Đáp án đề thi học kỳ I năm học 2018-2019 môn Phương pháp toán cho Vật lý 1 (Đề số 1) - ĐH Khoa học Tự nhiên

Đáp án: PHƯƠNG PHÁP TOÁN CHO VẬT LÝ 1
Mã học phần: PHY2201
Số tín chỉ: 3
Đề số: 1

Câu I.(3đ)
Tích phân phương trình vi phân sau:
y + 4y = 4t2 + 10e−t ,
với điều kiện ban đầu y(0) = y (0) = 0.
Đáp án: Nghiệm tổng quát:
y(t) = c1 cos (2t) + c2 sin (2t) + t2 −

1
+ 2e−t .
2

Áp dụng điều kiện ban đầu, nghiệm của bài toán:
1
3
y(t) = − cos (2t) + sin (2t) + t2 − + 2e−t .
2
2
Câu II.(2đ)
Khai triển hàm sau thành chuỗi Laurent theo luỹ thừa của z
f (z) =

1
(z − 1)(z − 2)

1) trong miền |z | < 1,
1

1
1
1
1
=
−
=
− 2 z
(z − 1)(z − 2)
(z − 2) (z − 1)
(1 − z) 1 − 2
1
z
z
= 1 + z + z 2 + ... + z n + ... −
1+ +
2
2
2
1 3
7
1
= + z + z 2 + ... + 1 − n+1 z n + ...
2 4
8
2

2

+ ... +

z
2

n

+ ...

2) trong miền |z | > 2.
1
1
1
1 1
=
−
=
(z − 1)(z − 2)
(z − 2) (z − 1)
z1−
2
z

2

−

1
z

n

1
z

=

1
3
7
1
+ 3 + 4 + ... + 2n+1 − 1 n+2 + ...
2
z
z
z
z

+ ... +

2
z

1 1
z1−

=

1+

2

+
z

2
z

+ ...

−

1
z

1+

1
+
z

1
z

2

+ ... +

1
z

n

+ ...

Câu III.(1,5đ)
Hãy chỉ ra rằng hàm số f (z) = |z|2 chỉ giải tích tại z0 = 0 mà không giải tích tại bất kỳ điểm
nào khác.
Đáp án:


Ta có, f (z) = |z|2 = u(x, y) + iv(x, y), do đó u(x, y) = x2 + y 2 and v(x, y) = 0. Đạo hàm bậc
nhất của u và v liên tục mọi nơi. Nhưng, ux = 2x bằng vy = 0, và uy = 2y bằng −vx = 0 nếu và chỉ
nếu x = y = 0. Do đó, hàm số f (z) = |z|2 chỉ giải tích tại z0 = 0.

Câu IV.(3,5đ)
Tính các tích phân sau:

1)
γ

ez + z
dz,
z−2

trong hai trường hợp: a) γ = {z : |z| = 1};

b) γ = {z : |z| = 3}.

Đáp án:
a)

ez +z
|z|=1 z−2 dz

= 0, do 2 ∈
/ {z : |z| = 1}.

b)

ez +z
|z|=3 z−2 dz

= 2πi(e2 + 2), do 2 ∈ {z : |z| = 3} là điểm cực đơn.

∞

2) I =
0

1
t sin (αt)
dt =
2
1+t
2

Hàm biến phức f (z) =

∞
−∞

t sin (αt)
1
dt = Im
2
1+t
2

∞
−∞

teiαt
dt.
1 + t2

z
có các tính chất sau:
1 + z2

(i) là hàm giải tích ở nửa trên mặt phẳng phức trừ tại điểm z = i, và
(ii) |f (z)| ∼ z −1 → 0 khi |z| → ∞ trong nửa mặt phẳng phía trên trục thực.
Do α > 0, các điều kiện của bổ đề Jordan được thoả mãn và ta có thể xem xét tích phân
J=
C

zeiαz
dz
1 + z2

trong đó, C là đường tròn nằm trong nửa mặt phẳng phía trên trục thực có R → ∞. Bổ đề
Jordan cho ta tích phân dọc theo nửa đường tròn Γ tiến tới 0 khi R → ∞. Định lý thặng dư khi đó

cho ta,
∞
teiαt
zeiαz
ie−α
dt
=
2πi
Res
=
2πi
.
2
z=i 1 + z 2
2i
−∞ 1 + t
Lấy phần ảo của kết quả trên ta nhận được
∞
−∞

t sin (αt)
e−α
dt
=
π
1 + t2
2

và kết quả của tích phân là,
I=

1 πe−α
πe−α
=
.
2 2
4

Hà Nội, Ngày 3 tháng 1 năm 2018
Người làm đáp án