Biểu diễn Wigner liên kết với biến đổi tuyến tính của mặt phẳng thời gian - tần số

LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội
2 dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, người thầy đã hướng dẫn
và truyền cho tác giả những kinh nghiệm quý báu trong học tập và nghiên cứu khoa
học. Thầy luôn động viên và khích lệ để tác giả vươn lên trong học tập và vượt qua
những khó khăn trong chuyên môn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng
sâu sắc nhất đối với thầy.
Tác giả xin chân thành cảm ơn ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2,
phòng Sau đại học, khoa Toán và tổ Giải tích cùng các quý thầy cô đã tạo mọi điều
kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình Cao học và hoàn thành luận
văn tốt nghiệp.
Hà Nội, tháng 6 năm 2012
Tác giả
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng
dẫn trực tiếp của tiến sĩ Bùi Kiên Cường.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa
học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2012
Tác giả
iii
Mục lục
Bảng kí hiệu và viết tắt v
Mở đầu viii
Nội dung 1
1 Một số khái niệm và kết quả chuẩn bị 1
1.1 Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Các toán tử cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Biến đổi Fourier và đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.4 Hàm Gauss và định lý Plancherel . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Giải tích thời gian – tần số và nguyên lý không chắc chắn . . . . . . . . 11
1.2.1 Giải tích thời gian–tần số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.2 Nguyên lý không chắc chắn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Biến đổi Fourier thời gian ngắn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4 Ảnh phổ và phân bố Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4.1 Ảnh phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4.2 Phân bố Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4.3 Lớp phân bố Cohen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.5 Biểu diễn thời gian - tần số kiểu τ-Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.5.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.5.2 Các định lý và tính chất của biểu diễn τ -Wigner . . . . . . . . . 37
1.5.3 Biểu diễn bằng hình vẽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2 Biểu diễn Wigner liên kết với biến đổi tuyến tính của mặt phẳng thời
gian – tần số 49
2.1 Biểu diễn W ig
U
và tính chất của nó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
iv
2.1.1 Hạn chế của hàm suy rộng Wigner cổ điển . . . . . . . . . . . . 49
2.1.2 Biểu diễn W ig
U
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.1.3 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.2 Giải thích nhiễu bằng đồ thị và ứng dụng trong mã hóa tín hiệu . . . . 60
Kết luận 65
Tài liệu tham khảo 66
v
Bảng kí hiệu và viết tắt
Z
n

+
: Tập hợp các số nguyên dương.
R : Tập hợp các số thực.
R
n
: Không gian Ơclit n chiều.
C : Tập hợp các số phức.
Rez : Phần thực của số phức z.
Imz : Phần ảo của số phức z.
z : Số phức liên hợp của số phức z.
|z| : Mô đun của số phức z.
C
∞
: Không gian các hàm khả vi vô hạn.
f
L
p
: Chuẩn trong không gian L
p
(Ω),
f
L
p
=



Ω
|f(x)|
p

dx


1
p
, Ω ⊂ R
n
.
L
p
: Không gian các hàm đo được Lebesgue, có chuẩn L
p
hữu hạn.
|α| : Bậc của α, |α| =
n

i=1
α
i
, α = (α
1
, , α
n
) ∈ Z
n
+
.
D
α
f : Đạo hàm cấp α của f.

suppf : Giá của hàm f ∈ L
p
(Ω).
C
k
(Ω) : Là tập hợp các hàm liên tục khả vi k lần trong Ω.
vi
C
k
0
(Ω) : Tập các hàm trong C
k
(Ω) có giá compact.
C
∞
0
(Ω) : =
∞
∩
k=0
C
k
o
(Ω).
X
[a,b]
: Hàm đặc trưng trên [a, b].
D (Ω) : Không gian các hàm cơ bản.
D


(Ω) : Không gian hàm suy rộng.
S (R
n
) : Không gian các hàm giảm nhanh.
S

(R
n
) : Không gian các hàm suy rộng tăng chậm.

f, F (f) : Biến đổi Fourier của hàm f với

f (ω) =

R
n
f (x) e
−2πixω
dx.
F
−1
(f) : Biến đổi Fourier ngược của hàm f.
F
2
: Biến đổi Fourier riêng theo biến thứ hai
của hàm f trên R
2n
với F
2
=


R
n
f (x, t) e
−2πitω
dt.
T
x
f : Phép tịnh tiến theo x của hàm f và T
x
f (t) = f (t − x).
M
ω
f : Sự điều biến theo ω của hàm f
và M
ω
f (t) = e
2πiωt
f (t).
ϕ
a
(x) : Là hàm Gauss với ϕ
a
(x) = e
−
πx
2
a
.
T

a
: Phép biến đổi tọa độ không đối xứng
với T
a
f (x, t) = f (t, t − x).
T
s
: Phép biến đổi tọa độ đối xứng
với T
s
f (x, t) = f

x +
t
2
, x −
t
2

.
vii
V
g
f : Biến đổi Fourier thời gian ngắn của hàm f đối với
hàm cửa sổ g, V
g
f (x, ω) =

