Vận dụng hai nguyên lí cơ bản của triết học duy vật biện chứng vào dạy học Tích phân lớp 12

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE
Educational Science in Mathematics, 2014, Vol. 59, No. 2A, pp. 168-173
This paper is available online at

VẬN DỤNG HAI NGUYÊN LÍ CƠ BẢN CỦA TRIẾT HỌC DUY VẬT
BIỆN CHỨNG VÀO DẠY HỌC TÍCH PHÂN LỚP 12

Hoàng Ngọc Anh, Đặng Minh Tuyến
Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Tây Bắc

Tóm tắt. Bài báo này trình bày việc vận dụng hai nguyên lí cơ bản của triết học duy vật
biện chứng vào dạy học Tích phân lớp 12 - THPT. Đó là nguyên lí về mối liên hệ và nguyên
lí về sự phát triển. Giáo viên có thể dựa trên hai nguyên lí này hướng dẫn cách suy nghĩ tìm
cách tính tích phân nhờ mối liên hệ và có thể phát triển, sáng tạo những bài toán về tính
tích phân, nhằm nâng cao hiệu quả dạy học chủ đề này.
Từ khóa: Nguyên lí, duy vật biện chứng, dạy học, tích phân.

1.

Mở đầu

Triết học nghiên cứu những quy luật chung nhất của tự nhiên, xã hội và con người. Bởi vậy,
trong quá trình nghiên cứu các khoa học khác, cần chú ý tới những kết quả của triết học. Nghiên
cứu Toán học và Giáo dục Toán học cũng không phải là ngoại lệ.
“Do khái quát những sự kiện từ tất cả các khoa học và trên cơ sở đó phát hiện ra những quy
luật phát triển của tự nhiên, xã hội và tư duy, phép biện chứng duy vật là cơ sở phương pháp luận
cho mọi lĩnh vực khoa học, trong đó có phương pháp dạy học Toán” [2; 26]. Thực tiễn cho thấy,
có không ít giáo viên không chỉ dạy những gì đã có sẵn trong các sách giáo khoa, sách bài tập, mà
có nhiều sáng tạo trong dạy học. Những giáo viên này có được uy tín cao trong học sinh và phụ
huynh học sinh, vì họ có năng lực và nghệ thuật cao trong dạy học. Việc nghiên cứu đổi mới, nâng
cao chất lượng dạy học Tích phân lớp 12 THPT đã được nhiều tác giả quan tâm [1; 3]. Tuy nhiên,

việc vận dụng hai nguyên lí cơ bản của phép biện chứng duy vật vào dạy học nội dung này còn ít
kết quả nghiên cứu và chưa được quan tâm và khai thác một cách có hệ thống. Nếu biết vận dụng
hai nguyên lí cơ bản của triết học duy vật biện chứng vào dạy học môn Toán ở trường phổ thông
thì giáo viên có khả năng sáng tạo trong dạy học, nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán.
Bài báo này trình bày sự vận dụng hai nguyên lí cơ bản của triết học duy vật biện chứng vào
dạy học Tích phân - một trong các nội dung quan trọng của chương trình môn Toán lớp 12, THPT.

Liên hệ: Hoàng Ngọc Anh, e-mail:

168


Vận dụng hai nguyên lí cơ bản của triết học duy vật biện chứng vào dạy học Tích phân lớp 12

2.

Nội dung nghiên cứu

2.1.

Sơ lược về hai nguyên lí cơ bản của phép biện chứng duy vật: Nguyên
lí về mối liên hệ phổ biến và nguyên lí về sự phát triển

Nguyên lí về mối liên hệ phổ biến là nguyên tắc lí luận xem xét sự vật, hiện tượng khách
quan tồn tại trong mối liên hệ, ràng buộc lẫn nhau, tác động ảnh hưởng lẫn nhau giữa các sự vật,
hiện tượng hay giữa các mặt của một sự vật, của một hiện tượng trong thế giới [3;24]. “Nguyên lí
này biểu hiện rõ thông qua sáu cặp phạm trù: Cái chung và cái riêng; Bản chất và hiện tượng; Nội
dung và hình thức; Nguyên nhân và kết quả; Khả năng và hiện thực; Tất nhiên và ngẫu nhiên” [4].
Nguyên lí về sự phát triển là nguyên tắc lí luận mà trong trong đó khi xem xét sự vật, hiện
tượng khách quan phải luôn đặt chúng vào quá trình luôn luôn vận động và phát triển (từ thấp đến

cao, từ đơn giản đến phức tạp, từ kém hoàn thiện đến hoàn thiện. . . ). “Nguyên lí này biểu hiện
thông qua ba quy luật đó là: Mâu thuẫn; lượng - chất; phủ định” [4].

