Phương pháp điều kiện biên hiệu dụng và sóng rayleigh trong các bán không gian đàn hồi được phủ một lớp vật liệu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Tự NHIÊN

VŨ THỊ NGỌC ÁNH

PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KIỆN BIÊN HIỆU DỤNG VÀ
SÓNG RAYLEIGH TRONG CÁC BÁN KHÔNG GIAN
ĐÀN HỒI ĐƯỢC PHỦ MỘT LỚP VẬT LIỆU

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC

Hà Nội - 2019


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Tự NHIÊN

VŨ THỊ NGỌC ÁNH

PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KIỆN BIÊN HIỆU DỤNG VÀ
SÓNG RAYLEIGH TRONG CÁC BÁN KHÔNG GIAN
ĐÀN HỒI ĐƯỢC PHỦ MỘT LỚP VẬT LIỆU

Chuyên ngành: Cơ học vật rắn
Mã số: 9440109.02

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
GS. TS. Phạm Chí Vĩnh

Hà Nội - 2019


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu và
kết quả được trình bày trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công
bố trong bất kỳ công trình nào khác.
Nghiên cứu sinh

Vũ Thị Ngọc Ánh


LỜI CẢM ƠN

Luận án này được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của
GS. TS. Phạm Chí Vĩnh. Thầy luôn tận tình hướng dẫn, truyền đạt kiến thức,
kinh nghiệm cho tôi, để tôi có được thành quả này. Tôi xin được bày tỏ lòng
biết ơn vô cùng sâu sắc đến Thầy.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Khoa học Tự
nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, ban chủ nhiệm Khoa Toán - Cơ - Tin học,
các cán bộ Phòng sau đại học và đặc biệt là các thầy cô giáo Bộ môn Cơ học
đã tạo mọi điều kiện cho tôi hoàn thành luận án. Tôi cảm ơn các thành viên
trong nhóm xêmina do thầy Phạm Chí Vĩnh làm trưởng nhóm, đã chia sẻ kinh
nghiệm, tạo một môi trường nghiên cứu khoa học tốt nhất cho bản thân tôi.
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến gia đình tôi đã luôn luôn
giúp đỡ, động viên và ủng hộ tôi trong suốt quá trình làm luận án.
Nghiên cứu sinh

Vũ Thị Ngọc Ánh

Danh mục các chữ viết tắt

BKG
bán không gian
BKG-LM
bán không gian phủ lớp mỏng
BKG-LMĐH
bán không gian đàn hồi phủ lớp mỏng đàn hồi
BKG-LM-ĐHĐH bán không gian đàn hồi đẳng hướng phủ lớp mỏng
đàn hồi đẳng hướng
ĐKBHD
điều kiện biên hiệu dụng
LM
lớp mỏng
phương pháp điều kiện biên hiệu dụng
PPĐKBHD
phương trình tán sắc
PTTS


Mục lục

1.1.1 Lớp vật liệu mỏng không thuần nhất với liên kết gắn chặt 45

5


1.1.2
1.1.3
1.2 Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi trực hướng nén được

1.2.1
phủ lớp mỏng trực hướng không nén được với liên kết gắn chặt
. . 50
1.3 Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi trực hướng không
1.3.1
nén được phủ lớp mỏng trực hướng nén được với liên kết gắn
chặt 54
1.4 Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi trực hướng nén được
1.4.1..........................phủ lớp mỏng trực hướng nén được với liên kết trượt
................................................................................................................................ 58
1.5 Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi trực hướng nén được
1.5.1
phủ lớp mỏng trực hướng không nén được với liên kết trượt ....
62
1.6 Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi trực hướng không
1.6.1
nén được phủ lớp mỏng trực hướng nén được với liên kết trượt .
. 64
1.7 Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi trực hướng không
1.7.1..............................................................................................................
1.7.2
1.7.3
PHỤ LỤC

6


1.7.4

Danh sách hình vẽ

2.1
2.2.................................................................................................................


3.1 Các đường cong xấp xỉ: Bovik (nét đứt có chấm), bậc bốn (nét
đứt) và đường cong chính xác (nét liền) của vận tốc sóng Rayleigh
trong BKG đẳng hướng nén được phủ LM đẳng hướng nén được,
2.3.................................................................................................................
2.4.................................................................................................................


