Bài toán góc và khoảng cách trong đề tham khảo THPTQG 2020 môn Toán

NHÓM TOÁN VD – VDC

PHÂN TÍCH Đ THAM KH O – 2019-2020

NHÓM VẬN DỤNG - VẬN DỤNG CAO

NĂM HỌC 2019 - 2020
I.

1

PHÂN TÍCH – BÌNH LUẬN CÂU 37

=I

Phân tích

• Nhắc lại các cánh tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau a và b .

NHÓM TOÁN VD – VDC

PHÂN TÍCH ĐỀ THAM KHẢO

Cách 1: Dựng đoạn vuông góc chung (thường dùng khi hai đường vừa chéo và vuông góc)
Cách 2 : Quy về khoảng cách từ đường này đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường
kia , cuối cùng là quy về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng :
Cách 3 : Quy về khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song mỗi mặt chứa một đường.

• Câu 37 đề thi tham khảo: Là bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
trong hình chóp có đường cao cho trước. Một bài ở mức độ Vận Dụng . Có hai ý tưởng nổi bật
trong bài :

⊕ Thứ nhất : Là bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo và không vuông góc với

nhau : Một đường nằm trong mặt phẳng đáy và một đường là cạnh bên. Nên giải quyết vấn

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b :
d (a, b) = d (a, ( P )) = d ( M , ( P )) với : ( P ) ⊃ b, ( P ) / / a, M ∈ a .

Vì bài toán có chân đường cao cho trước nên : Đưa Về bài toán tính khoảng cách từ chân đường
cao đến mặt phẳng bên.
⊕ Thứ hai : Đáy của hình chóp là một hình thang rất hay , rất đặc biệt : từ đó dẫn đến đường

chéo vuông góc với cạnh bên , là rút ngắn cách tính khoảng cách.
2 Lời giải tham khảo

Ngô Tú Hoa và Thoa Nguyễn
Câu 37: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang, AB = 2 a , AD = DC = CB = a . SA
vuông góc với đáy và SA = 3a (minh họa hình dưới đây).

/>
Trang 1

NHÓM TOÁN VD – VDC

đề khoảng cách này có lối mòn đối với học sinh thường dùng đó là cách 2 :


NHÓM TOÁN VD – VDC

PHÂN TÍCH Đ THAM KH O – 2019-2020

A.

3
a.
4

B.

3
a.
2

C.

3 13a
.
13

D.

6 13
a
13

NHÓM TOÁN VD – VDC

Gọi M là trung điểm của AB . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và DM bằng

Lời giải
Chọn A

NHÓM TOÁN VD – VDC

Cách 1.
Ta có DM / / ( SBC ) ⇒ d ( DM , SB ) = d ( DM , ( SBC ) ) = d ( M , ( SBC ) )
Ta có MA = MB = MD = MC = a
Suy ra tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm M , đường kính AB .
Suy ra tam giác ABC vuông tại C

 BC ⊥ AC
⇒ BC ⊥ ( SAC ) ⇒ ( SBC ) ⊥ ( SAC )
 BC ⊥ SA

Như vậy ta có 

Trong mặt phẳng ( SAC ) Dựng AH ⊥ SC tại H suy ra BC ⊥ AH ⇒ AH ⊥ ( SBC )
Nên d ( A, ( SBC ) ) = AH

/>
Trang 2


NHÓM TOÁN VD – VDC

PHÂN TÍCH Đ THAM KH O – 2019-2020

AC = AB 2 − BC 2 = a 3 ; SC = SA2 + AC 2 = 2 3a ⇒ AH =

1
3

d ( A, ( SBC ) ) = a
2
4

NHÓM TOÁN VD – VDC

⇒ d ( M , ( SBC ) ) =

SA. AC 3
= a
SC
2

Cách 2

Gọi I = AC ∩ DM , N là trung điểm của đoạn thẳng SA .
Dễ dàng chứng minh được ( SBC ) // ( MND ) .

) (

) (

NHÓM TOÁN VD – VDC

(

)

Do đó, d ( SB, DM ) = d ( SBC ) , ( MND ) = d B, ( MND ) = d A , ( MND ) .
Trong mp ( SAC ) kẻ AH ⊥ NI , mặt khác, ta chứng minh được MI ⊥ ( SAC )

nên suy ra: AH ⊥ ( MND ) và

(

1
1
1
3a
=
+ 2 ⇒ AH =
.
2
2
4
AH
AN
AI

)

Vậy, d ( SB, DM ) = d A , ( MND ) = AH =

3a
.
4

Hoặc Áp dụng công thức thể tích trong phần tính khoảng cách từ một điểm đến mặt
phẳng.

(

) (

)

d ( SB , DM ) = d ( SBC ) , ( MND ) = d M , ( SBC ) =

II.

3V
1
3a
d A , ( SBC ) = S. ABC =
2
SSBC
4

(

)

Ý TƯỞNG V HƯỚNG PHÁT TRIỂN

=I

1. Ý tưởng 1

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau nằm trên hai mặt bên ,trong hình chóp
có đường cao
/>

Trang 3


NHÓM TOÁN VD – VDC

PHÂN TÍCH Đ THAM KH O – 2019-2020

Câu 1
Chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a 3 . Hình chiếu H của S trên mặt phẳng ( ABC )
là trung điểm cạnh AB và SH = a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SC , MC .Tính khoảng

NHÓM TOÁN VD – VDC

cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AM , BN .

A.

15a
.
4 79

B.

2 237
.
79

C.

2 a 237

.
79

D.

