Sử dụng quá trình toán học hóa trong dạy học xác suất ở nhà trường phổ thông

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE
Educational Science - Mathematics, 2013, Vol. 58, pp. 18-27
This paper is available online at

SỬ DỤNG QUÁ TRÌNH TOÁN HỌC HÓA TRONG DẠY HỌC XÁC SUẤT
Ở NHÀ TRƯỜNG PHỔ THÔNG

Nguyễn Thị Tân An
Khoa Toán, Đại học Sư phạm Huế
Email:
Tóm tắt. Bài báo khảo sát cách học sinh giải quyết hai tình huống xác suất thực tế
cụ thể từ đó đề xuất một số biện pháp tích hợp quá trình toán học hóa (THH) vào
dạy học giúp phát triển hiểu biết xác suất của học sinh. Qua thực nghiệm, chúng
tôi nhận thấy rằng mặc dù học sinh chưa biết về quá trình THH, nhưng khi đối mặt
với một tình huống thực tế, các em có xu hướng thực hiện 3 bước của quá trình này.
Từ khóa: Quá trình toán học hóa, hiểu biết thống kê, dạy học xác suất.

1.

Đặt vấn đề

Toán học hóa dựa trên giả thuyết “Giáo dục toán học thực tế” của Freudenthal, bắt
đầu ở Hà Lan vào những năm 1980. Theo giả thuyết này, toán học là một khía cạnh quan
trọng và cần thiết của sự phát triển kinh tế vì vậy giáo dục toán nên xuất phát từ các tình
huống thực tế và với mục đích tạo ra các kĩ năng có thể áp dụng được trong các tình huống
xã hội.
THH cho phép học sinh kết nối giữa toán học nhà trường với thế giới thực, chỉ ra
khả năng ứng dụng của các ý tưởng toán. Khi gặp một tình huống thực tế, học sinh cần
hiểu tình huống, đặt giả thiết và đưa ra phương pháp giải quyết. Nói cách khác, THH giúp
học sinh hiểu toán sâu sắc hơn và nâng cao chất lượng của việc học toán.
Ý tưởng của bài báo này là tích hợp quá trình THH vào dạy học xác suất ở nhà

trường phổ thông dưới dạng ẩn tàng thông qua các tình huống thực tế, nhằm mục đích
giúp học sinh hiểu sâu hơn các khái niệm xác suất cũng như thấy được mối liên hệ giữa
xác suất và thực tế. Trước tiên, chúng tôi xem xét nội dung xác suất trong chương trình
hiện nay và chú trọng đến phân tích các kiểu nhiệm vụ trong sách giáo khoa. Tiếp theo,
chúng tôi giới thiệu định nghĩa và các thành phần của hiểu biết xác suất, cũng như đề cập
đến bốn bước của quá trình THH. Cuối cùng là phần trình bày chi tiết kết quả nghiên cứu
cùng với thảo luận.
18


Sử dụng quá trình toán học hóa trong dạy học xác suất ở nhà trường phổ thông

2.
2.1.

Nội dung nghiên cứu
Xác suất trong chương trình

Hai thập kỉ qua, chương trình toán trong nhà trường ở nhiều nước trên thế giới đã
có sự chú ý đáng kể đối với lĩnh vực xác suất và thống kê. Ở nước ta, nếu không kể đến
chương trình thí điểm phân ban năm 1995, trong các sách giáo khoa toán trước đây chỉ
trình bày phần tổ hợp mà không có phần xác suất. Nhận thức được vai trò quan trọng của
xác suất đối với con người trong xã hội hiện đại, từ năm 2006 nội dung xác suất lần đầu
tiên đã được đưa vào dạy đại trà cho học sinh THPT với mục đích “giúp học sinh làm
quen với những vấn đề đơn giản có nội dung liên quan đến xác suất thường gặp trong đời
sống và khoa học”, “từng bước đưa chương trình THPT của ta dần hội nhập với quốc tế”
(Bộ GD & ĐT, 2007). Phần xác suất trong chương trình toán nâng cao của lớp 11 gồm 11
tiết, cấu trúc thành ba bài “Biến cố và xác suất của biến cố”, “Các quy tắc tính xác suất”,
“Biến ngẫu nhiên rời rạc”.
Mục tiêu của nội dung xác suất được đưa ra cụ thể trong sách giáo viên (Bộ GD &