R
n

f (t) g (t − x)e
−2πitω
dt.
f ⊗ g : Tích ten sơ của hàm f và g, (f ⊗g) (x, t) = f (x) g (t).
f ∗ g : Tích chập của hàm f và g.
W ig (f) : Phân bố Wigner của hàm f.
W ig (f, g) : Phân bố Wigner chéo của hàm f và g.
Q
σ
f : Lớp phân bố Cohen.
W ig
τ
(f) : Phân bố τ-Wigner của hàm f.
W ig
τ
(f, g) : Phân bố τ-Wigner chéo của hàm f và g.
R (f, g) : Biểu diễn Rihaczek của hai hàm f, g.
R
∗
(f, g) : Biểu diễn Rihaczek liên hợp của hai hàm f, g.
SP EC
g
f, Sp
g
f : Ảnh phổ của hàm f đối với hàm cửa sổ g.
Sp
φ,ψ
(f, g) : Ảnh phổ tổng quát của hàm f, g đối với hàm cửa sổ φ, ψ.
viii
Mở đầu

1. Lí do chọn đề tài
Biến đổi Fourier chứa tất cả các thông tin về một tín hiệu,
nhưng một vài thông tin, ví dụ thời gian mà tần số xuất hiện trong tín
hiệu, được ẩn đi trong những pha phức tạp. Một trong những mục đích
chính của giải tích thời gian-tần số trong 50 năm cuối đã được xác định
thích hợp những sự điều chỉnh “hai biến” của biến đổi Fourier mà thông
tin về cả thời gian và tần số chứa trong tín hiệu được tạo ra chi tiết.
Chúng là những hàm hoặc hàm suy rộng Q (f) (x, w) phụ thuộc vào thời
gian x ∈ R
n
và tần số ω ∈ R
n
, phụ thuộc theo bậc hai trên tín hiệu f
và có giải thích theo vật lý như phân bố năng lượng hoặc tín hiệu trông
không gian thời gian-tần số R
n
x
×R
n
ω
. Một vấn đề chính trong phân tích
tín hiệu là trong sự biểu diễn của chúng thường xuyên có vài loại hiện
tượng giả (cũng được biết như “nhiễu” hoặc “tần số ma”) xuất hiện trong
những vùng của mặt phẳng thời gian-tần số, ở đó tín hiệu chứa trong
năng lượng không thực. Ta mong muốn loại trừ hoặc ít nhất rút gọn mặt
hạn chế này, cần thiết đưa ra đa dạng các phương pháp và định nghĩa
trong nhiều cách biểu diễn khác nhau.
Trong thực tế, một trong những trở ngại chính của giải tích
thời gian-tần số được liên kết với nguyên lý bất định cổ điển, sự phân
bố năng lượng của những tần số một tín hiệu không thể được tập trung

trong những tập quá nhỏ trên mặt phẳng thời gian-tần số. Vì nguyên
ix
lý bất định, trong sự thành lập các công thức khác nhau của nó, sẽ là
không khả thi để xây dựng sự biểu diễn tốt nhất, điều đó có thể được
hình thức hóa trong rất nhiều cách. Một công thức dễ dàng là, đưa ra
một tín hiệu f (t), một sự biểu diễn thời gian-tần số bậc hai Q (f) (x, ω)
đã xác định, không thể thỏa mãn cùng lúc tính dương, tính chất giá
và điều kiện phân phối biên. Bên cạnh hàm suy rộng Wigner cổ điển,
xem xét những biểu diễn khác của kiểu Wigner, ví dụ dạng τ−Wigner.
Những biểu diễn τ −Wigner đã được nghiên cứu trong sự kết nối với
những toán tử giả vi phân Weyl, kiểu Wigner cổ điển là một trường hợp
đặc biệt với τ =
1
2
. Tất cả những sự biểu diễn kiểu Wigner này thỏa mãn
tính chất giá và điều kiện phân phối biên nhưng không dương. Định lý
Hudson trong trường hợp đặc biệt mà kiểu Wigner cổ điển là dương chỉ
trên những tín hiệu kiểu Gausian.
Xác định một sự biểu diễn kiểu Wigner mới mà thỏa mãn tính
chất giá với một bậc đã biết của xấp xỉ nhưng có đặc điểm là những tần
số ma có thể di chuyển được trong những vùng khác của mặt phẳng thời
gian-tần số là một vấn đề hấp dẫn, vì thế tôi lựa chọn đề tài:
"Biểu diễn Wigner liên kết với biến đổi tuyến tính của mặt
phẳng thời gian-tần số"
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu về các biểu diễn Wigner khi liên kết với những biến
đổi tuyến tính của mặt phẳng thời gian-tần số và tính chất của nó.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Đưa ra được một sự biểu diễn kiểu Wigner mới mà thỏa mãn
tính chất giá với một bậc đã biết của xấp xỉ nhưng có đặc điểm là những

