Phép biến đổi tích phân dạng fourier và ứng dụng giải một số phương trình vi phân và tích phân

TR×˝NG

I H¯C QU¨C GIA H
N¸I
I H¯C KHOA H¯C TÜ NHI N
?

PHAN

ÙC TU N

PH PBI N ˚ITCHPH ND NG FOURIER V
ÙNG DÖNG GI I M¸T S¨
PH×ÌNG TR NH VI PH N V

LU N

NTI NS TO NH¯C

H Nºi-2012

T CH PH N


TR×˝NG

I H¯C QU¨C GIA H
N¸I
I H¯C KHOA H¯C TÜ NHI N
?

PHAN

ÙC TU N

PH PBI N ˚ITCHPH ND NG FOURIER V ÙNG
DÖNG GI I M¸T S¨
PH×ÌNG TR NH VI PH N V

T CH PH N

Chuy¶n ng nh: To¡n gi£i t‰ch
M¢ sŁ: 62 46 01 01

LU N

NTI NS TO NH¯C

NG×˝I HײNG D N KHOA H¯C
PGS. TS. NGUY N MINH TU N

H Nºi-2012


MÖC LÖC
Líi cam
oan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Líi c£m ìn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Danh möc c¡c kþ hi»u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mð ƒu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ch÷ìng 1. Ph†p bi‚n Œi Hartley

1.1.

2
3
5

7

Ph†p bi‚n Œi Fourier
1.1.1.
1.1.2.
Ph†p bi‚n Œi Hartley

1.2.

1.2.1. Ph†p bi‚n Œi H
1.2.2.

Ch÷ìng 2. Ph†p bi‚n Œi t‰ch ph¥n d⁄ng Fourier Łi xøng
2.1.
ành ngh¾a v t‰nh ch
2.2.
Nguy¶n lþ b§t ành He
Ch÷ìng 3. Ùng döng gi£i mºt sŁ ph÷ìng tr…nh vi ph¥n v
t‰ch ph¥n
3.1.

3.2.

Gi£i ph÷ìng tr…nh vi p

3.1.1.
3.1.2.
Gi£i ph÷ìng tr…nh t‰
3.2.1. Ph÷ìng tr…nh t‰
3.2.2. Ph÷ìng tr…nh t

K‚t lu“n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Danh möc cæng tr…nh khoa håc cıa t¡c gi£ li¶n quan
‚n lu“n ¡n . . . . . . . . . .
T i li»u tham kh£o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Phö
löc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4


DANH MÖC C C KÞ HI U

d : SŁ nguy¶n d÷ìng cho tr÷îc.
N : t“p hæp c¡c sŁ tü nhi¶n.
Z : t“p hæp c¡c sŁ nguy¶n.
Z : t“p hæp Z n f0g:
: a ch¿ sŁ x¡c ành bði
d

= ( 1; : : : ; d) 2 N ; v
@j j

j j=

+

+

1

d;

D

:=

x @x1 1 : : : @xd d
xy : t‰ch væ h÷îng cıa x v y; x¡c ành bði
d
xy = x1y1 + + xdyd; x; y 2 R ; v
2

:

2

jxj = x 1 + + x2d; x = x1 1 : : : xd d
d
S : khæng gian c¡c h m f kh£ vi væ h⁄n tr¶n R thäa m¢n
2 m
sup sup (1 + jxj ) j(Dx f)(x)j < 1; (m = 0; 1; 2; : : : ):
j j m x2R

d

L1(E) : khæng gian c¡c h m f kh£ t‰ch Lebesgue tr¶n E,
Z
vîi chu'n kfk1 =
jf(x)jdx:
E