ĐT, 2007) như sau:
Về kiến thức, giúp học sinh:
- Nắm được các khái niệm xác suất cơ bản: phép thử, không gian mẫu, biến cố liên
quan đến phép thử, tập hợp mô tả biến cố, kết quả thuận lợi cho một biến cố;
- Nắm vững cách tính xác suất theo định nghĩa cổ điển;
- Nắm chắc các khái niệm hợp và giao của hai biến cố, nhận biết hai biến cố xung
khắc, hai biến cố độc lập;
- Nắm vững quy tắc cộng và quy tắc nhân xác suất;
- Làm quen với khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc và các đặc trưng quan trọng của
nó là kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn. Nắm được công thức tính và hiểu được ý nghĩa
của kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn.
Về kĩ năng, giúp học sinh:
- Biết tính xác suất của biến cố theo định nghĩa cổ điển của xác suất;
- Biết vận dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân xác suất để giải một số bài toán
đơn giản;
- Biết lập bảng phân bố xác suất, biết tính kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của
một biến ngẫu nhiên rời rạc đơn giản.
Những tình huống xuất hiện trong các bài tập ở sách giáo khoa của chủ đề xác suất
phần lớn đều chứa đựng nội dung thực tế (28/38 ≈ 73.7%), tuy nhiên các kiểu nhiệm vụ
đặt ra để học sinh giải quyết thì hầu như không có tính thực tế, chủ yếu là hai kiểu nhiệm
vụ 1 và 2 sau đây:
19


Nguyễn Thị Tân An

Bảng 1. Các kiểu nhiệm vụ của nội dung xác suất trong SGK 11
Tri thức toán
Số lượng
Kiểu nhiệm vụ

mong đợi được
STT
bài tập
sử dụng
Định nghĩa cổ
18/38
điển của xác suất.
(47.4%)
Tính xác suất
1
Quy tắc cộng
10/38
và/hoặc quy tắc
(26.3%)
nhân xác suất.
Cho sẵn bảng phân bố
5/38
Tính kì vọng,
Công thức tính kì
xác suất.
(13.2%)
2
phương sai, độ
vọng, phương sai
Yêu cầu lập bảng phân
3/38
lệch chuẩn
và độ lệch chuẩn
bố xác suất và tính.
(7.9%)

Tính giá trị trung bình của một biến
Công thức tính
1/38
3
ngẫu nhiên rời rạc X
kì vọng
(2.6%)
Nhìn vào bảng 1 ta thấy rằng hầu hết các kiểu nhiệm vụ trong sách giáo khoa đều
chú trọng đến kĩ năng tính toán. Những dạng bài tập như vậy là cần thiết nhưng không đủ
để học sinh có thể chọn và sử dụng những kiến thức, kĩ năng phù hợp khi giải quyết vấn
đề xuất hiện trong các tình huống thực tế. Hơn nữa, học sinh sẽ khó khăn khi gặp các tình
huống xác suất mà hai kiểu nhiệm vụ trên (1 và 2) không xuất hiện một cách tường minh,
cũng như khó để phát triển hiểu biết xác suất của học sinh nếu các em chỉ được làm quen
với các kiểu nhiệm vụ như vậy. Ngày nay, có nhiều bằng chứng từ nghiên cứu và thực hành
cho thấy rằng không có sự chuyển đổi một cách tự động từ việc học toán lí thuyết sang
việc có thể sử dụng kiến thức toán đó vào tình huống ngoài toán. Học sinh không thể giải
quyết tốt các nhiệm vụ trong thực tế nếu họ không có cơ hội thực hành chúng (Lovett &
Greenhouse, 2000).

2.2.

Hiểu biết xác suất

Trong thực tế, chúng ta thường gặp những biến cố ngẫu nhiên, những hiện tượng
may rủi, những sự kiện không thể dự đoán một cách chắc chắn có xảy ra hay không, đó
đều là các tình huống liên quan đến lí thuyết xác suất chẳng hạn như dự báo tài chính, dự
báo thời tiết, nguy cơ về sức khỏe, nguy cơ phá sản của một công ty, chính sách bảo hiểm,
khả năng giành được giải thưởng trong một trò chơi. Vì vậy, mỗi cá nhân cần có hiểu biết
xác suất để đối phó một cách hiệu quả khi gặp các tình huống đó.
Theo Gal (2005), hai lí do chính để xác suất được lựa chọn đưa vào dạy và học trong

chương trình phổ thông đó là:
- Xác suất là một trong những lĩnh vực quan trọng của toán học mà học sinh được
20