2.5

MỞ ĐẦU

2.6

Tính thời sự của đề tài luận án
2.7 Nhiều bài toán thực tế dẫn đến bài toán biên của lý thuyết đàn hồi trên
miền Q gồm một số miền con (thành phần) liên kết với nhau. Để giải các bài
toán biên này, cần tìm nghiệm tổng quát trên từng miền con, sau đó cho chúng
thỏa mân các điều kiện biên, điều kiện đầu và điều kiện liên kết. Khi Q gồm
nhiều miền con, số ẩn hàm cần tìm lớn. Để giảm số ẩn cần tìm của bài toán, cần
giảm số thành phần của Q. Để bảo toàn tương tác cơ học, ảnh hưởng của các
thành phần đưa ra khỏi kết cấu Q lên phần còn lại Q* sẽ được thay thế bằng các
điều kiện trên biên của Q*, được gọi là các điều kiện biên hiệu dụng (ĐKBHD).
Phương pháp này, do vậy, được gọi là phương pháp điều kiện biên hiệu dụng
(PPĐKBHD). Vì tác dụng làm giảm số ẩn của một bài toán biên, PPĐKBHD
có phạm vi ứng dụng lớn, rất cần được nghiên cứu và phát triển.

2.8 Cấu trúc “một lớp (đàn hồi) dày phủ một lớp (đàn hồi) mỏng”, mô hình hóa
như bán không gian (BKG) đàn hồi phủ một lớp đàn hồi, đang được sử dụng
rộng râi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của công nghệ hiện đại. Việc đánh giá
các tính chất cơ học của cấu trúc trước và trong quá trình sử dụng, do vậy, là
hết sức cần thiết và có ý nghĩa. Trong nhiều phương pháp đánh giá, phương
pháp truyền sóng Rayleigh được sử dụng rộng râi bởi nó không phá hủy vật
liệu, thời gian kiểm tra ngắn, giá thành rẻ. Khi sử dụng sóng Rayleigh để đánh
giá, phương trình tán sắc (PTTS) dạng hiện của nó là cơ sở toán học để thiết
lập bài toán ngược: xác định các đặc trưng cơ học của cấu trúc từ các giá trị đo
được của vận tốc sóng. Do vậy, nghiên cứu bài toán truyền sóng Rayleigh trong
các BKG đàn hồi phủ một lớp đàn hồi, để tìm ra các PTTS dạng hiện của sóng,
là đòi hỏi cấp bách, có ý nghĩa quan trọng trong lĩnh vực đánh giá không phá
hủy và khoa học vật liệu.

9


2.9 Để tìm ra các PTTS dạng hiện của sóng Rayleigh truyền trong các BKG
đàn hồi phủ một lớp đàn hồi, PPĐKBHD được sử dụng. Toàn bộ ảnh hưởng
của lớp lên BKG được thay thế bằng ĐKBHD tại mặt biên của BKG (tức là
biên phân chia giữa BKG và lớp). Sau đó, sóng Rayleigh trong BKG phủ lớp vậtliệu
được xét như sóng Rayleigh truyền trong BKG không bị phủ, chịu ĐKBHD.
2.10 Mục tiêu của luận án
2.11 Mục tiêu của luận án là phát triển PPĐKBHD và tìm ra các PTTS dạng hiện
của sóng Rayleigh truyền trong các BKG đàn hồi phủ một lớp đàn hồi.
2.12
2.13

Đối tương nghiên cứu
Sóng Rayleigh trong các bán không gian đàn hồi phủ một lớp đàn hồi.

