Một số chuyên đề nguyên hàm và tích phân bám sát kỳ thi THPT Quốc gia: Phần 2

%

P H Ư Ơ N G P H Á P T ÍC H P H Â N Đ ổ l B IẾ N

số

V À T ÍC H P H Â N T Ừ N G P H A N

Tích phân đỗi biến số
Dạng ỉ: Nếu X = u(t) có đạo hàm liên tục trên [a, P] và
u(a) = a, u(p) = b thì: [ f{x)dx =
Ja

Ja

f{u{t)).u'Ụ).dt

Dạng 2: Nếu t = v(x) có đạo hàm liên tục và f(x)dx = g(t)dt thì:
ợh
CV(A)
\ f{ x )d x = \ g{t)dt.
Ja

Jv’(ơ)

Chú ỷ:
1) Đối với biến sổ lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho X.
b

b

b

jf(t)dt, jf(u)du ,
a

đều hằng F(b) - F(a) = jf(x)dx.

a

a

2) Sừ dụng các công thức mở rộng kx với k ^0, mở rộng công thức X thành u
kèm sẵn du = u'.dx, lưu ý dấu cộng trừ và hệ số nhăn chia, khi cần ta viết gộp
công thức đôi biển.
3) Tích phân liên kết, để lính ỉ thì đặt thêm J mà việc linh I +J và I —J, I ^m J
và I - n j thuận lợi hơn, từ đó suy ra I.
4) Giả sử hàm sổ f(x) liên lục trẽn đoạn f-a; aỊ.
a

Nếu f là hàm sổ lè thì I f (x)dx = 0.
-a

a

íì

Nếu f là hàm sổ chẵn thì I / (x) = 2j /"{x)dx.
-a

0

Tích phân từng phần
Nếu u(x), v(x) có đạo hàm liên lục trên đoạn [a;hj thì f udv = u.v l - ị v.du
Ja

Jớ

Chú ỷ:
ỉ) Chọn đặt u và dv để đưa về nguyên hàm có công thức.
2) Chọn đặt u và dv để đưa về tích phân đơn giản hơn, giảm bậc hơn, dùng tích
phân từng phần liên tiếp 2 hay nhiều lần hoặc dạng vồng tròn lặp lại tích phân
ban đầu,...
2) Phổi hợp bảng công thức nguyên hàm, các tính chất của tích phân.
86


1

Bài toán 10.1: Tính: I = J(l + x)‘’ íừ.
0

Giải
Ta có; I = |(1 + x)''ứ!x: = J (1 + x)'’íi(l + x) = —((l + x)^)| =
0

0

^

0

32-1 31
5 ~ 5

1
Bài toán 10.2: Tính: I = |(1 - 2x)"‘ d x.
0
Giải
Ta có: I = - - j(l - 2x)' dạ - 2x) =

2g

10

((l - 2 x)')

Ị_
5

1
Bài toán 10.3: Tính: I =

(1 +

)dí.

0
Đăt u = 1 +

thì du = 4t^dt

Giải
I
t^dt = —du
4

Khi t = 0 thì u = 1, t = 1 thì u = 2.
1

1 2

(1 + t^ )d t- —ị udu =

I=

^

0

1

^1

^

4- 1

3

v8

7

8

8

_ r 5x
Bài toán 10.4: Tính: I = 1— —^dx
ịix ^ + 4Ỵ
Giải
J ( x '+ 4 ) '
Bài toán 10.5: Tính: I =

2 J ( x '+ 4 ) '

2x^+4

I
8

—ị
_Ảx + 3
Giải

Đặt t = X + 3 thì X - 2 = t - 5, dx = dt
Khi X = -2 thì t = 1, X = 4 thì t = 7.
1=

iU + 3

(
25^
dt = / -10 In t - —
/
l
f y

192

■101n7.

87


1

Bài toán 10.6: Tính: I = Ị x^Jx^ + \ d x .
0

Giải

1 ____
I I
1
\
Ta có I = ịx-\lx^ + \dx = —f(x^ + [y d{x^ + 1) = -{x^ +1)
0
'^0
V3

j

2 V2 - 1

7t/4

Bài toán 10.7: Tính I ~ J cos’ Xsin xdx .
0
Giải
Đặt t = cosx thì dt = -sinxdx.
Khi x = 0 = í> t= l,x = — ^ t =
4
2
V2/2

7 1 /4

V 2/ 2

J

1= Jcos^xsinxdx = j r \ í / / = —-T
0
1
4

16

iu/3

Bài toán 10.8: Tính; I = |tarf xdx.
n/4

Giải
1-. ^ ^

_

,

7ĩ /3

n/i

.

V2

n

,

TC

1

Đặt t = cosx => dt = - sinxdx , X= —=í>t = -—,x = —=>t = —
4
2
3

2
(l-cos^x)sinx

I = |tarfxdx= I
rt/4
rt/4
ir/4

cos’ X

dx=-

3

dt

1/2

1/2

1
= l- - ln 2
2
V2/ 2

V2/2

rrclĩ

r.T/ĩ

Cách khác: I = [ tan^ xdx = f tanX. tan^ xdx
J;r/4
J/r/4
= I'' tanx.(tan^ x + l - l ) í ử = ị'^ tanx.(tan^ x + l)íử -|'^ tanxcàr.
1

Bài toán 10.9: Tính: 1 = 1 x.e’' d x ,
0

Giải
\= ịxe"'dx = -ịe""'d{x^) = -e " '
0
20
2

88

Q

= -^ ^ .
2


3

1

Bài toán 10.10: Tính: I = [ —(In x)^dx .
I ^

Giải
3 .