Sử dụng quá trình toán học hóa trong dạy học xác suất ở nhà trường phổ thông

quyền học như là một phần của nền giáo dục hiện đại;
- Xác suất trang bị cho học sinh những kiến thức cần thiết trong cuộc sống để trở
thành những công dân “hiểu biết xác suất”, bởi vì các tình huống chứa đựng các yếu tố
xác suất xảy ra rất nhiều xung quanh ta dưới nhiều cách khác nhau và với các mức độ
khác nhau.
Trong bài báo này, hiểu biết xác suất (Probability Literacy) được xem xét như một
bộ phận của hiểu biết toán và có mối quan hệ chặt chẽ, không thể tách rời đối với hiểu biết
định lượng và hiểu biết thống kê. Quan hệ đó được thể hiện qua sơ đồ dưới đây:

Sơ đồ 1. Mối quan hệ giữa hiểu biết xác suất và hiểu biết toán
Dựa trên khái niệm hiểu biết thống kê của Gal (2004), chúng tôi đưa ra khái niệm
hiểu biết xác suất như sau:
Hiểu biết xác suất là khả năng hiểu, giải thích, đưa ra các nhận định có tính phê
phán đối với các tình huống chứa đựng các yếu tố xác suất gặp phải trong cuộc sống
hàng ngày.
Để có một cái nhìn đầy đủ hơn, bảng dưới đây tóm tắt các thành phần của hiểu biết
xác suất, phỏng theo mô hình của Gal (2005), bao gồm kiến thức và khuynh hướng, đó là
các yếu tố ảnh hưởng đến tư duy và thái độ khi chúng ta đứng trước một tình huống xác
suất trong thực tế:
Bảng 2. Các thành phần của hiểu biết xác suất

Kiến thức:
- Kiến thức xác suất cơ bản.

- Kiến thức toán.
- Kiến thức về tình huống mà vấn đề xác suất được xem xét.

21


Nguyễn Thị Tân An

- Kiến thức về ngôn ngữ (khả năng chuyển đổi từ ngôn ngữ, kí hiệu, xác suất sang
ngôn ngữ sử dụng hàng ngày và ngược lại, khả năng diễn đạt, giải thích, hiểu các ý
tưởng liên quan đến xác suất).
- Khả năng phê phán khi gặp một phát biểu liên quan đến xác suất.
Khuynh hướng:
- Niềm tin, thái độ.
- Lập trường, quan điểm.
Dựa trên ý tưởng của Gal (2005) “để phát triển hiểu biết xác suất cần chú ý kĩ năng
chuyển đổi từ kiến thức được học trong lớp học đến các tình huống bên ngoài lớp học”,
chúng tôi cho rằng, bên cạnh thành phần kiến thức và khuynh hướng, quá trình THH là
công cụ hữu ích để phát triển hiểu biết xác suất của học sinh.

2.3.

Quá trình Toán học hóa

Nếu như trước đây, mục đích của việc dạy toán là trang bị những kĩ năng để tính
toán hằng ngày, thì trong thế giới thông tin hiện nay, chương trình nhà trường không thể
phủ tất cả những kiến thức được xem là cần thiết mà dạy cho học sinh tư duy toán là quan
trọng hơn. Quá trình THH (Mathematisation process) trong nhà trường ngày càng được
chấp nhận rộng rãi nhằm đáp ứng mục tiêu tăng cường giáo dục toán theo hướng thực tế
được đặt ra bởi nhiều quan điểm giáo dục từ giữa thế kỉ 20 đến nay.