2.2.

Vận dụng nguyên lí về mối liên hệ phổ biến trong dạy học Tích phân

Khi hướng dẫn học sinh tính tích phân, ta có thể hướng dẫn các em tìm ra, phát hiện ra mối
liên hệ sau đây:
+ Phát hiện mối liên hệ giữa các dạng toán - giữa dạng toán mới gặp với những dạng toán
đã biết (quy lạ về quen).
Ví dụ 1. Tính các tích phân sau:
2

J=
1

1
dx và K =
x2 (x + 1)2

2

1

1
dx.
x3 (x + 1)3

Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh phát hiện mối liên hệ giữa J, K với tích phân

1
I =
dx và tận dụng mối liên hệ đó.
1 x(x + 1)
1
1
1
Nếu I được tính bằng cách phân tích
= −
thì J, K có thể tính nhờ khai
x(x + 1)
x x+1
triển các hằng đẳng thức sau:
2

1
x2 (x

+ 1)

2

=

1
1
−
x x+1

2

=

1
−2
x2

1
1
−
x x+1

+

1
(x + 1)2

và
1
=
3
x (x + 1)3

1
1
−
x x+1

3

=

1
−3
x3

1
x(x + 1)

1
1
−
x x+1

−

1
(x + 1)3

Từ đó việc tính các tích phân J, K quy về tính các tích phân cơ bản sau:
2

1

1
dx = ln |x| |21 = ln 2;
x

2

1

1
1
1
dx = − |21 = ;
2
x
x
2

2

1

1
3
1
dx = − 2 |21 = .
3
x
2x
8
169


Hoàng Ngọc Anh, Đặng Minh Tuyến

Tương tự:
2

1
2

1
2

1

1
3
dx = ln |x + 1| |21 = ln ;
x+1
2
1
1
1
2
2 dx = − x + 1 |1 = 6 ;
(x + 1)

1
1
5
2
3 dx = −
2 |1 = 72 .
(x + 1)
2(x + 1)

+ Phát hiện mối liên hệ giữa cái chung và cái riêng; giữa bản chất và hiện tượng; giữa nội
dung và hình thức. Với dạng toán tính tích phân, chúng ta thường gặp hàm số f [t(x)]. Trong đó
t(x) là một hàm số bất kì chứa biến số x; t(x) có thể cho dưới nhiều dạng, nhiều hình thức. Mỗi
dạng, mỗi hình thức là một cái riêng, nhưng bản chất việc tính tích phân của chúng vẫn dựa vào
cái chung là nguyên hàm cơ bản của f (t).
Ví dụ 2. Tính tích phân:
e3

I=

dx
x ln x ln(ln x)

e2

Đặt t = ln(ln x) ⇒ dt =

Do đó:

1
dx; Đổi cận x = e2 ⇒ t = ln 2; x = e3 ⇒ t = ln 3
x ln x
ln 3

I=

dt
ln 3
3
= ln t|ln

)
ln 2 = ln(
t
ln 2

ln 2

Ví dụ 3. Tính tích phân:
π
4
I=
0

1 − 2sin2 x
dx
(sin x + cos x)4

Biến đổi:
π
4
0

1 − 2sin2 x
dx =
(sin x + cos x)4

π
4
0

cos2 x − sin2 x
dx =
(sin x + cos x)4

Đặt t = sin x + cos x ⇒ dt = (cos x − sin x)dx
√
π
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = ⇒ t = 2
4
170

π
4
0

cos x − sin x
dx
(sin x + cos x)3


Vận dụng hai nguyên lí cơ bản của triết học duy vật biện chứng vào dạy học Tích phân lớp 12

