Chuyên đề được sử dụng để bồi dưỡng học sinh lớp 12 ôn thi đại học

PHÂN DẠNG BÀI TẬP SÓNG DỪNG

Đối tượng: Chuyên đề được sử dụng để bồi dưỡng học sinh lớp 12 ôn thi đại học.
Dự kiến thời gian bỗi dưỡng: 4 tiết
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong quá trình bồi dưỡng ôn thi đại học, tôi nhận thấy dạng bài tập sóng dừng bài tập
thường gặp nhưng lại gây ra nhiều khó khăn, lúng túng cho học sinh. Nhiều học sinh chỉ nhớ
công thức, nhớ dạng bài một cách máy móc, do đó chỉ làm được các bài tập quen thuộc (thậm
chí không làm được). Cách bài tập sóng dừng rất phong phú và có nhiều bài tập khiến cho học
sinh vô cùng khó khăn cho học sinh.
Vì vậy, việc tìm ra một hướng giải chung cho nhiều bài tập với nhiều tình huống khác nhau từ
đó giúp học sinh định hướng cách giải cho từng bài cụ thể là rất cần thiết.
PHẦN II: HỆ THỐNG KIẾN THỨC SỬ DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀ
1.Định nghĩa
Sóng dừng là sóng truyền trên sợi dây trong trường hợp xuất hiện các nút và các bụng .
2. Nguyên nhân
Do sự giao thoa giữa sóng tới và sóng phản xạ
(thoả mãn 2 sóng kết hợp)
Tại một điểm trên dây có hai sóng do hai nguồn sóng (sóng tới và sóng phản xạ) gửi đến:
- Nếu hai sóng cùng pha chúng tăng cường nhau tạo nên điểm dao động với biên độ cực đại gọi
là bụng sóng.
- Nếu hai sóng ngược pha nhau cùng triệt tiêu nhau tạo nên điểm không dao động gọi là nút
sóng.
3. Điều kiện để có sóng dừng trên sợi dây dài l (AB=l)
a) Khi vật cản cố định (hai đầu dây AB cố định: Sóng tới và sóng phản xạ tại điểm cố định
ngược pha nhau)
+ A, B đều là nút sóng.
+ AB = kλ/2.
+ Số bó = số bụng sóng = k.
+ Số nút = k+1.


-Muốn có sóng dừng mà hai nút ở hai đầu thì chiều dài dây phải bằng số nguyên lần 2 :

lk


(k  1, 2,3, 4,5...)
2

-Hình ảnh của sóng dừng trên dây có hai đầu cố định như sau:

1


Nhận xét:

+ Tần số thấp nhất để trên dây xảy ra hiện tượng sóng dừng là:

f min 

v
2l

+ Nếu gọi f1, f2 là hai tần số liên tiếp để trên dây xảy ra hiện tượng sóng dừng thì:
fmin = |f1 - f2|
+ Hai điểm trên cùng một bó sóng luôn dao động cùng pha (trừ 2 nút sóng)
+ Xét hai bó sóng kề nhau: Hai điểm ở hai bên của nút sóng luôn dao động ngược pha (trừ 2 nút
sóng)
Sau đây là hình ảnh minh họa

b) Khi vật cản tự do (dây có đầu A cố định, đầu B dao động)

+ A là nút sóng, B là bụng sóng (tại B sóng tới và sóng phản xạ cùng pha nhau)
A
+ AB = (2k+1)λ/4.
+ Số bó nguyên = k.
+ Số nút sóng = số bụng sóng = k+1.
- Muốn có sóng dừng mà một đầu là nút, một đầu là bụng thì chiều dài sợi dây bằng một số bán
nguyên lần nửa bước sóng.
1 
l  ( k  ) ( k  1, 2,3...)
2 2

- Hay:


l  (2k  1)
( k �N )
4

với k là số bó sóng

2


Nhận xét:
Số bó (bụng) sóng nguyên = k; Số bụng sóng = số nút sóng = k + 1

Tần số thấp nhất để trên dây xảy ra hiện tượng sóng dừng là :

f min 

v
4l

Gọi f1, f2 là hai tần số liên tiếp để trên dây xảy ra hiện tượng sóng dừng thì :
f min 

f1  f 2
2

c) Khi hai đầu đều là bụng sóng(giao thoa trong ống sáo)
+ A, B đều là bụng sóng.
+ AB = kλ/2.
4. Đặc điểm của sóng dừng
- Khoảng cách giữa hai nút hoặc hai bụng liên tiếp bằng một nửa bước sóng.
- Khoảng cách giữa một bụng hoặc một nút liên tiếp bằng một phần tư bước sóng.

-Khoảng cách giữa hai nút sóng (hoặc hai bụng sóng) bất kỳ là: k 2 .

- Khoảng cách giữa một nút và một bụng bất kì là: (2k+1) 2
*Chú ý:Trong sóng dừng bề rộng của một bụng là : 2.aN=2.2a=4a .
bụng
P

Q

nút

B

B

B

B

B

B

B

B

5.Trường hợp sóng dừng trong ống:

Một đầu bịt kín → ¼ bước sóng

Hai đầu bịt kín → 1 bước sóng
3

Hai đầu hở → ½ bước sóng


5. Phương trình sóng dừng trên sợi dây (đầu A cố định hoặc dao động nhỏ là nút sóng)
Phương trình sóng tại nguồn A: u A  Acos2 ft
Đầu B cố định (nút sóng).

