Vận dụng lý thuyết kiến tạo vào việc dạy học khái niệm dãy số có giới hạn hữu hạn cho HS lớp 11 THPT chuyên

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE

Educational Sci. 2012, Vol. 57, No. 9, pp. 20-30

VẬN DỤNG LÝ THUYẾT KIẾN TẠO VÀO VIỆC DẠY HỌC
KHÁI NIỆM DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN
CHO HS LỚP 11 THPT CHUYÊN.

Phạm Sỹ Nam
Trường THPT chuyên Phan Bội Châu, Nghệ An
E-mail:
Tóm tắt. Một trong những khó khăn lớn nhất trong việc giảng dạy và học tập các
khái niệm giới hạn không chỉ nằm trong sự phong phú và phức tạp của nó, mà cịn
trong phạm vi mà các khía cạnh nhận thức khơng có thể được tạo ra hồn tồn từ
định nghĩa tốn học. Trong bài báo này, chúng tơi thiết kế các nhiệm vụ tốn học
cơ bản để hỗ trợ học sinh kiến tạo kiến thức về giới hạn của dãy số. Kết quả nghiên
cứu cho thấy việc thực nghiệm bằng cách sử dụng các thao tác động, cho phép học
sinh dễ dàng hơn trong việc hình thành các giả thuyết, kiểm nghiệm, bác bỏ những
cái sai và xây dựng kiến thức về giới hạn của dãy số.
Từ khóa: Lý thuyết kiến tạo, giới hạn dãy số, mơ hình động.

1.

Mở đầu

Lý thuyết kiến tạo có ảnh hưởng mạnh mẽ trong giáo dục bởi việc vận dụng Lý
thuyết kiến tạo trong dạy học đáp ứng được các yêu cầu đổi mới phương pháp dạy học.
Trong bài viết này chúng tơi trình bày một số quan điểm của Lý thuyết kiến tạo và việc vận
dụng vào việc dạy học khái niệm dãy số có giới hạn hữu hạn cho HS lớp 11 THPT chuyên.

2.

2.1.

Nội dung nghiên cứu
Một số quan điểm của Lý thuyết kiến tạo trong dạy học

1. Lý thuyết kiến tạo khẳng định “tri thức được tạo nên một cách tích cực bởi chủ
thể nhận thức, chứ không phải được tiếp nhận một cách thụ động từ mơi trường bên ngồi”
[3;208]. Và rằng, “nhận thức là q trình thích nghi và tổ chức lại thế giới quan của chính
mỗi người [3;208].
2. Trong một mơi trường học tập kiến tạo, học sinh (HS) thật sự bị cuốn hút vào
việc học, thay vì chỉ là những người lắng nghe thụ động. Lý thuyết kiến tạo cũng cho rằng,
giáo viên (GV) nên tìm kiếm và coi trọng những quan điểm, những lý giải của học sinh
bởi vì chúng là cánh cửa mở đến những tri thức.
20


Vận dụng lý thuyết kiến tạo vào việc dạy học khái niệm dãy số có giới hạn hữu hạn...

3. Quá trình dạy học cần phải được thực hiện sao cho HS kiến tạo được kiến thức
chứ không phải để HS ghi nhớ kiến thức. Để HS có thể kiến tạo được kiến thức thì việc tổ
chức quá trình dạy học cần phải tạo điều kiện để kiến thức mới được kết nối với kiến thức
cũ, khiến HS tái hiện một cách tích cực các ý tưởng đã có, trên cơ sở đó phát triển nhận
thức của bản thân. “Q trình dạy học cần đưa người học đi từ sự bao quát bề mặt về một
chủ đề tới chỗ hiểu cặn kẽ hơn kiến thức của chủ đề đó, bao gồm việc rà sốt khảo cứu và
tổ chức các thơng tin ý tưởng về chủ đề từ rất nhiều góc nhìn hoặc quan điểm khác nhau,
phù hợp với giai đoạn phát triển của người học” [4;30]. Để thực hiện được điều này địi
hỏi GV phải suy nghĩ về cách thức hình thành các kiến thức mới bằng việc gắn kết với các
kiến thức cũ, đồng thời xem xét những mối liên hệ giữa các kiến thức.

2.2.