x
tần số ma có thể di chuyển được trong những vùng khác của mặt phẳng
thời gian-tần số.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu các biểu diễn Wigner liên kết với biến đổi tuyến
tính của mặt phẳng thời gian-tần số.
5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng phương pháp nghiên cứu đặc trưng của giải tích hàm.
Phương pháp phân tích, tổng hợp.
6. Dự kiến đóng góp mới
Định nghĩa một sự biến đổi của kiểu Wigner phụ thuộc vào một
biến đổi tuyến tính của mặt phẳng thời gian-tần số và đưa ra các tính
chất tương ứng.
Giải thích sự xuất hiện của tần số ma trong tín hiệu bằng hình
học tự nhiên bởi sự biểu diễn Wigner bậc hai.
1
Chương 1
Một số khái niệm và kết quả chuẩn
bị
1.1 Biến đổi Fourier
1.1.1 Định nghĩa và tính chất
Ta kí hiệu x.ω =
n

i=1
x
i
ω
i
, ∀x, ω ∈ R

n
là tích vô hướng trên R
n
và viết
tắt x
2
= x.x, ∀x ∈ R
n
, chuẩn Euclide là |x| =
√
x.x.
Định nghĩa 1.1.1. Biến đổi Fourier của hàm f ∈ L
1
(R
n
), kí hiệu là

f
hoặc Ff, là một hàm được xác định bởi

f (ω) =

R
n
f (x) e
−2πix.ω
dx , ω ∈ R
n
. (1.1)
Nhận xét 1.1.1.

1. Từ (1.1), ta có




f



L
∞
 f
L
1
.
2. Ta dùng kí hiệu F(f) khi muốn nhấn mạnh rằng phép biến đổi Fourier
là một toán tử tuyến tính tác động trên một không gian hàm f ∈ L
1
(R
n
).
3. Ngoài cách định nghĩa biến đổi Fourier như trên, ta còn có thể định
2
nghĩa biến đổi Fourier theo một cách khác như sau:

f (ω) = (2π)
−
n
2


R
n
f (x) e
−ix.ω
dx.
hoặc

f (ω) =

R
n
f (x) e
−ix.ω
dx.
4. Nếu f là một tín hiệu, đối với kĩ sư, thì ω là tần số và

f (ω) được hiểu
là biên độ của tần số ω của tín hiệu f. Trong vật lý, ω được gọi là biến
động lượng và




f



−2
L
2





f (ω)



2
là mật độ xác suất đối với động lượng. Do
đó




f



−2
L
2

I




f (ω)




2
dω là xác suất của chất điểm trong trạng thái f có
động lượng của nó trong miền I ⊂ R
n
.
Bổ đề 1.1.1 (Bổ đề Riemann-Lebesgue). Nếu f ∈ L
1
(R
n
) thì

f liên tục
đều và lim
|ω|→∞




f (ω)



= 0.
Nhận xét 1.1.2.
1. Với C
0
(R
n

) là không gian Banach của các hàm liên tục triệt tiêu tại
vô cực. Khi đó, bổ đề Riemann – Lebesgue 1.1.1 diễn đạt tính chất ánh
xạ của biến đổi Fourier như sau
F : L
1
(R
n
) → C
0
(R
n
) .
2. Nếu chúng ta bỏ đi điều kiện mà biến đổi Fourier được xác định theo
từng điểm bởi công thức 1.1, chúng ta có thể thác triển phép biến đổi
Fourier ra không gian hàm tốt hơn đó là không gian L
2
. Kết quả cơ bản
là định lý Plancherel mà chúng ta sẽ nghiên cứu sau.
Định lí 1.1.3 (Định lí Hausdorff - Young). Giả sử 1  p  2 và số p

thỏa mãn
1
p
+
1
p

= 1 thì
F : L
p

(R
n
) → L
p

(R
n
)
3
và




f



L
p

 f
L
p
.
Chú ý 1.1.4.
1. Beckner và Brascamp Lieb đã phát biểu hình thức khác của Định lý
Hausdorff-Young như sau:
Kí hiệu A
p

là Hằng số Babenko-Beckner
A
p
=

p
1/p
(p

)
1/p


1/2
. (1.2)
Khi đó
ˆ
f
p

≤ A
d
p
f
p
, ∀f ∈ L
p
(R
n
), 1  p  2. (1.3)

