Số học, hình học của nhóm địa số và các không gian thuần nhất liên quan trên trường số học 62 46 05 01

Mục lục
Mục lục
Bảng một số ký hiệu
Bảng một số thuật ngữ
Mở đầu
1 Một số kiến thức chuẩn bị
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5

Nhóm đại số tuyến tính . .
Lược đồ nhóm affine . . .
Đối đồng điều Galois . . .
Đối đồng điều phẳng . . .
Tôpô trên tập, nhóm đối đồ
1.5.1
1.5.2
1.5.3

2
Một số tính chất hữu tỷ của các nhóm con quan sát được và
nhóm con

Grosshans
2.1
2.2
2.3
2.4

Các tính chất hữu tỷ của nhóm con quan sát được
Các tính chất hữu tỷ của nhóm con toàn cấu . . .
Các tính chất hữu tỷ của nhóm con Grosshans . .
Kết luận của Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3
Về một dạng tương đối cho Định lý của Bogomolov trên trường
hoàn

thiện và ứng dụng của nó
3.1
3.2

Một số khái niệm và kết quả chính . . . . . . . . . . . .
Một số kết quả trong lý thuyết biểu diễn . . . . . . .


1


3.2

3.2
3.2

3.2
3.2
3.2
3.2
3.2

3.2

3.3Dạng tương đối cho một định lý của Bogomolov . .
3.3
3.3
3.4 Một số tính chất hữu tỷ của các nhóm con tựa parabolic và các
nhóm con dưới parabolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5Kết luận của Chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Quỹ đạo tương đối ứng với tác động của nhóm đại số trên
trường địa

phương
4.1
4.2
4.3

4.4
4.5
Kết luận

Một số kết quả sơ bộ .
Quỹ đạo tương đối của nh
Quỹ đạo tương đối của nh
4.3.1
4.3.2
4.3.3
4.3.4
4.3.5
4.3.6

4.3.7
4.3.8
4.3.9
Một số tính toán trong trư
Kết luận của Chương 4


2


Danh mục công trình của tác giả liên quan đến luận án
Tài liệu tham khảo

3


Bảng một số ký hiệu
N
Z
Q
R
C

tập số tự nhiên
vành số nguyên
trường số hữu tỷ
trường số thực
trường số phức

Fq

trường hữu hạn gồm q phần tử

Qp

trường các số p-adic

Zp

vành các số nguyên p-adic

Fq((T ))

trường các chuỗi lũy thừa hình thức với hệ số trong Fq

¯

k

k
s
k
v

Gal(K=k)
1
H (k; G)
1

H f l(k; G)

Ga
Gm
GLn
PGLn
SLn
SOn
k[X]
X
Gthương phạm trù của đa tạp X theo tác động của nhóm G
X =Gthương hình học của đa tạp X theo tác động của nhóm G

G=Hkhông gian thuần nhất của G thương cho nhóm con đóng H
char: k
đặc số của trường k
G

0

thành phần liên thông chứa đơn vị trong nhóm G


4


Bảng một số thuật ngữ
ánh xạ đối biên
coboundary map
đối compắc
cocompact
siêu cứng

super-rigidity
đa thức cộng tính
additive polynomial
đối đồng điều phẳng
flat cohomology
hàm tử (hạn chế) của Weil
Weil restriction
k-đẳng hướng
k-isotropic
k-xoắn
k-wound
k-phân rã
k-split
k-không đẳng hướng
k-anisotropic
thuần túy không tách
purely inseparable
lược đồ nhóm
group scheme
lược đồ nhóm vô cùng bé
infinitesimal group scheme
nhóm reductive
reductive group
nhóm lũy đơn
unipotent group
nhóm con parabolic chuẩn
standard parabolic subgroup
nhóm con parabolic
parabolic subgroup
nhóm con tựa parabolic

quasi-parabolic subgroup
nhóm con dưới parabolic
sub-parabolic subgroup
ổn định
stable
nửa ổn định
semi-stable
không nửa ổn định
unstable
thiếu ổn định
instable
thực sự ổn định
properly stable
phần tử đơn trị hóa
uniformizing element
phép ngập
submersion
tập với một phần tử được đánh dấu
set with a distinguished element
thương hình học
geometric quotient
thương phạm trù
categorical quotient
trọng cơ bản
fundamental weight
trọng trội
dominant weight