Vận dụng Lý thuyết kiến tạo vào việc dạy học khái niệm giới hạn dãy
số cho HS lớp 11 THPT chuyên

Từ các quan điểm nêu trên, ta có thể thấy q trình dạy học khái niệm tốn học nói
chung và khái niệm Giải tích nói riêng theo Lý thuyết kiến tạo diễn ra theo quy trình sau:
2.2.1. Bước 1: Làm nảy sinh nhu cầu nhận thức ở HS thông qua hoạt động trực quan
Cách làm tốt nhất để nảy sinh nhu cầu nhận thức ở HS là tạo ra tình huống sư phạm
nhằm xuất hiện trong ý thức của HS một tình huống có vấn đề. Đó là tình huống (lý thuyết
hay thực tiễn) chứa đựng mâu thuẫn giữa cái đã biết và cái chưa biết. Mâu thuẫn này được
HS ý thức và có nhu cầu giải quyết. Thông qua việc giải quyết mâu thuẫn này HS giành
được một cái mới (kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo. . . ).
Mặt khác, ta thấy rằng hầu hết các khái niệm Giải tích có bản chất “động” với những
thuật ngữ thường được sử dụng trong định nghĩa khái niệm như “dần tới”, “nhỏ tùy ý” ... .
Vì vậy, các mơ hình động, dễ tác động trực tiếp vào các giác quan của con người, là điều
kiện thuận lợi để giúp HS chiếm lĩnh những thuật ngữ như vậy.
Trong bước này người giáo viên cần thực hiện hai công đoạn: - GV giới thiệu những
vấn đề, hiện tượng thực tiễn hay những nghịch lý xuất phát từ khái niệm mới sắp học nhằm
tạo động cơ, thu hút sự chú ý và sự tích cực của HS tham gia vào việc tìm hiểu và giải
quyết các vấn đề mà GV đặt ra.
- GV giới thiệu, hướng dẫn sử dụng mô hình động và nêu nhiệm vụ mà HS cần thực
hiện khi thao tác với mơ hình động đó, kết quả của việc thao tác, khám phá với mơ hình
chứa đựng kiến thức mới.
2.2.2. Bước 2: HS khám phá, khảo sát nhằm đưa ra các phán đoán và đề xuất các
giả thuyết về khái niệm. Hình thành biểu tượng về khái niệm
Trong bước này:
- HS được thao tác trực tiếp với các mơ hình động, HS huy động các kiến thức đã có,
cũng những trải nghiệm phát hiện những khó khăn, chướng ngại, có thể xuất hiện những
21

Phạm Sỹ Nam

tình huống mới nảy sinh địi hỏi các em phải đặt ra được những câu hỏi, thu thập được dữ
liệu và tiến hành nghiên cứu. Những câu hỏi trọng tâm vào kiến thức sẽ được học chỉ có
thể trả lời bởi các em tham gia tích cực vào quá trình khám phá và học tập.
- HS trải qua tình huống có vấn đề, được khám phá mơ hình trong đó chứa đựng
những nội dung kiến thức, những thao tác, kỹ năng để làm nảy sinh kiến thức mới. Từ đó
đưa ra các phán đốn, đề xuất các giả thuyết về khái niệm.
Bước này hình thành ở người học những nền tảng kinh nghiệm ban đầu về hiện
tượng. Trên cơ sở mối liên hệ bên ngồi (chứ khơng phải mối liên hệ bên trong) mà cấu
tạo nên tổ hợp chưa rõ nét và thiếu sắp xếp của đối tượng, chủ yếu dựa vào khả năng tổng
hợp các quá trình tri giác của HS. Ở đây diễn ra hai thời kì: Thời kì thử sai trong tư duy và
hình ảnh tổng hợp (còn chưa tách bạch, quyện với nhau) tương đương với khái niệm được
hình thành trên một cơ sở phức tạp hơn, dựa vào kết quả các đại diện của các nhóm khác
nhau được đưa về một nghĩa thống nhất trong tri giác.
Sau quá trình trên, việc nhận thức của HS về khái niệm được chuyển sang một giai
đoạn mới - tầng bậc hình thành từng bộ (nhóm) đối tượng: phương pháp tư duy bây giờ
dẫn đến cấu tạo nên các mối liên hệ, quan hệ giữa các ấn tượng cụ thể khác nhau, tập hợp
lại, khái quát lên, sắp xếp hệ thống toàn bộ kinh nghiệm.
2.2.3. Bước 3: Kiểm nghiệm – giải thích, khái qt hóa để rút ra các dấu hiệu bản
chất của khái niệm
Trong bước này:
- HS tiến hành q trình phân tích những kết quả khảo sát được. Những hiểu biết
của các em được làm sáng tỏ và chính xác hóa nhờ có những hoạt động phản hồi của các
HS khác hoặc của GV.
- HS kết nối các ý tưởng đưa ra các giả thuyết và các kết quả quan sát, khám phá
được thông qua, HS bắt đầu hình thành những hiểu biết khái quát thơng qua những gì mà
các em thu nhận được sau q trình trao đổi và tranh luận thơng tin.
Q trình tìm tịi khám phá của HS là định hướng cho GV đưa ra các chỉ dẫn trong

