Đại số logic. bài giảng về điện tử số

Tr-êng ®¹i häc kü thuËt c«ng nghiÖp th¸i nguyªn
Khoa ®iÖn tö - Bé m«n Kü thuËt ®iÖn tö
----o0o----
Ch-ơng I
Cơ sở đại số logic và các
phần tử logic cơ b
n
I. C s đại số logic (đại số boole)
Trong mạch số các tín hiệu th-ờng cho ở hai mức
điện áp 0(v) và 5(v). Nhng linh kiện điện tử dùng
trong mạch số làm việc ở một trong hai trạng thái
(ON hoặc OFF). Do vậy để mô ta mạch số ng-ời ta
dùng hệ nhị phân (Binary) hai trạng thái trong mạch
đ-ợc mã hoá t-ơng ứng là "1" hoặc "0". Hệ nhị phân
thể hiện đ-ợc trạng thái vật lý mà hệ thập phân
không thể hiện đ-ợc.
Môn đại số mang tên ng-ời sáng lập ra nó -
ại
số Boole hay còn đ-ợc gọi là đại số logic.
I.1. C¸c kh¸i niệm cơ bản
I.1.1. TÝn hiệu số
Møc logic cao U
H
: 5  U
H
 2 (v).
Ký hi
ệu là “1”
Mức logic thÊp U
L
: 0,8  U

L
 0(v).
Ký hi
ệu là “0”
U
t
U
H
U
L
0
0
1
1
1
2
0,8
5
Không xác định
00 0
•Như vậy:
TÝn hiệu số là những tín hiệu gi·n đoạn mà:
 Biên độ của nó chỉ có hai giá trị là mức cao
U
H
và mức thấp U
L.
Thời gian chuyển từ mức cao xuống mức thấp
v
à ngược lại rất ngắn cã thể coi là tức thời

I.1.2.
Bin v hm logic
f
x
2
x
1
x
n
y
Bin logic
X
i
= 0 ho
c
1
Hàm logic:
Y = f( x
1
, x
2
, x
n
)
y = 0 ho
c
1
Nh vy:
Biến logic: ại l-ợng biểu diễn bằng ký hiệu nào đó chỉ
lấy giá trị "1" hoặc "0".

Hàm logic: Biểu diễn nhóm các biến logic liên hệ với
nhau thông qua các phép toán logic, một hàm logic cho dù là
đơn gian hay phức tạp cũng chỉ nhận giá trị hoặc là "1" hoặc
là "0".
Các phép toán logic: Có 3 phép toán cơ bn.
Phép nhân (và) - kí hiệu là AND.
Phép cộng (hoặc) - kí hiệu là OR.
Phép phủ định (đ
o) - kí hiệu là NOT
x
1
x
2
+
E
D
x
2
x
1
E
+
D
+
D
x
E
R
D = x
1

. x
2
D = 1 khi: x
1
= x
2
=1
D = x
1
+x
2
D = 1 khi:x1=1 hoc x2=1
D
=
D = 1 : èn sáng
D = 0 : đèn tt
x
i
= 1 : CT óng
x
i
= 0 : CT h
I.2.1.
Bi
u din bng i s
I.2.
Biểu diễn biến và hàm logic:
Biểu diễn mi quan h của hàm lôgic với biến logic
thông qua các phép toán logic
:

AND, OR, NOT.

Có hai dạng giai tích đ-ợc sử dụng là:

Dạng tuyển: Hàm đ-ợc cho d-ới dạng tổng của tích các biến.
f(X,Y,Z) =
XZYZXZYX.Y.X
Tuyển không chính quy
Số hạng
Số hạng
Nếu mỗi số hạng không chứa đầy đủ mặt các biến hay phủ
định của chúng
Dạng tuyển không chính quy
(1.1)
• TuyÓn chÝnh quy
• Nhận xÐt: Từ (1.3) ta thấy để F = 1 thi chỉ cần Ýt nhất
một số hạng của nã nhận gi¸ trị 1. Muốn một số hạng
nµo đã bằng 1 thi tất cả c¸c thừa số trong số hạng đã
ph
ải đồng thời bằng 1. Thực vậy: f(X,Y,Z) = 1 thi m
0
=1
hoặc m
1
=1 hoặc m
3
=1 hoặc m
7
=1.
(