3

1= j —(Inx)Mx = J(lnx)M (lnx) =
1^
1

(Inx)^

(ln3)’

}2 + ỉnx
Bài toán 10.11: Tính: I = I
dx.
I

Giải
f 2 +Tn X
1 a có I = — — dx
J

V

= 1(3^_2^) = 5_
2.
2
I

2
I
X
Bài toán 10.12: Cho hàm f(x) liên tục trên đoạn [0;1].
= J(2 + lnx)í/(2 + Inx) = —( 2 + Inx)

I

I

Chứng minh rằng: I f (x)dx = J f (1 - x)dx .
0

0

Giải
Đặt u = 1 - X thì du = -dx, x = 0=>u = l,x = 1 =>u = ơ.
1

0

1

1

J f (x)dx = - J f (1 - u)du = I f (1 - u)du = j f (1 - x)dx .
0

1

0

0

Bài toán 10.13: Cho hàm f(x) liên tục trên đoạn [-1;1].
.

I

I

Chứng minh ràng: J f (x)dx = j[f(x ) + f(-x )]d x .
-1
0
Giải
1

I

0

'

0

0

I

Ta có Jf(x)dx = jf ( x ) d x + j f ( x ) d x và jf(x )d = - j f ( - u ) d u = j f(-x ) d x

-

1

I

-

1

0

-

1

1

0

I

Do đó I f (x)dx = J [f (x) + f (-x)]dx .
- 1

0

Bài toán 10.14: Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-a; a]. Chứng minh rằng:
ữ

a) Nếu f là hàm số lẻ thì j f(x)dx = 0.
-a

b) Nếu f là hàm số chẵn thì j / (x) = 2j / {x)dx .
- 0

0

89


Giải
a

0

a

T a c ó l= |f(x )d x = jf(x )d x + |f(x)dx
-a

-a

0

0
Đổi biến X = -t đối với tích phân Jf(x)dx ta được:
-a

a) Nếu n ẻ thì jf(x )d x = - |f ( - t ) d t = - |f ( t ) d t = - j f ( x ) d x

-a

-a

a

0

0

0

a

I = Jf(x)dx = |f ( x ) d x + |f (x )d x = 0.
-a

-a

0

0

a

a

b) Nếu f chẵn thì Jf(x)dx = |f(t)d t = jf(x )d x
-a

0

0

=í> I = jf(x )d x = Ịf(x )d x + |f ( x ) d x = 2 j f ( x ) d x .
-a

-a

0

0

1
Bài toán 10.15: Tính: I = I xe’'dx .
0
Giải
Ta dùng tích phân tìmg phần.
Đặt u = X , dv = e^^.dx. Khi đó du = dx, chọn V
1

I

'

1

=

J

e’^.
1

I = Jxe’‘dx = |udv = (uv) - 1vdu = (xe’‘1 -Ịe M x = e - (e -1) = 1.
0

0

0

0

0

Bài toán 10.16: Tính: I = Jln xdx .
1
Giải
dx
Đặt u = Inx, dv = dx. Khi đó du = — , v = X
X
c

1

'

1

e

I = jInxdx = judv = (uv) - j vdu = (x Inx)|' - |d x = e - (e -1) = 1.
1

0

0

Ố

1

Bài toán 10.17: Tính: I = jx" \nxdx .
I

Giải
dx
Đặt u = Inx, dv = x^dx. Khi đó du = — ,
X

90

V =

1
— x^
3


2

“

2

In xdx = Ị udv = {uv) - Ị vdu

Ta có I =

_

2

1

I

1

^ x M n x ^

f X ^ í ủ : _ 8 1 n 2

1

f\

81n2
3

3^

7
9

nl 2

Bài toán 10.18: Tính; I = J xsinxcosxdx
0
Giải
.
sin2x ,
Đặt u = X , dv = ------- d x .
Khi đó du = dx, V =

ỉ-cos2x
4
n/2
kỉ2 • 2
1= ịxsinxcosxdx = I X
dx =
0

—

^

0

X

cos 2x

V

n/ 2

7t/ 2

cos2x _ TC
4 ~s

BÀI TẬP
5

Bài tập 10.1: Tính tích phân: I = |(1 + xýdx .
0
IID-ĐS
1=
r dx
Bài tập 10.2: Tính: I = J
.

Đổi biến số, dặt t =

HD-ĐS
ln(e^ + e 4 1) -2.