suốt quá trình học. GV có thể cung cấp mơ hình mới và u cầu HS tiếp tục khảo sát nếu
như dấu hiệu mà HS đưa ra chưa phải là dấu hiệu bản chất, hoặc HS có những dự đốn
sai (trong trường hợp này mơ hình sẽ đóng vai trị như là phản ví dụ). Các hoạt động trên
có thể thực hiện với lớp, hoặc nhóm nhỏ, cá nhân, cặp đơi HS. Ngơn ngữ là cơng cụ để
giao tiếp, nó giúp người học phát triển các ý tưởng, lập luận các giả định, xác lập giả
thuyết, từ đó trình bày ý kiến bản thân. Thơng qua đó, GV định hướng và điều chỉnh câu
trả lời của HS.
Trong giai đoạn này HS có tư duy tổng hợp với hai đặc điểm; sắp xếp biểu tượng
vào các nhóm, bộ và có khái quát đồng thời có thêm phân tích (tách bạch các biểu tượng)
trừu tượng, để riêng rẽ các yếu tố ra, có kỹ năng xem xét các thành tố này ở ngoài mối liên
hệ cụ thể, có thực. Giai đoạn này có hai pha: pha đầu là pha khái quát các đối tượng cụ
22


Vận dụng lý thuyết kiến tạo vào việc dạy học khái niệm dãy số có giới hạn hữu hạn...

thể khác nhau theo những chỗ rất giống nhau; pha thứ hai là pha có khái niệm tiềm năng,
đưa xếp vào một nhóm đối tượng theo một tính chất.
2.2.4. Bước 4: Nhận biết thuật ngữ, kí hiệu và phát biểu khái niệm
Khi tư duy phát triển thì kéo theo khả năng ngơn ngữ của HS cũng phát triển. Ngơn
ngữ bên ngồi và bên trong đã phát triển, tuy nhiên việc diễn đạt các suy nghĩ của HS
nhiều khi chưa được rành mạch, rõ ràng. Các hoạt động của HS trong bước này là:
- Thông qua những dấu hiệu của các khái niệm mà HS lĩnh hội, GV cần tổ chức
cho HS quan sát, hướng dẫn HS nhận xét sự khác nhau giữa những thuộc tính bản chất và
khơng bản chất của các đối tượng và sử dụng các thuật ngữ để kết nối liên hệ những dấu
hiệu đã được tách ra nhưng chung cho cả một lớp các đối tượng. GV phân tích và đưa ra
thuật ngữ, kí hiệu cho khái niệm mới. HS sử dụng các thuật ngữ, hướng dẫn mà GV cung
cấp để phát biểu khái niệm.
- GV khuyến khích HS phát biểu khái niệm dưới nhiều hình thức khác nhau theo
cách hiểu các em. GV điều chỉnh phát biểu của HS nếu có sai sót hoặc dùng từ chưa

chính xác.
Đến đây, việc nhận thức về khái niệm được chuyển sang một giai đoạn mới - tầng
bậc có khái niệm thực sự: khái niệm xuất hiện khi cả một loạt dấu hiệu trừu tượng một
lần nữa được tổng hợp lại ở một trình độ cao hơn, khi tổng hợp trừu tượng này trở thành
phương thức chủ yếu của tư duy mà trẻ dùng để tiếp cận và suy nghĩ về thực tại xung
quanh. Ở đây từ giữ vai trò quyết định. Vygotsky viết: “Chính nhờ vào từ trẻ chủ định
hướng chủ ý của mình vào một số dấu hiệu, nhờ vào từ trẻ tổng hợp các dấu hiệu ấy, nhờ
vào từ trẻ biểu trưng hóa khái niệm trừu tượng và sử dụng khái niệm như là một dấu hiệu
cao nhất trong tất cả các dấu hiệu do tư duy của con người tạo ra ” [5;201]
2.2.5. Bước 5: Củng cố và vận dụng khái niệm
Một khái niệm được lĩnh hội khi và chỉ khi HS có thể vận dụng được khái niệm đó.
Ở bước này, HS tiến hành các hoạt động để luyện tập, củng cố và vận dụng khái niệm vừa
học. Việc thực hiện bước này thông qua giải quyết hệ thống bài tập mà GV đưa ra. Đây là
giai đoạn rèn luyện cho HS các thao tác tư duy, khả năng suy luận và diễn đạt ngôn ngữ.
Việc củng cố và vận dụng khái niệm bao gồm các hoạt động:
- Nhận dạng và thể hiện khái niệm, hoạt động ngôn ngữ.
- Vận dụng khái niệm, ý tưởng được hình thành trong quá trình xây dựng khái niệm
để giải thích vấn đề trong thực tiễn cuộc sống, vào giải quyết các bài tập. Các bài tập cần
được thiết kế sao cho khi giải, HS có thể bị mắc phải những lỗi sai do hiểu chưa đúng về
khái niệm, các bài tập cần đa dạng về thể loại và có mức độ khó được nâng dần.
2.2.6. Bước 6: Mở rộng và hệ thống hóa khái niệm
Trong bước này:
23