L2(E) : khæng gian c¡c h m f b…nh ph÷ìng kh£ t‰ch Lebesgue tr¶n E,
2

vîi chu'n kfk 2 =
d

Z

Z

2

jf(x)j dx; v hf; gi =
E

f(x)g(x)dx:
E

d

C0(R ) : khæng gian c¡c h m f li¶n töc tr¶n R v tri»t ti¶u t⁄i væ còng
vîi chu'n kfk1 = sup jf(x)j:
d

x2R

l2(Z) : khæng gian c¡c d¢y sŁ a = fangn2Z thäa m¢n
X

X

2

2

janj < +1 vîi chu'n kak =

janj :

n2Z

n2Z

c0(Z) : khæng gian c¡c d¢y sŁ bà ch°n a = fangn2Z thäa m
¢n lim an = 0 vîi chu'n kak = sup janj:
jnj!1

n2Z

5


H (x) :

a thøc Hermite x¡c ành bði
j j jxj
xj
H (x) = ( 1) e 2 D e 2 :
x

(x) : h m Hermite

(x) = (

÷æc x¡c ành bði
jj

1

1) e 2

cas(x) : h m Hartley x¡c

jxj2

Dx e

ành bði

cas x = cos x + sin x
[x] : h m phƒn nguy¶n cıa x:

6

xj2

:


M U
1. Lch sò vĐn

v l do lỹa chồn

ti

Nhiu vĐn trong khoa hồc v cổng nghằ ữa n viằc giÊi mt phữỡng
trnh vi phƠn thữớng, phữỡng trnh o h m riảng, hoc phữỡng trnh t
ch phƠn. Chflng hn, trong b i toĂn tnh lằch ứng ca mt dm vổ
hn dÔn n giÊi mt phữỡng trnh vi phƠn thữớng sau (xem [15])
4

du
dx

EI

4

+

Khi nghiản cứu cĂc dao ng ca dƠy, m ng mọng, sõng Ơm, sõng to ra
do thy triu, sõng n hỗi, sõng iằn trữớng, ... dÔn n giÊi phữỡng trnh
truyn sõng sau (xem [10, 15, 47])

2

@u
@t

a

2

Trong cỡ hồc lữổng tò, xung lữổng ca cĂc ht cỡ bÊn ữổc biu din
qua phữỡng trnh tch phƠn Fredholm sau (xem [1, 12])
Z
(x) =
K(x; y)(y)dy:
(0.3)
Mt vĐn t ra l i tm lới giÊi cho cĂc phữỡng trnh vi phƠn, tch
phƠn do cĂc vĐn ca khoa hồc v cổng nghằ ữa n. Cõ rĐt nhiu hữợng
tip cn dỹa trản nhiu lỵ thuyt toĂn hồc khĂc nhau trong viằc giÊi quyt
vĐn trản nhữ: ch ra iu kiằn tỗn ti v duy nhĐt nghiằm, sỹ n nh
nghiằm; giÊi tm nghiằm úng, nghiằm gn úng, nghiằm suy rng, v.v.
Trong s õ, viằc sò dửng cĂc bin i tch phƠn giÊi cĂc phữỡng tr
nh k trản ra ới rĐt sợm v liản tửc phĂt trin cho n tn ng y nay. Cõ vai
trặ c biằt quan trồng trong lỵ thuyt n y phÊi k n trữợc ht l bin i
Fourier, Fourier sine, Fourier cosine, Hartley, tip theo l bin i
Laplace, bin i Mellin, sau õ l cĂc bin i Hankel, KontorovichLebedev, Stieltjes,.... Cũng vợi lỵ thuyt php bin i tch
phƠn, lỵ thuyt chp liản kt vợi cĂc bin i tch phƠn cụng xuĐt hiằn v
o khoÊng u th k XX. Tuy nhiản, cho n trữợc nhng nôm 50 ca
7

