Rèn luyện hoạt động phán đoán cho học sinh trung học phổ thông nhờ sử dụng quan hệ biện chứng giữa cái chung và cái riêng trong dạy học hình học không gian

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE
Educational Science in Mathematics, 2014, Vol. 59, No. 2A, pp. 200-209
This paper is available online at

RÈN LUYỆN HOẠT ĐỘNG PHÁN ĐOÁN CHO HỌC SINH TRUNG HỌC
PHỔ THÔNG NHỜ SỬ DỤNG QUAN HỆ BIỆN CHỨNG GIỮA CÁI CHUNG
VÀ CÁI RIÊNG TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Vũ Đình Chinh
Trường Trung học phổ thông Hà Đông, Hà Nội
Tóm tắt. Trong bài báo này tác giả tập trung nghiên cứu việc đưa ra một số biện pháp rèn
luyện hoạt động phán đoán cho học sinh Trung học phổ thông nhờ sử dụng mối quan hệ
biện chứng giữa cái chung và cái riêng trong dạy học hình học không gian. Từ đó giúp học
sinh định hướng phương pháp giải cho một số bài toán hình học không gian.
Từ khóa: Phán đoán, cái chung, cái riêng, quan hệ biện chứng, hình học không gian.

1.

Mở đầu

Việc giáo viên đưa mối quan hệ biện chứng giữa cái chung và cái riêng vào dạy học hình
học không gian không những giúp học sinh có cái nhìn bao quát và nhiều chiều của một vấn đề,
tìm thấy được mối quan hệ giữa các yếu tố hình học trong không gian 3 chiều mà còn giúp các em
có khả năng phán đoán một số bài toán mới từ một số bài toán quen thuộc mà các em đã học từ
đó trang bị cho các em khả năng định hướng phương pháp giải đối với một số bài toán hình học
không gian.
Trong các kì thi đại học quốc gia hiện nay cho thấy, đa số học sinh vẫn còn lung túng khi
giải các bài toán về hình học không gian, đặc biệt các bài toán liên quan đến tìm khoảng cách giữa
hai đường thẳng chéo nhau hay khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng; lí do là các em chưa định
hướng phương pháp giải một bài toán hình học không gian, chưa có cách nhìn một vấn đề ở nhiều
khía cạnh khác nhau cũng như chưa có khả năng nhìn thấy mối quan hệ của các yếu tố hình học, vì
thế dẫn đến các em gặp trở ngại khi giải loại toán này. Việc rèn luyện hoạt động phán đoán thông

nhờ sử dụng mối quan hệ biện chứng giữa cái chung và cái riêng trong dạy học hình học không
gian nhằm giúp các em tháo gỡ những vấn đề khó khăn ở trên.

2.
2.1.

Nội dung nghiên cứu
Cơ sở lí luận

Cái riêng là phạm trù triết học dùng để chỉ một sự vật, một hiện tượng, một quá trình riêng
lẻ nhất định.
Liên hệ: Vũ Đình Chinh, e-mail:

200


Rèn luyện hoạt động phán đoán cho học sinh THPT nhờ sử dụng quan hệ biện chứng...

Cái chung là phạm trù triết học chỉ những mặt, những thuộc tính, những yếu tố, những quan
hệ,... tồn tại phổ biến ở nhiều sự vật, hiện tượng. Trong mỗi sự vật, ngoài cái chung còn tồn tại cái
đơn nhất, đó là phạm trù triết học dùng để chỉ những mặt, những thuộc tính chỉ tồn tại ở một sự
vật, một hiện tượng nào đó mà không lặp lại ở bất kì sự vật, hiện tượng nào khác.

2.1.1. Mối quan hệ biện chứng giữa cái chung và cái riêng
Phép duy vật biện chứng khẳng định rằng cái chung, cái riêng và cái đơn nhất đều tồn tại
khách quan, giữa chúng có mối quan hệ biện chứng với nhau, được thể hiện ở chỗ:
- Cái chung chỉ tồn tại trong cái riêng, thông qua cái riêng để biểu hiện sự tồn tại của mình,
cái chung không tồn tại độc lập, tách rời với cái riêng; ví dụ: tứ giác là cái chung, hình bình hành
là cái riêng, rõ ràng tứ giác có tính chất gì thì hình bình hành cũng đều có tính chất ấy, hơn thế nữa
hình bình hành còn có một số tính chất khác mà tứ giác không có, chẳng hạn như là 2 cặp cạnh đối