5

trường hàm toàn cục global function field
tách mạnh
strongly separable
khá tách
fairly separable
xoắn
twisting

6


Mở đầu
Giả sử G là một nhóm đại số tuyến tính xác định trên một trường k. Ta có thể hiểu
đơn giản G là một nhóm các ma trận vuông cấp n với hệ số nằm trong bao đóng đại
2

số của trường k và G đồng thời là tập không điểm của một họ các đa thức n biến với
hệ số trong k. Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng nằm giữa Lý thuyết
nhóm đại số tuyến tính và Hình học Đại số là Lý thuyết bất biến hình học. Một phần
chủ yếu của lý thuyết này nghiên cứu các tác động (cấu xạ) của một nhóm đại số
tuyến tính lên một đa tạp đại số cho trước, đặc biệt là nghiên cứu tính chất của các
quỹ đạo. Lý thuyết bất biến hình học xuất hiện từ lâu với việc nghiên cứu Bài toán số
14 của Hilbert về tính chất hữu hạn sinh của đại số các hàm bất biến. Với những đóng
góp của D. Mumford, W. Haboush, M. Nagata, ..., lý thuyết này khá phong phú trong
trường hợp trường k là đóng đại số. Tuy nhiên, ngay từ thời điểm ban đầu của Lý
thuyết bất biến hình học hiện đại, mà D. Mumford là người đặt nền móng, ông đã đặt
vấn đề nghiên cứu nó cả trong những tình huống tương đối, tức là khi k là một trường
bất kỳ nói chung không đóng đại số. Chẳng hạn, với động cơ nghiên cứu các bài toán
số học (cụ thể là xây dựng không gian moduli của các đa tạp abel, như đã đề cập

trong Chương 3 của [30], [31]), D. Mumford đã xét nhiều vấn đề của lý thuyết này trên
những lược đồ đủ tổng quát. Ngoài ra, A. Borel [58], và J. Tits [30], ... đã đặt ra một số
câu hỏi (hay giả thuyết) khi mở rộng các kết quả đã biết của lý thuyết bất biến hình
học trên trường đóng đại số cho cả trường không đóng đại số (chẳng hạn mở rộng
một định lý nổi tiếng của D. Hilbert và D. Mumford). Những kết quả điển hình theo
hướng này thuộc về D. Birkes [6], G. Kempf [25], M. S. Raghunathan [35], ... đã cho
câu trả lời (hoặc lời giải) của một số câu hỏi (hoặc giả thuyết) được đề cập ở trên.
Những nghiên cứu theo cách như vậy nói chung được gọi là nghiên cứu về các tính
chất hữu tỷ (của nhóm đại số, của đa tạp đại số, v.v...). Khó khăn gặp phải trong các
bài toán nói trên tương tự như đối với một bài toán số học, ví dụ việc tìm nghiệm của
đa thức trong trường đóng đại số (“bài toán hình học”) và trong trường không đóng đại
số (“bài toán số học”).
Để hiểu rõ các tính chất của quỹ đạo, việc nghiên cứu các nhóm con dừng là rất
quan trọng. Có một số lớp nhóm con quan trọng trong việc nghiên cứu Lý thuyết
7


bất biến hình học, đó là lớp các nhóm con quan sát được, lớp các nhóm con
toàn cấu, và lớp các nhóm con Grosshans. Từ một số nghiên cứu về Lý thuyết
biểu diễn nhóm đại số, A. Bialynicki-Birula, G. Hochschild, G. Mostow [3, p. 134]
đã đưa ra khái niệm các nhóm con quan sát được. Ta có thể hiểu một nhóm
con đóng H của G là quan sát được nếu H là nhóm con dừng của một vectơ v
trong một G-môđun hữu tỷ hữu hạn chiều V nào đó. Trong [3], các tác giả đã
đưa ra một số điều kiện cần và đủ để một nhóm là quan sát được. Sau đó, F.
Grosshans đã tìm thêm được một số điều kiện tương đương khác (xem [20],
[21] và những tài liệu dẫn ở đó). Tuy nhiên, hầu hết các kết quả ở đây đều mới
chỉ được chứng minh cho trường hợp k là một trường đóng đại số.
Một lớp các nhóm con khác cũng khá quan trọng là lớp các nhóm con toàn cấu
do A. Borel và F. Bien đưa ra (trước đó S. Bergman đã làm một công việc tương tự
đối với các Đại số Lie). Ta định nghĩa một nhóm con đóng H của G là toàn cấu nếu

