(Luận văn thạc sĩ) Dạy toán theo hướng tiếp cận phát triển năng lực biểu diễn toán học ở lớp 10 THPT

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NÔNG THỊ PHƯƠNG

DẠY TOÁN THEO HƯỚNG TIẾP CẬN
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC BIỂU DIỄN
TOÁN HỌC Ở LỚP 10 THPT

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÁI NGUYÊN - 2020


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NÔNG THỊ PHƯƠNG

DẠY TOÁN THEO HƯỚNG TIẾP CẬN PHÁT TRIỂN
NĂNG LỰC BIỂU DIỄN TOÁN HỌC Ở LỚP 10 THPT
Ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 8140111

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đào Thái Lai

THÁI NGUYÊN - 2020

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi hoàn thành
dưới sự hướng dẫn, giúp đỡ tận tình của PGS.TS Đào Thái Lai và nhiều thầy, cô
giáo. Những kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công
bố trong bất kì công trình nào khác.
Tác giả

Nông Thị Phương

i


LỜI CẢM ƠN
Luận văn “Dạy toán theo hướng tiếp cận phát triển năng lực biểu diễn toán
học ở lớp 10 THPT” hoàn thành là kết quả quá trình học tập và nghiên cứu của
tác giả cùng với sự hướng dẫn tận tình của nhiều thầy cô, sự giúp đỡ của bạn bè,
đồng nghiệp.
Trước hết, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Đào
Thái Lai, người đã tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu hoàn thiện
luận văn này.
Xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô khoa toán trường Đại
học sư phạm – Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và tạo mọi điều kiện cho tác
giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu. Đồng thời, tác giả xin được gửi lời
biết ơn đến quý tác giả của các công trình, bài báo, luận văn, luận án mà tác giả
dùng làm tài liệu nghiên cứu, tham khảo cho luận văn.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến gia đình và bạn bè đã luôn động
viên, tạo điều kiện, giúp đỡ về mọi mặt để hoàn thành luận văn này.
Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn này chắc chắn không tránh khỏi
những thiếu sót cần được góp ý và sửa chữa. Tác giả rất mong nhận được những
ý kiến, góp ý của các thầy giáo, cô giáo và bạn bè, đồng nghiệp.

Thái Nguyên, tháng 8 năm 2020
Tác giả

Nông Thị Phương

ii


MỤC LỤC
Lời cam đoan ........................................................................................................ i
Lời cảm ơn ........................................................................................................... ii
Mục lục ............................................................................................................iii
Danh mục chữ viết tắt ......................................................................................... iv
Danh mục bảng .................................................................................................... v
Danh mục hình .................................................................................................... vi
MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1
1. Lí do chọn đề tài .............................................................................................. 1
2. Mục đích nghiên cứu ....................................................................................... 4
3. Giả thuyết khoa học ......................................................................................... 4
4. Nhiệm vụ nghiên cứu ...................................................................................... 4
5. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................. 4
6. Phạm vi nghiên cứu ......................................................................................... 5
7. Cấu trúc luận văn ............................................................................................. 5
Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ............................................ 6
1.1 Quan niệm về năng lực, năng lực toán học ................................................... 6
1.1.1 Năng lực...................................................................................................... 6
1.1.2 Năng lực toán học ....................................................................................... 8
1.2 Năng lực biểu diễn toán học .......................................................................... 9
1.2.1 Biểu diễn toán học ...................................................................................... 9
1.2.2 Biểu diễn toán học trong môn toán THPT ............................................... 17

1.2.3 Đặc điểm của biểu diễn toán học trong sách giáo khoa toán 10 .............. 19
1.2.4 Năng lực biểu diễn toán học ..................................................................... 27
1.2.5 Các mức độ, thành tố của năng lực biểu diễn toán học ............................ 28
1.2.6 Ảnh hưởng của năng lực biểu diễn toán học đối với kết quả học tập
môn toán của học sinh THPT .................................................................. 30
1.3 Ngôn ngữ toán học....................................................................................... 32

iii


1.3.1 Ngôn ngữ, ngôn ngữ toán học .................................................................. 32
1.3.2 Ngôn ngữ toán học trong sách giáo khoa toán 10 .................................... 36
1.3.3 Năng lực sử dụng ngôn ngữ toán học ....................................................... 38
1.4 Mối quan hệ giữa năng lực BDTH với năng lực sử dụng NNTH và năng
lực GTTH ................................................................................................ 39
1.4.1 Mối quan hệ giữa năng lực BDTH và năng lực sử dụng NNTH ............. 39
1.4.2 Mối quan hệ giữa năng lực BDTH và năng lực GTTH ............................ 40
1.5 Đặc điểm nhân cách, trí tuệ và hoạt động học tập của HS lớp 10 ............... 41
1.5.1 Đặc điểm nhân cách, trí tuệ của học sinh lớp 10 ...................................... 41
1.5.2 Đặc điểm hoạt động học tập của học sinh lớp 10 ..................................... 42
1.6 Khảo sát thực trạng vấn đề phát triển năng lực BDTH trong dạy học
toán 10 ở trường THPT ........................................................................... 43
1.6.1 Mục đích khảo sát ..................................................................................... 43
1.6.2 Đối tượng khảo sát.................................................................................... 43
1.6.3 Nội dung khảo sát ..................................................................................... 43
1.6.4 Phương pháp khảo sát ............................................................................... 43
1.6.5 Kết quả khảo sát ....................................................................................... 43
1.7 Kết luận chương 1........................................................................................ 47
Chương 2. BIỆN PHÁP BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC BIỂU DIỄN
TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC TOÁN 10 THPT ..... 49