2.14 Phạm vi nghiên cứu
2.15 Cấu trúc bán không gian đàn hồi đẳng hướng (trực hướng) nén được (không
nén được) phủ một lớp đàn hồi đẳng hướng (trực hướng) nén được (không nén
được) với liên kết gắn chặt, liên kết trượt, liên kết lò xo.
2.16 Phương pháp nghiên cứu
2.17 Luận án sử dụng “phương pháp điều kiện biên hiệu dụng”, “phương pháp ma
trận chuyển”, “phương pháp giới hạn không nén được” để tìm ra các phương
trình tán sắc dạng hiện của sóng Rayleigh.
2.18 Những đóng góp mới của luận án
1. Phát triển PPĐKBHD cho kết cấu BKG đàn hồi phủ một lớp đàn hồi với liên
kết trượt và liên kết lò xo.
2. Phát triển phương pháp giới hạn không nén được.
3. Áp dụng PPĐKBHD và phương pháp giới hạn không nén được để tìm ra các
PTTS dạng hiện xấp xỉ và chính xác của sóng Rayleigh truyền trong các bán
không gian đàn hồi phủ một lớp vật liệu với liên kết gắn chặt, liên kết trượt,
liên kết lò xo.
2.19 Các kết quả chính của luận án đã đươc công bố trên 09 bài báo quốc
tế thuộc danh mục ISI (04 SCI-Q1; 02 SCI-Q2, 01 SCIE-Q1, 02 SCIEQ2), 01 bài báo quốc gia uy tín (Vietnam Journal of Mechanics), 01
báo cáo Hội nghị Khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn biến dạng lần
thứ XII.
2.20 Cấu trúc của luận án

10


2.21
2.22

Luận án gồm phần mở đầu, kết luận và bốn chương:

Chương 1: Tổng quan.

11


2.23 Chương này trình bày ý tưởng của PPĐKBHD và tổng quan sự phát triển
củanó, tổng quan tình hình nghiên cứu bài toán truyền sóng Rayleigh trong các
BKG đàn hồi phủ một lớp đàn hồi.
2.24 Chương 2: Phương pháp điều kiện biên hiệu dụng.
2.25 Sau khi trình bày các bước thực hiện của PPĐKBHD, chương này thiết lập
các
điều kiện biên hiệu dụng cho lớp đàn hồi trực hướng (nén được và không nén
được) liên kết gắn chặt, trượt, lò xo với BKG đàn hồi. Chú ý rằng, các ĐKBHD
thu được không chỉ để sử dụng nghiên cứu bài toán truyền sóng Rayleigh, mà
có thể sử dụng cho bài toán động bất kỳ đối với liên kết gắn chặt, cho bài toán
truyền sóng phang tùy ý đối với liên kết trượt và liên kết lò xo.
2.26 Chương 3: Sóng Rayleigh trong các bán không gian đàn hồi phủ lớp mỏng.
2.27 Sử dụng các ĐKBHD thu được ở chương 2 cho trường hợp lớp mỏng,
chương
này thiết lập các PTTS xấp xỉ (bậc cao) dạng hiện cho sóng Rayleigh truyền
trong các BKG đàn hồi phủ một lớp đàn hồi mỏng (thuần nhất và không thuần
nhất).
2.28 Chương 4: Sóng Rayleigh trong các bán không gian đàn hồi phủ một lớp vật
liệu có độ dày tùy ý.
2.29
có kết
độ
Sử
dày
dụng

tùy
các
ĐKBHD
thu
được
ởkhông
chương
2 được,
cho trường
hợp
lớp
ý,
thiết
lập
hợp
các
với
phương
pháp
giới
hạn
nén
chương
này
PTTS
đàn
hồi
chính
xác
dạng

hiện
sóng
truyền
trong
các
BKG
phủ
một
lớp
đàn
hồi
có
độ cho
dày
tùy
ý.Rayleigh

12


2.30

Chương 1

2.31

TỔNG QUAN

1.1 Phương pháp điều kiên biên hiệu dụng
1.1.1

Ý tưởng và mục tiêu của phương pháp

2.32
Trong không gian Euclide ba chiều Ox x x , xét một vật thể đàn hồi
tuyến
tính Q gồm n (> 2) thành phần (đặc trưng bởi các hằng số đàn hồi khác nhau)
Q (k = 1; 2;...; n). Liên kết giữa các thành phần Q có thể là liên kết gắn chặt,
liên kết trượt hay liên kết lò xo.
2.33
Xét bài toán biên của lý thuyết đàn hồi tuyến tính trên miền Q: tìm các
thành phần chuyển dịch u (x ;X ;X ;t) (k = 1; 2; 3) thỏa mân các phương trình
chuyển động (bỏ qua lực khối):
1

k

2

3

k

k

2.34

1

2

(k)

c

3

-

Ur

2.35

=

/,(k’