của nó song song và bằng nhau, 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
- Cái riêng chỉ tồn tại trong mối quan hệ với cái chung; không có cái riêng tồn tại độc lập,
tuyệt đối tách rời với cái chung; ví dụ: hình bình hành nằm trong mối quan hệ với tứ giác, đó là loại
tứ giác đặc biệt có các cặp cạnh đối song song và bằng nhau, nó không nằm tách rời với tứ giác.
- Cái riêng là cái toàn bộ, phong phú và đa dạng hơn cái chung; còn cái chung là cái bộ
phận nhưng sâu sắc và bản chất hơn cái riêng. Bởi vì cái riêng là tổng hợp cái chung và cái đơn
nhất, còn cái chung biểu hiện tính phổ biến, tính quy luật của nhiều cái riêng;
- Ngoài ra, nếu xét về phương diện tập hợp các đối tượng (ngoại diên) thì cái riêng lại nằm
trong cái chung, ví dụ: tứ giác là cái chung; hình bình hành, hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi,
. . . là các cái riêng. Tập hợp các cái riêng ta gọi là tứ giác, như vậy xét về phía phương diện ngoại
diên thì cái riêng lại nằm trong cái chung [2;38-39].

2.2.

Rèn luyện hoạt động phán đoán cho học sinh Trung học phổ thông
nhờ sử dụng mối quan hệ biện chứng giữa cái chung và cái riêng
trong dạy học hình học không gian

Giáo viên có thể rèn luyện hoạt động phán đoán cho học sinh dựa vào sử dụng quy trình
xây dựng bài toán nhờ mối quan hệ biện chứng giữa cái chung và cái riêng. Cụ thể:
Bằng phép đặc biệt hóa một bộ phận của cái chung theo các cách khác nhau sẽ cho cái riêng
khác nhau. Nghĩa là tách cái chung ra khỏi cái riêng bằng phép đặc biệt hóa từng bộ phận của cái
chung bằng cách này hay cách khác sẽ cho nhiều cái riêng khác nhau [3;56].
Tìm những cái riêng mà cái riêng này thỏa mãn những tính chất của cái chung đã xác định.

2.2.1. Biện pháp 1. Xây dựng bài toán mới bằng phương pháp tách cái chung ra
khỏi cái riêng; sau đó đem đặc biệt hóa từng bộ phận khác nhau, bằng những
cách khác nhau sẽ cho nhiều cái riêng khác nhau
Bước 1: Tách cái chung ra khỏi cái riêng bằng cách đem đặc biệt hóa từng bộ phận khác
nhau của cái chung để cho cái những cái riêng thỏa mãn tính chất của cái chung đã xác định, bằng

cách này hay cách khác cho ta nhiều cái riêng khác nhau. Chúng ta có thể đặc biệt hóa cái chung
201


Vũ Đình Chinh

theo tính chất hoặc theo mối quan hệ giữa các bộ phận.
Bước 2: Phân tích “cái riêng” thành các bộ phận của nó [3;57]. Với mỗi bộ phận khác nhau
của cái riêng cho tương ứng mỗi giả thiết của bài toán.
Bước 3: Với mỗi giả thiết ở bước 2, ta điều chỉnh chúng thành các bài toán bằng cách nhìn
chúng dưới nhiều khía cạnh khác nhau. Tùy vào điều kiện của mỗi bài toán cụ thể để ta có cách
nhìn chúng một cách phù hợp.
Buớc 4: Bổ sung giả thiết (nếu thiếu) và phát biểu bài toán đã được hoàn chỉnh. Như thế ta
đã phán đoán được một số bài toán từ bài toán gốc.
Bước 5: Mỗi giả thiết có thể đúng hoặc sai vì thế ta phải kiểm tra tính đúng/sai của bài toán
bằng suy luận chứng minh.
Bước 6: Bác bỏ bài toán được phát biểu nếu bước 5 ta phát hiện được điều mâu thuẫn hoặc
dẫn đến chứng minh sai.
Ví dụ minh họa
Bước 1: Tách cái chung ra khỏi cái riêng bằng cách đem cái chung đó đặc biệt
khía cạnh
(M AB) ∩ (ABC) = AB


M N ⊥AB

+ Do M N vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao của tam giác M AB nên M AB là
tam giác cân tại M .

+ M BA = 60◦ được nhìn ở khía cạnh góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60◦ .

1
+ Khoảng cách từ N đến (M AC) được nhìn ở khía cạnh chính là khoảng cách từ điểm
2
B đến (M AC).
Bước 4: Sau khi hoàn chỉnh các giả thiết đã được tách ra thì giả thiết 3 được phát biểu thành
bài toán 3 như sau: (đổi tên gọi một số điểm của giả thiết 3 cho phù hợp điều kiện bài toán mới)
Bài toán 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = 2a,
(SAB) cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC), góc giữa hai mặt phẳng (SBC)
và (ABC) bằng 60◦ (Hình 9).
a. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a;
b. Tính khoảng cách từ điểm B đến (SAC).

Hình 9.

Hình 10.

Bước 5: Chứng minh để khẳng định tính đúng đắn của bài toán đưa ra.
Gọi M là trung điểm của AB.
206


Rèn luyện hoạt động phán đoán cho học sinh THPT nhờ sử dụng quan hệ biện chứng...



(SAB)⊥(ABC)
+ (SAB) ∩ (ABC) = AB
nên SM ⊥(ABC)



SM ⊥AB (do SA = SB)


 (SBC) ∩ (ABC) = BC
nên SBA = 600
+
(SAB)⊥BC


(SAB) ∩ (ABC) = AB; (SAB) ∩ (SBC) = SB
√
1
1
+ VS.ABC = SABC .SM với SABC = AB 2 = 2a2 ; SM = M B. tan 600 = a 3
3
2
√
2a3 3
Vậy, VS.ABC =
(đvtt).
3
Theo bước 3 để xác định d(B, (SAC))ta dựa vào: d(B, (SAC)) = 2.d(M, (SAC)).
Tìm d(M, (SAC)): Gọi P là trung điểm của AN . Ta có M P//BN và BN ⊥AC nên
(SM P )⊥(SAC)
(Hình 10) nên ta dựng M H vuông góc với SP .
M P ⊥AC. Do
(SM P ) ∩ (SAC) = SP
Vậy, M H là khoảng cách từ M đến (SAC). Ta có thể tính M H dễ dàng. Từ đó suy ra khoảng
cách từ B đến (SAC) (Hình 10).
Tương tự như thế GV có thể luyện tâp cho học sinh của mình các hoạt động phán đoán để

xây dựng nhiều bài toán mới theo quy trình như trên, chẳng hạn đặc biệt hóa hình hộp theo cách
khác như sau:
Cho hình hộp đứng ABCD.EF GH có đáy là hình thoi cạnh bằng 2a, và các góc
ABC = 600 ; EBA = 300 .
a. Tính thể tích khối hộp ABCD.EF GH;
b. Xác định và tính khoảng cách: Từ điểm A đến (EP Q) hoặc từ điểm A đến (ECD).

2.2.2. Biện pháp 2. Dự đoán bài toán mới bằng cách tìm cái chung, cái tổng quát đi
từ khảo sát những trường hợp riêng
Cái chung nằm trong cái riêng, vì thế những tính chất điển hình của cái riêng thì cái chung
đều có; cái riêng không tách rời với cái chung; mà cái riêng tồn tại trong mối quan hệ với cái
chung.
Bước 1: Lựa chọn những trường hợp riêng điển hình.
Bước 2: Tìm mối liên hệ giữa các yếu tố thành phần [2;40].
Bước 3: Tìm cái chung, cái tổng quát dựa vào mối quan hệ tìm được ở bước 2.
Bước 4: Phát biểu bài toán mới (cái chung vừa tìm được).
Bước 5: Chứng minh bài toán được phát hiện để kiểm chứng tính đúng/ sai.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1:
Bước 1: Lựa chọn bài toán, là cái riêng điển hình: Cho tứ diện đều ABCD, gọi M, N, P
lần lượt là trung điểm của CD, BC, BD.
207


Vũ Đình Chinh

Bước 2: Tìm liên hệ giữa các yếu tố thành phần:

Hình 11.

Hình 12.

