Phép chập liên kết với biến đổi chính tắc tuyến tính bù và biến đổi dạng hartley chính tắc

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
———————-

LẠI TIẾN MINH

PHÉP CHẬP LIÊN KẾT VỚI BIẾN ĐỔI
CHÍNH TẮC TUYẾN TÍNH BÙ VÀ BIẾN
ĐỔI DẠNG HARTLEY CHÍNH TẮC

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2019


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

?

LẠI TIẾN MINH

PHÉP CHẬP LIÊN KẾT VỚI BIẾN ĐỔI
CHÍNH TẮC TUYẾN TÍNH BÙ VÀ BIẾN
ĐỔI DẠNG HARTLEY CHÍNH TẮC

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 9460112.01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS. TS. NGUYỄN MINH TUẤN
PGS. TS. NGUYỄN HỮU ĐIỂN

Hà Nội - 2019


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Minh Tuấn và PGS. TS. Nguyễn Hữu
Điển. Các kết quả của luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố
trên bất kỳ công trình nào khác.

Hà nội, tháng 3 năm 2019

Nghiên cứu sinh

Lại Tiến Minh

2


LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin được tỏ lòng tri ân sâu sắc đối với các thầy PGS. TS.
Nguyễn Minh Tuấn và PGS. TS. Nguyễn Hữu Điển. Các thầy đã tận tình
dạy bảo, chỉ dẫn tôi học toán, nghiên cứu toán trong suốt những năm làm
nghiên cứu sinh. Tôi gửi lời tri ân đặc biệt của mình tới thầy PGS. TS.
Nguyễn Minh Tuấn, người đã luôn yêu thương, quan tâm đến tôi, cho tôi

những cơ hội, dạy tôi những bài học trong nghiên cứu cũng như trong cuộc
sống. Chính thầy đã cho tôi niềm tin và động lực vượt qua những trở ngại,
những lúc khủng hoảng tưởng chừng như không thể vượt qua.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến GS. TSKH. Phạm Kỳ
Anh, GS. TSKH. Nguyễn Văn Mậu các thầy đã luôn quan tâm, động viên,
cho tôi những gợi ý, dìu dắt tôi trong quá trình nghiên cứu. Tôi cũng xin
được bày tỏ lòng biết ơn đến quý thầy cô và các anh chị đồng nghiệp trong
Seminar của môn toán học tính toán; Seminar Giải tích - Đại số , Trường
Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội. Tại đây tôi đã nhận
được nhiều chỉ dẫn, góp ý quý báu. Những nhận xét, góp ý của các thầy cô
và các anh chị đồng nghiệp đã giúp tôi có những ý tưởng để hoàn thiện các
bài báo và luận án của mình. Đặc biệt, tôi xin cảm ơn những ý kiến đóng
góp giá trị của PGS. TS. Hà Tiến Ngoạn, PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo, TS.
Nguyễn Văn Ngọc, TS. Nguyễn Trung Hiếu, TS. Vũ Nhật Huy đã giúp tôi
hoàn thành luận án một cách thuận lợi.
Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu, quý thầy cô và bạn bè đồng nghiệp trong Bộ
môn Toán, Viện Đào tạo Mở, Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội đã động viên,
tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt thời gian tôi làm nghiên cứu sinh.
Tôi xin cảm ơn TS. Nguyễn Hữu Thọ, TS. Bùi Thị Giang, TS. Nguyễn Thanh
Hồng, ThS. Quản Thái Hà, ThS. Vũ Văn Quân. Các anh chị em đã cho tôi
những lời khuyên hữu ích, động viên giúp tôi vượt qua giai đoạn khó khăn nhất
của quá trình nghiên cứu. Tôi cũng xin cảm ơn các anh chị em đã và đang
3


học tập nghiên cứu tại khoa Toán - Cơ - Tin học Đại học Khoa học Tự nhiên
- Đại học Quốc Gia Hà Nội về những trao đổi, hỗ trợ trong nghiên cứu.
Cuối cùng, tôi muốn bày tỏ tấm lòng biết ơn sâu sắc đến người bố đã
khuất, mẹ, anh chị em trong gia đình; đặc biệt là mẹ tôi - người đã động
viên, cảm thông và chia sẻ mọi khó khăn cùng tôi trong suốt những năm

tháng vừa qua để tôi có thể hoàn thành luận án này.
NCS. Lại Tiến Minh

4




BẢNG KÍ HIỆU

N
Z
Q
R
z
i
X Y

D

n

S
p

L (R)

k f kp
h f , gi

C

(R)

