Số hữu tỉ, số thực và số phức
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (228.54 KB, 29 trang )
CHU
.
O
.
NG V:
S
ˆ
O
´
H
˜
U
.
UTI
’
,S
ˆ
O
´
THU
.
.
CV
`
AS
ˆ
O
´
PH
´
U
.
C
5.1. S
ˆ
O
´
H
˜
U
.
UTI
’
.
5.1.1. Xˆay du
.
.
ng tˆa
.
pho
.
.
p c´ac sˆo
´
h˜u
.
utı
’
t`u
.
tˆa
.
pho
.
.
p c´ac sˆo
´
nguyˆen:
5.1.1.1. Mo
.
’
d¯ ˆa
`
u: Sˆo
´
h˜u
.
utı
’
du
.
o
.
ng ra d¯`o
.
i kh´a s´o
.
m (khoa
’
ng 1550 n˘am tru
.
´o
.
c
Cˆong nguyˆen) do c´ac yˆeu cˆa
`
ub´u
.
c b´ach cu
’
ad¯`o
.
isˆo
´
ng sa
’
n xuˆa
´
t. Dˆe
˜
h`ınh dung
r˘a
`
ng c`ung v´o
.
isu
.
.
ra d¯`o
.
icu
’
achˆe
´
d¯ ˆo
.
tu
.
h˜u
.
ul`anh˜u
.
ng nhu cˆa
`
uvˆe
`
d¯ o d¯ a
.
c v`a phˆan
chia, v`a sˆo
´
tu
.
.
nhiˆen khˆong c`on d¯u
’
d¯´ap ´u
.
ng nh˜u
.
ng yˆeu cˆa
`
um´o
.
icu
’
a x˜a hˆo
.
in˜u
.
a.
Ch˘a
’
ng ha
.
n, trong ph´ep d¯o d¯a
.
c, d`u ta c´o cho
.
nd¯o
.
nvi
.
d¯ o t h ˆe
´
n`ao d¯i n˜u
.
avˆa
˜
n
thu
.
`o
.
ng g˘a
.
pnh˜u
.
ng d¯a
.
ilu
.
o
.
.
ng khˆong b˘a
`
ng sˆo
´
nguyˆen lˆa
`
ncu
’
ad¯o
.
nvi
.
(khˆong d¯o
d¯ u
.
o
.
.
c). Ho
.
nn˜u
.
a , d¯ ˆe
’
d¯´ap ´u
.
ng c´ac yˆeu cˆa
`
u d¯a da
.
ng cu
’
a cuˆo
.
csˆo
´
ng, ta thu
.
`o
.
ng
pha
’
id¯u
.
a ra nhiˆe
`
ud¯o
.
nvi
.
d¯o kh´ac nhau. Nhu
.
d¯ o d¯ ˆo
.
d`ai, ngo`ai d¯o
.
nvi
.
m´et c`on
c´o d¯ˆeximet, xentimet, milimet, ..., d¯o khˆo
´
ilu
.
o
.
.
ng ngo`ai d¯o
.
nvi
.
cˆan (kilˆogam) c`on
c´o la
.
ng, yˆe
´
n, ta
.
,tˆa
´
n, ... Viˆe
.
cd¯ˆo
’
id¯o
.
nvi
.
d¯o c˜ung d¯`oi ho
’
i pha
’
ic´onh˜u
.
ng sˆo
´
m´o
.
i
(c´ac phˆan sˆo
´
).
Nhu
.
vˆa
.
y, phˆan t´ıch trˆen mˆo
.
t nhu cˆa
`
ud¯o
.
n gia
’
nv`acˆo
’
xu
.
a nhˆa
´
tcu
’
ax˜ahˆo
.
i
lo`ai ngu
.
`o
.
i, ta d¯˜a thˆa
´
ysu
.
.
cˆa
`
n thiˆe
´
tcu
’
asˆo
´
h˜u
.
utı
’
.
M˘a
.
t kh´ac, su
.
.
ra d¯`o
.
icu
’
asˆo
´
h˜u
.
utı
’
c˜ung l`a do yˆeu cˆa
`
unˆo
.
ita
.
icu
’
abˆo
.
mˆon
to´an ho
.
c.
Tad¯˜amo
.
’
rˆo
.
ng tˆa
.
pho
.
.
psˆo
´
tu
.
.
nhiˆen d¯ˆe
’
d¯ u
.
o
.
.
ctˆa
.
pho
.
.
psˆo
´
nguyˆen, trong d¯´o
ph´ep tr`u
.
luˆon thu
.
.
chiˆe
.
nd¯u
.
o
.
.
c, hay n´oi c´ach kh´ac ph´ep cˆo
.
ng c´o ph´ep to´an ngu
.
o
.
.
c.
Tuy nhiˆen, trˆen tˆa
.
pho
.
.
psˆo
´
tu
.
.
nhiˆen c˜ung nhu
.
trˆen tˆa
.
pho
.
.
psˆo
´
nguyˆen c`on c´o
ph´ep nhˆan. Su
.
.
mo
.
’
rˆo
.
ng N th`anh Z chu
.
aba
’
od¯a
’
m cho ph´ep nhˆan c´o ph´ep to´an
ngu
.
o
.
.
c, ngh˜ıa l`a ph´ep chia cho mˆo
.
tsˆo
´
kh´ac 0 khˆong pha
’
i luˆon thu
.
.
chiˆe
.
nd¯u
.
o
.
.
c.
Trˆen quan d¯iˆe
’
mcu
’
al´ythuyˆe
´
tphu
.
o
.
ng tr`ınh d¯a
.
isˆo
´
ta thˆa
´
y trong tˆa
.
pho
.
.
p Z
c´ac sˆo
´
nguyˆen mo
.
iphu
.
o
.
ng tr`ınh da
.
ng
a + x = b, a, b ∈ Z
luˆon c´o nghiˆe
.
m, nhu
.
ng c´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh da
.
ng
ax = b, a, b ∈ Z,a=0
khˆong pha
’
i bao gi`o
.
c˜ung c´o nghiˆe
.
m.
Do d¯´o xuˆa
´
thiˆe
.
nmˆo
.
t yˆeu cˆa
`
ucu
’
anˆo
.
ita
.
i to´an ho
.
c l`a mo
.
’
rˆo
.
ng tˆa
.
pho
.
.
psˆo
´
nguyˆen Z d¯ ˆe
’
d¯ u
.
o
.
.
cmˆo
.
ttˆa
.
pho
.
.
psˆo
´
m´o
.
i trong d¯´o ph´ep chia cho mˆo
.
tsˆo
´
kh´ac 0
luˆon thu
.
.
chiˆe
.
nd¯u
.
o
.
.
c, hay c˜ung vˆa
.
y, phu
.
o
.
ng tr`ınh ax = b (a = 0) luˆon c´o nghiˆe
.
m.
112
5.1.1.2. D
-
i
.
nh ngh˜ıa: Quan hˆe
.
R nhu
.
sau trˆen tˆa
.
pho
.