đại số các hàm chính quy k[G=H] của không gian thuần nhất G=H chính bằng k.
Những điều kiện cần và đủ để một nhóm con đóng là toàn cấu ban đầu được đưa
ra bởi F. Bien và A. Borel (xem [56], [57], và [21] về các kết quả gần đây). Bên
cạnh đó, F. Bien, A. Borel, J. Kollar [5] cũng nghiên cứu mối liên hệ của tính chất H
là nhóm con toàn cấu với tính chất liên thông hữu tỷ của không gian thuần nhất
G=H. Một số điều kiện tương đương để một nhóm con là toàn cấu được cho trong
Định lý 2.2.1. Nhờ vào những nghiên cứu liên quan đến Bài toán số 14 của Hilbert,
F. Grosshans đã đưa ra một lớp các nhóm con quan sát được mang tên ông. Đó là
những nhóm con quan sát được H của G có tính chất đại số các hàm bất biến
H

k[G] là hữu hạn sinh, trong đó H tác động tịnh tiến phải lên đại số các hàm chính
quy k[G]. Chính F. Grosshans cũng tìm ra một số điều kiện cần và đủ khá thú vị
cho khái niệm nói trên. Tuy nhiên, các kết quả nói trên mới chỉ được chứng minh
trong trường hợp k là trường đóng đại số.
Gần đây, vì sự cần thiết phải có những ứng dụng trong Số học và Lý thuyết ergodic
(xem chẳng hạn [53]), B. Weiss cũng có một số kết quả về tính chất hữu tỷ của các
nhóm con quan sát được và những nhóm con toàn cấu. Như ta đã biết, một nhóm con
đóng H của G là quan sát được nếu H = G v, với v 2 V, V là một G-môđun hữu hạn
chiều. Tuy nhiên, H chỉ là nhóm con dừng của một vectơ (đối với biểu diễn đã cho), và
ta khó có thể nói gì thêm về cấu trúc của H. Ở đây, A. Sukhanov đã có kết quả đi sâu
hơn khẳng định nói trên. Ông đã chứng minh ở [45] một định lý nói rằng, một nhóm
con là quan sát được nếu và chỉ nếu nó là dưới parabolic. Để làm được điều này, A.
Sukhanov phải dùng một kết quả quan trọng của F. Bogomolov về cấu trúc của nhóm
con dừng của một vectơ thiếu ổn định (instable) v (nghĩa là