2

th k trữợc, khổng cõ nhiu chp liản kt vợi cĂc bin i tch phƠn ữổc
xƠy dỹng. Cho n khi nhng kt quÊ ca Kakichev V.A. (1967)
v Kakichev V.A., Thao N. X. (1998) cổng b (xem [31, 33]) v
phữỡng phĂp kin thit xƠy dỹng chp suy rng th mt lot cĂc chp suy
rng mợi liản kt vợi cĂc bin i tch phƠn khĂc nhau ra ới. Nhng nôm
gn Ơy, cõ khĂ nhiu b i bĂo v sĂch v cĂc ứng dửng ca cĂc bin i t
ch phƠn, chp liản kt vợi cĂc bin i tch phƠn ữổc cổng b (xem
[9, 11, 19, 21, 20, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 32, 34, 35, 36, 38, 39, 40,
41, 42, 44, 45, 46, 47, 50, 51, 53, 54]).
Ăng chú ỵ l bin i Fourier rĐt hu dửng trong viằc giÊi phữỡng tr
nh o h m riảng, phữỡng trnh tch phƠn v nhng lỵ do sau (xem
[15]): trữợc tiản, cĂc phữỡng trnh õ ữổc thay th bi cĂc phữỡng trnh

i s ỡn giÊn, cho php chúng ta tm nghiằm l cĂc bin i Fourier ca
h m. Nghiằm ca phữỡng trnh ban u s thu ữổc thổng qua bin i
Fourier ngữổc. Thứ hai, bin i Fourier l nguỗn gc ban u xĂc nh
nghiằm cỡ bÊn, minh hồa cho ỵ tững xƠy dỹng h m Green sau n y.
Thứ ba, bin i Fourier ca nghiằm kt hổp vợi nh lỵ chp cung cĐp
mt cĂch biu din nghiằm tữớng minh cho b i toĂn biản ban u.
d

CĂc bin i Fourier cosine, Fourier sine trản R , Fourier, Fourier
ngữổc v cĂc bin i Hartley ln lữổt ữổc nh nghắa trong khổng
d
gian L1(R ) nhữ sau (xem [6, 7, 39, 41, 47]):

trong õ, cas u := cos u + sin u. Theo cổng thức Euler th cĂc bin i
Fourier, Fourier ngữổc v Hartley ữổc biu din tuyn tnh qua hai bin

8


d

i Fourier cosine v Fourier sine trản R l
F = Tc

iTs;

F

H1 = Tc + Ts;

1

= Tc + iTs;

H2 = Tc

Ts:

iu n y  ữa n cho chúng tổi ỵ tững xt cĂc bin i tch phƠn
Ta;b = aTc + bTs; a; b 2 C;
gồi l cĂc bin i tch phƠn dng Fourier. Trong s n y, cĂc bin i Hartley
cõ mt s ữu im nhĐt nh nhữ: Chúng õng vai trặ quan trồng trong xò lỵ t
n hiằu, xò lỵ Ênh, xò lỵ Ơm thanh (xem [6, 7, 8, 28, 37, 52]). Khi tnh
toĂn s vợi h m nhn giĂ tr thỹc th cĂc bin i Hartley nhanh hỡn bin i

Fourier v bin i Hartley ca mt h m nhn giĂ tr thỹc

l mt h m nhn giĂ tr thỹc, trong khi bin i Fourier ca mt h m nhn
giĂ tr thỹc cõ th l mt h m nhn giĂ tr phức. Theo V dử 1.2, th vợi
h m nhn giĂ tr thỹc
8p
f(x) =

<2 e

x

nu x > 0;

:

0nu x < 0;

những Ênh Fourier ca f l mt h m nhn giĂ tr phức
(F f)(x) =
trong khi cĂc Ênh Hartley ca f l

(H1f)(x) =
So vợi cĂc bin i Fourier cosine, Fourier sine th cĂc bin i Hartley l
khÊ nghch trong khi cĂc bin i Fourier cosine, Fourier sine li khổng
khÊ nghch. Trong cun sĂch v php bin i tch phƠn ca mnh
(xem [39]), Olejniczak K. J. Â vit: "cõ l mt trong nhng õng gõp
giĂ tr nhĐt ca Hartley l mt bin i tch phƠn i xứng ữổc phĂt trin
khi u t nhng vĐn truyn tÊi sõng iằn thoi. Mc dũ bin i n y b l
Âng quản gn 40 nôm, những nay nõ Â ữổc nghiản cứu li trong thp k

qua bi hai nh toĂn hồc Wang v Bracewell - nhng ngữới  to ra lỵ
thuyt hĐp dÔn v t i n y".
9