2 l
)
 và

u AB  Acos(2 ft 

Phương trình sóng do nguồn A gửi đến B và sóng phản xạ tại B:
2 l
2 l
u 'B   Acos(2 ft 
)  Acos(2 ft 
 )


Phương trình sóng tới và sóng phản xạ tại M cách B một khoảng d là:
l d
2 l
d
u AM  Acos(2 ft  2
)
uBM  Acos(2 ft 
 2   )
 và



Phương trình sóng dừng tại M: uM  u AM  u BM
d 
2 l 
d
2 l 
uM  2 Acos(2  )cos(2 ft 
 )  2 Asin(2 )cos(2 ft 

 )
 2

2


2
d 
d
AM  2 A cos( 2  )  2 A sin(2 )
 2

Biên độ dao động của phần tử tại M:
Lưu ý: * Với x là khoảng cách từ M đến đầu nút sóng thì biên độ:
* Với x là khoảng cách từ M đến đầu bụng sóng thì biên độ:
PHẦN III: PHÂN LOẠI BÀI TẬP SÓNG DỪNG
Dạng 1:Xác định các đại lượng đăc trưng của sóng dừng
B1: Tóm tắt đề

AM  2 A sin(2

x
)


AM  2 A cos(2

x
)


Đề cho gì?, hỏi gì? Và đổi các đơn vị sang các đơn vị hợp pháp
B2: Xác lập mối quan hệ giữa các đại lượng cho và đại lượng tìm thông qua các công thức:

( k �N * )
2
* Hai đầu là nút sóng:
Số bụng sóng = số bó sóng = k ; Số nút sóng = k + 1
lk

l  (2k  1)

* Một đầu là nút sóng còn một đầu là bụng sóng:
Số bó sóng nguyên = k; Số bụng sóng = số nút sóng = k + 1



(k �N )
4

Tốc độ truyền sóng: v = f = T .
B3: Suy ra biểu thức xác định đại lượng tìm theo các đại lượng cho và các dữ kiện.
B4: Thực hiện tính toán để xác định giá trị đại lượng tìm và lựa chọn câu trả lời đúng

4


Ví dụ 1: Một dây cao su căng ngang, một đầu gắn cố định ,đầu kia gắn vào một âm thoa dao
động với tần số f = 40Hz. Trên dây hình thành một sóng dừng có 7 nút (không kể hai đầu), biết
dây dài 1m.

a. Tính vận tốc truyền sóng trên dây?
b. Thay đổi f của âm thoa là f’. Lúc này trên dây chỉ còn 3 nút (không kể hai đầu). Tính f’?
Hướng dẫn
Đầu B cố định thì B là nút sóng, đầu A gắn với âm thoa thì A cũng là nút sóng .

l 100
8  AB  l �   
 25cm
4
4
Theo đề bài, kể cả hai đầu có 9 nút : tức là có 2
.
v


f

25.40

1000
cm
/
s
1. Vận tốc truyền sóng trên dây là:
.
2. Do thay đổ tần số nên trên dây chỉ còn 3 nút không kể hai đầu. Vậy kể cả hai đầu có 5 nút, ta

l
v 1000
4  l �    100 / 2  50cm � v   f ' � f '  

 20 Hz
2

50
có : 2
.
f1 k1

f
k2
2
Với sóng dừng trên dây có chiều dài l, hai đầu cố định (hoặc hai đầu tự do) thì:
f1 2k1  1

f
2k 2  1
2
Với sóng dừng trên dây có chiều dài l, một đầu cố định một đầu tự do:

Ví dụ 2: Một sợi dây dài AB = 60 cm, phát ra một âm có tần số 100Hz. Quan sát dây đàn thấy
có 3 nút và 2 bụng sóng (kể cả nút ở hai đầu dây).
a. Tính bước sóng và vận tốc truyền sóng trên dây AB ?
b. Biết biên độ dao động tại các bụng sóng là 5mm.Tính vận tốc cực đại của điểm bụng ?
c. Tìm biên độ dao động tại hai điểm M và N lần lượt cách A một đoạn 30cm và 45cm ?
Hướng dẫn:
AB 

2.
 60
2

=> λ = 60 cm => v = 60 m/s.

a. Trên dây có 3 bụng và 2 nút =>
b. Biên độ dao động tại các bụng là: A = 5mm=0,005m
Vận tốc cực đại của các điểm bụng là :v = . A  2 f . A  3,14m / s .
max

c. Biên độ dao động tại M cách A 30 cm :
Ta có: AM = 30cm =  / 2. Do A là nút sóng nên M cũng là nút sóng nên biên độ bằng 0.
Biên độ sóng tại N cách A 45cm:
Ta có: NA=45cm=  / 2   / 4 . Do A là nút sóng nên N là bụng sóng. Biên độ của N
bằng 5mm. N có biên độ cực đại.
Ví dụ 3: Cột không khí trong ống thuỷ tinh có độ cao l, có thể thay đổi được nhờ điều chỉnh
mực nước ở trong ống. Đặt một âm thoa trên miệng ống thuỷ tinh đó, khi âm thoa dao động nó
phát ra một âm cơ bản, ta thấy trong cột không khí có một sóng dừng ổn định.
1. Khi độ cao thích hợp của cột không khí có trị số nhỏ nhất l 0=12cm người ta nghe thấy âm to
nhất. Tính tần số âm do âm thoa phát ra? Biết đầu A hở của cột không khí là một bụng sóng, còn
đầu kín là nút sóng.
5


2. Thay đổi (tăng độ cao cột không khí) bằng cách hạ mực nước trong ống. Ta thấy khi nó bằng
60cm (l=60cm) thì âm lại phát ra to nhất. Tính số bụng trong cột không khí? Cho biết tốc độ
truyền âm trong không khí là 340m/s.
Hướng dẫn
Sóng âm được phát ra từ âm thoa truyền dọc theo trục của ống đến mặt nước bị phản xạ trở lại.
Sóng tới và sóng phản xạ là hai sóng kết hợp do vậy tạo thành sóng dừng trong cột không khí.
Vì B là cố định nên B là nút, còn miệng A có thể là bụng có thể là nút tuỳ thuộc vào chiều dài
của cột không khí.
+ Nếu A là bụng sóng thì âm phát ra nghe to nhất

