BÀI TOÁN cực TRỊ CỦA HÀM số CHỨA dấu GIÁ TRỊ TUYỆT đối

CHUYÊN ĐÊ
BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU
GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Đối tượng học sinh bồi dưỡng: Lớp 12
Dự kiến số tiết bồi dưỡng: 8 tiết (5 ca)

BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Phần I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT.
1.Các phép biến đổi đồ thi
a.Các phép tinh tiến đồ thi
Cho hàm số

có đồ thị (C). Khi đó, với số thực a > 0 ta có:

• Hàm số
có đồ thị (C’) là tịnh tiến của (C) theo phương của trục Oy
lên trên a đơn vị.
• Hàm số
có đồ thị (C’) là tịnh tiến của (C) theo phương của trục Oy
xuống dưới a đơn vị.
• Hàm số
qua trái a đơn vị.

có đồ thị (C’) là tịnh tiến của (C) theo phương của trục Ox

• Hàm số
có đồ thị (C’) là tịnh tiến của (C) theo phương của trục Ox
qua phải a đơn vị.
b. Các phép biến đổi đồ thi khác
Cho hàm số

có đồ thị (C). Khi đó, với số a > 0 ta có:


• Hàm số

có đồ thị (C’) là đối xứng của (C) qua trục Ox.

• Hàm số

có đồ thị (C’) là đối xứng của (C) qua trục Oy.

• Hàm số
có đồ thị (C’) bằng cách:
- Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy (cả những điểm nằm
trên trục Oy)
- Bỏ phần đồ thị của

nằm bên trái trục Oy.

- Lấy đối xứng phần đồ thị

nằm bên phải trục Oy qua trục Oy.

• Hàm số
có đồ thị (C’) bằng cách:
- Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox (cả những điểm nằm
trên Ox)
- Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox qua trục Ox
- Bỏ phần đồ thị của (C) nằm dưới trục Ox.

2. Khái niệm cực tri của hàm số
Giả sử hàm số f (x) xác định trên tập hợp D và x0∈ D
+ x0 là điểm cực tiểu của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa x 0
sao cho (a;b) ⊂ D và
+ x0 là điểm cực đại của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa x 0
sao cho (a;b) ⊂ D và


PHẦN II : NỘI DUNG
DẠNG 1: Các bài toán cực tri của hàm số
Để giải quyết các bài toán cực trị của hàm số
ba cách sau:

ta có dùng một trong

Cách 1: Lập bảng biến thiên của hàm số
Cách 2: Sử dụng phép biến đổi đồ thi

Ta có
Từ đồ thị
suy ra đồ thị
bằng cách:
+ Giữ nguyên phần đồ thị của (C) ở phía trên trục hoành (kể cả những
điểm nằm phía trên trục hoành).
+ Lấy đối xứng phần đồ thị của (C) ở phía dưới trục hoành qua trục
hoành.
+ Bỏ phần đồ thị của (C) phía dưới trục hoành.
Cách 3: Sử dụng kết quả của nhận xét sau:
Nhận xét 1:
Gọi k là số điểm cực trị của hàm số y = f(x); h là số nghiệm đơn của

phương trình f(x) = 0; e là số nghiệm bội lẻ của phương trình f(x) = 0, thì
số điểm cực trị của hàm số
bằng k + h + e
Để chứng minh nhận xét trên, trước tiên ta chứng minh bổ đề sau:
Bổ đề: Nếu
là điểm tới hạn của hàm số y = f(x) thì
của hàm số g(x)=| f(x)|
Chứng minh bổ đề:
+ Ta có

cũng là điểm tới hạn


+ Theo giả thiết,

là điểm tới hạn của hàm số

nên

xác định và

không xác định.
+) Ta có

. Vì

xác định. Vậy

xác định nên

xác định. (*)

+ Ta có

. Vì

không xác định. Vậy

không xác định nên

không xác định.(**)

Từ (*), (**) suy ra cũng là điểm tới hạn của hàm số g(x)=| f(x)|
Chứng minh nhận xét 1
Thật vậy
+ Theo giả thiết, y = f(x) có k điểm cực trị
có m nghiệm đơn, n
nghiệm bội lẻ và f(x) có t điểm tới hạn với m + n + t = k. (*)
+ Theo giả thiết, h là số nghiệm đơn của phương trình
bội lẻ của phương trình

