Bàn về vấn đề dạy học mô hình hóa toán học ở trường phổ thông

điểm của giáo viên
Lựa chọn các vấn đề để thảo luận trong lớp học không phải là đơn giản, trong thực tế đó là
nghệ thuật của giáo viên. Tình huống như thế nào là phù hợp, đủ cho việc giảng dạy? Điều này đòi
hỏi giáo viên phải đầu tư rất nhiều và những cái họ có trong tay phải được cập nhật và phải được
điều chỉnh phù hợp cho từng lớp học, ngoài ra cũng đòi hỏi khả năng quản lí tình hình mở trong
lớp học của giáo viên.
- Những trở ngại từ quan điểm của học sinh
Mô hình hoá làm cho bài học và các kì thi toán học được yêu cầu cao hơn và khó dự đoán
hơn. Các học sinh không muốn thử nghiệm một phương pháp tiếp cận mới.
- Những trở ngại từ quan điểm dạy và đánh giá

71


Nguyễn Thị Nga

Mô hình hoá đòi hỏi mất nhiều thời gian hơn so với các phương pháp truyền thống và khó
khăn để đánh giá hơn. Thật vậy, những gì không kiểm tra sẽ không được thực hiện nghiêm túc bởi
các học sinh hoặc giáo viên.

2.5. Sự quan tâm đến dạy học mô hình hóa toán học ở các nước và ở Việt Nam
2.5.1. Ở Pháp
Tương tự như nhiều nước khác, thể chế Pháp mong muốn đưa mô hình hóa vào dạy học
toán và các môn học khác.
“Trong luật về định hướng và chương trình cho tương lai của trường học (23/05/2005), liên
quan đến phạm vi văn hóa khoa học và công nghệ, việc thực hành một “phương pháp tiếp cận khoa
học” được yêu cầu như một năng lực của học sinh. Phương pháp đó được mô tả như sau:
- Biết quan sát, đặt câu hỏi, trình bày một giả thuyết và hợp thức hóa nó, tranh luận, mô
hình hóa theo cách cơ bản;
- Hiểu sự liên hệ giữa các hiện tượng tự nhiên và ngôn ngữ toán học được áp dụng ở đó và
hỗ trợ mô tả các hiện tượng này” [5].

2.5.2. Ở một số nước khác
Theo nghiên cứu của Werner Blum [6], ở các nước như Mỹ, Úc, Đức, Canada và Anh, có
rất nhiều tài liệu về dạy học mô hình hóa được chính thức phát hành ở tất cả các cấp độ từ tiểu học
đến trung học phổ thông và đại học. Trong các tài liệu này, người ta xây dựng những ví dụ, những
tình huống cụ thể để hỗ trợ cho giáo viên trong việc triển khai dạy học mô hình hóa. Điều này là
thực sự có ý nghĩa để tạo “vùng sống” cho dạy học mô hình hóa vì nó khắc phục được các trở ngại
đã nêu ra ở phần trên.

2.5.3. Ở Việt Nam
Trong các năm gần đây, việc áp dụng toán học để giải quyết các vấn đề của thực tiễn và của
các môn khoa học khác khá được quan tâm trong chương trình và sách giáo khoa toán của Việt
Nam.
Chẳng hạn, chương trình toán lớp 9 nêu rõ:
“Quan điểm tăng tính thực tiễn, tính sư phạm được thể hiện rõ nét trong chương trình 2002,
tạo điều kiện để học sinh được tăng cường luyện tập, thực hành, rèn luyện kĩ năng tính toán và vận
dụng kiến thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác” [SGV Toán 9].
Tương tự, chương trình môn toán ở trung học phổ thông (THPT) cũng nhấn mạnh quan
điểm này như sau:
+ Lựa chọn các kiến thức toán học cơ bản, cập nhật, thiết thực, có hệ thống, theo hướng tinh
giản, phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh, thể hiện tính liên môn và tích hợp các nội dung
giáo dục, thể hiện vai trò công cụ của môn toán.
+ Tăng cường thực hành và vận dụng, thực hiện dạy học toán gắn liền với thực tiễn [Trích
chương trình THPT môn Toán, 2006].
“Mục tiêu đầu tiên của chương trình cần đạt được là ý nghĩa, ứng dụng của các kiến thức
toán học vào đời sống, vào việc phục vụ các môn học khác” [Trích chương trình Đại số và Giải
tích 11, 2006].
Như vậy, ứng dụng thực tiễn của toán học và sự liên môn trong đó toán học đóng vai trò
công cụ đã được đề cập tường minh trong chương trình trung học. Tuy nhiên, vấn đề dạy học mô
72

Bàn về vấn đề dạy học mô hình hóa Toán học ở trường phổ thông...