.
p Z×Z
∗
(v´o
.
i Z
∗
= Z\{0})
l`a mˆo
.
t quan hˆe
.
tu
.
o
.
ng d¯u
.
o
.
ng:
∀(a, b), (c, d) ∈ Z× Z
∗
, (a, b) R (c, d) ⇔ ad = bc.
K´y hiˆe
.
u Q =(Z× Z
∗
)/R, ngh˜ıa l`a Q l`a tˆa
.
pthu
.
o
.
ng cu
’
a Z× Z
∗
theo quan hˆe
.
tu
.
o
.
ng d¯u
.
o
.
ng R.Mˆo
˜
i phˆa
`
ntu
.
’
cu
’
a Q (ch´ınh l`a mˆo
˜
il´o
.
ptu
.
o
.
ng d¯u
.
o
.
ng theo quan
hˆe
.
R)d¯u
.
o
.
.
cgo
.
il`amˆo
.
tsˆo
´
h˜u
.
utı
’
.
X´et ´anh xa
.
q : Z × Z
∗
−→ Q cho bo
.
’
i q(a, b)=
(a, b). Khi d¯´o q l`a mˆo
.
t to`an
´anh v`a thu
.
`o
.
ng go
.
i l`a ph´ep chiˆe
´
u ch´ınh t˘a
´
c.
5.1.2. Ph´ep cˆo
.
ng v`a ph´ep nhˆan trˆen Q:
5.1.2.1. D
-
i
.
nh ngh˜ıa: Cho x = q(a, b),y= q(c, d) ∈ Q.
1) Ph´ep cˆo
.
ng: x + y = q(ad + bc, bd).
2) Ph´ep nhˆan: xy = q(ac, bd)
5.1.2.2. T´ınh chˆa
´
t:
1) Ph´ep cˆo
.
ng v`a ph´ep nhˆan x´ac d¯i
.
nh trˆen Q.
2) Ph´ep cˆo
.
ng v`a ph´ep nhˆan c´o t´ınh giao ho´an, ngh˜ıa l`a v´o
.
imo
.
i x, y ∈ Q,
x + y = y + x, xy = yx.
3) Ph´ep cˆo
.
ng v`a ph´ep nhˆan c´o t´ınh kˆe
´
tho
.
.
p, ngh˜ıa l`a v´o
.
imo
.
i x,y,z∈ Q,
(x + y)+z = x +(y + z), (xy)z = x(yz).
4) Q v´o
.
i ph´ep cˆo
.
ng c´o phˆa
`
ntu
.
’
khˆong v`a v´o
.
i ph´ep nhˆan c´o phˆa
`
ntu
.
’
d¯ o
.
nvi
.
,
ngh˜ıa l`a tˆo
`
nta
.
i0
, 1
∈ Q sao cho v´o
.
imo
.
i x ∈ Q,
x +0
=0
+ x = x, x1
=1
x = x.
5) Mo
.
isˆo
´
h˜u
.
utı
’
d¯ ˆe
`
u c´o sˆo
´
d¯ ˆo
´
i, ngh˜ıa l`a v´o
.
imo
.
i x ∈ Q,tˆo
`
nta
.
i(−x) ∈ Q,
x +(−x)=(−x)+x =0
.
6) Mo
.
isˆo
´
h˜u
.
utı
’
kh´ac 0
d¯ ˆe
`
u c´o sˆo
´
nghi
.
ch d¯a
’
o, ngh˜ıa l`a v´o
.
imo
.
i x ∈ Q,x=
0
,tˆo
`
nta
.
i x
−1
∈ Q,
xx
−1
= x
−1
x =1
.
7) Ph´ep nhˆan c´o t´ınh phˆan phˆo
´
id¯ˆo
´
iv´o
.
i ph´ep cˆo
.
ng, ngh˜ıa l`a v´o
.
imo
.
i x,y,z∈
Q,
x(y + z)=xy + xz, (y + z)x = yx + zx.
113
8) Ph´ep cˆo
.
ng c´o t´ınh gia
’
nu
.
´o
.
c, ngh˜ıa l`a v´o
.
imo
.
i x,y,z∈ Q,
x + z = y + z ⇒ x = y.
9) Ph´ep nhˆan c´o t´ınh gia
’
nu
.
´o
.
c, ngh˜ıa l`a v´o
.
imo
.
i x,y,z∈ Q,z=0
,
xz = yz ⇒ x = y.
Ch´u
.
ng minh:
1) Gia
’
su
.
’
x = q(a, b)=q(a
,b
),y= q(c, d)=q(c
d
). Khi d¯´o ab
=
ba
,cd
= dc
.Tac´o
adb
d
= bda
d
, bcb
d
= bdb
c
⇒ adb
d
+ bcb
d
= bda
d
+ bdb
c
⇒ q(ad + bc, bd)=q(a
d
+ b
c
,b
d
).
acb
d
= ab
cd
= ba
dc
= bda
c
⇒ q(ac, bd)=q(a
c
,b
d
).
Trong c´ac phˆa
`
n c`on la
.
i, cho tu`y ´y x = q(a, b),y= q(c, d),z= q(e, f).
2) x + y = q(ad + bc, bd)=q(cb + da, db)=y + x.
xy = q(ac, bd)=q(ca, db)=yx.
3) (x + y)+z = q(ad + bc, bd)+q(e, f )=q(adf + bcf + bde, bdf)=q(a, b)+
q(cf + de, df)=x +(y + z).
(xy)z = q(ac, bd)q(e, f)=q(ace, bdf)=q(a, b)q(ce, df )=x(yz).
4) D
-
˘a
.
t0
= q(0, 1) v`a 1
= q(1, 1). Khi d¯´o 0
= q(0, 1) = q(0,n)v`a1
=
q(1, 1) = q(n, n)v´o
.
imo
.
i n ∈ Z
∗
.Tac´o
x +0
= q(a, b)+q(0, 1) = q(a.1+b.0,b.1) = q(a, b)=x.
x1
= q(a, b)q(1, 1) = q(a.1,b.1) = x.
5) D
-
˘a
.
t −x = q(−a, b). Khi d¯´o
x +(−x)=q(a, b)+q(−a, b)=q(a.b + b(−a), b.b)=q(0,bb)=0
.
6) Do x =0
hay q(a, b) = q(0, 1) nˆen a =0. D
-
˘a
.
t x
−1
= q(b, a). Ta c´o
xx
−1
= q(a, b)q(b, a)=q(ab, ba)=1
.
7) x(y+z)=q(a, b)q(cf +de, df )=q(acf +ade, bdf)=q(b(acf +ade),b(bdf))
= q(acbf + bdae, bdbf)=q(ac, bd)+q(ae, bf)=xy + xz.
8) x + z = y + z ⇒ q(af + be, bf)=q(cf + de, df) ⇒ af df + bedf =
bfcf + bf de ⇒ afdf = bfcf ⇒ ad = bc ⇒ q(a, b)=q(c, d) ⇒ x = y.
