Phương pháp giải bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán chấp nhận tách suy rộng 624601

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
----------------------------

Trần Việt Anh

PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC
BIẾN PHÂN TRÊN TẬP NGHIỆM CỦA BÀI
TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH SUY RỘNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2018


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
----------------------------

Trần Việt Anh

PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC
BIẾN PHÂN TRÊN TẬP NGHIỆM CỦA BÀI
TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH SUY RỘNG
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số:

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
1. GS.TSKH. Lê Dũng Mưu
2. PGS.TS. Nguyễn Hữu Điển

XÁC NHẬN NCS ĐÃ CHỈNH SỬA THEO QUYẾT NGHỊ
CỦA HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ LUẬN ÁN
Người hướng dẫn khoa học

Chủ tịch hội đồng đánh giá

Luận án Tiến sĩ

GS.TSKH. Lê Dũng Mưu

GS.TSKH. Phan Quốc Khánh

Hà Nội - 2018


L˝I CAM OAN

Tæi xin cam oan nhœng k‚t qu£ ÷æc tr…nh b y trong lu“n ¡n n y l cæng tr…
nh nghi¶n cøu cıa ri¶ng tæi. C¡c k‚t qu£ v sŁ li»u trong lu“n ¡n l trung thüc v
ch÷a tłng ÷æc cæng bŁ trong b§t ký cæng tr…nh cıa ai kh¡c. C¡c k‚t qu£ vi‚t
chung vîi c¡c t¡c gi£ kh¡c •u nh“n ÷æc sü nh§t tr‰ cıa c¡c çng t¡c gi£ khi ÷a v o
lu“n ¡n.

H nºi, ng y

th¡ng

n«m 2018

Nghi¶n cøu sinh

Trƒn Vi»t Anh

2


LIC MèN
Lun Ăn n y ữổc ho n th nh ti trữớng i hồc Khoa hồc Tỹ nhiản - i hồc Quc
gia H Ni dữợi sỹ hữợng dÔn ca GS. TSKH. Lả Dụng Mữu v PGS.TS. Nguyn
Hu in. TĂc giÊ xin ữổc b y tọ lặng bit ỡn sỹ hữợng dÔn tn tnh ca GS.
TSKH. Lả Dụng Mữu v PGS. TS. Nguyn Hu in trong quĂ trnh hồc tp v
nghiản cứu.
TĂc giÊ trƠn trồng gòi lới cÊm ỡn n Ban LÂnh o trữớng i hồc Khoa hồc Tỹ
nhiản - i hồc Quc gia H Ni, Phặng Sau i hồc, Khoa ToĂn - Cỡ - Tin hồc, cĂc
thy cổ giĂo trong B mổn ToĂn giÊi tch, Ban GiĂm c Hồc viằn Cổng nghằ
Bữu chnh Vin thổng, cĂc thy cổ giĂo v cĂc bn ỗng nghiằp Khoa Cỡ bÊn I Hồc viằn Cổng nghằ Bữu chnh Vin thổng  luổn ng viản giúp ù tĂc giÊ
trong thới gian l m nghiản cứu sinh.
TĂc giÊ cụng xin gòi lới cÊm ỡn sƠu sc tợi GS. TSKH. Phm Ký Anh v cĂc th nh
viản trong nhõm Xảmina liản cỡ quan Trữớng i hồc Khoa hồc Tỹ nhiản
-

i hồc Quc gia H Ni, Trữớng i hồc BĂch khoa H Ni, Trữớng i hồc Thông

Long, Viằn ToĂn hồc, Viằn nghiản cứu cao cĐp v ToĂn  õng gõp nhiu ỵ kin
quỵ bĂu trong thới gian tĂc giÊ tham dỹ Xảmina.
Cui cũng, tĂc giÊ xin cÊm ỡn sỹ ng viản v hỉ trổ ca gia nh v bn b
trong sut quĂ trnh hồc tp, nghiản cứu.

3

Lới cam oan
Lới cÊm ỡn
Mửc lửc
BÊng k hiằu
BÊng cĂc ch vit tt
M u
Chữỡng 1. Kin thức chu'n b
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5

H m lỗi v dữợi vi phƠn ca h m lỗi . .
ToĂn tò chiu trong khổng gian Hilbe
B i toĂn im bĐt ng . . . . . . . . . . . .
B i toĂn bĐt flng thức bin phƠn . . . .
B i toĂn cƠn bng . . . . . . . . . . . . . . .

Chữỡng 2. Phữỡng phĂp giÊi bĐt flng thức bin phƠn trản tp nghiằm
ca b i toĂn im bĐt ng tĂch
2.1
nh lỵ hi tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
Mt s hằ quÊ . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3
Thò nghiằm s . . . . . . . . . . . . . . . .