Phạm Sỹ Nam

- GV yêu cầu HS tìm mối liên hệ giữa khái niệm vừa học với những khái niệm đã
có, đặt khái niệm mới vào hệ thống khái niệm.
- Khai thác, phát triển khái niệm đã có để mở rộng sang khái niệm mới, có phạm vi

rộng hơn.

2.3.

Ví dụ áp dụng: Dạy học khái niệm dãy số có giới hạn hữu hạn cho HS
lớp 11 THPT chuyên

Bước 1: Làm nảy sinh nhu cầu nhận thức ở HS thông qua hoạt động trực quan
Giới thiệu vấn đề. Nhằm thu hút HS tham gia vào hoạt động học tập, GV giới thiệu
nghịch lí Zenon sau đây: “D’Elec Zénon (496 – 429) một triết gia người Hi lạp cổ đại vào
thế kỷ thứ V trước Cơng ngun, đã đưa ra bài tốn A-sin (Achilis) đuổi rùa và lập luận
như sau: A-sin là một lực sĩ trong thần thoại Hi lạp, người được mệnh danh là “có đơi
chân nhanh như gió “đuổi theo một con rùa trên một đường thẳng. Giả sử A-sin xuất phát
tại vị trí a1 và rùa xuất phát tại vị trí t1 (như Hình 1). Khi A-sin đến điểm a2 = t1 thì rùa
chạy lên phía trước tại vị trí t2 . Khi A-sin đến vị trí a3 = t2 thì rùa đến vị trí t3 ... Q
trình này tiếp tục vơ hạn và được minh họa bằng Hình 1”.

Hình 1. A-sin đuổi rùa
GV: Bằng lập luận như trên, theo em A-sin có đuổi kịp rùa khơng?
GV: Theo em, kết luận đó có đúng khơng? Vì sao? GV đặt vấn đề vào bài học: Như
vậy, chúng ta nhận ra được là lập luận trên khơng đúng, nhưng có thể vận dụng kiến thức
Toán học nào để chứng tỏ lập luận trên là sai? Bài học hôm nay sẽ giúp chúng ta sẽ đi tìm
hiểu kiến thức như vậy.
Giới thiệu mơ hình động và nêu nhiệm vụ: GV giới thiệu mơ hình động cho HS
gồm ba phần: Giới thiệu, hướng dẫn thao tác với mơ hình hoặc khảo sát tự do hoặc câu
hỏi.
Giới thiệu, hướng dẫn HS cách thao tác với mơ hình: HS được biết mơ hình bao
gồm cái gì, tất cả các yếu tố và đối tượng được mô tả chi tiết và GV hướng dẫn cách làm
thế nào để tương tác với chúng.
(−1)n

Cho dãy số un =
. Trên đồ thị ở Hình 2, mỗi chấm đỏ thể hiện hai thông số
n
1
(n; un ), chẳng hạn chấm đỏ thứ hai (kể từ trái sang phải) là ứng với n = 2 và un = . Các
2
chấm đỏ có thể được xóa bằng cách nhấn phím Esc trên bàn phím nhiều lần. Chấm đỏ có
24


Vận dụng lý thuyết kiến tạo vào việc dạy học khái niệm dãy số có giới hạn hữu hạn...

Hình 2. Cách thể hiện sự phụ thuộc của un vào n trên màn hình

vịng đen bao quanh là giá trị hiện tại của n. Giá trị của n thay đổi được bằng cách kéo rê
đầu mút của thanh trượt tham số.
Khảo sát tự do: Gợi ý một số thao tác mà HS nên làm, sau đó HS sẽ thao tác với
mơ hình và có giới hạn thời gian.
• Thay đổi giá trị của n bằng cách kéo rê thanh trượt tham số. Hãy quan sát những
thay đổi của các đối tượng khác.
• Nhấn phím ESC để xóa vết.
• Thay đổi độ dài đơn vị bằng cách kéo điểm 1 trên trục hoành ra xa hoặc tới gốc
tọa độ. Với mỗi lần thay đổi, hãy nhấn ESC để xóa vết cũ.
Câu hỏi cho HS
Đây là phần chính của nhiệm vụ, HS cần phải khảo sát với mơ hình để trả lời các
câu hỏi. Mức độ khó khăn của câu hỏi được tăng dần từ trực quan đến trừu tượng, từ cụ
thể đến khái quát. Phần này yêu cầu HS trả lời các câu hỏi sau khi thao tác với mơ hình.
HS sẽ khảo sát các giá trị của dãy số un khi n thay đổi, thông qua các kết quả với các giá
trị cụ thể của n, để từ đó có những dự đoán tổng quát và đi đến xây dựng định nghĩa dãy
số có giới hạn 0.