+ Nếu A là nút sóng thì âm nhỏ nhất .
1. Khi nghe được âm to nhất ứng với chiều dài ngắn nhất l0= 12cm thì A là bụng sóng và B là

 l0 �   4l0  4.12  48cm.
một nút sóng gần A nhất. Vì vậy, ta có: 4
f 

v
340

 710 Hz
 48.102
.

Tần số dao động của âm thoa :
2. Tìm số bụng
Khi l=60cm, lại thấy âm to nhất tức là lại có sóng dừng với B là nút, A là bụng. Gọi k là số bụng
sóng có trong cột không khí (khoảng AB) không kể bụng A, lúc này ta có
 
l  k  � l  24k  12 � k  48 /12  4
2 4
. Như vậy trong phần giữa AB có 4 bụng sóng .
Ví dụ 4: Một sợi dây dài l = 1,2 m có sóng dừng với 2 tần số liên tiếp là 40 Hz và 60 Hz. Xác
định tốc độ truyền sóng trên dây?
Hướng dẫn
 Nếu sợi dây có một đầu cố định một đầu tự do ta có: l = (2n+1)λ/4 = (2n+1)v/4f
Suy ra:
f1 = (2n1+1)v/4.l (1) ( với n1 nguyên dương)
Tương tự có: f2 = (2n2+1)v/4.l (2)
Lấy (2) chia (1) ta được : f2 / f1 = (2n2+1)/ (2n1+1)

vì có sóng dừng với hai tần số liên tiếp nên: n2 = n1+ 1
60 2n1  3

40
2n1  1 giải phương trình ta có n = 3/2 ( loại)
Suy ra:
1

 Nếu sợi dây có hai đầu cố định ta có: l = n λ/2 = n.v/2f
Suy ra
f1 = n1 v/2.l
(3) hay v =2.lf1/ n1 (3’)
Tương tự có:
f2 = n2 v/2.l
(4) lấy (4) chia (3 ) ta được: f2 / f1 = n2/ n1
Vì có sóng dừng với hai tần số liên tiếp nên: n2 = n1+ 1) ta có: f2 / f1 = ( n1+ 1)/ n1
thay số ta được: ( n1+ 1)/ n1 = 3/2. giải phương trình: n1= 2 thay vào (3’)ta có: v = 2. 1,2.40/ 2 =
48 m/s.
Dạng 2: Khoảng cách giữa hai điểm – chiều dài dây
+ Hai điểm trên cùng một bó sóng luôn dao động cùng pha (trừ 2 nút sóng)
6


+ Xét hai bó sóng kề nhau: Hai điểm ở hai bên của nút sóng luôn dao động ngược pha (trừ 2 nút
sóng)
Độ lệch pha giữa hai điểm trên sóng dừng

2x

+ Độ lệch pha giữa M, N xác định theo công thức:

+ Sử dụng đường tròn lượng giác như hình bên ta xác định được khoảng cách giữa hai điểm có
biên độ nhất định.
 

A(cm)
M1

A/2

M
λ/12

-qo

N

t

M2

+ Đối với một bó sóng: Hai điểm dao động cùng pha và có các khoảng cách
- Điểm N có biên độ bằng nửa biên độ của bụng sóng:
O -> N: ON = λ/12
N -> M: OM = λ/6
A(cm)
M1

λ/6

O

λ/12N

A/2

-qo

M

t

M2

2
- Điểm N có biên độ bằng 2 biên độ của

A(cm)
M1

bụng sóng:


Khoảng cách từ O -> N: 8

Khoảng cách từ N - > M: 8

O

λ/8
λ/8N

M

-qo
M2

7

2
A
2
t


3
- Điểm N có biên độ bằng 2 biên độ của bụng sóng


Khoảng cách từ O -> N: 6

Khoảng cách từ N -> M: 12

A(cm)
M1

O λ/6 λ/12
N
M

3

A
2

-qo

t

M2

+ Đối với hai bó sóng liền kề: Các điểm dao động ngược pha nhau
Ví dụ 1: Một sợi dây đàn hồi AB có chiều dài 90 cm hai đầu dây cố định. Khi được kích thích
dao động, trên dây hình thành sóng dừng với 6 bó sóng và biên độ tại bụng là 2cm.
a. Tại M gần nguồn phát sóng tới A nhất có biên độ dao động là 1cm. Tính khoảng cách MA?
b. Tại M gần nguồn phát sóng tới A nhất có biên độ dao động là

2 cm. Tính khoảng cách MA?

b. Tại M gần nguồn phát sóng tới A nhất có biên độ dao động là

3 cm. Tính khoảng cách MA?

Hướng dẫn
Có 6 λ/2 = 90 Suy ra λ = 30cm.
Tại A cố định => A là nút sóng.
a. Điểm M có biên độ bằng nửa biên độ của
bụng sóng.
Sử dụng đường tròn lượng giác:
 

2 d 



6

A(cm)
M1

A

λ/6

λ/12M

Khoảng cách giữa AM:
 30

A/2

-qo

t

M2



d = 12 12 = 2,5 cm.
b. Điểm M gần nguồn phát sóng tới A nhất

A(cm)

có biên độ dao động là 2 cm:
Sử dụng đường tròn lượng giác :

M1

A

λ/8 M

λ/8

-qo

8
M2

2
A
2
t


 



4 -> AM = 8 = 3,75 cm.

c. Điểm M gần nguồn phát sóng tới A nhất có biên độ dao động là 3 cm.

Sử dụng đường tròn lượng giác:


 
3 -> AM = 6 = 5 cm.

M1

A λ/6 λ/12
M

A(cm)

3
A
2

-qo

t

M2

Ví dụ 2: Một sợi dây đàn hồi OM = 90 cm có hai đầu cố định. Khi được kích thích thì trên dây
có sóng dừng với 3 bó sóng. Biên độ tại bụng sóng P là 4 cm.
a. Tại điểm N trên dây gần P nhất có biên độ dao động là 2 cm. Tính khoảng cách PN ?
b. Tại điểm Q trên dây gần P nhất có biên độ dao động là 2 2 cm. Tính khoảng cách PQ ?
c. Tại điểm K trên dây gần P nhất có biên độ dao động là 2 3 cm. Tính khoảng cách PK ?
Hướng dẫn
Có 3λ/2 = 90 Suy ra λ = 60cm.

