Tính đối ngẫu dạng Wolfe cho bài toán tối ưu tuyến tính với ràng buộc cân bằng

UED Journal of Social Sciences, Humanities & Education – ISSN 1859 - 4603
TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC

Nhận bài:
15 – 10 – 2018
Chấp nhận đăng:
25 – 12 – 2018
/>
TÍNH ĐỐI NGẪU DẠNG WOLFE CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU TUYẾN TÍNH VỚI
RÀNG BUỘC CÂN BẰNG
Trần Văn Sựa*, Lê Xuân Hòab
Tóm tắt: Đối ngẫu có vai trò quan trọng trong nghiên cứu các bài toán quy hoạch toán học vì tính đối
ngẫu yếu cung cấp một chặn dưới đối với hàm mục tiêu của bài toán ban đầu (hay bài toán gốc). Trong
bài báo này chúng tôi xây dựng và nghiên cứu một mô hình đối ngẫu dạng Wolfe cho bài toán tối ưu
tuyến tính với ràng buộc cân bằng. Đầu tiên chúng đề xuất mô hình đối ngẫu dạng Wolfe và cung cấp
một ví dụ để minh họa cho mô hình đối ngẫu. Thứ hai, chúng tôi thiết lập các định lí về tính đối ngẫu
mạnh và tính đối ngẫu yếu cho cặp bài toán gốc (LOPEC) và bài toán đối ngẫu dạng Wolfe
(DWLOPEC). Cuối cùng chúng tôi trình bày một ví dụ để mô tả kết quả về tính đối ngẫu mạnh trong
giấy.
Từ khóa: bài toán tối ưu tuyến tính với ràng buộc cân bằng; đối ngẫu dạng Wolfe; định lí đối ngẫu
mạnh; định lí đối ngẫu yếu; ánh xạ tuyến tính.

1. Giới thiệu
Đối ngẫu là một chủ đề quan trọng trong nghiên cứu
các bài toán quy hoạch toán học, chẳng hạn tính đối
ngẫu yếu cung cấp giá trị chặn dưới cho hàm mục tiêu.
Tương tự như trong bài toán quy hoạch tuyến tính tổng
quát, khi thiết lập một mô hình đối ngẫu cho bài toán
ban đầu (hay còn gọi là bài toán gốc), các định lí về tính
đối ngẫu yếu và tính đối ngẫu mạnh cho cặp bài toán gốc
và bài toán đối ngẫu luôn giữ một vai trò chủ đạo và

thường được nghiên cứu trước tiên, xem, chẳng hạn [1,
2, 3, 4, 5].
Trong bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát,
tính đối ngẫu được thiết lập phụ thuộc vào biến và dấu,
nghĩa là bài toán gốc chọn biến x, bài toán đối ngẫu
chọn biến y, dấu của y phụ thuộc vào ràng buộc đẳng
thức hay bất đẳng thức của bài toán gốc và ngược lại.
Các hệ số của hàm mục tiêu của bài toán gốc được lấy
làm chặn trên của bài toán đối ngẫu “max” và chặn
dưới của bài toán gốc “min” được chọn làm hệ số của

aTrường

Đại học Quảng Nam
Đại học Kiến trúc Đà Nẵng
* Tác giả liên hệ
Trần Văn Sự
Email:
bTrường

bài toán đối ngẫu “max”. Ma trận ràng buộc bài toán
gốc “min” được chuyển thành ma trận chuyển vị của
bài toán đối ngẫu “max” và ngược lại. Tuy nhiên, mô
hình đối ngẫu trên lại không phù hợp với lớp bài toán
tối ưu tuyến tính với ràng buộc cân bằng. Đối với mô
hình đối ngẫu dạng Wolfe (xem Wolfe [4]), tính đối
ngẫu giữa các biến không xảy ra, đây là vấn đề thuận
lợi để xây dựng các thuật toán với thời gian chạy
chương trình nhanh hơn.
Gần đây, thông qua các tài liệu trình bày về mô