Toán học hóa là quá trình chuyển đổi một vấn đề thực tế sang một vấn đề toán
học bằng cách thiết lập và giải quyết các mô hình toán học, thể hiện và đánh giá lời
giải trong tình huống thực tế, cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không thể chấp nhận
(PISA, 2006).
THH là một hoạt động phức hợp, đòi hỏi học sinh phải có nhiều năng lực khác nhau
trong các lĩnh vực toán học khác nhau cũng như có kiến thức liên quan đến các tình huống
thực tế được xem xét. Nhiều sơ đồ đã được sử dụng để chỉ ra bản chất của hoạt động THH,
như là một hướng dẫn để thiết kế các nhiệm vụ THH và thực hiện THH trong lớp học
(Blum 2005, PISA 2006, Stillman 2007). Các chu trình THH đều liên quan đến sự chuyển
đổi giữa toán và thực tế theo cả hai chiều và gồm 4 bước chính, các bước này mô tả những
hoạt động mà học sinh sẽ thực hiện trong suốt quá trình THH (An, 2012).
Quá trình THH bắt đầu với 1 vấn đề thực tế - một vấn đề xuất phát từ thế giới thực
với các dữ liệu thực.
- Bước 1. Chuyển đổi từ vấn đề thực tế sang vấn đề toán: xác định các thông tin toán
học cần thiết, nhận ra các khái niệm toán học, đưa ra các cấu trúc, biểu diễn, đặc trưng
toán liên quan để xây dựng tình huống đã cho theo ngôn ngữ toán học, mô tả bản chất các
yếu tố và mối quan hệ trong tình huống thực tế.
22


Sử dụng quá trình toán học hóa trong dạy học xác suất ở nhà trường phổ thông

Sơ đồ 2. Chu trình toán học hóa

- Bước 2. Giải toán: lựa chọn, sử dụng phương pháp và công cụ toán học phù hợp
để giải quyết một vấn đề đã được thiết lập dưới dạng mô hình toán học. Sản phẩm cuối
cùng ở bước này là một kết quả toán học.
- Bước 3. Chuyển đổi từ kết quả toán sang kết quả thực tế: xem xét kết quả toán học
trong ngữ cảnh của tình huống thực tế ban đầu và làm cho kết quả đó có ý nghĩa.
- Bước 4. Phản ánh: xem lại các giả thuyết và những hạn chế của mô hình, các

phương pháp cũng như công cụ được sử dụng trong giải quyết vấn đề. Điều này có thể
dẫn đến một sự cải tiến trong mô hình cũng như lời giải hoặc tạo ra một quá trình mới nếu
cần thiết.

2.4.

Kết quả nghiên cứu

Mục đích của nghiên cứu này là tìm hiểu cách học sinh giải quyết các tình huống
xác suất thực tế, và làm thế nào để đưa quá trình THH vào dạy học giúp học sinh phát
triển hiểu biết xác suất.
Để đảm bảo tính khách quan của nghiên cứu, học sinh tham gia thực nghiệm không
bị chi phối bởi tình huống có trước, cũng như cách thức tiến hành, kiểu câu hỏi của giáo
viên, khảo sát thực hiện trên hai nhóm học sinh lớp 11 gồm 24 em, mỗi nhóm giải quyết
một tình huống khác nhau. Các học sinh tham gia thực nghiệm đã học xong chương “Tổ
hợp và xác suất” của chương trình toán 11 nâng cao. Hai tình huống thực tế được lựa chọn
thực nghiệm có nội dung toán nằm trong chương trình (tính xác suất và kì vọng), và ngữ
cảnh đặt ra là trò chơi quay số khá quen thuộc. Chúng tôi chia mỗi nhóm thành 3 nhóm
nhỏ, các em sẽ tiếp xúc với tình huống, làm việc cá nhân, sau đó thảo luận, trao đổi cùng
các bạn trong nhóm để đi đến thống nhất cách giải quyết. Mỗi nhóm nhỏ có một giáo viên
quan sát, ghi chép lại các ý kiến, suy nghĩ của học sinh và đưa ra các câu hỏi liên quan
đến quá trình THH khi cần thiết. Trong phân tích nghiên cứu, chúng tôi tập trung vào các
bước của quá trình THH được học sinh sử dụng, thể hiện dưới dạng ngầm ẩn, khi giải
quyết một tình huống thực tế liên quan đến xác suất.
23


Nguyễn Thị Tân An

Tình huống 1

Trò chơi trong một gian hàng ở hội chợ xuân
liên quan đến một bảng tròn có gắn kim quay và một
túi bi như hình vẽ bên. Mỗi lần chơi, người chơi sẽ
quay bảng tròn và bốc một viên bi trong túi. Người
chơi sẽ được nhận phần thưởng nếu mũi kim dừng
lại ở một số chẵn và bốc được bi màu đen.
Thùy chơi trò chơi một lần. Khả năng mà
Thùy được nhận phần thưởng là như thế nào?
A. Không thể