8


0 2 G v). Tuy nhiên, các kết quả trên của F. Bogomolov và A. Sukhanov cũng

mới chỉ được chứng minh trong trường hợp k là trường đóng đại số. Nội dung
của hai chương đầu tiên nói về kết quả của luận án (Chương 2, và Chương 3)
là trình bày việc mở rộng những khẳng định này cho trường không đóng đại số.
Vì một số lý do kỹ thuật, các kết quả của F. Bogomolov và A. Sukhanov trong
Chương 3 chỉ được mở rộng lên cho truờng hợp k là trường hoàn thiện.
Như đã nói ở trên, có rất nhiều kết quả của Lý thuyết bất biến (hình học) đề cập
đến việc nghiên cứu tính chất đóng của quỹ đạo dưới tác động của nhóm G thu
được trong trường hợp hình học, tức là, trong trường hợp trường k là đóng đại số.
Bên cạnh đó, vì một số đòi hỏi nội tại của Lý thuyết số mà các trường địa phương,
toàn cục được quan tâm đặc biệt. Chẳng hạn ta cho G là một nhóm đại số tuyến
tính tác động lên k-đa tạp V và x 2 V(k). Khi đó, một bước chính trong việc chứng
minh một kết quả tương tự của Định lý siêu cứng (super-rigidity) Margulis trong
trường hợp trường hàm toàn cục, xem [51], là chứng minh tính chất đóng (địa
phương) của một số quỹ đạo tương đối G(k) x. Vì thế, chúng tôi quan tâm đến mối
liên hệ giữa các tính chất đóng Zariski của các quỹ đạo dưới tác động bởi một
nhóm đại số và tính chất đóng Hausdorff của các quỹ đạo tương đối. Cụ thể hơn,
giả sử k là một trường đầy đủ đối với một định giá không tầm thường v có hạng
thực bằng 1, ví dụ là các trường địa phương như trường p-adic hoặc trường số
thực R. Ta trang bị cho X(k) tôpô v-adic Hausdorff, cảm sinh từ tôpô v-adic trên k.
Cho x 2 X(k), chúng tôi muốn nghiên cứu mối liên hệ giữa tính chất đóng Zariski
của quỹ đạo hình học G x trong X và tính chất đóng Hausdorff của quỹ đạo (tương
đối) G(k) x trong X(k). Kết quả đầu tiên theo hướng này thuộc về A. Borel và
Harish-Chandra [10], tiếp đến là D. Birkes [6] (xem thêm [55]) trong trường hợp
trường số thực, và sau đó là R. Bremigan [11]. Thực tế, ở các bài báo đó đã chỉ ra
nếu G là một R-nhóm reductive, thì G x là đóng Zariski nếu và chỉ nếu G(R) x là
đóng theo tôpô thực ([6], [55]). Điều này cũng được mở rộng cho trường p-adic bởi
R. Bremigan [11]. Mục đích của chúng tôi trong chương kết quả thứ ba (Chương 4)
là mở rộng và nghiên cứu sâu hơn bài toán được đề cập ở trên.

Bản luận án gồm 4 chương.

Trong Chương 1, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản, cần thiết cho luận
án. Cụ thể là, trong Mục 1.1, 1.2, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm về nhóm đại số
tuyến tính, Lý thuyết bất biến hình học (nói rõ hơn, tác động của nhóm đại số lên đa
tạp) và lược đồ nhóm affine. Trong Mục 1.3, 1.4, chúng tôi trình bày một số kiến thức
cần thiết về đối đồng điều Galois và đối đồng điều phẳng, và trong Mục 1.5, chúng tôi
trình bày một số định nghĩa, kết quả đã biết về tôpô trên tập đối đồng

9


điều.
Các kết quả mới được chúng tôi trình bày trong các Chương 2, 3, và 4.
Trong Chương 2, chúng tôi nghiên cứu một số tính chất hữu tỷ của các
nhóm con quan sát được, nhóm con toàn cấu, và nhóm con Grosshans.
Chương này được chúng tôi viết dựa trên bài báo [47]. Kết quả chính đầu
tiên đề cập đến các nhóm con quan sát được, cho trong định lý sau đây.
Định lý (xem Định lý 2.1.11). Cho G là một nhóm đại số tuyến tính xác
định trên một trường k tùy ý và H là một k-nhóm con đóng của G. Khi đó
các khẳng định sau là tương đương:
00

(a) H là quan sát được, tức là, H = H .
H 0

(a’) H là k-quan sát được, tức là, H = (k[G] ) .
(b’) Tồn tại một biểu diễn k-hữu tỷ

: G ! GL(V) và một véctơ v 2 V(k) sao

cho

H = Gv = fg 2 G j g v = vg:
(c’) Tồn tại một số hữu hạn các hàm f 2 k[G=H] tách các điểm của G=H.
(d’) Không gian thuần nhất G=H là một đa tạp tựa affine xác định trên k.
(e’) Mọi biểu diễn k-hữu tỷ : H ! GL(V) đều mở rộng được thành một biểu diễn
k-hữu tỷ

0

0

: G ! GL(V ).