0

k.k¥
2

l (R)

hun, vni
H (t)
n

y (t)

cas(t)
G(t)

E A (t )

ˆ

f (t)
rin(t)

n

rout(t)

7


BẢNG CÁC CHỮ VIẾT TẮT

OLCT

Biến đổi chính tắc tuyến tính bù

LCT

Biến đổi chính tắc tuyến tính

FrFT

Biến đổi Fourier phân thứ

FT

Biến đổi Fourier

IFT

Biến đổi Fourier ngược

WDF

Hàm phân phối Wigner

CHTT

Biến đổi dạng Hartley chính tắc

8


MỞ ĐẦU

1. Lịch sử vấn đề và lí do lựa chọn đề tài
Rất nhiều bài toán trong xử lý tín hiệu được giải quyết nhờ các lọc,
lấy mẫu và khôi phục tín hiệu. Lọc được sử dụng rộng rãi trong điện tử viễn
thông, phát thanh, truyền hình, ghi âm, radar, hệ thống điều khiển, xử lý
hình ảnh và đồ họa máy tính. Trong xử lý tín hiệu, lọc là một thiết bị hoặc
một quá trình loại bỏ một số thành phần hoặc tính năng không mong muốn
khỏi tín hiệu. Thông thường, điều này có nghĩa là loại bỏ một số tần số hoặc
băng tần không mong muốn. Lọc có thể được phân loại dựa trên các dạng
băng tần khác nhau mô tả dải tần nào mà lọc thông qua (dải thông) và dải
tần nào mà lọc từ chối (dải dừng). Lọc thông thường có thể thu được từ
1

biến đổi Fourier YFT và biến đổi Fourier ngược Y FT . Tín hiệu ra rout(t)
được biểu diễn qua tín hiệu vào rin(t) như sau
rout(t) = YFT

1

n

o
YFTfrin(t)g(u) (t).

Với sự phát triển của khoa học máy tính, có rất nhiều thuật toán được đưa
ra để tính toán biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược của tín hiệu, tiêu
biểu là thuật toán biến đổi Fourier nhanh (FFT). Ngoài ra, có một cách khác có
thể thiết kế được lọc là dựa trên các phép chập thông thường. Tuy nhiên, lọc
thông thường chỉ hiệu quả khi xử lý các tín hiệu mà có phân phối năng lượng
không chồng lấp trong mặt phẳng pha. Lọc thông thường không hiệu quả với
các tín hiệu mà nhiễu có dạng chirp tổng quát. Nhiễu này thường gặp trong các
hệ quang học, hệ vi sóng, hệ ra đa và hệ âm thanh. Điều này đòi hỏi phải có
những lọc mà có thể xử lý được các tín hiệu dạng này. Ngày nay, cùng với sự
phát triển nhanh chóng của khoa học công nghệ, việc nghiên cứu và phát triển
lọc đóng vai trò quan trọng trong xử lý tín hiệu. Với sự phát triển mạnh mẽ của
lý thuyết biến đổi tích phân và lý thuyết chập, đặc biệt là những ứng dụng
phong phú của phép chập trong thực tiễn (xem [17,28,34,51,61,63,66]) đã có
rất nhiều cách thiết kế lọc mới được đưa ra để xử lý các nhiễu dạng trên
9