Chữỡng 3. Phữỡng phĂp giÊi bĐt flng thức bin phƠn trản tp nghiằm

ca b i toĂn bĐt flng thức bin phƠn tĂch v b i toĂn chĐp nhn
tĂch a tp hổp
3.1
B i toĂn bĐt flng thức bin phƠn hai c
3.1.1
3.1.2 Mt s hằ quÊ . . . . . . . . . . . .
3.1.3
3.2
B i toĂn bĐt flng thức bin phƠn tĂch
3.2.1
4


3.2.2 Mº
3.3 B i to¡n b§t flng thøc bi‚n ph¥n vîi r ng buºc ch§p nh“n t¡ch a
t“p hæp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3.1 Th
3.3.2 Mº
3.3.3 Thß

Ch÷ìng 4. Ph÷ìng ph¡p t…m nghi»m câ chu'n nhä nh§t cıa b i to¡n
c¥n b‹ng t¡ch
4.1
Thu“t to¡n v ành lþ hºi tö . . . . . . . .
4.2
Mºt sŁ h» qu£ . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3
Thß nghi»m sŁ . . . . . . . . . . . . . . . .
K‚t lu“n v ki‚n nghà

Danh möc cæng tr…nh khoa håc cıa t¡c gi£ li¶n quan ‚n lu“n ¡n
T i li»u tham kh£o

5


BNGKHIU

R
R

n

H
N

N
9x
8x
kxk
hx; yi
;
A B
A B
x2A
x 2= A
int C
dom f
argminff(x) : x 2 Cg
argmaxff(x) : x 2 Cg

C

NC (x)
@f(x)
Fix(T )
PC (x)
n

fx g
n

x ! x
n

x *x
lim sup
lim inf
A
6
V IP(C;F) Sol(C; F )


EP (C; f)

b i to¡n b§t flng thøc bi‚n ph¥n t“p

Sol(C; f)

nghi»m cıa b i to¡n V IP (C; F )

2

b

i to¡n c¥n b‹ng

t“p nghi»m cıa b i to¡n c¥n b‹ng EP (C; f)
k‚t thóc chøng minh

7


B NGC CCHÚVI TT T

SFPP

b i to¡n

i”m b§t

SFP

b i to¡n ch§p nh“n t¡ch

VIP

b i to¡n b§t

flng thøc bi‚n ph¥n

BVIP

b i to¡n b§t

flng thøc bi‚n ph¥n hai c§p

SVIP

b i to¡n b§t

flng thøc bi‚n ph¥n t¡ch

BSVIP

b i to¡n b§t

flng thøc bi‚n ph¥n t¡ch hai c§p

EP

b i to¡n c¥n b‹ng

SEP

b i to¡n c¥n b‹ng t¡ch

MSSFP

b i to¡n ch§p nh“n t¡ch

8

ºng t¡ch

a t“p hæp


M U

Lch s vn v lý do chn ti
Cho H l khổng gian Hilbert thỹc vợi tch vổ hữợng h ; i v chu'n tữỡng ứng k
k, C l mt tp lỗi õng khĂc rỉng trong H, F l Ănh x i t mt tp trong H chứa C v o
H. B i toĂn bĐt flng thức bin phƠn (VIP - Variational Inequality Problem) V IP (C;
F ) ữổc phĂt biu nhữ sau:
Tm x 2 C sao cho hF (x ); x x i
B

0 8x 2 C:

i toĂn bĐt flng thức bin phƠn ữổc giợi thiằu ln u tiản v o nôm 1966 khi

Philip Hartman v Guido Stampacchia cổng b nhng nghiản cứu u tiản ca m
nh v bĐt flng thức bin phƠn liản quan tợi viằc giÊi cĂc b i toĂn bin phƠn, b i toĂn

iu khin ti ữu v cĂc b i toĂn biản trong lỵ thuyt phữỡng trnh o h m riảng.
B i toĂn bĐt flng thức bin phƠn trong khổng gian vổ hn chiu v cĂc ứng dửng
ca nõ ữổc giợi thiằu trong cun sĂch "An Introduction to Variational Inequalities
and Their Applications" ca David Kinderlehrer v Guido Stampacchia xuĐt bÊn
nôm 1980 v trong cun sĂch "Variational and Quasivariational Inequalities:
Applications to Free Boundary Problems" ca Claudio Baiocchi v Antonio

Capelo xuĐt bÊn nôm 1984.
Hiằn nay, b i toĂn bĐt flng thức bin phƠn  phĂt trin th nh nhiu dng khĂc
nhau, v dử nhữ bĐt flng thức bin phƠn tĂch, bĐt flng thức bin phƠn vectỡ, bĐt
flng thức bin phƠn 'n,...B i toĂn bĐt flng thức bin phƠn  thu hút ữổc rĐt nhiu sỹ
quan tƠm ca cĂc nh toĂn hồc v cĂc mổ hnh ca nõ chứa nhiu b i toĂn quan
trồng ca mt s lắnh vỹc khĂc nhau trong toĂn hồc ứng dửng nhữ ti ữu hõa, b i
toĂn bũ, b i toĂn im bĐt ng Brouwer, lỵ thuyt trặ chỡi, cƠn bng mng lữợi giao
thổng,...
Mt trong cĂc hữợng nghiản cứu quan trồng ca b i toĂn bĐt flng thức bin
9