2. Bất đẳng thức (1.3) gọi là bất đẳng thức Hausdorff-Young.
1.1.2 Các toán tử cơ bản
Định nghĩa 1.1.2. Với x, ω, y, t ∈ R
n
và f ∈ S (R
n
), ta định nghĩa các
toán tử sau đây:
1. Phép tịnh tiến theo x của f, kí hiệu T
x
f là một "sự dịch chuyển thời
gian" được xác định bởi:
T
x
f (t) = f (t −x) .
2. Sự điều biến theo ω của f, kí hiệu M
ω
f được xác định bởi:
M
ω
f (t) = e
2πit.ω
f (t) .
3. Phép đối hợp của f, kí hiệu f
∗
được định nghĩa bởi:
f
∗
(x) = f (−x).
4. Toán tử đối xứng của f, kí hiệu


f được xác định bởi:

f (x) = f (−x) .
4
5. Tích chập của hai hàm f, g ∈ L
1
(R
n
), kí hiệu là f ∗ g được xác định
bởi:
(f ∗ g) (x) =

R
n
f (y)g (x −y) dy.
Chú ý 1.1.5. Những toán tử có dạng T
x
M
ω
hoặc M
ω
T
x
được gọi là
chuyển dịch thời gian – tần số. Ta có hệ thức giao hoán chính tắc
T
x
M
ω

= e
−2πix.ω
M
ω
T
x
.
Đồng nhất trên được suy ra từ tính toán đơn giản
T
x
M
ω
= (M
ω
f) (t − x) = e
2πiω.(t−x)
f (t − x)
= e
−2πix.ω
e
2πiω.t
f (t − x) = e
−2πix.ω
M
ω
T
x
.
Hệ quả là T
x

và M
ω
giao hoán khi và chỉ khi x.ω ∈ Z.
Tính chất: Với x, ω ∈ R
n
và f ∈ S (R
n
) ta có các tính chất sau:
1)T
x
M
ω
f
L
p
= f
L
p
.
2) (T
x
f)ˆ= M
−x

f. (1.4)
3) (M
ω
f)ˆ= T
ω


f. (1.5)
4) (T
x
M
ω
f)ˆ= M
−x
T
ω

f = e
−2πix.ω
T
ω
M
−x

f. (1.6)
5) f ∗ g
L
1
≤ f
L
1
g
L
1
, (f ∗ g)ˆ=

f.g. (1.7)

6)

f
∗
=

f,


f =


f.
7) (f ∗ g)(x) = f, T
x
g
∗
(nếu cả 2 vế đều xác định).
Nhận xét 1.1.6.
1. Công thức (1.5) giải thích tại sao sự điều biến theo ω của f được gọi
là chuyển dịch tần số.
2. Kết hợp công thức (1.4) và (1.5), ta được công thức (1.6), một trong
những công thức quan trọng nhất của giải tích thời gian – tần số.
5
3. Đánh giá trong (1.7) chỉ ra L
1
(R
n
) là một đại số Banach với tích
chập. Đẳng thức trong (1.7) cùng với bổ đề Riemann – Lebesgue 1.1.1

chỉ ra biến đổi Fourier ánh xạ L
1
(R
n
) vào một đại số con (trù mật) của
C
o
(R
n
). Cũng như định nghĩa của biến đổi Fourier, tích chập có thể
được mở rộng tới những không gian hàm khác.
Định lí 1.1.7 (Định lý Young). Nếu f ∈ L
p
(R
n
) và g ∈ L
q
(R
n
) và
1
p
+
1
q
= 1 +
1
r
thì f ∗g ∈ L
r

(R
n
) và f ∗ g
r
 (A
p
A
q
A
r

)
n
f
p
g
q
, A
p
là hằng số Babenko - Beckner.
1.1.3 Biến đổi Fourier và đạo hàm
Cho một đa chỉ số α = (α
1
, α
2
, . . . , α
n
) ∈ N
n
.

Ta viết như thông thường
|α| =
n

j=1
α
j
.
ω
α
=
n

j=1
ω
α
j
j
trong đó ω = (ω
1
, ω
2
, , ω
n
) .
D
α
=
∂
α

1
∂x
α
1
1
∂
α
2
∂x
α
2
2

∂
α
n
∂x
α
n
n
đối với đạo hàm riêng cấp α.
X
α
f (x) = x
α
f (x) đối với toán tử nhân.
Lấy biến đổi Fourier của đạo hàm cấp α của f ta được:

D
α

f

(ω) = (2πiω)
α

f(ω) (1.8)
và

(−2πix)
α
f

ˆ(ω) = D
α

f(ω). (1.9)
Hoặc viết dưới dạng toán tử
FD
α
= (2πi)
|α|
X
α
F và FX
α
=

i
2π


|α|
D
α
F.
Với những hàm kiểm tra thích hợp, ví dụ f ∈ C
∞
(R
n
) có giá compact,
(1.8) và (1.9) được chứng minh dễ dàng bởi các phép tính trực tiếp. Ví
6
dụ, chứng minh (1.9):
D
α

f (ω) =

R
n
f (x) D
α

e
−2πix.ω

dx
=

R
n

f (x) D
α

e
−2πi
n

k=1
x
k
ω
k

dx
=

R
n
f (x)
n

k=1
(−2πix
k
)
α
k
e
−2πix.ω
dx

=

R
n
(−2πix)
α
f (x)e
−2πix.ω
dx
=

(−2πix)
α
f

ˆ(ω).
Định nghĩa 1.1.3. Cho f ∈ L
1
(R
n
). Biến đổi Fourier ngược của hàm
f, kí hiệu F
−1
(f), được định nghĩa bởi
F
−1
(f) =