9) Do z =0
nˆen e = 0. Ta c´o
xz = yz ⇒ q(ae, bf)=q(ce, df) ⇒ aedf = bfce ⇒ ad = bc ⇒ q(a, b)=
q(c, d) ⇒ x = y.
5.1.2.3. Hˆe
.
qua
’
: Tˆa
.
pho
.
.
p Q v´o
.
i ph´ep cˆo
.
ng v`a ph´ep nhˆan trong (5.1.2.1) ta
.
o
th`anh mˆo
.
t tru
.
`o
.
ng v`a Char(Q)=0.
5.1.3. Ph´ep tr`u
.
, ph´ep chia v`a phˆan sˆo
´
trong Q:
5.1.3.1. D
-
i
.
nh ngh˜ıa: Cho x, y ∈ Q, ta go
.
ihiˆe
.
ucu
’
a x v`a y,k´yhiˆe
.
u x − y l`a
tˆo
’
ng cu
’
a x v`a sˆo
´
d¯ ˆo
´
icu
’
a y:
x − y = x +(−y).
114
Ph´ep to´an t`ım hiˆe
.
ucu
’
a hai sˆo
´
go
.
i l`a ph´ep tr`u
.
.
V`ı m o
.
isˆo
´
h˜u
.
utı
’
d¯ ˆe
`
uc´osˆo
´
d¯ ˆo
´
i nˆen ph´ep tr`u
.
x− y luˆon luˆon thu
.
.
chiˆe
.
nd¯u
.
o
.
.
c.
Nˆe
´
u x = q(a, b),y= q(c, d)th`ı−y = q(−c, d), do d¯´o
x − y = x +(−y)=q(a, b)+q(−c, d)=q(ad− bc, bd).
5.1.3.2. D
-
i
.
nh ngh˜ıa: Cho x, y ∈ Q,y=0
, ta go
.
ithu
.
o
.
ng cu
’
a x v`a y,k´yhiˆe
.
u
x : y hay
x
y
l`a t´ıch cu
’
a x v`a nghi
.
ch d¯a
’
ocu
’
a y:
x : y =
x
y
= xy
−1
.
Ph´ep to´an t`ım thu
.
o
.
ng cu
’
a hai sˆo
´
h˜u
.
utı
’
go
.
i l`a ph´ep chia.
V`ı m o
.
isˆo
´
h˜u
.
utı
’
y =0
d¯ ˆe
`
u c´o nghi
.
ch d¯a
’
o, nˆen ph´ep chia mˆo
.
tsˆo
´
h˜u
.
utı
’
x cho
mˆo
.
tsˆo
´
h˜u
.
utı
’
y =0
luˆon luˆon thu
.
.
chiˆe
.
nd¯u
.
o
.
.
c. Nˆe
´
u x = q(a, b),y= q(c, d) =0
th`ı y
−1
= q(d, c) do d¯´o
x : y = xy
−1
= q(a, b)q(d, c)=q(ad, bc).
Nhu
.
vˆa
.
y yˆeu cˆa
`
u xˆay du
.
.
ng mˆo
.
ttˆa
.
pho
.
.
psˆo
´
trong d¯´o ph´ep chia cho mˆo
.
tsˆo
´
kh´ac khˆong luˆon thu
.
.
chiˆe
.
nd¯u
.
o
.
.
c d¯˜a ho`an th`anh. Vˆa
´
n d¯ ˆe
`
c`on la
.
i l`a ta h˜ay ch´u
.
ng
to
’
c´o thˆe
’
coi Q nhu
.
l`a mˆo
.
tmo
.
’
rˆo
.
ng cu
’
a Z v`a su
.
’
du
.
ng c´ach ghi sˆo
´
nguyˆen d¯ˆe
’
k´y
hiˆe
.
u c´ac sˆo
´
h˜u
.
utı
’
sao cho viˆe
.
c thu
.
.
c h`anh t´ınh to´an trˆen d¯´o d¯u
.
o
.
.
c thuˆa
.
ntiˆe
.
n.
5.1.3.3. Quan hˆe
.
gi˜u
.
a Z v`a Q: X´et ´anh xa
.
f : Z −→ Q : a → f (a)=q(a, 1).
Khi d¯´o ´anh xa
.
f c´o c´ac t´ınh chˆa
´
t sau:
1) f l`a mˆo
.
td¯o
.
n ´anh.
Thˆa
.
tvˆa
.
y, v´o
.
imo
.
i a
1
,a
2
∈ Z,f(a
1
)=f (a
2
), ta c´o q(a
1
, 1) = q(a
2
, 1) hay
a
1
.1=1.a
2
hay a
1
= a
2
.
2) f ba
’
o to`an c´ac ph´ep to´an.
Thˆa
.
tvˆa
.
y, v´o
.
imo
.
i a
1
,a
2
∈ Z, ta c´o
f(a
1
)+f(a
2
)=q(a
1
, 1) + q(a
2
, 1) = q(a
1
.1+1.a
2
, 1.1) = q(a
1
+ a
2
, 1) =
f(a
1
+ a
2
).
f(a
1
)f(a
2
)=q(a
1
, 1)q(a
2
, 1) = q(a
1
.a
2
, 1.1) = q(a
1
a
2
, 1) = f(a
1
a
2
).
C´ac t´ınh chˆa
´
t trˆen cho biˆe
´
t ´anh xa
.
f l`a mˆo
.
td¯o
.
ncˆa
´
u v`anh v`a t`u
.
d¯´o ta
c´o thˆe
’
d¯ ˆo
`
ng nhˆa
´
tmˆo
˜
isˆo
´
nguyˆen a v´o
.
ia
’
nh f(a)=q(a, 1), thay cho c´ach viˆe
´
t
x = q(a, 1) ta viˆe
´
t x = a v`a mˆo
˜
isˆo
´
nguyˆen a ∈ Z c˜ung l`a mˆo
.
tsˆo
´
h˜u
.
utı
’
.Nhu
.
vˆa
.
y0
= q(0, 0) = 0, 1
= q(1, 0). B˘a
`
ng c´ach d¯´o Z l`a mˆo
.
ttˆa
.
p con cu
’
a Q v`a c´ac
ph´ep to´an cu
’
a Q thu he
.
p trˆen Z tr`ung v´o
.
i c´ac ph´ep to´an trˆen Z.
115
5.1.3.4. D
-
i
.
nh ngh˜ıa: Cho x = q(a, b) ∈ Q. Khi d¯´o ta c´o
x = q(a, b)=q(a, 1)a(1,b)=q(a, 1)q(b, 1)
−1
v`a theo c´ach d¯ˆo
`
ng nhˆa
´
to
.
’
trˆen th`ıtac´othˆe
’
viˆe
´
t x = ab
−1
hay x =
a
b
.
Biˆe
’
udiˆe
˜
n x =
a
b
v´o
.
i a, b ∈ Z,b=0go
.
i l`a mˆo
.
t phˆan sˆo
´
, a go
.
il`atu
.