phƠn l xƠy dỹng cĂc phữỡng phĂp giÊi. Mt trong cĂc phữỡng phĂp giÊi õ l dỹa
v o cĂch tip cn im bĐt ng. ị tững chnh ca phữỡng phĂp n y l chuyn b i
toĂn bĐt flng thức bin phƠn v b i toĂn tm im bĐt ng ca mt Ănh x thch
hổp. CĂch tip cn im bĐt ng khổng ch ữổc sò dửng trong khổng gian hu
hn chiu m cặn ữổc sò dửng trong khổng gian Hilbert. Phữỡng phĂp im gn k
ữổc xuĐt bi B. Martinet cho b i toĂn bĐt flng thức bin phƠn. ị tững chnh
ca phữỡng phĂp im gn k l xƠy dỹng cĂc b i toĂn hiằu chnh bng cĂch cng
thảm v o toĂn tò ca b i toĂn gc mt toĂn tò ỡn iằu mnh phử thuc
v o tham s sao cho b i toĂn hiằu chnh cõ nghiằm duy nhĐt. T õ, vợi cĂc iu
kiằn phũ hổp, dÂy lp nhn ữổc bng cĂch giÊi b i toĂn hiằu chnh, cõ giợi hn l
mt nghiằm n o õ ca b i toĂn gc khi cho tham s dn tợi mt giợi hn thch hổp.
Phữỡng phĂp dỹa v o h m Ănh giĂ cụng l mt phữỡng phĂp quan trồng trong viằc
giÊi b i toĂn bĐt flng thức bin phƠn. ị tững ca phữỡng phĂp l dũng h m Ănh giĂ
ữa b i toĂn bĐt flng thức bin phƠn v mt b i toĂn ti ữu. Hai h m Ănh giĂ cỡ bÊn
ữổc sò dửng l h m Ănh giĂ Auslender v h m Ănh giĂ Fukushima. Trong cĂc phữỡng
phĂp giÊi b i toĂn bĐt flng thức bin phƠn th phữỡng phĂp chiu õng mt vai trặ
quan trồng v sỹ ỡn giÊn v thun lổi trong quĂ trnh tnh toĂn. Phữỡng phĂp
chiu ỡn giÊn nhĐt cho b i toĂn bĐt flng thức bin phƠn l phữỡng phĂp o h m

(Gradient Method), l mt sỹ m rng tỹ nhiản ca phữỡng phĂp chiu o h m cho
cĂc b i toĂn ti ữu ữổc xuĐt bi Alan A. Goldstein (xem [28]), Evgeny S. Levitin
v Boris T. Polyak (xem [37]), trong õ ch thỹc hiằn mt php chiu duy nhĐt lản
tp r ng buc C trong mỉi bữợc lp
k+1

x

k

k

= PC (x

F (x )) k

0;

0

Ơy x 2 C bĐt ký cho trữợc. Dữợi cĂc giÊ thit F l ỡn iằu mnh, liản tửc Lipschitz
trản C hoc ỡn iằu mnh ngữổc trản C v vợi giĂ tr thch hổp,
k

dÂy fx g hi tử n nghiằm duy nhĐt V IP (C; F ). Phữỡng phĂp o h m giÊi V IP (C;
F ) ặi họi tnh ỡn iằu mnh hoc ỡn iằu mnh ngữổc ca Ănh x F . trĂnh iu kiằn
n y, ngữới ta  xuĐt phữỡng phĂp o h m tông cữớng (Extragradient Method).
Phữỡng phĂp o h m tông cữớng giÊi V IP (C; F ) cõ

10

trong õ
tửc Lipschitz trản C
V IP (C; F ) vợi iu kiằn tp nghiằm ca V IP (C; F ) khĂc rỉng. Nôm 2011, Yair
Censor cũng vợi cĂc ỗng nghiằp (xem [18]) Â xuĐt phữỡng phĂp dữợi o h m tông
cữớng, thay toĂn tò chiu ln thứ hai trản C bng toĂn tò chiu trản nòa

trong õ Tk = f! 2 H : hxF (x ) y ; ! y i 0g v 2
tp nghiằm Sol(C; F ) ca V IP (C; F khĂc rỉng v Ănh x F : H ! H ỡn iằu
k

trản C, L-liản tửc Lipschitz trản H. Khi õ cÊ hai dÂy fx g v
nghiằm x ca V IP (C; F ).
Gn Ơy, Rapeepan Kraikaew v Satit Saejung (xem [36]) Â kt hổp phữỡng
k

phĂp dữợi o h m tông cữớng v phữỡng phĂp Halpern xƠy dỹng dÂy lp fx g
hi tử mnh n nghiằm ca V IP (C; F ).


tro ng â

f

k

g

(0 ;

1),

k!1

cho hºi tö m⁄nh

0

‚n PSol(C;F )(x ).

R§t gƒn ¥y, c¡c ph÷ìng ph¡p chi‚u ⁄o h m ph£n x⁄ (Projected Reflected
Gradient Methods) ¢ ÷æc x¥y düng ” gi£i b i to¡n b§t flng thøc bi‚n ph¥n ìn
11


iằu (xem [40]). im lỵ thú ca phữỡng phĂp n y l bng cĂch dũng k thut phÊn x,
b i toĂn bĐt flng thức bin phƠn ỡn iằu cụng giÊi ữổc vợi mt php chiu lản tp r ng
buc trong mỉi bữợc lp. Ngo i ra trĂnh viằc dũng php chiu, nhiu khi rĐt tn
km v phữỡng diằn tnh toĂn, cĂc phữỡng phĂp h m pht (xem [44]), phữỡng phĂp
im trong,... cụng l nhng phữỡng phĂp cỡ bÊn cho bĐt flng thức bin phƠn.
Trong thỹc t, bản cnh nhng mổ hnh toĂn hồc ặi họi phÊi tm nghiằm chung
ca hai b i toĂn trản cũng mt khổng gian, cõ nhng mổ hnh, chflng hn mổ hnh
IMRT (Intensity-Modulated Radiation Therapy) trong bức x tr liằu (xem [15,17]) yảu
cu tm nghiằm ca mt b i toĂn trong khổng gian n y sao cho Ênh ca nõ qua mt
toĂn tò tuyn tnh b chn l nghiằm ca mt b i toĂn trong khổng gian khĂc. B i toĂn
chĐp nhn tĂch (SFP - Split Feasibility Problem) ữổc phĂt biu nhữ sau:

Tm x 2 C sao cho Ax 2 Q;

(SF P )

trong õ C, Q ln lữổt l cĂc tp lỗi õng khĂc rỉng trong cĂc khổng gian Hilbert
thỹc H1, H2 v A : H1 ! H 2 l mt toĂn tò tuyn tnh b chn.
B

i toĂn chĐp nhn tĂch cõ nhiu ứng dửng thỹc t trong cĂc b i toĂn xò lỵ tn

hiằu v khổi phửc Ênh (xem [10]), liằu phĂp x tr iu chnh cữớng (xem [15,17])
v trong cĂc b i toĂn khĂc. B i toĂn chĐp nhn tĂch trong cĂc khổng gian Hilbert
hu hn chiu ữổc giợi thiằu ln u tiản bi Yair Censor v Tommy Elfving (xem
[16]). giÊi b i toĂn chĐp nhn tĂch trong khổng gian hu hn chiu, Charles
Byrne (xem [9]) Â xuĐt thut toĂn CQ bng cĂch xt dÂy, vợi mồi k 0,
k+1

x

k

T

k

= PC (x + A (PQ I)Ax );
n

m

trong õ C, Q ln lữổt l hai tp lỗi õng khĂc rỉng trong R v R , A l mt ma trn
T

2

thỹc m n, L l giĂ tr riảng lợn nhĐt ca ma trn A A v 2 0; L .
Gn Ơy, Hong-Kun Xu (xem [51]) Â nghiản cứu sỹ hi tử ca thut toĂn CQ
trong khổng gian Hilbert vổ hn chiu vợi dÂy lp cõ dng

,

0

trong õ x
minh ữổc dÂy fx g hi tử yu

2 H1 k
n nghiằm ca b i toĂn chĐp nhn tĂch vợi
12

iu


kiằn b i toĂn chĐp nhn tĂch cõ nghiằm.
Thut toĂn CQ giÊi b i toĂn chĐp nhn tĂch ặi họi phÊi tm ữổc hnh chiu
trản cĂc tp C v Q, tuy nhiản trong cĂc trữớng hổp cĂc tp C, Q ữổc cho dữợi dng
'n, v dử nhữ tp im bĐt ng ca mt Ănh x, tp nghiằm ca mt
b i toĂn bĐt flng thức bin phƠn, tp nghiằm ca mt b i toĂn cƠn bng,...th ta
khổng th tm ữổc hnh chiu trản chúng. B i toĂn chĐp nhn tĂch trong trữớng
hổp n y ữổc gồi l b i toĂn chĐp nhn tĂch suy rng. Sau Ơy, chúng tổi trnh b y
mt s dng cỡ bÊn ca b i toĂn chĐp nhn tĂch suy rng ữổc nghiản cứu trong
lun Ăn. TĐt cÊ cĂc dng n y u ữổc giÊ thit l cõ nghiằm.

1. B i toĂn

im bĐt

ng tĂch

Cho C, Q ln lữổt l cĂc tp lỗi

õng khĂc rỉng trong cĂc khổng gian Hilbert thỹc

H1 v H2, T : C ! C, S : Q ! Q l cĂc Ănh x khổng giÂn. B i toĂn im bĐt ng tĂch ữổc
phĂt biu nhữ sau:
Tm x 2 Fix(T ) sao cho Ax 2 Fix(S);
trong õ Fix(T ), Fix(S) ln lữổt l tp
2. B i toĂn bĐt

im bĐt

ng ca T; S.

flng thức bin phƠn tĂch

Cho C, Q ln lữổt l cĂc tp lỗi õng khĂc rỉng trong cĂc khổng gian Hilbert thỹc
H1 v H2. GiÊ sò F1 : C ! H 1, F2 : Q ! H 2 hoc F1 : H1 ! H 1, F2 : H2 ! H 2 l cĂc Ănh
x. B i toĂn bĐt flng thức bin phƠn tĂch ữổc phĂt biu nhữ sau:
Tm x 2 Sol(C; F1) sao cho Ax 2 Sol(Q; F2);
trong õ Sol(C; F1), Sol(Q; F2) ln lữổt l tp nghiằm ca cĂc b i toĂn bĐt flng thức
bin phƠn V IP (C; F1), V IP (Q; F2).
3. B i toĂn cƠn bng tĂch
Cho C v Q ln lữổt l cĂc tp lỗi õng khĂc rỉng trong cĂc khổng gian Hilbert thỹc

H1 v H2. GiÊ sò f : C C ! R, g : Q Q! R hoc f : H 1 H1 ! R[f+1g, g : H2 H2 ! R
[ f+1g l hai song h m cƠn bng. B i toĂn cƠn bng tĂch ữổc phĂt biu nhữ sau:

Tm x 2 Sol(C; f) sao cho Ax 2 Sol(Q; g);
trong õ Sol(C; f), Sol(Q; g) ln lữổt l tp nghiằm ca cĂc b i toĂn cƠn bng EP (C;
f), EP (Q; g).
13


4. B i toĂn chĐp nhn tĂch

a tp hổp

Cho C1; C2; : : : ; CM l M tp lỗi õng khĂc rỉng trong khổng gian Hilbert thỹc H 1

v Q1, Q2,: : :, QN l N tp lỗi õng khĂc rỉng trong khổng gian Hilbert thỹc H2. B i
toĂn chĐp nhn tĂch a tp hổp ữổc phĂt biu nhữ sau:

Tm x 2
Trong nhng nôm gn Ơy, cĂc b i toĂn chĐp nhn tĂch suy rng  nhn ữổc sỹ
quan tƠm v nghiản cứu rng rÂi bi nhiu nh toĂn hồc trong v ngo i nữợc (xem
[8,11 13,17 20,24,38,41,42,48,50,51,54 56]).
B

i toĂn chĐp nhn tĂch suy rng cõ th cõ nhiu nghiằm, do õ mt s nh toĂn

hồc ữa ra thut toĂn tm nghiằm cõ mt tnh chĐt n o õ ca b i toĂn chĐp nhn
tĂch suy rng. Nôm 2012, Lu-Chuan Ceng v cĂc ỗng nghiằp (xem [14]) Â
xuĐt thut toĂn tm nghiằm cõ chu'n nhọ nhĐt ca b i toĂn chĐp nhn tĂch
0

8x 2 H1 ữổc chồn tũy ỵ;
>yk = PC (x k

k
k f k (x ));

>

>

r

>

<
>xk+1 = kxk + kyk + kPC (xk
>

>
>

:
trong õ rf k := A (I PQ)A + kI v I l Ănh x ỗng nhĐt. CĂc tĂc giÊ Â chứng minh dữợi
k

k

mt s iu kiằn ca cĂc dÂy s f kg, f kg, f kg, f kg v f kg th cĂc dÂy fx g v fy g
ữổc xĂc nh bi (1) hi tử mnh n nghiằm cõ chu'n nhọ nhĐt ca b i toĂn chĐp

nhn tĂch, vợi iu kiằn tp nghiằm ca b i toĂn chĐp nhn tĂch l khĂc rỉng.
B

i toĂn tm nghiằm cõ chu'n nhọ nhĐt ca b i toĂn chĐp nhn tĂch chnh l

mt b i toĂn bĐt flng thức bin phƠn vợi tp r ng buc l tp nghiằm ca b i toĂn chĐp
nhn tĂch v Ănh x giĂ l Ănh x ỗng nhĐt.
B

i toĂn bĐt flng thức bin phƠn trản tp nghiằm ca b i toĂn chĐp nhn tĂch

suy rng chứa ỹng nhiu b i toĂn khĂc l m trữớng hổp riảng nhữ b i toĂn bĐt
flng thức bin phƠn trản tp im bĐt ng ca mt Ănh x, b i toĂn bĐt flng thức bin
phƠn hai cĐp, b i toĂn bĐt flng thức bin phƠn trản tp nghiằm ca b i toĂn cƠn


b‹ng. ¥y l c¡c b i to¡n ¢ v ang nh“n ÷æc sü quan t¥m nghi¶n cøu bði nhi•u nh
to¡n håc ð trong v ngo i n÷îc. C¡c nh to¡n håc trong n÷îc nh÷
14


Phm Ký Anh, Nguyn Bữớng, Phan Quc KhĂnh, Lả Dụng Mữu, Nguyn Th Thu
Thy cụng thu ữổc nhiu kt quÊ v thut toĂn giÊi cĂc b i toĂn trản.

B cc ca lun ỏn
Lun Ăn nghiản cứu v xuĐt phữỡng phĂp giÊi b i toĂn bĐt flng thức bin phƠn
trản tp nghiằm ca b i toĂn chĐp nhn tĂch suy rng. Ngo i phn m u, kt lun v
t i liằu tham khÊo, lun Ăn ữổc chia th nh bn chữỡng, trong õ cĂc kt quÊ chnh
ca lun Ăn nm Chữỡng 2, Chữỡng 3 v Chữỡng 4.
Trong Chữỡng 1, chúng ta trnh b y mt s kin thức chu'n b v kt quÊ b

trổ ữổc sò dửng trong cĂc chữỡng tip theo ca lun Ăn. Cử th, chữỡng n y nhc
li nh nghắa v h m lỗi v dữợi vi phƠn ca h m lỗi. Tip theo l nh nghắa v toĂn
tò chiu trản mt tp lỗi õng khĂc rỉng trong khổng gian Hilbert thỹc v cĂc tnh
chĐt ca nõ. Cui chữỡng, chúng tổi cp tợi b i toĂn im bĐt ng, b i toĂn bĐt flng
thức bin phƠn, b i toĂn cƠn bng v mi liản hằ gia cĂc b i toĂn trản. Ngo i ra,
mt s b ữổc sò dửng trong chứng minh sỹ hi tử ca cĂc thut toĂn xuĐt
cụng ữổc giợi thiằu. Kt quÊ mợi t ữổc trong Chữỡng

xƠy dỹng Ănh x tỹa khổng giÂn Tf : C ! C thọa mÂn nguyản lỵ bĂn õng
1l
tp im bĐt ng ca Tf trũng vợi tp nghiằm ca b i toĂn cƠn bng EP (C; f
v
vợi song h m cƠn bng f l giÊ ỡn iằu.
Chữỡng 2 ữa ra thut toĂn giÊi b i toĂn bĐt flng thức bin phƠn ỡn iằu
mnh v liản tửc Lipschitz vợi tp r ng buc l tp nghiằm ca b i toĂn im bĐt ng tĂch
ca cĂc Ănh x khổng giÂn. K thut chnh ữổc sò dửng l sỹ kt hổp gia
phữỡng phĂp chiu giÊi b i toĂn bĐt flng thức bin phƠn v k thut lp
Krasnoselskii-Mann tm im bĐt ng ca Ănh x khổng giÂn. Sò dửng tnh
chĐt tp nghiằm ca mt b i toĂn bĐt flng thức bin phƠn vợi Ănh x giĂ l ỡn iằu mnh
ngữổc trũng vợi tp im bĐt ng ca mt Ănh x khổng giÂn, chúng tổi ữa ra hằ
quÊ l thut toĂn giÊi b i toĂn bĐt flng thức bin phƠn vợi tp r ng buc l tp nghiằm
ca b i toĂn bĐt flng thức bin phƠn tĂch vợi cĂc Ănh x giĂ l ỡn iằu mnh ngữổc. Hằ
quÊ tip theo l thut toĂn giÊi b i toĂn bĐt flng thức bin phƠn vợi tp r ng buc l tp
nghiằm ca b i toĂn cƠn bng tĂch vợi cĂc song
h m cƠn bng l ỡn iằu v thọa mÂn cĂc iu kiằn ữổc xuĐt bi Eugen Blum v
Werner Oettli (xem [7]). Hai hằ quÊ cui cũng trong chữỡng chnh l trữớng hổp
15