Ta có:
√

I=
1

2

1
1
dt = − 2
3
t
2t

√

2

=
0

1
.
4
b

1
dt, người ta có thể cho t là một
a t
hàm số của x và tính dt theo dx để được một bài toán mới. Ngược lại, khi tính tích phân, học sinh
phải phát hiện ra hàm số t(x) để quy về tính tích phân cơ bản của biến t.
Trong sách giáo khoa Giải tích 12 ta gặp không ít những bài toán tính tích phân bằng phương
pháp đổi biến số. Về thực chất việc đổi biến, quy về tích phân cơ bản là việc quy cái riêng về cái
chung, gạt bỏ cái hình thức lấy nội dung, tìm ra cái bản chất từ các hiện tượng khác nhau. Chẳng
hạn như, xét nguyên hàm (tích phân không xác định) sin x cos xdx = sin xd(sin x) : Bản chất
của nguyên hàm này là nguyên hàm cơ bản dạng xdx, còn sin x chỉ là hiện tượng, là hình thức,
1

x2 d(x2 ).
là cái riêng. Hình thức đó có thể thay đổi bằng nhiều cách, chẳng hạn x3 dx =
2
Các ví dụ trên cho thấy: với dạng tích phân cơ bản là

ln x
dx =
x

ln xd(ln x),

1
dx =
cos4 x

hoặc

(1 + tan2 x)d(tan x).

Tuy nhiên, ngoài cái chung, những cái riêng lại có những sự khác biệt; ngoài phương pháp
chung, mỗi bài toán đều có thể có những phương pháp riêng.
Ví dụ 4. Tính tích phân:
√

3

√

I=
0

dx
.
3 + x2

Nhân cả tử số và mẫu số của hàm số dưới dấu tích phân với x +
√

I=
0

3

√

dx
√
=
3 + x2

= ln x +

0

3 + x2

3

√

√

x2

x+ 3+
√
√
dx =
(x + 3 + x2 ) 3 + x2
√
3
0

b
a

I=

3 + x2 ta có:

√
d(x + 3 + x2 )
√
x + 3 + x2

√
= ln(1 + 2)

Cách làm này quy tích phân đã cho về dạng cơ bản là
tính các nguyên hàm dạng I =

√
x + x2 + a sẽ được :

0

3

√

1
dt và có thể áp dụng cho việc
t

dx
√
. Ta chỉ việc nhân vào cả tử số và mẫu số một lượng
x2 + a

√
d(x + x2 + a)
√
= ln x +
x + x2 + a

x2 + a + C.
171


Hoàng Ngọc Anh, Đặng Minh Tuyến

√

Tích phân này còn có một cách tính khác là đặt x =
√
3

I=
0

dx
√
=
3 + x2

π
4
0

1
dx =
cos x

π
4
0

3 tan α, khi đó:

1
d(sin x)

1 − sin2 x

π
√
1 + sin x 4
|0 = ln(1 + 2).
= ln
1 − sin x

Với cách dạy học như trên, giáo viên sẽ giúp học sinh có cái nhìn toàn diện hơn về từng bài toán
đặt ra, tránh máy móc, dập khuôn, biết nhìn nhận bài toán ở nhiều góc độ, nhiều khía cạnh khác
nhau, phát huy tính sáng tạo trong giải toán.

2.3.

Vận dụng nguyên lí của sự phát triển trong dạy học tích phân

Ta có thể vận dụng nguyên lí này trong dạy học tích phân như sau:
+ Thay đổi về lượng: Ta có thể thay đổi số mũ của hàm số dưới dấu tích phân hoặc thay đổi
biến x bằng một tổ hợp tuyến tính của x. Chẳng hạn, sau khi giáo viên đã trang bị cho học sinh
nguyên hàm của cos x, giáo viên có thẻ đặt vấn đề tìm nguyên hàm của cos2 x, cos3 x, cos4 x,. . .
và tìm nguyên hàm của cos−1 x, cos−2 x, cos−3 x,. . . Kết quả lần lượt như sau:
cos x.dx = sin x + C;
1
1
1
(1 + cos 2x).dx = (x + sin 2x) + C;
cos2 x.dx =
2
2

