Chuyển về mô hình rời rạc một loại bài toán điều khiển ngẫu nhiên tổng hợp và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------------------

ĐINH THỊ HỒNG GẤM

CHUYỂN VỀ MÔ HÌNH RỜI RẠC MỘT
LOẠI BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN NGẪU
NHIÊN TỔNG HỢP VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

HÀ NỘI – 2011


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------------------

ĐINH THỊ HỒNG GẤM

CHUYỂN VỀ MÔ HÌNH RỜI RẠC
MỘT LOẠI BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN
NGẪU NHIÊN TỔNG HỢP VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành : Toán học Tính toán
Mã số : 60 46 30

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS.TS. NGUYỄN QUÝ HỶ

HÀ NỘI – 2011

Mửc lửc
M U .....................................
1 Mt s cổng cử ngÔu nhiản v giÊi tch h m liản quan
1.1

Php tnh vi v tch phƠn trong B-kh
1.1.1
1.1.2
1.1.3

1.2

B i toĂn iu khin vợi tham s ngÔu nhiả

phữỡng phĂp giÊi nõ . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1
1.2.2
1.3

Mổ hnh dặ tm hỉn hổp giÊi b i to

2 Tham s hõa h m iu khin giÊi trỹc tip mt loi b i toĂn iu
khin ngÔu nhiản tng hổp
2.1

t vĐn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2

Thit lp b i toĂn iu khin tng quĂt . . .

2.3

Thit lp iu khin chĐp nhn ữổc . . . .

2.4

Tham s hõa bin iu khin theo chữỡng

2.5

XĂc nh b tham s iu khin " ti ữu b
nhiản hỉn hổp . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 ng dửng v o viằc giÊm thiu thiản tai lụ lửt cho ỗng bng Bc B
3.1

B i toĂn giÊm thiu thiản tai lụ lửt bng h

3.2

Thit lp b i toĂn quy hoch ngÔu nhiản .
1


3.3 Mæ phäng º rıi ro lô löt cıa mØi quy tr…nh i•u ti‚t hæp lþ kh£ thi . .
KTLU N....................................
TILIUTHAMKH O ............................

2


M U
Trong s "4 bin" th ThĂi Bnh Dữỡng l bin lợn nhĐt. V th nản pha TƠy Nam
ca bin n y, nghắa l vũng ổng Nam (chứa lÂnh th nữợc ta) vÔn ữổc mằnh danh

l "rn bÂo ca th giợi". Ơy l lỵ do l m cho thiản tai lụ lửt v ko theo nõ l hn hĂn
nữợc ta nhiu hỡn so vợi cĂc nữợc khĂc trản th giợi. Trong tnh hnh bin i kh
hu v mổi trữớng hiằn nay, thiản tai nõi trản ng y c ng nhiu trm trồng. Lụ lửt
min Trung (cui nôm 2010) v hn hĂn ỗng bng Bc B ( u nôm 2011) l nhng
dĐu hiằu m u thới ký n y.
Nhm hn ch lụ lửt-hn hĂn, b i toĂn thy iằn a tiảu ch (T TC) Â ra ới (trong
nhng nôm 1986-1987) t viằc xƠy dỹng quy trnh vn h nh (QTVH) hổp lỵ khÊ
thi (HLKT) nh mĂy thy iằn (NMT ) Hặa Bnh [16], trong õ lĐy nhiằm vử phĂt iằn
l m ữu tiản gn vợi sỹ Ăp ứng cĂc tiảu ch ti thiu v thy lổi (dung tch chng hn,
phặng lụ, tữợi tiảu cho nổng nghiằp, cĐp nữợc sinh hot...) v v tham gia
iu phi, ct lụ cho h du. Cõ th nõi b i toĂn T TC trản Ơy ngay t khi ra ới  mang t
nh tng quĂt v "Viằt Nam" hõa lỵ thuyt v b i toĂn Thy iằn, vn xuĐt phĂt t
nhng nữợc cõ kh hu ổn ợi (nhữ LX cụ), t cõ thiản tai lụ lửt-hn hĂn nhữ nữợc
ta.
Trong nhng nôm 2000-2002, khi lỹa chồn quy mổ thit k cho cổng trnh thu
iằn (CTT ) Sỡn La, b i toĂn T TC li ữổc ữa ra xem xt dữợi dng mổ hnh toĂn hồc
trong viằc GiÊm thiu ri ro lụ lửt- ng Đt cho CTT Sỡn La [14], trong õ lĐy viằc an
to n (trữợc nhng ri ro lụ lửt v ng Đt) ca CTT l m mửc tiảu ữu tiản gn vợi sỹ Ăp ứng
cĂc tiảu ch ti thiu v phĂt iằn, thy lổi v tham gia iu phi-ct lụ.