c biằt ca hai hằ quÊ trản trong trữớng hổp Ănh x giĂ F l Ănh x ỗng nhĐt, khi õ

ta ữổc thut toĂn tm nghiằm cõ chu'n nhọ nhĐt ca b i toĂn bĐt flng thức bin
phƠn tĂch v b i toĂn cƠn bng tĂch.
Phn u tiản ca Chữỡng 3, chúng tổi sò dửng phữỡng phĂp dữợi o h m tông
cữớng ữổc xuĐt bi Yair Censor v cĂc ỗng nghiằp (xem [18]) giÊi b i toĂn bĐt
flng thức bin phƠn ỡn iằu mnh v liản tửc Lipschitz vợi tp r ng buc l
tp nghiằm ca b i toĂn bĐt flng thức bin phƠn giÊ ỡn iằu v liản tửc Lipschitz.
Trong phn tip theo ca chữỡng, chúng tổi tip tửc sò dửng phữỡng phĂp dữợi o h
m tông cữớng giÊi b i toĂn bĐt flng thức bin phƠn ỡn iằu mnh v liản tửc Lipschitz
V IP ( ; F ) vợi tp r ng buc l tp nghiằm ca b i toĂn bĐt flng
thức bin phƠn tĂch vợi cĂc Ănh x giĂ F1; F2 l giÊ

ỡn

iằu v liản tửc Lipschitz.

T õ khi cho F l Ănh x ỗng nhĐt, ta thu ữổc hằ quÊ v thut toĂn tm nghiằm cõ
chu'n nhọ nhĐt ca b i toĂn bĐt flng thức bin phƠn tĂch. Khi cho F 1 = F2 = 0 th
b i toĂn bĐt flng thức bin phƠn tĂch tr th nh b i toĂn chĐp nhn tĂch v
ta thu ữổc hằ quÊ l thut toĂn giÊi b i toĂn bĐt flng thức bin phƠn V IP ( ; F )
vợi tp r ng buc

l tp nghiằm ca b i toĂn chĐp nhn tĂch. Hằ quÊ tip theo

nhn ữổc khi cho F l Ănh x

ỗng nhĐt v F1 = F2 = 0, ta

ữổc thut toĂn tm

nghiằm cõ chu'n nhọ nhĐt ca b i toĂn chĐp nhn tĂch. B i toĂn bĐt flng thức bin

phƠn vợi tp r ng buc l tp nghiằm ca b i toĂn bĐt flng thức bin phƠn
tĂch l mt b i toĂn mợi v hiằn nay chữa cõ thut toĂn n o khĂc giÊi theo sỹ
hiu bit ca chúng tổi. Phn cui Chữỡng 3 l
thức bin phƠn V IP ( ; F ) vợi tp r ng buc
nhn tĂch a tp hổp, t õ thu ữổc hằ quÊ l
nhĐt ca b i toĂn chĐp nhn tĂch a tp hổp. CĂc kt quÊ õng gõp trong chữỡng õ l
ữa ra thut toĂn mợi giÊi b i toĂn bĐt flng thức bin phƠn ỡn iằu mnh
v liản tửc Lipschitz vợi tp r ng buc l tp nghiằm ca b i toĂn bĐt flng thức giÊ ỡn
iằu v liản tửc Lipschitz, ữa ra thut toĂn u tiản giÊi b i toĂn bĐt
flng thức bin phƠn vợi tp r ng buc l tp nghiằm ca b i toĂn bĐt flng thức bin
phƠn tĂch, v cui cũng l xuĐt thut toĂn mợi so vợi thut toĂn ữổc ữa ra bi GS.
Nguyn Bữớng (xem [8]) giÊi b i toĂn bĐt flng thức bin phƠn vợi tp r ng buc l tp
nghiằm ca b i toĂn chĐp nhn tĂch a tp hổp.
Chữỡng 4 cp tợi thut toĂn tm nghiằm cõ chu'n nhọ nhĐt ca b i toĂn cƠn