Câu hỏi 1: Em hãy thay đổi giá trị của tham số n từ đó đưa ra nhận xét về sự thay
đổi các giá trị un khi n càng lớn?
Câu hỏi 2: Em hãy chỉ ra ít nhất 5 giá trị của n để khoảng cách giữa un và số 0 nhỏ
1
?
hơn
100
Em có thể chỉ ra số tự nhiên n nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên không?
Em hãy lấy một số tự nhiên M lớn hơn 100 và hãy chỉ ra số tự nhiên n nhỏ nhất để
1
?
khoảng cách giữa un và số 0 nhỏ hơn
M
25


Phạm Sỹ Nam

1
bởi một số dương ε bé tùy ý, liệu ta ln có thể tìm được
M
số tự nhiên un để với mọi n > n0 thì khoảng cách giữa un và số 0 nhỏ hơn ε hay không?
Tại sao?
Bước 2. HS khám phá, khảo sát nhằm đưa ra các phán đoán và đề xuất các giả
thuyết về khái niệm. Hình thành biểu tượng về khái niệm
Trong các hoạt động, các thao tác cụ thể cần làm rõ được: Phải tách ra những dấu
hiệu nào của đối tượng và theo trình tự nào? Phải thực hiện những hành động nào khi
có những dấu hiệu này hay những dấu hiệu khác? Những hành động này có thể mang lại
những kết quả nào? Với yêu cầu thứ nhất “thay đổi giá trị của tham số n” HS thực hiện
hành động “dịch chuyển đầu mut đỏ của thanh n sang phải (sang trái)” nhằm tăng (giảm)

giá trị của n, khi đó HS có được hình ảnh sau (Hình 3).
Câu hỏi 3: Nếu thay

Hình 3. Khi n cành tăng khoảng cách giữa un và 0 càng nhỏ
Hình ảnh thu được giúp HS nhận ra được dấu hiệu “khi n càng tăng thì khoảng cách
giữa un và 0 càng nhỏ”. Đây là một dấu hiệu cần thiết mà chúng ta mong muốn HS nhận
ra. Tuy nhiên đó chưa phải là dấu hiệu bản chất. Trong kết quả này nảy sinh vấn đề chưa
rõ ràng là “khoảng cách đó nhỏ đi như thế nào?”. Để trả lời được câu hỏi, địi hỏi HS phải
có hành động tiếp đó là: Kéo thanh n ra xa hơn nữa nhằm tăng giá trị n, tăng đơn vị trên
trục tung để có thêm dữ liệu cho các phán đốn về dấu hiệu. Các yêu cầu trong câu hỏi 2)
nhằm giúp HS thấy được tồn tại giá trị n thỏa mãn điều kiện trên và có thể có nhiều giá
trị như vậy và bằng việc thao tác với mơ hình động có thể giúp HS xác định được số n lớn
nhất và tập hợp các giá trị n thỏa mãn điều kiện đó. Yêu cầu thứ ba nhằm giúp HS nhận
ra được rằng nếu chúng ta muốn khoảng cách giữa un và số 0 nhỏ hơn một số nhỏ hơn
1
thì cũng ln tìm được giá trị n thỏa mãn, điều này tạo cơ sở cho câu trả lời trong câu
100
hỏi tiếp theo.
Với câu hỏi 3) có thể có hai hướng mà dẫn tới câu trả lời đúng của HS. Thứ nhất,
từ các hành động và kết quả trong các trường hợp cụ thể tạo niềm tin để HS có thể khẳng
26


Vận dụng lý thuyết kiến tạo vào việc dạy học khái niệm dãy số có giới hạn hữu hạn...

