Bài toán cực trị mũ và logarit – nguyễn minh tuấn

MỘT CÁCH TIẾP CẬN LỚP BÀI TOÁN CỰC TRỊ
HÌNH TRỤ
NGUYỄN MINH TUẤN - THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI

Một hình trụ hoàn toàn xác định khi biến chiều cao h và bán kính đáy R. Ta có nhận xét rằng Sxq và
S tp là những biểu thức bậc hai theo hai biến R; h, còn thể tích là biểu thức bậc ba theo hai biến R; h.
3
3
S tp
Sxq
Thế thì 2 ; 2 là những biểu thức thuần nhất với R và h. Chúng ta mở đầu bằng một ví dụ sau
V V
R
Câu 1. Trong những khối trụ có thể tích V cho trước, tìm tỷ số của khối trụ có S tp nhỏ nhất.
h
R
R
1
R
R
1
A. D 2.
B. D .
C. D 1.
D. D p .
h
h
2
h
h
2

Lời giải. Chọn đáp án B
Vì thể tích V không đổi, ta có S tp D 2 R.h C R/; V D R2 h. Ta xét tỷ số
3
S tp

V2

D

8

3

R3 .h C R/3
.h C R/3
D
8
D8
2 R4 h2
h2 R

1C

R 3
h

R
h

.1 C t /3

Công việc cuối cùng là tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f .t / D
với t > 0, bằng công cụ đạo
t
1
hàm hoặc TABLE ta dễ tìm được giá trị nhỏ nhất khi t D .
2
Nhận xét: Bài toán là một mô hình thực tế rất cơ bản: Khối trụ có chiều cao bằng đường kính đáy là
khối trụ có diện tích toàn phần nhỏ nhất, chú ý rằng với bản chất là tìm mối quan hệ giữa R và h, ta
có thể giải quyết nhanh nhiều bài toán khác ví dụ như sau:
Câu 2. Nhà sản xuất muốn thiết kế một chiếc hộp sữa hình trụ có thể tích V . Để tiết kiệm nguyên
liệu thì diện tích toàn phần của hình trụ phải nhỏ nhất. Tính bán kính R của đáy hình trụ để tiết kiệm
được nhiều nguyên liệu nhất
r
r
p
1p
V
3
3 V
A. R D V .
B. R D
.
C. R D 3
.
D. R D 3 V .
2
4
2
Lời giải. Chọn đáp án B
r

V
Ta có h D 2R mà V D R2 h D 2 R3 , R D 3
.
2
Câu 3. Một nhà máy sản xuất bột trẻ em cần thiết kê bao bì cho một loại sản phẩm mới của nhà máy
dạng khối trụ có thể tích 1dm3 . Hỏi phải thiết kế hộp đựng này với S tp như nào để tiết kiệm nguyên
vật liệu nhất (đơn
vị dm)
p
p
p
p
3
B. S tp D 3 2 : .
C. S tp D 3 3 : .
D. S tp D 3 4 : .
A. S tp D 3 2 : .
Lời giải. Chọn đáp án A
r
p
1
Ta có R D 3
; h D 2R. Vậy S tp D 2 R.h C R/ D 6 R2 D 3 3 2
2
Hoặc cũng có thể như này:
Câu 4. Một xưởng cơ khí nhận làm những chiếc thùng phuy (có dạng hình trụ) với thể tích là 2000
lít mỗi chiếc. Hỏi bán kính đáy và chiều cao của thùng lần lượt bằng bao nhiêu để tiết kiệm nguyên
liệu nhất?
A. 1dm và 2dm.
B. 1cm và 2cm.