Bài tập 10.3: Tính tích phân; I = jx (l - 4x)^'* dx
0

IID-ĐS
Đổi biến số, đặt t = 1 -4x.
Bài tập 10.4: Tính tích phân:
a) I = Ịsinx.5“ ®''íừ
0

b )l

dx
a/ x^ - 3
91


IID-DS
a) Đổi biến số, đặt t = cosx.
Bài tập 10.5: Tính tích phân:
X. _ f

+ 2x" + 2

- 3

b) Đặt t = X +

b ) ' =' ỉX^r -r 2x
^ +2
lỉD-ĐS

a) chia tách, 1 = 2+ —ln5
Bài tập 10.6: Tính tích phân:

e

b ) I = ịxln^xíủ:
1

I

HD-ĐS
a) Đổi biến số, đặt t = Inx
b) Dùng từng phần, đặt u = In^x và dv = X .
Bài tập 10.7: Tính tích phân:
II

a) I = Ilog|, xdx
1
Dùng từng phần, đ ặ t
3-21n2
b)
16
li tập 10.8: Tính:
a )

a) I = Jln(.\:^ +\)dx

u

b )fe x
1
IID-ĐS
= logl I x v à dv = X .

b) I =

0

+ x.e')dx .
0

^

lỉD-ĐS
'
n
5
a) Dùng từng phẩn, 1 = ln2 - 2 + —. b) 5 - —.
2
e
Bài tập 10.9: Tính:
7ĩ /3

X + sin X

a)I= J
0 cos

X

I

dx

b) I = |x ln (l + x^)dx
0
IID-DS

43
Dùng từng phần, I = = —— +1 - In 2 .
3
92

1
b) In 2 - ^ .
2


______ __ ___________________
T ÍC H P H Â N H À M Đ A T H Ứ C
Tích phân
Giá sử f(x) liên lục írên khoáng K và a, h e K, nếu F(x) là 1 nguyên hàm của
f(x) thì: f f {x)dx = F{b) - F(a) = F (x Ỳ ,.
Jơ

'

Các công thúc nguyên hàm đa thức
j dx = x + C; J kdx = kx + c với k là hằng số
Với a > 0 thì:
í x“ íừ =

•'

a +1

+ C: í u^.iV.dx = —
•'

a +1

+c

b

- Dạng j P(x)dx; Dùng bảng công thức,
a
b

- Dạng J|p(x)|dx ; Chia miền xét dấu P(x),
a
b

- Dạng J P(x).Q(x)dx ; Khai triển tích số,
a
b

- Dạng I(P(x))" dx Khai triển luỹ thừa, ^
a

Phương pháp tích phân đồi biến số
Dạng 1: Nếu X = u(t) cỏ đạo hàm liên tục trên [a, P] và u(a) = a, u(Ị3) = b thì:
f f(x)d x = [^ f{u(t)).u'(í).dí.

Jơ

J a

‘

Dạng 2: Neu-l = v(x) cỏ đạo hàm liên tục và f(x)dx = g(t)dí thì:
í*/>
ị f{x)d x = ị git)dí.
Ja

Jv{a)

b

- Dạng I x(mx + n)“dx .■Đặt u = mx + n hoặc phân lích thêm bớt,
a
b

- Dạng J (mx + n)(px‘ + qx + r)“ dx .• Đặt u = px^ + qx + r,
a

- Dạng

h
j

+ inỴ .(x + n Ý dx : Nếu a<

p

thì đặt u=

X

+ n.

a

93


Phương pháp tích phân từng phần
Neu 2 hàm sổ u(x), v(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;bj thì
Ja

udv = w.v ” -

Ja

v.du.

Chú ý:
1) Nếu hàm dưới dẩu tích phân có giá trị tuyệt đoi thì phải chia miền để bỏ dấu
giá trị tuyệt đối.
2) Phổi hợp các hiến đổi khai triển, biển đổi tích tổng, hạ bậc, thêm bớt sổ
hạng, viết
gộp,...
viêtgộp,...

1
Bài toán 11,1: Tính: I = J(1 + )dx .
0

Giải
1

4

)dx

Ta C Ó : I = J(1 +

=

(x + — )

= (l-0) +

1 -0

5

0

1
Bài toán 11.2: Tính: I =

~ 2x)M x.
0

Giải
Ta có: I = - -

j(l

2 u

-

2

x

)M (1

-2 x ) =

1
Bài toán 11.3: Tính; I = J(2x + IXx" -

12
X

((l - 2x)'')

0.

+ 3)dx .

0

Giải
1
/Ị
1
c
Ta có I = f(2x^ -x^ +5x + 3)dx= -x '' —-x^ +—x^ +3x
Ì
[2
3
2

17

3 ■

3

Bài toán 11.4: Tính tích phân: I - Jmin|x,x^ ^dx .
0

Giải
Xét x^ >

X

3

Do đó; I

1

=
0

- 3

94

io+

<=>x>1( vìX > 0).
|min{x,x^|í/x=
0

2

3

l'“ 3 ^ 2 ~ 3 '

1

ịx^dx + ịxdx .


6

Bài toán 11.5: Tính: I = J(|x + 3| - |x - 4Ị)dx .

-4

Giải
6

-3

4

6

T a c ó l = |( |x + 3 |-|x -4 |)d x = - 7 Jdx + |(2 x -l)d x + |7dx = 7
-4

-4

-3

,

4

4

Bài toán 11.6: Tính: I = ||x ^ - 4 x + 3(dx.
-1
Giải
1

3

4

I = I ( . X ‘ -4 x + 3)íử+j(-x^ +4x-3)ííc + |(x" -A x +3)đx
-1

1

í Xĩ

— -2x
l3

9

3

.4
A
^^ / 3
+3x +- — +2x^-3x +—-2x'+3x
J
j -1 l 3
J. 1 3
_

\

1

í

3

'3■

I

Bài toán 11.7: Tính: I = jx^(l + x^)tif.
0

Giải
Ị_
Đặt u - 1 + x^ thì du = 3x^dt => x^dt == —du
3
Khi X - 0 thì u = 1, X = 1 thì u = 2.
1
,2
4 -1 3
k IIa
1= |x ^ (l + x ’ )íử = --ỊMí/w ( —
6
6
u
)
0
^1
~

1

~

2

Bài toán 11.8: Tính: I = j t'(l + t“)Mt.
0

Giải
Đặt u = 1 + t"*thì du = 4t^dt => t^dt = —du
4
Khi t = 0 thì u = 1, t = 1 thì u - 2.
1

^

vl6

y

1= | t '( l + t'‘)Mt = - j u M u =
0

4 1

16-1 _ 15
16 " l 6

3

Bài toán 11.9: Tính; I = |( x + 2)^(x-3)*dx .