2.1 Định hướng đề xuất các biện pháp phát triển năng lực biểu diễn toán
học cho học sinh trong dạy học toán 10 THPT ......................................... 49
2.2 Biện pháp phát triển năng lực biểu diễn toán học cho học sinh trong dạy
học toán 10 THPT ..................................................................................... 51
2.2.1 Biện pháp 1: Tổ chức cho HS các hoạt động nhận biết, hiểu và sử
dụng đúng các dạng biểu diễn về các đối tượng, quan hệ và các bước
biến đổi toán học ....................................................................................... 51

iv


2.2.2 Biện pháp 2: Tổ chức cho HS các hoạt động liên kết, biến đổi hoặc tạo
ra BDTH trong quá trình tư duy để biểu diễn và biểu diễn để tư duy. ......... 64
2.2.3 Biện pháp 3: Xây dựng và tổ chức các hoạt động học tập theo hướng
tăng cường các hoạt động BDTH .............................................................. 72
2.3 Kết luận chương 2........................................................................................ 82
Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM....................................................... 84
3.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm .................................................................. 84
3.2 Nội dung thực nghiệm sư phạm .................................................................. 84
3.3 Đối tượng thực nghiệm sư phạm ............................................................... 100
3.4 Kết quả thực nghiệm sư phạm ................................................................... 101
3.4.1 Đánh giá định tính .................................................................................. 101
3.4.2 Đánh giá định lượng ............................................................................... 102
3.5 Kết luận chương 3...................................................................................... 105
KẾT LUẬN..................................................................................................... 107
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................. 108
PHỤ LỤC ....................................................................................................... 112

v

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT
Viết tắt

Viết đầy đủ

HS

Học sinh

GV

Giáo viên

BDTH

Biểu diễn toán học

GTTH

Giao tiếp toán học

SGK

Sách giáo khoa

SBT

Sách bài tập

NNTN

Ngôn ngữ tự nhiên

NNTH

Ngôn ngữ toán học

THCS

Trung học cơ sở

THPT

Trung học phổ thông

CTGD

Chương trình giáo dục

PISA

Programme for International Student Assessment
(Chương trình đánh giá học sinh quốc tế)

NCTM

Hội giáo viên Toán Hoa Kỳ

vi

DANH MỤC BẢNG

Bảng 1.1:

Xét dấu nhị thức f(x) = ax + b ....................................................... 11

Bảng 1.2:

Khối lượng của nhóm cá mè thứ 1 ................................................ 18

Bảng 1.3:

Khối lượng của nhóm cá mè thứ 2 ................................................ 19

Bảng 1.4:

Bảng minh họa định lí dấu của tam thức bậc hai .......................... 31

Bảng 1.5

....................................................................................................... 32

Bảng 1.6:

Ý kiến của GV về việc bồi dưỡng năng lực BDTH cho HS ......... 43

Bảng 1.7:

Nhận xét của GV về khả năng hiểu và sử dụng NNTH trong
BDTH của HS lớp 10 .................................................................... 44

Bảng 1.8:

Tự nhận xét của hs lớp 10 về khả năng hiểu và sử dụng NNTH
trong BDTH................................................................................... 44

Bảng 1.9:

GV đánh giá về khả năng sử dụng bdth trong học tập .................. 45

Bảng 1.10: GV nhận xét về việc sử dụng bdth trong giờ học toán.................. 46
Bảng 2.1:

Khối lượng của 30 củ khoai tây thu hoạch được ở nông trường
T..................................................................................................... 66

Bảng 2.2:

Bảng phân bố tần số, tần suất khối lượng của 30 củ khoai tây ..... 67

Bảng 2.3:

Bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp khối lượng của 30 củ khoai
tây. ................................................................................................. 68

Bảng 2.4:

Phân tích đại lượng........................................................................ 75

Bảng 3.1:

Kết quả của hai lớp trước thực nghiệm ....................................... 103

vii


DANH MỤC HÌNH, BIỂU ĐỒ
Hình 1.1:

Minh họa nội dung định lí dấu nhị thức f(x)=ax+b bằng đồ thị ............ 11

Hình 1.2:

Minh họa biểu diễn bằng hình vẽ .................................................. 13

Hình 1.3:

Minh họa biểu diễn bằng công cụ hỗ trợ....................................... 14

Hình 1.4:

Biểu diễn không tiêu chuẩn ........................................................... 16

Hình 1.5:

Minh họa biểu diễn bên ngoài ....................................................... 17

Hình 1.6:

Biểu diễn tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn 3x 2y = 7 ............................................................................................. 21

Hình 1.7:

Minh họa tập nghiệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn................. 22

Hình 1.8:

Biểu diễn hình học miền nghiệm bất phương trình bậc nhất
hai ẩn 2x + y ≤ 3. .......................................................................... 22

Hình 1.9:

(Nguồn: SBT Đại số 10) ............................................................... 24

Hình 1.10: (Nguồn: SBT Đại số 10) ............................................................... 24
Hình 1.11: Minh họa miền nghiệm bằng Graph.............................................. 27
Hình 1.12: Minh họa hình học dấu tam thức bậc hai ...................................... 31
Hình 1.13: (Nguồn: SBT Đại số 10) ............................................................... 34
Hình 1.14: Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt ......................................... 38
Hình 2.1

....................................................................................................... 56

Hình 2.2:

Cổng parabol của trường Đại học Bách khoa Hà Nội .................. 56

Hình 2.3

....................................................................................................... 57

Hình 2.4

....................................................................................................... 58

Hình 2.5

....................................................................................................... 60

Hình 2.6

....................................................................................................... 62

Hình 2.7

....................................................................................................... 63

Hình 2.8

....................................................................................................... 64

Hình 2.9

....................................................................................................... 68

Hình 2.10

....................................................................................................... 68

Hình 2.11

....................................................................................................... 68

viii


Hình 2.12 ........................................................................................................... 69
Hình 2.17

....................................................................................................... 75

Hình 2.18: ....................................................................................................... 78
Hình 2.19

....................................................................................................... 79

Hình 2.20: ....................................................................................................... 79
Hình 2.21: Bản đồ tư duy mẫu ........................................................................ 81
Hình 3.2

....................................................................................................... 87

Hình 3.1

....................................................................................................... 87

Hình 3.3

....................................................................................................... 89

Hình 3.4:

Sơ đồ cây tóm tắt kiến thức ........................................................... 95

Hinh 3.5

....................................................................................................... 98

Hình 3.6

....................................................................................................... 98

Biểu đồ 2.1: Kết quả khảo sát khối lượng khoai tây tại nông trường T .......... 69
Biểu đồ 2.2: Biểu thị sản lượng khai thác và nuôi trồng thủy sản của Việt
Nam năm 2015 – 2018 (đơn vị: triệu tấn). [22] .......................... 77
Biểu đồ 3.1: Tỷ lệ % kết quả học tập môn Toán của HS ............................... 101
Biểu đồ 3.2: Kết quả cả hai lớp trước thực nghiệm ....................................... 103
Biểu đồ 3.3: Kết quả của HS hai lớp sau khi thực nghiệm. ........................... 104

ix


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong bối cảnh hiện nay, Việt Nam có nhiều biến đổi sâu sắc về mọi mặt:
chính trị, kinh tế, văn hóa, xã hội, giáo dục,... Điều này đã đặt ra những thách
thức không nhỏ đối với nước ta. Để đảm bảo phát triển bền vững, nhiều quốc gia
đã không ngừng đổi mới giáo dục để nâng cao chất lượng nguồn nhân lực, trang

bị cho các thế hệ tương lai nền tảng tri thức vững chắc và năng lực thích ứng cao
trước mọi biến động. Đổi mới giáo dục đã đang trở thành nhu cầu cấp thiết của
nhiều quốc gia trong đó có Việt Nam. Hội nghị lần thứ 8 Ban Chấp hành Trung
ương Đảng Cộng Sản Việt Nam (khóa XI) đã thông qua nghị quyết số 29/NQTW ngày 4 tháng 11 năm 2013 về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào
tạo đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị
trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế; Quốc hội đã ban hành
nghị quyết 88/2014/QH13 ngày 28 tháng 11 năm 2014 về đổi mới chương trình,
sách giáo khoa giáo dục phổ thông góp phần đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục
và đào tạo. Mục tiêu mới được nghị quyết này quy định: “Đổi mới chương trình,
sách giáo khoa giáo dục phổ thông nhằm tạo sự chuyển biến căn bản, toàn diện
về chất lượng và hiệu quả giáo dục phổ thông; kết hợp dạy chữ, dạy người và
định hướng nghề nghiệp; góp phần chuyển nền giáo dục nặng về truyền thụ kiến
thức sang nền giáo dục phát triển toàn diện cả về phẩm chất và năng lực, hài hòa
đức, trí, thể, mĩ và phát huy tốt nhất tiềm năng của mỗi học sinh”. Chương trình
giáo dục phổ thông môn toán (Ban hành kèm Thông tư số 32/2018/TT-BGDĐT
ngày 26 tháng 12 năm 2018 của Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo) đã xác định
mục tiêu chung và một trong số đó là: “Hình thành và phát triển năng lực toán
học bao gồm các thành tố cốt lõi sau: năng lực tư duy và lập luận toán học; năng
lực mô hình hóa toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao
tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện toán học”. [5]

1


Niss Mogens đã xác định năng lực toán phổ thông gồm 8 năng lực thành
phần: tư duy toán học, giải quyết vấn đề, mô hình hóa, suy luận, biểu diễn, kí
hiệu và hình thức hóa, giao tiếp, công cụ và phương tiện. Niss Mogens cũng xác
định năng lực giao tiếp toán học và năng lực biểu diễn toán học thuộc cụm năng
lực sử dụng ngôn ngữ và các công cụ toán học dựa trên hình ảnh “Bông hoa năng
lực” [2]. Chương trình québec xác định biểu diễn toán học là tiêu chí trong thang