hình đối ngẫu dạng Wolfe (xem [1,2,3,4,5]), ta thấy
rằng khi xây dựng một mô hình đối ngẫu dạng Wolfe
cần công cụ là các đạo hàm theo hướng và dưới vi phân
phù hợp để thiết lập mô hình đối ngẫu cũng như các
định lí đối ngẫu mạnh và yếu. Tuy nhiên đối với các
hàm tuyến tính, đạo hàm theo hướng đạt được ngay tại
phương lấy đạo hàm. Do đó, chúng ta không cần sử
dụng một công cụ đạo hàm nào hay dạng dưới vi phần
nào áp đặt lên bài toán đối ngẫu dạng Wolfe, mà có thể
xây dựng trực tiếp mô hình đối ngẫu dạng Wolfe như
trong bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát.
Mục đích của chúng tôi trong bài báo này là đề
xuất mô hình đối ngẫu dạng Wolfe cho bài toán tối ưu
tuyến tính với ràng buộc cân bằng. Tiếp theo chúng tôi

Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 8, số 4 (2018), 27-33 | 27


Trần Văn Sự, Lê Xuân Hòa
nghiên cứu các định lí về tính đối ngẫu mạnh và về tính
đối ngẫu yếu của cặp bài toán gốc và bài toán đối ngẫu
dạng Wolfe. Kết quả thu được của chúng tôi trong bài
báo này là mới và chưa từng được nghiên cứu trước
đây, và trong tương lai chúng có thể được xem xét mở
rộng để nghiên cứu cho lớp bài toán quy hoạch phi
tuyến với ràng buộc cân bằng.

xC

g ( x)  0, h( x) = 0,

G( x)  0, H ( x)  0,
 G( x), H ( x) = 0.

h: ¡

2.1. Các kí hiệu
Kí hiệu
¥ : Tập các số tự nhiên;

 x, y = x y với mọi x, y  ¡ , trong đó s là số
T

q

q

→¡ , g:¡

→ ¡ n, G : ¡

q

q

→ ¡ m,

→ ¡ p, H : ¡

q

→¡

p

là các hàm tuyến tính. Tập chấp nhận được của
(LOPEC) là K với

¡ : Tập các số thực;
s

tự nhiên, ở đây xT là ma trận cột của vectơ dòng x,

 x  C : g ( x)  0, h( x) = 0,

K := 
G( x)  0, H ( x)  0,

 G( x), H ( x) = 0

ràng buộc được mô tả ở dạng

. : Chuẩn trong không gian Banach thực.

g = ( g1 ,..., gm ) : ¡

2.2. Các định nghĩa
Định nghĩa 2.2.1. Một ánh xạ f : X → Y được

h = (h1 ,..., hn ) : ¡

f (ax + by ) = af ( x) + bf ( y)
x, y  X , a, b  ¡ .

q

H = ( H1 ,..., H p ) : ¡

→ ¡ n,
q

q

→ ¡ p,

→ ¡ p.

Chú ý các thành phần bên trong mỗi hàm số là một
hàm vô hướng trên ¡ q . Cho trước một vectơ chấp

Định nghĩa 2.2.2. Xét bài toán gốc (P):
min f ( x) với x  K  X .

nhận được x  K , ta kí hiệu các tập chỉ số:

Ta nói rằng:
a) Vectơ x  K là một nghiệm tối ưu toàn cục của
bài toán gốc (P) nếu

f ( x)  f ( x) x  K.





I g = I g ( x) = i = 1...m : gi ( x) = 0 ;



B = B( x) = i = 1... p : G ( x) = 0, H ( x) = 0 ;
C = C ( x) = i = 1.. p : G ( x)  0, H ( x) = 0.
A = A( x) = i = 1... p : Gi ( x) = 0, H i ( x)  0 ;
i

b) Vectơ x  K là một nghiệm tối ưu địa phương
bài
toán
gốc
(P)
nếu



f ( x)  f ( x) x  K  y  X : y − x   với

số

dương  nào đấy.
Chú ý 1: Bài toán “max” được định nghĩa một
cách tương tự.
Chú ý 2: Mỗi vectơ x  K được gọi là điểm chấp

nhận được cho bài toán gốc (P).
3. Mô hình đối ngẫu dạng Wolfe

→ ¡ m,

q

G = (G1 ,..., G p ) : ¡

gọi là tuyến tính nếu





.