U: i = 1 2
c

ijpq

3k=1
2n
(11)
u;z
;n
1 ;2 ;3 ; k
1 ;2 ;
q;Pj = p i =

= ...
(1.1)

U

2.36và các điều kiện biên, điều kiện đầu và điều kiện liên kết. Trong phương trình
(1.1), cjp ,
p tương ứng là các hằng số đàn hồi, mật độ khốilượng của vật thể
2.37 Q , dấu “,” chỉ
đạo hàm theo biến x , dấu “.”chỉ đạo
hàm theobiến thời gian t.
2.38
Để giải bài toán biên trên, ta phải tìm nghiệm (tổng quát) của hệ
phương
trình (1.1) trong từng miền con Q (k = 1; 2,...,n), sau đó cho chúng thỏa mân
điều kiện biên, điều kiện đầu và điều kiện liên kết.
2.39
Khi miền Q gồm nhiều miền con, số ẩn hàm cần tìm lớn, việc giải bài
toán,
do vậy trở nên rất khó khăn. Để giảm số ẩn cần tìm của bài toán, cần giảm số
thành phần của Q. Để bảo toàn tương tác cơ học của kết cấu, ảnh hưởng của
q

(fc)

k

k

k

các thành phần đưa ra khỏi kết cấu Q lên phần còn lại Q* phải được thay thế
(một cách tương đương) bằng các điều kiện trên biên của Q*. Các điều kiện này
được gọi là các “điều kiện biên hiệu dụng (ĐKBHD)”, như đâ nói ở phần mở
đầu.


2.40
Ta phải tìm các điều kiện biên hiệu dụng để giải bài toán biên trên
miền
Q*.
Như sẽ thấy ở các chương sau, chúng là các hệ thức tuyến tính giữa các thành
phần chuyển dịch, các thành phần ứng suất và các đạo hàm riêng của chúng
(theo x và t).
2.41
Như vậy, ý tưởng của phương pháp điều kiện biên hiệu dụng là: Bỏ bớt
một
số thành phần của kết cấu và thay thế một cách tương đương ảnh hưởng của
chúng lên phần còn lại bằng các điều kiện biên hiệu dụng.
2.42
Ý nghĩa của phương pháp: Giảm số ẩn cần tỉm của các bài toán biên
của
lý
thuyết đàn hồi đối với các kết cấu nhiều thành phần.
2.43
Mục tiêu của phương pháp: Tỉm ra các điều kiện biên hiệu dụng.
k

1.1.2

Sự phát triển của phương pháp trước luận án

2.44
Người đầu tiên sử dụng phương pháp điều kiện biên hiệu dụng là
Tiersten
[73] (1969). Ong áp dụng cho kết cấu bán không gian phủ lớp mỏng, mô hình
toán học của một lớp dày phủ một lớp mỏng. Kết cấu này đang được sử dụng
rộng rãi trong công nghệ hiện đại. Vật liệu của bán không gian và lớp đều là đàn
hồi đẳng hướng. Liên kết giữa chúng là liên kết gắn chặt. Tiersten bỏ lớp mỏng
và thay thế ảnh hưởng của nó lên bán không gian bằng các điều kiện biên hiệu
dụng xấp xỉ bậc nhất. Để rút ra các điều kiện biên hiệu dụng, Tiersten thay thế
(một cách gần đúng) lớp mỏng bằng một bản mỏng và sử dụng lý thuyết bản
bậc nhất, sau đó xấp xỉ chuyển dịch tại biên phân chia giữa lớp và bán không
gian bằng chuyển dịch tại mặt giữa của bản. Các điều kiện biên hiệu dụng thu
được có thể sử dụng cho mọi bài toán động của lý thuyết đàn hồi. Tiersten đã
sử dụng chúng để nghiên cứu sự truyền của sóng Rayleigh trong bán không gian
đàn hồi đẳng hướng phủ lớp mỏng đàn hồi đẳng hướng. Phương trình tán sắc
dạng tường minh của sóng đã được tìm ra khá dễ dàng bằng cách khai triển
một định thức cấp hai. Trong khi đó, nếu sử dụng phương pháp truyền thống,
phải khai triển một định thức cấp sáu. Trước Tiersten, phương trình tán sắc
của sóng Rayleigh đối với cấu trúc này đã được tìm ra nhưng vẫn ở dạng định
thức (cấp sáu), nên không thuận tiện khi sử dụng.
2.45
Tuy nhiên:
(i) Cách tiệm cận của Tiersten phụ thuộc vào sự phát triển của lý thuyết
bản. Đây là một lý thuyết xấp xỉ, bậc một hoặc bậc ba (thiết lập gần đây), xây


dựng chủ yếu cho vật liệu đàn hồi đẳng hướng.

