Công thức phần tử, thuật toán và chương trình số trong phân tích dầm đàn dẻo bằng phương pháp phần tử hữu hạn luận văn ths cơ học 60 44 21

đại học quốc gia hà nội

Viện khoa học và công nghệ việt nam

Trờng
đại học
công
nghệ

Viện cơ
học

Họ và tên tác giả luận văn
N
g
u
y
ễ
n
v
ă
n
l
u
ậ
t

Tên đề tài luận văn
Công thức phần
tử, thuật toán và
ch-ơng trình số

trong phân tích
kết cấu dầm
đàn-dẻo bằng
ph-ơng pháp
phần tử hữu hạn


LuË
n
v¨n
th¹c
sÜ

H
µ
n
éi
2
0
0
8


đại học quốc gia hà nội

Viện khoa học và công nghệ việt nam
Tr-ờng đại
học công
nghệ

Viện cơ
học

Ng
uy
ễn
văn
luật

Công thức phần
tử, thuật toán và
ch-ơng trình số
trong phân
tích dầm đàndẻo bằng phơng pháp phần
tử hữu hạn
Ngành : Cơ học
: Cơ học vật thể
Chuyên
rắn
ngành

Mã số :604421


Luậ
n
văn
thạc
sĩ

Ng-ời h-ớng dẫn khoa
học : TS. nguyễn

đình kiên

H
à
n
ộ
i
2
0
0
8


1

Mục lục
Trang
Mục lục .

1

Danh mục các ký hiệu .

3

Danh mục các hình vẽ, đồ thị .

4

Danh mục các bảng ..

5

Mở đầu .

6

Ch-ơng I : ứng xử đàn-dẻo của vật liệu kết cấu
1.1 Mở đầu ....

8

1.2 Các kết quả từ thực nghiệm .

8

1.3 ứng xử đàn hồi

12

1.4 ứng xử đàn-dẻo ...........

13

1.5 Mô hình đàn-dẻo l-ỡng tuyến tính .

14

1.6 Luật chảy dẻo .

15

1.7 Luật tái bền .

18

1.8 Kết luận ch-ơng 1...

19

Ch-ơng II : Ph-ơng pháp phần tử hữu hạn cho dầm đàn-dẻo
2.1 Mở đầu

20

2.2 Ph-ơng pháp phần tử hữu hạn .

20

2.3 Phân tích phần tử hữu hạn phi tuyến

25

2.4 Thuật toán số trong phân tích phần tử hữu hạn phi tuyến

27

2.5 Phần tử dầm đàn-dẻo ...........

31

2.5.1 Vec-tơ lực nút .

32

2.5.2 Ma trận độ cứng tiếp tuyến
.

33

2.6 Tích phân số

2.7 Kết luận chơng 2....

36
38

Ch-ơng III : Quy trình tính toán và ví dụ số
3.1 Quy trình tính toán ..
40


2
Luận văn thạc sĩ

3.2

Cập nhật ứng suất

3.3

Ví dụ số

3.3.1

Dầm tựa giản đơn d-ới tác

3.3.2

Dầm công-xôn d-ới tác dụ

3.3.3

Dầm công-xôn d-ới tác dụ

3.4

Kết luận ch-ơng 3

Kết luận ..................................
h-ớng phát triển tiếp theo của luận văn.
Tài liệu tham khảo
Phụ lục .

Danh mục các ký hiệu
{d} ,{D} - lần l-ợt là vec-tơ chuyển vị nút của phần tử, kết cấu

Häc viªn: NguyÔn V¨n LuËt


3
Luận văn thạc sĩ

Ngành Cơ học

[k t ] , [K t ] - ma trận độ cứng tiếp tuyến của phần tử,

kết cấu {G} - vec-tơ chênh lệch lực (vec-tơ lực d-) của
kết cấu {N}- ma trận các hàm dạng
{fin }, {Fin } - vec-tơ nội lực tại các nút của phần tử, kết cấu
{fex }, {Fex } - vec-tơ ngoại lực tại các nút của phần tử, kết cấu


- công ảo của nội lực và ngoại lực tác động lên phần tử

in

- công ảo của nội lực

{},{} - vec-tơ ứng suất, biến dạng
E, Eep , Et - lần l-ợt là mô-đun đàn hồi, mô-đun đàn dẻo, mô-đun tiếp tuyến của

vật liệu
w1 , w 2 - chuyển vị ngang của dầm tại hai nút phần tử
1 , 2 - góc xoay tiết diện ngang của dầm tại hai nút phần

tử L, A - chiều dài, thiết diện ngang của phần tử dầm
b, h - chiều rộng, chiều cao của thiết diện phần tử
Q1,Q2