hình hóa không được chú trọng ở Việt Nam.
“Vấn đề dạy học mô hình hóa không được nhấn mạnh trong chương trình và sách giáo khoa
ở Việt Nam. Chúng tôi chỉ tìm thấy dấu vết của sự mô hình hóa trong việc ứng dụng các kiến thức
toán học vào một số vấn đề nảy sinh từ thực tế. Trong sách giáo khoa toán THPT, các bài tập loại
này rất hiếm và thường được đặt trong phần bài đọc thêm hoặc ở phần đầu một số chương với vai
trò dẫn dắt đến kiến thức mới” [5].
- Trường hợp các hàm số lượng giác, hàm số tuần hoàn
+ Thực trạng: Dạy học các mô hình toán học (giải phương trình lượng giác)
Hàm số tuần hoàn là một lĩnh vực mà mô hình hóa toán học có môi trường tốt để tồn tại vì
nó liên quan đến nhiều lĩnh vực như vật lí, thiên văn học,. . . Tuy nhiên, vấn đề dạy học mô hình
hóa các hàm số tuần hoàn bị thu hẹp thành việc dạy học các mô hình toán học.
“. . . , việc dạy học mô hình hóa, đặc biệt là mô hình hóa các hiện tượng tuần hoàn thu hẹp
thành dạy học sử dụng các mô hình. Đặc biệt, nếu hàm số thuộc vào mô hình thì nó sẽ được trình
bày trong đề bài ngay khi giới thiệu thực tế cần mô hình hóa” [5].
Ví dụ, xem xét bài tập “mô hình hóa” trong SGK Toán lớp 11 sau đây:

Hình 2. Bài tập "mô hình hóa" ở SGK Đại số và giải tích lớp 11
Công việc của học sinh trong tình huống này hoàn toàn là công việc toán học (giải các
phương trình, chọn nghiệm). Hiện tượng thiên văn học về sự biến thiên của khoảng thời gian có
ánh sáng mặt trời mỗi ngày cung cấp một lí do cho công việc toán học trong mô hình dao động
điều hòa. Công việc toán học này trong trường hợp tốt nhất cho phép chứng tỏ khoa học thiên văn
nhận được các kết quả xác thực như thế nào nhưng không cho phép đi vào chính phương pháp mô
hình hóa hiện tượng. Chẳng hạn, dữ kiện về vĩ độ phục vụ cái gì? Vĩ độ có thuộc về mô hình cần
xây dựng hay không? Làm thế nào để xây dựng được hàm số d(t)?
+ Tình huống dạy học hàm số tuần hoàn bằng mô hình hóa
Chúng tôi đã xây dựng và thực nghiệm một tình huống dạy học các

hàm số tuần hoàn bằng mô hình hóa trong môi trường hình học động (Cabri
II Plus). Bài toán tổng quát trong thực nghiệm được phát biểu như sau:
“Một công viên giải trí ở Thành phố Hồ Chí Minh có một đu quay lớn.
Bắt đầu lượt chơi, bạn M bước vào một cabin. Một tia sáng màu đỏ
chiếu sáng từng đợt vào một vị trí cố định của đu quay mà các cabin đi qua.
Nếu một cabin được chiếu sáng, người ngồi trên cabin sẽ thắng một lượt chơi
miễn phí.
Câu hỏi: - M có thắng một lượt miễn phí không? Nếu có, sau bao nhiêu vòng chơi?
- M có thể thắng thêm những lần khác không?”
73


Nguyễn Thị Nga

Ở đây, chúng tôi nhắm đến sự mô hình hóa hình học một tình huống thực tế. Thật vậy, lĩnh
vực hình học khuyến khích sự tham gia vào công việc mô hình hóa bởi vì nó cho phép tạo nên mối
liên hệ ngữ nghĩa chặt chẽ với tình huống thực tế được chọn. Hình học là một công cụ quen thuộc
được sử dụng để mô hình hóa không gian xung quanh chúng ta. Hơn nữa, mô hình hóa một không
gian thực tế bởi hình học là một hoạt động mà học sinh đã thực hiện ngay từ tiểu học mặc dù điều
này chỉ thể hiện ngầm ẩn. Chẳng hạn, một cái cửa sổ hay một cái bàn được biểu diễn bởi một hình
chữ nhật.
Chúng tôi đã xây dựng những tình huống sư phạm cho phép mô hình chuyển động tròn đều
đóng vai trò mô hình hình học trung gian để xây dựng mô hình dao động điều hòa. Do đó, hiện
tượng thực tế được chọn là một chuyển động tròn đều.
Việc lựa chọn môi trường hình học động (Cabri II Plus) có lợi thế là cung cấp cho học sinh
những phương tiện để khám phá mô hình bằng cách thao tác trên nó, điều chỉnh nó và xem xét hệ
quả của những điều chỉnh đó.
Thực nghiệm đã được tiến hành vào đầu năm học 2010-2011 với 12 HS lớp 12 của một
trường THPT tại Thành phố Hồ Chí Minh (chia làm 6 nhóm). Chú ý rằng, HS đã được học về
chuyển động tròn đều năm lớp 10 và dao động điều hòa ở đầu năm lớp 12 này. Thực nghiệm đã

diễn ra trong 2 buổi, mỗi buổi kéo dài 2,5h với các mục tiêu được trình bày trong Bảng 1.