đo mức độ năng lực giao tiếp bằng ngôn ngữ toán học [42]. Dự thảo chương trình
giáo dục phổ thông mới của Việt Nam xác định biểu diễn toán học cùng với nói,
viết là những kĩ năng cụ thể của năng lực giao tiếp. Nhiều chương trình toán học
phổ thông khác cũng thường xem biểu diễn toán học là một phần của giao tiếp
toán học: Chương trình Michigan (1998), Chương trình New Jessy (1996),...([2],
[39]).
Theo OECD, biểu diễn là một năng lực cơ bản và rất quan trọng cho hiểu
biết toán học [41]. Tác giả Vũ Thị Bình quan niệm: “Năng lực biểu diễn toán học
là khả năng hiểu, sử dụng, lựa chọn, tạo ra và chuyển đổi các biểu diễn toán học
để suy nghĩ, ghi nhớ, mô tả, giải thích, lập luận, kết nối và trao đổi các ý tưởng
trong giải quyết các vấn đề toán học” [2]. Vận dụng tốt năng lực biểu diễn toán
học sẽ giúp học sinh nghe hiểu, đọc hiểu và ghi chép được các thông tin toán học
cần thiết được trình bày dưới dạng văn bản toán học hay do người khác nói hoặc
viết ra dưới các dạng cụ thể khác nhau, có thể đơn giản và dễ hiểu hơn. Sử dụng
được hiệu quả ngôn ngữ toán học (chữ số, chữ cái, kí hiệu, biểu đồ, đồ thị, các
liên kết logic,...) kết hợp với ngôn ngữ thông thường trong trình bày, thảo luận,
tranh luận các vấn đề toán học với người khác. Biểu diễn toán học không chỉ là
công cụ, phương tiện giúp học sinh suy luận, tư duy, phát huy khả năng sáng tạo
toán học mà biểu diễn toán học còn góp phần phát triển khả năng giao tiếp toán
học cho học sinh. Sử dụng biểu diễn toán học phù hợp, chính xác sẽ giúp quá
trình giao tiếp toán học được hiệu quả.
Vai trò quan trọng của năng lực biểu diễn toán học trong việc dạy và học
toán là không thể phủ nhận. Do đó, đã có nhiều nhà nghiên cứu, các tác giả cả

2


trong và ngoài nước nghiên cứu về vấn đề phát triển năng lực biểu diễn toán học
cho học sinh. Nghiên cứu của nhà tâm lý học nhận thức Mĩ J. Bruner đã chỉ ra
có ba hình thức biểu diễn một chủ đề: qua hành động, qua hình ảnh và qua các

kí hiệu ngôn ngữ, mệnh đề, định lí toán học...Clark & Paivio khẳng định có hai
hệ thống biểu diễn bằng lời nói và bằng hình ảnh. Lesh, Landau và Hamilton chỉ
ra năm loại biểu diễn: những kinh nghiệm đời sống thực, các mô hình thao tác,
hình ảnh hoặc sơ đồ, lời nói, biểu tượng viết. Tadao xác định 5 dạng biểu diễn
trong quá trình dạy học toán: biểu diễn thực tế; biểu diễn bằng mô hình thao tác
được; biểu diễn minh họa bằng hình ảnh; biểu diễn bằng ngôn ngữ; biểu diễn
bằng kí hiệu. Tác giả Trần Vui trong nghiên cứu của mình đã khẳng định vai trò
của biểu diễn trực quan động và lợi ích khi sử dụng trong dạy học toán [2].
Luận án tiến sĩ của Vũ Thị Bình (2016) đã nghiên cứu lí luận biểu diễn
toán học và thực trạng bồi dưỡng năng lực biểu diễn toán học trong dạy học môn
toán cho học sinh THCS, tập trung vào học sinh lớp 6, lớp 7. Trong đó, tác giả
đã đề xuất các biện pháp sư phạm bồi dưỡng năng lực biểu diễn toán học cho học
sinh trong dạy học môn toán lớp 6, lớp 7. Và còn nhiều công trình nghiên cứu về
năng lực biểu diễn toán học khác.
Trong thực tiễn dạy học môn toán ở trường phổ thông, giáo viên thì chưa
dành nhiều sự quan tâm cho việc phát triển năng lực biểu diễn toán học cho học
sinh còn học sinh thì thường chỉ tập trung chú ý vào việc tìm ra kết quả mà chưa
chú trọng vào việc biểu diễn chính xác các ký hiệu toán học, mối quan hệ giữa
các đại lượng và cách trình bày, lập luận cho logic, chặt chẽ, khoa học. Để học
tốt môn toán THPT, học sinh cần có trí tưởng tượng phong phú, óc sáng tạo, khả
năng lập luận, diễn đạt theo cả ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học. Chính
vì vậy, việc phát triển năng lực biểu diễn toán học cho học sinh THPT là rất cần
thiết và cần thực hiện ngay từ lớp đầu cấp – lớp 10.
Đã có nhiều nghiên cứu cả trong và ngoài nước về vấn đề phát triển năng
lực biểu diễn toán học trong dạy học môn toán cho học sinh nhưng vấn đề phát
triển năng lực biểu diễn toán học trong dạy học môn toán cho học sinh lớp 10

3

đến hiện tại vẫn chưa có. Đối với môn toán ở cấp THPT, học sinh phải học các
kiến thức sâu và rộng hơn cấp THCS. Đặc biệt là phần hình học không gian là
phần gây nhiều khó khăn cho học sinh. Lớp 10 là lớp đầu cấp THPT, nội dung
môn toán 10 là nền tảng để giúp học sinh học tốt môn toán ở các lớp sau. Chính
vì vậy, tôi muốn đề xuất một số biện pháp phát triển năng lực biểu diễn toán học
cho học sinh trong dạy học môn toán lớp 10 THPT.
Xuất phát từ những lí do trên, tôi chọn nghiên cứu đề tài: Dạy toán theo
hướng tiếp cận phát triển năng lực biểu diễn toán học ở lớp 10 THPT.
2. Mục đích nghiên cứu
Đề xuất một số biện pháp phát triển năng lực biểu diễn toán học cho học
sinh trong dạy học môn toán ở lớp 10 THPT.
3. Giả thuyết khoa học
Trong dạy học toán 10 ở trường THPT, nếu giáo viên chú ý rèn luyện và
phát triển năng lực biểu diễn toán học cho học sinh trên cở sở vận dụng các hoạt
động biểu diễn toán học đặc thù cùng với các biện pháp sư phạm thích hợp sẽ
nâng cao được kết quả học tập môn toán cho học sinh.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về cơ sở lí luận của ngôn ngữ toán học, năng lực toán học,
năng lực biểu diễn toán học.
Nghiên cứu về vấn đề sử dụng ngôn ngữ toán học trong sách giáo khoa
toán 10 THPT.
Thực trạng việc bồi dưỡng, phát triển năng lực biểu diễn toán học cho học
sinh trong dạy học toán 10 ở trường THPT.
Đề xuất các biện pháp bồi dưỡng năng lực biểu diễn toán học cho học sinh
trong dạy học toán 10 THPT.
Thực hiện thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính hiệu quả, tính khả thi của
các biện pháp đã đề xuất.
5. Phương pháp nghiên cứu