Vợi nhng l do trản, chúng tổi lỹa chồn t i "Php bin i tch
phƠn dng Fourier v ứng dửng giÊi mt s phữỡng trnh vi phƠn v t
ch phƠn".
2. Mửc ch, i tữổng v phm vi nghiản cứu
Mửc ch ca lun Ăn l i nghiản cứu nhng tnh chĐt toĂn tò, xƠy
dỹng chp suy rng liản kt vợi cĂc bin i Hartley cũng vợi h m trồng
Hermite v khổng cõ h m trồng. Sò dửng chúng giÊi mt s phữỡng tr
nh vi phƠn v tch phƠn trản min vổ hn. Song song vợi cĂc phữỡng tr
nh xĂc nh trản min vổ hn l cĂc phữỡng trnh xĂc nh trản min hu
hn. Do õ, lun Ăn ữa ra hai bin i Hartley hu hn v xƠy dỹng chp liản
kt vợi cĂc bin i n y giÊi cĂc phữỡng trnh trản min hu hn. Ngo i ra,
lun Ăn cặn xt mt bin i tch phƠn dng Fourier mợi
Z

1

(T f)(x) = p f(y)[2 cos(xy) + sin(xy)]dy; 2 R
nghiản cứu cĂc c trững i s, xƠy dỹng chp liản kt vợi bin

i n y

v nguyản
lỵ
bĐt
nh

Heisenberg. 3. Phữỡng phĂp
nghiản cứu

Nghiản cứu cĂc c trững i s ca cĂc bin i tch phƠn. T õ, tm
ra bin i ngữổc v i ngữổc t flng thức nhƠn tò hõa xƠy dỹng chp,
chp suy rng liản kt vợi cĂc bin i tch phƠn. i vợi mỉi bin i t
ch phƠn chúng tổi xƠy dỹng b bn chp m nhƠn ca chúng cõ dng
[f(x + y) + f(x

y) + f( x + y)

[f(x + y) + f(x

y)

[f(x + y)

f(x

[ f(x + y) + f(x
Do õ, cĂc tch phƠn cõ dng
Z

f( x

f( x + y) + f( x

y) + f( x + y) + f( x
y) + f( x + y) + f( x

f( x

y)]g(y);
y)]g(y);
y)]g(y);
y)]g(y):

y)g(y)dy;

u biu din ữổc qua cĂc chp trản. Nhớ vy, chúng tổi  ữa phữỡng
trnh tch phƠn vợi nhƠn Toeplitz-Hankel v hằ phữỡng trnh tuyn t
nh. T kt quÊ ca i s tuyn tnh v bin i ngữổc, chúng tổi ữa ra
iu kiằn cn v phữỡng trnh cõ nghiằm v cổng thức nghiằm tữớng
minh.
10


4. CĐu trúc lun Ăn v cĂc kt quÊ
Lun Ăn gỗm phn m u, ba chữỡng, kt lun v phử lửc:
Chữỡng 1 trnh b y mt s tch chĐt cỡ bÊn ca bin i Fourier trản Rd
v bin i Fourier trản on hu hn. XƠy dỹng chp, chp suy rng liản
kt vợi cĂc bin i Hartley cũng vợi h m trồng Hermite v khổng cõ h m
trồng. nh nghắa cĂc bin i Hartley trản on hu hn v xƠy dỹng
chp, chp suy rng liản kt vợi cĂc bin i tch phƠn n y.
Chữỡng 2 ữa ra mt bin i tch phƠn dng Fourier mợi T . Chứng
minh mt s c trững i s ca nõ nhữ:
+ T l bin i i xứng v khổng unita.
+ T cõ

a thức c trững l PT (t) = t

4

2

5t + 4:

+ T khổng thọa mÂn flng thức Parseval.
+ T thọa mÂn hằ thức bĐt nh Heisenberg.
+ T bin mt h m nhn giĂ tr thỹc th nh mt h m nhn giĂ tr thỹc.
+ T l toĂn tò khÊ nghch vợi toĂn tò ngữổc
(T