15a 79
79

Lời giải
Chọn C

Do đó

NHÓM TOÁN VD – VDC

+ Gọi E là trung điểm cạnh AC ; K là hình chiếu của N trên HC ⇒ NK / / SH .
8
⇒ d ( AM ; BN ) = d ( A; ( BEN ) ) = d ( C ; ( BEN ) ) = d ( K ; ( BEN ) ) .
5
2
HC
d ( C ; ( BEN ) ) CG
5
3
Vì
=
=
= .
8
d ( K ; ( BEN ) ) KG  2 1 

 −  HC
3 4
KN CN 1
a
+ Ta có:
=
= ⇒ KN = .
SH SC 4
4
+ Gọi I là hình chiếu của K trên BE ⇒ IK / / EC
IK GK 5
5a 3
.
=
= ⇒ KI =
EC GC 8
8

8
8 KN .KI
8
Vậy d ( AM ; BN ) = d ( K ; ( BEN ) ) =
=
5
5 KN 2 + KI 2 5

a 5
. .a 3
2a 237
4 8

=
.
79
a 2 25 2
+ .3a
16 64

2. Ý tưởng 2
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong hình chóp có đường cao

/>
Trang 4


NHÓM TOÁN VD – VDC

PHÂN TÍCH Đ THAM KH O – 2019-2020

Câu 2
Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ) , tam giác ABC đều và SA = AB = a . Gọi M , N lần
lượt là trung điểm của BC và SC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và BN .
a 13
.
13

B.

a 13
.
3

C.

a3 13
.
13

D.

NHÓM TOÁN VD – VDC

A.

a 2 13
.
13

Lời giải
Chọn A

Gọi M ' là trung điểm SC ⇒ MM '/ / BN .
Khi đó d ( AM , BN ) = d ( BN , ( AMM ' ) ) = d ( B, ( AMM ' ) ) =

và S ∆ABM =

1
a
SA =
4
4

NHÓM TOÁN VD – VDC

Do SC = 4M ' C nên d ( M ', ( ABC ) ) =

3.VB. AMM '
.
S ∆AMN

1
a2 3
a3 3
a 3
. Suy ra VM ' ABM =
. Tính được AM =
.
S ∆ABC =
2
8
96
2

Theo công thức độ dài đường trung tuyến trong tam giác ta có

MM ' =

AM ' =

1
1 BC 2 + BS 2 SC 2 1 a 2 + 2a 2 2a 2 a

BN =
−
=
−
= .
2
2
2
4
2
2
4
2
AN 2 + AC 2 NC 2
−
=
2
4

a2
+ a2
a 2 a 10
2
−
=
.
2
8
4

a3 3
a 13
a 2 39
. Vậy d ( AM , BN ) = 2 96 =
=
13
32
a 39
32
3.

Suy ra S ∆AMM '

/>
Trang 5


NHÓM TOÁN VD – VDC

PHÂN TÍCH Đ THAM KH O – 2019-2020

3. Ý tưởng 3
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong hình lăng trụ đứng có đường cao cho
trước và có giả thiết góc gữa mặt bên và mặt đáy

NHÓM TOÁN VD – VDC

Câu 3
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có đáy tam giác ABC là tam giác vuông tại A .
'

Biết AC = 2 3a , M là trung điểm của CC . Góc giữa mặt phẳng ( A′B′M ) và mặt đáy

bằng 30 Khoảng cách giữa hai đương thẳng AB và B′M bằng.

A. 2 3a .

B. 4 3a

C.

6a .

D. 2 6a

Lời giải
Chọn A

NHÓM TOÁN VD – VDC

Ta có: C ′A′M = (( A ' B ′M ) , ( A ' B ′C ′)) = 30 ⇒ CC ′ = 4a ⇒ C ′M = A′ C ′ tan 30 = 2a
Kẻ AN ⊥ AM ( N ∈ A′C ) . Gọi A′M ∩ AN = D .
Khi đó : d ( B′M , AB ) = d ( A, ( A′B′M ) ) = AD =

A′A2
=
AN

( Do A′N =

/>

16a 2
= 2 3a .
16 2
2
16a + a
3
A′A.C ′M 4 3a
=
)
C ′A′
3

Trang 6


NHÓM TOÁN VD – VDC

PHÂN TÍCH Đ THAM KH O – 2019-2020

4. Ý tưởng 4

Câu 4
Cho lăng trụ đều ABC. A ' B ' C ' có AA ' = 2a, AB = a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm

A ' B ' và A ' C ' . Tính khoảng cách giữa các đường thẳng AN và BM
A.

4a 65
.
65

B.

14a 65
.
65

C.

4a 65
.
195

D.

12a 65
.
65

Lời giải

NHÓM TOÁN VD – VDC

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong hình lăng trụ tam giác đều là
hình có đường cao cho trước. Đưa về khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng và được tính bằng
phương pháp thể tích.

Chọn A

NHÓM TOÁN VD – VDC

Gọi N ′ là trung điểm của BC , suy ra BM / / ( ANN ' )
Do đó d ( BM , AN ) = d ( BM , ( ANN ′ ) ) = d ( B, ( ANN ′ ) ) =

Ta có: AN =

AA′2 + A′N 2 =

Suy ra S ∆ANN ′ =
Ta có VB. ANN ′ =

3VB. ANN ′
S ∆ANN ′

a 17
a 3
a 17
, AN ′ =
; NN ' = BM = AN =
2
2
2

a 2 195
.
16

1
1
1 a 2 3 a3 3

AA′.S ABN ′ = .2a. .
=
3
3
2 4
12

a3 3
4a 65
Vậy d ( BM ; AN ) = 2 12 =
65
a 195
16
3.

/>
Trang 7


NHÓM TOÁN VD – VDC

PHÂN TÍCH Đ THAM KH O – 2019-2020

5. Ý tưởng 5
Phục dựng hình ẩn để tìm đường cao trong hình chóp, từ đó tính khoảng cách .