4

Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu, thu thập, chọn
lọc và tổng hợp thông tin, nội dung thích hợp về cơ sở lí luận của năng lực, năng
lực biểu diễn toán học. Nghiên cứu các tài liệu về phương pháp dạy học, sách
giáo khoa,....
Phương pháp nghiên cứu quan sát, điều tra, phỏng vấn: Quan sát, điều tra
thực trạng hình thành và phát triển năng lực biểu diễn toán học cho học sinh trong
dạy học môn toán lớp 10 THPT. Xin ý kiến của giáo viên giảng dạy, các chuyên
gia, nhà nghiên cứu về vấn đề nghiên cứu của đề tài.
Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm sư phạm để
đánh giá được tính hiệu quả, tính khả thi của đề tài.
6. Phạm vi nghiên cứu
Tập trung vào xem xét BDTH trong mạch nội dung Số và Đại số.
7. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần “Mở đầu”, “Kết luận” và “Danh mục tài liệu tham khảo”, nội
dung luận văn gồm ba chương:
Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn.
Chương 2: Biện pháp bồi dưỡng năng lực biểu diễn toán học cho học
sinh trong dạy học toán 10 THPT.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

5


Chương 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1 Quan niệm về năng lực, năng lực toán học
1.1.1 Năng lực
Ngày nay, có nhiều quan niệm về năng lực trên phạm vi thế giới và cả

trong nước. Trong từng lĩnh vực, tình huống, ngữ cảnh cụ thể mà “năng lực”
được quan niệm khác nhau.
Trong từ điển tiếng việt, năng lực là khả năng, điều kiện chủ quan hoặc tự
nhiên sẵn có để thực hiện một hoạt động nào đó hoặc phẩm chất tâm lý và sinh
lý tạo cho con người khả năng hoàn thành một công việc nào đó với chất lượng
cao.
Theo triết học, năng lực của con người là sản phẩm của sự phát triển xã
hội. Năng lực hiểu theo nghĩa rộng là những đặc tính tâm lý của cá thể điều tiết
hành vi của cá thể và là điều kiện sống của cá thể [...] Theo nghĩa đặc biệt thì
năng lực là toàn bộ những đặc tính tâm lý của con người khiến cho nó thích hợp
với một hình thức hoạt động nghề nghiệp nhất định đã được hình thành trong
lịch sử [25].
Theo tâm lý học, năng lực là tổ hợp các thuộc tính độc đáo của cá nhân
phù hợp với những yêu cầu của một hoạt động nhất định, đảm bảo cho hoạt động
đó có kết quả tốt. Năng lực không phải là một thuộc tính tâm lý xuất sắc nào đó
mà nó là tổ hợp các thuộc tính tâm lý của cá nhân. Năng lực vừa là tiền đề vừa
là kết quả của hoạt động; là điều kiện cho hoạt động đạt kết quả nhưng đồng thời
năng lực cũng phát triển ngay trong chính hoạt động ấy [25].
Trong khoa học xây dựng và phát triển chương trình giáo dục, “Năng lực
có thể định nghĩa như là một khả năng hành động hiệu quả bằng sự cố gắng dựa
trên nhiều nguồn lực. Những khả năng này được sử dụng một cách phù hợp, bao
gồm tất cả những gì học được từ nhà trường cũng như những kinh nghiệm, những

6


kĩ năng, thái độ và sự hứng thú ngoài ra còn có những nguồn bên ngoài...”
(CTGD Qúebec của Canada); đó là “Một khả năng hành động hiệu quả hoặc là
sự phản ứng thích đáng trong các tình huống phức tạp nào đó” (CTGD của New
Zealand); “Là những kiến thức, kĩ năng và các giá trị được phản ánh trong thói