A(cm)
Tại O cố định => O là nút sóng.
a. Điểm N có biên độ bằng nửa biên độ của
M1
bụng sóng.
A/2
Sử dụng đường tròn lượng giác:
λ/6
A
2 d 
-qo
 

t
P
N

3
Khoảng cách giữa NP:


d = 6 = 10 cm.

λ/12

M2

A(cm)

b. Điểm M gần nguồn phát sóng tới A nhất

có biên độ dao động là 2 cm:
Sử dụng đường tròn lượng giác :

M1

A
9

λ/8
Q P
λ/8

-qo
M2

2
A
2
t


 



4 -> AM = 8 = 7,5 cm.

c. Điểm K gần nguồn phát sóng tới A nhất có biên độ dao động là 3 cm.
Sử dụng đường tròn lượng giác:



 
6 -> AM = 12 = 5 cm.

M1

A λ/6 λ/12
K P

A(cm)

3
A
2

-qo

t

M2

Ví dụ 3. Một sợi dây đàn hồi căng ngang, đang có dóng dừng ổn định. Trên dây A là một nút, B
là điểm bụng gần A nhất, AB = 14 cm. C là một điểm trên dây trong khoảng AB có biên độ bằng
một nửa biên độ của B. Tính khoảng cách AC ?
Hướng dẫn

 = 4.AB = 46 cm
Dùng liên hệ giữa ĐĐĐH và chuyển động tròn đều

A

30
�
AC = 360
= 14/3 cm

C

B C

O

A

-A

Ví dụ 4: Một sợi dây AB đàn hồi căng ngang dài l = 120cm, hai đầu cố định đang có sóng dừng
ổn định. Bề rộng của bụng sóng là 4a. Xác định bước sóng trong các trường hợp sau:
10


a. Khoảng cách gần nhất giữa hai điểm dao động cùng pha có cùng biên độ bằng a là 20 cm.
b. Khoảng cách gần nhất giữa hai điểm dao động ngược pha có cùng biên độ bằng a là 20 cm.
a. Khoảng cách gần nhất giữa hai điểm dao động cùng pha có cùng biên độ bằng a là 20 2 cm.
Hướng dẫn

Trước hết hiểu độ rộng của bụng sóng bằng hai lần độ lớn của biên độ bụng sóng => biên độ của
bụng sóng là A = 2a.
A(cm)
a. Hai điểm dao động cùng pha -> hai điểm nằm trên

cùng bó sóng. Để hai điểm có cùng biên độ thì hai
M1
điểm phải nằm đối xứng nhau qua bụng sóng.
A/2
Sử dụng đường tròn lượng giác ta tính được khoảng
cách giữa hai điểm gần nhau nhất dao động cùng pha
-qo
t
2
 
3
có biên độ a là
M2
5  
x  
 20  60cm
12 12 3
b. Hai điểm dao động ngược
A(cm)
pha và có cùng biên độ => hai
điểm nằm đối xứng nhau qua
M1
A/2
nút sóng.
Sử dụng đường tròn lượng giác
-qo



 

x 
3 =>
6 => λ = 120

t

M2

cm.
c. Hai điểm dao động cùng pha -> hai điểm nằm trên cùng bó sóng. Để hai điểm có cùng biên độ
thì hai điểm phải nằm đối xứng nhau qua bụng sóng.
Sử dụng đường tròn lượng giác ta tính được khoảng cách giữa hai điểm gần nhau nhất dao động

 


2

cùng pha có biên độ a là

x   20 2    80 2
4
=>
cm.

A(cm)
M1

-qo
11

M2

2
t


Dạng 3-Xác định số nút - số bụng
Phương pháp:
Sóng truyền trên dây AB:
Đầu A dao động điều hòa => A là nút sóng.
Đầu B cố định => B là nút sóng.
Đầu B tự do => B là bụng sóng.

AB

2 từ đó xác định được số bụng và nút sóng.
Lập tỉ số:
Ví dụ 1: Dây AB=40 cm căng ngang, 2 đầu cố định, khi có sóng dừng thì tại M là bụng thứ 4
(kể từ B), biết BM = 14cm. Tính số bụng trên dây AB?
Hướng dẫn
Ta có: Điểm B cố định => B là nút.
N

BM 

3 1
  14 cm
2
4

  = 8 (cm)

M là bụng thứ tư nên:
AB 2AB 2.40
N


 10


8
2
 Ta có:
.

Số bụng sóng trên dây là: 10 bụng
Ví dụ 2: Một sợi dây AB dài 57 cm treo lơ lửng, đầu A gắn vào một nhánh âm thoa thẳng đứng
có tần số 50 Hz. Khi có sóng dừng, người ta thấy khoảng cách từ B đến nút thứ 4 là 21 cm.
a. Tính bước sóng và tốc độ truyền sóng ?
b. Tính số nút và số bụng trên dây?
Hướng dẫn
a. Tính bước sóng
B treo lơ lửng => B là bụng sóng.
12


Khoảng cách từ B đến nút thứ 4:

B

 
x  3   21    12cm
2 4

Tốc độ truyền sóng trên dây:
v = λf = 60 cm/s.
b. Số nút và số bụng:
AB
N
 9,5


2

=> Có 10 nút và 10 bụng.
Ví dụ 3. Trên một sợi dây đàn hồi AB dài 25cm đang có sóng dừng, người ta thấy có 6 điểm nút
kể cả hai đầu A và B. Hỏi có bao nhiêu điểm trên dây dao động cùng biên độ, cùng pha với điểm
M cách A 1cm?
Hướng dẫn

Dễ thấy trên dây có 5 bó sóng mà độ dài một bó sóng bằng ½ bước sóng =5 cm.
Trong mỗi bó sóng luôn có 2 điểm cùng biên độ, 2 điểm này đối xứng nhau qua điểm bụng.
Do đó trên dây có 10 điểm cùng biên độ với M(kể cả M).
Mặt khác: 2 điểm đối xứng nhau qua nút thì dao động ngược pha, 2 điểm đối xứng nhau qua
điểm bụng dao động cùng pha. Từ đó suy ra được số điểm dao động cùng biên độ, cùng pha với
M (kể cả M)là 6. Nếu trừ điểm M đi thì trên dây còn 5 điểm thoả mãn.
Ví dụ 4. Sóng dừng tạo trên một sợi dây đàn hồi có chiều dài l với hai đầu tự do. Người ta thấy
trên dây có những điểm dao động cách nhau l1 =l/16 thì dao động với biên độ a1 người ta lại thấy
những điểm cứ cách nhau một khoảng l2 thì các điểm đó có cùng biên độ a2 (a2 > a1). Tính số
điểm bụng trên dây?