m
1
=1  x=0, y= 0, z=1)
f(X,Y,Z)
=
XYZYZXZYXZ.Y.X 
số hạng
số hạng
Mçi sè h¹ng được gọi lµ một mintec ( ký hiệu lµ m )
f(X,Y,Z) =
XYZYZXZYXZ.Y.X 
= m
0
+ m
1
+ m
3
+ m
7
(1.2)
(1.3)
• Chó ý:
cã thể biÓu diÔn tuyÓn chÝnh quy d¹ng sè.
f(X,Y,Z) =
XYZYXZYX

Z
ZYX

ZYX


f(X,Y,Z) =

(m
1
,m
2
,m
3
,m
5
,m
7
)
1 F(1,1,1)1117
1 F(1,0,1)1015
1 F(0,1,1)1103
1 F(0,1,0)0102
1 F(0,0,1)1001
Y = F(X,Y,Z)ZYXm
(t¹i c¸c gi¸ trÞ tæ hîp 1, 2, 3, 5, 7 cña biÕn vµo hµm nhËn trÞ
"1")
(1.4)
Dạng hi:
Hàm đ-ợc cho d-ới dạng tích của tổng các biến.
Hội không chính quy
f(x,y,z) = (X +Y).(Y + Z ).(X +Y +Z)
Thừa số
Nếu mỗi
thừa số

không chứa đầy đủ mặt các biến hay phủ
định của chúng
Dạng hội không chính quy
(1.5)
Thừa số
Hội chính quy
f(x,y,z) = (X + Y +Z).(X+ Y + Z ).(X +Y +Z)
Mỗi Thừa số đ-ợc gọi là một Maxtec ( ký hiệu là m)
Thừa số
Thừa số
f(x,y,z) = (X + Y +Z).(X+ Y + Z ).(X +Y +Z)
= m
6
M
2
M
4
(1.6)
Nhn xét: T (1.6) ta thy F = 0 thi ch cn ít nht
m
t
Thừa số
ca nó nhn giá tr 0. Mun mt
Thừa số
nào ó bng 0 thi tt c các s hạng trong
Thừa số
ó
ph
i ng thi bng 0. Thc vy: f(X,Y,Z) = 0 thi m
6

=0
ho
c M
2
=0 hoc M
4
=0
(V
i
M
2
= 0 x= 0, y= 1, z= 0)
• Chó ý:
cã thể BiÓu diÔn hội chÝnh quy d¹ng sè.
f(x,y,z) = (X + Y +Z).(X+ Y + Z ).(X +Y +Z)
f(x,y,z) = П(m
6
M
2
M
4
)
(
t¹i c¸c tæ hîp biÕn 2, 4, 6 hµm logic nhËn trÞ "0" )
0 F(1,1,0)0116
0 F(1,0,0)0014
0 F(0,1,0)0102
Y = F(A,B,C)ZYXSTT
I.2.2.
Bi

ểu diễn bằng bảng trạng th¸i ( bảng sự thật)
 BiÓu diÔn mối quan hệ của hµm vµ biÕn logic th«ng qua
mét bang
.
Gi
ả
sö h
àm
cã n biÕn th
i
b
ả
ng c
ần
cã (n+1) cét vµ 2
n
hµng
+ (n+1) cét
 (n) biÕn + (1) gi¸ trÞ hµm.
+ 2
n
hµng  2
n
tæ hîp gi¸ trÞ biÕn.
111
101
110
000
f(A,B)BA
VÝ dô: Hµm cã hai

biÕn - b
ả
ng thËt gåm
cã 3 cét, 4 hµng.
f(A,B) = A + B
1111
1011
1101
1001
1110
1010
1100
0000
f(A,B,C)CBA
C¸c biến vào
Hµm ra
Tổ hợp c¸c gi¸ trị
của biến vµo
(2
3
=8)
f(A,B,C) = A + B + C
Nhận xÐt:

Phương ph¸p nµy tuy
đơn giản, dễ lµm nhưng
dµi vµ c
ồng kềnh
I.2.3.
Bi

u din bng bng các nô ( bng Karnaught)
Biểu diễn mi quan h ca hàm ra với các biến vào
thông qua
mt bng .
Bng có c im: Gm các ô vuông gộp li vi nhau
thành hinh vuông ho
c hinh ch nht.
Gi sử hàm có n biến thi bng cn có 2
n
ô:
+ Mi ô tng ng vi mt t hp bin
+ các ô kề nhau, hoặc đối xứng nhau chỉ khác nhau 1 giá trị
của biến.
+ Trong m
i ô ghi giá tr thc ca hàm ti t hp bin ó
Vd: Hàm 3 biến
Hai c
ạnh này trùng nhau
Hai c
ạnh này trùng nhau
C
B
C
F
Vd: Hàm 4 biến
Giá trị của hàm bằng 1 tại tổ hợp 0 111
1
F
Vd: Hàm 6 biến
F

E
D
Trục đối xứng
Y
D = (x
1
+x
2
)(x
3
+X
4
)
I.2.4.
M
ối quan hệ giữa các cách biểu diễn hàm logic
Tìm mối quan hệ giữa D và các x
i
D = 1 : Đèn sáng
D = 0 :
Đèn tắt
x
i
= 1 : CT đóng
x
i
= 0 : CT hở
x
2
x

1
U
D
+
x
3
x
4
x
2
x
1
U
D
+
x
3
x
4
1
1
111
1
0
111
1
1
011
0
0

011
1
1
101
1
0
101
1
1
001
0
0
001
1
0
1
0
1
0
1
0
X
4
1110
1110
1010
0010
0
100
0100

0000
0000
DX
3
X
2
X
1
01
00
10110100
X
1
X
2
X
3
X
4
0
1
0
Bảng trạng thái
B
ảng các nô
x
2
x
1
U

D
+
x
3
x
4
11
10
0 0 0
0 1
1
1
1
1
0 1 1 1
I.3.
Tối thiểu hoá các hàm logic
I.3.1.Ph-ơng pháp đại số
Biến đổi biểu thức logic dựa trên cơ sở tính chất của đại số Boole.
Cơ sở tính chất của đại số Boole.

Lut hoán vị: x+y = y+x xy = yx
Lut kt hp: x+y+z = (y+x)+z xyz = (xy)z = x(yz)
Lut phõn phi: x(y+z) = xy+xz
ịnh lý Demogran: o của một tổng bằng tích các đo,
đ
o của một tích bằng tổng các đo
Tr-ờng hợp tổng quát :
Y.XYX
YXY.X

],,x[f],,x[f
ii

 Luật phủ định:
10  XX
01  XX
XX 
Tính chất của phép cộng:
11
0
1




X
XX
XX
XXX
XX
X
XX
XXX




1
00
0

Tính chất của phép nhân:
Ví dụ
D = x
1
x
1
+x
1
x
3
+x
2
x
3
+X
1
X
2
D = x
1
+x
1
x
3
+x
2
x
3
+X
1

X
2
=X
1
(1 +X
3
+ X
2
)+ x
2
x
3
= X
1
+ x
2
x
3
x
2
x
1
U
D
+
x
1
x
3
x

2
U
D
+
x
1
x
3
Ví dụ
YXXF 
)()1( XXYXYXXYXYXYXF 
F = x +Y
I.3.2.Ph-ơng pháp bng cỏc nụ

Biu din hm bng bng các nô
Thực hiện nhóm các ô tại đó hàm nhận trị "1" hoặc
"0" kề nhau hoặc đối xứng th
nh hỡnh vuụng hoc
hỡnh ch nht (khi viết hàm dạng tuyển ta nhóm các ô có
giá trị "1", dạng hội nhóm các ô có giá trị "0").
Sao cho:
Số ô trong một nhóm phi là ti a v tha món 2
n
ụ
S cỏc nhúm phi ớt nht v c lp vi nhau
Chỳ ý:
Một ô có thể tham gia vào nhiều nhóm dán.
Các ô tại đó giá trị hàm không xác định ta coi tại ô
đó hàm có thể lấy giá trị "1" hoặc "0" tuỳ từng tr-ờng
hợp cụ thể

cú li cho cỏch nhúm