quen suy nghĩ và hành động của mỗi cá nhân, thói quen, tư duy và hành động
kiên trì, liên tục có thể giúp một người trở nên có năng lực, với ý nghĩa làm một
việc gì đó trên cơ sở có kết thúc, kĩ năng và các giá trị cơ bản” (CTGD của
Indonesia).
Theo Vũ Thị Bình (2016), tác giả Xavier Roegiers khẳng định: Năng lực
là sự tích hợp các kĩ năng tác động một cách tự nhiên lên các nội dung trong một
loại tình huống cho trước để giải quyết những vấn đề do những tình huống này
đặt ra. Quan niệm về năng lực của tác giả Xavier Roegiers gần với giáo dục học.
Hiểu theo nghĩa: năng lực là tập hợp các kĩ năng (các hoạt động) tác động lên
các nội dung trong một tình huống có ý nghĩa đối với học sinh.
Theo Lương Việt Thái (2012), quan niệm về năng lực thích hợp trong bối
cảnh phát triển CTGD phổ thông theo định hướng phát triển năng lực người học:
năng lực là sự kết hợp một cách linh hoạt và có tổ chức kiến thức, kĩ năng với
thái độ tình cảm, giá trị, động cơ cá nhân,...nhằm đáp ứng hiệu quả một yêu cầu
phức hợp của hoạt động trong bối cảnh nhất định. (Theo quan niệm trong CTGD
phổ thông của Qúebec – Canada)
Đỗ Tiến Đạt và nhóm nghiên cứu cũng đã chỉ ra: Nội hàm của khái niệm
năng lực là khả năng thực hiện, là phải “biết làm”, biết giải quyết vấn đề đặt ra
trong cuộc sống và trong học tập chứ không chỉ “biết gì” [16]. Tuy nhiên, phải
biết, phải hiểu cộng thêm ý thức và thái độ mới biết hành động có hiệu quả.
Tuy hiện nay có nhiều quan niệm khác nhau về năng lực nhưng nhìn chung
qua một số nghiên cứu cả trong và ngoài nước, đặc biệt là theo nghiên cứu của
tác giả Vũ Thị Bình (2016) và tác giả Hoàng Hòa Bình (2015), quan niệm về
năng lực đều có sự thống nhất về một số điểm sau:

7


1. Năng lực là thuộc tính cá nhân
2. Được hình thành, bộc lộ và thể hiện qua hoạt động cụ thể nào đó

3. Đảm bảo hoạt động có hiệu quả, đạt kết quả như mong muốn.
Trong CTGD phổ thông 2018[4] của nước ta: Năng lực là thuộc tính cá
nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn
luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức kĩ năng và các thuộc
tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,...thực hiện thành công một loại
hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể. Đây
cũng là quan niệm về năng lực phù hợp với hướng nghiên cứu của luận văn.
1.1.2 Năng lực toán học
Năng lực toán học được khởi xướng và lôi kéo sự chú ý, nghiên cứu của các
nhà khoa học, nhà nghiên cứu,... ngay từ đầu thế kỉ XX. Nghiên cứu về năng lực
toán học được nhiều nhà tâm lý học, toán học, giáo dục toán học cả trong và ngoài
nước nghiên cứu, công bố như công trình nghiên cứu của nhà tâm lý học E. L.
Thorndike, V. A. Krutexki, T. A. Khinchin, Nguyễn Hữu Châu, Nguyễn Bá Kim,
Trần Kiều, Trần Luận,... Tuy nhiên cho đến nay, Năng lực toán học cũng giống
như năng lực đều là một khái niệm chưa được thống nhất.
Qua nhiều công trình nghiên cứu về năng lực toán học của HS phổ thông
ở nước ta, nhiều công trình nghiên cứu đều sử dụng hoặc là dựa trên quan niệm
trong nghiên cứu của V.A.Krutexki: “Những năng lực toán học được hiểu là
những đặc điểm tâm lý cá nhân (trước hết là đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng
những yêu cầu của hoạt động học tập toán và trong những điều kiện vững chắc
như nhau thì nguyên nhân của sự thành công trong việc nắm vững một cách sáng
tạo toán học với tư cách là một môn khoa học, đặc biệt nắm vững tương đối
nhanh, dễ dàng, sâu sắc những kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo trong lĩnh vực Toán
học” [2].

8


Sự thay đổi và phát triển của xã hội nói chung và đặc biệt là sự thay đổi
trong mục tiêu giáo dục đã dẫn đến quan niệm về năng lực toán học cũng có

nhiều thay đổi cho thích hợp hơn.
Theo PISA 2015: “Năng lực toán học là khả năng của một cá nhân biết lập
công thức (formulate), vận dụng (employ), và giải thích (explain) toán học trong
nhiều ngữ cảnh. Nó bao gồm quá trình suy luận toán học, sử dụng các khái niệm,
phương pháp, công cụ để mô tả, giải thích và dự đoán các hiện tượng” [2].
Như vậy, có thể hiểu đơn giản năng lực toán học là khả năng vận dụng vốn
kiến thức toán học vào giải quyết các vấn đề gặp phải trong học tập nói chung,
trong môn toán nói riêng và trong thực tiễn cuộc sống.
Theo Dự thảo CTGD phổ thông tổng thể (2018), các năng lực toán học
cần hình thành và phát triển cho HS bao gồm các thành phần cốt lõi như sau:
Năng lực tư duy và lập luận toán học, năng lực mô hình hóa toán học, năng lực
giải quyết vấn đề toán học, năng lực giao tiếp toán học, năng lực sử dụng các
công cụ và phương tiện toán học. Trong đó, đặc biệt năng lực giao tiếp được xác
định: “Là khả năng sử dụng ngôn ngữ nói, viết và biểu diễn toán học để làm
thuyết trình và giải thích làm sáng tỏ vấn đề toán học”, từ đó có thể thấy năng
lực biểu diễn không được coi là năng lực độc lập.
Trong CTGD phổ thông 2018[4], mục tiêu của cả CTGD THCS và THPT
đều xác định giúp HS phát triển những phẩm chất, năng lực cần thiết. Về năng
lực thì một trong các năng lực cốt lõi cần phát triển cho HS là năng lực toán học:
kiến thức, thao tác tư duy, sử dụng công cụ.
1.2 Năng lực biểu diễn toán học
1.2.1 Biểu diễn toán học
Trong Từ điển từ và ngữ Việt Nam, biểu diễn: “Ghi bằng hình vẽ hoặc kí
hiệu”; “Diễn tả bằng kí hiệu hoặc hình vẽ” (Từ điển Lạc Việt); “Diễn tả bằng
công thức hoặc hình vẽ” (Một số trang từ điển trực tuyến).