2
1
cos3 x.dx = (1 − sin2 x).d(sin x) = sin x − sin3 x + C;
3
1
1
1
2
4
cos x.dx =
(1 + cos 2x) .dx =
[1 + 2 cos 2x + (1 + cos 4x)].dx
4
4
2
1
1
3
sin 4x + C;
= x + sin 2x +
8
4
32
1
1 + sin x
1
+ C;
.dx =
.d(sin x) = ln
cos−1 x.dx =

2
cos x
1 − sin x
1 − sin x
1
cos−2 x.dx =
.dx = tan x + C;
cos2 x
1
1
K = cos−3 x.dx =
.dx =
2 .d(sin x). Đặt sin x = t
3
cos x
(1 − sin2 x)

2
1
1
1
1
dt
=
dt
+
4
1−t 1+t
(1 + t)2 (1 − t)2
1

1
1
1
dt
=
2 +2 1−t + 1+t +
(1 − t)
(1 + t)2
2t
t+1
+ C.
= 2
+ 2 ln
t −1
t−1
Rõ ràng là khi thay đổi só mũ của hàm số cos x ta được những bài toán khác nhau và lới
giải của chúng cơ bản là khác nhau. Điều này phù hợp với quy luật “lượng đổi chất đổi”.
Nếu ta thay biến x bằng một nhị thức bậc nhất của x, ta sẽ được những bài toán tìm các
nguyên hàm khác nhau. Chẳng hạn như:

K=

172


Vận dụng hai nguyên lí cơ bản của triết học duy vật biện chứng vào dạy học Tích phân lớp 12

cos 2x.dx, cos 3x.dx,. . .
π
π

cos(x + ).dx, cos(2x + ).dx,. . .
3
4
Một cách tổng quát: Tìm I = cos(ax + b).dx, với a khác 0.
1
1
Ta có I =
cos(ax + b).d(ax + b) = sin(ax + b) + C
a
a
Có thể xem đây là hướng phát triển bài toán từ chỗ chưa hoàn thiện đến ngày càng hoàn
thiện hơn.
Ta cũng có thể phát triển bài toán bằng cách thay hàm số cos x bằng một nhị thức bậc nhất
của cos x. Chẳng hạn, ta có một số nguyên hàm sau:
1
dx;
1 + sin x

1
dx; ...
2 + sin x

Bằng cách này, giáo viên có thể phát triển, sáng tạo ra nhiều bài toán rèn luyện kĩ năng tìm
nguyên hàm, tính tích phân cho học sinh, đồng thời khuyến khích học sinh cùng “sáng tạo” với
mình.

3.

Kết luận

Trong dạy học môn Toán, nếu giáo viên có cái nhìn “triết học” hơn, có ý thức hơn trong
việc vận dụng hai nguyên lí cơ bản của phép biện chứng duy vật sẽ giúp cho học sinh thấy được
mối liên hệ giữa các dạng toán, thấy được khuynh hướng phát triển của những bài toán. Từ đó hình
thành một phương pháp dạy - học toán vững chắc hơn, sáng tạo hơn và nâng cao được chất lượng
dạy học môn Toán ở trường THPT.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]

Đậu Thế Cấp, Huỳnh Công Thái, 2007. Các kĩ thuật và phương pháp tính Tích phân. Nxb
Đại học Quốc Gia TP. Hồ Chí Minh.

[2]

Nguyễn Bá Kim, 2011. Phương pháp dạy học môn Toán. Nxb ĐHSP Hà Nội.

[3]

Nguyễn Ngọc Long, Nguyễn Hữu Vui, 2007. Giáo trình Triết học Mác - Lê Nin. Nxb Chính
trị Quốc gia.

[4]


ABSTRACT
Implications two basic principles of dialectical materialism philosophy
when teaching integrals to 12th grade students

This paper presents the application of two basic principles of dialectical materialist
philosophy when teaching Integrals to 12th grade students. The two are the principle of the
relationship and the principle of the development. Teachers can use these principles to guide

students in how to think about relationships to find solutions to the problem and create
mathematical problems for integrals.
173