(xem [14, 21, 28, 31, 32, 38, 52, 64, 68]). Các biến đổi tích phân có thể kể
tới là biến đổi Fourier phân thứ, biến đổi chính tắc tuyến tính, biến đổi chính
tắc tuyến tính bù, biến đổi Hartley phân thứ, biến đổi Hartley chính tắc, biến
đổi Fresnel.
Trong lĩnh vực xử lý tín hiệu số, định lý lấy mẫu là cầu nối cơ bản giữa tín
hiệu thời gian liên tục (thường được gọi là tín hiệu tương tự) và tín hiệu thời
gian rời rạc (thường được gọi là tín hiệu số). Nó thiết lập một điều kiện đủ
cho phép từ một chuỗi các mẫu riêng biệt thu được tất cả thông tin của tín
hiệu thời gian liên tục của băng thông hữu hạn. Khôi phục tín hiệu ban đầu
từ các mẫu hoặc đánh giá thông tin bị mất trong quá trình lấy mẫu là những

câu hỏi cơ bản được giải quyết bằng cách lấy mẫu và nội suy. Lý thuyết lấy
mẫu giúp chúng ta hiểu được các hiệu ứng của việc chia một hình ảnh hoặc
dạng sóng thành các điểm riêng biệt. Định lý lấy mẫu được phát hiện độc
lập bởi nhóm các nhà khoa học Claude Shannon, Harry Nyquist và Ralph
Hartley thuộc phòng thí nghiệm Bell của Hoa Kỳ; Edmund Taylor Whittaker
của Đại học Edinburgh của Anh Quốc và Vladimir Kotelnikov thuộc Viện
Hàn lâm Khoa học Liên Xô. Do đó, định lý này có rất nhiều tên gọi chẳng
hạn định lý lấy mẫu Whittaker-Shannon (xem [24]), định lý lấy mẫu
Whittaker-Shannon-Kotelnikov (xem [27]) hoặc định lý lấy mẫu WhittakerShannon-Kotelnikov-Kramer (xem [27]). Để ngắn gọn, chúng tôi gọi là định
lý lấy mẫu Shannon. Công thức lấy mẫu Shannon có hai phiên bản là phiên
bản rời rạc và phiên bản liên tục. Phiên bản rời rạc cho tín hiệu f (t) có dải
tần bị chặn trên miền z là

Định lý lấy mẫu Shannon chỉ áp dụng cho các tín hiệu có dải tần bị chặn, do
vậy việc mở rộng định lý này cho các tín hiệu không có dải tần bị chặn là rất
cần thiết. Cùng với sự phát triển mạnh mẽ của lý thuyết các biến đổi tích phân
định lý lấy mẫu Shannon ngày nay đã được mở rộng và cải tiến. Tiêu biểu là
định lý lấy mẫu Shannon cho các tín hiệu có dải tần bị chặn trong miền Fourier
phân thứ (xem [35,55,65,67]) và định lý lấy mẫu Shannon cho tín hiệu
10


có dải tần bị chặn trong miền chính tắc tuyến tính (xem [47,48,64,68]).
Một biến đổi tích phân có liên quan chặt chẽ với biến đổi Fourier là biến đổi
Hartley. Biến đổi Hartley được đề xuất bởi Ralph V. L. Hartley vào năm 1942
(xem [25]). Phiên bản rời rạc của biến đổi này là biến đổi Hartley rời rạc, được
giới thiệu bởi Ronald N. Bracewell vào năm 1983 (xem [13]). Biến đổi Hartley
có nhiều ứng dụng liên quan đến xử lý tín hiệu thực, có nhiều ưu thế hơn về
mặt tính toán số so với biến đổi Fourier. Trong thực tế, biến đổi Hartley là rất
hữu dụng trong các lĩnh vực như truyền thông, xử lý tín hiệu, khôi phục và xử

lý ảnh....Việc mở rộng biến đổi Hartley là biến đổi dạng Hartley và biến đổi
dạng Hartley chính tắc sẽ tạo ra những ứng dụng tiềm năng trong thực tế với
việc kết hợp giữa những ưu điểm của biến đổi Hartley và các biến đổi chính
tắc tuyến tính. Những ứng dụng ban đầu của các biến đổi này có thể tìm thấy
trong các tài liệu [23] và [29]. Từ những lý do đó, luận án đã tập trung khai thác
các tính chất toán tử cơ bản của biến đổi dạng Hartley chính tắc. Việc xây
dựng các phép chập cho các biến đổi này sẽ bước đầu mở ra những ứng dụng
của phép chập trong thực tế, đặc biệt là trong xử lý ảnh. Ngoài ra, việc chứng
minh các nguyên lý bất định dạng Heisenberg cho biến đổi này cũng sẽ tạo ra
những ứng dụng tiềm năng trong cơ học lượng tử.