9


NCTM (2000) thì cho rằng: “Biểu diễn được hiểu là một tổ chức các hình

ảnh, kí hiệu (dấu hiệu trên giấy,hình vẽ, sơ đồ, biểu đồ, đồ thị, phác thảo hình
học, các phương trình).
Theo tác giả Vũ Thị Bình (2016), BDTH là việc sử dụng, sắp xếp các thuật
ngữ, kí hiệu, hình ảnh (sơ đồ, biểu đồ, hình vẽ, đồ thị, dấu hiệu trên giấy, phác
thảo hình học,...) hay các đối tượng cụ thể hàm chứa nội dung toán học để mô tả,
tượng trưng hoặc đại diện cho một đối tượng, quan hệ hay một quy trình toán
học. BDTH gồm các biểu diễn trên các đối tượng thực (các đối tượng, quan hệ
trong cuộc sống tự nhiên – xã hội), các biểu diễn trực quan (sử dụng các sơ đồ,
biểu, bảng, các hình ảnh cụ thể,...) và các biểu diễn ngôn ngữ (các thuật ngữ,
công thức, kí hiệu toán học,...).
Trong nhiều công trình nghiên cứu của các nhà giáo dục, nhà toán
học,...nhiều tác giả không nói đến thuật ngữ “BDTH” nhưng lại nhấn mạnh đặc
biệt đến ngôn ngữ sơ đồ, ngôn ngữ ký hiệu, ngôn ngữ đồ thị,...khi nói đến NNTH
và đặc biệt nhấn mạnh vấn đề rèn luyện cho HS nắm vững các thuật ngữ toán
học, ký hiệu toán học, phiên dịch xuôi ngược từ ngôn ngữ hàng ngày sang NNTH.
Như với tác giả Nguyễn Bá Kim từ góc độ vận dụng quá trình hoạt động trong
dạy học môn Toán đã xem xét mối quan hệ giữa nội dung môn Toán và hoạt
động của HS và nêu ra hoạt động ngôn ngữ là một trong năm dạng hoạt động chủ
yếu. Tác giả đã xem xét phương trình như dãy kí hiệu hay xét phương trình như
một mệnh đề. Tác giả Hoàng Chúng (1978) thì đề cao vai trò của NNTH trong
phát triển tư duy chính xác ở HS, gián tiếp coi NNTH là thuật ngữ và ký hiệu
toán học. Theo tác giả Lê Văn Hồng (2013): “Trong công trình nghiên cứu của
Phạm Văn Hoàn khi mô tả sự khác biệt giữa NNTH và ngôn ngữ tự nhiên có thể
xem là đã coi NNTH là ngôn ngữ được xây dựng từ các ký hiêu toán học”. Và
còn nhiều tác giả khác như Hà Sĩ Hồ, Đinh Thị Thảo, Trần Ngọc Bích,...hầu hết
đều xác định đặc điểm của NNTH là ngôn ngữ sử dụng ký hiệu toán học, là ngôn
ngữ viết là chủ yếu [16].

10

BDTH và NNTH có mối quan hệ chặt chẽ mật thiết với nhau tương tự như
mối quan hệ giữa lời nói và ngôn ngữ. Theo tác giả Vũ Thị Bình (2016), NNTH
là phương tiện giao tiếp, là công cụ để tư duy dưới dạng vật chất tiềm tàng, còn
biểu diễn là phương tiện, công cụ ở dạng hiện thực hóa, tức là dạng hoạt động,
gắn liền với những nội dung toán học cụ thể.
Ví dụ 1.1: Định lí về dấu của nhị thức bậc nhất trong SGK đại số 10,
trang 89:
Nhị thức f(x) = ax+b có giá trị cùng dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị
𝑏

trong khoảng (− ; +∞), trái dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng
𝑎

𝑏

(−∞; − 𝑎).
Qua chứng minh, nội dung định lí còn có thể được minh họa qua bảng xét
dấu nhị thức f(x)=ax+b:
Bảng 1.1: xét dấu nhị thức f(x)=ax+b
x
f(x)=ax+b

-∞

−
Trái dấu với a

𝑏
𝑎

0

+∞
Cùng dấu với a

Hay minh họa bằng đồ thị:

Hình 1.1: Minh họa nội dung định lí dấu nhị thức f(x)=ax+b bằng đồ thị
Ở ví dụ này, có thể thấy rõ mối quan hệ chặt chẽ của NNTH và BDTH
đồng thời nhấn mạnh vai trò là phương tiện, công cụ dạng vật chất tiềm tàng của
NNTH hay dạng hoạt động của BDTH. Từ đó có thể xác định để học tốt môn
toán nói chung và môn toán nói riêng HS cần rèn luyện phát triển cho bản thân
năng lực sử dụng NNTH và năng lực BDTH.