C. 1m và 2m.
D. 1m và 1m.
GV: NGUYỄN MINH TUẤN

: 01687773876

Trang 1/3


S3
ta có thể giải quyết nhanh chóng một số bài toán mở rộng sau:
V2
Câu 5. (Nguyễn Minh Tuấn) Một khối trụ có bán kính đáy R, chiều cao h và thể tích V không đổi.
Tính tỉ số Rh sao cho tổng diện tích xung quanh với diện tích của một mặt đáy đạt giá trị nhỏ nhất.
R
1
R
R
R
1
A. D .
B. D 1 .
C. D 2 .
D. D .
h
2
h
h
h
3

Lời giải. Chọn đáp án B
Ký hiệu S là tổng diện tích xung quanh với diện tích của một mặt đáy, ta có S D R.2h C R/. Ta có
Khi sử dụng biểu thức

S3
D
V2

3

R3 .2h C R/3
D :
2 R 4 h2

R
h

C2

3

R
h

.t C 2/3
. Điều này xin nhường lại cho độc
Công việc cuối là tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f .t / D
t
giả.
Thông qua ví dụ trên ta có một kết quả như sau: Khi đặt

h
S3
D t > 0 thì biểu thức 2 có dạng
R
V

.at C b/3
2b
, hàm số này đạt được cực tiểu tại x D
.
2
t
a
Câu 6. Gia đình An xây bể hình trụ có thể tích 150 m3 . Đáy bể làm bằng bê tông giá 1000000 đ/m2 .
Phần thân làm bằng tôn có giá 90000 đ/m2 , nắp bằng tôn có giá 120000 đ/m2 . Hỏi chi phí sản suất bể
để đạt mức thấp nhất thì tỉ số giữa chiều cao bể và bán kính đáy bể là bao nhiêu?
112
9
31
22
A.
.
B.
.
C. .
D. .
9
112
22

31
Lời giải. Chọn đáp án A
Ta không quan tâm tới số liệu thể tích, chi phí có thể lấy đơn vị là 10000 đồng/m2 .
Chi phí thân là 9:2 Rh D 18 Rh, chi phí đáy và nắp là 112 R2 . Đặt S D 18 Rh C 112 R2 D
2 R.9h C 56R/. Xét
3
9 Rh C 56
S3
.9h C 56R/3
D8
D8
h2
V2
Rh2
2
R

h
112
D
là kết quả cần tìm.
R
9
Câu 7. Người ta thiết kế một thùng chứa hình trụ có thể tích V nhất định. Biết rằng giá của vật liệu
làm mặt đáy và nắp của thùng bằng nhau và đắt gấp 3 lần giá vật liệu để làm mặt xung quanh của
thùng (chi phí cho mỗi đơn vị diện tích). Gọi chiều cao của thùng là h và bán kính đáy là r. Tính tỉ số
h
sao cho chi phí vật liệu sản xuất thùng là nhỏ nhất?
r
p

h
h p
h
h
A. D 3 2.
B. D 2.
C. D 6.
D. D 2.
r
r
r
r
Lời giải. Chọn đáp án C
h
Ta có a D 1; b D 3 vậy D 6
r
Câu 8. (Sở Hà Nội) Một công ty dự kiến chi 1 tỷ đồng để sản xuất các thùng đựng sơn hình trụ có
dung tích 5 lít. Biết rằng chi phí để làm mặt xung quanh của thùng đó là 100.000 đ/m2 . Chi phí để
làm mặt đáy là 120:000đ=m2 . Hãy tính số thùng sơn tối đa mà công ty đó sản xuất được.(Giả sử chi
phí cho các mối nối không đáng kể).
A. 12525 thùng.
B. 18209 thùng.
C. 57582 thùng.
D. 58135 thùng.

Ta có a D 9; b D 56, vậy

GV: NGUYỄN MINH TUẤN

: 01687773876

Trang 2/3


Lời giải. Chọn đáp án D
Nếu bạn đã đọc các lời giải đã có trên mạng sẽ thấy để giải quyết được bài này không hề đơn giản.
Trước hết ta đổi 5l D 0; 005m3 . Gọi S là tổng chi phí một thùng, ta có S D 200:000 Rh C
240:000 R2 D 40000 .5h C 6R/. Vậy
3
S3
3 .5h C 6R/
D
40000
V2
Rh2

12
Ta có a D 5; b D 6. Vậy chi phí nhỏ nhất khi h D R, tức S D
5
9
10
Vậy số thùng sơn tối đa là
58135 thùng.
Smin

s
3

400003

V

2:

183
144
25

D

17201.đ/.

Lời kết: Mọi ý kiến đóng góp xin gửi về số điện thoại 01687773876 hoặc Facebook: Popeye Nguyễn.

GV: NGUYỄN MINH TUẤN

: 01687773876

Trang 3/3