(ii) Khi vật liệu của lớp là dị hướng, các phương trình của bản (nếu đã được
thiết lập) trở nên phức tạp, quá trình rút ra các điều kiện biên hiệu dụng
theocách tiệm cận của Tiersten do vậy gặp nhiều khó khăn.
(iii) Hơn nữa, với cách tiệm cận của Tiersten, không thể rút ra các điều kiện
biên hiệu dụng bậc cao, vì khi đó giả thiết chuyển dịch tại biên phân chia giữa
lớp và bán không gian (xấp xỉ) bằng chuyển dịch tại mặt giữa của bản không
còn phù hợp.
2.46
Với các lý do nêu trên, phương pháp điều kiện biên hiệu dụng không
đạt
được sự phát triển nào trong một thời gian dài.
2.47
Đến năm 1996, Bovik [8] đưa ra cách tiếp cận mới cho phương pháp
điều
kiện biên hiệu dụng. Cũng như Tiersten, Bovik giả thiết lớp và bán không gian
là đàn hồi đẳng hướng, liên kết gắn chặt với nhau, và cũng đã tìm ra điều kiện
biên hiệu dụng bậc một. Để tìm ra điều kiện biên hiệu dụng, Bovik thực hiện
các bước sau:
(i) Khai triển Taylor các thành phần ứng suất tại mặt trên của lớp theo độ
dày của nó đến cấp một.
2.48
Các khai triển này chứa các đạo hàm cấp một theo hướng pháp tuyến
(vuông
góc với lớp), lấy tại biên phân chia, đối với các thành phần ứng suất của lớp
trên các mặt phẳng song song với lớp. Để sử dụng sự liên tục của chuyển dịch
và ứng suất tại biên phân chia giữa lớp và bán không gian (do liên kết gắn chặt
gây ra), cần biểu diễn các đạo hàm theo hướng pháp tuyến nói trên qua các đạo
hàm theo hướng tiếp tuyến (song song với lớp) và đạo hàm theo thời gian, lấy

tại mặt dưới của lớp, của các thành phần chuyển dịch và các thành phần ứng
suất của lớp trên các mặt phẳng song song với lớp. Chú ý rằng, từ sự liên tục
của chuyển dịch và ứng suất qua biên phân chia suy ra sự liên tục của đạo hàm
theo hướng tiếp tuyến và đạo hàm theo thời gian, nhưng không suy ra sự liên
tục của đạo hàm theo hướng pháp tuyến.
(ii) Từ các liên hệ ứng suất-biến dạng (định luật Hooke) và các phương trình
chuyển động, biểu diễn đạo hàm (cấp một) theo hướng pháp tuyến của các
thành
phần ứng suất của lớp trên các mặt phẳng song song với lớp qua các đạo hàm
theo hướng tiếp tuyến và đạo hàm theo thời gian của các thành phần chuyển
dịch và các thành phần ứng suất của lớp (trên các mặt phẳng song song với
lớp).


(iii) Sử dụng biểu diễn của đạo hàm theo hướng pháp tuyến (thu được ở bước
(ii)) vào khai triển Taylor (thu được ở bước (i)) cùng với điều kiện tự do đối
với
ứng suất (tại mặt trên của lớp) và điều kiện liên kết gắn chặt giữa lớp và bán
không gian, điều kiện biên hiệu dụng được suy ra.
2.49
Chú ý rằng, trong ba bước nêu trên, bước (ii) là quan trọng nhất.