Ở đây C là tập con khác rỗng trong ¡ q , các hàm

X, Y: Không gian Banach thực,

28

( LOPEC ) : min f ( x)

Trong đó: f : ¡

2. Cơ sở lí thuyết

của

Chúng ta xét bài toán bài toán tối ưu tuyến tính với
ràng buộc cân bằng:

i

i

i

Bài toán đối ngẫu dạng Wolfe cho bài toán gốc
(LOPEC), kí hiệu (DWLOPEC) và xác định như sau
(xem [1, 4]) :
n

g

g
(
u
)
+
(  jh −  hj ) h j (u) 


i
i


iI
j =1

( DWLOPEC ) :m ax  g
p
u,  

 + f (u ) −  ( iG Gi (u ) + iH H i (u ) ) 
i =1


sao cho


ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 8, số 4 (2018), 27-33

5v1 − 3v2 + 1g ( v1 − v2 )

f (v) +  ig gi (v) +  (  jh −  hj ) h j (v)
n

iI g

+ ( 1h − 1h ) ( v1 + v2 ) − 1G v2

j =1



−   ( iG Gi (v) + iH H i (v) ) 

 i =1

 0 v  C − u ;

1g  0, 1h  0,

  0 i  I g ;  ,   0 j = 1, 2,..., n;

− 1  ui  1, i = 1, 2.

p

g
i

h
j

− 1H v1  0  ( v1 , v2 )  C − ( u1 , u2 ) ;

1h  0, 1G  0, 1H  0,

h
j

iG , iH , iG , iH  0 i = 1, 2,..., p;

Kí hiệu các tập chỉ số

CG = AH = CG =  AH = 0,

A+ = i  A : iG  0 ;

i  B, iG = iH = 0,
u  C , CG = ( cG )

cC

, AH = ( aH )

CG = ( cG )cC ,  AH = ( aH )aA ,
 = (h , G ,  H )  ¡

n+2 p

 = ( g ,  h , G ,  H )  ¡

a A

C+ = i  C : iH  0 ;

,

BG = i  B : iH = 0, iG  0 ;

BH = i  B : iG = 0, iH  0 .

,

m+n+2 p

.

Mô hình đối ngẫu dạng Wolfe (DWLOPEC) trên
được mô tả bằng một ví dụ số sau:
Ví

dụ

1.

Cho

q = 2, C = [ − 1, 1]  −1, 1 ,

m = n = p = 1. Xét bài toán tối ưu tuyến tính với ràng
buộc cân bằng (LOPEC) trên không gian ¡
mô tả như sau:

2

và được

( x1 , x2 ) C

g ( x) = x1 − x2  0,

−  ( iG Gi (u ) + iH H i (u ) )
i =1

Khi đó tập chấp nhận được K = (0, 0). Chọn

x = (0,0)

và

ta

có

I g = 1 , A = C =  , B = 1. Khi đó mô hình đối
ngẫu dạng Wolfe của bài toán gốc (LOPEC) là bài toán
(DWLOPEC) có dạng:

u1 ,u2 ,
1g , 1h , 1G , 1H

sao cho

j =1

p

 G ( x), H ( x) = x1 x2 = 0.

m ax

là chấp

nhận được cho bài toán đối ngẫu dạng Wolfe

(DWLOPEC). Khi đó, nếu BG  BH  A+  C+ = 

iI g

H ( x) = x1  0,

được

( u,  )

n

G ( x) = x2  0,

nhận

được cho bài toán gốc (LOPEC) và

f ( x)  f (u ) +  ig gi (u ) +  (  jh −  hj ) h j (u )

h( x) = x1 + x2 = 0,

chấp

Định lí 3.1 (Đối ngẫu yếu). Cho x là chấp nhận

thì với mọi vectơ chấp nhận được x của bài toán gốc
(LOPEC), ta có

( LOPEC ) : min f ( x) = 5 x1 − 3 x2

vectơ

Một định lí đối ngẫu yếu cho bài toán gốc
(LOPEC) và bài toán đối ngẫu dạng Wolfe
(DWLOPEC) sẽ được phát biểu:

5u1 − 3u2 + 1g ( u1 − u2 ) 


 + ( 1h − 1h ) ( u1 + u2 ) 


− 1G u2 − 1H u1 


Chứng minh: Vì f là hàm tuyến tính nên
f ( x − u ) = f ( x) − f (u ).
(3.1)
Do g, h, G, H là các hàm tuyến tính nên các thành
phần bên trong là các hàm vô hướng tuyến tính. Do đó,
ta có

gi ( x − u) = gi ( x) − gi (u ) i  I g .

(3.2)

h j ( x − u) = h j ( x) − h j (u)
j = 1,2,.., n.

(3.3)

(−hj )( x − u) = (−h j )( x) − (−h j )(u)
j = 1,2,.., n.

(3.4)

29


Trần Văn Sự, Lê Xuân Hòa
Từ các điều kiện (3.7)-(3.8) dẫn đến

(−Gi )( x − u) = (−Gi )( x) − (−Gi )(u)
i  A  B.

(3.5)

iI g

(3.6)

Theo giả thiết BG  BH  A+  C+ =  , ta nhân
lần lượt từng phương trình (3.2), (3.3), (3.4), (3.5) và
(3.6) cho các vô hướng

  0 i  I g ;   0 i = 1, 2,..., n;
g
i

h
i

  0 i = 1, 2,..., n;   0 i  A  B;
h
i

G
i

  0 i  B  C , và sau đó cộng dồn chúng lại với
H
i

nhau, ta nhận được kết quả

f ( x) − f (u ) +  ig g i ( x) −  ig g i (u )
iI g

+



h
j



h
j

j =1...n

+

j =1...n

h j ( x) −



j =1...n

h
j



j =1...n

 (−h j )(u )

+ (  − 
i =1

h
i

i =1

i =1

p

p

i =1

i =1

Do x là chấp nhận được của bài toán (LOPEC) nên
các bất đẳng thức sau xảy ra:

gi ( x)  0 i  I g ( x),

(3.10)

h j ( x) = 0 j = 1, 2,..., n,

(3.11)



g
i



gi ( x) +
+

H
i

j =1...n



j =1...n

(3.12)
(3.13)

h
j

h
j

h j ( x)

(−h j )( x)

p

+  iG ( −Gi ) ( x)

(3.14)

i =1

) h ( x − u)

+  iH ( − H i ) ( x)  0.

(3.7)

i

p

i =1

i =1

Theo giả thiết ( u,  ) là vectơ chấp nhận được cho
bài toán đối ngẫu dạng Wolfe (DWLOPEC) và ngoài ra
x − u  C − u , ta có đánh giá sau:

+  ( ih − ih ) hi ( x − u )
n

p

+  iG ( −Gi ) ( x − u )

Kết hợp điều kiện có trong (3.9) và (3.14), sau khi
nhân vế trái của (3.14) với (-1), bất đẳng thức đổi
chiều, ta suy ra được kết quả như sau:

f ( x)  f (u ) +  ig gi (u )
iI g

+

h j (u ) +



j =1...n

 hj (−h j )(u )

p

p

i =1

i =1

(3.8)


−   ig gi ( x) +   jh h j ( x)
j =1...n
 iI g

i =1

+  iH ( − H i ) ( x − u )  0.



h
j

+  iG ( −Gi ) (u ) +  iH ( − H i ) (u )

iI g

i =1

i =1

j =1...n

f (u − x) +  ig g i ( x − u )

30

(3.9)

p

p

i =1

 hj (−h j )(u )

+  iH ( − H i ) ( x) − iH ( − H i ) (u )  0.

iI g

+  iG ( −Gi ) ( x − u ) +  iH ( − H i ) ( x − u ).

p

j =1...n
p

iI g

h
i



p

= f (u − x) +  ig gi ( x − u )
n

h j (u )

+  iG ( −Gi ) ( x) − iG ( −Gi ) (u )