R
n

f (ω) e
2πix.ω
dω , x ∈ R
n
. (1.10)
Định lí 1.1.8. Nếu f ∈ L
1
(R
n
) và

f ∈ L
1
(R
n
) thì
f (x) =

R
n

f (ω) e
2πix.ω
dω, ∀x ∈ R
n
.
Tức là F
−1
=


F, trong đó phép phản xạ

f (x) = f (−x).
Định nghĩa 1.1.4. Cho f ∈ S

(R
n
), biến đổi Fourier của hàm suy rộng
f, kí hiệu là Ff, là hàm suy rộng tăng chậm xác định bởi
Ff, ϕ = f, Fϕ , ϕ ∈ S(R
n
).
Biến đổi Fourier ngược của hàm f, kí hiệu là F
−1
f là hàm suy rộng tăng
chậm xác định bởi

F
−1
f, ϕ

=

f, F
−1
ϕ

, ϕ ∈ S (R
n
) .

7
Một quan hệ trung tâm của giải tích Fourier cổ điển là liên kết các
tính chất của một hàm hoặc hàm suy rộng f tới tính chất của

f. Như
một quy tắc ngón tay cái trong vật lý, tính trơn của f suy ra một sự suy
giảm của

f và ngược lại.
Bổ đề 1.1.2. D
α
f ∈ L
2
(R
n
) với mọi |α|  k khi và chỉ khi

R
n




f (ω)



2

1 + |ω|

2

k
dω < ∞.
1.1.4 Hàm Gauss và định lý Plancherel
Định nghĩa 1.1.5. Hàm Gauss chưa được chuẩn hóa với độ rộng a > 0
trên R
n
, kí hiệu là ϕ
a
(x) được xác định bởi:
ϕ
a
(x) = e
−
πx
2
a
.
Bổ đề 1.1.3 (Biến đổi Fourier của hàm Gauss). Với mọi a > 0
ϕ
a
(ω) = a
n
2
ϕ
1
a
(ω) . (1.11)
Đặc biệt là, với a = 1 thì


e
−πx
2

ˆ(ω) = e
−πω
2
.
Chứng minh.
i) Với n = 1, sử dụng đạo hàm của ϕ
a
(x) = e
−
πx
2
a
ϕ

a
(x) = −2πxa
−1
ϕ
a
(x) . (1.12)
ta lấy đạo hàm của biến đổi Fourier của hàm ϕ
a
(ω)
d
dω

ϕ
a
(ω) = (2πiXϕ
a
)ˆ(ω) (do (1.9) và (1.12))
=

ia
d
dx
ϕ
a

ˆ(ω) (do (1.12))
= ia (2πiω) ϕ
a
(ω) (do (1.8)).
8
Từ đó suy ra
d
dω
ϕ
a
(ω) = −2πaω ϕ
a
(ω) .
Phương trình trên là một phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất đối
với ϕ
a
, phương trình này có tập nghiệm là ϕ

a
(ω) = Ce
−πaω
2
, hằng số C
được xác định bởi điều kiện ban đầu
C = ϕ
a
(0) =
+∞

−∞
e
−
πx
2
a
dx =
√
a.
⇒ ϕ
a
(ω) = a
1
2
e
−πaω
2
= a
1

2
ϕ
1
a
(ω) .
Vậy (1.11) đúng với n = 1.
ii) Với n > 1, chúng ta nhận xét rằng biến đổi Fourier trên R
n
bảo toàn
tích, nghĩa là
F

n

j=1
f
j
(x
j
)

=
n

j=1
Ff
j
(ω
j
) .

