Đáp án đề thi kết thúc học kỳ I năm học 2017-2018 môn Phương pháp toán cho Vật lý 1 - ĐH Khoa học Tự nhiên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN, HỌC KỲ I, NĂM HỌC 2018 - 2019
Tên học phần: PHƯƠNG PHÁP TOÁN CHO VẬT LÝ 1
Mã học phần: PHY2201
Số tín chỉ: 3
Đề số: 1
Dành cho sinh viên lớp học phần: PHY2201

Câu I.(3đ)
Giải phương trình vi phân sau:
x2 y − xy + y = x,

(1)

với điều kiện biên y(1) = 1 và y(e) = 2e.
Đặt x = et , ta có t = ln x.
Phương trình trở thành: ytt − 2yt + y = et .
Phương trình đặc trưng: k 2 − 2k + 1 = 0.
1
Nghiệm tổng quát phương trình y(t): y(t) = C1 et + C2 tet + t2 et .
2
1
Nghiệm tổng quát phương trình (1): y = C1 x + C2 x ln x + x ln2 x.
2
1
Áp dụng điều kiện biên: C1 = 1, C2 = .
2
1
1

Nghiệm của bài toán: y = x + x ln x + x ln2 x.
2
2
Câu II.(2đ)
Khai triển hàm thành chuỗi Laurent theo luỹ thừa của z
f (z) =

z2

1
1
=
− 2z
2

1
1
−
z−2 z

1) trong miền 0 < |z | < 2.
1
1
1
1
=−
=−
z−2
2 1 − z/2
2

f (z) = −

1
1
−
2z 2

∞

z
2

n=0

n

=−

∞

z
2

n=0

n

1
1 z z2
− − −

− ...
2z 2 4
8

2) trong miền |z | > 2.
1
1
1
1
=
=
z−2
z 1 − 2/z
z
f (z) =

1
z

∞
n=0

2
z

n

−

∞

n=0

2
z

n

1
1
2
4
8
=
+ 2 + 3 + 4 + ...
2z
2z z
z
z


Câu III.(2đ)
Áp dụng công thức tích phân Cauchy tính tích phân sau:

C

ez
dz, (n ≥ 0)
zn

trong đó, C là đường cong: z(t) = e2πit , 0 ≤ t ≤ 1.

Công thức tích phân Cauchy:
f (n) (z0 ) =

n!
2πi

C

f (z)
dz.
(z − z0 )n+1

Ta có, z0 = 0 nằm bên trong đường cong C.

C

ez
2πi
dz =
,
n
z
(n − 1)!

n = 1, 2, 3, ...

Với n = 0 ta có biểu thức dưới dấu tích phân ez giải tích trên toàn mặt phẳng phức, nên giải
tích cả bên trong đường cong C, theo định lý Cauchy ta có,
ez dz = 0.
C

Câu IV.(3đ)
Áp dụng Định lý về thặng dư tính các tích phân sau:
1)
|z|=2

1 + z2
dz = −2πi
(1 − z)3

trong đó, |z| = 2 là đường tròn định hướng ngược chiều kim đồng hồ.
2π

2)
0

dθ
.
2 + sin θ

Đổi biến: z = eiθ ;

dz = izdθ;

I=

dz
S(0,1)

cos θ =

z + 1/z
.
2

1
1
=
iz 2 + (z + 1/z)/2

dz
S(0,1)

Hàm√số có hai điểm bất thường cô lập z1,2 = −2 ±
z1 = −2 + 3 nằm trong đường tròn S(0,1).

√

2
1
i z 2 + 4z + 1

3 là các điểm cực đơn. Trong đó, chỉ có

Theo định lý về thặng dư ta có,
2π
I = 2πiResz=z1 f (z) = √ .
3
Hà Nội, Ngày 26 tháng 12 năm 2018
Người làm đáp án