(f’) Tồn tại một biểu diễn k-hữu tỷ : G ! GL(V) và một véctơ v 2 V(k) sao cho
H
= Gv và
k

G=H G v = f (g)(v) j g 2 Gg:
0

0

(g’) Trường các thương của vành các G \ H-bất biến trong k[G ] bằng
0

0

trường các phân thức G \ H-bất biến của k(G ).
Hơn nữa, nếu H(k) trù mật Zariski trong H thì các khẳng định trên tương đương

với tính chất quan sát được tương đối (xem Định nghĩa 2.1.6) của H trên k.

Kết quả chính thứ hai thu được cho các nhóm con toàn cấu, và được
phát biểu là như sau.
Định lý (xem Định lý 2.2.4). Cho k là một trường bất kỳ và H là một k-nhóm
con đóng của một k-nhóm G. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương:
H 0

(a’) H là k-toàn cấu, tức là (k[G] ) = G.


10


(b’) k[G=H] = k.
(c’) k[G=H] là một không gian véctơ hữu hạn chiều trên k.
(d’) Với bất kỳ G-môđun hữu tỷ V xác định trên k, không gian con của V
bao gồm các điểm bất động của G và H là trùng nhau.
(e’) Giả sử V là một G-môđun hữu tỷ xác định trên k, và V = X Y, trong đó
X, Y là H-bất biến. Khi đó X, Y cũng là G-bất biến.
(f’) Mọi k-cấu xạ từ k-nhóm đại số G đến một k-nhóm đại số L đều được
xác định bởi hạn chế của nó trên H.
Dựa vào các kết quả trên, ta thu được kết quả về tính chất hữu tỷ cho
các nhóm con Grosshans.
Định lý (xem Định lý 2.3.5). Cho k là một trường hoàn thiện với vô hạn phần tử và

G là một k-nhóm. Giả sử rằng H là một k-nhóm con quan sát được của G.
Ta xét các điều kiện sau:
(a’) H thỏa mãn điều kiện đối chiều 2 trên k. (Xem định nghĩa trang 44.)
H

(b’) Một trong các k-đại số k[G] , k[G]
hữu hạn sinh.

H0

0 H\G0

, k[G ]

0 H0

, k[G ]

là k-đại số

(c’) H là một nhóm con Grosshans tương đối trên k (tức là, k[G]
k-đại số hữu hạn sinh).

H(k)

là một

Khi đó cùng với các điều kiện của Định lý 2.3.2 ta có
0

0

0

(a) , (a ) , (b) , (b ) ) (c ):
Nếu hơn nữa, H(k) là trù mật Zariski trong H thì tất cả các khẳng định trên
là tương đương.
Trong Chương 3, chúng tôi nghiên cứu việc mở rộng các Định lý
Bogomolov và Định lý Sukhanov cho trường không đóng đại số. Kết quả
chính của chương này là hai định lý sau.
Định lý (xem Định lý 3.1.5). Cho k là một trường hoàn thiện, G là một nhóm
reductive liên thông và V là một k G-môđun hữu hạn chiều. Giả sử v 2 V(k) n
f0g. Khi đó, nếu v là một vectơ thiếu ổn định đối với tác động của G lên V (tức
là 0 2 G v) thì Gv chứa trong một nhóm con k-tựa parabolic thực sự Q của G.


11


Định lý (xem Định lý 3.1.7). Cho k là một trường hoàn thiện, G là một
nhóm đại số tuyến tính xác định trên k và H là một k-nhóm con đóng của
G. Ta xét những khẳng định sau.
1) H là k-tựa parabolic.
2) H là tựa parabolic trên k.
3) H là quan sát được trên k.
4) H là k-dưới parabolic.
5) H là dưới parabolic mạnh trên k.
6) H là dưới parabolic trên k.
Thế thì 1) ) 2) ) 3) , 4) , 5) , 6). Nếu G là một nhóm nửa đơn thì 1) , 2).
Nói chung, 2) không suy ra 1).
Nội dung của Chương 3 được chúng tôi viết dựa trên các bài báo ([12], [13]).
Trong Chương 4, chúng tôi nghiên cứu câu hỏi về liên hệ giữa tôpô Zariski của