định là ln tìm được n0 , cũng có thể HS sẽ khảo sát thêm vài giá trị cụ thể để tạo sự tự
tin cho câu trả lời của mình. Thứ hai, HS có thể sử dụng các kiến thức để chứng minh chặt
chẽ. Kết quả này giúp các em có được sự khái quát hóa dấu hiệu bản chất để tiến tới hình
thành định nghĩa giới hạn dãy số.
Bước 3. Kiểm nghiệm - giải thích, khái qt hóa để rút ra các dấu hiệu bản chất

của khái niệm
Trong bước này, GV yêu cầu HS giải thích các kết quả khảo sát được. Nếu HS chưa
nêu được những dấu hiệu bản chất thì GV sử dụng các câu hỏi (nếu cần thiết), đưa ra thêm
yêu cầu nhằm trợ giúp HS. Chẳng hạn, nhằm giúp HS nhận ra được "khi n càng dần tới
dương vơ cực thì khoảng cách giữa un và 0 càng nhỏ và nhỏ bao nhiêu cũng được". GV
yêu cầu: "Chúng ta thử kéo n ra xa hơn nữa xem sự thay đổi sẽ như thế nào?". Tuy nhiên
hành động "kéo đầu mút thanh trượt ra xa" có thể gây khó khăn cho HS, bởi thanh trượt
đi hết màn hình, khó khăn này có thể giải quyết bằng việc giảm đơn vị trên trục hoành
bằng cách di chuyển chấm đỏ trên trục hồnh sang trái, khi đó có thể thu được hình ảnh
điểm "(n, un ) nằm trên trục hồnh". Hình ảnh này có thể gây ra quan niệm sai "khoảng
cách giữa un và 0 càng nhỏ dần và đến một lúc nào đó nó sẽ bằng 0". Vấn đề là làm thế
nào để HS có thể tránh hoặc nhận ra quan niệm trên là sai? Có thể thấy rằng, nguyên nhân
dẫn đến quan niệm sai này là do sự hạn chế của việc biểu diễn các điểm trên đồ thị, số
các điểm vơ hạn trong khi đó phần hình ảnh mặt phẳng có hạn. Nhằm giúp HS giải quyết
được sai lầm này, GV có thể trợ giúp bằng các cách sau. Cách thứ nhất GV có thể trợ giúp
bằng cách gợi ý thêm các hoạt động. Chẳng hạn: "Chúng ta thử tăng độ dài đơn vị trên
trục tung lớn hơn xem hình ảnh sẽ như thế nào?". Hành động "tăng đơn vị trên trục tung"
sẽ giúp HS nhận ra được rằng khi chúng ta càng tăng đơn vị thì "điểm (n, un ) càng cách
xa trục hoành", hành động tăng đơn vị như là một cách phóng to hình ảnh trên, tương tự
như việc nhìn bằng mắt thường và nhìn bằng kính lúp. Tuy nhiên, nếu HS vẫn cịn quan
niệm sai lầm trên thì có thể u cầu HS thực hiện việc "tăng đơn vị trên trục tung" tiếp và
cuối cùng HS có thể nhận ra được dấu hiệu "khoảng cách giữa un và 0 càng nhỏ dần và
không bao giờ bằng 0", "khoảng cách giữa un và 0 nhỏ bao nhiêu cũng được miễn n đủ
lớn". Cách thứ hai, GV yêu cầu HS vận dụng suy luận để kiểm tra tính đúng đắn của quan
niệm trên để từ đó khẳng định "(n, un ) khơng thể nằm trên trục hoành", và khoảng cách
n
càng nhỏ khi n càng lớn, bởi | (−1n ) | = n1 > 0 và f (n) = n1 là hàm nghịch biến.
Như vậy, trong q trình thao tác, khơng phải ngay một lúc có thể “tách” được các
dấu hiệu bản chất, mà để đi đến được dấu hiệu bản chất HS phải trải qua một q trình
và trên q trình đó các dấu hiệu thu được càng ngày càng gần với dấu hiệu bản chất và

trên q trình đó khơng tránh khỏi những quan niệm sai, những khó khăn, việc giải quyết
các vấn đề này địi hỏi HS tích cực suy nghĩ tìm hướng giải quyết và cần sự trợ giúp của
GV bằng việc gợi ý, yêu cầu HS thực hiện các hoạt động cần thiết để đối tượng bộc lộ ra
dấu hiệu cần nghiên cứu và kiểm tra được tính đúng đắn của một quan niệm. Trong việc
giải thích tính đúng đắn của các quan niệm, nên yêu cầu HS sử dụng nhiều hình thức khác
27