Vì ϕ
a
(x) =
n

j=1
e
−
πx
2
j
a
trên R
n
và (1.11) đúng với n = 1 nên (1.11) đúng
với n bất kì.
Bổ đề được chứng minh.
Chú ý 1.1.9. Nếu định nghĩa hàm Gauss ϕ
c
với một tham số phức
c ∈ C . Viết c
−1
= a
0
+ ib
0
ta thu được ϕ
c
(x) = e
−πib

0
x
2
e
−πa
0
x
2
. Tính
toán trong bổ đề 1.1.3 được mở rộng cho hàm Gauss với tham số phức
c = a + ib , a > 0 , khi đó ϕ
c
(ω) = c
n
2
ϕ
1
c
(ω) , trong đó căn bậc hai được
chọn để có phần thực dương.
Bổ đề 1.1.4 (Sự dịch chuyển thời gian tần số của hàm Gauss). Với mọi
a > 0 và với mọi x, u, ω, η ∈ R
n
thì
T
x
M
ω
ϕ
a

, T
u
M
η
ϕ
a
 =

a
2

n
2
e
πi(u−x).(η+ω)
ϕ
2a
(u − x) ϕ
2
a
(η − ω) .
9
Chứng minh.
ϕ
a
, M
ω
T
x
ϕ

a
 =

R
n
e
−
πt
2
a
e
−
π(t−x)
2
a
e
−2πiω.t
dt
= e
−
πx
2
2a

R
n
e
−
2π
(

t−
x
2
)
2
a
e
−2πiω.t
dt
= ϕ
2a
(x)

T
x
2
ϕ
a
2

(ω)
= e
−πix.ω

a
2

n
2
ϕ

2a
(x) ϕ
2
a
(ω) (Theo (1.4) và Bổ đề 1.1.3).
Trường hợp tổng quát được suy ra từ tính toán
M
−ω
T
u−x
M
η
= e
−2πiη.(u−x)
M
η−ω
T
u−x
chúng ta suy ra
T
x
M
ω
ϕ
a
, T
u
M
η
ϕ

a
 = ϕ
a
, M
−ω
T
u−x
M
η
ϕ
a

= e
2πiη.(u−x)
ϕ
a
, M
η−ω
T
u−x
ϕ
a

=

a
2

n
2

e
2πiη.(u−x)
e
−πi(u−x).(η−x)
ϕ
2a
(u − x) ϕ
2
a
(η − ω)
=

a
2

n
2
e
πi(u−x).(η+ω)
ϕ
2a
(u − x) ϕ
2
a
(η − ω) .
Bổ đề được chứng minh.
Bổ đề 1.1.5 (Tính trù mật). Với mọi a > 0, bao tuyến tính của tập
{T
x
M

ω
ϕ
a
: x, ω ∈ R
n
} sinh ra một không gian con trù mật của L
2
(R
n
),
nói cách khác
span {T
x
M
ω
ϕ
a
: x, ω ∈ R
n
} = L
2
(R
n
) .
Định lí 1.1.10 (Định lý Plancherel). Nếu f ∈ L
1
(R
n
) ∩ L
2

(R
n
) thì
f
L
2
=
ˆ
f
L
2
.
Do đó có thể mở rộng tới một toán tử unita trên L
2
(R
n
) và thỏa mãn
đẳng thức Parseval
f, g =


f, g

, ∀f, g ∈ L
2
(R
n
) .
10
Chứng minh. Giả sử X = span {T

x
M
ω
ϕ
1
: x, ω ∈ R
n
}.
Theo (1.6) chúng ta có:
(T
x
M
ω
ϕ
1
)= M
−x
T
ω
ϕ
1
= e
−2πix.ω
T
ω
M
−x
ϕ
1
.

Đẳng thức trên chứng tỏ F : X → X. Do đó theo Bổ đề 1.1.5 thì
span {T
x
M
ω
ϕ
1
: x, ω ∈ R
n
} = L
2
(R
n
) .
Áp dụng Bổ đề 1.1.4 với a = 1 thì
T
x
M
ω
ϕ
1
, T
u
M
η
ϕ
1
 = 2
−
n

2
e
πi(u−x).(η+ω)
ϕ
2
(u − x) ϕ
2
(η − ω) .
Mặt khác từ (T
x
M
ω
ϕ
1
)= M
−x
T
ω
ϕ
1
= e
−2πix.ω
T
ω
M
−x
ϕ
1
và Bổ đề 1.1.4
chúng ta có

F (T
x
M
ω
ϕ
1
) , F (T
u
M
η
ϕ
1
)
= e
−2πi(x.ω−u.η)
T
ω
M
−x
ϕ
1
, T
η
M
−u
ϕ
1

= 2
−

n
2
e
−2πi(x.ω−u.η)
e
πi(η−ω).(−x−u)
ϕ
2
(η − ω) ϕ
2
(−u + x)
= T
x
M
ω
ϕ
1
, T
u
M
η
ϕ
1
.
Từ đó suy ra
T
x
M
ω
ϕ

1
, T
u
M
η
ϕ
1
 = F (T
x
M
ω
ϕ
1
) , F (T
u
M
η
ϕ
1
),
và bởi tính tuyến tính, hệ thức trên mở rộng lên toàn bộ X. Do đó F là
một phép đẳng cự trong X với miền X trù mật trong L
2
(R
n
), và vì thế
nó được mở rộng tới một toán tử unita trên L
2
(R
n