XƠy dỹng chp suy rng liản kt vợi cĂc bin i Hartley, T cũng vợi h m
trồng Hermite v khổng cõ h m trồng.
Chữỡng 3 sò dửng cĂc kt quÊ thu ữổc Chữỡng 1 v Chữỡng 2 v o giÊi
mt s phữỡng trnh vi phƠn v tch phƠn nhữ: phữỡng trnh xĂc nh
lằch ứng ca dm, phữỡng trnh xĂc nh vêng tắnh ca dm, phữỡng
trnh truyn sõng, phữỡng trnh khuch tĂn, phữỡng trnh Schrodinger,
phữỡng trnh tch phƠn dng chp vợi nhƠn Toeplitz - Hankel, nhƠn
chứa cĂc h m Hermite. Bản cnh õ, chúng tổi cặn sò dửng phn mm
Maple giÊi nghiằm tữớng minh cho mt s phữỡng trnh  xt. c biằt,
vợi cổng cử l chp suy rng liản kt vợi cĂc bin i Hartley hu hn m mt
lợp phữỡng trnh tch phƠn Toeplitz-Hankel sau (xem [48])
(x) +

Z

cõ th giÊi v thu ữổc nghiằm dng chuỉi. Phữỡng trnh n y cõ rĐt
nhiu ứng dửng trong cĂc lắnh vỹc khĂc nhau nhữ lỵ thuyt tĂn x, lỵ

11


thuyt ng lỹc hồc chĐt lọng, lỵ thuyt lồc tuyn tnh, trong nghiản cứu
cĂc va chm n hỗi, tĂn x kh quyn, ng lỹc hồc kh loÂng, ... (xem
[1, 2, 5, 12, 17, 18, 30, 39, 47, 48]). Ngoi tr mt s trữớng hổp c biằt
i vợi nhƠn Toeplitz p v nhƠn Hankel q, b i toĂn tm nghiằm õng cho
phữỡng trnh (0.5) tng quĂt cho n nay vÔn l b i toĂn m.
5. ị nghắa ca cĂc kt quÊ
Lun Ăn ữa ra mt cĂch tip cn khĂc trong viằc nghiản cứu cĂc bin
i tch phƠn. õ l dỹa v o cĂc c trững i s ca cĂc bin i tch phƠn.
Theo cĂch tip cn n y th cĂc bin i tch phƠn ữổc phƠn loi dỹa
theo c trững i s ca nõ. Nhớ õ, lun Ăn  ữa ra mt bin i tch phƠn
mợi T cõ mt s c trững i s khĂc vợi cĂc bin i tch phƠn  bit. Hy
vồng, chúng ta s tm ữổc cĂc ứng dửng mợi cho bin i n y. Vợi
chp liản kt vợi cĂc bin i Hartley hu hn, lun Ăn  trÊ lới ữổc mt
phn ca b i toĂn m (0.5). CĂc kt quÊ ca lun Ăn gõp phn l m phong
phú thảm l thuyt v php bin i tch phƠn v phữỡng trnh tch
phƠn.
Ni dung chnh ca lun Ăn dỹa trản cĂc cổng trnh khoa hồc Â
cổng b, liằt kả mửc "Danh mửc cổng trnh khoa hồc ca tĂc giÊ
liản quan n lun Ăn", cĂc kt quÊ n y  ữổc bĂo cĂo ti:
+ Seminar GiÊi tch- i s, Trữớng i hồc Khoa hồc Tỹ nhiản - i
hồc Quc Gia H Ni.
+ Seminar b mổn GiÊi tch, Trữớng i hồc Khoa hồc Tỹ nhiản
- i hồc Quc Gia H Ni.
+ Seminar b mổn ToĂn hồc tnh toĂn, Trữớng i hồc Khoa hồc
Tỹ nhiản - i hồc Quc Gia H Ni.

12

Chữỡng 1
PH P BI N

1.1.