NHÓM TOÁN VD – VDC

Câu 5
Cho hình chóp S . ABC có SA ⊥ AB, SB ⊥ BC , đáy ABC là tam giác đều cạnh a .

Gọi M , N lần lượt là trung điểm SB, BC , biết d ( S , ( ABC ) ) = 2a . Tính khoảng cách giữa
AM và SN .

A.

3 10a
20

B.

3 10a
40

C.

3 5a
40

D.

3 5a
20

Lời giải
Chọn B.

⇒ hình chiếu của M trên ( ABC ) là tâm tam giác đều ABC , nên gọi G là tâm tam

1
d ( S , ( ABC ) ) = a

2
Gọi E là trung điểm BN ⇒ ME / / SN

giác thì MG ⊥ ( ABC ) và MG =

3
d ( G, ( AME ) ) .
2
MG.GF

⇒ d ( AM , SN ) = d ( SN , ( AME ) ) = d ( N , ( AME ) ) =

Kẻ GF ⊥ AE , F ∈ AE ⇒ d ( G , ( AME ) ) =
Ta có

MG 2 + GF 2

GF GA
a
⇒ d (G, ( AME )) =
=
⇒ GF =
EN
EA
39

1
39 1 +

1

39

a=

1
a
2 10

3 1
3 10a
⇒ d ( AM , SN ) = .
a=
2 2 10
40
/>
Trang 8

NHÓM TOÁN VD – VDC

Từ giả thiết ta có hai tam giác vuông SAB và SBC chung cạnh huyền SB
SB
⇒ MA = MB =
= MC .
2


NHÓM TOÁN VD – VDC

PHÂN TÍCH Đ THAM KH O – 2019-2020

6. Ý tưởng 6
Phục dựng hình ẩn để tìm đường cao trong bài toán tính khoảng cách mở rộng trong hình
lăng trụ..

NHÓM TOÁN VD – VDC

Câu 6
Cho lăng trụ tam giác ABC. A′B ′C ′ biết độ dài các cạnh bên 2 2a và B ′C = a 7
, B ′AB = 90 , AB = BC = a , BAC = 30 . Tính khoảng cách d (CC ′, AB ′) .

A.

a 21
.
3

B.

a 21
.
7

C.

a 7
.
7

D.

a 21
.
5

Lời giải
Chọn B

Nên gọi H là hình chiếu của S trên mp ( ABC ) thì H là tâm đường tròn ngoại tiếp

△ ABC .
Lại có △ ABC cân tại B, BAC = 30 ⇒ ABC = 120 ⇒ H là 1 đỉnh của hình thoi ABCH .

△ AHB đều, nên kẻ HE ⊥ AB, E ∈ AB ⇒ EH =

Và có SH =

(

a 3
.
2

2

)

2a − a 2 = a

d ( AB ′, CC ′) = d (C ′, ( SAB )) = d ( H , ( SAB )) =

/>
SH .HE
SH 2 + HE 2

=

a 21
7
Trang 9

NHÓM TOÁN VD – VDC

Tính được △BB ′C vuông tại C . Nên gọi S là trung điểm BB′ thì SA = SB = SC .


NHÓM TOÁN VD – VDC

PHÂN TÍCH Đ THAM KH O – 2019-2020

7. Ý tưởng 7
Phát triển bài toán giả thiết là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Phục dựng
đường cao để xác định giả thiết .Từ đó tính thể tích

Cho khối chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a , SA = SB = a 2 ,
khoảng cách giữa hai đưởng thẳng AB và SC bằng a . Tính thể tích của khối chóp đã
cho bằng

A.

3a 3

.
6

B.

2 3a 3
.
3

C.

2 6a 3
.
3

D.

6a3
.
3

Lời giải

NHÓM TOÁN VD – VDC

Câu 7

Chọn B

S

a 2

A

a

D

M
H
2a

NHÓM TOÁN VD – VDC

B

N

O
C

Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB .
Ta có SA = SB = a 2 nên tam giác SAB cân tại S suy ra SM ⊥ AB .
Gọi N là trung điểm đoạn thẳng CD suy ra MN ⊥ AB .
Do đó AB ⊥ ( SMN ) mà AB ⊂ ( ABCD ) nên ( SMN ) ⊥ ( ABCD ) .
Kẻ SH ⊥ MN ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) . Lại có

SM = SA2 − AM 2 = SA2 −

AB 2
= a ⇒ SM = AM = BM = a
4

hay tam giác SAB vuông cân tại S .
Mặt khác lại có AB / / ( SCD ) .
Nên d ( AB, SC ) = d ( A, ( SCD )) = d ( AB, ( SCD )) = d ( M , ( SCD )) = a = SM

⇒ SM ⊥ SN ⇒ SN = MN 2 − SM 2 = a 3 .
/>
Trang 10


NHÓM TOÁN VD – VDC

PHÂN TÍCH Đ THAM KH O – 2019-2020

Do đó SH .MN = SM .SN ⇔ SH =

SM .SN a 3
và S ABCD = AB 2 = 4a 2 .
=
MN
2

8. Ý tưởng 8
Phát triển bài toán giả thiết là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Phục dựng
đường cao để xác định giả thiết .Từ đó tính thể tích

Câu 8

Cho tứ diện ABCD , có AD = 3a, AB = 2a, BC = 4a, BD = 13a và DAC = 90 . Biết
khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, CD bằng

3 10 a
, tính thể tích của khối tứ
5

NHÓM TOÁN VD – VDC

1
1 a 3
2 3a 3
Vậy VS . ABCD = .SH .S ABCD = .
.
.4a 2 =
3
3 2
3

diện ABCD

A. 6a3 .

B.