Hướng dẫn
Các điểm cách đều nhau l1 và l2 đều dao động nên các điểm này không phải là các điểm nút



l
a1 < a2 => l1 = 4

và l2 = 2 => l1 = 4 = 16 => l = 4 Vì hai đầu dây tự do nên
13


=> Số điểm bụng trên dây là: là 4x2 +1 = 9 Chọn A
Dạng 4: Xác định vận tốc, ly độ, biên độ dao đông điều hòa trong sóng dừng.
B1: Tóm tắt đề: Đề cho gì?, hỏi gì? Và đổi các đơn vị sang các đơn vị hợp pháp
B2 : Xác lập mối quan hệ giữa các đại lượng cho và đại lượng tìm thông qua các công thức:
+ Phương trình sóng dừng trên sợi dây (đầu P cố định hoặc dao động nhỏ là nút sóng)
* Đầu B cố định (nút sóng):
Phương trình sóng tại A:

u A  A cos t

Phương trình sóng tới và sóng phản xạ tại :

u AB  A cos(t 

uB  A cos(t 

2 l
2 l

)  uBA   A cos(t 
)



2 l
)


Tại B đóng vai trò nguồn sóng với:
Phương trình sóng tới và sóng phản xạ tại M cách Q một khoảng d là:
2 l
2 d
2 (l  d )
uBM  A cos(t 
 
)
u AM  A cos(t 
)



và

u u

u

AM
BM

Phương trình sóng dừng tại M: M
2 d 
2 l 
uM  2 A cos( 
 ) cos( t 
 )

2

2
2 d
2 l 
uM  2 A sin
cos( t 
 )


2
Hay

Biên độ dao động của phần tử tại M:
* Đầu Q tự do (bụng sóng):
Phương trình sóng tại A:

AM  2 A sin

2 d


u A  A cos t

Phương trình sóng tới và sóng phản xạ tại :

u AB  A cos(t 

uB  A cos(t 

2 l
)


2 l
2 l
)  u BA  A cos(t 
)



Tại B đóng vai trò nguồn sóng với:
Phương trình sóng tới và sóng phản xạ tại M cách Q một khoảng d là:
2 l 2 d
2 (l  d )
uBM  A cos(t 

)
u AM  A cos(t 
)




và
Phương trình sóng dừng tại M:

uM  u AM  uBM

14


uM  2 A cos(

2 d
2 l
) cos( t 
)


AM  2 A cos

2 d


Biên độ dao động của phần tử tại M:
* Công thức tính biên độ dao động của 1 phần tử tại P cách 1 nút sóng đoạn d:
AP  2 A | sin(2

d
)|


Lưu ý: * Với x là khoảng cách từ M đến đầu nút sóng thì biên độ:

* Với x là khoảng cách từ M đến đầu bụng sóng thì biên độ:


AM  2 A sin(2

x
)


AM  2 A cos(2

x
)


* Tốc độ truyền sóng: v = f = T .
B3: Suy ra biểu thức xác định đại lượng tìm theo các đại lượng cho và các dữ kiện.
B4: Thực hiện tính toán để xác định giá trị đại lượng tìm và lựa chọn câu trả lời đúng.
Ví dụ 1: Sóng dừng trên sơi dây OB = 120 cm, 2 đầu cố định, ta thấy trên dây có 4 bó và biên
độ dao động của bụng là 1cm.Tính biên độ dao động tại điểm M cách O là 65 cm?
Hướng dẫn
OB
Bước sóng  = 2 = 60 cm

M

O

B

Phương trình sóng dừng tại M cách nút O một khoảng d là:


a = 0,5 cm, OM = d = 65 cm = 12
Biên độ dao động tại M : aM = 0,5 cm.
Ví dụ 2: Một sóng cơ lan truyền trên một sợi dây rất dài với biên độ không đổi, ba điểm A, B và
C nằm trên sợi dây sao cho B là trung điểm của AC. Tại thời điểm t1, li độ của ba phần tử A, B,
C lần lượt là – 4,8mm; 0mm; 4,8mm. Nếu tại thời điểm t2, li độ của A và C đều bằng +5,5mm.
Xác định li độ của phần tử tại B?
Hướng dẫn
Tại t1: ta có B ở VTCB và là trung điểm của AC

C2
+4,8

-4,8

α +5,5

Tại t2: uA = uC = +5,5 mm và B là trung điểm của AC nên
khi đó B ở biên, suy ra t2 – t1 = T/4 các vecto quay được một góc π/2.
15

B2

A2
A1

B1

C1


Từ hình vẽ ta có: cosα = 4,8/A và cos(π/2 – α) = 5,5/A = sinα
suy ra tanα = 5,5/4,8 => A = 7,3 mm
Vậy ở thời điểm t2 B có li độ uB = A = 7,3 mm.

Ví dụ 3: M, N, P là 3 điểm liên tiếp nhau trên một sợi dây mang sóng dừng có cùng biên độ
4mm, dao động tại N ngược pha với dao động tại M. MN=NP/2=1 cm. Cứ sau khoảng thời gian
ngắn nhất là 0,04s sợi dây có dạng một đoạn thẳng. Tính tốc độ dao động của phần tử vật chất
tại điểm bụng khi qua vị trí cân bằng (lấy = 3,14)?
Hướng dẫn
M và N dao động ngược pha: ở hai bó sóng liền kề. P và N cùng bó sóng đối xứng
nhau qua bụng sóng MN = 1cm. NP = 2 cm =>
M
P
N

MN
A
2 = 2. 2

+ NP = 3cm Suy ra bước sóng  = 6cm

B

A

2d 
Biên độ của sóng tạ N cách nút d = 0,5cm = /12: aN = 2acos(  + 2 ) = 4mm

2  
 
=> aN= 2acos(  12 + 2 ) = 2acos( 6 + 2 ) = a = 4mm

Biên độ của bụng sóng aB = 2a = 8mm
Khoảng thời gian ngắn nhất giũa 2 lần sợi dây có dạng đoạn thẳng bằng một nửa chu kì dao
động.
Suy ra T = 0,08 (s). Tốc độ của bụng sóng khi qua VTCB
2.3,24.. 8
2
v = AB = T aB =

O'

0,08

= 628 mm/s.