’
sˆo
´
v`a b
go
.
il`amˆa
˜
usˆo
´
cu
’
a phˆan sˆo
´
d¯´o.
5.1.3.5. Ch´u ´y: Cho x =
a
b
,y=
c
d
. Khi d¯´o ta c´o:
1)
a
b
=
c
d
⇔ ad = bc.
2) −x =
−a
b
=
a
−b
.
3) x
−1
=
b
a
(v´o
.
i x = 0).
4)
a
b
+
c
d
=
ad + bc
bd
.
5)
a
b
.
c
d
=
ac
bd
.
6)
a
b
−
c
d
=
ad − bc
bd
.
7)
a
b
:
c
d
=
ad
bc
.
5.1.4. Quan hˆe
.
th´u
.
tu
.
.
trˆen Q:
5.1.4.1. D
-
i
.
nh ngh˜ıa: Cho x =
a
b
∈ Q,a,b∈ Z,b= 0. Ta n´oi x l´o
.
nho
.
n ho˘a
.
c
b˘a
`
ng 0 v`a viˆe
´
t x ≥ 0nˆe
´
u ab ≥ 0.
5.1.4.2. Ch´u´y:Trong d¯i
.
nh ngh˜ıa trˆen, ta d¯˜a x´ac d¯i
.
nh kh´ai niˆe
.
m x ≥ 0 nh`o
.
kh´ai niˆe
.
ml´o
.
nho
.
n ho˘a
.
cb˘a
`
ng 0 trong Z thˆong qua phˆan sˆo
´
d¯ a
.
ibiˆe
’
ucu
’
a x.Nhu
.
ng
mˆo
.
tsˆo
´
h˜u
.
utı
’
x c´o thˆe
’
d¯ u
.
o
.
.
cd¯a
.
ibiˆe
’
ubo
.
’
i c´ac phˆan sˆo
´
kh´ac nhau, nˆen ta cˆa
`
n
ch´u
.
ng to
’
d¯ i
.
nh ngh˜ıa trˆen khˆong phu
.
thuˆo
.
c v`ao phˆan sˆo
´
d¯ a
.
ibiˆe
’
ucu
’
asˆo
´
x. Thˆa
.
t
vˆa
.
y, gia
’
su
.
’
x =
a
b
=
c
d
(a, b, c, d ∈ Z,b=0,d= 0). Khi d¯´o ta c´o ad = bc v`a
nhˆan hai vˆe
´
v´o
.
i bd ta d¯u
.
o
.
.
c abd
2
= cdb
2
.V`ıb
2
> 0v`ad
2
> 0nˆenab ≥ 0 khi v`a
chı
’
khi cd ≥ 0.
Nˆe
´
u x = a ∈ Z th`ı c´o thˆe
’
viˆe
´
t x =
a
1
v`a a.1 ≥ 0 trong Z khi v`a chı
’
khi
a ≥ 0. Vˆa
.
y khi x l`a mˆo
.
tsˆo
´
nguyˆen th`ı kh´ai niˆe
.
m x ≥ 0 trong Q v`a trong Z ph`u
ho
.
.
pv´o
.
i nhau.
5.1.4.3. D
-
i
.
nh ngh˜ıa: Cho x v`a y l`a hai sˆo
´
h˜u
.
utı
’
. Ta n´oi x nho
’
ho
.
n hay b˘a
`
ng
y ho˘a
.
c y l´o
.
nho
.
n hay b˘a
`
ng x,k´yhiˆe
.
u x ≤ y ho˘a
.
c y ≥ x,nˆe
´
u y − x ≥ 0.
Nˆe
´
u x ≤ y v`a x = y th`ı ta n´oi x nho
’
ho
.
n y ho˘a
.
c y l´o
.
nho
.
n x,k´yhiˆe
.
u x<y
ho˘a
.
c y>x.
116
Sˆo
´
h˜u
.
utı
’
l´o
.
nho
.
n0go
.
il`asˆo
´
h˜u
.
utı
’
du
.
o
.
ng v`a sˆo
´
h˜u
.
utı
’
nho
’
ho
.
n0go
.
i l`a sˆo
´
h˜u
.
utı
’
ˆam.
5.1.4.4. Mˆe
.
nh d¯ˆe
`
: Quan hˆe
.
≤ s˘a
´
pth´u
.
tu
.
.
to`an phˆa
`
ntˆa
.
pho
.
.
p Q.
Ch´u
.
ng minh: V´o
.
imo
.
i x ∈ Q, ta c´o x−x =0=
0
1
v`a 0.1=0≥ 0, nˆen x−x ≥ 0
hay x ≤ x. Do d¯´o ≤ c´o t´ınh pha
’
nxa
.
.
V´o
.
imo
.
i x, y ∈ Q m`a x ≤ y v`a y ≤ x,tac´oy − x =
a
b
≥ 0v`ax− y =
−a
b
≥
0,a,b∈ Z,b= 0. Khi d¯´o ab ≥ 0v`a(−a)b = −ab ≥ 0v`adoab l`a mˆo
.
tsˆo
´
nguyˆen
nˆen ab = 0, d¯iˆe
`
u n`ay k´eo theo a =0(v`ı b =0)t´u
.
cl`ay − x =0hayx = y.Do
d¯ ´o ≤ c´o t´ınh pha
’
nd¯ˆo
´
ix´u
.
ng.
V´o
.
imo
.
i x,y,z∈ Q m`a x ≤ y v`a y ≤ z, ta c´o y−x =
a
b
,z−y =
c
d
, a, b, c, d ∈
Z,b=0,d=0,ab≥ 0,cd≥ 0. Khi d¯´o
z − x =(z − y)+(y − x)=
c
d
+
a
b
=
cb + da
db
v´o
.
i(cb + da)db = cdb
2
+ abd
2
≥ 0, d¯iˆe
`
u n`ay k´eo theo x ≤ z. Do d¯´o ≤ c´o t´ınh
b˘a
´
ccˆa
`
u.
V´o
.
imo
.
i x, y ∈ Q, gia
’
su
.
’
y − x =
a
b
,a,b∈ Z,b= 0. Khi d¯´o ta luˆon c´o
ab ≥ 0 ho˘a
.
c ab ≤ 0, t´u
.
cl`ay − x ≥ 0 ho˘a
.
c x − y ≥ 0, d¯iˆe
`
u n`ay k´eo theo x ≤ y
ho˘a
.
c y ≤ x.
Vˆa
.
y quan hˆe
.
≤ s˘a
´
pth´u
.
tu
.
.
to`an phˆa
`
ntˆa
.
pho
.
.
p Q.
5.1.4.5. D
-
i
.
nh ngh˜ıa: Gia
’
su
.
’
≤ l`a mˆo
.
t quan hˆe
.
th´u
.
tu
.
.
trˆen tru
.
`o
.
ng F. Khi d¯´o
F d¯ u
.
o
.
.
cgo
.
i l`a mˆo
.
t tru
.
`o
.
ng d¯u
.
o
.
.
cs˘a
´
pd¯ˆo
´
iv´o
.
ith´u
.
tu
.
.
≤ nˆe
´
u c´ac d¯iˆe
`
ukiˆe
.
n sau d¯ˆay
d¯ u
.
o
.
.
c thoa
’
m˜an:
(1) Nˆe
´
u x ≤ y th`ı x + z ≤ y + z,v´o
.
imo
.
i z ∈ F;
(2) Nˆe
´
u x ≤ y v`a 0 ≤ z th`ı xz ≤ yz.
5.1.4.6. Mˆe
.
nh d¯ˆe
`
: Tru
.
`o
.
ng Q c´ac sˆo
´
h˜u
.
utı
’
l`a tru
.
`o
.
ng d¯u
.
o
.
.
cs˘a
´
pd¯ˆo
´
iv´o
.
i quan
hˆe
.
th´u
.
tu
.
.
≤.
Ch´u
.
ng minh: 1) Do x ≤ y nˆen (y +z)−(x+z)=y−x ≥ 0, do d¯´o x+z ≤ y +z.
2) Do x ≤ y v`a z ≥ 0nˆeny−x =
a
b
,z=
c
d
, a, b, c, d ∈ Z,b=0,d=0,ab≥
0,cd≥ 0, d¯iˆe
`
u n`ay k´eo theo yz−xz =(y− x)z =
ac
bd
≥ 0v`ıacbd =(ab)(cd) ≥ 0.
Do d¯´o xz ≤ yz.
5.1.5. T´ınh tr`umˆa
.
t v`a t´ınh s˘a
´
pth´u
.
tu
.
.
Archim`ede cu
’
atˆa
.
pho
.
.
p Q:
5.1.5.1. Mˆe
.
nh d¯ˆe
`
: V´o
.
imo
.
i x, y ∈ Q, x<y,tˆo
`
nta
.
i z ∈ Q sao cho x<z<y.
117
Ch´u
.
ng minh: T`u
.
gia
’
thiˆe
´
t x<y suy ra x + x<x+ y v`a x + y<y+ y,nˆen
ta c´o 2x<x+ y<2y hay
x<z<y, v´o
.
i z =
x + y
2
.
5.1.5.2. Hˆe
.
qua
’
: Gi˜u
.
a hai sˆo
´
h˜u
.
utı
’
phˆan biˆe
.
tbˆa
´
tk`y, tˆo
`
nta
.
ivˆosˆo
´
sˆo
´
h˜u
.
utı
’
kh´ac.
Ch´u
.
ng minh: V´o
.
i x, y ∈ Q,x= y, ta c´o x<yho˘a
.
c y<x. Gia
’
su
.
’
x<y.
Theo mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
trˆen tˆo
`
nta
.
i z ∈ Q sao cho x<z<y.La
.
i ´ap du
.
ng mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
trˆen,
tˆo
`
nta
.
i z
1
,z
2
∈ Q sao cho x<z
1
<z<z
2
<y. L´y luˆa
.
n trˆen c´o thˆe
’
l˘a
.
pla
.
imˆo
.
t
sˆo
´
lˆa
`
n tu`y ´y. Vˆa
.
ygi˜u
.
a x v`a y c´o vˆo sˆo
´
sˆo
´
h˜u
.
utı
’
.
5.1.5.3. Ch´u´y:T´ınh chˆa
´
t trˆen thˆe
’
hiˆe
.
nsu
.
.
kh´ac biˆe
.
t c˘an ba
’
ngi˜u
.
a t´ınh s˘a
´
p
th´u
.
tu
.
.
cu
’
atˆa
.
pho
.
.
p c´ac sˆo
´
nguyˆen v`a tˆa
.
pho
.
.
p c´ac sˆo
´
h˜u
.
utı
’
.
Trong tˆa
.
pho
.
.
psˆo
´
nguyˆen, gi˜u
.
a hai sˆo
´
nguyˆen n v`a n + 1 khˆong c´o sˆo
´
nguyˆen
n`ao kh´ac v`a t`u
.
d¯´o c´o thˆe
’
suy ra gi˜u
.
a hai sˆo
´
nguyˆen phˆan biˆe
.
tchı
’
c´o h˜u
.
uha
.
nsˆo
´
nguyˆen kh´ac ch´ung. Ngu
.
`o
.
i ta n´oi tˆa
.
pho
.
.
psˆo
´
nguyˆen s˘a
´
pth´u
.
tu
.
.
r`o
.
ira
.
c.
C`on trong tˆa
.
pho
.
.
p c´ac sˆo
´
h˜u
.
utı
’
,gi˜u
.
a hai sˆo
´
h˜u
.
utı
’
phˆan biˆe
.
tbˆa
´
tk`y bao
gi`o
.
c˜ung c´o vˆo sˆo
´
sˆo
´
h˜u
.
utı
’
. Ngu
.
`o
.
i ta n´oi tˆa
.
pho
.
.
p c´ac sˆo
´
h˜u
.
utı
’
s˘a
´
pth´u
.
tu
.
.
tr`u
mˆa
.
t.
5.1.5.4. Mˆe
.
nh d¯ˆe
`
: V´o
.
imo
.
i x, y ∈ Q,nˆe
´
u x>0 th`ı tˆo
`
nta
.
isˆo
´
tu
.
.
nhiˆen n sao
cho nx > y.
Ch´u
.
ng minh: Nˆe
´
u y ≤ 0th`ıtachı
’
cˆa
`
nd¯˘a
.
t n =1v`ı1.x = x>y.
Nˆe
´
u y>0 th`ı ta c´o thˆe
’
viˆe
´
t x =
a
b
,y=
c
d
, trong d¯´o a, b, c, d l`a nh˜u
.
ng sˆo
´
nguyˆen du
.
o
.
ng. D
-
˘a
.
t n = b(c + 1) th`ı n ∈ N v`a ta c´o
nx = a(c +1)≥ c +1>c≥
c
d
= y.
T´ınh chˆa
´
t ph´at biˆe
’
u trong mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
trˆen go
.
i l`a t´ınh chˆa
´
t Archim`ede. Vˆa
.
y
quan hˆe
.
th´u
.
tu
.
.
trˆen tˆa
.
pho
.
.
p Q c´o t´ınh chˆa
´
t Archim`ede.
5.2. S
ˆ
O
´
THU
.
.
C.
5.2.1. Xˆay du
.
.
ng tˆa
.
pho
.
.
p R c´ac sˆo
´
thu
.
.
c v`a hai ph´ep to´an trˆen R:
5.2.1.1. Yˆeu cˆa
`
umo
.
’
rˆo
.
ng tˆa
.
pho
.
.
p Q c´ac sˆo
´
h˜u
.
utı
’
: Tˆa
.
pho
.
.
p c´ac sˆo
´
h˜u
.
u
tı
’
,m˘a
.
c d`u tr`u mˆa
.
t, vˆa
˜
nchu
.
a d¯´ap ´u
.
ng d¯u
.
o
.
.
c c´ac yˆeu cˆa
`
ucu
’
a hoa
.
td¯ˆo
.
ng thu
.
.
c
tiˆe
˜
n. T`u
.
xa xu
.
a ngu
.
`o
.
i ta d¯˜a thˆa
´
y c´o nh˜u
.
ng d¯oa
.
n th˘a
’
ng khˆong c´o sˆo
´
d¯ o h ˜u
.
utı
’
.
Ch˘a
’
ng ha
.
n, nˆe
´
u ta d¯o d¯u
.
`o
.
ng ch´eo cu
’
amˆo
.
t h`ınh vuˆong m`a ca
.
nh b˘a
`
ng 1 d¯o
.
nvi
.
d`ai th`ıd¯ˆo
.
d`ai cu
’
ad¯u
.
`o
.
ng ch´eo d¯´o c´o b`ınh phu
.
o
.
ng b˘a
`
ng 2.
118
Nhu
.
vˆa
.
y, nˆe
´
uchı
’
d`ung c´ac sˆo
´
h˜u
.
utı
’
,tachu
.
a d¯´ap ´u
.
ng d¯u
.
o
.
.
c c´ac yˆeu cˆa
`
ucu
’
a
thu
.
.
ctiˆe
˜
n. V`ıvˆa
.
y xuˆa
´
thiˆe
.
nyˆeucˆa
`
umo
.
’
rˆo
.
ng ho
.
nn˜u
.
atˆa
.
pho
.
.
p Q c´ac sˆo
´
h˜u
.
utı
’
.
Vˆe
`
phu
.
o
.
ng diˆe
.
n to´an ho
.
c thuˆa
`
ntu´y ta c˜ung thˆa
´
ysu
.
.
cˆa
`
n thiˆe
´
t pha
’
imo
.
’
rˆo
.
ng
ho
.
nn˜u
.
atˆa
.
pho
.
.
p Q. Ch˘a
’
ng ha
.
n, th´ıdu
.
trˆen c´o thˆe
’
diˆe
˜
nd¯a
.
tmˆo
.
t c´ach thuˆa
`
ntu´y
to´an ho
.
c l`a: phu
.
o
.
ng tr`ınh x
2
= 2 khˆong c´o nghiˆe
.
mh˜u
.
utı
’
.
O
.
’
Phˆa
`
n 5.1 ta d¯˜a thˆa
´
y trˆen tˆa
.
pho
.
.
p Q mo
.
iphu
.
o
.
ng tr`ınh bˆa
.
c nhˆa
´
t ax+b =0
d¯ ˆe
`
u c´o nghiˆe
.
m. Nhu
.
ng mˆo
.
tphu
.
o
.
ng tr`ınh bˆa
.
c hai tro
.
’
lˆen, n´oi chung, khˆong c´o
nghiˆe
.
mh˜u
.
utı
’
.
Mˆo
.
t yˆeu cˆa
`
utu
.
.
nhiˆen d¯˘a
.
t ra theo su
.
.
ph´at triˆe
’
n lˆogic cu
’
a to´an ho
.
c l`a: mo
.
’
rˆo
.
ng tˆa
.
pho
.
.
p Q c´ac sˆo
´
h˜u
.
utı
’
d¯ ˆe
’
c´o mˆo
.
ttˆa
.
pho
.
.
psˆo
´
m´o
.
ich´u
.
a Q sao cho mo
.
id¯a
th´u
.
c trˆen Q d¯ ˆe
`
u c´o nghiˆe
.
m trong tˆa
.
pho
.
.
p n`ay v`a trong to´an ho
.
ctˆa
.
pho
.
.
p n`ay
go
.
i l`a tru
.
`o
.
ng c´ac sˆo
´
d¯ a
.
isˆo
´
. Song vˆa
˜
n c`on c´o nh˜u
.
ng d¯a
.
ilu
.
o
.
.
ng khˆong thˆe
’
biˆe
’
u
diˆe
˜
nb˘a
`
ng nghiˆe
.
mcu
’
abˆa
´
tk`ymˆo
.
t d¯a th´u
.
c n`ao trˆen Q. Ch˘a
’
ng ha
.
nd¯ˆo
.
d`ai cu
’
a
d¯ u
.
`o
.
ng tr`on c´o d¯u
.
`o
.
ng k´ınh b˘a
`
ng d¯o
.
nvi
.
d`ai (cu
.
thˆe
’
l`a sˆo
´
π) khˆong thˆe
’
biˆe
’
udiˆe
˜
n
d¯ u
.
o
.
.
cb˘a
`
ng nghiˆe
.
mcu
’
amˆo
.
t d¯a th´u
.
c trˆen Q.Sˆo
´
e quen thuˆo
.
c c˜ung vˆa
.
y, e khˆong
l`a nghiˆe
.
mcu
’
abˆa
´
tk`y d¯a th´u
.
c n`ao v´o
.
ihˆe
.
sˆo
´
h˜u
.
utı
’
. Thu
.
.
c ra, d¯ˆe
’
su
.
’
du
.
ng c´ac sˆo
´
m´o
.
i n`ay, ta thu
.
`o
.
ng lˆa
´
y c´ac sˆo
´
h˜u
.
utı
’
xˆa
´
pxı
’
thay cho ch´ung. C´o d¯iˆe
`
u l`a mˆo
˜
isˆo
´
m´o
.
i d¯´o c´o vˆo sˆo
´
sˆo
´
h˜u
.
utı
’
xˆa
´
pxı
’
v´o
.
imˆo
.
td¯ˆo
.
ch´ınh x´ac tu`y´y.Tas˜esu
.
’
du
.
ng d˜ay
sˆo
´
h˜u
.
utı
’
xˆa
´
pxı
’
d¯ ´o d¯ ˆe
’
x´ac d¯i
.
nh tˆa
.
pho
.
.
psˆo
´
m´o
.
i.
5.2.1.2. D
-
i
.
nh ngh˜ıa: X´et tˆa
.
pho
.
.
p X gˆo
`
mtˆa
´
tca
’
c´ac d˜ay Cauchy (d˜ay co
.
ba
’
n)
trˆen tˆa
.
pho
.
.
p Q.V`ıtˆo
’
ng v`a t´ıch cu
’
a hai d˜ay Cauchy l`a mˆo
.
t d˜ay Cauchy nˆen trˆen
X c´o hai ph´ep to´an: V´o
.
i(x
n
)
n∈N
, (y
n
)
n∈N
∈ X,
1) Ph´ep cˆo
.
ng: (x
n
)
n∈N
+(y
n
)
n∈N
=(x
n
+ y
n
)
n∈N
.
2) Ph´ep nhˆan: (x
n
)
n∈N
(y
n
)
n∈N
=(x
n
y
n
)
n∈N
.
5.2.1.3. T´ınh chˆa
´
t:
1) Ph´ep cˆo
.
ng v`a ph´ep nhˆan c´o t´ınh giao ho´an.