).
Giả sử f =
m

k=1
c
k
T
x
k
M
ω
k
ϕ
1
là một phần tử bất kì trong X, khi đó:
f
2
L
2
=
m

k,l=1
c
k
c
l
T
x

k
M
ω
k
ϕ
1
, T
x
l
M
ω
l
ϕ
1

=
m

k,l=1
c
k
c
l
F (T
x
k
M
ω
k
ϕ

1
) , F (T
x
l
M
ω
l
ϕ
1
)
=


f,

f

=
ˆ
f
2
L
2
.
11
Định lí được chứng minh.
Chú ý 1.1.11. Công thức ngược và định lý Plancherel là tương đương.Thật
vậy:
1. Giả sử rằng định lý Plancherel được biết là đúng. Khi đó từ F là
unita, F

−1
bằng toán tử liên hợp F
∗
. Ta xem biến đổi Fourier như
một toán tử tích phân Ff (ω) =

K (ω, x) f (x) dx. Suy ra toán tử
liên hợp F
∗
là toán tử tích phân với nhân K (ω, x) = e
2πix.ω
. Từ đó
ta có được công thức ngược.
2. Ngược lại, giả thiết rằng công thức ngược đúng với mọi hàm f , sao
cho f,

f ∈ L
1
(R
n
). Khi đó, ta có
f ∗ f
∗
(0) =

f (x) f
∗
(0 − x) dx = f
2
L

2
và
(f ∗ f
∗
)(ω) =

f (ω)

f
∗
(ω) =




f (ω)



2
∈ L
1
(R
n
) .
(do f bị chặn theo Bổ đề 1.1.1)
Do đó đẳng thức
f
2
L

2
= f ∗ f
∗
(0) =

(f ∗ f
∗
)(ω) dω =





f (ω)



2
dω
suy ra định lý Placherel.
1.2 Giải tích thời gian – tần số và nguyên lý không
chắc chắn
1.2.1 Giải tích thời gian–tần số
Trong công nghệ và trong vật lý, f (x) được coi như biên độ của sự
dao động của dấu hiệu f tại x, còn

f (ω) được coi như biên độ của tần
12
số tại ω. Từ định nghĩa biến đổi Fourier (1.1), không làm mất tính tổng
quát ta xét số chiều n = 1, chúng ta thấy rằng phép lấy tích phân không

thể thực hiện được trừ khi chúng ta biết f (x) trên toàn bộ trục thực
(−∞, +∞). Điều này do các hàm e
iωx
hay là cos (xω) và sin (xω) là các
hàm toàn cục. Nghĩa là, một sự nhiễu nhỏ của hàm tại bất kì điểm nào
dọc theo trục x đều ảnh hưởng đến mọi điểm trên trục ω và ngược lại.
Nếu chúng ta tưởng tượng dấu hiệu f (x) như là hàm điều biến cho e
iωx
,
một sự nhiễu tại bất kì điểm nào trên trục x sẽ lan truyền qua toàn
bộ trục ω. Mặt khác chúng ta thực hiện trên biến đổi Fourier, ở một
thời điểm tích phân chỉ có thể được đánh giá tại một tần số. Mặc dù có
những thuật toán để tính toán nhanh biến đổi Fourier bằng kĩ thuật số,
nhưng nó không thể được thực hiện theo thời gian thực. Tất cả dữ liệu
cần thiết phải được lưu trữ trong bộ nhớ trước khi rời rạc hoặc biến đổi
Fourier nhanh có thể được tính.
Như vậy dù có sử dụng phương pháp linh hoạt nhất, giải tích Fourier
cũng không đáp ứng đủ nhu cầu thực tiễn. Cho nên trong giải tích tín
hiệu, chúng ta đi tìm những biểu diễn kết hợp những đặc trưng của f
và

f vào một hàm đơn giản, được gọi là biểu diễn thời gian–tần số. Vậy
mục tiêu của giải tích thời gian–tần số là đưa ra phổ tần số tức thời tại
thời điểm x.
Tuy nhiên, không một mô hình toán học nào có thể làm được vì bị
cản trở bởi vô số các bất đẳng thức mà ta gọi là các nguyên lí không
chắc chắn. Mặc dù vậy vẫn có những phương pháp xấp xỉ tốt nhưng là
đối với từng tín hiệu vì mỗi loại tín hiệu lại có những nguyên lí không
chắc chắn riêng.
13