- các lực cắt tại hai nút của phần tử

M1 , M2 - các mô-men tại hai nút của phần tử

Danh mục các hình vẽ và đồ thị

trang
Hình 1.1 : Sơ đồ điển hình của thử nghiệm kéo mẫu kim loại
Học viên: Nguyễn Văn Luật

4


Luận văn thạc sĩ
Hình 1.2 : Biểu đồ ứng suất-biến dạng cho thép kết cấu điển hình nhận đ-ợc
từ thử nghiệm kéo
Hình 1.3 : Mô hình l-ỡng tuyến tính cho vật liệu đàn-dẻo
Hình 1.4 : Mặt dẻo von Mises trong không gian ứng suất chính
Hình 1.5 : Luật tái bền: (a) tái bền đẳng h-ớng, (b) tái bền động học
Hình 2.1 : Kết cấu phẳng với mô hình PTHH tạo từ các phần tử khác nhau
Hình 2.2 : Phần tử dầm phẳng hai nút và các bậc tự do
Hình 2.3 : Trình tự các b-ớc lặp để tính điểm cân bằng
Hình 2.4 : Lực cắt và mô-men tại các nút phần tử dầm Bernoulli
Hình 3.1 : Sơ đồ khối quy trình phân tích đàn-dẻo
Hình 3.2 : Gia số ứng suất trong mô hình đàn-dẻo l-ỡng tuyến tính
Hinh 3.3 : Dầm tựa giản đơn d-ới tác dụng của lực tập trung

Hình 3.4 : L-ới phần tử và các bậc tự do của mô hình dầm tựa giản đơn
Hình 3.5 : Mối quan hệ giữa lực ngoài P và độ võng d
dầm với các giá trị khác nhau của mô-đun tiếp tuyến E t
Hình 3.6 : Dầm công-xôn d-ới tác động của lực tập trung ở đầu tự do
Hình 3.7 : Quan hệ giữa lực ngoài P và độ uốn w tại đầu tự do của dầm
công-xôn với các giá trị khác nhau của mô-đun tiếp tuyến E t .
Hình 3.8 : Dầm công-xôn d-ới tác động của mô-men ở đầu tự do
Hình 3.9 : Quan hệ giữa lực mô-men M và độ võng w tại đầu tự do của
dầm công-xôn với các giá trị khác nhau của mô-đun tiếp tuyến E t .

Danh mục các bảng

trang
Bảng 3.1: Giá trị biến dạng và ứng suất tại điểm Gauss đầu tiên với

Học viên: Nguyễn Văn Luật


5
Luận văn thạc sĩ

Ngành Cơ học

các giá trị khác nhau của lực ngoài P (E = 0.1E t )
Bảng 3.2: Các giá trị ứng suất biến dạng tại điểm Gauss đầu

52

tiên của phần tử thứ nhất của dầm ứng với các giá trị khác
nhau của lực ngoài (E t = 0.3E )

Bảng 3.3: Giá trị của ứng suất biến dạng tại điểm Gauss
đầu tiên của phần tử thứ nhất của dầm công-xôn ứng với các
giá trị khác nhau của mô-men M (E t = 0.3E )

Học viên: Nguyễn Văn Luật

54


6
Luận văn thạc sĩ

Ngành Cơ học

Mở đầu
Các nghiên cứu về lý thuyết dẻo đ-ợc phát triển rất sớm, từ cuối thế kỷ
19 những công trình đầu tiên của lý thuyết dẻo đã xuất hiện. Cho đến nay
qua nhiều giai đoạn phát triển lý thuyết dẻo đã có một nền tảng lý thuyết
toán học tổng quát và chắc chắn, đ-ợc nhiều nhà khoa học quan tâm
nghiên cứu. Trong lĩnh vực thiết kế máy móc và kết cấu, phân tích đàndẻo đóng vai trò quan trọng không thể thiếu. Tuy nhiên phân tích đàn-dẻo
bằng công cụ toán học tr-ớc đây với các mô hình thực tế hiện nay tỏ ra rất
phức tạp và nhiều bài toán phi tuyến tìm ra ch-a có lời giải chính xác. Vì
vậy để khắc phục đặc điểm này và để phát triển ứng dụng của phân
tích đàn-dẻo trong các bài toán khoa học kỹ thuật ngày nay các ph-ơng pháp
số, đặc biệt là ph-ơng pháp phần tử hữu hạn, đ-ợc sử dụng rộng rãi.