Php bin

I HARTLEY

i Fourier

Trong mửc n y, lun Ăn trnh b y li mt s kt quÊ liản quan ca bin
i Fourier. CĂc kt quÊ n y  ữổc chứng minh chi tit trong cĂc t i liằu tr
ch dÔn. Bi vy, lun Ăn ch nảu kt quÊ m khổng trnh b y chứng
minh.

1.1.1.

Php bin

i Fourier trản R

d

ữổc kỵ hiằu

nh nghắa 1.1 ([41, 47]). Bin i Fourier ca h m f
(F f) v ữổc xĂc nh nhữ sau:

(1.1)
(F f)(x) =
trong õ, f l h m thỹc hoc phức xĂc

d

nh trản R .

iu kiằn tch phƠn (1.1) tỗn ti l
õ Ênh Fourier ca h m f ữổc miảu tÊ thổng qua nh lỵ sau.
d

d

nh lỵ 1.1 ([41, 47]). Nu f 2 L1(R ) th (F f) 2 C0(R ) v
k

V dử sau ch ra rng Ênh Fourier ca mt h m thuc L 1(R) cõ th
khổng thuc L1(R).
V dử 1.1. Xt h m
f(x) =

8
<1

nu jxj

:0

nu jxj > 1;

1;


13


rê r ng f thuc L1(R), những Ênh Fourier ca h m f
1

1

l h m khổng thuc khổng gian L1(R) m ch thuc khổng gian C0(R).

Khi xt bin i Fourier trong khổng gian S th nõ l Ănh x liản tửc
t S v o S v cõ Ănh x ngữổc ữổc ch ra trong nh lỵ dữợi Ơy.
nh lỵ 1.2 ([41, 47]). (i) Nu g 2 S th

g(x) =

(ii) Bin i Fourier l Ănh x tuyn tnh, liản tửc, 1
F

4

= I v Ănh x ngữổc ca nõ cụng liản tửc.
d

Trong khổng gian L1(R ), khổng phÊi bin i Fourier ca h m f n o

cụng tỗn ti bin i ngữổc. nh lỵ 1.3 dữợi Ơy s ữa ra iu kiằn tỗn ti
d

bin i ngữổc i vợi bin i Fourier ca mt h m trong L 1(R ).
d

d

nh lỵ 1.3 ([41, 47]). Nu f 2 L1(R ); (F f) 2 L1(R ) v
f0(x) =
d

th f0(x) = f(x) hu khp nỡi trản R .
Bin

i tch phƠn

Z

1
(2 )2
gồi l bin

ixy

d

d

1

g(y)e dy := (F g)(x);

R

i Fourier ngữổc ca h m g.
d

nh lỵ 1.4 ([41, 47]). Nu f; g 2 L 1(R ) th bin i tch phƠn (1.2)
xĂc nh chp liản kt vợi bin i Fourier v thọa mÂn flng thức nhƠn tò
hõa (1.3)


1

Z

(f

g)(x) =
F (f g)(x) = (F f)(x)(F g)(x):
14


d

Nhn xt 1.1. Ta bit tp cĂc h m Hermite f g l cỡ s trỹc giao ca L 2(R ),
d

v S trũ mt trong L2(R ). Nhng iu n y v nh lỵ 1.2 gổi ỵ cho viằc

d

m rng bin i Fourier lản L 2(R ), v vĐn ữổc thỹc hiằn nh lỵ 1.5
sau Ơy.
nh lỵ 1.5 ([41, 47]). Tỗn ti duy nhĐt mt flng cỹ tuyn tnh F :
d

d

L2(R ) ! L2(R ) thọa mÂn (F f) = (F f) vợi mồi f 2 S.
d

Php m rng F ữổc gồi l bin i Fourier ca f 2 L 2(R ) v kỵ hiằu
(F f) vÔn ữổc dũng thay th cho (F f). Nhớ tnh duy nhĐt ca toĂn tò
m rng F nản ta cõ th phĂt biu li nh lỵ Plancherel mt cĂch rê r ng
hỡn nhữ sau:
Hằ quÊ 1.1 ([47]). GiÊ sò f l h m thỹc hoc phức thuc khổng gian
d
L2(R ) v

F (x; k) =
d

Khi õ, khi k ! +1; F (x; k) hi tử theo chu'n tợi h m (F f)(x) ca L 2(R ) v
tữỡng ứng ta cụng cõ

f(x; k) =
hi tử theo chu'n tợi f(x).
Sau Ơy l mt s tnh chĐt cỡ bÊn ca bin

i Fourier.