6a3 .

C. 2 6a3 .

D. 2 3a3 .

Lời giải
Chọn B
MỘT LÀ : phát triển Khôi phục hình ẩn là hình chóp có đáy là hình bình hành để sử dụng
khoảng cách giữa cặp cạnh đáy và cạnh bên chéo nhau đưa về khoảng cách giữa một điểm thuận
lợi trên cạnh đáy đến mặt bên.

HAI LÀ : Sử dụng giả thiết tìm chân đường cao cho chóp D. ABC , triển khai giả thiết

NHÓM TOÁN VD – VDC

khoảng cách.

Từ giả thiết ta có AD 2 + AB 2 = BD 2 ⇒ DA ⊥ AB ⇒ DA ⊥ ( ABC ) .
Dựng hình bình hành ABEC có EC = AB = 2a .
d ( AB, CD ) = d ( AB, (CDE )) = d ( A, (CDE )) .

Kẻ AK ⊥ CE , AH ⊥ DK AH ⊥ ( DCE )
/>
Trang 11


NHÓM TOÁN VD – VDC

⇒ d ( A, (CDE )) = AH =

PHÂN TÍCH Đ THAM KH O – 2019-2020

DA. AK
2

DA + AK

2

⇒

3. AK
9 + AK

2

=

3a 10
⇒ AK = a 6
5

9. Ý tưởng 9
Phát triển bài toán giả thiết là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Phục dựng
đường cao để xác định giả thiết khoảng cách .Từ đó tính thể tích

Câu 9
Cho tứ diện ABCD có AB = BD = AD = 2a, AC = 7 a , BC = 3a . Biết khoảng cách
giữa hai đường thẳng AB, CD bằng a , tính thể tích của khối tứ diện ABCD .

A.

2a 3 6
.

3

B.

2a 3 2
.
3

C. 2a 3 6 .

NHÓM TOÁN VD – VDC

1
1
⇒ VABCD = .3a. .2a. 6a = 6a 3
3
2

D. 2a 3 2 .

Lời giải
Chọn B
Cách 1.
Xuất phát từ cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau .

NHÓM TOÁN VD – VDC

GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1 :
Phục dựng đường cao để xác định được khoảng cách trong giả thiết
Coi tứ diện là hình chóp D. ABC .

Qua C kẻ tia Cx / / AB . Khi đó d ( AB, CD ) = d ( AB, (CD, Cx )) .
Giả thiết DA = DB suy ra hình chiếu H của D trên đáy thuộc đường thẳng trung
trực đoạn AB , đường thẳng này qua trung điểm M của AB và vuông góc với AB .
Lại có AB 2 + BC 2 = AC 2 ⇒ AB ⊥ AC .
/>
Trang 12


NHÓM TOÁN VD – VDC

PHÂN TÍCH Đ THAM KH O – 2019-2020

Nên qua M dựng MN / / BC , N ∈ Cx ⇒ H ∈ MN và CN ⊥ ( DMN ) .
Trong ( DMN ) kẻ MI ⊥ DN ⇒ MI ⊥ ( DCN ) ⇒ MI = d ( M , ( DCN ))

GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2 : Khai thác giả thiết khoảng cách đã xác định được , và giả
thiết đặc biệt đưa về tam giác đặc biệt . Từ đó tính được đường cao .
Ta có DM = 3 = MN nên △DMN cân đỉnh M ⇒ I là trung điểm DN

⇒ DN = 2 MN 2 − MI 2 = 2 2

⇒ DH =

MI .DN a.2 2a 2 2a
=
=
MN
3a
3

NHÓM TOÁN VD – VDC

Rõ ràng d ( AB, (CD, Cx )) = d ( M , ( DCN )) .Nên ta được MI = a .

1
1 2 2
2 2a 3
VABCD = DH .S ABC = .
.2. 3a 3 =
.
3
6 3
3
Cách 2.
Phục dựng hình chóp đáy là hình bình hành hay các trường hợp đặc biệt của hình bình hành.

NHÓM TOÁN VD – VDC

⊗ Hình quen : Chóp S . ABCD đáy ABCD là hình bình hành thì

d ( AB, SC ) = d ( AB, ( SCD )) = d ( M , ( SCD )) với bất kỳ điểm M ∈ AB .
⊗ Dấu hiệu :

Từ giả thiêt các cạnh ta có được AB2 + BC 2 = AC 2 ⇒ AB ⊥ AC
Nên có nửa hình chữ nhật ABC nên dựng hình chữ nhật ABCE
Ta có chóp D . ABCE có đáy ABCE là hình chữ nhật .
Khi đó a = d ( AB, CD ) = d ( AB, ( CED ) ) = d ( M , ( CED ) ) (Với M là trung điểm AB )

/>
Trang 13

NHÓM TOÁN VD – VDC

PHÂN TÍCH Đ THAM KH O – 2019-2020

Từ giả thiết DA = DB ta có được hình chiếu của D trên đáy thuộc mặt phẳng trung
trực đoạn AB , mặt phẳng trung trực của AB cũng chính là mặt phẳng trung trực của
CE ⇒ DE = DC .

NHÓM TOÁN VD – VDC

Gọi N là trung điểm CD ⇒ CE ⊥ ( DMN ) .
Kẻ MI ⊥ DN ⇒ MI ⊥ ( DCE ) ⇒ MI = d ( M , ( DCE )) = a
Đến đây bài toán được giải quyết.