Từ những lý do trên chúng tôi lựa chọn đề tài "Phép chập liên kết với
Biến đổi chính tắc tuyến tình bù và Biến đổi dạng Hartley chính tắc".
2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Mục đích của luận án là nghiên cứu những tính chất toán tử của biến đổi
chính tắc tuyến tính bù và biến đổi dạng Hartley chính tắc. Đáng chú ý là hai
trường hợp đặc biệt của biến đổi dạng Hartley là biến đổi Hartley phân thứ và
biến đổi Hartley chính tắc mới được quan tâm nghiên cứu những năm gần đây.
Các kết quả nghiên cứu ban đầu về các phép biến đổi còn ít chưa tương xứng
với tiềm năng ứng dụng trong thực tế. Việc mở rộng các phép biến đổi này là
CHTT hy vọng sẽ tìm được các kết quả mới và thú vị có tiềm năng ứng dụng
trong thực tế. Xây dựng các phép chập liên kết với các biến đổi chính tắc tuyến
tình bù và biến đổi dạng Hartley chính tắc cũng như chứng minh các tính chất
cơ bản của chúng. Ứng dụng toán tử và phép chập vào giải quyết
11


các bài toán giải phương trình tích phân dạng chập, các ứng dụng trong xử
lý tín hiệu như chứng minh định lý lấy mẫu, thiết kế các lọc.
3. Phương pháp nghiên cứu

Luận án sử dụng một số khái niệm và phương pháp của Giải tích, Giải tích
hàm, lý thuyết biến đổi tích phân, xử lý tín hiệu...để thu được các kết quả mới.

4. Cấu trúc luận án và các kết quả
Luận án gồm phần mở đầu, bốn chương, kết luận và phụ lục:
Luận án nghiên cứu và đề xuất một số cách xây dựng các lọc như lọc nhân,
lọc Gauss và lọc kép từ những phép chập liên kết với biến đổi chính tắc tuyến
tính bù. Các lọc này có ưu điểm là có độ phức tạp tính toán nhỏ hơn độ phức
tạp tính toán của các lọc đã biết và có thể lọc bỏ được các nhiễu có dạng chirp.
Ngoài ra, luận án cũng trình bày cách thu được định lý lấy mẫu dạng Shannon
cho các tín hiệu có dải tần bị chặn từ các phép chập. Các nguyên lý bất định
dạng Heisenberg cho các biến đổi chính tắc tuyến tính bù và biến đổi dạng
Hartley chính tắc cũng sẽ được đưa ra. Các nguyên lý bất định mới này là tổng
quát của các kết quả có nhiều ứng dụng trong cơ học lượng tử như nguyên lý
bất định Heisenberg cho biến đổi chính tắc tuyến tính, nguyên lý bất định
Heisenberg cho biến đổi Hartley. Với việc đưa vào các hàm trọng có dạng
chirp, dạng Gauss, dạng Hermite, luận án xây dựng các phép chập liên kết với
biến đổi chính tắc tuyến tính bù và chứng minh tính chất cơ bản của chúng
như đẳng thức nhân tử hóa và bất đẳng thức dạng Young. Các ứng dụng quen
thuộc của phép chập là giải phương trình tích phân cũng sẽ được trình bày.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận án được chia thành
bốn chương. Kết quả chính tập chung trong các chương 2, 3, 4.

Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị và kết quả bổ trợ được sử
dụng trong luận án. Cụ thể, chương này giới thiệu các khái niệm cơ bản là
biến đổi chính tắc tuyến tính bù, biến đổi dạng Hartley chính tắc và các
trường hợp đặc biệt của chúng. Các định nghĩa phép chập liên kết với biến
đổi Fourier, biến đổi chính tắc tuyến tính bù, hàm suy rộng Dirac, phân phối
Wigner và ứng dụng của biến đổi Fourier trong xử lý tín hiệu cũng sẽ được
trình bày chi tiết.

12


Chương 2 đề cập tới các tính chất toán tử của biến đổi chính tắc tuyến
tính bù và biến đổi dạng Hartley chính tắc. Các tính chất này bao gồm: bổ
đề dạng Riemann-Lebesgue, định lý ngược, tính duy nhất, định lý dạng
Plancherel, đẳng thức dạng Parseval. Ngoài ra định lý về mối quan hệ gữa
hệ hàm Her-mite và biến đổi chính tắc tuyến tính bù cũng sẽ được chứng
minh. Tiếp theo, luận án trình bày các nguyên lý bất định dạng Heisenberg.
Nguyên lý bất định dạng Heisenberg cho biến đổi chính tắc tuyến tính bù
được suy ra từ nguyên lý bất định Heisenberg cho biến đổi Fourier. Cuối
cùng, hai nguyên lý bất định dạng Heisenberg cho biến đổi dạng Hartley
chính tắc cũng được chứng minh chi tiết.
Chương 3 xây dựng các phép chập liên kết với biến đổi chính tắc tuyến
tính bù theo thứ tự là: ba phép chập với hàm trọng dạng Hermite, một phép
chập với hàm trọng dạng chirp, một phép chập với hàm trọng dạng Gauss.
Các đẳng thức nhân tử hóa của các phép chập này cũng được chứng minh
đồng thời. Trong phần tiếp theo, phép chập của hai tín hiệu liên kết với biến
đổi dạng Hartley và đẳng thức nhân tử hóa của nó cũng sẽ được giới thiệu.
Các tính chất cơ bản của phép chập như giao hoán, kết hợp, phân phối, bất
đẳng thức dạng Young cũng sẽ được chứng minh và đánh giá chi tiết. Cuối
cùng, luận án trình bày ứng dụng giải các phương trình tích phân dạng
chập. Ví dụ minh họa cho ứng dụng này cũng sẽ được đưa ra.
Chương 4 đề xuất những ứng dụng của phép chập trong xử lý tín hiệu.
Trước hết, luận án trình bày cách thu được định lý lấy mẫu cho các tín hiệu
có dải tần bị chặn trong miền chính tắc tuyến tính bù từ các phép chập mới.
Tiếp theo, luận án đề xuất các cách thiết kế lọc dựa trên biến đổi tuyến tính
chính tắc bù và các phép chập của hai tín hiệu liên kết với biến đổi chính tắc
tuyến tính bù. Các lọc mới được nghiên cứu bao gồm: lọc nhân, lọc Gauss,
lọc kép, chúng đều có độ phức tạp tính toán nhỏ hơn so với độ phức tạp

tính toán của các lọc đã biết và có thể ứng dụng để loại bỏ các nhiễu mà lọc
thông thường không loại bỏ được. Luận án cũng phân tích chi tiết các cách
thiết kế lọc và đưa ra các ví dụ minh họa.
Nội dung của luận án được viết dựa trên các bài báo 1 - 4 (Danh mục các
13


công trình khoa học có liên quan đến luận án, trang 120) và cũng được báo
cáo tại:
1. Seminar của bộ môn Toán học tính toán và Toán ứng dụng, Khoa Toán

- Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia
Hà Nội.
2. Seminar Giải tích - Đại số, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại

học Quốc Gia Hà Nội.
3. Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ IX, Nha Trang, 14-18/8/2018.