Tnh chĐt 1.1 ([41, 47]). Bin i Fourier ca cĂc h m Hermite (x) l ( i)
j

(x), nghắa l
(F

)(x) = ( i)

jj

(x):

d

d

Tnh chĐt 1.2 ([4, 41]). Nu f 2 L1(R ) v Dx f 2 L1(R ) th
jj

(F Dx )(x) = i x (F f)(x):
Tnh chĐt 1.3 ( flng thức Parseval, [15, 41]). Nu (F f)(x) = F (x) v (F
g)(x) = G(x) th
Z
Z
f(t)g(t)dt =
F (x)G(x)dx:
d

R

R

d

j


Nh“n x†t 1.2. Tł flng thøc Parseval suy ra F l to¡n tß unita. F câ trà
ri¶ng £o (theo T‰nh ch§t 1.1) n¶n F l to¡n tß khæng Łi xøng trong
d

khæng gian Hilbert L2(R ).
15


1.1.2.

Php bin

i Fourier trản

on hu hn

Mửc n y s trnh b y khĂi niằm v mt s tnh chĐt liản quan ca
bin i Fourier trản on hu hn. Ơy l mt cổng cử tm nghiằm ca
cĂc b i toĂn biản ban u xĂc nh trản min hu hn. Bin i Fourier
sine hu hn ữổc ữa ra bi Doetsch (1935). Sau õ, mt s tĂc giÊ Â
quan tƠm v trnh b y mt cĂch tng quĂt hỡn nhữ Kneitz (1938),

Koschmieder (1941), Brown (1944) v Roettinger (1947) (xem [15]).
nh nghắa 1.2 (bin i Fourier hu hn, [3, 15, 43]). Bin i
Fourier hu hn ca h m f(x) ữổc kỵ hiằu Fff(x)g v xĂc nh bi
Fff(x)g(n) = 2

Z

v tng vổ hn

1

(Ff )(x) :=

X ^

inx

f (n)e

;

n=

^

gồi l chuỉi Fourier ca h m f trản [ ; ], f (n) gồi l hằ s Fourier thứ n
ca h m f:
t

theo cổng thức Euler th chuỉi Fourier ca h m f

dng

a

ữổc vit li dữợi

1

0

(Ff )(x) = 2 +

X

[an cos(nx) + bn sin(nx)]:

n=1

iu kiằn tch phƠn (1.4) tỗn ti l f 2 L 1[ ; ]. Theo b
Lebesgue - Riemann th Ênh Fourier hu hn ca h m f ữổc mổ tÊ
thổng qua nh lỵ sau Ơy.
nh lỵ 1.6 (b Lebesgue - Riemann, [3, 15, 43]). Nu f 2 L 1[ ; ]

^

th f (n) 2 c0(Z).


16

Ta bit cĂc h m

n 1
p

2

o
e inx : n 2 Z ;

l cỡ s trỹc chu'n ca L2[ ; ] nản nu f 2 L2[ ; ] th chuỉi Fourier ca h
m f hi tử v h m f trong L2[ : ] ([3, 15, 43]). Những khi
f 2 L1[ ; ] th khổng phÊi lúc n o chuỉi Fourier ca h m f cụng hi tử
v khi hi tử cụng chữa hfln hi tử v h m f.
nh lỵ 1.7 ([3, trang 88]). Cho f 2 L1[ ; ] v n(f) l tng Ces ro ca
chuỉi Fourier ca h m f. Khi õ
lim kf

n(f)k1 = 0;

n!1

trong õ

n(f)

