Đáp án đề thi kết thúc học kỳ I năm học 2016-2017 môn Phương pháp toán cho Vật lý 1 (Đề số 1) - ĐH Khoa học Tự nhiên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN, HỌC KỲ I, NĂM HỌC 2016-2017

Tên học phần: PHƯƠNG PHÁP TOÁN CHO VẬT LÝ 1
Mã học phần: PHY2201
Số tín chỉ: 3
Đề số: 1
Dành cho sinh viên lớp học phần: PHY2201
THANG
ĐIỂM

NỘI DUNG ĐÁP ÁN

Câu 1: (3 điểm)
!
Phương trình: 𝑥 ! 𝑦′′ + 3𝑥𝑦′ + 𝑦 = ! , (𝑥 > 0)

(1)

Đặt 𝑥 = 𝑒 ! , (𝑥 > 0), ⇒ 𝑡 = ln 𝑥
Phương trình (1) trở thành: 𝑦!! + 2𝑦! + 𝑦 = 𝑒 !!

(2)

1đ

Nghiệm tổng quát phương trình (2) là: 𝑦(𝑡) = 𝐶! 𝑡𝑒 !! + 𝐶! 𝑒 !! + (1/2)𝑡 ! 𝑒 !!
Nghiệm tổng quát phương trình (1) là:

ln 𝑥
1 1 ln! 𝑥
𝑦(𝑥) = 𝐶!
+ 𝐶! +
𝑥
𝑥 2 𝑥
Từ điều kiện : 𝑦 1 = 1 ⇒ 𝐶! = 1; 𝑦′(1) = 0 ⇒ 𝐶! = 1

1đ

Nghiệm của bài toán là:
ln 𝑥 1 1 ln! 𝑥
𝑦(𝑥) =
+ +
𝑥
𝑥 2 𝑥

1đ

Câu II: (2 điểm)
𝑧!
𝑓(𝑧) =
𝑧−1
a)Trong lân cận điểm z = 0, ta có 𝑧 < 1.
𝑧!
𝑧!
𝑓 𝑧 =
=−
= −𝑧 ! 1 + 𝑧 + 𝑧 ! +. . .
𝑧−1

1−𝑧
= −𝑧 ! − 𝑧 ! − 𝑧 ! −. ..

1đ

b) Trong lân cận điểm 𝑧 = ∞, ta có,
𝑧!
𝑧!
𝑧
𝑓 𝑧 =
=
=
1
𝑧−1 𝑧 1−1
1−
𝑧
𝑧
1
1
=𝑧 1+ +
𝑧
𝑧

!

+. . . = 𝑧 + 1 +

1

1 1

+ +. ..
𝑧 𝑧!

1đ


Câu II1: (2 điểm)

𝑧!
𝑧!
=
𝑧 ! + 𝑎! !
𝑧 + 𝑖𝑎 ! 𝑧 − 𝑖𝑎 !
Hàm f(z) có hai điểm cực cấp hai tại 𝑧 = ±𝑖𝑎.
𝑑 𝑧 ! 𝑧 − 𝑖𝑎 !
𝑑
𝑧!
res 𝑓(𝑧) = lim
=
lim
!!!"
!→!" 𝑑𝑧
!→!" 𝑑𝑧 𝑧 + 𝑖𝑎 !
𝑧 ! + 𝑎! !
2𝑧
2𝑧 !
2𝑖𝑎
−2𝑎!
= lim
−

=
−
!→!" 𝑧 + 𝑖𝑎 !
𝑧 + 𝑖𝑎 !
−4𝑎!
−8𝑖𝑎!
𝑖
𝑖
𝑖
=−
+
=−
2𝑎 4𝑎
4𝑎
!
!
𝑑 𝑧 𝑧 + 𝑖𝑎
𝑑
𝑧!
res 𝑓(𝑧) = lim
= lim
!!!!"
!→!!" 𝑑𝑧
!→!!" 𝑑𝑧 𝑧 − 𝑖𝑎
𝑧 ! + 𝑎! !
!
2𝑧
2𝑧
𝑖
= lim

−
=
!→!!" 𝑧 − 𝑖𝑎 !
𝑧 − 𝑖𝑎 !
4𝑎
𝑓(𝑧) =

1đ
!

1đ

Câu IV: (3 điểm)
a) Có hai điểm kỳ dị 𝑧 = ±1 nằm trong đường tròn C: z = 2.
𝑧!

1
1 1
1
=
−
−1 2 𝑧−1 𝑧+1

𝑑𝑧
1
=
𝑧! − 1 2

!

!

𝑑𝑧
1
−
𝑧−1 2

!

0,5đ

𝑑𝑧
= 𝜋𝑖 − 𝜋𝑖 = 0
𝑧+1

1đ

Công thức tích phân Cauchy.
b)
!

!!

𝑑𝑥
=
(𝑥 − 1) 𝑥 ! + 1
𝑓(𝑧) =

!

!!

𝑑𝑥
(𝑥 − 1) 𝑥 + 𝑖 𝑥 − 𝑖

1
(𝑧 − 1) 𝑧 + 𝑖 𝑧 − 𝑖

Trong nửa mặt phẳng phía trên trục thực có điểm cực đơn z = i và điểm cực đơn
z = 1 nằm trên trục thực.
!

𝑃
!!

0,5đ

𝑑𝑥
= 2𝜋𝑖 res 𝑓(𝑧) + 𝜋𝑖 res 𝑓(𝑧)
!!!
!!!
(𝑥 − 1) 𝑥 ! + 1
res 𝑓(𝑧) =
!!!

!

!!

1

1
; res 𝑓(𝑧) =
2𝑖(𝑖 − 1) !!!
2

𝑑𝑥
𝜋
=−
!
(𝑥 − 1) 𝑥 + 1
2

0,5đ

Hà Nội, ngày 19 tháng 12 năm 2016
NGƯỜI LÀM ĐÁP ÁN

2

0,5đ