14


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Biến đổi chính tắc tuyến tính bù
Biến đổi chính tắc tuyến tính bù (The offset linear canonical transform)
được giới thiệu bởi Abe và Sheridan năm 1994 khi nghiên cứu ảnh hưởng
của biến đổi Fourier phân thứ, hàm sóng và sự chuyển đổi ống kính trong
quang học (xem [8]). Để ngắn gọn, chúng tôi gọi tắt biến đổi này là OLCT.
Định nghĩa 1.1 ([8, 64]). Với bộ tham số thực A = (a, b, c, d, u0, w0) thỏa

1

mãn ad bc = 1, biến đổi chính tắc tuyến tính bù của tín hiệu f (t) 2 L (R),
được định nghĩa bởi
Af

ftgu

O ()():=
2
idu 0

d

2b

2b

Trong đó, nhân của biến đổi là KA(u, t) := KAe
và hằng số KA := pe

i

.

2pbi
OLCT là tổng quát của các biến đổi đã biết như biến đổi Fourier, biến đổi
Fourier ngược, biến đổi Fourier phân thứ, biến đổi chính tắc tuyến tính, biến
đổi Fresnel. Bảng sau trình bày cách thu được các biến đổi này từ OLCT
bằng cách chọn bộ tham số khác nhau.

Bảng 1. Một vài trường hợp đặc biệt của OLCT (xem [64], Mục 2).
Bộ tham số thực A = (a, b, c, d, u0, w0)
A = (a, b, c, d, 0, 0)
A = (cos q, sin q, sin q, cos q, 0, 0)
A = (0,1,
A=(0,
A = (1, b, 0, 1, 0, 0)

2

u


15


Luận án luôn giả thiết b > 0. Khi đó, công thức (1.1) có thể viết ở dạng
i

OAf f (t)g(u) = KAe

R

Sau đây, luận án trình bày chi tiết định nghĩa ba trường hợp đặc biệt của OLCT
là Biến đổi Fourier phân thứ, Biến đổi chính tắc tuyến tính và Biến đổi Fourier.
Đây là các trường hợp được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau
như xử lý tín hiệu, xử lý ảnh, nhận dạng mẫu, mạng nơ ron chập, lý thuyết
radar, thủy phân và biến đổi wavelet. Để thuận tiện, chúng tôi sử dụng ký hiệu
Al := al,

mãn ad

b

, cl,

d

, 0, 0 , trong đó các số thực a, b, c, d, l thỏa
l

bc = 1, l 6= 0.

l

Với bất kỳ góc thực q, biến đổi Fourier phân thứ (FrFT) (xem [35]) có thể
được định nghĩa thông qua nhân
Kq(u, t) :=

r

1

Khi đó biến đổi Fourier phân thứ của tín hiệu f (t) 2 L (R) là

Z
Fq f f (t)g(u) := R Kq (t, u) f (t) dt.
Biến đổi chính tắc tuyến tính (LCT) (xem [33]) là một lớp các biến đổi tích
phân phụ thuộc vào bộ tham số thực A 1. Biến đổi chính tắc tuyến tính của
1

tín hiệu f (t) 2 L (R) với bộ tham số thực A1 = (a, b, c, d, 0, 0) được định
nghĩa là
Z

LA1 f f (t)g(u) :=

R

(1.4)

KA1 (u, t) f (t) dt,

trong đó nhân của biến đổi

KA1 (u, t) :=
Để thuận tiện cho việc trình bày các kết quả, biến đổi Fourier (FT) và biến
1

đổi Fourier ngược (IFT) (xem [43, 54]) của tín hiệu f (t) 2 L (R) được định
nghĩa như sau

Z
itu
YFTf f (t)g(u) := R e f (t)dt,
1

YFT f f (t)g(u) :=

16


Sau đây, luận án sẽ trình bày một số tính chất cơ bản của FT. Các tính chất
này có thể dễ dàng tìm thấy trong các tài liệu [43] và [54].
(i) Bổ đề Riemann-Lebesgue
1
Nếu f (t) 2 L (R) thì YFTf f (t)g(u) 2 C0(R) và kYFT f k¥ k f k1.