quỹ đạo hình học và tôpô Hausdorff của quỹ đạo tương đối. Ở đây, chúng

tôi sử dụng tài liệu tham khảo chính là các bài báo ([14], [16]). Các kết
quả chính được phát biểu như sau.
Định lý (xem Định lý 4.2.6). Cho k là một trường hoàn thiện, đầy đủ đối
với một định giá không tầm thường có hạng thực 1. Cho G là một k-nhóm
đại số tuyến tính tác động k-chính quy lên một k-đa tạp affine X, và x 2
X(k) là một k-điểm của X. Khi đó ta có các khẳng định sau:
1) (Mở rộng một số kết quả của [6], [10], [59], [11]) Nếu quỹ đạo G x
là đóng và nhóm dừng Gx là một k-nhóm trơn, thì quỹ đạo tương đối
G(k) x là đóng theo tôpô Hausdorff trong X(k).
2) Đảo lại, giả sử G = L U, trong đó L là reductive và U là lũy đơn,
tất cả đều xác định trên k. Nếu G(k) x là đóng trong X(k) theo tôpô
Hausdorff thì G x là đóng theo tôpô Zariski trong X.
3) Với những giả thiết như ở 1), G(k) x đóng trong X(k) nếu và chỉ
0
nếu G (k) x là đóng trong X(k).
Trong trường hợp k là trường đầy đủ bất kỳ, ta có.
12


Định lý (xem Định lý 4.3.1.3). Cho k là một trường đầy đủ đối với một
định giá không tầm thường có hạng thực bằng 1, và G là một k-nhóm đại
số tuyến tính tác động k-cấu xạ lên một k-đa tạp affine V. Giả sử v thuộc
V(k). Ta có các khẳng định sau:
1) Nếu quỹ đạo tương đối G(k) v là đóng trong tôpô Hausdorff của
V(k) và hoặc G là lũy linh, hoặc G là reductive với tác động của G là
tách mạnh tại v (theo nghĩa của Ramanan và Ramanathan), thì quỹ
đạo G v là đóng theo tôpô Zariski trong V.
2) Đảo lại, với những quy ước trên, G(k) v là đóng Hausdorff trong
V(k) nếu G v đóng và một trong các điều kiện sau là đúng:
a)

Gv là giao hoán và trơn hoặc G là giao hoán.

b) Gv là một k-nhóm trơn và là mở rộng của một k-nhóm lũy
đơn trơn bởi một k-nhóm chéo hóa được.
c)
Trường k là compắc địa phương, và Gv là một k-nhóm con
reductive liên thông và trơn trong G.
d)

Tác động của G tại v là khá tách.

Ngoài ra, chúng tôi cũng có các ví dụ, phản ví dụ bổ sung cho những
định lý nói trên. (Xem các Mệnh đề 4.2.8, 4.4.1, và 4.4.2.)

13


Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị cần
thiết cho toàn bộ luận án. Chúng tôi chỉ xét những nhóm đại số affine
(tuyến tính) và lược đồ nhóm đại số affine.

1.1 Nhóm đại số tuyến tính
Trong mục này chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ bản về nhóm đại số tuyến

tính trên một trường. Trình bày của chúng tôi chủ yếu theo [9].
là một trường, ¯ là một bao đóng đại số của nó,

Cho

k

là bao tách được của

k

ks

k

¯
trong k .

Định nghĩa 1.1.1 ([9, Chap. AG, Sec. 12.1, pp. 23-24]). (a) Cho V là một đa tạp
n
đại số affine trong A

xác định của nó I(V) = f f
¯
toàn các phần tử của k[T1; : : : ; Tn], nghĩa là I(V) = k (I(V) \ k[T1

k[V] = k[T1; : : : ; Tn]=(I(V) \ k[T1; : : : ; Tn]) và gọi là vành các hàm chính
quy xác định trên k của V.
(b) Một cấu xạ giữa hai k-đa tạp affine ’ : X ! Y được gọi là xác định trên k,
hay
, nếu đồng cấu đối cấu xạ ’
!
gửi

vào
.
k-cấu xạ
: k[Y]
k[X]
k[Y]
k[X]
¯

¯

Định nghĩa 1.1.2 ([9, Chap. I, Sec. 1.1, p. 46]). (a) Cho G là một nhóm, ta nói G
là một k-nhóm đại số tuyến tính (hay G là một nhóm đại số tuyến tính xác định
trên k) nếu G đồng thời là một đa tạp affine xác định trên k và các phép toán:

:G G!G, (a;
b) 7!a b, i : G
! G,
1

a 7!a ,


14


đều là các k-cấu xạ giữa các k-đa tạp đại số.
(b) Nếu H là một nhóm con, đồng thời là một k-đa tạp con đóng của G thì ta nói

H

là một k-nhóm con đóng của G.
(c)
Cho G và H là hai nhóm đại số tuyến tính xác định trên k. Ta nói
ánh xạ

f : G ! H là một k-đồng cấu nếu f là một đồng cấu (giữa các nhóm trừu
tượng) và đồng thời f là một k-cấu xạ.
Ví dụ 1.1.3
với phép cộng của trường lập thành một k-nhóm đại số tuyến tính. Nhóm
này được gọi là nhóm cộng tính, và ký hiệu là Ga.
1
2)
Tập mở affine A nf0g cùng với phép nhân của trường lập thành một knhóm đại số tuyến tính. Ta gọi nhóm này là nhóm nhân tính, ký hiệu là Gm.
3) Tập các ma trận khả nghịch cấp

,

¯

, cùng với phép nhân ma trận

là n n GLn(k)

một k-nhóm đại số tuyến tính. Ta gọi nhóm này là nhóm tuyến tính tổng
quát, và ký hiệu là GLn.
4) Tập các ma trận tam giác trên trong ¯ cùng với phép nhân ma trận
cũng GLn(k)
lập thành một k-nhóm đại số tuyến tính.
5) Tập các ma trận tam giác trên trong ¯ với các phần tử trên đường

chéo GLn(k
)

chính bằng 1 cùng với phép nhân ma trận là một k-nhóm đại số tuyến tính
và được ký hiệu là Un.
Định lý sau đây nói rằng mọi k-nhóm đại số tuyến tính đều nhúng đóng
được vào một nhóm tuyến tính tổng quát nào đó.
Định lý 1.1.4 ([9, Chap. I, Sec. 1.7, Prop 1.10, p. 54]). Cho G là một knhóm đại số tuyến tính. Khi đó, G là k-đẳng cấu với một k-nhóm con đóng
của một nhóm tuyến tính tổng quát GLn nào đó.
Định nghĩa 1.1.5
hữu hạn chiều. Phần tử x 2 End(V) được gọi là nửa đơn (tương ứng, lũy đơn) nếu
nó chéo hóa được trên k (tương ứng, nếu x

n > 0 nào đó).
Ta biết rằng, theo [9, Chap. I, Prop. 4.2, p. 80], mọi x 2 GL(V) đều có phân
tích Jordan nhân tính, x = su, với s là nửa đơn, u là lũy đơn, và su = us.

Định lý 1.1.6 ([9, Chap. I, Theorem 4.4, p. 83]). Cho G là một k-nhóm đại
số tuyến tính, và g 2 G. Khi đó, tồn tại phân tích duy nhất g = gsgu trong G

([9, Cha


sao cho với mọi k-đồng cấu nhóm : G ! GLn thì (g) = (gs) (gu) là phân tích
Jordan nhân tính của (g) trong GLn.
15


Định nghĩa 1.1.7 ([9, Chap. I, Sec. 4.8, p. 87]). Ta gọi một k-nhóm đại số
tuyến tính G là lũy đơn nếu G = Gu, với Gu = fg 2 G j g = gug.