1. Lý do chọn đề tài
- Ph-ơng pháp số đã đ-ợc áp dụng trong hầu hết các bài toán thực tế của

cơ học kết cấu trong phạm vi lý thuyết đàn hồi, phân tích đàn-dẻo sử dụng

ph-ơng pháp số là một h-ớng nghiên cứu mới. Ph-ơng pháp số nói riêng và ph-ơng
pháp phần tử hữu hạn nói chung là lựa chọn hợp lý nhất trong phân tích các bài
toán đàn-dẻo vì tính phức tạp và đòi hỏi khối l-ợng tính toán lớn.
-

Trạng thái đàn-dẻo có thể xảy ra trong bất kỳ kết cấu hay máy

móc nào khi nó làm việc d-ới tác động của tải trọng, nên việc phân tích
kết cấu đàn-dẻo là vấn đề hết sức cần thiết và có tính thực tế cao.
-

Ph-ơng pháp phần tử hữu hạn là một ph-ơng pháp số đặc biệt

có hiệu quả trong việc phân tích các bài toán phi tuyến quá phức tạp
mà các ph-ơng pháp giải tích thông th-ờng không thể phân tích đ-ợc.
Vì vậy ngày nay ph-ơng pháp phần tử hữu hạn đ-ợc sử dụng rộng rãi
và không thể thiếu trong các bài toán khoa học kỹ thuật.
2. Mục đích, đối t-ợng và phạm vi nghiên cứu

Học viên: Nguyễn Văn Luật


7
Luận văn thạc sĩ

Ngành Cơ học

- Mục đích của đề tài đặt ra là xây dựng đ-ợc công thức phần tử,

thuật toán và ch-ơng trình tính cho phân tích dầm đàn-dẻo. Trên cơ sở cha từng xây dựng tiến hành phân tích một số kết cấu đàn-dẻo cụ thể.

-

Đối t-ợng nghiên cứu của đề tài này là các kết cấu dầm chịu lực

-

Phạm vi nghiên cứu của đề tài là phần tử dầm Bernulli hai nút

3. ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Lý thuyết dẻo là một trong những h-ớng nghiên cứu cơ bản của cơ
học vật rắn biến dạng. Trong đó h-ớng nghiên cứu dựa trên các ph-ơng
pháp số trong phân tích đàn-dẻo đang là xu h-ớng rất phát triển trên thế
giới nhằm đánh giá đầy đủ các vùng làm việc trong kết cấu và máy móc.
Các kết cấu dầm chịu lực là các kết cấu đ-ợc thiết kế phổ biến trong
thực tế hiện nay, vì vậy việc nghiên cứu đầy đủ các trạng thái làm việc
của loại kết cấu này là vấn đề hết sức quan trọng đ-ợc đặt ra. Với ý
nghĩa đó thì đề tài đ-ợc xây dựng nhằm đ-a ra một công cụ hiệu quả
để phân tích các bài toán thực tế ở trạng thái đàn-dẻo.