( − H i ) ( x) −  ( − H i ) (u )
i =1



j =1...n

 hj (−h j )( x) −

p

H
i

h j ( x) −

Kết hợp các điều kiện (3.10), (3.11), (3.12) và
(3.13) ta nhận được bất đẳng thức đúng sau:

i =1

+ 
i =1

j =1...n

iI g

h
j

H i ( x)  0 i = 1, 2,..., p.

h
j

p

p



+

h
j

Gi ( x)  0 i = 1, 2,..., p,

h j (u )

+  iG ( −Gi ) ( x) − iG ( −Gi ) (u )
i =1

j =1...n

iI g

 (−h j )( x) −

p



+

(− Hi )( x − u) = (− Hi )( x) − (− Hi )(u)
i  C  B.

f ( x) − f (u ) +  ig g i ( x) −  ig g i (u )

+



j =1...n

p

h
j

(−h j )( x) +  iG ( −Gi ) ( x)
i =1


ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 8, số 4 (2018), 27-33
p

+  iH ( − H i ) ( x) 
i =1


 f (v )  0

 gi (v)  0 i  I g ,

(−Gi )(v)  0 i  A  B,
(− H )(v)  0 i  B  C ,
i


v  C − x.

 f (u ) +  ig gi (u )
iI g



+

j =1...n

h
j

h j (u ) +



j =1...n

 hj (−h j )(u )

p

p

i =1

i =1

+  iG ( −Gi ) (u ) +  iH ( − H i ) (u )
= f (u ) +  ig gi (u ) +  (  jh −  hj ) h j (u )
n

iI g

j =1

Áp dụng Định lí 2.12 trong Giáo trình của
Rockafeller [6], khi đó tồn tại các vectơ chấp nhận
được ( , ,  )  ¡ 1+ m+ 4 p , trong đó

 ¡ +,

−  ( iG Gi (u ) + iH H i (u ) ).
p

 = ( g , G ,  H )  ¡

i =1

Vậy, bất đẳng thức cuối cùng nhận được là

f ( x)  f (u ) +  ig gi (u ) +  (  jh −  hj ) h j (u )

 = ( G ,  H )  ¡

n

iI g

j =1

−  ( iG Gi (u ) + iH H i (u ) ).
p

Định lí 3.2 (Đối ngẫu mạnh). Cho x  K là
nghiệm tối ưu địa phương cho bài toán gốc (LOPEC).
và tồn tại

vC − x

sao cho

gi (v)  0 i  I g , (−Gi )(v)  0 i  A  B và
(− H i )(v)  0 i  B  C.

Khi đó, nếu điều kiện

B  B  A  C = 

thì

+

H

(

g

G

=  , ,

+

H

)¡

và chúng không đồng thời bằng 0, thỏa mãn bất đẳng
thức sau đây :

p

Tiếp theo chúng tôi phát biểu một định lí đối ngẫu
mạnh cho bài toán gốc (LOPEC) trong trường hợp bỏ
ràng buộc đẳng thức h( x) = 0 .

G

,

iI g

Điều này kết thúc chứng minh.

h  0,

,

 f (v) +  ig gi (v)

i =1

Giả sử

2p

m+2 p

m+2 p

tồn

sao cho

tại

một

( x,  )

+  iG ( −Gi ) (v)
p

+  iH ( − H i ) (v)  0 v  C − x.
i =1

Mặt khác, theo giả thiết ban đầu tồn tại vectơ
v  C − x thỏa mãn

gi (v)  0 i  I g ,

(3.16)

(−Gi )(v)  0 i  A  B ,

(3.17)

vectơ
và

là nghiệm

tối ưu của bài toán đối ngẫu dạng Wolfe (DWLOPEC) và
giá trị hàm mục tiêu của chúng tương ứng bằng nhau.
Chứng minh: Do x  K là nghiệm tối ưu địa
phương của bài toán gốc (LOPEC) nên hệ bất đẳng

thức sau không xảy ra:

(3.15)

i =1

(− H i )(v)  0 i  B  C.