2.50
Chú ý 1.1: Tiersten [73] và Bovik [8] đều tìm ra các điều kiện biên
hiệudụng bậc một cho lớp mỏng đàn hồi đẳng hướng gắn chặt với một bán không
gian đàn hồi đẳng hướng. Tuy nhiên, chúng không trùng nhau. So sánh hai điều
kiện biên hiệu dụng thu được, Bovik cho rằng Tiersten đã bỏ sót một số số hạng
(bậc nhất) trong điều kiện biên hiệu dụng mà ông thu được. Tuy nhiên, Vĩnh
và Ánh [59] (2016), đã chỉ ra rằng, điều kiện biên hiệu dụng (xấp xỉ bậc một)

thu được bởi Bovik thừa hai số hạng bậc hai, điều kiện biên hiệu dụng thu được
bởi Tiersten là đầy đủ. Như vậy, điều kiện biên hiệu dụng xấp xỉ thu được bởi
Bovik là bậc một thừa, bậc hai thiếu.
2.51
Khác với Tiersten, Bovik xuất phát từ các phương trình cơ bản (các
phương
trình chuyển động và định luật Hooke) chính xác của lý thuyết đàn hồi tuyến
tính đối với của lớp, do vậy không cần giả thiết: chuyển dịch tại biên phân chia
giữa lớp và bán không gian bằng chuyển dịch tại mặt giữa của bản. Hơn nữa,
với cách tiếp cận của Bovik, các điều kiện biên hiệu dụng bậc cao có thể được
tìm ra bằng cách khai triển Taylor các thành phần ứng suất tại mặt trên của
lớp đến cấp cần thiết.
2.52
Tuy nhiên, do Bovik sử dụng các phương trình cơ bản của lý thuyết
đàn
hồi
dưới dạng thành phần, nên việc tìm ra các điều kiện biên hiệu dụng bậc cao (để
tăng độ chính xác của mô hình xấp xỉ) là rất khó khăn, đặc biệt khi mở rộng
cho vật liệu đàn hồi dị hướng. Vì những vật liệu này đang được sử dụng rộng
rãi trong công nghệ hiện đại, việc tìm ra các điều kiện biên hiệu dụng bậc cao
cho chúng là hết sức có ý nghĩa, về cả lý thuyết lẫn ứng dụng thực tế.
2.53
Để khắc phục hạn chế nêu trên của Bovik, Vĩnh và Linh [48] (2012) đã
phát
triển phương pháp điều kiện biên hiệu dụng dựa trên phương trình ma trận của
lý thuyết đàn hồi tuyến tính và khai triển Taylor. Cụ thể, để thu được điều kiện
biên hiệu dụng Vĩnh và Linh [48] tiến hành các bước sau:
(i) Thiết lập phương trình ma trận của lý thuyết đàn hồi tuyến tính từ các
phương trình cơ bản dưới dạng thành phần của nó.
2.54

Véctơ hàm cần tìm của phương trình này gồm hai véctơ hai thành
phần:
véctơ chuyển dịch và véctơ ứng suất trên các thiết diện (mặt phẳng) song song
với lớp, được gọi là véctơ trạng thái (bốn thành phần). Phương trình ma trận có
dạng một phương trình vi phân (theo hướng pháp tuyến), tuyến tính cấp một
của véctơ trạng thái. Ma trận (toán tử) của phương trình này phụ thuộc vào


các đạo hàm tiếp tuyến và đạo hàm theo thời gian (và các tham số vật liệu). Có
thể xem phương trình này như là biểu diễn của đạo hàm pháp tuyến của véctơ
trạng thái qua các đạo hàm tiếp tuyến và đạo hàm theo thời gian của nó.


2.55
Chú ý rằng, các phương trĩnh ma trận còn được sử dụng trong các bài
toánkhác nhau của lý thuyết đàn hồi tuyến tính, nên việc tĩm ra chúng có ý nghĩa
quan trọng về phương diện lý thuyết.
(ii) Khai triển Taylor véctơ ứng suất tại mặt trên của lớp theo độ dày của
nó đến cấp cần thiết.
2.56
Các hệ số của khai triển này là các đạo hàm các cấp theo hướng pháp
tuyến
của véctơ ứng suất lấy tại mặt dưới của lớp.
(iii) Sử dụng phương trình ma trận, biểu diễn các hệ số của khai triển Taylor
ở bước (ii) qua các đạo hàm theo hướng tiếp tuyến và đạo hàm theo thời gian
(lấy tại mặt dưới của lớp).
(iv) Rút ra điều kiện biên hiệu dụng (cấp cần thiết) bằng cách thay các kết
quả thu được ở bước (iii) vào khai triển Taylor và sử dụng điều kiện tự do đối
với ứng suất tại mặt trên của lớp, điều kiện liên kết gắn chặt giữa lớp và bán
không gian.