+

; e là số nghiệm

(**)

;

Theo (*), (**) ta có số điểm cực trị của hàm số

bằng k + h + e

Nhận xét 2: Số điểm cực trị của hàm số
của hàm số y = f(x).
Thật vậy

bằng số điểm cực trị


+) Theo giả thiết y = f(x) có k điểm cực trị
có m nghiệm đơn, n
nghiệm bội lẻ và t điểm tới hạn mà m + n + t = k. Giả sử các nghiệm đó là

+)

có

;

có k giá trị
(gồm nghiệm đơn, nghiệm bội lẻ, điểm tới hạn). Vậy
cực trị.
Hay số điểm cực trị của hàm số
y = f(x).
1.1.Bài toán cơ bản: “Cho hàm số

bằng số điểm cực trị của hàm số
. Hỏi số điểm cực trị của hàm số

”
Bài 1:
Cho hàm số

có đồ thị (C) như hình vẽ. Tìm số điểm

cực trị của hàm số
Lời giải
Từ đồ thị (C) ta suy ra đồ thị (C’) của hàm số
Cách 1:
(theo phép suy ra đồ thị )
Nhìn đồ thị (C’), ta thấy hàm số
có 5 điểm cực trị
Cách 2:
+ Hàm số y = f(x) có 2 điểm cực trị
+ Phương trình f(x) = 0 có 3 nghiệm đơn
+ Phương trình f(x) = 0 có 0 nghiệm bội lẻ
Vậy số điểm cực trị của hàm số

có k điểm

bằng 2+3+0 = 5


Bài 2

: Cho hàm số

có đồ thị (C) như hình vẽ. Tìm

số điểm cực trị của hàm số
Lời giải
Cách 1:
Từ đồ thị (C) ta suy ra đồ thị (C’) của hàm số
Nhìn đồ thị (C’) , ta thấy hàm số có 5 điểm cực trị.
Cách 2:
+ Hàm số y = f(x) có 3 điểm cực trị.
Phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm đơn.
Phương trình f(x) = 0 có 0 nghiệm bội lẻ .
Vậy số điểm cực trị của hàm số
Bài 3:
Cho hàm số

bằng 3 + 2 + 0 = 5.
x
-1

có bảng biến thiên

y’
y

+

như hình vẽ. Đồ thị hàm số
có
bao nhiêu điểm cực trị?
Lời giải + Đồ thị hàm số y = f(x) có 2 điểm cực trị.
+ Phương trình f(x) = 0 có 1 nghiệm đơn.
+ Phương trình f(x) = 0 có 0 nghiệm bội lẻ.

0
5

3
-

0

+

1

Vậy số điểm cực trị của hàm số 2 + 1 + 0 = 3.
Bài 4: Cho hàm số

có bảng biến thiên như hình vẽ. Đồ thị hàm số

có bao nhiêu điểm cực trị ?
x
y’
y

-1
-

0

0
+

0

0
3

1
-

0

+

0

Lời giải
+ Đồ thị hàm số y = f(x) có 3 điểm cực trị.
+ Phương trình f(x) = 0 có 0 nghiệm đơn (Phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm bội chẵn)
+ Phương trình f(x) = 0 có 0 nghiệm bội lẻ.
Vậy số điểm cực trị của hàm số

là 3 + 0 + 0 = 3.


Bài 5: Hàm số
Lời giải

Xét
+

có bao nhiêu điểm cực trị?

có
x

0

y’
y

-

0

+

0
3

-

0

-1
+ Hàm số

-1

có 3 điểm cực trị.

+ Phương trình

có 3 nghiệm đơn.

+ Phương trình

có 0 nghiệm bội lẻ Suy ra số điểm cực trị của hàm

số
Bài

là 3 + 3 + 0 = 6.
6: Tính tổng các giá trị cực đại của hàm số

Lời giải

Xét

có
x

0

y’
y

-

0

+

-6
+ Hàm số

có 2 nghiệm đơn.

+ Phương trình

có 0 nghiệm bội lẻ.

Suy ra, số điểm cực trị của hàm số

-

0
-6

có 3 điểm cực trị.

+ Phương trình

0
2

là 5.


Các điểm cực đại của đồ thị hàm số là A(

;6), B(

Tổng các giá trị cực đại của hàm số

là 12.