Học viên: Nguyễn Văn Luật


8
Luận văn thạc sĩ

Ngành Cơ học

Ch-ơng I

ứng xử đàn-dẻo của vật liệu kết cấu

1.1 Mở đầu
Thép mềm (mild-steel) là loại vật liệu kết cấu thông dụng và đ-ợc sử
dụng nhiều nhất trong thiết kế kỹ thuật. D-ới tác động của lực ngoài các
phần tử kết cấu bị biến dạng, tức là dạng hình học ban đầu của chúng
bị thay đổi. Tùy theo giá trị và đặc tính của lực ngoài, biến dạng của kết
cấu có thể khác nhau. Mối quan hệ giữa lực tác dụng và chuyển vị của kết
cấu hoặc mối quan hệ ứng suất-biến dạng trong quá trình kết cấu chịu
lực là đặc tr-ng ứng xử của vật liệu kết cấu. Khi lực ngoài đủ nhỏ, mối
quan hệ ứng suất-biến dạng là tuyến tính và ứng xử của vật liệu là đàn
hồi. Trong miền đàn hồi, cấu hình ban đầu của kết cấu đ-ợc khôi phục
hoàn toàn khi tải trọng ngoài đ-ợc dỡ bỏ. Khi tải ngoài v-ợt quá giá trị nhất
định (giới hạn chảy), phụ thuộc vào vật liệu cụ thể, kết cấu bắt đầu chảy
dẻo và cấu hình ban đầu không thể phục hồi khi tải ngoài đ-ợc dỡ bỏ. Với
kết cấu, ứng xử đàn-dẻo trong đó cả phần biến dạng đàn hồi và biến dạng
dẻo đều đóng vai trò quan trọng trong phân tích, là mô hình phổ biến
nhất trong phân tích kết cấu có tính tới ảnh h-ởng của biến dạng dẻo. Chơng này trình by các vấn đề cơ bản liên quan tới ứng xử của vật liệu kết
cấu mà trọng tâm là loại thép mềm. Mô hình vật liệu đàn-dẻo l-ỡng tuyến
tính với luật tái bền, th-ờng dùng trong phân tích số các kết cấu đàn-dẻo,
đ-ợc trình bày và thảo luận chi tiết. ứng xử của dầm d-ới tác động của tải
ngoài v-ợt quá giới hạn đàn hồi, gây ra biến dạng dẻo cũng đ-ợc đề cập.

1.2 Các kết quả từ thực nghiệm
Để xác định các tính chất cơ học cơ bản của vật liệu dùng trong kết cấu
ng-ời ta th-ờng tiến hành các thực nghiệm trên mẫu tiêu chuẩn. Một trong các thực
nghiệm phổ biến nhất là kéo giản đơn, trong đó mẫu chuẩn đ-ợc kẹp chặt
Học viên: Nguyễn Văn Luật


9
Luận văn thạc sĩ

Ngành Cơ học

giữa hai bộ gá của máy thử và chất tải kéo. Độ giãn dài của mẫu trong
quá trình thử đ-ợc đo nhờ lá điện trở (gage) hoặc extensometer.
Thông th-ờng máy thử đ-ợc gắn với máy tính, nhờ nó các số liệu thử
nghiệm đ-ợc kiểm soát và xử lý tự động nhờ phần mềm chuyên dụng.
Hình 1.1 minh họa sơ đồ của thử nghiệm kéo.
Cảm biến lực

Thiết bị đo

độ giãn

Xà di động

Hình 1.1: Sơ đồ điển hình của thử nghiệm kéo mẫu kim loại.
Kích th-ớc và hình dạng mẫu thử đóng vai trò quan trọng và ảnh h-ởng
tới kết quả thử nghiệm. Kích th-ớc mẫu có thể khác nhau, tuỳ theo tiêu chuẩn
thử lựa chọn. Thông th-ờng hai đầu mẫu có kích th-ớc lớn hơn phần giữa để
chúng có thể dễ dàng gắn vào bộ kẹp và phá hủy của mẫu không xảy ra gần
phần gá, nơi có ứng suất tập trung làm ảnh h-ởng tới kết quả thử. Tiêu chuẩn
của Hội thử nghiệm và Vật liệu Mỹ (American Society for Testing and
Materials-ASTM) là một trong các tiêu chuẩn phổ biến và đ-ợc sử dụng nhiều
nhất, trong đó mẫu thử kéo cho vật liệu kim loại là mẫu tròn có đ-ờng kính là
12,8 mm và chiều dài hữu hiệu của lá điện trở là 50,8mm [3].