Ta có: G1 G2 //AB; G1 G3 //AD; G1 G4 //AC
G1 G2
M G1 G1 G3
N G1 G1 G4
P G1
và
=
;
=
;
=
với G1, G2, G3, G4 lần lượt là trọng
AB
M B AD
N D AC
PC
tâm của các mặt (BCD), (ACD), (ABC), (ABD). Suy ra:
SG1 CD G1 G3
SG1 BD G1 G4
SG1 BD G1 G2 G1 G3 G1 G4
G1 G2
=
;
=
;
=
;
+

+
=1
AB
SBCD AD
SBCD AC
SBCD AB
AD
AC
Bước 3: Tìm cái chung, cái tổng quát dựa vào mối quan hệ được tìm thấy ở bước 2 được thể
hiện ở bảng sau đây:

Cái riêng được chọn
Tứ diện đều ABCD

Tứ diện ABCD

G1 là trọng tâm của (BCD)

O là điểm bất kì trong (BCD)

G1 G2 //AB; G1 G3 //AD; G1 G4 //AC

Từ O dựng các đường thẳng song song
với AB, AD và AC cắt các mặt (ACD),
(ABC), (ABD) lần lượt tại A′ , B ′ , C ′ .

SG1 CD G1 G3
SG1 BD
G1 G2
=

=
;
;
AB
SBCD AD
SBCD
G1 G4
SG1 BD
=
AC
SBCD

SOCD OB ′
SOBC
OA′
=
;
=
;
AB
SBCD AD
SBCD
OC ′
SOBD
=
AC
SBCD

G1 G2 G1 G3 G1 G4
+

+
=1
AB
AD
AC

OA′ OB ′ OC ′
+
+
=1
AB
AD
AC

Bước 4: Phát biểu bài toán được tìm thấy:
208

Cái chung được tìm thấy nhờ nó cũng có
các tính chất điển hình của cái riêng


Rèn luyện hoạt động phán đoán cho học sinh THPT nhờ sử dụng quan hệ biện chứng...

Cho tứ diện ABCD, lấy điểm O bất kì trong (BCD), từ O dựng các đường thẳng song
song với AB, AD, AC cắt (ACD), (ABC), (ABD) lần lượt tại A′ , B ′ , C ′ .
SOCD OB ′
SOBC OC ′
SOBD
OA′
=

;
=
;
=
a. CMR:
AB
SBCD AD
SBCD AC
SBCD
OA′ OB ′ OC ′
b. CMR:
+
+
= 1. Hình 12
AB
AD
AC
Bước 5: Chứng minh để kiểm chứng tính đúng/sai của bài toán.
- Trong (BCD) kéo dài BO cắt CD tại I. Trong (IAB) kẻ đường thẳng đi qua O và song
song với AB cắt AI tại A′ là giao điểm cần tìm. Tương tự ta cũng có B ′ , C ′ .
1
OH.CD
OA′
SOCD
IO
OH
- Ta có:
=
=
=

= 2
với H, K là các chân đường cao kẻ
1
AB
IB
BK
SBCD
BK.CD
2
từ O và B đến cạnh CD.
SOBC OC ′
SOBD
OB ′
=
;
=
- Tương tự ta cũng có:
AD
SBCD AC
SBCD
SOCD
SOBC
SOBD
SBCD
OA′ OB ′ OC ′
+
+
=
+
+

=
=1
- Suy ra,
AB
AD
AC
SBCD
SBCD
SBCD
SBCD

3.

Kết luận

Việc giáo viên rèn luyện hoạt động phán đoán nhờ sử dụng mối quan hệ biện chứng giữa
cái chung và cái riêng đã giúp học sinh có cái nhìn sâu sắc hơn về hình học không gian, trang bị
cho các em khả năng nhìn các vấn đề của một bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau, từ đó các em
thấy được mối liên hệ giữa của các các yếu tố hình học.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[2] G.Polia, 2010. Toán học và những suy luận có lí. Nxb Giáo dục Việt Nam.
[3] Đào Tam (Chủ biên), Trần Trung, 2010. Tổ chức hoạt động nhận thức trong dạy học môn
Toán ở trường trung học phổ thông, Nxb Đại học Sư phạm, HN.
[4] Nguyễn Cảnh Toàn, 1997. Phương pháp luận duy vật biện chứng với việc học, dạy và nghiên
cứu toán, Tập I, II. Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội.
ABSTRACT
Fostering conjectures for students by a dialectic relationship between the general
and the particular in the high school geometry classroom
In this paper, the author looks at the practice of conjecture activities for high school students
by dialectic relationship between the general and the particular in spatial geometry teaching. From

this students can orient to solve problems in spatial geometry.

209