•
2

Lời giải.
2

AB + BC = AC 2 ⇒ AB ⊥ AC . Dựng hình chữ nhật ABCE .
Do đó ta có hình chóp D . ABCE đáy hình chữ nhật ABCE .
Nên a = d ( AB, CD ) = d ( AB, ( CED ) ) .
Từ giả thiết DA = DB ta có được hình chiếu H của D trên đáy thuộc mặt phẳng
trung trực đoạn AB và đó cũng chính là mặt phẳng trung trực của CE .
Nên gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB, CE thì H ∈ MN

⇒ CE ⊥ ( DMN ) .

Đến đây ta làm như cách 1.

Cách 3.

trụ là một cạnh của tứ diện và một đỉnh của tứ diện thuộc một cạnh bên khác.

•

Lời giải

Từ giả thiết ⇒ AB ⊥ AC
Dựng lăng trụ đứng AGF .BCE có 1 cạnh bên là AB và D là trung điểm EF

⇒ VAGF . BCE = 3.VABCD
Khi đó, vì AB / / (CEFG ) ⇒ d ( AB, CD ) = d ( B, CE ) = BH = a với H ∈ CE , BH ⊥ CE
/>
Trang 14

NHÓM TOÁN VD – VDC

Phục dựng hình lăng trụ đứng có hai mặt bên chứa hai mặt của tứ diện và một cạnh bên lăng


NHÓM TOÁN VD – VDC

PHÂN TÍCH Đ THAM KH O – 2019-2020

1
2 2 3
Ta tính được BE = a 3 = BC ⇒ CE = 2 2a ⇒ S BCE = 2a 2 ⇒ VABCD = . AB.S BCE =

a
3
3

NHÓM TOÁN VD – VDC
NHÓM TOÁN VD – VDC

/>
Trang 15


NHÓM TOÁN VD – VDC

PBM – PHÂN TÍCH ĐỀ THI THAM KHẢO BGD 4/2020

NHÓM TOÁN VD – VDC
PHÂN TÍCH VÀ PHÁT TRIỂN CÂU 49
ĐỀ THI THAM KHẢO BGD 4/2020
Ngô Tú Hoa – Dung Ngô – Nguyễn Thị Hồng Gấm

PHÂN TÍCH Ý TƯỞNG CÂU 49 ĐỀ THI THAM KHẢO
Có hai Nội Dung trọng tâm của câu 49 đó là: Thể tích và Góc giữa hai mặt phẳng
I. Phân tích về bài toán thể tích:
Một bài toán thể tích kiểm tra được hai kỹ năng:
+ Thứ nhất là xác định và tính đường cao.
+ Thứ hai là tính diện tích đáy.
Thì trong bài toán này khó khăn đó là đường cao: Phương của đường cao chưa có và
giá trị của đường cao được cho ẩn trong giả thiết về góc giữa hai mặt phẳng.
Khi đó, để giải bài toán này ta có thể dùng hai con đường:
+ Con đường 1 đi tìm và xác định đường cao của chóp đã cho bằng cách chọn ẩn

là độ dài đường cao . Tìm ẩn qua giả thiết góc. Đó là cách làm 1 và 2 trong bài.
+ Con đường hai khi xác định góc giữa hai mặt phẳng , ta đã đưa yêu cầu tính thể
tích về bài toán tính thể tích của hình dễ xác định đường cao : Đó là giao tuyến của hai
mặt phẳng trong giả thiết góc. Khi đổi đường cao thì ta sẽ định hướng đáy mới theo
đường cao này- Đó là cách 5 trong câu 49 này.
II. Phân tích về bài toán góc giữa hai mặt phẳng :
Trước hết là nhắc lại lý thuyết về góc giữa 2 mặt phẳng phân biệt P và Q cắt
nhau: Gọi

P , Q , 0

90 , ta đưa về góc giữa hai đường thẳng a và

b như sau:

a, b với a

+ Cách 1: Dùng định nghĩa :

P
+ Cách 2: Xác định góc :

P ,b

Q

Q

d,O

d

a, b với O a, a

P ,a

d

O b, b

Q ,b

d

+ Cách 3: Phương pháp khoảng cách :

sin

d M, Q
d M,d

+ Cách 4: Công thức đa giác chiếu : cos

ở đây P

Q

d, M

P

S
.
S

Ở đây: S là diện tích đa giác của đa giác H nằm trên P
/>
Trang 1

N
H
Ó
M
T
O
Á
N
VD
–
VD
C


NHÓM TOÁN VD – VDC

PBM – PHÂN TÍCH ĐỀ THI THAM KHẢO BGD 4/2020
và S là diện tích của đa giác chiếu của đa giác H chiếu trên mp Q .

+ Cách 5: Phương pháp diện tích hai mặt: giả sử

là góc giữa hai mặt ABC và

ABD
2S

VABCD

.S
3 AB

ABC

ABD

3.VABCD . AB
2S ABC .S ABD

sin

.sin

Chú ý : Khi gặp bài góc khó tìm : Ta có thể mở rộng mặt phẳng để góc cần tìm được
nhìn thấy rõ ràng hơn,hoặc áp dụng mặt phẳng song song để đưa về góc giữa hai mặt
phẳng dễ tìm hơn
Tiếp theo Bài toán góc giữa hai mặt phẳng luôn là bài toán khó nhất trong các bài
toán hình học không gian. Câu 49 trong đề thị tham khảo : Bộ đã đưa ra hai vấn đề
khó thường gặp và kiểm tra kiến thức cơ bản về góc
+ Khó thứ nhất là cái khó chung của bài toán hình học không gian, là hình trong
bài không có đường cao cho trước.
+ Khó thứ hai là cái khó riêng của bài toán góc giữa hai mặt phẳng. Ở đây câu 49