B. Ít khả năng (< 50%)

D. Nhiều khả năng (> 50%)

C. 50% khả năng

E. Chắc chắn

Đối với tình huống này, lúc đầu học sinh khá lúng túng vì tình huống đưa ra không
giống những dạng bài tập mà các em đã gặp trong sách giáo khoa. Nhưng sau khi đọc kĩ
đề bài, tất cả học sinh đều nhận ra những thông tin quan trọng của tình huống: bảng kim
quay có 6 ô số, trong đó 5 ô số chẵn; túi bi có 20 viên gồm 6 bi đen và 14 bi trắng; người
chơi sẽ thắng nếu quay được ô số chẵn và bốc được bi đen. Đồng thời, các em cũng “phiên
dịch” được yêu cầu của tình huống là tính xác suất để Thùy được nhận phần thưởng.
Để tính xác suất trên, các em đã sử dụng những cách giải quyết sau:
- Dùng định nghĩa cổ điển của xác suất: Xác suất = số kết quả thuận lợi / số phần tử
của không gian mẫu. Tuy nhiên, nhiều học sinh giải theo cách này đã xác định sai số kết
quả thuận lợi hoặc số phần tử của không gian mẫu.
- Xác suất nhận phần thưởng là xác suất để cả hai biến cố độc lập “quay được ô
chẵn” và “bốc được bi đen” xảy ra đồng thời, từ đó sử dụng quy tắc nhân xác suất. Ở bước

này, có học sinh đề nghị sử dụng quy tắc cộng xác suất vì nhầm lẫn trong việc chuyển đổi
từ “và” với “phép toán cộng”.
- Sử dụng quy tắc đếm: “Khả năng quay vào 5 ô chẵn là C65 , khả năng quay vào một
trong 5 ô chẵn là C15 , khả năng lấy được 6 bi đen trong túi là C62 0, khả năng lấy được 1 bi
6
đen trong 6 bi đen là C16 . Vậy xác suất P = C65 × C51 × C20
× C61 ”. Đây là sai lầm trong
suy luận khi giải bài toán của 2 học sinh, nhưng sau đó các em nhận ra kết quả này không
đúng, vì giá trị của xác suất P phải thuộc đoạn [0;1].
Khi đã tính được xác suất để quay vào ô chẵn và bốc được bi đen, các học sinh đều
trả lời được câu hỏi mà tình huống đặt ra, nhóm có kết quả xác suất nhỏ hơn 0.5 chọn ô
“ít khả năng”, nhóm có kết quả lớn hơn 0.5, do sai lầm trong quá trình giải toán, chọn ô
“nhiều khả năng” và các em chấm dứt bài làm của nhóm mình mà không có bước kiểm
tra lại nào. Dưới đây là một đoạn phỏng vấn của giáo viên với học sinh trong nhóm tìm ra
kết quả đúng P = 0.25 đã bộc lộ quan niệm sai lầm của học sinh đối với ý nghĩa của xác
suất dẫn đến việc giải thích kết quả toán ngược trở lại tình huống thực tế không đúng.
24


Sử dụng quá trình toán học hóa trong dạy học xác suất ở nhà trường phổ thông

GV: Em hiểu kết quả này như thế nào?
HS: Nếu chơi 4 lần thì sẽ thắng 1 lần.
GV: Em có nghĩ rằng có người chỉ chơi 1 lần mà thắng, và có người chơi 4 lần mà
không thắng?
HS: Không... Nhưng cũng có thể chơi 1 lần mà thắng, như vậy là quá hên, còn chơi
4 lần thì nhất định có 1 lần thắng, không phải lần thứ 4 thì có thể lần thứ 3 hoặc thứ 2,
1
một lần nào đó trong 4 lần chơi vì xác suất thắng là 0.25 = .
4