2

Giải
Đặt u = X - 3 thì

X

= u + 3, dx = du.
95


Khi

X

= 2 thì u = -1, X = 3 => u = 0.

0

0

I = J(u + 5)^u*du = j (u" + 1Ou + 25)uMu
-1
-1
0

= J(u '“ +10u’ +25u“)du =
,11
-1

9

-1

-185
99

1

Bài toán 11.10: Tính; I(m) = j|x" -2x+m |dx theo tham số m.
0

Giải
Tam thức f(x) = x^ - 2x + m có A' = 1 - m.
Ta xét 2 trường hợp sau;
- Nếu A' <0ci «l - m<0<=>m>l
f X3
-X 2 +mx
Khi đó: I(m) = j(x^ - 2x + m)dx =
—

l 3

0

2

= m— .
3
)

- Nếu A ' > 0 < = > l - m > 0 « > m < l
X, =l + -s/l-m > l
Khi đó: f(x) = 0 <=>
Xj = l - v l - m <1
Với X2 < 0 <=>

< 0 <=> m < 0.
(

I(m) = - j(x^ - 2x + m)dx = -

3
- X

2

+ mx

l 3

0

Với X2 > 0 o

X
—

2
= ----m

3
)

1- V l - m > 0<=> 0 < m < 1.

I(m)=

|( x ^ - 2 x + m )dx- J (x ^ -2 x + m)dx
0
1-Vl-iĩi
—
yi-m
V-— X2 + mx "
^ - X +mx
v3
v3

_ 4(l-m )V Ĩ - m + 3 m - 2
3
■
b

Bài toán 11.11: Xác định số b dương để tích phân |( x - x^)dx có giá trị lớn nhất.

Xét hàm số f(x) = j ( t - t^)dt.
0

96

Ta có F '(x) = X - x^, F '(x) = 0 « X = 1.
Lập bảng biến thiên của F(x) trên (0; + o o ) thì F(x) đạt giá trị lớn nhất khi X
do đó b = 1.

1,

Bài toán 11.12: Đặt I(mn) = |x "'(l - x)"dx , m, n e N*
0

a) Tính 1(0; n), 1(1; n).
b) Chứng minh I(m,n) =

, m > 0, n > 1.

m+1

Giải
a) 1(0;n)= j ( l - x ) " d x =

-(1 -x )

0

1(1

n) = J x(l - x)"dx = J (x - 1+ 1)(1 - x)"dx
0

0

1

1

1

_1 1

= - f(l-x)"^‘dx + f(l-x)"dx = — —+
0

n + 2 n + 1 n^+3n + 2

0

b) Đặt u = (1 - x)", dv = x^^dx.
m+1

Khi
-n(l1 - x)
x)"'',
[hi đó du = -n(
■, V
1

-

— ---------

m+1

m+l

^

1

v , ) = f x " ( l - x ) " d x = ~ ( l - x ) " + - ^ f x " '* '( l - x r 'd x = - 5 - I , „ , . . „ .
ị
m+1
p rn + 1^
m+1
BÀI TẬP
Bài tập 11.1: Tính: I = J(3a:+ 5X2x^ - x + \)dx .
0

ĨỈĐ-ĐS
Khai triển thành tổng hiệu.
5

Bài tập 11.2: Tính tích phân: I = JmaxỊx + l,x^ -2 x + 3}íừ.
0

Xét X

HD-ĐS
+ 1 < x^ - 2x + 3 <=> x^ -3x + 2 > 0 <=> X < 1 hay X > 2.

Bài tập 11.3: Tính tích phân: I = |( l + x)''dx .
0

97


HD-ĐS
( ^ + i r -1
n +\
Bài tập 11.4: Tính tích phân: I = ||x^ -3 x + 2|dx .
HD-ĐS
1= 19/2.
- a\dx theo tham số a.

Bài tập 11.5: Tính tích phân: I =
0

HD-ĐS
Xét a < 0 , 0 < a < 2 , a >2.
Bài tập 11.6: Cho hai hàm số: f(x) = 3x^ - x^ - 4x + 1; g(x) = 2x^ + x^ - 3x - 1.
T ínhl= J |/( x ) - ^ (x ) |íử .
-1
HD-ĐS
1 = 27/12.
5

I

Bài tập 11.7: Tính tích phân: a) I =J(1 + X^)^íừ b) I = jx(l-9x^)^íí>£0

0

HD-ĐS
a) khai triển hằng đẳng thức b) đặt t = 1 -9x^..
3

Bài tập 11.8: Tính: I = ị{x + \ Ỷ { x - 2 Ý d x .
2
HD-ĐS
Đặt u = X

-

2 thì X = u + 2 và dx = du.