này còn kết hợp hết cái khó của bài toán góc: Cho góc giữa hai mặt bên vào giả thiết.
Muốn giải quyết được bài toán này phải khai thác được giả thiết góc.
Tuy nhiên đây đã là bài toán quen , ý tưởng không có gì mới.
Nên chúng ta chỉ cần lần lượt giải quyết hai vấn đề trên. Và nắm vững cách xác định
góc cơ bản.
Giải quyết vấn đề 1:
Tìm đường cao của hình : học sinh phải tìm đường cao bằng cách suy ra từ các quan hệ
vuông góc giữa đường với đường để chứng mình được đường vuông góc với mặt, hay
phục dựng hình ẩn để xác định đường cao.
Giải quyết vấn đề 2:
- Để khai thác được giả thiết góc ta thường làm :
+ Xác định được góc. Trong quá trình xác định góc phải tránh bẫy khi đưa về góc
giữa hai đường thẳng cắt nhau nó là góc không tù.
+ Cần chọn ẩn ( Là chiều cao hay cạnh đáy nếu giả thiết chưa có) sau đó sử dụng giả
thiết góc để tìm ẩn.
- Và có thể sử dụng nhiều phương pháp khác ngoài hai cách truyền thống để tính góc
giữa hai mặt phẳng
- Ta đi chứng minh 1 công thức tính nhanh sau :
Cho hình chóp S. ABCD có SA

SA

h, AB

Gọi

SBC , SDC

Khi đó: cos

a, AD

ABCD ,đáy ABCD là hình chữ nhật , biết

b.

AB AD
.
SB SD

.

a
h2

a2

.

Đặc biệt khi ABCD là hình vuông thì cos

/>
b
h2

1

b2
a2
h2

a2

2 .
Trang 2

N
H
Ó
M
T
O
Á
N
VD
–
VD
C


NHÓM TOÁN VD – VDC

PBM – PHÂN TÍCH ĐỀ THI THAM KHẢO BGD 4/2020

Thật vậy :
Cách 1:
S

F

E

D
A

C

B

Gọi E , F lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD ,
khi đó ta có AE   SBC  và AF   SDC  ,

  SBC  ,  SDC     AE, AF    .

do đó

Khi đó cos =

AE. AF

 3 .

AE. AF

SA
SB

Ta có AE 

AB.SA

SB

suy ra SE 

SA2
SA2
AB 2
SB

AE

AB

AS
SB 2
SB 2
SB 2

Tương tự , AF 
suy ra SF 

* và SE 

AD.SA
SD

N
H
Ó
M

T
O
Á
N
VD
–
VD
C

2

** , SF 

SA2
SD

SA2
SA2
AD 2
SD

AF

AD

AS
SD 2
SD 2
SD 2

Do đó AE. AF 

AB 2 . AD 2
. AS 2
SB 2 .SD 2

*** .

Thay * , ** , *** vào  3 ta được công thức 1 .
Cho a  b ta được  2  .
Cách 2:
Gọi K là hình chiếu của D lên SC , khi đó

sin  

d  D,  SBC  
DK



d  A,  SBC  
DK

AS 2 .SC 2
cos   1  2

SB .SD 2

 SA

2



AE AS . AB
SC
AS .SC



DK
SB SD.DC SB.SD

SB 2 .SD 2  SA2  SA2  AB 2  AD 2 
SB 2 .SD 2

 AB 2  .  SA2  AD 2   SA2  SA2  AB 2  AD 2 
2

SB .SD

2





AD. AB
SD.SB

Cách 3: PP Toạ độ hoá

/>
Trang 3


NHÓM TOÁN VD – VDC

PBM – PHÂN TÍCH ĐỀ THI THAM KHẢO BGD 4/2020

LỜI GIẢI CÂU 49 ĐỀ THI THAM KHẢO NĂM HỌC 2019-2020
Câu 49:

[ ĐỀ THI THAM KHẢO - 2020 ] Cho khối chóp S. ABC có đáy
ABC là tam giác vuông cân tại A, AB

a, SBA

SCA

90 , góc giữa

hai mặt phẳng  SAB  và  SAC  bằng 60 . Thể tích khối chóp đã cho
bằng

a3
B.
.
3

3

A. a .

a3
D.
.
6

a3
C.
.
2
Lời giải

Chọn D
Cách 1:

N
H
Ó
M
T
O
Á
N
VD
–
VD
C

1
a2
AB. AC  .
2
2
Gọi D là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng  ABC  .
Ta có SABC 

 AB  SB
 AB   SBD   AB  BD .
Ta có 
 AB  SD
Tương tự, ta có AC  CD  ABDC là hình vuông cạnh a . Đăt SD  x, x  0 .
Gọi H là hình chiếu vuông góc của D lên SB  DH 

DB.DS
DB  DS
2

2



ax
a  x2
2

.

 DH  SB
ax
 DH   SAB   d  D,  SAB    DH 
Ta có 
.
2
2
 DH  AB
a x

Lại có CD // AB  CD //  SAB   d  C,  SAB    d  D,  SAB    DH .
SCA vuông tại C , có AC  a, SC  x2  a 2 .

Kẻ CK  SA  CK 

CA.CS
CA2  CS 2



a. x 2  a 2
x 2  2a 2

Vì  SAB    SAC   SA  sin   SAB  ,  SAC   

/>
.

d  C ,  SAB  
d  C , SA



DH
CK

Trang 4


NHÓM TOÁN VD – VDC

PBM – PHÂN TÍCH ĐỀ THI THAM KHẢO BGD 4/2020

ax
 sin 60 

2
2
a 2  x 2  3  x x  2a  3 x 2  a 2
2
x2  a2
a x2  a2





2





 4 x 2 x 2  2a 2  x  a .

x 2  2a 2
1
a3
 DH  a . Vậy VS . ABC  SABC .SD  .
3
6
Bình Luận cách 1:
Đây là cách truyền thống cả trong bài tính thể tích và một phương pháp thường gặp trong
bài toán góc giữa hai mặt bên : Đó là sử dụng khoảng cách trong bài toán góc giữa hai mặt
phẳng.