Giải 2: Đề bài hỏi tốc độ dao động của điểm bụng khi qua VTCB tức là hỏi vmax của điểm bụng
vmax  bung . Abung  .2 A
( với A là biên độ dao động của nguồn sóng ) =>Như vậy cần tìm :

- của nguồn thông qua chu kỳ; - Biên độ A của nguồn
* Tìm  : Khoảng thời gian giữa 2 lần liên tiếp dây duỗi thẳng là khoảng thời gian giữa 2 lần
liên tiếp qua VTCB = T/2 = 0,04s  T=0,08s    25 =78,5 (rad/s)
* Tìm ra 3 điểm M,N,P thỏa mãn qua các lập luận sau :
- Các điểm trên dây có cùng biên độ là 4mm có vị trí biên là giao điểm của trục ∆ với dây
- Mà M, N ngược pha nhau  M,N ở 2 phía của
∆
nút

4 mm
- Vì M,N,P là 3 điểm liên tiếp nên ta có M,N,P
như hình vẽ.
16

M

P

N

1 cm

2 cm

d

O


* Qua hình tìm ra bước sóng :

Chiều dài 1 bó sóng là OO'= 2
mà OO'= NP+OP+O'N =NP+2.OP= 3cm    6 cm
*Tìm A: Công thức tính biên độ dao động của 1 phần tử cách 1 nút sóng đoạn d (ví dụ điểm P
trên hình):
AP  2 A | sin(2

d
5mm

)|
4mm  2 A | sin(2
)|
 . Thay số
60mm

1
2  A=4mm Vậy: vmax  bung . Abung  .2 A = 78,5. 2. 4 = 628 mm Chọn D

d
AP  2 A | sin(2 ) |
 có thể dùng đường tròn để giải.
- Ngoài ra từ
4mm  2 A

Câu 5.Trong thí nghiệm về sóng dừng trên dây dàn hồi dài 1,2 m với hai đầu cố định, người ta
quan sát thấy 2 đầu dây cố định còn có 2 điểm khác trên dây ko dao động biết thời gian liên tiếp
giữa 2 lần sợi dây duỗi thẳng là 0.05s bề rộng bụng sóng là 4 cm. Vmax của bụng sóng là
A 40π cm/s
B 80π cm/s
C 24πm/s
D 8πcm/s
Hướng dẫn
Theo bài ra la có l = 3λ/2 => λ = 0,8m, Khoảng thời gian giữa hai lần sợi dây duỗi thẳng là
nửa chu kì: T = 0,1s.
Do đó tần số góc ω = 2π/T = 20π (rad/s). Biên độ dao động của bụng sóng bằng một nửa bề rộng
của bụng sóng: A =2cm. vmax của bụng sóng = Aω = 2.20π = 40π cm/s. Đáp án A

PHẦN IV. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

1. Trong hệ sóng dừng trên một sợi dây, khoảng các giữa hai nút liên tiếp bằng:
A. Một bước sóng.
B. Nửa bước sóng.
C. Một phần tư bước sóng.
D. Hai lần bước sóng.
2. Trong hệ sóng dừng trên một sợi dây mà hai đầu được giữ cố định bước sóng bằng
A. Độ dài của dây.
B. Một nửa độ dài của dây.
C. Khoảng cách giữa hai nút sóng hay hai bụng sóng liên tiếp.
D. Hai lần khoảng cách giữa hai nút sóng hay hai bụng sóng liên tiếp.
3. Trong sóng dừng
A. Bụng sóng là các điểm dao động với biên độ cực đại
B. Nút sóng là các điểm dao động với biên độ cực đại
C. Sóng tới và sóng phản xạ truyền theo phương vuông góc với nhau, khi gặp nhau chúng sẽ
giao thoa
D. Khoảng cách giữa hai nút sóng liên tiếp bằng một bước sóng
17


4. Trong hệ thống dừng trên sợi dây, bước sóng là  thì khoảng cách giữa 2 bụng sóng liên tiếp
có giá trị
A. 3/2
B. /4
C. /2
D. 
5. Điều kiện để có sóng dừng trên dây khi cả hai đầu dây A, B đều cố định là:
A. l = k.λ
B. l = k.λ/2
C. l = (2k + 1).λ/2 D. l = (2k + 1).λ/4
6. Một sóng cơ học có bước sóng λ = 10 Cm tạo ra sóng dừng trên dây. Khoảng cách giữa 1 nút

sóng và 1 bụng sóng liên tiếp là:
A. 5 Cm
B. 10 Cm
C. 7,5 Cm
D. 2,5 Cm
7. Trên một sợi dây có sóng dừng, người ta quan sát thấy khoảng cách giữa 3 nút sóng liên tiếp
là 8Cm. Bước sóng của sóng trên dây là:
A. 16 Cm
B. 15 Cm
C. 8 Cm
D. 5 Cm
8. Trên một sợi dây có sóng dừng với 2 đầu là nút, người ta quan sát thấy khoảng cách từ nút thứ
nhất (là một đầu dây) đến bụng thứ 4 là 10,5 Cm. Bước sóng của sóng trên dây là
A. λ = 10 Cm
B. λ = 6 Cm
C. λ = 15 Cm
D. λ = 5 Cm
9. Dây AB căng ngang dài 2 m, hai đầu AB cố định, tạo một sóng dừng trên dây với tần số
40Hz, trên đoạn AB thấy có 5 nút sóng. Vận tốc truyền sóng trên dây là:
A. 40 m/s
B. 50 m/s
C. 25 cm/s
D. 12,5 cm/s
10. Một sợi dây AB dài 21cm, vận tốc truyền sóng trên dây là 4m/s, đầu A dao động với tần số
100Hz. Trên dây có sóng dừng hay không? số bụng sóng khi đó là bao nhiêu?
A. Có, có 10 bụng sóng.
B. Có, có 11 bụng sóng.
C. Có, có 12 bụng sóng.
D. Có, có 25 bụng sóng.
11. Một sợi dây đầu A cố định, đầu B dao động với tần số 100Hz, AB = l = 130cm, vận tốc