2
Bài tập 11.9: Giải phưorng trình tích phân: j(t + x)dt = x^
1
HD-ĐS
l±^/7
X ^

98


%

T ÍC H P H Â N H À M P H Â N T H Ứ C

Tích phân
Giả sử f(x) liên tục trên khoảng K và a, b e K, nếu F(x) là I nguyên hàm của
f(x) thì:

í f {x)dx = F{h) - F{a) = F{x)

Ja

Các công thức nguyên hàm
j kdx = kx + c với k là hằng số

[ dx ==X + c
ÍT

í

dx = ln \x\ + c

■dx = ln\u\ + c.

Với a 9^-1 thì:

f x“.dx = —a ----+1 + c f u“.u'.dx = —a ----+
c.
+1
và

^

^

Phương pháp tích phân đổi biến số
Dạng 1: Nếu X = u(t) cỏ đạo hàm liên tục trên [a, fĩ] và u(a) = a,
u(P)=bthì: [ f{x)dx=\^f{u{t)).u'{t).dt

Dạng 2: Nếu í = v(x) có đạo hàm liên tục và f(x)dx = g(t)dt thì:
rv{h)
\ f{x)d x = ị g{t)dl.
Ja

Jv(ớ)

Phương pháp tích phân từng phần
Neu 2 hàm sổ u(x), v(x) cỏ đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b] thì
f udv = M.v * - í v.du.
Ja
Dạng hữu tỉ tồng quát
Nếu bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu thì phải chia tách phần đa
thức, còn lại hàm hữu tỉ với bậc tử bé hơn mẫu.
Nếu bậc của tử bé hơn bậc của mẫu thì thì phân tích mau ra các thừa sổ bậc
nhất (x + a) hay (x^ + px + q) bậc hai vô nghiệm rồi đồng nhất hệ sổ theo phần tử
đơn giản:
A
X
a => —- —
X +

a

X + px + q, A < 0=i>

x^ + px + q
99

và k hệ sổ liên tiếp bậc k:
(x + a /

— — ^------ —T
x + a (x + a)

^------- -—p
(x + a)

4jc+ 3 A
B
--------- —— I-------x{x-2) X x - 2

Chăng hạn:

4x + 3
A B C
----------7 ~ ------ '-----'--- ĩ
{x-2)x^ x - 2 X X'
4x + 3
(x - 2Ý (x^ + x + 2)

A
B
Cx + D
■+ -------- r + x - 2 { x - 2 Ý x^ + X+ 2

Quy đồng phân sổ rỗi đồng nhai hệ sổ ở tử thức thì tính được các hang so A, B,
c , ... Neu kết hợp với các biến đoi sai phân, thêm bớt đại lượng đặc biệt thì phân
tích nhanh.

b
Ị
'D ạ n g ị— — ■
dx .• Lập Á = q - 4pr.
px + qx + r
dx

Á =0

ỉ(mx + n) ■.• Dùng công thức nguyên hàm

ầ< 0

dx
■ Đặt X = ktant
Ja x^+k'

A> 0

r

dx

: Phân tích

2k x - k

x+ k

b

mx + n
-dx Lập A = q - 4pr
'Dạng [px^ + qx + r

A >0 ^ P h â n tích và dùng công thức.
^ ^
mx + n
A(px^+qx + r)'
B
A< 0 =>----- — ——■= —
--------ị----------------px^ + qx + r
px^ + qx + r
(x + a)^ +
b

dx
'Dạng j
x(l + x " r
a

ư

x""'dx
.• đặt t - ỉ + x”.
Jx"(l + x")

Chủ ỷ:
1) Phổi hợp bảng công thức nguyên hàm, các tính chất của tích phân.
2) Sử dụng các công thức mở rộng kx với k ^ 0, mở rộng công thức X thành u
kèm sẵn du = u'.dx, lưu V dấu cộng trừ và hệ số nhân chia, khi cần ta viết gộp

công thức đối biến.

100


3

Bài toán 12.1: Tính: I = j
2

dx

(x-\ý

Giải
3

dx

Ta có [2'

1 ~2

2

Bài toán 12.2: Tính; I = [
0

.
-a “

Giải

a/2 ,

x-a
1= —
------- ' >>< = - > "
‘
2a X + a
2a ị \ xx -- aa x +
+ aỉ J
Bài toán 12.3: Tính: I = I
4

.
Ta có

3x +1
x ^ -4 x + 3

a/2

= - — ln3.
2a

3x + l
-d x .
x^ -4 x + 3

Giải

3x +1
A
B
^--------- = --------1------( x - l) ( x - 3 ) x -1 x - 3

nên 3x + 1 = (A + B)x - 3A - B.
A +B =3
\A = -2
Đồng nhất hệ số I
<=>1
3 ^ -5 = l
5 =5
Vậy
4 ^

3x +1
4x + 3

ịyx-\

x -3 j

(-21n IX - 1 I+ 51n|x - 3|)| = ln2 + 21n3 = Inl8.
3

r
x '+ l
,
. -dx .
Bài toán 12.4: Tính: I = I

2 (x -l)^ (x + 3)
Giải
^ +1.
A
B
c
D
x'
Giả s ử :------—Ị-------- = --------1--------- 7 H-------- h---------(x -l)-'(x + 3) x -1 (x -1 )' ( x - ự
x+3
_1
I
5
3
1
5
Đồng nhất thì được A = — ,B = “ ,C = —,D = —^
32
8
2
32
Từ đó tính được:
ĩ=

-1
31---- + —5 In
, x -1
------í—-------4 ( x - ự 1 6 (x -l) 32 x + 3

~ 56

32^15'
101


1/2

dx
J■
x "-2x^+1

Bài toán 12.5: Tính; I

Giải
Ta có:

1
1
-^ í 1
x ' - 2 x ' + l “ (x + l ) ' ( x - l ) ' “ 4 U - I
ìí
ìI
1
A
ĩ_________
2T
( x - l ) ^ ^ ( x + l)^ (x - l )( x + l)

^
x + 1,

I
1
_1_____ỉ _
Cx-1)'^(x + 1)'^x + 1 x -1
Từ đó I =

1í

1/2
1

1

.