Mặc dù đạt được kết quả đúng nhưng học sinh trên đã có sự nhầm lẫn khi cho rằng
khả năng xảy ra của một biến cố ngẫu nhiên là có tính chắc chắn với số lần thử không
đủ lớn.
Tình huống 2
Trong hội trại sắp tới, lớp 11A dự định tổ chức một
trò chơi. Bạn Lâm đề nghị sử dụng một bánh xe số với các
số từ 1 đến 10 (hình vẽ). Mỗi lần chơi, người chơi phải trả
10.000 đồng, sau đó được chọn hai trong 10 số và quay
bánh xe. Nếu bánh xe dừng lại ở một trong hai số đã chọn
thì người chơi được nhận 60.000 đồng. Em có đồng ý với
ý kiến của bạn Lâm không? Tại sao?
Khi tiếp xúc với tình huống này, mặc dù mất nhiều
thời gian hơn so với tình huống 1, nhưng học sinh vẫn hiểu và nắm được yêu cầu của tình
huống - Thực hiện trò chơi quay số theo cách của bạn Lâm có lời không và sẽ đồng ý
nếu cách đó có lời. Tuy nhiên khi thiết lập mô hình toán từ tình huống đã cho, các em lại
đưa về bài toán: so sánh xác suất thắng và xác suất thua của trò chơi. Cách giải quyết này
không phản ánh được bản chất của tình huống vì không bị ràng buộc bởi yếu tố tiền chơi
và tiền thưởng.
Khi giáo viên yêu cầu “So sánh số tiền trung bình mà trò chơi phải trả cho người
thắng cuộc và số tiền trung bình thu được”, 4 học sinh cho rằng cần phải tính kì vọng do
dựa vào từ khóa “số tiền trung bình” nhưng không chắc chắn với suy nghĩ của mình và
không biết bắt đầu như thế nào.
Giáo viên tiếp tục đề nghị: “Gọi X là số tiền mà trò chơi phải trả cho người chơi.
Lập bảng phân bố xác suất của X và tính E(X).” Gợi ý này của giáo viên tương tự những
kiểu nhiệm vụ mà các em gặp trong SGK, do đó hầu hết các em thực hiện tốt bước giải
toán. Sau khi lập bảng, tính kì vọng, các em nhận thấy thực hiện trò chơi theo cách bạn
Lâm thì sẽ lỗ do:
E(X) = 0.

2

8
+ 60000. = 12000 > 10000
10
10

(2.1)
25


Nguyễn Thị Tân An

Với câu hỏi “Chúng ta sẽ thay đổi một số yếu tố nào của trò chơi để xoay ngược tình
hình?”, học sinh đã dựa vào công thức (2.1) và đưa ra các ý kiến sau:
- Tăng giá tiền mỗi lần chơi (trên 12000 đồng);
- Cho người chơi chọn một số thay vì chọn hai số để giảm xác suất thắng xuống

1
;
10

- Giảm giải thưởng cho mỗi lần thắng (dưới 50000 đồng);
Như vậy, học sinh học công thức tính kì vọng nhưng không hiểu ý nghĩa của công
thức, không thấy mối liên hệ giữa khái niệm kì vọng với tình huống thực tế, mặc dù đây
là một yêu cầu đặt ra của chương trình và cụ thể trong sách giáo khoa, sau định nghĩa kì
vọng, có đề cập “E(X) là một số cho ta một ý niệm về độ lớn trung bình của X. Vì thế kì
vọng E(X) còn được gọi là giá trị trung bình của X.” Ở ví dụ này, kì vọng E(X) = 12000
cho ta một hình dung, nếu trò chơi có nhiều người chơi thì số tiền thưởng trung bình là
12000 đồng cho mỗi lượt trong khi số tiền thu vào chỉ 10000 đồng, điều đó có nghĩa là
phương án của bạn Lâm đưa ra không thể chấp nhận.

3.