1.2.2 Nguyên lý không chắc chắn
Trong toán học, theo nghĩa hẹp các nguyên lý không chắc chắn là các
bất đẳng thức liên quan đến cả f và

f . Chúng ta bắt đầu với nguyên lý
không chắc chắn cổ điển với số chiều n = 1 mà thường được gọi là bất
đẳng thức Heisenberg – Pauli – Weyl. Đầu tiên chúng ta chứng minh
một nguyên lý không chắc chắn tóm tắt đối với toán tử tự liên hợp trên
một không gian Hilbert.
Đối với 2 toán tử tuyến tính A, B chúng ta kí hiệu giao hoán tử của
chúng bởi [A.B] = AB − BA .
Bổ đề 1.2.1. Cho A và B là toán tử tự liên hợp (có thể không bị chặn)
trên một không gian Hilbert H. Khi đó
(A − a) f. (B −b) f 
1
2
|[A, B] f, f|
với mọi a, b ∈ R và với mọi f trong miền của AB và BA .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (A − a) f = ic (B −b) f, c ∈ R .
Chứng minh. Ta viết lại giao hoán tử và sử dụng tính chất tự liên hợp
của A và B.
[A, B] f, f = {(A − a) (B −b) − (B − b) (A − a)}f, f
= (B −b) f, (A − a) f− (A −a) f, (B − b) f
= 2i Im (B −b) f, (A − a) f.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwartz, ta có:
|[A, B] f, f|  2 |(B − b) f, (A − a) f| (1.13)
 2 (B −b) f. (A − a) f. (1.14)
Đẳng thức trong (1.13) xảy ra khi và chỉ khi (B −b) f, (A − a) f là
thuần ảo và đẳng thức trong (1.14) xảy ra khi và chỉ khi (A −a) f =
λ (B −b) f , λ ∈ C ⇒ λ = ic, c ∈ R.

14
Định lí 1.2.1 (Bất đẳng thức Heisenberg – Pauli – Weyl). Nếu f ∈
L
2
(R) và a, b ∈ R tùy ý thì


+∞

−∞
(x − a)
2
|f (x)|
2
dx


1
2


+∞

−∞
(ω − b)
2





f (ω)



2
dω


1
2

1
4π
f
2
L
2
.
(1.15)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f là một bội số của T
a
M
b
ϕ
c
(x) =
e
2πib(x−a)
e
−

π(x−a)
2
c
với a, b ∈ R và c > 0.
Chứng minh. Đặt Xf (x) = x.f (x) là toán tử nhân và P f (x) =
1
2πi
f

(x)
là toán tử đạo hàm. Rõ ràng lớp Schwartz S (R) là miền xác định chung
của các toán tử X, P , XP và P X ; miền xác định chung lớn nhất của
các toán tử này là không gian con

f ∈ L
2
: xf (x) , f

, xf

(x) ∈ L
2
(R)

.
Do các toán tử này là những phần tử sinh của các nhóm modul và điều
biến là
d
dω
M

ω
f




ω=0
= 2πiXf
d
dx
T
x
f




x=0
= −2πiP f.
Điều này chứng tỏ X và P là hai toán tử tự liên hợp.
Giả sử f nằm trong miền xác định của X, P , XP và P X thì giao hoán
tử của X, P tác động lên f là
[X, P ] f (x) =
1
2πi

xf

(x) − (xf)


(x)

= −
1
2πi
f (x) .
Từ Bổ đề 1.2.1 suy ra
1
4π
f
2
L
2
=
1
2
|[X, P ] f, f|  (X − a) f
L
2
(P −b) f
L
2
. (1.16)
15
Theo định lý Plancherel và (1.8) với α = 1 (tức là (f

)(ω) = 2πiω

f (ω)),
ta có

(P −b) f
L
2
= F ((P − b) f)
L
2
=



R
(ω − b)
2




f (ω)



2
dω


1
2
.
Và tương tự chúng ta có
(X − a) f

L
2
=


+∞

−∞
(x − a)
2
|f (x)|
2
dx


1
2
.
Thay 2 đẳng thức trên vào (1.16) ta được bất đẳng thức (1.15).
Đẳng thức trong (1.16) xảy ra khi và chỉ khi (P −b) f = ic (X − a) f
với c ∈ R . Đây là phương trình vi phân
f

− 2πibf = −2πc (x − a) f.
Nghiệm của phương trình vi phân này là các bội số của T
a
M
b
ϕ
1

c
. Do
f ∈ L
2
(R) suy ra c > 0.
Hệ quả 1.2.1. Nếu f ∈ L
2
(R) sao cho xf (x) , f

, xf

(x) ∈ L
2
(R) thì
Xf
2
L
2
+ P f
2
L
2

1
2π
f
2
L
2
. (1.17)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f (x) = ce
−πx
2
, c > 0.
Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức 2αβ  α
2
+β
2
vào nguyên lý không
chắc chắn với a = b = 0, α = Xf
L
2
và β = P f
L
2
. Để có đẳng thức
xảy ra ta cần α = β và đẳng thức trong nguyên lý không chắc chắn,
nghĩa là P f = ±iXf. Phương trình này chỉ có nghiệm trên L
2
là hàm
Gauss ce
−πx
2
.
Chú ý 1.2.2. Hệ quả 1.2.1 có thể được giải thích như một phép nhúng
của không gian hàm. Chúng ta nói rằng không gian Banach B
1
được