truyền sóng trên dây là 40 m/s. Trên dây có bao nhiêu nút sóng và bụng sóng
A. 6 nút; 6 bụng.
B. 7 nút; 6 bụng.
C. 7 nút; 7 bụng. D. 6 nút; 7 bụng.
12. Một sợi dây AB = l cm treo lơ lửng đầu A cố định, đầu B dao động với tần số 40Hz thì
trên dây có 5 bó sóng, vận tốc truyền sóng trên dây là 10m/s. Khi đó chiều dài dây và số nút
sóng trên dây là :
A. l = 62,5cm, 6 nút sóng.
B. l = 62,5cm, 5 nút sóng.
C. l = 68,75cm, 6 nút sóng.
D. l = 68,75cm, 5 nút sóng.
13. Một dây AB hai đầu cố định dài 20cm, vận tốc truyền sóng trên dây 1m/s, tần số rung trên
dây là 100Hz. Điểm M cách A 3cm là nút hay bụng sóng thứ mấy kể từ A:
A. Nút sóng thứ 8.
B. Bụng sóng thứ 8.
C. Nút sóng thứ 7.
D. Bụng sóng thứ 7.
14. Một sợi dây đàn hồi AB hai đầu cố định. Khi dây rung với tần số f thì trên dây có 4 bó
sóng. Khi tần số tăng thêm 10Hz thì trên dây có 5 bó sóng, vận tốc truyền sóng trên dây là
10m/s. Chiều dài và tần số rung của dây là :
A. l = 50cm, f = 40Hz.
B. l = 40cm, f = 50Hz.
C. l = 5cm, f = 50Hz.
D. l = 50cm, f = 50Hz
15. Trên một sợi dây có chiều dài l, 2 đầu cố định đang có sóng dừng. Trên dây có 1 bụng sóng.
Biết vận tốc truyền sóng trên dây là v không đổi. Tần số của sóng là:
A. v/2l
B. v/4l
C. 2v/l
D. v/l

18


16. Một dây dài 2m, căng thẳng. Một đầu gắn với một điểm cố định, một đầu gắn với máy rung
tần số 100Hz. Khi hoạt động, ta thấy trên dây có sóng dừng gồm 5 bó sóng. Vận tốc truyền sóng
trên dây:
A. 40m/s
B. 50m/s
C. 80m/s
D. 65m/s
17. Một sợi dây AB dài l = 90cm; đầu B tự do, đầu A nối với máy rung có tần số f = 50Hz. Trên
dây có sóng dừng và đếm được 4 bó sóng nguyên. Vận tốc truyền sóng trên dây là
A. v = 2400cm/s
B. v = 1600cm/s
C. v = 1800cm/s
D. v = 2000cm/s
18. Một sợi dây chiều dài l căng ngang, hai đầu cố định. Trên dây đang có sóng dừng với n bụng
sóng, tốc độ truyền sóng trên dây là v. Khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp sợi dây duỗi thẳng
là
A. v/(nl)
B. nv/l.
C. l/(2nv).
D. l/(nv).
19. Hai nguồn sóng trên mặt nước cách nhau 8,5cm có phương trình dao động u = Acos(200t)
(cm,s). Tốc độ truyền sóng là v = 0,8m/s. Phải thay đổi ít nhất khoảng cách AB bao nhiêu thì có
sóng dừng ổn định cho rằng A, B đều là nút sóng
A. 0,01cm
B. 0,5cm
C. 0,05cm

D. 0,1cm
20. Một dây đàn hồi AB dài 60 cm có đầu B cố định, đầu A mắc vào một nhánh âm thoa đang
dao động với tần số f = 50 Hz. Khi âm thoa rung trên dây có sóng dừng, dây rung thành 3 múi,
vận tốc truyền sóng trên dây có thể nhận giá trị nào trong các giá trị sau?
A. 25 m/s
B. 28 (m/s)
C. 25 (m/s)
D. 20(m/s)
21. Một dây AB dài 90cm có đầu B thả tự do. Tạo ở đầu A một dao động điều hoà ngang có tần
số f = 100Hz ta có sóng dừng, trên dây có 4 múi. Vận tốc truyền sóng trên dây có giá trị bao
nhiêu? Hãy chọn kết quả đúng.
A. 60 (m/s)
B. 40 (m/s)
C. 35 (m/s)
D. 50 (m/s).
22. Dây AB = 40cm căng ngang, 2 đầu cố định, khi có sóng dừng thì tại M là bụng thứ 4 (kể từ
B), biết BM = 14cm. Tổng số bụng trên dây AB là
A. 14
B. 10
C. 12
D. 8
23. Một sợi dây căng giữa hai điểm cố định cách nhau 75cm. Người ta tạo sóng dừng trên dây.
Hai tần số gần nhau nhất cùng tạo ra sóng dừng trên dây là 150Hz và 200Hz. Tần số nhỏ nhất
tạo ra sóng dừng trên dây đó là
A. 50Hz
B. 125Hz
C. 75Hz
D. 100Hz.
24. Một sợi dây đàn hồi OM = 90cm có hai đầu cố định. Khi được kích thích thì trên dây có sóng
dừng với 3 bó sóng. Biết biên độ tại bụng sóng là 3cm. Tại điểm N trên dây gần O nhất có biên độ

dao động là 1,5cm. ON có giá trị là :
A. 10cm
B. 5cm
C. 52cm
D. 7,5cm.
25. Sợi dây OB = 10cm, đầu B cố định. Đầu O nối với một bản rung có tần số 20Hz. Ta thấy
sóng dừng trên dây có 4 bó và biên độ dao động là 1cm. Tính biên độ dao động tại một điểm M
cách O là 35/6 cm.
A. 1cm
B. 2 /2cm.
C. 0 cm.
D. 3 /2cm.
26. Một sợi dây đàn hồi dài 1m được treo lơ lửng lên một cần rung. Cần có thể rung theo
phương ngang với tần số thay đổi được từ 100Hz đến 120Hz. Vận tốc truyền sóng trên dây 8m/s.
Trong quá trình thay đổi tần số rung của cần, có thể tạo ra được bao nhiêu lần sóng dừng trên
dây?
19