16


bng tĂch vợi cĂc song h m cƠn bng f; g l giÊ ỡn iằu v thọa mÂn iu kiằn kiu
Lipschitz. Nhữ Â nhn xt trản th b i toĂn tm nghiằm cõ chu'n nhọ nhĐt ca
b i toĂn cƠn bng tĂch chnh l mt b i toĂn bĐt flng thức bin phƠn vợi tp r ng buc
l tp nghiằm ca b i toĂn cƠn bng tĂch v Ănh x giĂ l Ănh x ỗng nhĐt. K thut ch
nh ữổc sò dửng l phữỡng phĂp o h m tông cữớng giÊi b i toĂn cƠn bng ữổc
xuĐt bi Trn nh Quc v cĂc ỗng nghiằp (xem [46]). Bng cĂch Ăp dửng phữỡng
phĂp o h m tông cữớng giÊi hai b i toĂn cƠn bng trong hai khổng gian khĂc
nhau v kt ni chúng vợi nhau bng toĂn tò tuyn tnh b chn A v toĂn tò liản
hổp A ca A, chúng tổi thu ữổc thut toĂn tm nghiằm cõ chu'n nhọ nhĐt ca b
i toĂn cƠn bng tĂch. Khi cĂc song h m cƠn bng cõ dng
f(x; y) = hF (x); y xi v g(u; v) = hG(u); v ui th ta thu ữổc hằ quÊ l thut toĂn t
m nghiằm cõ chu'n nhọ nhĐt ca b i toĂn bĐt flng thức bin phƠn tĂch. Cặn khi

cĂc song h m f = 0 v g = 0 th b i toĂn cƠn bng tĂch tr th nh b i toĂn chĐp nhn
tĂch v ta thu ữổc hằ quÊ l thut toĂn tm nghiằm cõ chu'n nhọ nhĐt ca b i toĂn
chĐp nhn tĂch. Kt quÊ mợi t ữổc trong Chữỡng 4 l ữa ra thut toĂn u tiản giÊi
b i toĂn tm nghiằm cõ chu'n nhọ nhĐt ca b i toĂn cƠn bng tĂch.
CĂc thut toĂn hi tử trong lun Ăn n y u cõ chung tiảu chu'n dng õ l khi
khoÊng cĂch gia hai bữợc lp liản tip nhọ hỡn sai s ". minh hồa cĂc thut toĂn,
chúng tổi thữớng lĐy cĂc v dử cõ th tm ữổc nghiằm úng rỗi so sĂnh cĂc kt
quÊ chy s vợi nghiằm úng. CĂc v dử chy s ữổc thỹc hiằn vợi MATLAB
R2012a trản mĂy tnh xĂch tay cĐu hnh Intel(R) Core(TM) i3-3217U CPU @
1.80GHz, 2 GB RAM.

i tng v phm vi nghiờn cu
Trong lun Ăn n y chúng tổi nghiản cứu mt s thut toĂn giÊi b i toĂn bĐt flng
thức bin phƠn trản tp nghiằm ca b i toĂn chĐp nhn tĂch suy rng sau Ơy:

B i toĂn bĐt flng thức bin phƠn ỡn iằu mnh v liản tửc Lipschitz trản tp
nghiằm ca b i toĂn im bĐt ng tĂch ca cĂc Ănh x khổng giÂn.
B i toĂn bĐt flng thức bin phƠn hai cĐp m b i toĂn cĐp trản l ỡn iằu
17


mnh v liản tửc Lipschitz cặn b i toĂn cĐp dữợi l bĐt flng thức bin phƠn giÊ
ỡn iằu v liản tửc Lipschitz.
B i toĂn bĐt flng thức bin phƠn hai cĐp m b i toĂn cĐp trản l ỡn iằu mnh v
liản tửc Lipschitz cặn b i toĂn cĐp dữợi l bĐt flng thức bin phƠn tĂch vợi cĂc
Ănh x giĂ l giÊ ỡn iằu v liản tửc Lipschitz.
B i toĂn bĐt flng thức bin phƠn ỡn iằu mnh v liản tửc Lipschitz trản tp
nghiằm ca b i toĂn chĐp nhn tĂch a tp hổp.
B i toĂn tm nghiằm cõ chu'n nhọ nhĐt ca b i toĂn cƠn bng tĂch vợi cĂc
song h m cƠn bng l giÊ ỡn iằu v thọa mÂn iu kiằn kiu Lipschitz.

Phng phỏp nghiờn cu
Cũng vợi cĂc phữỡng phĂp cỡ bÊn ca giÊi tch lỗi, lỵ thuyt ti ữu, giÊi tch
h m v giÊi tch phi tuyn, chúng tổi cặn sò dửng cĂc phữỡng phĂp sau:
giÊi b i toĂn bĐt flng thức bin phƠn trản tp nghiằm ca b i toĂn b i toĂn
im bĐt ng tĂch, chúng tổi kt hổp phữỡng phĂp chiu cho bĐt flng thức bin
phƠn v k thut lp Krasnoselskii-Mann tm im bĐt ng ca Ănh x khổng
giÂn.
giÊi b i toĂn bĐt flng thức bin phƠn trản tp nghiằm ca b i toĂn bĐt flng
thức bin phƠn hoc bĐt flng thức bin phƠn tĂch, chúng tổi sò dửng phữỡng
phĂp dữợi o h m tông cữớng.
giÊi b i toĂn bĐt flng thức bin phƠn trản tp nghiằm ca b i toĂn chĐp
nhn tĂch a tp hổp, chúng tổi sò phữỡng phĂp song song kt hổp vợi thut
toĂn CQ cho b i toĂn chĐp nhn tĂch.
tm nghiằm cõ chu'n nhọ nhĐt ca b i toĂn cƠn bng tĂch vợi cĂc song h
m cƠn bng l giÊ ỡn iằu v thọa mÂn iu kiằn kiu Lipschitz, chúng tổi sò
dửng phữỡng phĂp o h m tông cữớng cho hai b i toĂn cƠn bng trong hai
khổng gian khĂc nhau v kt ni chúng vợi nhau bng toĂn tò tuyn tnh b
chn v toĂn tò liản hổp ca nõ.