Phạm Sỹ Nam

nhau có thể sử dụng mơ hình trực quan, có thể sử dụng suy luận. Ở đây cũng cần lưu ý
rằng, việc thao tác với mơ hình trực quan cho chúng ta những dấu hiệu được diễn tả bằng
lời dưới hình thức mơ tả là chính.
Bước 4. Nhận biết thuật ngữ, kí hiệu và phát biểu khái niệm
Có một khó khăn nhất định về mặt tâm lí trong việc hình thành một biểu tượng đúng
đắn về khái niệm dãy số un có giới hạn 0. Trực giác của chúng ta đòi hỏi một tư tưởng
“động” của giới hạn xem như là kết quả của một quá trình “chuyển động”: khi n nhận
các giá trị tăng dần theo dãy số tự nhiên 1, 2, 3, . . . , n, . . . và quan sát hành vi của dãy un .
Ta chờ đợi sai số giữa số un và 0 càng nhỏ. Nhưng quan điểm “tự nhiên” đó khơng thích
hợp với sự diễn đạt về mặt tốn học. Muốn đạt tới một định nghĩa chính xác, cần phải đảo
ngược quá trình lập luận, đáng lẽ phải chú ý trước tiên đến biến n rồi mới chú ý đến biến
un vấn đề đặt ra là muốn kiểm tra được un → 0 ta cần làm thế nào?. Để trả lời câu hỏi này,
trước hết phải chọn một đoạn nhỏ tùy ý chứa 0 rồi xem xét với việc chọn n đủ lớn, liệu ta
có thể làm cho un rơi vào khoảng đó hay khơng. Sau đó bằng cách đưa vào các kí hiệu ε
và n0 để biểu thị “một đoạn tùy ý nhỏ” và “n đủ lớn”, ta sẽ đạt đến định nghĩa chính xác
của giới hạn hữu hạn. Mục đích của việc đưa ra câu hỏi 3 nhằm thực hiện điều này. Để
HS có thể phát biểu được định nghĩa chính xác, GV yêu cầu HS chú ý vào kết quả trả lời
của câu hỏi 3: “ với mỗi số dương ε bé tùy ý cho trước, chúng ta ln tìm được số tự nhiên
n0 để với mọi n > n0 thì khoảng cách giữa un và số 0 nhỏ hơn ε ". Hay phát biểu tương
đương “với mỗi số dương ε bé tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy, kể từ số tự nhiên n0

trở đi khoảng cách giữa un và số 0 nhỏ hơn ε ".
GV cung cấp thêm “ trong trường hợp này người ta nói dãy số (un ) có giới hạn 0 và
viết lim un = 0hoặc un → 0 ”. GV yêu cầu HS phát biểu khái niệm dãy số có giới hạn 0,
sử dụng kí hiệu để diễn đạt khái niệm. GV điều chỉnh phát biểu của HS nếu có sai sót hoặc
dùng từ chưa chính xác. Để từ đó có được định nghĩa chính thức về khái niệm. “Ta nói rằng
dãy số (un ) có giới hạn 0 nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước mọi số hạng của dãy
số kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều cách 0 một khoảng nhỏ hơn số dương đó”. Khi đó
ta viết lim un = 0 hoặc un → 0. Hay viết dưới dạng kí hiệu “ lim un = 0 ⇔ ∀ε > 0, ∃n0
sao cho ∀n > n0 th|un | < ε ”.
GV cho HS phát biểu khái niệm dưới các hình thức khác để thơng qua đó HS có
được ý nghĩa của khái niệm “ dãy số (un ) có giới hạn 0 có nghĩa là với là số ε dương nhỏ
tùy ý. Ta có thể chọn một số nguyên dương n0 sao cho mọi số hạng của dãy số với n > n0
đều nằm trong đoạn I dài 2ε và tâm là điểm 0”.
Bước 5: Củng cố và vận dụng khái niệm
1
2
Ví dụ 1: Chứng minh các dãy số sau có giới hạn 0. a) lim k , k ∈ R. b) lim
n
n+1
Thông qua các trải nghiệm trên, GV yêu cầu HS nêu các bước chứng minh dãy số
có giới hạn 0 bằng định nghĩa và nêu rõ bước then chốt trong chứng minh đó. Điều này
giúp HS kiến tạo được tri thức phương pháp cho bản thân.
28


Vận dụng lý thuyết kiến tạo vào việc dạy học khái niệm dãy số có giới hạn hữu hạn...

Bước 6: Mở rộng và hệ thống hóa khái niệm
- GV yêu cầu HS phát biểu khái niệm dãy số có giới hạn L, GV chỉnh sửa những sai
sót (nếu có) của HS và yêu cầu HS làm ví dụ sau:

Ví dụ 2: Trong các dãy số sau, dãy số nào có giới hạn dãy số nào khơng? Tại sao?
Nếu có hãy tìm giới hạn đó?
n
(−1n )n
a) lim
. b) lim(−1)n . c) lim
n+1
n+1
Thông qua các trải nghiệm trên, GV yêu cầu HS nêu các bước chứng minh dãy số
có giới hạn L bằng định nghĩa, các dấu hiệu để nhận biết dãy số khơng có giới hạn.
- GV u cầu HS vẽ sơ đồ thể hiện mối quan hệ giữa các khái niệm: dãy số, dãy số
có giới hạn, dãy số khơng có giới hạn, dãy số khơng bị chặn.
Ví dụ 3: Hình 4 được cho dưới đây có tơ đậm các hình chữ nhật có kích thước cho
trên hình vẽ, gọi Sn là diện tích của n hình chữ nhật đầu tiên (tính từ trái sang). Em hãy
tính lim Sn .