Cách 2:

N
H
Ó
M
T
O
Á
N
VD
–
VD
C

Dựng hình vuông ABDC  SD   ABCD  .
Đặt SD  x, x  0 .
Kẻ DH  SB,  H  SB   DH   SAB  và DH 
Kẻ DK  SC,  K  SC   DK   SAC  và DK 

ax
x a
ax
2

2

x2  a2

.
.

Ta có

SH SK SD 2
x2
x2
x2



 HK // BD  HK  2
BD  2
.a 2 .

SB SC SB 2 x 2  a 2
x  a2
x  a2
Ta có cos SAB , SAC

1
 
2

2 x2a2
2a 2 x 4

x2  a2
x2  a2



2 x2a2
x2  a2

cos HDK



DH 2

DK 2 HK 2
2 DH .DK

2



1
a2
 2
 x  a .  SD  a.
2 x  a2

1
a2
1
a3
Lại có SABC  AB. AC 
. Vậy VS . ABC  SABC .SD  .
2
2
3
6
Bình Luận cách 2:
Đây là cách truyền thống cả trong bài tính thể tích và một phương pháp thường gặp trong
bài toán góc giữa hai mặt bên : Đó là tìm được hai đường mỗi đường vuông góc với một mặt.
( PP dùng định nghĩa)
/>
Trang 5


NHÓM TOÁN VD – VDC

PBM – PHÂN TÍCH ĐỀ THI THAM KHẢO BGD 4/2020

Cách 3:

S

I
D

C

B

A

Ta có hai tam giác vuông SAB và SAC bằng nhau và chung cạnh huyền SA.

N
H
Ó
M
T
O
Á
N
VD
–
VD
C

Kẻ BI   SA  CI   SA

Góc giữa hai mặt phẳng  SAB  và  SAC  là góc giữa hai đường thẳng BI và

CI   BI ; CI   60 .
Có BC  a 2 , BIC cân tại I.
Do BI  CI  AC  a  a 2  BC nên BIC không đều
BIC

120

Từ đó AI 

BI

CI

a 6
.
3

a 3
; AB2  AI .SA  SA  a 3.
3

Dựng hình vuông ABDC  SD   ABDC  .
1
3

Có : SD  SA2  AD 2  a; SABC  a 2  VS . ABC  SABC .SD 

a3

.
6

Bình Luận cách 3:
Đây là cách truyền thống cả trong bài tính thể tích và xác định góc : Một cách cơ bản của bài
toán góc. Khi vai trò đối xứng giữa hai tam giác trong hai mặt của góc tạo thành. Và khi bỏ vai
trò này cách tính toán sẽ khó khăn hơn nhiều sau khi đã dựng được góc.
Cách 4 trắc nghiệm: CÔNG THỨC TÍNH NHANH :
Gọi D là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng  ABC  .

 AB  SB
 AB   SBD   AB  BD .
Ta có 
 AB  SD
Tương tự, ta có AC  CD  ABDC là hình vuông cạnh a .
Đăt SD  h, h  0 .
cos

a2
h

2

a2
a

2

h

2

a

2

1
2

h

a
1
3

SD

Từ đây tiếp tục tính thể tích  VS . ABC  SABC .SD 
/>
a
a3
6

Trang 6


NHÓM TOÁN VD – VDC

PBM – PHÂN TÍCH ĐỀ THI THAM KHẢO BGD 4/2020

Bình Luận cách 4:
Đây là Công thức tính nhanh rất hữu hiệu , nhưng lại đòi hỏi giả thiết đủ điều kiện để thực
hiện công thức. Nên khi thay đổi đáy thì công thức khó sử dụng.

Cách 5:
Sau khi đã tính được SA ta có thể tính thể tích tứ diện một cách ngắn hơn.
BIC

120

Từ đó AI 

BI

CI

a 6
.
3

a 3
;
3

AB2  AI .SA  SA  a 3.
1
1
VS . ABC  SIBC . SI  AI   SIBC .SA .
3
3

1
2

Với SIBC  .IB.IC.sin120 

a2 3
1 a2 3
a3
 VS . ABC  .
.a 3  .
6
3 6
6

N
H
Ó
M
T
O
Á
N
VD
–
VD
C

Bình Luận cách 5:
Đây là ý tưởng đặc sắc trong bài toán thể tích : Đó là chọn đường cao và đáy phù hợp xác
định và tính toán được.

Cách 6:
Sau khi đã tính được
BIC

120

Từ đó AI 

BI

CI

a 3
; AB2  AI .SA  SA  a 3.
3
2

2 SSAC .SSAB
.sin
3
SA

VABCD

a 6
.
3

2 1
CI .SA .sin 60

3SA 2

1 1 6a 2
3
. .
.a 3.
3 2 9
2

a3
6

Bình Luận cách 6:
Đây là một công thức tính nhanh cho bài toán thể tích khi cho góc .

Phát triển 1:
Phát triển đáy từ tam giác vuông cân thành tam giác vuông không cân. Sử dụng
CT khoảng cách để tính góc – Ngoài ra áp dụng CT tính nhanh.
Câu 1:

[PHÁT

SAB

TRIỂN

ABC

SCB

ĐỀ

THI

90 , AB

THAM

10a, BC

KHẢO]

Cho

hình

chóp

S. ABC ,

có

3a và góc giữa hai mặt phẳng SAB và SBC

bằng 45 . Tính thể tích khối chóp S. ABC .
A.