Bài 7: Biết đồ thị hàm số
Hàm số

;6).

cắt trục hoành tại đúng 2 điểm.
có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải
+ Vì đồ thị hàm số

cắt trục hoành tại đúng 2 điểm nên hàm số
có hai điểm cực trị

+

Mặt

.

khác

.

Do

đó

phương

trình

có 1 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép.
Vậy số điểm cực trị của hàm số
Bài

8: Biết đồ thị hàm số

bằng 2 + 1 = 3.
có hai điểm cực trị nằm về hai phía

so với trục hoành. Số điểm cực trị của hàm số
Lời giải
Đồ thị hàm số
hoành nên

có hai điểm cực trị nằm về hai phía so với trục
có 3 nghiệm đơn.

Vậy số điểm cực trị của hàm số
Bài 9: Cho hàm số

là 3 + 2 =5.
với

. Hàm số

có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải

Theo giả thiết ta có

để

Điều đó chứng tỏ rằng, phương trình

có 4 nghiệm phân biệt. Do đó, hàm số

phải có 3 điểm cực trị. Vì vậy, hàm số

có 4 + 3 = 7 điểm cực trị

Bài 10: Tính tổng các giá trị của tham số m để hàm số

y = x 3 − 3x 2 − 9 x − 5 +

m
2 có

5 điểm cực trị.
Lời giải
Vẽ đồ thị hàm số

Ta thấy hàm số
Yêu cầu bài toán

f ( x ) = x 3 − 3x 2 − 9 x − 5

có 2 điểm cực trị nên
Û

số giao điểm của đồ thị

Để số giao điểm của đồ thị
thị

cũng có 2 điểm cực trị.
với trục hoành là 3.

với trục hoành là 3 ta cần tịnh tiến đồ

theo phương Oy lên trên một đoạn có độ dài nhỏ hơn 32 đơn vị

Vì
tham số m là 2016.

nên

. Vậy tổng các giá trị của


Bài 11: (HSG Vĩnh Phúc 2018-2019). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để hàm số

có đúng năm điểm cực trị.

Lời giải Xét hàm số
Bảng biến thiên hàm số
x
y’
y

0

2

0

0

m-2
m-6

Hàm số đã cho có đúng 5 điểm cực trị

phương trình f(x) = 0 có đúng 3

nghiệm phân biệt

.

Vậy với

thì hàm số đã cho có đúng 5 điểm cực trị.

Bài 12: (Câu 43 đề minh họa 2018 của Bộ GD&ĐT).
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
có 7 điểm cực trị?
Lời giải

Xét hàm số

để hàm số

có

Lập BBT của đồ thị hàm số
x
y’
y

ta có
-1

-

0
m-5

Để đồ thị hàm số
0 có đúng 4 nghiệm phân biệt:

0
+

0
m

2
-

0

+

m-32
có 7 điểm cực trị

phương trình f(x) =


Vì
Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài 13: Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số
có đúng 3 điểm cực trị.
Lời giải
Xét

Tính được
Bảng biến thiên của hàm số g(x)

x
g’
g

a
-

0
g(a)

+

1

3

0
g(1)

0

+

m

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra đồ thị hàm số g( x) có

3

điểm cực trị.

Suy ra đồ thị hàm số
có 3 điểm cực trị
khi và chỉ khi đồ thị hàm số g(x) nằm hoàn toàn phía trên trục Ox (kể cả tiếp
xúc)
1.2.Bài toán mở rộng 1: “Cho hàm số
số

. Hỏi số điểm cực trị của hàm

”

Bài 1: Cho hàm số

có đồ thị như hình vẽ. Hàm số

có bao nhiêu điểm cực trị?
Lời giải
Cách 1: Từ đồ thị hàm số

Từ đồ thị hàm số

suy ra đồ thị hàm số

suy ra đồ thị hàm số

Nhìn đồ thị hàm số

ta thấy,hàm số

Cách 2: Nhìn đồ thị hàm số
+ Đồ thị hàm số

có 7 điểm cực trị?

ta thấy

có 3 điểm cực trị.

+ Phương trình

có 4 nghiệm đơn.

+ Phương trình

có 0 nghiệm bội lẻ.

Suy ra, hàm số

có 3 + 4 = 7 điểm cực trị.