Kết luận

Qua thực nghiệm trên, chúng tôi nhận thấy rằng mặc dù học sinh chưa biết về quá
trình THH, nhưng khi đối mặt với một tình huống thực tế, các em có xu hướng thực hiện
3 bước của quá trình này: Chuyển đổi từ vấn đề thực tế sang vấn đề toán ⇒ Giải toán ⇒
Chuyển đổi từ kết quả toán sang kết quả thực tế.
- Ở bước chuyển đổi từ vấn đề thực tế sang vấn đề toán: học sinh đã đọc các yếu tố
liên quan rất cẩn thận để có một hình dung rõ ràng và hiểu được yêu cầu của tình huống,
nhận ra các thông tin có giá trị, các đại lượng ảnh hưởng đến tình huống. Trong mỗi tình
huống, học sinh cố gắng xây dựng mô hình toán học tương ứng, tuy nhiên đôi khi chưa
phù hợp do những sai lầm trong tư duy, suy luận của các em.
- Bước giải toán, ở hai ví dụ thực nghiệm, phần lớn học sinh thực hiện khá tốt bởi vì
lúc này tình huống đã phát biểu dưới dạng toán và yêu cầu đặt ra tương tự các kiểu nhiệm
vụ mà các em được học mặc dù vẫn còn tồn tại những sai lầm trong tính toán, vận dụng
công thức, quy tắc đếm.
- Bước chuyển đổi từ kết quả toán sang kết quả thực tế: sau khi có kết quả toán, các
em chỉ trả lời câu hỏi tình huống đưa ra mà không xem xét ý nghĩa của kết quả đó.
- Bước phản ánh: học sinh hầu như không có thói quen thực hiện bước này, nhưng
nếu sau mỗi tình huống thực tế, giáo viên đều đặt ra những câu hỏi giúp các em suy nghĩ
về tính hợp lí của lời giải, tìm hiểu các yếu tố ảnh hưởng đến kết quả, xem xét lại tính hợp
lí của quá trình THH sẽ giúp học sinh dần dần hình thành thói quen phản ánh sau mỗi quá
trình giải, đồng thời cũng giúp giáo viên có một cái nhìn đầy đủ hơn, toàn diện hơn về
việc hiểu của học sinh.
26


Sử dụng quá trình toán học hóa trong dạy học xác suất ở nhà trường phổ thông

Như vậy, để giúp học sinh phát triển hiểu biết xác suất, giáo viên không chỉ dạy các
em các khái niệm, công thức, quy tắc, các nhiệm vụ tính toán mà học sinh cần được dạy
để có khả năng hiểu, giải thích, phản ánh khi đứng trước một tình huống thực tế liên quan
đến xác suất, thấy được mối liên hệ giữa xác suất với thực tế và ngược lại. Để đạt được
mục đích trên, các thành phần của hiểu biết xác suất cần được chú ý và quá trình THH
cần được đưa vào dạy học dưới dạng không tường minh, thông qua các ví dụ với các kiểu
nhiệm vụ thực tế, trong đó giáo viên chú trọng rèn luyện cho học sinh bước xây dựng mô
hình toán và bước phản ánh.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Thị Tân An, 2012. Sự cần thiết của mô hình hóa trong dạy học toán. Tạp
chí khoa học Đại học Sư phạm Tp. HCM, 37 (71).
[2] Bộ GD&ĐT, 2007 Tài liệu bồi dưỡng giáo viên thực hiện chương trình, sách giáo
khoa lớp 11 - Môn Toán. Nxb Giáo dục.
[3] Bộ GD&ĐT, 2007 Đại số và Giải tích 11 Nâng cao - Sách giáo viên. Nxb Giáo dục.
[4] Gabriele Kaiser, Werner Blum, Rita Borromeo Ferri, Gloria Stillman, 2011 Trends
in Teaching and Learning of Mathematical Modelling. Springer.
[5] Gal, I., 2004. Statistical Literacy: Meaning, Components, Responsibilities. In
D.Ben-Zvi and J.Garfield (eds.), The challenge of developing statistical literacy,
reasoning, and thinking, pp. 47-78. Dordrecht, The Netherlands: Kluwer Academic
Publishers.
[6] Gal, I., 2005. Exploring probability in school: Challenges for teaching and learning.
Towards "Probability Literacy" for All Citizens: Building Blocks and Instructional
Dilemmas Reflections. In Graham A. Jones (Ed.), pp. 39-63. New York: Springer.
[7] OECD, 2006. A Framework for PISA 2006. Assessing Scientific, Reading and
Mathematical Literacy. OECD, Paris, France.
[8] Werner Blum, Peter L. Galbraith, Hans-Wolfgang Henn, Mogens Niss, 2007.
Modelling and Applications in Mathematics Education. Springer.
ABSTRACT
Using the mathematisation process when teaching probability
to high school students

This paper examines how students solve two specific probability situations and
suggests measures to make use of the mathematisation process when teaching in order to
develop probability literacy. Through experimentation, it was found that although students
did not know what a a ‘mathematisation process’ is, they usually perform the three steps
of this process when facing with a real life situation. They do tend to follow these steps:
Transform a real problem into a math problem, work with mathematics and then transform
that mathematical result into a solution of the real life problem.
27