(3.18)

Kết hợp các điều kiện (3.15), (3.16), (3.17) và
(3.18) ta nhận được   0. Không mất tính tổng quát
của bài toán ta chọn các giá trị vô hướng  = 1 và

 =  . Áp dụng Định lí 3.1, với mọi vectơ ( u,  ) là
nghiệm chấp nhận được của bài toán đối ngẫu dạng
Wolfe (DWLOPEC), bất đẳng thức dưới đây đúng:

31


Trần Văn Sự, Lê Xuân Hòa

f ( x)  f (u ) +  ig gi (u )
iI g

p

+  iG ( −Gi ) (u )

(3.19)

i =1

p

+  iH ( − H i ) (u )  0.
i =1

Mặt khác, không khó kiểm tra được kết quả:

f ( x) = f ( x) +  ig gi ( x)
iI g

p

p

i =1

i =1

(3.20)

+  iG ( −Gi ) ( x) +  iH ( − H i ) ( x).

 1
chọn vectơ v =  2,   C , lúc này các bất đẳng thức
 2
(3.16), (3.17) và (3.18) đúng. Do đó tất cả các giả thiết

trong Định lí 3.2 được thỏa mãn. Lúc này một mô hình
đối ngẫu dạng Wolfe cho bài toán gốc (LOPEC là bài
toán đối ngẫu (DWLOPEC) có dạng:

u1 + 1g ( u2 − u1 ) 


( DWLOPEC) : m ax  +u2 − 1G ( 3u2 − u1 ) 
u1 , u2 ,

1g , 1G , 1H 
− 1H u1


sao cho

v1 + v2 + 1g ( v2 − v1 )

Kết hợp (3.19) và (3.20) ta thu được

− 1G ( 3v2 − v1 ) − 1H v1

f ( x) +  ig gi ( x)

 0  ( v1 , v2 )  C − ( u1 , u2 ) ;

iI g
p

1g  0, 1G  0, 1H  0,

p

+  iG ( −Gi ) ( x) +  iH ( − H i ) ( x)
i =1

f (u ) +   gi (u )



iI g

0  ui  3, i = 1, 2.

i =1

g
i

p

p

i =1

i =1

  H = 0, 1G  0
Giả sử không xảy ra  1G
,

H
 1 = 0, 1  0

+  iG ( −Gi ) (u ) +  iH ( − H i ) (u ).

(

)

Vậy x,  là nghiệm tối ưu của bài toán đối ngẫu
dạng Wolfe (DWLOPEC), và giá trị hàm mục tiêu của
chúng tương ứng bằng nhau.
Cuối cùng chúng tôi cung cấp một ví dụ để minh
họa kết quả đạt được bên trên như sau:
Ví dụ 2. Cho q = 2, C = 0, 3 , m = p = 1. Xét
2

bài toán tối ưu tuyến tính với ràng buộc cân bằng
(LOPEC) trên ¡ 2 sau:

( LOPEC ) : min

( x1 , x2 )  C

H ( x) = x1  0,

Tập chấp nhận được cho bài toán (LOPEC) là

K = ( 3a, a )  ¡ : 0  a  1. Quan sát hàm mục tiêu
2

f ( x) = 3 x1 + x2 ta dễ dàng thấy rằng nghiệm tối ưu của

bài toán gốc (LOPEC) là x = (0,0) . Kiểm tra khái
chỉ

số

ta

nhận

I g = 1 , A = C =  , B = 1. Vì x = (0,0)

32

(

g

G

=  , ,

H

)¡

(

sao cho x, 

3

)

là nghiệm tối

ưu của bài toán đối ngẫu dạng Wolfe (DWLOPEC) và
giá trị hàm mục tiêu của chúng tương ứng bằng nhau.
Thật vậy, chúng ta thử lại kết quả trực tiếp như sau. Ta
có x = (0,0) là nghiệm tối ưu của bài toán gốc

(u,  ) = ( 0, 0, 2,1, 0)

 G ( x), H ( x) = ( 3x2 − x1 ) x1 = 0.

tập

Khi đó, áp dụng Định lí 3.2, tồn tại vectơ

bằng phương pháp giải trực tiếp bài toán đối ngẫu dạng
Wolfe (DWLOPEC), chúng ta cũng tìm được một
nghiệm tối ưu cho bài toán đối ngẫu dạng Wolfe là

G ( x) = 3x2 − x1  0,

các

BG  BH  A+  C+ = .