Buổi 1

Buổi 2

Bảng 1. Mục tiêu của các tình huống thực nghiệm
Mục tiêu
Tình huống thực nghiệm
Tình huống tiếp cận Cabri
Làm quen với các công cụ của Cabri
Xây dựng mô hình hình học trung gian (mô
Tình huống 1
hình chuyển động tròn đều)
Làm tiến triển mô hình hình học trung gian
Tình huống 2
bằng việc đưa vào biến thời gian
Giải quyết bài toán về sự trùng khớp (làm xuất
hiện mô hình dao động điều hòa: công thức,
Tình huống 3
đồ thị)

Mỗi nhóm HS làm việc trên một máy tính đã được cài đặt phần mềm Cabri II Plus.
Trong buổi thực nghiệm thứ nhất, học sinh tự mình xây dựng một mô hình hàm số đầu tiên
có bản chất hình học. Điểm M biểu diễn cabin trên đu quay di chuyển trên đường tròn theo thời
gian - biến độc lập mà các giá trị của nó có thể đọc được trên một trục phân biệt với đường đi của
cabin.
Buổi thực nghiệm thứ 2 nhắm vào việc giải quyết bài toán tổng quát dựa trên mô hình
chuyển động tròn đều đã xây dựng trong các tình huống 1 và 2. Việc giải quyết vấn đề về sự trùng
khớp giữa hai hiện tượng tuần hoàn đòi hỏi phải thao tác trên hai chu kì của hai hiện tượng và làm

tiến triển mô hình trung gian về một mô hình hàm số tính toán được.
Như vậy, trong thực nghiệm này, học sinh được thực sự tham gia vào quá trình mô hình hóa
toán học: Lựa chọn và xây dựng mô hình toán học, giải quyết bài toán toán học và đối chiếu kết
quả toán học với thực tế để tìm câu trả lời cho bài toán thực tế. Các kiến thức về sự tuần hoàn được
xây dựng như là sản phẩm của một quá trình toán học hóa một hiện tượng thực tế - các hiện tượng
tuần hoàn theo thời gian.
74


Bàn về vấn đề dạy học mô hình hóa Toán học ở trường phổ thông...

3. Kết luận
Kết quả nghiên cứu chứng tỏ học sinh hoàn toàn có thể tham gia vào quá trình mô hình hóa
nếu xây dựng được những tình huống phù hợp. Thông qua đó, có thể phát triển ở học sinh năng
lực giải quyết vấn đề như lựa chọn và xây dựng mô hình toán học phù hợp với thực tế, đối chiếu
kết quả của bài toán toán học với thực tế để tìm câu trả lời cho bài toán ban đầu. Tuy nhiên, làm
thế nào để có được những tình huống mô hình hóa hỗ trợ cho giáo viên trong việc dạy học? Những
kiểu bài tập hỗn hợp toán - vật lí nào mà thể chế ở trung học cần xây dựng để dạy học mô hình hóa
toán học? Vấn đề đào tạo giáo viên, vấn đề kiểm tra, đánh giá cần được thực hiện như thế nào để
dạy học mô hình hóa có “vùng sống” thật sự trong dạy học toán? Đó là những câu hỏi cần quan
tâm để có thể thúc đẩy việc dạy học mô hình hóa và dạy học bằng mô hình hóa ở trường phổ thông.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Annie Bessot, Nguyễn Thị Nga, 2011. Mô hình hóa toán học các hiện tượng biến thiên trong
dạy học nhờ hình học động – dự án nghiên cứu MIRA. Tạp chí khoa học giáo dục Trường Đại
học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh, Số 28(62)/Khoa học Giáo dục.
[2] Aslan Doosti & Alireza M. Ashtiani, Mathematical Modeling: a new approach for
mathematics teaching in different levels.
[3] J. C. Barbosa, 2002. Modelagem matemática e os futuros professores. Caxambu. Anais,
Caxambu: ANPED.
[4] Lalina Coulange, 1997. Les problèmes “concrets” à “mettre en équations” dans l’enseignent,

petit x, n047.
[5] Nguyễn Thị Nga, 2012. La périodicité dans les enseignements scientifiques : une
ingénierie didactique d’introduction aux fonctions périodiques par la modélisation, ISBN:
978-3-8383-8192-9, Éditions Universitaires Européennes.
[6] Werner Blum, 1993. Mathematical modelling in mathematics education and instruction.
Mathematics Department, Kassel University, Germany.
ABSTRACT
The teaching of mathematical modeling in secondary education
Modeling could be used to demonstrate the usefulness of mathematics, to improve students’
ability to resolve real-life situations, to prepare for various professions and to connect mathematics
with other disciplines. This paper presents some concepts related to mathematical modeling, the
process of mathematical modeling and the advantages and disadvantages of teaching mathematical
modeling. Also presented is the current status of the teaching of mathematical modeling in
Vietnam and a proposal of a means to improve teaching using modeling.

75