11


Mỗi công trình nghiên cứu của các nhà khoa học, nhà giáo dục,... lại có
những cách phân loại BDTH khác nhau. Sau đây là một số dạng cơ bản, thường
sử dụng:
Phân loại theo các hình thức sử dụng.
J. Bruner chia biểu diễn thành 3 dạng từ thấp đến cao: Cụ thể: E (Enactive)
→ Hình tượng: I (Iconic) → Kí hiệu: S (Symbolic). Trong đó, “cụ thể” gồm các
biểu diễn thực tế ở mức độ thấp nhất và các biểu diễn thao tác được; “hình tượng”
gồm các biểu diễn trực quan sử dụng các hình ảnh, đồ thị, sơ đồ, biểu bảng,...; “kí
hiệu” gồm các biểu diễn ngôn ngữ và biểu diễn kí hiệu [2].
Tadao lại đưa ra 5 dạng biểu diễn từ cao đến thấp dần [2]:
1. Biểu diễn kí hiệu (S2): Sử dụng kí hiệu toán học (số, chữ cái và các
ký hiệu), ngắn gọn và rõ ràng.

2. Biểu diễn ngôn ngữ (S1): Sử dụng ngôn ngữ toán học hoặc ngôn
ngữ hàng ngày, mang cảm giác quen thuộc nhưng thiếu cô đọng.
3. Biểu diễn minh họa (I): Sử dụng minh họa bằng hình ảnh, sơ đồ, đồ
thị, biểu đồ, giàu tính trực quan và sinh động.
4. Biểu diễn thao tác (E2): Biểu diễn bằng sử dụng công cụ hỗ trợ dạy
học, đó là các mô hình giả định được tạo ra hay là các đối tượng HS
có thể tác động trực tiếp.
5. Biểu diễn thực tế (E1): Các biểu diễn dựa trên trạng thái của đối
tượng thực. Loại biểu diễn này có thể tác động trực tiếp, hết sức cụ
thể và tự nhiên.
Ví dụ 1.2: Khi học bài giá trị lượng giác của một cung (Chương VI – SGK
Đại số 10 CB), có nhiều dạng để biểu diễn định nghĩa các giá trị lượng giác của
một cung như:
S2: Biểu diễn sử dụng kí hiệu toán học
sin 𝛼 = ̅̅̅̅
𝑂𝐾 ; cos 𝛼 = ̅̅̅̅
𝑂𝐻;
tan 𝛼 =

sin 𝛼
cos 𝛼

(cos 𝛼 ≠ 0); cot 𝛼 =

12

cos 𝛼
sin 𝛼

(sin 𝛼 ≠ 0).

↷
↷
có sđ
= 𝛼 ; ̅̅̅̅
𝑂𝐾 = 𝑦; ̅̅̅̅
𝑂𝐻 = 𝑥; M=(x;y).
𝐴𝑀
𝐴𝑀
S1: Biểu diễn bằng ngôn ngữ
Trong đó: cung

Trên đường tròn lượng giác cho cung

↷
↷
có sđ
= 𝛼.
𝐴𝑀
𝐴𝑀

Tung độ y = ̅̅̅̅
𝑂𝐾 của điểm M gọi là sin của 𝛼.
̅̅̅̅ của điểm M gọi là cos của 𝛼.
Hoành độ x = 𝑂𝐻
Nếu cos 𝛼 ≠ 0, tỉ số

sin 𝛼
cos 𝛼

gọi là tang của 𝛼 và kí hiệu là tan 𝛼 (người ta

còn dùng kí hiệu tg 𝛼).
Nếu sin 𝛼 ≠ 0, tỉ số

cos 𝛼
sin 𝛼

gọi là côtang của 𝛼 và kí hiệu là cot 𝛼 (người ta

còn dùng kí hiệu cotg 𝛼).
I: Biểu diễn bằng hình vẽ minh họa

Hình 1.2: Minh họa biểu diễn bằng hình vẽ
E2: Biểu diễn bằng công cụ hỗ trợ như sử dụng các phần mềm hình học:
Geometer’s Sketchpad, Geogebra, Cabri II plus,...

13


Hình 1.3: Minh họa biểu diễn bằng công cụ hỗ trợ
E1: HS thao tác trên đường tròn lượng giác đã vẽ trên giấy của mình.
Hai cách phân loại trên của Tadao và của J. Bruner đều có mối quan hệ
mật thiết với nhau. Cách phân loại của Tadao dựa trên cơ sở nghiên cứu nguyên
tắc EIS của J. Bruner và hệ thống biểu diễn của Lesh nhưng Tadao đưa ra 5 dạng
biểu diễn từ cao đến thấp và luận điểm quan trọng trong nghiên cứu của Tadao
là không quá xem trọng tính tuyến tính của nguyên tắc EIS mà quan tâm đến việc
chuyển đổi giữa các dạng BDTH cũng như trong từng dạng biểu diễn. Thông
thường, HS hay sử dụng biểu diễn kí hiệu và biểu diễn minh họa trong 5 dạng

biểu diễn của Tadao để giải quyết các nội dung toán học gặp phải.
Phân loại theo hoạt động biểu diễn.
Theo Hội giáo viên Toán Hoa Kỳ (NCTM) (2014) gồm có 5 loại hoạt động
của BDTH như sau:
1. Biểu diễn trực quan (Visual): Minh họa, chỉ ra hoặc làm việc với
các ý tưởng toán học bằng cách sử dụng sơ đồ, hình ảnh, trục số, đồ
thị và các hình vẽ khác.
2. Biểu diễn bằng kí hiệu (Symbolic): Ghi nhớ hoặc làm việc với các
ý tưởng toán học sử dụng số, biến, bảng và các ký hiệu khác.

14