A. 4 lần.
B. 5 lần.
C. 10 lần.
D. 12 lần.
27. Một sợi dây AB căng ngang với đầu A, B cố định. Khi đầu A được truyền dđ với tần số
50Hz thì sóng dừng trên dây có 10 bụng sóng. Để sóng dừng trên dây chỉ có 5 bụng sóng và vận
tốc truyền sóng vẫn không thay đổi thì đầu A phải được truyền dao động với tần số:
A. 100Hz
B. 25Hz
C. 75Hz
D. 50 Hz

28. Phương trình sóng dừng trên một sợi dây có dạng u = 4sin(4x)cos(20t) cm. Trong đó x
tính bằng mét(m), t tính bằng giây(s). Tốc độ truyền sóng trên dây là
A. 500 cm/s
B. 5cm/s
C. 100cm/s
D. 25cm/s
29. .Một sợi dây đàn hồi dài 100c m căng ngang, đang có sóng dừng ổn định. Trên dây, A là một
điểm nút, B là một điểm bụng gần A nhất, C là trung điểm của AB, với AC = 5 cm. Biết biên độ
dao động của phần tử tại C là 2cm. Xác định biên độ dao động của điểm bụng và số nút có trên
dây (không tính hai đầu dây).
A. 2 cm; 9 nút.
B. 2 cm; 7 nút.
C. 4 cm; 9 nút. D. 4 cm; 3 nút.
30: Một sợi dây đàn hồi căng ngang, đầu A cố định. Trên dây đang có sóng dừng ổn định. Gọi B
20
là điểm bụng thứ hai tính từ A, C là điểm nằm giữa A và B. Biết AB = 30 cm, AC = 3 cm, tốc

độ truyền sóng trên dây là v = 50 cm/s. Khoảng thời gian ngắn nhất giữa hai lần mà li độ của
phần tử tại B bằng biên độ dao động của phần tử tại C là:
4
A. 15 s.

1
B. 5 s.

2
C. 15 s.

2
D. 5 s.

31: Trên dây AB có sóng dừng với đầu B là một nút. Sóng trên dây có bước sóng λ. Hai điểm gần B
nhất có biên độ dao động bằng một nửa biên độ dao động cực đại của sóng dừng cách nhau một
khoảng là:
A. λ/3;
B. λ/4.
C. λ/6;
D. λ/12;
32: Trên một sợi dây đàn hồi, hai đầu A B cố định có sóng dừng ổn định với bước sóng  = 24
cm. Hai điểm M và N cách đầu A những khoảng lần lượt là d M = 14cm và dN = 27 cm. Khi vận
tốc dao động của phần tử vật chất ở M là v M = 2 cm/s thì vận tốc dao động của phần tử vật chất
ở N là
A. -2 2 cm/s.
B. 2 2 cm/s.
C. -2 cm/s.
D. 2 3 cm/s.
33: Trong thí nghiệm về sự phản xạ sóng trên vật cản cố định. Sợi dây mền AB có đầu B cố
định, đầu A dao động điều hòa. Ba điểm M, N, P không phải là nút sóng, nằm trên sợi dây
cách nhau MN = /2; MP = . Khi điểm M đi qua vị trí cân bằng (VTCB) thì
A. điểm N có li độ cực đại, điểm P đi qua VTCB.B. N đi qua VTCB, điểm P có li độ cực đại.
C. điểm N và điểm P đi qua VTCB.
D. điểm N có li độ cực tiểu, điểm P có li độ
cực đại.
34: Sóng dừng trên dây có tần số f = 20Hz và truyền đi với tốc độ 1,6m/s. Gọi N là vị trí của
một nút sóng ; C và D là hai vị trí cân bằng của hai phần tử trên dây cách N lần lượt là 9 cm
và 32/3 cm và ở hai bên của N. Tại thời điểm t1 li độ của phần tử tại điểm D là – 3 cm. Xác
định li độ của phần tử tại điểm C vào thời điểm t2 = t1 + 9/40 s
20

A. – 2 cm
B. – 3 cm
C. 2 cm
D. 3 cm
35: Một dây đàn hồi AB đầu A được rung nhờ một dụng cụ để tạo thành sóng dừng trên dây, biết
Phương trình dao động tại đầu A là uA= acos100t. Quan sát sóng dừng trên sợi dây ta thấy trên
dây có những điểm không phải là điểm bụng dao động với biên độ b (b0) cách đều nhau và
cách nhau khoảng 1m. Giá trị của b và tốc truyền sóng trên sợi dây lần lượt là:
A. a 2 ; v = 200m/s.

B. a 3 ; v =150m/s. C. a; v = 300m/s. D. a 2 ; v =100m/s.

PHẦN VI: KẾT LUẬN
Bài tập về sóng dừng vô cùng đa dạng và phong phú, việc phân dạng bài toán chỉ mang
tính chất tương đối nên có rất nhiều cách phân dạng khác nhau. Vì vậy, học sinh cần tìm hiểu
thật kĩ lí thuyết và vận dụng nhuần nhuyễn các phương pháp giải để giải được các bài toán tổng
hợp.
Bài viết chắc chắn không tranh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được ý kiến
đóng góp của các thầy cô giáo để nội dung và hình thức bài viết được hoàn thiện hơn.

21