+ Vì số điểm cực trị của hàm số
nên hàm số
Bài 2: Cho hàm số

bằng số điểm cực trị của hàm số

có 7 điểm cực trị.
có đạo hàm

có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?

. Hàm số


Lời giải

+

;

Suy ra hàm số

có 3 điểm cực trị.

+ Số giao điểm của đồ thị
trình

và trục hoành nhiều nhất là 4 hay phương

có nhiều nhất 4 nghiệm.

Vậy hàm số

có nhiều nhất 3 + 4 = 7 điểm cực trị.

Vậy hàm số
cực trị.

có nhiều nhất 3 + 4 = 7 điểm

Bài 3 : Cho hàm số

có đồ thị như hình vẽ

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
có

để hàm số

điểm cực trị ?

Lời giải
Từ đồ thị hàm số ta thấy: Hàm số
Hàm số

có điểm cực trị dương.

có 2.2 + 1 = điểm cực trị.

Hàm số

có điểm cực trị với mọi m.

Vậy có vô số giá trị m để hàm số
1.3.Bài toán mở rộng 2: “Cho hàm số
số

”

có

điểm cực trị.

. Hỏi số điểm cực trị của hàm


Bài 1: Cho đồ thị của hàm số

như hình vẽ.

Tìm số điểm cực trị của đồ thị hàm số
Lời giải
Cách 1: Từ đồ thị của hàm số

:
suy ra đồ thị hàm

số
Từ

đồ thị của hàm số

suy ra đồ thị hàm số

Dựa vào đồ thị hàm số

suy ra có 5 điểm cực trị

Cách 2:
+ Hàm số y = f(x) + 2có 3 điểm cực trị.
+ Phương trình f(x) + 2 = 0 có 2 nghiệm đơn.
+ Phương trình f(x) + 2 = 0 có 0 nghiệm bội lẻ.
Vậy số điểm cực trị của hàm số

bằng 3 + 2 + 0 = 5.

2: Cho hàm số
có đồ thị như hình bên dưới.
Bài
Tính tổng các tung độ của các điểm cực trị của đồ thị hàm
số
Lời giải
Đồ thị hàm số
- Tịnh tiến đồ thị hàm số

có được bằng cách
theo phương Oy lên 4 đơn vị ta được

- Lấy đối xứng phần phía dưới trục Ox của đồ thị hàm số
được

qua trục Ox ta


Dựa vào đồ thị hàm số
suy ra tọa độ các điểm cực trị là (-1 ;0),
(0 ;4), (2 ;0). Vậy tổng tung độ các điểm cực trị bằng 0 + 4 + 0 = 4
xác định, liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên như

Bài 3: Cho hàm số
hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số
x

có bao nhiêu điểm cực trị ?
-1

y’
y

+

3

0
2018

-

0

+

-2018
Lời giải
có được từ đồ thị f ( x) bằng cách tịnh tiến

Đồ thị hàm số
đồ thị

sang phải 2017 đơn vị và lên trên 2018 đơn vị.

Suy ra bảng biến thiên của
x
u’
u

2016
+

0
4036

2020
-

0

+

0
+ Hàm số y = u(x) có 2 điểm cực trị.
+ Phương trình

có 1 nghiệm đơn.

+ Phương trình

có 0 nghiệm bội lẻ.

Vậy số điểm cực trị của hàm số

bằng 2 + 1 + 0 = 3.


Cho hàm số
xác định trên
và liên tục trên từng khoảng
Bài 4:
xác định, có bảng biến thiên như hình vẽ. Tính tổng tung độ các điểm cực trị của
đồ thị hàm số
x

-1

y’
y

-

3

||

-

||

0

+

-1

Lời giải
Bảng biến thiên của hàm số

như hình vẽ
-1

x
g’
g
+

Đồ

thị

hàm

-

3

||

-

||

0

+

-4

số

có 1 điểm cực trị A(3;-4) nên đồ thị hàm số
điểm cực trị là A’(3;4)

có 1

Phương trình
có 3 nghiệm đơn nên đồ thị hàm số
điểm cực trị đều có tung độ là 0.

có 3

Vậy số điểm cực trị của hàm số

bằng 1+ 3 + 0 = 4

Suy ra tung độ các điểm cực trị là 4 + 0 + 0 + 0 = 4
Bài 5: Cho hàm số

thỏa mãn

và có đạo hàm

. Hàm số

có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải

+
+ Bảng biến thiên

;

.

x
y’
y

-2
+

0
0

0
-

0
y(0)

2
+

0
0

-


+ Phương trình

có 0 nghiệm đơn.