Học viên: Nguyễn Văn Luật

Luận văn thạc sĩ


ứng suất

cực đại

ứng suất chảy

Giới hạn
tỉ lệ

O

Hình 1.2: Biểu đồ ứng suất-biến dạng cho thép kết cấu điển
hình

nhận đ-ợc từ thử nghiệm kéo.
Một trong các thông tin quan trọng nhận đ-ợc từ thử nghiệm là
biểu đồ quan hệ ứng suất-biến dạng. Hình 1.2 minh họa biểu đồ
này cho vật liệu thép kết cấu thông th-ờng, tức là thép có hàm l-ợng
carbon thấp, th-ờng dùng trong xây dựng, cầu cống và máy móc. L-u ý
rằng tỷ lệ trên Hình 1.2 không chính xác với tỷ lệ thực.
Nh- ta thấy từ Hình 1.2, khởi nguồn của quan hệ giữa ứng suất và biến
dạng là tuyến tính. Phần đ-ờng thẳng xuất phát từ gốc 0 và kéo dài tới điểm A.
Sau điểm A mối quan hệ tuyến tính giữa ứng suất và biến dạng không còn tồn
tại vì thế điểm A đ-ợc gọi là giới hạn tỷ lệ hay giới hạn đàn hồi. Thép thông dụng
dùng trong xây dựng, cầu cống, máy móc thuộc loại thép mềm th-ờng có hàm lợng carbon thấp, giới hạn tỷ lệ của loại thép này nằm trong khoảng 200 tới 280
MPa. Thép có độ bền cao có hàm l-ợng carbon cao hơn thép thông th-ờng, giới
hạn tỷ lệ có thể lên tới 550 MPa hoặc cao hơn. Trong phần giới hạn tỷ lệ này mối

quan hệ giữa ứng suất và biến dạng tuân theo định

Học viên: Nguyễn Văn Luật


11
Luận văn thạc sĩ

Ngành Cơ học

luật Hooke và độ nghiêng của đoạn thẳng xuất phát từ 0 tới A là môđun đàn hồi hay mô-đun Young (Thomas Young, 1807) của vật liệu.
Khi tải trọng tăng quá giới hạn tỷ lệ, biến dạng bắt đầu tăng nhanh. Biểu
đồ ứng suất-biến dạng có độ dốc nhỏ hơn và tới điểm B độ dốc của biểu đồ
bằng 0, khi đó biểu đồ quan hệ ứng suất-biến dạng trở thành đ-ờng nằm
ngang. Lúc này mặc dù lực ngoài không tăng nh-ng độ giãn dài của mẫu vẫn
tăng đáng kể. Mối quan hệ ứng suất-biến dạng trong giai đoạn này đ-ợc biểu
thị bằng phần đ-ờng cong từ điểm B tới điểm C trên Hình 1.2 và hiện t-ợng
này đ-ợc biết tới nh- là sự chảy dẻo của vật liệu. Điểm B đ-ợc gọi là điểm chảy
và ứng suất t-ơng ứng của nó đ-ợc gọi là ứng suất chảy ban đầu (initial yield
stress). ứng xử của vật liệu trong vùng từ điểm B tới điểm C là chảy dẻo lý tởng, tức là vật liệu vẫn tiếp tục biến dạng mặc dù lực ngoài không tăng. Độ
giãn dài của thép mềm trong vùng chảy dẻo lý t-ởng th-ờng lớn hơn từ 10 tới 15
lần độ giãn dài trong khoảng giới hạn tỷ lệ.

Sau khi trải qua giai đoạn biến dạng lớn do chảy dẻo với miền BC vật
liệu bắt đầu chuyển sang giai đoạn tái bền (strain hardening). Trong giai
đoạn này vật liệu có sự thay đổi về cấu trúc hạt nhân và tinh thể và có
khả năng kháng cự lại biến dạng, tức là để phát triển thêm độ giãn dài cần
phải tăng thêm lực kéo. Biểu đồ ứng suất-biến dạng trong giai đoạn này có
độ dốc d-ơng và đ-ợc biểu thị bằng phần CD trên Hình 1.2. ở cuối giai
đoạn tái bền, tại điểm D, ứng suất đạt giá trị lớn nhất và ứng suất D đ-ợc

gọi là ứng suất cực đại (ultimate stress). Sau điểm D mẫu tiếp tục bị kéo
giãn và cuối cùng phá huỷ xảy ra tại điểm E.
Trên thực tế, sau điểm C tức là sau giai đoạn chảy dẻo lý t-ởng thiết
diện ngang của mẫu tại lân cận vùng phá hủy bắt đầu giảm và hiện t-ợng này
đ-ợc biết tới trong thực nghiệm với tên co thắt (necking). Nếu thiết diện ngang
thực của mẫu đ-ợc sử dụng để tính toán, đ-ờng cong ứng suất-biến dạng
thực (actual stress-strain curve) sẽ tuân theo đờng CE chứ không phải

Học viên: Nguyễn Văn Luật


12
Luận văn thạc sĩ

Ngành Cơ học

đ-ờng CE trên Hình 1.2. Cần l-u ý rằng, sau điểm D ứng suất thực
trong mẫu vẫn tăng nh-ng khả năng chịu tải ngoài không tăng và lực cực
đại mẫu có thể chịu đ-ợc là lực kéo t-ơng ứng với điểm D. Từ quan
điểm thực tế, biểu đồ ứng suất-biến dạng thông th-ờng, tức là đ-ờng
cong 0ABCDE dựa trên thiết diện ban đầu của mẫu th-ờng đ-ợc sử dụng
vì nó dễ tính toán và đủ đáp ứng cho các vấn đề của thiết kế.