---- ---------— + In

4

X-

1

X+

uiỉì

Bải toán 12.6: Tính: I

1

X +1 ì

ln3

x -1 j

xdx
x * -l
Giải

2
1
Đặt t = X thì xdx = —dt.
2
Khi X = 0 thì t = 0, X = —!= thì t = -4=
ự3
Vs
\iS /
„ ' f xdx _ I " f dl

1>:*-l

2

I t‘ - l

■1

4

t '- l

t '+ l

dt

1/V3
1 arctant ì
= - ln Í 2 -V 3 ) - — .
8 ^
^24
4
2
Bài toán 12.7: Tính: I = I
-dx.
x
'°+
4
x
'+
4
1

( -In
1, t-1
t+1

J

Giải
Đổi biến t = x^ thì dt = Sx^^dx.
Khi X = 1 thì t = 1, X = 2 thì t = 32.
£.

x’
.
-dx
x'® + 4x=+4
1

102

l'r
tdt
_ l | ( t + 2 -2 )d t _ 1VỴ 1
s ị t - + 4t + 4 “ 5 | (t + 2)' ~ 5 -Ị[t + 2

ln(t + 2)H— ỉ—ì
t + 2)

^ ^ n ^ - 4 1 ì.
. 3 51J

2
dt
(t + 2)'

1

dx

Bài toán 12.8: Tính; I = j

1+

Giải
Đặt X = tant với - — < t < — thì dx = (1 + tan^Ọdt
Khi

0 thì t = 0, X

X =

T _

1=

f

^

=

+

1 thì t =
ta n ^

—

4

.

Íí/Í

Tĩ

i;r /4

— -= \ ... ■■■■ ■ = \ d t = t l
^1 + x^ ị 1+ tan^/
0

dx
Bài toán 12.9: Tính: I = I
0 a^ + x^
Giải
Đặt X = atant với Khi

X

—

< t < — thì dx = a( 1 + tan^t)dt

= 0 thì t = 0, X = a thì t =

n
7ĩ /4

Ị _, ''ị-'' a(l + tan^ t)dt _ 1
tan^t)
' aa'(I
(I + tan
t) a '
Bài toán 12.10: Tính: I = j
-1

X

a

n
4a

+2x + 4
Giải

0

T a c ó l=

0

J

dx
----- = I -------- ^---- .
:',x '+ 2 x + 4 J,(x + l f + 3

Đặt x + l = V 3 t a n t , - ^ < t < ^ .
2

2

Khi X = 0 thì t = —, khi X = -1 thì t = 0.
6
cà
_'^f‘’V3(tan^/
V3(tan^/ + il)c//_
y / jf fV 3 ^ ^ ^ V 3 ^
+2x +4
3(tan^ / +1)
3
3

ÍTỈ6
18

3

Bài toán 12.11: Tính; I = í f ^
dx ■
ị x '- x + l
103

Giải
3 (2 x -l) + 5
d x = 3 f ậ 4 ^ + 5f
-x +1
Ì X -x +1 ị

dx

X-

Tỵ +2>

Ta có 3 f— —ỉ—dx = 31n x " - x + l
J x '- x + l
Tính: A = 5 f------ oí_ 1

31n3

,.3
+4

Đăt X - —= -— tan t - - - < t< - - = > d x = -— (1 + tan^ t)dt
Khi X = 0 thì t = - — ,
6
dx

X

= 2 thì t = —.

3
7t/3

7t/3

A = 5 ị0 I X - 1V + -3
4

sV3:7Ĩ

f 2^T ,,_ lo V 3
= 5 —— dt = ———
J

-ĩ

'ì

-n / b

-7 l/6

s /3
Vậy 1= 31n3 + ^ 7 ĩ .
‘ x '+ x ^ + l
Bài toán 12.12: 1'ính; I = I
dx.
0 x^l
Giải
> ..4

x^+x^+1

■=í

x' +1

1

dx =J

(x ^ -x ^ -fl) + 2x^ J _ 'r -(•
dx
( x '+ l X x '- x '+ l )
0 ^ ^ ^ 0 x '+ l

Đặt X = tant ( 0 < t < —); dx = (1 + tan^t)dt
4
Khi x = 0 = > t - 0 ; xK=
= l1 ^=>t
t == —
4
n
1 + tan^ í
QX

+1

tan /

'11+ tan'

.