2.57
Chú ý rằng, dưới dạng ma trận, điều kiện biên hiệu dụng là một hệ
thức
tuyến
tính giữa véctơ chuyển dịch và véctơ ứng suất của bán không gian (không phải
của lớp) tại biên của bán không gian (tức là biên phân chia). Hai ma trận hệ
số của hệ thức này phụ thuộc vào các đạo hàm theo hướng tiếp tuyến, đạo hàm
theo thời gian, các tham số vật liệu của lớp và độ dày của lớp.
2.58
Sử dụng cách tiếp cận “khai triển Taylor-phương trình ma trận”, Vĩnh
và
Linh [48], Vĩnh và cộng sự [50] đã thu được các điều kiện biên hiệu dụng bậc
ba cho cấu trúc bán không gian đàn hồi phủ lớp mỏng đàn hồi (BKG-LM-ĐH)
trực hướng nén được và không nén được, với liên kết gắn chặt. Các điều kiện
biên hiệu dụng thu được có thể sử dụng cho bài toán động bất kỳ của lý thuyết
đàn hồi (tuyến tính).
2.59
Như vậy, trước luận án, PPDKBHD mới chỉ phát triển cho cấu trúc
BKGLM-DH đẳng hướng hoặc trực hướng, lớp và BKG cùng nén được hoặc cùng
không nén được, và liên kết gắn chặt với nhau.

1.1.3

Sự phát triển của phương pháp trong luận án

2.60
Luận án tiếp tục quan tâm xét cấu trúc BKG đàn hồi trực hướng phủ
một
lớp
đàn hồi trực hướng. Tuy nhiên, luận án phát triển PPĐKBHD cho các trường

hợp sau:
(i) Liên kết giữa BKG và lớp là liên kết trượt hoặc liên kết lò xo.
(ii) BKG là nén được (không nén được) phủ lớp vật liệu không nén được (nén
được), tức là BKG và lớp không cùng nén được (không nén được).
(iii) Lớp vật liệu có độ dày tùy ý (ngoài trường hợp lớp mỏng).


(iv) Lớp vật liệu (mỏng) không thuần nhất.
2.61
Khi mới sử dụng, liên kết giữa lớp và BKG là gắn chặt. Sau một thời
gian,
do ảnh hưởng của các yếu tố cơ học và vật lý khác nhau, liên kết dần yếu đi
[27, 28], không còn thực sự gắn chặt, và cuối cùng trở thành liên kết trượt. Do
vậy, việc tìm ra các điều kiện biên hiệu dụng cho liên kết trượt, liên kết lò
xo là hết sức cần thiết và có ý nghĩa trong các ứng dụng thực tế.
2.62
Bài toán của lý thuyết đàn hồi với liên kết trượt đã được nhiều tác giả
nghiên
cứu, như Murty [36, 37] , Barnett và cộng sự [5], Ting [78],... Vì các ĐKBHD
cho liên kết trượt chưa được thiết lập nên các bài toán này đã được giải trực
tiếp. Vì chuyển dịch theo hướng tiếp tuyến không liên tục qua biên phân chia
nên việc tìm ra các ĐKBHD cho liên kết trượt khó hơn so với liên kết gắn chặt.
Để vượt qua khó khăn này, cần khử chuyển dịch tiếp tuyến ra khỏi điều kiện
biên tiền hiệu dụng.
2.63
Liên kết không thực sự gắn chặt (imperfectly bonded contact) đang là
đề
tài