1.3 ứng xử đàn hồi
D-ới tác dụng của lực ngoài, phần lớn vật liệu ban đầu có ứng xử đàn
hồi nh- minh họa bởi phần 0A trên biểu đồ quan hệ ứng suất-biến dạng trên
Hình 1.2. Trong miền này mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng là đàn hồi
tuyến tính (linearly elastic). ứng xử đàn hồi đóng vai trò quan trọng trong kỹ
thuật vì nhiều kết cấu và máy móc đ-ợc thiết kế để làm việc trong vùng ứng
suất thấp nhằm tránh các biến dạng vĩnh viễn sinh ra do chảy dẻo.

Trong tr-ờng hợp kéo giản đơn mô tả trên, mối quan hệ đàn hồi
tuyến tính giữa ứng suất và biến dạng cho bởi ph-ơng trình
= E

(1.1)

Ph-ơng trình (1.1) đ-ợc biết tới d-ới tên định luật Hooke (Robert Hooke,
2
1676) trong đó E (đơn vị là MPa hoặc N/mm ) là mô-đun đàn hồi của vật
4
liệu. Với vật liệu kim loại, giá trị của E nằm trong khoảng 4,5x10 MPa (Magiê)
4
tới 40,7x10 Mpa (Vonfam). Thép xây dựng thông th-ờng có mô-đun đàn hồi
4
khoảng 21x10 MPa. Vật liệu có mô-đun đàn hồi càng cao thì càng cứng,
tức là khả năng chống lại biến dạng đàn hồi cao hơn. Dạng tổng quát của định
luật Hooke trong tr-ờng hợp ba chiều cho bởi công thức

=E
ij

ijkl

kl

(1.2)

Trong đó ij (i,j = 1,2,3) là ten-xơ ứng suất; là ten-xơ biến dạng và Eijkl là
k l ten-xơ các hằng số đàn hồi. Với vật liệu hồi đẳng h-ớng, ph-ơng trình

đàn (1.2) đ-a về dạng
Học viên: Nguyễn Văn Luật

13


Luận văn thạc sĩ
ij = ij + 2àij

Trong đó = 11 + 22 + 33 là biến dạng thể tích; và à là các hằng
số Lamé (G. Lamé, 1852). Trong một số tài liệu, chẳng hạn trong [8],
mô-đun tr-ợt G đ-ợc dùng thay cho à trong ph-ơng trình (1.3). Mối liên
hệ giữa các hằng số Lamé và các hằng số đàn hồi đ-ợc trình bày
trong các sách về lý thuyết đàn hồi [1, 8].
1.4 ứng xử đàn-dẻo
Trong tr-ờng hợp phần tử kết cấu có biến dạng dẻo nh-ng độ lớn
của biến dạng này cùng bậc với biến dạng đàn hồi và cả biến dạng đàn
hồi và biến dạng dẻo đều phải tính tới trong phân tích kết cấu thì ứng
xử của kết cấu là ứng xử đàn-dẻo [6]. Khác với tr-ờng hợp biến dạng dẻo
lớn nh- trong bài toán cán kim loại, biến dạng đàn hồi rất nhỏ, có thể bỏ
qua trong phân tích và chỉ có biến dạng dẻo đ-ợc xét đến. Bài toán
đàn-dẻo là bài toán quan trọng nhất và có ý nghĩa thực tiễn trong lĩnh
vực phân tích kết cấu vì trên thực tế một hoặc một vài vị trí của kết
cấu có thể chuyển sang chảy dẻo nh-ng kết cấu vẫn còn khả năng làm
việc.
Thép xây dựng thông th-ờng có biến dạng tới giới hạn đàn hồi khoảng
5% [3]. Miền dẻo lý t-ởng tiếp theo có biến dạng với độ lớn bằng chừng
khoảng 10 lần biến dạng đàn hồi. Sau giới hạn đàn hồi vật liệu bắt đầu
chảy dẻo. Tại một điểm C nào đó giữa giới hạn đàn hồi B và điểm cực đại D