Hình 4.

Hình 5.

Trong ví dụ này HS phải vận dụng kiến thức để tính được tổng Sn từ đó được kêt
2
rồi vận dụng kết quả ở ví dụ 1 b).
quả Sn = 2 −
n+1
GV có thể đặt ra yêu cầu HS sử dụng hình ảnh để giải thích kết quả, điều này tạo
cho HS một cơ hội phát huy sự sáng tạo, phát triển tư duy trực giác. Bằng việc sắp lại các
hình chữ nhật như Hình 5 HS có thể thấy ngay được kết quả.

3.

Kết luận

Dãy số có giới hạn hữu hạn là khái niệm có tính trừu tượng cao và khó khăn trong
việc tổ chức dạy học để hình thành nó. Việc hiểu bản chất khái niệm này là tiền đề quan
trọng cho việc nắm vững các khái niệm Giải tích sau này. Trong q trình giảng dạy theo
tiến trình trên, chúng tơi thấy rằng: Việc vận dụng Lý thuyết kiến tạo cùng với sự hỗ trợ
của mơ hình động đã tạo cho HS cơ hội khám phá Toán học, HS được thực hành nhiều
hơn và có cơ hội thể hiện năng lực của bản thân, để từ đó có những dự đốn đúng về đặc
điểm của khái niệm cần lĩnh hội, xây dựng cho mình hiểu biết đúng đắn về khái niệm.
29


Phạm Sỹ Nam

Bên cạnh những câu trả lời mà GV mong đợi, cũng xuất hiện những câu trả lời có thể sai
lầm, hoặc chưa đầy đủ, đây chính là cơ hội để GV có hoạt động thích hợp nhằm giúp HS
có được hiểu biết đúng và tránh được các sai lầm này. Mơ hình động thực sự là cầu nối
quan trọng trong việc dạy và học những khái niệm trừu tượng.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Đoàn Quỳnh, Trần Nam Dũng, Nguyễn Vũ Lương, Đặng Hùng Thắng , 2010 .Tài liệu
chuyên toán Đại Số và Giải tích 11. Nxb Giáo dục, Hà Nội.
[2] Đoàn Quỳnh, Trần Nam Dũng, Nguyễn Vũ Lương, Đặng Hùng Thắng, 2010. Tài liệu
chuyên toán bài tập Đại số và Giải tích 11. Nxb Giáo dục, Hà Nội.
[3] Nguyễn Hữu Châu, 2006. Những vấn đề cơ bản về chương trình và quá trình dạy học.
Nxb Giáo dục, Hà Nội.
[4] Vũ Quốc Chung, Nguyễn Văn Khải, Cary J.Trexler, James Cameron, John Timothy Denny, Nguyễn Bá Kim, Norio Kato, Peter Thursby, Sean McGough, Ryuichi
Sugiyama, Teresa San Buenaventura, 2011. Tài liệu hướng dẫn tăng cường năng lực sư
phạm cho giảng viên các trường đào tạo giáo viên trung học phổ thông và trung cấp
chuyên nghiệp.

[5] Phạm Minh Hạc, 1997. Tâm lý học Vư-gốt-xki, Nxb Giáo dục, Hà Nội.
[6] Phuc N. D. M & Nam. P. S., 2012. Experiment school mathematics in constructing
knowledge of infinitesimal small quantities, Proceedings of the 5thAnnual Conference
ICER 2012, International Conference on Educational Research: Challenging Education for Future Change. Khon Kaen University, Thailand, page 309-319.
ABSTRACT
Using constructivism to teach the concept of a sequence is unlimited
among grade 11 students in gifted high schools
Ones of the greatest difficulties in teaching and learning the limit concept lies not
only in its richness and complexity, but also in the extent to which the cognitive aspects
cannot be generated purely from the mathematical definition. In this paper, we designed
basic mathematical tasks which will guide students who are learning of the limit of sequence. It has been shown that experiments that use dynamic manipulation enable students
to more easily forming hypotheses, verifying them, rejecting wrong hypotheses and come
to a full understanding of limit of sequence.

30