(ii) YFT là một ánh xạ tuyến tính, liên tục, 1 1 từ S vào S (ánh xạ ngược
1

YFT cũng liên tục).
1
(iii) Nếu f (t), YFTf f (t)g(u) 2 L (R) thì

f (t) =

1Z
2p

itu

e YFTf f (t)g(u)du,
R

với hầu khắp t 2 R.
2
2
(vi) Tồn tại duy nhất một đẳng cự tuyến tính YeFT : L (R) ! L (R) thỏa mãn

YeFT f = YFT f với mọi f 2 S.
(v) Đẳng thức Parseval
2

Với mọi f , g 2 L (R), ta có đẳng thức sau

hYFT f , YFT gi = 2ph f , gi.
Đặc biệt khi f = g, ta có

p
kYFT f k2 = 2pk f k2.
1.2 Biến đổi dạng Hartley chính tắc
Định nghĩa 1.2. Với số thực h bất kỳ, biến đổi dạng Hartley chính tắc (The
1

Canonical Hartley-type transform) của tín hiệu f (t) 2 L (R) với bộ tham số
thực A1 = (a, b, c, d, 0, 0) được định nghĩa bởi
Z

h

Lh f f (t)g (u) :=

A

R

f (t)K (u, t)dt.

(1.8)

1

Trong đó, nhân của biến đổi
h

K
với uh = u + h, th = t + h.

A1

(u, t) :=


17


Để ngắn gọn, chúng tôi gọi tắt biến đổi này là CHTT. Sau đây là một số
trường hợp đặc biệt của CHTT:
(i) Nếu h = 0 thì L0 là biến đổi Hartley chính tắc (xem [23]).

L0 f f (t)g (u) =
Đặc biệt, khi A1 = (cos q, sin q,
Hartley phân thứ (xem [29]).
(ii) Trường hợp a = d = 0, chúng tôi gọi biến đổi này là biến đổi dạng

Hartley và sử dụng ký hiệu sau
1
Hh f f (t)g (u) :=

(iii) Nếu a = d = h = 0, b = 1 thì H0 là biến đổi Hartley cổ điển.
1.3 Phép chập liên kết với biến đổi tích phân
1.3.1 Phép chập liên kết với biến đổi Fourier
1

Định nghĩa 1.3 ([43, 54]). Với f (t), g(t) 2 L (R), phép chập của hai tín hiệu f
(t), g(t) liên kết với biến đổi Fourier được định nghĩa như sau

Z
( f g)(t) := R f (t)g(t t)dt.
Sau đây là một số tính chất của phép chập (1.10):
(i) Đẳng thức nhân tử hóa (xem [12])
YFTf( f g)(t)g(u) = YFTf f (t)g(u) YFTfg(t)g(u).
(ii) Với mọi số thực k 6= 0, ta có

( f g) (k t) = k f (k t) g(k t).
(iii) Bất đẳng thức Young (xem [11])

p

q

1

1

1

Nếu f (t) 2 L (R), g(t) 2 L (R) và p + q = r + 1, (p, q, r 1) thì bất
đẳng thức sau thỏa mãn

k f gkr

k f kp kgkq.


18


(iv) Với mọi số thực k > 0, đẳng thức sau
1

p
đúng với mọi u 2 R (xem [43,54]).

Z

2p

R e iute

1.3.2 Phép chập liên kết với biến đổi chính tắc tuyến tính bù
Mục này trình bày một vài kết quả đã thu được về phép chập liên kết với
OLCT và LCT.
1. Năm 2016 Zhi, Wei và Zhang (xem [69]) giới thiệu một phép chập liên

kết với OLCT và được định nghĩa như sau
Z

f (t)g(tqt)dt,

( f Qg)(t) := KA
R

với
Z
(t t)

g(tqt) =

i(t

OAfg(t)g(u)e

t)u

b

du.

R

Phép chập này thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa sau
OA f( f Qg)(t)g (u) = OAf f (t)g(u) OAfg(t)g(u).
2. Năm 2012 Shi và các cộng sự (xem [52]) đã đưa ra định nghĩa phép chập
k

tổng quát liên kết với LCT với ba bộ tham số thực B 1 = (ak, bk, ck, dk, 0, 0),

(k 2 f1, 2, 3g). Phép chập này được định nghĩa bởi: