một dự án dược 
phẩm mà hiện nay có chi phí $2,5 triệu và kỳ vọng sẽ tạo ra dòng tiền hằng năm vào 
cuối mỗi năm là $227.000 cho đến mãi mãi. Ở mức lãi suất chiếu khấu nào Barrett sẽ 
bang quang với việc chấp nhận hoặc từ chối dự án.
Bài làm
PV = $2.500.000
C = $227.000
Giá trị hiện tại của dòng tiền đều vô hạn:
PV =  
 $2.500.000 =  
 r = 9,08%
33. Dòng Tiền Đều Tăng Trường Ổn Định :  Souther California Publishing Company 
đang cố gắng quyết  định  xem có chỉnh lại quyển sách giáo khoa phổ biến, Financial  
Psychoanalysis Made Simple không. Công ty này đã  ước tính rằng việc chỉnh sửa sẽ 
tốn chi phí $75.000. Dòng tiền do doanh thu gia tăng sẽ là $21.000 trong năm đầu tiên. 
Dòng tiền này sẽ tăng khoản 4 phần tram một năm .  Giả sử chi phí ban đầu hiện đã  
được chi và doanh thi được nhận vào cuối mỗi năm. Nếu công ty đòi hỏi  tỷ suất sinh 
lợi 10 phần tram trên một dự  án đầu tư  như  vậy, công ty có nên thực hiện chỉnh sửa 
quyển sách này không?
Bài làm
Công ty sẽ chấp nhận dự án nếu giá trị hiện tại của dòng tiền tăng lớn hơn chi phí. Vì  
vậy giá trị hiện tại là:
PV = C

= 21.000  
= $85.593,99 > Chi phí ước tính là $75,000  Chấp nhận dự án
 34. Dòng Tiền Đều Tăng Trường Ổn Định :  Bạn chỉ được trả lương mỗi năm một  
lần cho toàn bộ công việc bạn thực hiện trong vòng 12 tháng trước. Hôm nay ngày 31  
tháng 12 , bạn đã nhận tiền lương $65.000, và bạn dự định chi tiêu toàn bộ số tiền này.  
Tuy nhiên, kể  từ  năm tới bạn muốn bắt đầu tiết kiệm cho việc nghỉ  hưu. Bạn đã  
quyết định rằng một năm nữa kể  từ  hôm nay, bạn sẽ  bắt đầu gửi tiết kiệm 5 phần  
trăm tiền lương hằng năm của bạn vào một tài khoản trả  lãi 10 phần trăm một năm. 
Tiền lương của bạn sẽ tăng 4%/ năm trong suốt cuộc đời làm việc của mình. Bạn sẽ 
có bao nhiêu tiền vào ngày nghỉ hưu 40 năm nữa kể từ bây giờ?
Bài làm 
Tiền lương vào năm sau = $65.000 (1 + 0,04) = $67.600
 Khoản tiết kiệm gửi vào năm sau = 5%×$67.600 = $3.380
Hiện giá của khoản tiết kiệm tăng trưởng đều ổn định:
PV = C
= 3.380  
= $50.357,59
Khoản tiền vào ngày nghỉ hưu 40 năm nữa kể từ bây giờ:
FV = PV × 
= 50.357,59 × 
= $2.279.147,23
35. Giá Trị Hiện Tại Và Lãi Suất : Mối quan hệ giữa giá trị của một dòng tiền đều 
và lãi suất là gì? Giả sử bạn vừa mua  một dòng tiền đều kỳ hạn 15 năm, $6.800 mỗi 
năm với mức lãi suất hiện hành 10 phần trăm 1 năm. Chuyện gì sẽ  xảy ra cho giá trị 
của khoản đầu tư của bạn nếu lãi suất bất ngờ giảm xuống còn 5 phần trăm . Nếu lãi 
suất bất ngờ tăng lên đến 15 phần trăm thì sao?
Bài làm
PV = C × 
 PV tăng khi r giảm, ngược lại, PV giảm khi r tăng

FV = C × 
 FV tăng khi r tăng, ngược lại, FV giảm khi r giảm
 r = 10%
 PV = 6.800 ×  = $51.721,34
 r = 5%
 PV = 6.800 ×  = $70.581,67
 r = 15%
 PV = 6.800 ×  = $39.762,12
36. Tính số kỳ thanh toán   Bạn sẵn sang thực hiện gửi $350 hàng tháng, bắt đầu vào  
cuối tháng này, vào một tài khoản chi trả  lãi suất 10 % ghép lãi hàng tháng. Bạn sẽ 
phải gửi bao nhiêu lần để số dư tài khoản đạt được mức $35.000?
Bài làm
0

1

2

$350

$350

…
$350

$350

$350

$350

$350

$350

?
–$35.000
$350

Giá trị tương lai của dòng tiền đều:
FV = C × 
  $35.000 = 350 × 
  n = 73,04 lần
37. Tính giá trị hiện tại của dòng tiền đều  Bạn muốn vay $65.000 từ ngân hàng địa 
phương để mua một chiếc thuyền buồm mới. Bạn có khả năng trả hàng tháng $1.320, 
nhưng không hơn. Giả sử ghép lãi tháng, APR cao nhất bạn có thể chi trả đối với một  
khoản vay 60 tháng là bao nhiêu?
Bài làm
PV = C × 
 65.000 = 1.320 × 
 r = 0,672%


Ghép lãi hàng tháng  APR = 0,672% × 12 = 8,07%
38. Tính các kỳ trả nợ vay   Bạn cần một khoản vay cầm cố lãi suất cố định, kỳ hạn  
30 năm để  mua một căn nhà mới có giá $250.000. Ngân hàng cầm cố của bạn sẽ cho  
bạn vay tiền với APR 5,3% cho khoản vay 360 tháng này. Tuy nhiên, bạn chỉ  có thể 
chi trả hàng tháng $950, vì thế bạn đề nghị trả dứt số dư nợ vay còn lại vào ngày đáo 
hạn khoản nợ dưới dạng thanh toán dồn cục (balloon payment). Các khoản thanh toán  

dồn này sẽ phải là bao nhiêu để giữ cho các khoản chi trả hàng tháng của bạn ở mức  
$950 ?
Bài làm
t = 360 tháng
APR= 5,3%/năm= /tháng
Mỗi tháng chỉ có thể chi trả được 950$, vậy số tiền thanh toán được trong 30 năm là: 
Áp dụng công thức dòng tiền đều ta có: 
0
PV

1
$950

2
$950

$950

$950

…
$950

$950

$950

$950

360

$950

PV = C × 
= 950 ×  
= $171.077,26
Do khoản vay căn nhà là 250.000$ nhưng bởi chỉ trả được số tiền cố định hằng tháng 
là 950$ và trong 30 năm thì thanh toán được 171.077,26$ cho nên số  nợ  vay còn lại là 
250.000 – 171.077,26 = $78.922,74
0
$78.922,74

1

…

360
FV

Khoản thanh toán dồn cục hay khoản thanh toán cuối kỳ  tại năm 30 được thực hiện  
bằng cách tính FV  của số  tiền còn thiếu phải tiếp tục  trả   để  cho đủ  khoản vay 
250,000$ là:
FV = PV × 
= 78,922.74 ×= $385.664,73


39. Giá trị hiện tại và tương lai  Giá trị hiện tại của dòng tiền sau là $7.300 khi chiết 
khấu với lãi suất 8% hàng năm. Giá trị của dòng tiền bị bỏ trống là bao nhiêu? 
Dòng tiền
$1.500
FV2

2.700
2.900

Năm
1
2
3
4
Bài làm
PV = 
 PV1 =  = $1.388,89
PV3 =  = $2.143,35
PV4 =  = $2.131,59
PV2 = 7.300 – ($1.388,89 + $2.143,35 + $2.131,59) = $1.636,18
 FV2 = PV × = 1.636,18 ×  = $1.908,44
40. Tính Giá Trị Hiện Tại

  Bạn vừa trúng xổ  số  TVM Lottery. Bạn sẽ  nhận  

được $1 triệu hôm nay cộng với 10 kỳ  thanh toán khác mà tăng thêm $275.000 mỗi 
năm. Do vậy, năm sau bạn sẽ nhận được $1,275 triệu. Sau 2 năm bạn sẽ  nhận. được 
$1,55 triệu, và cứ  thế. Nếu lãi suất phù hợp là 9 phần trăm, giá trị  hiện tại của giải 
thưởng này là bao nhiêu?
Bài làm
PV = 1.000.000 + 1.27.000 / 1.09 + 1.550.000 / 1.092 + 1.825.000 / 1.093 + 2.100.000 / 
1.094 + 2.375.000 / 1.095 + 2.650.000 + 1.096 + 2.925.000 / 1.097 + 3.200.000 / 1.098 + 
3.475.000 / 1.09 9 + 3.750.000 / 1.0910 
= 15.885.026,33  
41. EAR So Với APR   Bạn vừa mua một nhà kho mới. Để  tài trợ  cho việc mua nhà  
kho này, bạn thu xếp một khoản vay cầm cố  kỳ hạn 30 năm với giá trị bằng 80 phần  

trăm giá mua kho $4.500.000. M
  ỗi tháng bạn phải trả  nợ  cho  kho
  ản vay này $27.500 . 
APR của khoản vay này là bao nhiêu? EAR?
Bài làm


Giá trị khoản vay = 4.500.000 × 80% = $3.600.000
Sử dụng công thức giá trị hiện tại của dòng tiền đều:
PV = C × 
 PV = 27.500 ×  = 3.600.000 
 r = 0,702%
Vậy APR = 0,702% × 12= 8,43%
EAR = (1 – 0,702%)12 – 1 = 8,76% 