\ .

n

ị

4

Đặt u = x^ du = 3x^dx
Khi x = 0=>u = 0 ; x = l = ^ u = l .
104


■ „2
11>r du
Ỉ2 = f - y — dx= - í
ịx ^ + \
33ị J u ^ + l

7t
12

Vậy 1 = 1, + 212= — .
12
^ x '- x + l
Bài toán 12.13: Tính; I = J

dx.
0 X +4
Giải
Đặt X = 2tant, X e [0; 2] <=> t ee [0;
lu; —]
7i /4

1= 'í

lótan t-2 ta n t + l 2dt
1
—2^ = -~ |(16tan‘’ t-2 ta n t + l)dt
2
4(tan+1)
cos^’
oos t 2 Q

= — J(16tan^ t(l + tan^ t)-16tan^ t - 2tant+ l)dt
Từ đó tính được I = - — +
- In 4 ĩ .
3
8
Cách khác: chia tách

^

= x^ - 4

2
Bài toán 12.14: Tính: I = J

I

r — — !-■
x ^ + 4
X - - 4

h—

x^ + 4

-dx.
x(l + x'*)
Giải

Tacó:I - j ----- ^— ỵ-dx= ] ,
•Ịx(l + x^)

'X^(l + X^)

dx =

^

4 -Ị x'*(l+ x'^)

_= —In—^
1
1 ... 32
—- ' = —In—
4

ỉ+ x \
4
17
2
,
Bài toán 12.15:1 = í--- -——dx .
•Ị x(l + x ')

Giải
T ac ó :I= f -----ỉ——dx= r
'x (l + x’)

1

„5

5

1+ x'

- — —dx = —{

•Ịx^(l + x ’ )

5 ' x ’ (l + x^)

2

105

2

7

Bài toán 12.16: Tính: I = f
áx.
Jx (l + x’)
Giải
^ . T _ f 8 x '+ 2 ^ _ f 8 x '+ l + K , f8x’ + l , ]
1
,,
Tacó:I= — - -dx = ----- —^ d x =
V-— dx+
dx
•Ị x(l + x )
-Ị x(l + x )
-Ị X +x
•|x(l + x )
7

= ln(x^ + x ì' + Ị , f -----dx = lnl29 + - 1
^
-Ịx^O + x ’ )
7 Jx'(l + x ’)
1
x'
= lnl29+ -In7 1+ x'

,

1._256
= lnl29 + - r l n ^ ^
7 129

— , với a > 0, n e N, n > 2.
Bài toán 12.17: Đặt In = j —
0( x ' + a ' r
1 2n-3,
-+ ^ . —^---- .1
Chứng minh In =
(n-l)2".a"’-' " a ' ' 2 n - 2 “"-''
Giải
„ 22 ,. „ 22
l fa X
+ a - x, , 2 2
l
I1arar .X. 2 ,dx
In = -T j ■ r .. .TiT^^= 2 ^n-1-— 1
a ^ị (x -+ a-)
a
aa ^ịJ (x ^ + a ^ r
1

1

__
,
Đặt u = X, dv =
Khi đó du = dx,
r

x'dx

I(x^+a^r

1

1

xdx
(x^ +a^)"
V =

-1
2 (n -l)'(x'+ a')'”

_
" 2(n-l)(x^+a^r'

+

1
-.1n=l
2 (n -l)

r _
I
1 2 n -3 ,
In = ------- -— n r + “T-——- - I ^ ,: đpcm.
(n -l)2 ".a '"'’ a ' 2 n - 2 " '

BÀI TẬP
Bài tập 12.1: Tính:
a)I=
^

1

X

a) Chia tách.
106

^ x^ + 4x
^X .
b )i= J ^
L
HD-ĐS
8
b) I= - + ln3.
3


5
3x + 1
Bài tập 12.2: Tính: I = f —
-dx.
ị Xx‘^-4x + 3

HD-ĐS
f 3x +1 1 _ r

3x +1
Ị, , ^
,
^-----rdx = ------—----—dx roi phân tích.
Jx ^ -4 x + 3
J j;c -l)(x -3 )
fârk 12.3: T
^'ínVi*
Bài tập
Tính:
I_

1

a)

2x^ +

b )j

Jx ^+ 1

X

X -

+2

5

dx

ỈID-ĐS
a) Tách 2 nguyên hàm.

b) In —.
2

Bài tập 12.4: Tính:
dx
a )I-j
0X -1 6

b )I=

2x + 3

j
5

-dx.
x^(x + 2)

ĨĨD-ĐS
U\UU'
b) Phân tíchu

a) I = - r l n 3
8

_ —
A +—
B- H------C .
---- =
x^(x + 2)
X
x^ x + 2
2x + 3

Bài tập 12.5: Tính:
a)

j

dx
x' + l

X ’ -

X

<ừ
x" +4x" +4x- +1

b ) ị

HD-DS
a) Phân tích mẫu thành các thừa số.
b) Chia từ và mẫu cho x^ rồi đặt t =

X +

—

.