(LOPEC) và giá trị hàm mục tiêu f ( x) = 0. Tiếp theo,

f ( x) = x1 + x2

g ( x) = x2 − x1  0,

niệm

nghĩa là

được
nên ta

và giá trị hàm mục tiêu

f (u ) +   i gi (u )
g

iI g

p

(

)

−  Gi (u ) +  i H i (u ) = 0.
i =1

G
i

H

Vậy định lí 3.2 được kiểm tra.


ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 8, số 4 (2018), 27-33
Nhận xét 3.1. Trong trường hợp C = ¡

q

+

(nón

orthant không âm) và H = 0 hoặc G = 0 thì bài toán
(LOPEC) trở thành bài toán quy hoạch tuyến tính tổng
quát dạng “min” sau (xem [7, tr.14]):

toàn mới và trong tương lai các kết quả này có thể
được áp dụng để xây dựng thuật toán số giải các bài
toán tối ưu tuyến tuyến với ràng buộc cân bằng
(LOPEC) và bài toán đối ngẫu của nó dạng Wolfe
(DWLOPEC).

( LOPEC ) : min f ( x)
g ( x)  0,
G ( x)  0 ( H ( x)  0),

h( x) = 0,
x  0.
Do đó, kết quả thu được bên trên có thể áp dụng
trực tiếp cho bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát
dạng “min” và thậm chí là cả bài toán vận tải và bài
toán bán hàng và nhiều bài toán thực tế khác với điều
kiện cả hàm mục tiêu và các hàm ràng buộc đều là các
hàm tuyến tính.
4. Kết luận
Bài báo đã xây dựng một cách đầy đủ mô hình đối
ngẫu dạng Wolfe cho bài toán tối ưu tuyến tính với
ràng buộc cân bằng (LOPEC). Chứng minh hai định lí
về tính đối ngẫu yếu và tính đối ngẫu mạnh cho bài
toán gốc (LOPEC) và bài toán đối ngẫu dạng Wolfe
(DWLOPEC). Kết quả đạt được trong bài báo là hoàn

Tài liệu tham khảo
[1]

R. I. Bot, S. -M. Grad (2010). Wolfe duality and
Mond-Weir duality via perturbations. Nonlinear
Anal. Theory Methods Appl., 73(2), 374-384.
[2] S. Dempe, A. B. Zemkoho (2012). Bilevel road
pricing: Theoretical analysis and optimality
conditions. Ann. Oper. Research, 196, 223-240.
[3] Z. Q. Luo, J. S. Pang, D. Ralph (1996).
Mathematical problems with equilibrium constraints.
Cambridge University Press, Cambridge.
[4] P. Wolfe (1961). A duality theorem for nonlinear
programming. Q. J. Appl. Math, 19, 239-244.

[5] J. J. Ye (2005). Necessary and sufficient
optimality conditions for mathematical program
with equilibrium constraints. J. Math. Anal. Appl.,
307, 350-369.
[6] R. T. Rockafellar (1970). Convex Analysis.
Princeton Univ. Press, Princeton.
[7] Phí Mạnh Ban (2015). Quy hoạch tuyến tính,
NXB Đại học Sư phạm.

WOLFE TYPE DUALITY FOR LINEAR OPTIMIZATION PROBLEMS
WITH EQUILIBRIUM CONSTRAINTS
Abstract: Duality has an important role in the study of mathematical programming problems , since the weak duality provides a
lower bound to the objective function of the primal problem (or the original problem). In this article, we formulate and investigate a
Wolfe type duality model for linear optimization problems with equilibrium constraints. Firstly, we propose the Wolfe type duality model
and give an example to illustrate the given dual model. Secondly, we establish the weak duality and strong duality theorems for a pair
of the primal problem (LOPEC) and the Wolfe type dual problem (DWLOPEC). Finally, we present an example to illustrate the strong
duality result in the paper.
Key words: linear optimization problem with equilibrium constraints; wolfe type duality; strong duality theorem; weak duality theorem;
linear mappings.

33