Định nghĩa 1.1.8 ([9, Chap. IV, Sec. 11.21, pp. 157-158]). Cho G là một knhóm đại số tuyến tính. Khi đó:
(a) Ta định nghĩa căn giải được của G, ký hiệu là R(G), là nhóm con
chuẩn tắc, giải được, liên thông cực đại của G.
(b) Ta định nghĩa căn lũy đơn của G, ký hiệu là Ru(G), là nhóm con
chuẩn tắc, lũy đơn, liên thông, cực đại trong G.
Định nghĩa 1.1.9 ([9, Chap. IV, Sec. 11.21, pp. 157-158]). Cho G là một knhóm đại số tuyến tính.
(a)
Ta định nghĩa G là một nhóm nửa đơn nếu R(G) = feg.
(b)

Ta định nghĩa G là một nhóm reductive nếu Ru(G) = feg.

Từ nhận xét Ru(G) = R(G)u, ta rút ra mọi nhóm nửa đơn đều là nhóm reductive.
Định nghĩa 1.1.10 ([9, Chap. III, Sec. 8.5, Chap. IV, Sec. 11.2], [24, Chap. II, Sec.

14.2]). Giả sử G là một nhóm đại số tuyến tính liên thông, xác định trên k.
(a) Ta gọi G là nhóm hầu đơn nếu G không giao hoán và chỉ có hai
nhóm con chuẩn tắc, liên thông là G và feg.
(b)
Ta nói nhóm con đóng B của G là nhóm con Borel nếu B là nhóm
con giải

được, liên thông cực đại của G.

¯

k

(c)Ta nói G là một xuyến đại số nếu G Gm : : : Gm.

(d) Giả sử P là một nhóm con đóng của G chứa một nhóm con Borel B.
Khi đó, ta nói P là một nhóm con parabolic của G.
Ví dụ 1.1.11.
([9]) .
(b)
Nhóm GLn là một k-nhóm reductive nhưng không là một nhóm
nửa đơn

([9]).
(c) Nhóm con các ma trận tam giác trên của ¯ là một nhóm con Borel
([9]). GLn(k)
t
(d) Nhóm G = S O3(C) = fA 2 GL3(C) j A A = E3; det(A) = 1g là một
nhóm hầu đơn xác định trên R. Khi đó,
0
1
(B1

T=

B

B

B
B

0

0C

B

C

)


B

B

B

B

@

16


là một xuyến cực đại xác định trên R của G. Hơn nữa, G không chứa bất kỳ một
nhóm con Borel nào xác định trên R. Một trong những nhóm con Borel của G là
id
B=

i( a 2c e)

a +c e

2

B
B
B
B
B
B
B

@

(Nhóm này rõ ràng không xác định trên R vì phương trình định nghĩa của
nó có đơn vị ảo i.)
Ta chuyển sang một khái niệm quan trọng đối với luận văn, đó là tác
động của nhóm đại số lên một đa tạp.
Định nghĩa 1.1.12 ([9, Chap. I, Sec. 1.7, pp. 51-53]). (a) Cho G là một nhóm đại
số tuyến tính, V là một đa tạp đại số (không nhất thiết affine). Giả sử tồn tại một
cấu xạ : G V ! V, (g; x) 7!g x = (g; x), thỏa mãn e x = x và g (h x) = (gh) x, với
mọi g; h 2 G, và x 2 V. Khi đó ta nói nhóm đại số G tác động cấu xạ lên đa tạp

V thông qua cấu xạ (hoặc nói gọn lại, V là một G-đa tạp). Nếu G và V đều
xác định trên k và là một k-cấu xạ thì ta nói G tác động k-cấu xạ lên đa tạp V.
(b)
Giả sử x 2 V là một điểm tùy ý, nhóm con đóng H của G cho bởi
H = fg 2

G j g x = xg được gọi là nhóm con dừng của x và được ký hiệu là Gx.
(c) Tập hợp G x := fg x j g 2 Gg được gọi là quỹ đạo của x dưới tác
động của nhóm G.
Tác động của nhóm đại số tuyến tính lên đa tạp đại số có những tính

chất quan trọng sau:
Định lý 1.1.13 ([9, Chap. I, Sec. 1.8, p. 53]). Giả sử G là một nhóm đại số
tuyến tính tác động cấu xạ lên một đa tạp V khác rỗng. Khi đó mỗi quỹ đạo
đều là một đa tạp trơn và mở trong bao đóng của nó. Biên của quỹ đạo này