18


C¡c k‚t qu£ cıa lu“n ¡n ÷æc cæng bŁ trong 6 b i b¡o [1-6] tr¶n c¡c t⁄p ch‰ chuy¶n
ng nh quŁc t‚ thuºc h» thŁng ISI v SCOPUS, ¢ ÷æc n¶u trong danh möc cæng
tr…nh khoa håc v ÷æc b¡o c¡o t⁄i:
X¶mina cıa bº mæn gi£i t‰ch, bº mæn To¡n håc t‰nh to¡n v To¡n øng
döng - Khoa To¡n Cì Tin håc - Tr÷íng ⁄i håc Khoa håc Tü nhi¶n - ⁄i håc
QuŁc gia H Nºi. X¶mina li¶n cì quan ⁄i håc Khoa håc Tü nhi¶n, ⁄i håc B¡ch
khoa H Nºi v Vi»n nghi»n cøu cao c§p v• To¡n.

Hºi th£o TŁi ÷u v T‰nh to¡n khoa håc lƒn thø 14, Ba V…, 21-23/4/2016.
Hºi th£o TŁi ÷u v T‰nh to¡n khoa håc lƒn thø 15, Ba V…, 20-22/4/2017.

Hºi nghà khoa håc k ni»m 60 n«m th nh l“p Khoa To¡n - Cì - Tin håc,
Tr÷íng H Khoa håc Tü nhi¶n, HQG HN.
7th International Conference on High Performance Scientific Computing.
Mod-eling, Simulation and Optimization of Complex Processes, Hanoi,
Vietnam, March 19-23, 2018

19


Chng 1
Kin thc chun b

Trong chữỡng n y, chúng ta nhc li mt s khĂi niằm v kt quÊ ữổc sò dửng
trong cĂc chữỡng tip theo ca lun Ăn. Phn u chữỡng trnh b y v h m lỗi v dữợi
vi phƠn ca h m lỗi. Mửc tip theo liản quan tợi toĂn tò chiu trong khổng gian
Hilbert v cĂc tnh chĐt ca nõ. Phn cui chữỡng giợi thiằu v b i toĂn im bĐt ng,
b i toĂn bĐt flng thức bin phƠn, b i toĂn cƠn bng v mt s b s ữổc sò dửng
trong chứng minh cĂc kt quÊ trong lun Ăn. Mt s khĂi niằm v kt quÊ trong
chữỡng n y cõ th ữổc tm thĐy trong cĂc t i liằu [1,6,21,27,33,34]
v trong b i bĂo [6] trong Danh mửc cổng trnh khoa hồc ca tĂc giÊ liản quan
n lun Ăn.

1.1 Hm li v di vi phõn ca hm li
Cho H l khổng gian Hilbert thỹc v f : H!

R [ f 1g. Tp

dom f := fx 2 H : f(x) < +1g
ữổc gồi l min hu hiằu ca h m f.
Ta nõi f l h m chnh thữớng nu dom f 6= ; v f(x) >
nh nghắa 1.1. f : H!

vợi mồi x 2 H.

R [ f+1g ữổc gồi l h m lỗi nu
f( x + (1

vợi mồi x; y 2 dom f v mồi

)y)

f(x) + (1

)f(y)

2 (0; 1).

nh nghắa 1.2. Cho f : H! R [ f+1g l h m lỗi chnh thữớng. Ta nõi p 2 H l
0

dữợi o h m ca f ti x 2 H nu
0

0

hp; x x i + f(x )
20

f(x) 8x 2 H:


0

0

T“p hæp t§t c£ c¡c d÷îi ⁄o h m cıa f t⁄i x ÷æc gåi l d÷îi vi ph¥n cıa f t⁄i x v ÷æc
0

kþ hi»u l @f(x ). Nh÷ v“y
0

0

@f(x ) = fp 2 H : hp; x

0

x i + f(x )
0

0

0

0

f(x) 8x 2 Hg:

H m f ÷æc gåi l kh£ d÷îi vi ph¥n t⁄i x n‚u @f(x ) 6= ;.
V‰ dö 1.1. Gi£ sß a 2 H v
0

x 2 H. Khi â vîi måi x 2 H, ta câ

V‰ dö 1.2. Gi£ sß C : H!
C

0

Khi â vîi måi x 2 C, ta câ
@ C (x ) = NC (x );
trong â
0

0

NC (x ) = fp 2 H : hp; x x i 0 8x 2 Cg l nân
0

ph¡p tuy‚n ngo i cıa C t⁄i x .
Vîi

>0v f:H!

R [ f+1g l h m lçi ch‰nh th÷íng, ta câ t‰nh ch§t

@( f)(x0) = @f(x0) vîi måi x0 2 H. Łi vîi d÷îi vi ph¥n cıa tŒng hai h m lçi, ta câ ành lþ Moreau-Rockafellar (xem [33, Trang 47]).

ành lþ 1.1. (Moreau-Rockafellar) Cho f1; f2 : H ! R [ f+1g l hai h m lçi ch‰nh
th÷íng. Khi â
@(f1 + f2)(x)

@f1(x) + @f2(x) 8x 2 H:

Ngo i ra, n‚u mºt trong hai h m f1; f2 li¶n töc t⁄i mºt i”m thuºc mi•n hœu hi»u cıa h
m kia th…
@(f1 + f2)(x) = @f1(x) + @f2(x) 8x 2 H:


21