(Hình 1.2) nếu ta thực hiện việc bỏ tải ngoài thì quá trình cất tải sẽ tuân
theo luật đàn hồi, tức là theo đờng CD song song với đ-ờng 0A. Sau quá
trình cất tải, một phần của biến dạng đ-ợc phục hồi, một phần khác tồn tại
vĩnh viễn trong mẫu. Biến dạng tổng thể trong mẫu tr-ớc khi cất tải có
thể xem nh- là tổng của hai phần, biến dạng đàn hồi e và biến dạng dẻo P
= e + P

Học viên: Nguyễn Văn Luật


14
Luận văn thạc sĩ

Ngành Cơ học

Nếu tại điểm C ta thực hiện lại quá trình chất tải, đ-ờng quan hệ
ứng suất-biến dạng sẽ quay lại đúng theo đờng CD. Trong tr-ờng hợp D
nằm trong miền tái bền CD, vật liệu chỉ chuyển sang giai đoạn chảy dẻo
khi ứng suất trong mẫu đạt giá trị C' , lớn hơn ứng suất chảy ban đầu B .
ứng xử đàn hồi và đàn dẻo trên đây đ-ợc mô tả dựa trên thí nghiệm
kéo giản đơn. Với vật liệu kim loại, biểu đồ quan hệ ứng suất-biến dạng của
kim loại mềm khi nén vẫn có dạng nh- trên Hình 2.2 và giá trị của ứng suất
chảy ban đầu trong kéo và nén là nh- nhau. Tuy nhiên do hiệu ứng
Bauchinger [6], độ lớn của ứng suất chảy của mẫu trong nén sau khi đã chịu
kéo quá giới hạn đàn hồi khác với giá trị ứng suất tại thời điểm cất tải. Vấn đề
này đ-ợc sẽ đ-ợc trình bày chi tiết hơn trong mô hình luật tái bền d-ới đây.

1.5 Mô hình đàn-dẻo l-ỡng tuyến tính
Mối quan hệ ứng suất-biến dạng minh họa trên Hình 1.2 mô tả chi tiết ứng
xử của vật liệu kim loại, bao gồm đàn hồi tuyến tính, đàn hồi phi tuyến, dẻo lý tởng và tái bền. Việc sử dụng mô hình ứng xử chi tiết nh- vậy vào phân tích số

gặp nhiều khó khăn. Thêm vào đó, có những miền ứng xử, chẳng hạn đàn hồi
phi tuyến, xảy ra rất ngắn và ít có ý nghĩa thực tế. Để thuận lợi cho tính toán,
một số mô hình dẻo đã đ-ợc đề nghị, trong đó mô hình l-ỡng tuyến tính đ-ợc
nhiều tài liệu sử dụng trong phân tích kết cấu đàn-dẻo.

Trong mô hình đàn-dẻo l-ỡng tuyến tính, Hình 1.3, mối quan hệ ứng
suất và biến dạng đ-ợc lý t-ởng hóa bằng hai đ-ờng thẳng với độ dốc E và E t ,
t-ơng ứng là mô-đun đàn hồi và mô-đun tiếp tuyến (tangent modulus) của vật
liệu. Sau giai đoạn đàn hồi, xác định bởi ứng suất chảy , vật liệu bắt đầu
chảy dẻo với mối quan hệ ứng suất-biến dạng theo đ-ờng tuyến tính mới với độ
dốc E t , E t < E . Khi vật liệu chảy dẻo, sự tăng của gia số biến dạng toàn phần d từ
vị trí điểm A sang điểm B, Hình 1.3, bao gồm hai phần: phần do

Học viên: Nguyễn Văn Luật

15


Luận văn thạc sĩ
biến dạng đàn hồi de và phần do chảy dẻo dp
ứng của gia số ứng suất, nh- thấy trên Hình 1.3(a), đ-ợc tính bởi
d = E(d dp ) hoặc d = Et d

Trong đó H là tham số tái bền. Mối quan hệ giữa tham số tái bền
H

với mô-đun đàn hồi E và mô-đun tiếp tuyến E t dễ dàng nhận đ-ợc

từ ph-ơng trình (1.5), chẳng hạn thay ph-ơng trình thứ nhất và thứ ba
của (1.5) vào ph-ơng trình thứ hai ta nhận đ-ợc

H=
1

Trong tr-ờng hợp E hữu hạn và E t
t-ởng. Mô hình đàn-dẻo lý t-ởng đ-ợc minh họa trên Hình 1.3(b).