Bài tập 12.6: Tính:
I

2x + 3
a ) l= j
-dx
X
+2x
+
4
0

b )I=

dx
0 *(x+3ỹ(x + i y

HD-ĐS
1

1
2x + 3 ,
r 2x + 2 + 1
a) Tách 2 tích phân; I = f - ■

dx = í
-dx.
J x '+ 2 x + 4
ị X + "I"4

b)

2_ ln2
48^” ^

'Ị

ln3
4
107


Bài tập 12.7: Tính;
9

dx
a )I= j
0 81 + x'

b )I- Ị-—
-dx.
•Ị x(ì + x^)
HD-ĐS

a) Đặt X = 9tant với - — < t < —

b) đặt t = x^.
2
2
_
\
vHv
\
xMx
Bài tập 12.8: Tính a) I = 1 .. ......b) I = 1 J xx^^-4
- 4xx-5
-5^"-'
ịJxx ‘* - x ^ - 2
IID-ĐS
a) In3--ln5
6
Bài tập 12.9: Tính
a )I=

b)

6

3dx
0 1+ x'

j

3 ■

HD-ĐS

a )I= ln2 +

n

iS
b) Dùng thêm bớt và tích phân từng phần:
,

Ị-

đx
r x^dx
|(x ^ + l)^ ~ |( x ^ + l ) '

+1 -

_ Ị-

" “ I (x^+1)-’
Đặt u = X ,

%

dv =

------ ^

.

{X^+\Ý

TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

Tích phân
Giả sử f(x) liên tục trên khoảng K và a, b € K, nếu F(x) là 1 nguyên hàm của
f(x) thì: £ f{x)dx = F{b) - F{a) = F(x)|: .
Các công thức nguyên hàm lượng giác

108

I cosxdx —sìnx + c

Ị cosu.u'.dx = sinu + c

j sinxdx = -cosx + c

j sinu.u'.dx = -cosu + c


dx
= tanx 4 c
òos^ X
dx
=- colx + c

J-

s in

u

-dx = tanu + c
cos u
ù
dx = -COÍII + c.
s in
u

í-

X

- Biến đôi hạ bậc lượng giác,
- Biến đổi lích thành lổng lượng giác,
- Các biến đổi
1
_
1
sin[(x + a )-(x + b)]
sin(x + a).sin(x + b) sin(a-b) sin(x+ a)sin(x + b)
cosa
tanx.tan(x + a ) =
cosx.cos(x + a)
1
1
1
asinx + bcosx
sin(x + a)
__________ Ị__________ _ _ J __________1
asinx + bcosx±-\/a^ +b" Va“ + b^ l±cos(x + a)
asinx + Pcosx + y _ A(asinx + bcosx + c)'

B
+asinx + bcosx + c
asinx + bcosx + c
asinx+bcosx + c
___________ Ị__________________________
\_\ _
asin^ x + bsinxcosx + cos^ X atan^ x + bttanx + c cos^ X
sinxcosx
_ A(a^sin^ x + b'cos^ x)'
(a^ sin^ X + b^ cos^ x)“ (a^ sin^ X + b^ cos^ x)“
Phương pháp tích phân đổi biến số
Dạng ỉ: Neu X = u(t) cỏ đạo hàm liên lục trên [a, P] và u(a) = a,
u(P) = b thì: r f{x)dx = {' f{u{t)).u'ụ).dt.
Jí/ ‘
Jơ *
Dạng 2: Nếu t = vfx^ có đạo hàm liên tục và f(x)dx = g(t)dt thì:
(•/)
rv(h)
Ị f { x ) d x = \ g{í)dt.
Ja
Jv{a)
- Biến đổi theo góc phụ t - tan —,
b

J R(sinx,cosx)dx ; dặt l = tan—,
a

^

- Dặc biệt cận tích phân: dổi, hù, phụ thì đặt tương ứng dối biến:

n
í = -X, t = 7Ĩ - X

,

í = -—

X.

2

109


I R (x,sin x ,cosx)dx đặt X - — - 1
0
^
Tĩ

I R(x, sin X, cos x)dx ; đặt X = 7T-1
0
2ti
|R (x,sin x ,c o s x )d x đặt X = 27T-1
0
- Nếu R(-sinx, cosx) = -R(sinx, cosx) thì đặt t = cosx
Neu R(sinx, -cosx) = -R(siìix, cosx) thì đặt t = sinx
Nếu R(-sinx, -cosx) = -R(sinx, cosx) thì đặt t = tanx, cotx.
Phương pháp tích phân từng phần:
Nếu u(x), v(x) cổ đạo hàm liên tục trên đoạn [a;hj thì
J»h

,

I*/)

udv = u.v]^-\ v.du
a
Jơ

- Trong phương pháp lích phân từng phần, khéo léo chọn đặt u và dv sao cho
tích phân mới thuận lợi hơn hoặc dạng lích phân vòng tròn I thành
- Dạng

P{x).ỉ,maxdx: đặt u = P(x), v' = sinax
Jơ

- Dạng

rh

P(x).coscadx : đặt u = P(x), v' =

COSODC.

Ja

Tích phân liên kết
Đe tỉnh I thì đặt thêm J mà việc tính tích phân I +J và I —J hoặcl + k j và I —
mJ dễ dàng lợi hơn.
Tích phân truy hồi

Tích phân I„ theo ỉn-ì hay I„ -2 thì sin" X, cos" X tách luỹ thừa ỉ và dùng phương
pháp tích phân từng phần còn tan" X, c o f X tách lũy thừa 2 và dùng phương pháp
tích phân đổi biến sổ.
Bài toán 13.1: Tính:
nH
n!2
a) I = I sin xdx
b) I = J cos I x dx .
0
0
Giải
n-/ĩ

a) Ta có I = jsinxí/x= (-co sx )ị''" = -(0 -1 ) = 1.
0
ÍTỈl

I

b) Ta C Ó I = J cos 2xdx = —(sin 2x)
0
^
110

= - ( 0 - 0 ) = 0.
2