2) Ph´ep cˆo
.
ng v`a ph´ep nhˆan c´o t´ınh kˆe
´
tho
.
.
p.
3) X v´o
.
i ph´ep cˆo
.
ng c´o phˆa
`
ntu
.
’
khˆong, d¯´o l`a d˜ay (0)
n∈N
v`a v´o
.
i ph´ep nhˆan
c´o phˆa
`
ntu
.
’
d¯ o
.
nvi
.
, d¯´o l`a d˜ay (1)
n∈N
.
4) Mo
.
i phˆa
`
ntu
.
’
cu
’
a X d¯ ˆe
`
u c´o phˆa
`
ntu
.
’
d¯ ˆo
´
i; cu
.
thˆe
’
d¯ ˆo
´
icu
’
a(x
n
)
n∈N
l`a
(−x
n
)
n∈N
.
5) Ph´ep nhˆan c´o t´ınh phˆan phˆo
´
id¯ˆo
´
iv´o
.
i ph´ep cˆo
.
ng.
Ch´u
.
ng minh: Kˆe
´
t qua
’
c´o ngay t`u
.
d¯ i
.
nh ngh˜ıa.
5.2.1.4. D
-
i
.
nh ngh˜ıa: Quan hˆe
.
R trˆen tˆa
.
pho
.
.
p X:
∀(x
n
)
n∈N
, (y
n
)
n∈N
∈ X, (x
n
)
n∈N
R (y
n
)
n∈N
⇔ lim
n→+∞
(x
n
− y
n
)=0
l`a mˆo
.
t quan hˆe
.
tu
.
o
.
ng d¯u
.
o
.
ng.
119
L´o
.
ptu
.
o
.
ng d¯u
.
o
.
ng cu
’
a(a
n
)
n∈N
∈ X l`a
(a
n
)
n∈N
= {(x
n
)
n∈N
∈ X | lim
n→+∞
(x
n
− a
n
)=0}.
Tˆa
.
pho
.
.
pthu
.
o
.
ng X/R k´yhiˆe
.
ul`aR.Mˆo
˜
i phˆa
`
ntu
.
’
cu
’
a R (ch´ınh l`a mˆo
˜
il´o
.
p
tu
.
o
.
ng d¯u
.
o
.
ng theo quan hˆe
.
R)d¯u
.
o
.
.
cgo
.
il`amˆo
.
tsˆo
´
thu
.
.
c.
´
Anh xa
.
r : X −→ R cho bo
.
’
i r((x
n
)
n∈N
)=(x
n
)
n∈N
l`a mˆo
.
t to`an ´anh v`a
thu
.
`o
.
ng go
.
i l`a ph´ep chiˆe
´
uch´ınh t˘a
´
c.
5.2.1.5. D
-
i
.
nh ngh˜ıa: Cho x = r((x
n
)
n∈N
),y= r((y
n
)
n∈N
).
1) Ph´ep cˆo
.
ng: x + y = r((x
n
+ y
n
)
n∈N
).
2) Ph´ep nhˆan: xy = r((x
n
y
n
)
n∈N
).
5.2.1.6. T´ınh chˆa
´
t:
1) Ph´ep cˆo
.
ng v`a ph´ep nhˆan d¯u
.
o
.
.
c x´ac d¯i
.
nh trˆen R.
2) Ph´ep cˆo
.
ng v`a ph´ep nhˆan c´o t´ınh giao ho´an, ngh˜ıa l`a v´o
.
imo
.
i x, y ∈ R,
x + y = y + x, xy = yx.
3) Ph´ep cˆo
.
ng v`a ph´ep nhˆan c´o t´ınh kˆe
´
tho
.
.
p, ngh˜ıa l`a v´o
.
imo
.
i x,y,z∈ R,
(x + y)+z = x +(y + z), (xy)z = x(yz).
4) R v´o
.
i ph´ep cˆo
.
ng c´o phˆa
`
ntu
.
’
khˆong v`a v´o
.
i ph´ep nhˆan c´o phˆa
`
ntu
.
’
d¯ o
.
nvi
.
,
ngh˜ıa l`a tˆo
`
nta
.
i0
, 1
∈ R, sao cho v´o
.
imo
.
i x ∈ R,
x +0
=0
+ x = x, x1
=1
x = x.
5) Mo
.
isˆo
´
thu
.
.
c d¯ ˆe
`
u c´o sˆo
´
d¯ ˆo
´
i, ngh˜ıa l`a v´o
.
imo
.
i x ∈ R,tˆo
`
nta
.
i −x ∈ R,
x +(−x)=(−x)+x =0
.
6) Mo
.
isˆo
´
thu
.
.
c kh´ac khˆong d¯ˆe
`
uc´osˆo
´
nghi
.
ch d¯a
’
o, ngh˜ıa l`a v´o
.
imo
.
i x ∈
R,x=0
,tˆo
`
nta
.
i x
−1
∈ R,
xx
−1
= x
−1
x =1
.
7) Ph´ep nhˆan c´o t´ınh phˆan phˆo
´
id¯ˆo
´
iv´o
.
i ph´ep cˆo
.
ng, ngh˜ıa l`a v´o
.
imo
.
i x,y,z∈
R,
x(y + z)=xy + xz, (y + z)x = yx + zx.
8) Ph´ep cˆo
.
ng c´o t´ınh gia
’
nu
.
´o
.
c, ngh˜ıa l`a v´o
.
imo
.
i x,y,z∈ R,
x + z = y + z ⇒ x = y.
120
9) Ph´ep nhˆan c´o t´ınh gia
’
nu
.
´o
.
c, ngh˜ıa l`a v´o
.
imo
.
i x,y,z∈ R z =0
,
xz = yz ⇒ x = y.
Ch´u
.
ng minh: 1) Gia
’
su
.
’
x = r((x
n
)
n∈N
)=r((x
n
)
n∈N
),y= r((y
n
)
n∈N
)=
r((y
n
)
n∈N
). Khi d¯´o lim
n→+∞
(x
n
− x
n
) = 0 v`a lim
n→+∞
(y
n
− y
n
) = 0, nˆen ta c´o
lim
n→+∞
((x
n
+ y
n
) − (x
n
+ y
n
)) = 0 hay r((x
n
+ y
n
)
n∈N
)=r((x
n
+ y
n
)
n∈N
).
lim
n→+∞
((x
n
y
n
) − (x
n
y
n
)) = lim
n→+∞
((x
n
− x
n
)y
n
+ x
n
(y
n
− y
n
)) = 0 (v`ı d˜ay
(y
n
)
n∈N
v`a d˜ay (x
n
)
n∈N
l`a bi
.
ch˘a
.
n do ch´ung l`a d˜ay Cauchy v`a lim
n→+∞
(x
n
− x
n
)=
lim
n→+∞
(y
n
− y
n
)=0)hayr((x
n
y
n
)
n∈N
)=r((x
n
y
n
)
n∈N
).
C´ac t´ınh chˆa
´
t 2), 3), 7), 8) d¯u
.
o
.