42. Giá Trị Hiện Tại Và Lãi Suất Hoà Vốn Xét một doanh nghiệp có một hợp đồng 
bán một tài sản với giá $115.000 trong 3 năm nữa kể từ bây giờ. Chi phí sản xuất ra tài 
sản này hôm nay là $76.000. Giả sử lãi suất chiết khấu phù hợp của tài sản này là 13 
phần trăm, với tài sản này, công ty có lãi không? Ở mức  lãi suất bao nhiêu thì công ty 
hoà vốn?
Bài làm
PV = =  = $79.700,77
 Lãi = 79.700,77 – 76.000 = $3.700,77
Công ty hoà vốn:
PV = =  = $76.000
 r = 14,81%
43. Giá Trị Hiện Tại Và Dòng Tiền Nhiều Kỳ

  Giá trị  hiện tại của $5.000 một 

năm  ở  mức lãi suất chiết khấu 6 phần trăm, nếu kỳ thanh toán đầu tiên được nhận 6 
năm kể từ bây giờ và kỳ thanh toán cuối cùng được nhận 25 năm kể từ bây giờ?
Bài làm
0
1
2
3
4
5
6
…
25
PV
$5.000 $5.000 $5.000 $5.000
Phương trình tính giá trị hiện tại của dòng tiền đều là tại một khoảng thời gian trước 
khi thanh toán đầu tiên nên có tổng cộng 20 kỳ thanh toán.


Giá trị hiện tại của dòng tiền đều tại năm 5:
PV = C ×  = 5.000 ×  = $ 57.349,61
Đây là giá trị của một kỳ trước lần thanh toán đầu tiên, hoặc năm 5. Vì vậy, giá trị của  
dòng tiền ngày hôm nay là:
PV =  =  =  $ 42.854,96
44. Lãi Suất Biến Đổi Một dòng tiền đều kỳ hạn 15 năm trả $1.500 một tháng, và các 
kỳ  thanh toán được thực hiện vào cuối mỗi tháng. Nếu lãi suất là 12 phần trăm ghép 
lãi hàng tháng cho 7 năm đầu tiên, và 6 phần trăm ghép lại hàng tháng cho giai đoạn 
sau đó, giá trị hiện tại của dòng tiền đều này là bao nhiêu?
Bài làm
0

1
…
180
$1.500 $1.500 $1.500 $1.500 $1.500 $1.500 $1.500 $1.500 $1.500
Giá trị hiện tại của dòng tiền đều của 7 năm kể từ bây giờ ( 8 năm sau )
PV = C × 
= 1.500 ×  = $114.142,83
Giá trị hiện tại của dòng tiền đều
PV =  + 1.500 ×  = $134.455,36
45. So Sánh Các Dòng Tiền  Bạn phải lựa chọn hai cơ hội đầu tư. Cơ hội đầu tư  A  
là dòng tiền đều kỳ  hạn 15 năm có đặc điểm chi trả  $1.500 cuối mỗi tháng và có lãi 
suất 8,7 phần trăm ghép lãi hàng tháng. Cơ hội đầu tư B là một dự án đầu tư nhận lại 
một lần (lump­sum) lãi suất 8 phần trăm ghép lãi liên tục, cũng có kỳ hạn 15 năm . Bạn 
cần đầu tư vào cơ hội B bao nhiêu tiền ngày hôm nay  để 15 năm sau dự án này có giá 
trị bằng cơ hội đầu tư A?
Bài làm 
0

1
…
180
$1.500 $1.500 $1.500 $1.500 $1.500 $1.500 $1.500 $1.500 $1.500
FV

Giá trị tương lai của dòng tiền đều:


FV = C × 
= 1.500 × 
= $552.490,07

Ghép lãi liên tục
FV = PV × e r×T
 $552.490,07 = PV × e 8%×15
 PV = $166.406,81
46. Tính Giá Trị Hiện Tại Của Một Dòng Tiến Đều Vô Hạn  Giả sử lãi suất là 6,1 
phần trăm một năm, giá trị vào thời điểm t = 7 của một dòng tiền đều vô hạn $2.500  
một năm bắt đầu vào thời điểm t = 15 là bao nhiêu?
Bài làm
0

1

…

7

…

PV

14

15
$2.500

$2.500

…

∞

$2.500

$2.500

Giá trị hiện tại của dòng tiền đều vô hạn
PV =  =  = $40.983,61
0

1

…

7

…

PV

14
$40.983,61

Vì giá trị hiện tại của dòng tiền đều vô hạn cung cấp PV một khoảng thời gian trước  
lần đầu tiên thanh toán nên PV = $40.983,61 là giá trị tại t = 14. Để tìm giá trị tại t = 7, 
ta chiết khấu PV = $40.983,61 về t = 7.
PV =  =  = $27.077,12
47. Tính EAR  Một công ty tài chính địa phương niêm yết lãi suất cho các khoản vay 1  
năm là 16 phần trăm. Vì thế, nếu bạn  vay $26.000, tiền lãi của cả năm sẽ là $4.160. Do 
bạn  phải   hoàn   trả   $30.160   sau   một   năm,   công   ty   tài   chính   này  yêu   cầu   bạn   trả 
$30.160/12 hay $2.513,33 một tháng trong vòng 12 tháng tới . Lãi suất của khoản vay 

này có phải là 15 phần trăm? Lãi suất công bố hợp lệ phải là bao nhiêu?  Lãi suất hiệu 
dụng là bao nhiêu?
Bài làm