A



E

o
Hình 1.3: Mô hình l-ỡng tuyến tính cho vật liệu đàn-dẻo:
(a) tái bền E t
Lý thuyết dẻo gồm ba phần: 1) Tiêu chuẩn chảy dẻo (yield criterion), 2)
Luật chảy (flow rule), 3) Luật tái bền (hardening rule). Cả ba phần này cần
thiết cho phân tích kết cấu đàn-dẻo và sẽ đ-ợc trình bày chi tiết d-ới đây.

1.6 Luật chảy dẻo
Luật chảy dẻo hay còn gọi là tiêu chuẩn chảy dẻo xác định khi nào
vật


Häc viªn: NguyÔn V¨n LuËt

16
Luận văn thạc sĩ

Ngành Cơ học

liệu bắt đầu chảy. Trong tr-ờng hợp một chiều chảy dẻo xảy ra khi độ lớn
ứng suất | | đạt giá trị ứng suất chảy , trong đó th-ờng đ-ợc xác định
từ kiểm tra kéo mẫu vật liệu. Nh- nói tới ở trên, biến dạng dẻo có thể làm
thay đổi giá trị của ứng suất chảy, và trong tr-ờng hợp vật liệu tái bền, E t >
0 , ứng suất chảy mới có giá trị lớn hơn ứng suất chảy ban đầu.

Trong tr-ờng hợp tổng quát, luật chảy dẻo đ-ợc định nghĩa qua
hàm chảy f (yield function), là hàm của vec-tơ ứng suất và các tham
biến trong dùng để mô tả luật tái bền. Với vật liệu kim loại, tiêu chuẩn
von Mises th-ờng đ-ợc sử dụng trong phân tích, trong đó hàm f trong
tr-ờng hợp hai chiều cho bởi
f = (2x + 2y x y + 32xy )1/ 2 = e

Trong đó e đ-ợc gọi là ứng suất hữu hiệu (effective stress) và
chảy ban đầu, đ-ợc xác định từ thí nghiệm kéo mẫu giản đơn. Tiêu chuẩn
f = 0 . Khi

chảy nói rằng chảy dẻo trong vật liệu xảy ra khi
ở

f < 0 vật liệu đang

trạng thái đàn hồi hoặc trong giai đoạn cất tải.

2

F

a=
F=0

0

1

Hình 1.4: Mặt dẻo von Mises trong không gian ứng suất chính
(1,2 )

Tiêu chuẩn chảy dẻo von Mises f = 0 , định nghĩa bởi ph-ơng trình (1.7)

trong không gian ứng suất chính

là mặt elip, Hình 1.4. ở trạng thái đàn


Häc viªn: NguyÔn V¨n LuËt


17
Luận văn thạc sĩ
hồi,

e <

Ngành Cơ học

, ứng suất hữu hiệu nằm trong hình elip. Khi tải trọng ngoài tăng,

ứng suất hữu hiệu tăng và chảy dẻo xẩy ra khi

e

đạt giá trị ứng suất chảy .

Luật chảy xác định mối quan hệ giữa gia số ứng suất và gia số
biến dạng khi chảy dẻo (chính xác hơn là giữa d và d ). Trong tr-ờng hợp
một chiều mối liên hệ này giản đơn là d = Et d , tức là mô tả sự tăng của
ứng suất gây ra bởi sự tăng của biến dạng. Với vật liệu von Mises, luật chảy
Plandtl-Reuss th-ờng đ-ợc sử dụng và trong tr-ờng hợp hai chiều có dạng
d



d



Hoặc d-ới dạng vec-tơ:
{d} = [C]({d} {dp })

Trong đó [C] là ma trận các hằng số đàn hồi; {d} là gia số biến dạng
toàn phần tăng thêm và {dp } là gia số biến dạng dẻo, đ-ợc xác định từ
hàm chảy f theo công thức [6]

f
{dp } = d





= d{a}



(1.10)

Với

(1.11)

Véc-tơ a , định nghĩa bởi (1.11) là vec-tơ trực giao với mặt dẻo,
Hình 1.4; d là hằng số d-ơng và đ-ợc gọi là nhân tử gia số biến dạng
dẻo. Với d định nghĩa bởi (1.10), gia số ứng suất sinh ra từ gia số
biến dạng d có thể viết d-ới dạng
{d} = [C]({d} {dp }) = [C]({d} d{a})


Häc viªn: NguyÔn V¨n LuËt