=

=0

Hằ quÊ sau suy trỹc tip t nh lỵ 1.7.
Hằ quÊ 1.2 (tnh duy nhĐt). Nu f 2 L1[
n 2 Z th f = 0 trong L1[
Khi f l h m trỡn tng khúc th nh lỵ Dirichlet dữợi Ơy cho ta mi liản
hằ gia h m f v chuỉi Fourier ca nõ.
nh lỵ 1.8 ([3, nh lỵ Dirichlet]). GiÊ sò f l h m tun ho n vợi chu ký 2
v trỡn tng khúc trản on [ ; ] th chuỉi Fourier ca h m f hi tử n

1
2[f(x+) + f(x )]:
nh lỵ 1.9 (chp Fourier hu hn, [3]). GiÊ sò h m f; g xĂc nh trản
R v tun ho n vợi chu ký 2 . Nu f; g
th bin i tch phƠn (1.5) l
cũng vợi bĐt flng thức chu'n v flng thức nhƠn tò hõa

k


17


Khi f l h m chfin th
^
Z
f (n) = 2

v chuỉi Fourier ca h m f ữổc vit li dữợi dng

n=1

Tữỡng tỹ, khi f l h m lã th chuỉi Fourier ca h m f ữổc vit li dữợi dng
1

(Ff )(x) = 2
trong õ

f^(n) =

1Z

X ^

f (n) sin(nx);

n=1

f(x) sin(nx)dx:

0

Hai trữớng hổp trản ca h m f
 gổi ỵ cho viằc ữa ra hai bin
Fourier cosine v sine hu hn nhữ sau:

i

nh nghắa 1.3 ([15, trang 408]). Cho f l h m khÊ tch Lebesgue
trản [0; ]. Khi õ
(i) Bin i Fourier cosine hu hn ca h m f ữổc kỵ hiằu F cff(x)g

v xĂc nh bi
Fcff(x)g(n) =

2Z

^
f(x) cos(nx)dx := f c(n); n = 0; 1; 2; : : :

0

(ii) Tng vổ hn

1

1 ^
X ^
2f c(0) + f c(n) cos(nx);
n=1

gồi l chuỉi Fourier cosine ca h m f trản [0; ].
nh nghắa 1.4 ([15, trang 408]). Cho f l h m khÊ tch Lebesgue
trản [0; ]. Khi õ
(i) Bin i Fourier sine hu hn ca h m f ữổc kỵ hiằu F sff(x)g v
xĂc nh bi
Fsff(x)g(n) =

Z


18

(ii) TŒng væ h⁄n

1
n=1

X f^s(n) sin(nx);

gåi l chuØi Fourier sine cıa h m f tr¶n [0; ].
M»nh • 1.1 ([15, trang 410]). Cho h m f câ ⁄o h m ‚n c§p hai kh£ t‰ch
Lebesgue tr¶n o⁄n [0; ]. Khi â

F

f00 (x)

sf

0

f (x)

F

f

c

F

f00 (x)

cf

Ch“p trong ành lþ 1.9 x¡c ành vîi f; g l hai h m tuƒn ho n vîi chu ký
2 . Do â, ta ÷a ra hai mð rºng tuƒn ho n vîi chu ký 2 cho mºt h m x¡c
ành tr¶n 0 < x < nh÷ sau:
ành ngh¾a 1.5 ([15, trang 411]). H m f1(x) gåi l mð rºng tuƒn ho n l·
cıa h m f(x) vîi chu ký 2 n‚u
f1(x) = f(x); 0 < x <

; f1( x) =

f1(x);

v
f1(x + 2 ) = f1(x); vîi måi x 2 R:
T÷ìng tü, h m mð rºng tuƒn ho n chfin f2(x) cıa h m f(x) x¡c ành bði
f2(x) = f(x); 0 < x <

; f2( x) = f2(x);

v
f2(x + 2 ) = f2(x); vîi måi x 2 R:
ành lþ 1.10 ([15, trang 413]). N‚u f1; g1
v f2; g2 l mð rºng tuƒn ho n chfin cıa f; g tr¶n 0 < x < th…

F

c