15a 3
.
3

B.

2 15a 3
15a 3
15a 3
.
C.
.
D. P 
.
3
6
2
Tác giả : Dung Ngô – Phản biện : Nguyễn Thị Hồng Gấm

/>
Trang 7


NHÓM TOÁN VD – VDC

PBM – PHÂN TÍCH ĐỀ THI THAM KHẢO BGD 4/2020

Lời giải.

Chọn A
Gọi góc cần tìm là

. Ta sẽ phục dựng hình ẩn là chóp S. ABCD :

SAB , SBC

Giả sử gọi D là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng  ABC  .

AB
Ta có
AB

SA
AB
SD

AD . Tương tự, ta có BC

Nên S. ABCD là hình chóp có SD
Đăt SD

ABCD là hình chữ nhật .

CD

ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật .

1 để tiện tính toán.

0 . Coi a

h, h

N
H
Ó
M
T
O
Á
N
VD
–
VD
C

Cách 1 : Áp dung phương pháp khoảng cách để tính góc :

d A, SBC

d D, SBC

d D, SBC

d A, SB

d A, SB

d A, SB

Ta có : d D, SBC

SD.CD

sin

SA. AB
SB

d A, SB

h2 h2
h

2

13

3 h

2

10

Ta được SD

SD 2

h2

10

h2

3. 10

10 h2

h2

3 10

h2

13

1
2

h4

30

0

13h2

3

h2

2

h

2 .

2a

1
1
. 2. . 3. 10a3
3
2

VS . ABC

10h 2
h2 10

10h

CD 2

1
.
2

15a3
3

Cách 2 : Chứng minh CT tính nhanh . Áp dụng vào bài , ta có :

3
h

2

10

.
3

h

2

10

1
2

h4

13h2

30

0.

Kết quả tính toán như trên.
Bình Luận : Rõ ràng CT tính nhanh giúp giải trắc nghiệm rất hiệu quả.

/>
Trang 8


NHÓM TOÁN VD – VDC

PBM – PHÂN TÍCH ĐỀ THI THAM KHẢO BGD 4/2020

Phát triển 2 :
Phát triển đáy thành hình thang cân.
Phục dựng hình ẩn, Đưa về bài toán gốc – áp dụng CT tính nhanh.
Câu 2:

[PHÁT TRIỂN ĐỀ THI THAM KHẢO] Cho hình chóp S. ABCD , đáy ABCD là hình thang
2a
. Biết SBA SCD 90 , và góc giữa hai
2
mặt phẳng SAB và SCD bằng 60 . Tính thể tích khối chóp S. ABC .

cân có BC / / AD, BC

2 AD

2a, AB

a3 2
B.
.
2

3a 3 2
A.
.
2

CD

3a 3 2
a3 2
C.
.
D.
.
4
4
Tác giả : Dung Ngô – Phản biện : Nguyễn Thị Hồng Gấm
Lời giải

Chọn D
Gọi

SAB , SBC

Gọi E

AB CD

BE

SBE , SCE

CE

a 2

BE 2

CE 2

BEC vuông cân đỉnh E .

BC 2

. Ta đưa về bài toán gốc.

Gọi H là hình chiếu của S trên

ABCD , thì

EB
EB

SB
SH

EB

BH .

Tương tự EC CH . Từ đây ta suy ra tứ giác HBEC là hình vuông cạnh a 2 .

Gọi SH h, h 0 . Áp dụng công thức tính nhanh :
2

a 2
h

1
2

2

2

a 2

h2

2a 2
2

S ABCD

3S AED

VS . ABCD

3 a 2
2 2

1 3a 2

.
.a 2
3 4

h

a 2 .

3a 2
.
4
a3 2
4

/>
Trang 9

N
H
Ó
M
T
O
Á
N
VD
–
VD
C

NHÓM TOÁN VD – VDC

PBM – PHÂN TÍCH ĐỀ THI THAM KHẢO BGD 4/2020

Phát triển 3 :
Phát triển hình đáy là nửa lục giác đều :
– Phục dựng hình ẩn để xác định đường cao
- Áp dụng CT tính nhanh để tìm đường cao .
Câu 3:

[PHÁT TRIỂN ĐỀ THI THAM KHẢO] Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình
thang AB / /CD , AB  2a , AD  DC  CB  a . Biết SAD SBD 90 và góc giữa hai mặt
1
phẳng SAD và SBD bằng , sao cho cos
. Tính thể tích khối chóp S. ABCD .
5
A.

a3 3
.
4

B.

a3 6
.
4

a3 2

a3 6
.
D.
.
4
12
Tác giả: Dung Ngô – Phản biện : Nguyễn Thị Hồng Gấm
C.

Lời giải.

N
H
Ó
M
T
O
Á
N
VD
–
VD
C

Chọn B
Gọi M là trung điểm AB , Ta có MA  MB  MC  MD  a
Suy ra tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm M , đường kính AB .
Suy ra tam giác ABD vuông tại D . Đưa về bài toán có thể sử dụng công thức tính nhanh.
Gọi H là hình chiếu của S trên ABCD thì

BD
BD

SB
SH

BD

SAH

BD

BH .

Nên ADBH là hình chữ nhật và H là điểm đối xứng với D qua M .
Ta có HB
Gọi SH

3
h

2

AD

h . Cho a
1

.
3

a; HA

h

2

1

BD

2a

2

a2

a 3 .

1 . Áp dụng công thức tính nhanh ta có :
1
5

h4

Và tam giác AMD đều cạnh a

4h2 12

S ABCD

/>
0

h2

3S AMD

2

h

3a 2 3
4

2

VABCD

SH

2a

1 3a 2 3
.
.a 2
3
4

a3 6

4
Trang 10