+ Phương trình

có 0 nghiệm bội lẻ.

Vậy hàm số

có 3 + 0 = 3 điểm cực trị.

Bài 6: Cho hàm số

biết

số điểm cực trị của đồ thị hàm số
Lời giải

và

. Tìm

.

Cách 1: Đặt

+ Từ giả thiết

đồ thị hàm số h(x) có 3 điểm cực trị.

+ Ta có

phương trình

thuộc khoảng

có nghiệm

có 4 nghiệm phân biệt (dáng điệu của hàm trùng

phương). Vậy hàm số

có 7 điểm cực trị.

Cách 2:Với bài tập trắc nghiệm ta có thể tìm đáp số theo cách sau:

Chọn
Vẽ phác họa đồ thị hàm số

, ta thấy đồ thị hàm số

có 7 điểm cực trị.
Bài 7: Cho hàm số
thực. Tìm số điểm cực trị của đồ thị hàm số
Lời giải

với m là tham số


Cách 1: Ta có:

Suy ra
+

;
có 3 nghiệm đơn phân biệt vì

hàm số

với mọi m (hay

có 3 điểm cực trị)

+
.
vô nghiệm. Vậy hàm số
có 3 cực trị.
Cách 2: (Trong bài trắc nghiệm để tìm nhanh kết quả ta nên đặc biệt hóa
bài toán)

. Ta đi tìm số điểm cực

Ta cho m = 0, ta được hàm số
trị của hàm số

x = 0

⇔ x = 2
f ( x ) − 1 = x 4 − 4 x 2 + 16 ⇒ g ′ ( x ) = 4 x3 − 8 x g ′ ( x ) = 0 ⇔ 4 x3 − 8 x = 0  x = − 2
Đặt
;
.

Bảng biến thiên
x
g’
g

0
-

0

+

12

Do đồ thị hàm số
số
trị của hàm số

0
16

-

0

+

12

nằm hoàn toàn bên trên trục hoành nên đồ thị hàm

cũng chính là đồ thị của hàm số
là 3 .

. Khi đó số điểm cực


Bài 8: Cho hàm số

y = f ( x)

có đồ thị như hình vẽ. Tìm tất cả

các giá trị thực của tham số m để hàm số
có 5 điểm cực trị
Lời giải
Vì hàm

đã cho có 2 điểm cực trị nên

cũng có 2 điểm

cực trị.
Để hàm số

có 5 điểm cực trị

số giao điểm của đồ thị

với trục hoành là 3.
Để số giao điểm của đồ thị
Tịnh tiến đồ thị

với trục hoành là 3, có 2 trường hợp xảy ra

theo phương Oy xuống phía dưới một đoạn có độ dài nhỏ

hơn 1 đơn vị
Tịnh tiến đồ thị

theo phương Oy lên trên một đoạn có độ dài nhỏ hơn 3

đơn vị

Vậy
Bài 9: Cho hàm số

thoả mãn
. Tìm số điểm cực trị của hàm số

Lời giải

Xét

, ta có


Do đó đồ thị hàm số
số

cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt và suy ra hàm

có hai điểm cực trị

Vậy số điểm cực trị của đồ thị hàm số

là 2 + 3 = 5

BÀI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG 1
Câu 1: Đồ thị hàm số
A. 3

có bao nhiêu điểm cực trị?
B. 0

C. 1

D. 2

Câu 2: Số điểm cực trị của hàm số
A. 2

là:

B. 1

C. 4

Câu 3: Cho hàm số
xác định trên
xác định, có bảng biến thiên như hình vẽ.