.
c suy t`u
.
(5.2.1.3).
4) R v´o
.
i ph´ep cˆo
.
ng c´o phˆa
`
ntu
.
’
khˆong l`a 0
= r((0)
n∈N
)v`av´o
.
i ph´ep nhˆan
c´o phˆa
`
ntu
.
’
d¯ o
.
nvi
.
l`a 1
= r((1)
n∈N
).
5) Sˆo
´
d¯ ˆo
´
icu
’
a x = r((x
n
)
n∈N
)l`a−x = r((−x
n
)
n∈N
).
6) Gia
’
su
.
’
x = r((x
n
)
n∈N
) =0
. Khi d¯´o d˜ay Cauchy (x
n
)
n∈N
khˆong c´o gi´o
.
i
ha
.
n l`a khˆong. Theo t´ınh chˆa
´
tcu
’
a d˜ay Cauchy, tˆo
`
nta
.
i a ∈ Q,a>0v`an
1
∈ N
sao cho |x
n
| >av´o
.
imo
.
i n>n
1
. Ta x´et d˜ay (y
n
)
n∈N
trˆen Q x´ac d¯i
.
nh nhu
.
sau:
y
n
=
0nˆe
´
u n ≤ n
1
1
x
n
nˆe
´
u n>n
1
.
Khi d¯´o (y
n
)
n∈N
l`a d˜ay Cauchy. Thˆa
.
tvˆa
.
y, v´o
.
imo
.
i ∈ Q,>0,v`ı(x
n
)
n∈N
l`a
d˜ay Cauchy nˆen tˆo
`
nta
.
i n
2
∈ N sao cho v´o
.
imo
.
i m,n>n
2
,tac´o
|x
m
− x
n
| <a
2
.
T`u
.
d¯´o suy ra r˘a
`
ng v´o
.
imo
.
i m, n > n
0
= max(n
1
,n
2
), ta c´o
|y
m
− y
n
| = |
1
x
m
−
1
x
n
| =
|x
m
− x
n
|
|x
m
x
n
|
<
1
a
2
.a
2
=
ngh˜ıa l`a (y
n
)
n∈N
l`a d˜ay Cauchy trˆen Q.
D
-
˘a
.
t z
n
= y
n
x
n
,tad¯u
.
o
.
.
c(z
n
)
n∈N
∈ X v`a
z
n
=
0nˆe
´
u n ≤ n
1
1nˆe
´
u n>n
1
v`a do d¯´o
r((x
n
)
n∈N
)r((y
n
)
n∈N
)=r((z
n
)
n∈N
)=r((1)
n∈N
)
ngh˜ıa l`a x
−1
= r((y
n
)
n∈N
) l`a nghi
.
ch d¯a
’
ocu
’
a x.
121
9) Do z =0
nˆen tˆo
`
nta
.
i z
−1
∈ R sao cho zz
−1
= z
−1
z =1
. Khi d¯´o
xz = yz ⇒ (xz)z
−1
=(yz)z
−1
⇒ x(zz
−1
)=y(zz
−1
) ⇒ x = y.
5.2.1.7. Hˆe
.
qua
’
: Tˆa
.
pho
.
.
p R v´o
.
i ph´ep cˆo
.
ng v`a ph´ep nhˆan trong (5.2.1.5) ta
.
o
th`anh mˆo
.
t tru
.
`o
.
ng v`a Char(R)=0.
5.2.2. Ph´ep tr`u
.
v`a ph´ep chia trong R:
5.2.2.1. D
-
i
.
nh ngh˜ıa: Cho x, y ∈ R, ta go
.
ihiˆe
.
ucu
’
a x v`a y,k´yhiˆe
.
u x − y l`a
tˆo
’
ng cu
’
a x v`a sˆo
´
d¯ ˆo
´
icu
’
a y:
x − y = x +(−y).
Ph´ep to´an t`ım hiˆe
.
ucu
’
a hai sˆo
´
go
.
i l`a ph´ep tr`u
.
.
V`ı m o
.
isˆo
´
thu
.
.
cd¯ˆe
`
uc´osˆo
´
d¯ ˆo
´
i nˆen ph´ep tr`u
.
x− y luˆon luˆon thu
.
.
chiˆe
.
nd¯u
.
o
.
.
c.
5.2.2.2. D
-
i
.
nh ngh˜ıa: Cho x, y ∈ R,y=0
, ta go
.
ithu
.
o
.
ng cu
’
a x v`a y,k´yhiˆe
.
u
x : y hay
x
y
l`a t´ıch cu
’
a x v`a nghi
.
ch d¯a
’
ocu
’
a y:
x : y =
x
y
= xy
−1
.
Ph´ep to´an t`ım thu
.
o
.
ng cu
’
a hai sˆo
´
thu
.
.
cgo
.
i l`a ph´ep chia.
V`ı mo
.
isˆo
´
thu
.
.
c y =0
d¯ ˆe
`
u c´o nghi
.
ch d¯a
’
o, nˆen ph´ep chia mˆo
.
tsˆo
´
thu
.
.
c x cho
mˆo
.
tsˆo
´
thu
.
.
c y =0
luˆon luˆon thu
.
.
chiˆe
.
nd¯u
.
o
.
.
c.
5.2.2.3. Quan hˆe
.
gi˜u
.
a Q v`a R: X´et ´anh xa
.
f : Q −→ R : a → f (a)=r((a)
n∈N
).
Khi d¯´o ´anh xa
.
f c´o c´ac t´ınh chˆa
´
t sau:
1) f l`a mˆo
.
td¯o
.
n ´anh.
Thˆa
.
tvˆa
.
y, v´o
.
imo
.
i a, a
∈ Q,f(a)=f (a
), ta c´o r((a)
n∈N
)=r((a
)
n∈N
)hay
lim
n→+∞
(a− a
)=0haya = a
.
2) f ba
’
o to`an c´ac ph´ep to´an, ngh˜ıa l`a v´o
.
imo
.
i a, a
∈ Q,
f(a + a
)=f(a)+f(a
),f(aa
)=f(a)f(a
).
Thˆa
.
tvˆa
.
y, v´o
.
imo
.
i a, a
∈ Q,tac´o
f(a)+f(a
)=r((a)
n∈N
)+r((a
)
n∈N
)=r((a + a
)
n∈N
)=f(a + a
).
f(a)f(a
)=r((a)
n∈N
)r((a
)
n∈N
)=r((aa
)
n∈N
)=f (aa
).
C´ac t´ınh chˆa
´
t trˆen cho biˆe
´
t ´anh xa
.
f l`a mˆo
.
td¯o
.
ncˆa
´
u tru
.
`o
.
ng v`a t`u
.
d¯´o ta
c´o thˆe
’
d¯ ˆo
`
ng nhˆa
´
tmˆo
˜
isˆo
´
h˜u
.
utı
’
a v´o
.
ia
’
nh f (a)=r((a)
n∈N
), thay cho c´ach viˆe
´
t
122