nghiên cứu thời sự (xem [3, 17, 18, 26, 29, 30, 65, 81]), vì những ứng dụng của
nó trong nhiều lĩnh vực của khoa học và công nghệ. Liên kết này được mô hình
hóa như là liên kết lò xo (xem [4, 7, 21, 33, 63, 67, 82]).
2.64
Đối với liên kết lò xo, chuyển dịch theo hướng tiếp tuyến cũng như
theo
hướng
pháp tuyến đều không liên tục qua biên phân chia nên việc tìm ra các ĐKBHD
khó hơn so với liên kết gắn chặt và liên kết trượt. Để thu được các ĐKBHD cần
khử các thành phần chuyển dịch của lớp ra khỏi các điều kiện biên tiền hiệu
dụng.
2.65
Mặt khác, cho đến nay chưa có một điều kiện biên hiệu dụng nào được
thiết
lập cho loại vật liệu đàn hồi không nén được, một loại vật liệu đang được sử
dụng rộng rãi trong các ứng dụng thực tế. Sự xuất hiện của áp lực thủy tĩnh
trong các phương trình cơ bản của lý thuyết đàn hồi không nén được có thể là
nguyên nhân dẫn đến tình trạng này.
2.66
Với các lý do nêu trên, luận án sẽ phát triển phương pháp điều kiện
biên
hiệu
dụng theo cách tiệm cận “khai triển Taylor-phương trĩnh ma trận” cho vật liệu
đàn hồi dị hướng với liên kết trượt và liên kết lò xo, cho cả vật liệu nén được và
không nén được.


2.67

Để thu được các điều kiện biên hiệu dụng (bậc cao) cho liên kết trượt

và
liên
kết lò xo, cần thực hiện các bước sau:
2.68
(i) Thiết lập phương trình ma trận của lý thuyết đàn hồi tuyến tính từ
các
phương trình cơ bản dưới dạng thành phần của nó.


2.69
Đối với vật liệu đàn hồi nén được, các phương trình ma trận được thiết
lậptheo cách mà Vĩnh và Linh [48] đã sử dụng. Tuy nhiên, đối với vật liệu đàn hồi
không nén được, tình hình trở nên khó khăn hơn, vì phải khử áp suất thủy tĩnh
ra khỏi các phương trình cơ bản.
(ii) Khai triển Taylor véctơ ứng suất tại mặt trên của lớp theo độ dày của
nó đến cấp cần thiết.
(iii) Sử dụng phương trình ma trận, biểu diễn các hệ số của khai triển Taylor
ở bước (ii) qua các đạo hàm theo hướng tiếp tuyến và đạo hàm theo thời gian
(lấy tại mặt dưới của lớp).
(iv) Rút ra điều kiện biên tiền hiệu dụng (cấp cần thiết) bằng cách thay
các kết quả thu được ở bước (iii) vào khai triển Taylor và sử dụng điều kiện tự
do đối với ứng suất tại mặt trên của lớp.
2.70
Diều kiện biên tiền hiệu dụng là một hệ thức tuyến tính giữa véctơ
chuyển
dịch và véctơ ứng suất của lớp (không phải của bán không gian) tại biên phân
chia. Hai ma trận hệ số của hệ thức này phụ thuộc vào các đạo hàm theo hướng
tiếp tuyến, đạo hàm theo thời gian, các tham số vật liệu của lớp và độ dày của
lớp.
(v) Từ điều kiện biên tiền hiệu dụng và điều kiện liên kết (trượt, lò xo) suy

ra điều kiện biên hiệu dụng.
2.71
Đối với liên kết gắn chặt, điều kiện biên hiệu dụng nhận được trực tiếp
từ
điều kiện biên tiền hiệu dụng vì véctơ trạng thái liên tục qua biên phân chia.
Tuy nhiên, đối với liên kết trượt, liên kết lò xo, véctơ trạng thái không liên tục
qua biên phân chia nên việc rút ra các điều kiện biên hiệu dụng khó khăn hơn.
2.72
Như sẽ thấy ở chương 2, để vượt qua khó khăn, phải hạn chế nghiên
cứu
trong lớp các bài toán sóng phẳng. Điều này có nghĩa, các điều kiện biên hiệu
dụng thu được cho liên kết trượt và liên kết lò xo chỉ được sử dụng cho các bài
toán sóng phẳng.
2.73
Trong nhiều bài toán thực tế, lớp vật liệu phủ bán không gian không
phải
là
mỏng mà có độ dày tùy ý. Việc tìm ra các điều kiện biên hiệu dụng chính xác
cho các lớp vật liệu này có ý nghĩa đặc biệt quan trọng. Cho đến nay, chưa có
một điều kiện biên hiệu dụng chính xác nào được tìm ra.
2.74
Luận án sẽ phát triển phương pháp điều kiện biên hiệu dụng để tỉm ra
các