Đồ thị hàm số
A. 4

D. 3
và liên tục trên từng khoảng

có bao nhiêu điểm cực trị?
B. 3

Câu 4: Cho đồ thị của hàm số

Số cực trị của đồ thị hàm số

C. 1
như hình vẽ.

là:

D. 2


A. 5

B. 2

C. 3

Câu 5: Cho đồ thị của hàm số
của đồ thị hàm số
A. 5
Câu

D. 4

như hình vẽ. Số cực trị
là:

B. 6

C. 7

D. 4

6: Cho hàm số bậc ba

với

và

A. 1

A. 1

,

. Tìm số điểm cực trị của đồ thị hàm số

B. 5

C. 3

Câu 7: Cho hàm số
trị của hàm số

, biết

với

D. 7

,

và

. Số cực

là:
B. 5

C. 3

D. 7

Câu 8: Cho hàm số

, với

m là tham số. Tìm số cực trị của hàm số
A. 2

B. 5

Câu 9: Có bao nhiêu số nguyên

C. 4

D. 7

để hàm số

có

đúng 5 điểm cực trị
A. 12

B. 15

C.16

D. 17

DẠNG 2: Các bài toán cực tri của hàm số
Để giải quyết các bài toán cực tri của hàm số
cách sau:
Cách 1: Lập bảng biến thiên của hàm số

ta dùng một trong ba


Cách 2: Sử dụng phép biến đổi đồ thi: Từ đồ thị

suy ra đồ thị

Cách 3: Để giải quyết các bài toán trên ta vận dụng nhận xét sau:
Nhận xét: Gọi k là số điểm cực trị dương của hàm số
trị của hàm số

thì số điểm cực

bằng 2k + 1

Thật vậy

+ Theo giả thiết k là số điểm cực trị dương của hàm số

có k

nghiệm dương
+ Vì đồ thị

và

đồ thị đối xứng nhau qua Oy

có k

nghiệm âm
+ Vì đồ thị hàm số

và đồ thị hàm số

đối xứng nhau qua trục

Oy nên f’(x) đổi dấu khi qua điểm x = 0
Vậy số điểm cực trị của hàm số
2.1 Bài toán cơ bản.

bằng 2k + 1

“Cho đồ thị của hàm số

. Hỏi số điểm cực trị của

hàm số
Bài 1: Cho hàm số

có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số

có bao nhiêu điểm cực trị?
Lời giải


Cách 1: + Từ đồ thịhàm số

ta suy ra đồ thị hàm số

Dựa vào đồ thị hàm số

có 7 cực trị.

Cách 2: + Hàm số

có 3 điểm cực trị dương

+ Theo cách giải 3, hàm số

Bài

2: Cho hàm số

có 3.2 + 1 = 7điểm cực trị
xác định và liên tục trên

, có bảng biến thiên như

hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của hàm số
x

1

-2

y’

+

y

0

-

0

4
+

f(-2)

0

-

f(4)
f(1)

Lời giải
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm bên phải trục tung.
Theo cách giải 3, suy ra số điểm cực trị của hàm số
Bài 3: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm

là 2.2 + 1 = 5
với

Tìm số điểm cực trị của hàm số

Lời giải Ta có
Vì

có 2 nghiệm bội lẻ (x = -3 và x = 2) nên hàm số y = f(x) có 2 điểm

cực trị.
Hàm số y = f(x) có 1 điểm cực trị dương nên

có 3 điểm cực trị.


Bài 4: Có bao nhiêu số nguyên

để hàm số

có đúng 5 điểm cực trị.
Lời giải
Hàm số

có đúng 5 điểm cực trị.
có hai điểm cực trị dương

có hai nghiệm

dương.

có hai nghiệm dương.

2.2 Bài toán mở rộng 1.

“Cho đồ thị của hàm số

. Hỏi số điểm cực trị

của hàm số
Bài 1: Cho hàm số
Hàm số
Lời giải

có đồ thị như hình vẽ bên.
có bao nhiêu điểm cực trị?

Cách 1: + Từ đồ thị của hàm số

suy ra đồ thị hàm số

.
Nhìn đồ thị ta thấy,hàm số
Cách 2:

có 7 điểm cực trị.


Bảng xét dấu g’(x)
x

-a+1

-1

0

1

2

3

y’
0
+
- 0 + || Vậy đồ thị hàm số đã cho có 7 điểm cực trị .

0

Bài 4: Cho hàm số đa thức bậc bốn

có 3 điểm cực trị

Có bao nhiêu số nguyên

để hàm số

+

0

a+1
-

+

.

có 7 điểm cực trị.

Lời giải
Hàm số

có 7 cực trị

Các điểm cực trị của hàm số

có 3 điểm cực trị lớn hơn -m

là

Vậy ta có điều kiện là
2.3 Bài toán mở rộng 2.

của hàm số

“Cho đồ thị của hàm số

. Hỏi số điểm cực trị