Bữợc u trin khai ứng dửng mổ hnh toĂn hồc tng quĂt trản Ơy, trong nhng
nôm 2005-2008 b i toĂn T TC Â ữổc nghiản cứu dữợi dng Mổ hnh phƠn b dung t

ch phặng lụ v vn h nh an to n hổp lỵ HTT 3-bc thang trản sổng [15]. Trong mổ
hnh n y, sỹ an to n ca HTT (trữợc nhng ri ro ch v lụ lửt), ữổc chồn l
3


mửc tiảu ữu tiản gn vợi sỹ Ăp ứng cĂc tiảu ch ti thiu v phĂt iằn, dung tch phặng
lụ, cung cĐp nữợc tữợi tiảu cho nổng nghiằp - sinh hot (chữa cõ dung tch chng hn)

v tham gia iu phi-ct lụ h du. Gn vợi mổ hnh n y, 5 b phn mm ứng dửng
(VSAM 1- VSAM 5) Â ữổc son thÊo (trong dng tham s hõa) vợi sỹ Êm bÊo toĂn
hồc ca cĂc b i bĂo khoa hồc [27], [21], [23], [8], [22].
Viằc thò nghiằm s ca 5 b phn mm tnh toĂn VSAM 1 - VSAM 5 trản b s
liằu ca Dỹ Ăn T Sỡn La thĐp ( ang ữổc trin khai) Â lỹa chồn ữổc QTVH "t ri ro
lụ lửt nhĐt", trong õ (xem [15] tr.103) xĂc suĐt xuĐt hiằn thÊm hồa lụ lửt rĐt him hoi l
p = 10

6

3

(tữỡng ứng vợi th tch TB ca nữợc lụ l 11 triằu m s theo sõng vù p v t n

phĂ vũng ỗng bng Bc B). i li thiằt hi trản, QTVH n y
3

ữa n mt dung tch phặng lụ TB l 14,06 t m (tông hỡn 2 ln khÊ nông phặng
3

lụ, so vợi yảu cu 7 t m ca thit k); sÊn lữổng iằn TB l 24,09 t Kwh (tông 1,12 ln
phĂt iằn, so vợi yảu cu 21,5 t Kwh ca thit k); dung tch chng hn TB l 2,036 t

3

m (trong Dỹ Ăn thit k chữa cõ cỡ s xĂc nh tiảu ch n y).
Thỹc tin tnh toĂn ca VSAM 5 cặn ch ra rng QTVH t ri ro lụ lửt nhĐt nõi trản
cụng l quy trnh cho dung tch phặng lụ tữỡng i cao nhĐt (trong s 200 QTVH
HLKT khĂc nhau ca HTT 3-bc thang trản sổng ữổc em ra so sĂnh mt cĂch ngÔu
nhiản). V mt nh tnh, ta cõ th lỵ giÊi iu trản nhữ sau: dung tch phặng lụ trong
mỉi hỗ chứa c ng lợn, th khÊ nông vù p do lụ lửt tữỡng ứng c ng t v ko theo l khÊ
nông xuĐt hiằn thÊm hồa lụ lửt (vù p do lụ lửt h nguỗn ca HTT bc thang) c ng t.
Trong trữớng hổp HTT ch cõ 1 bc thang, th hiằn tữổng vù p bi nguyản nhƠn lụ
lửt ỗng nghắa vợi sỹ xuĐt hiằn ca thÊm hồa lụ lửt h nguỗn

v do õ QTVH t ri ro lụ lửt nhĐt cụng l quy trnh cõ dung tch phặng lụ TB lợn
nhĐt (giÊm nhiu nhĐt thiản tai lụ lửt).
Vợi ỵ nghắa trản Ơy, ta cõ th xem b i toĂn giÊm thiu ri ro lụ lửt cho 1 HTT
n-bc thang [14] nhữ l b i toĂn GiÊm thiu thiản tai lụ lửt bng mt HTT bc thang cho
h du ca hằ thng n y, trong õ mửc tiảu cn giÊm thiu tuy vÔn l ri ro lụ lửt những
h m ỵ l m cỹc ai dung tch phặng lụ cõ th, theo nghắa: to ra khÊ nông tỗn ti
cao nhĐt ca cĂc p thy iằn trong hằ thng (ứng vợi xĂc suĐt xuĐt hiằn thÊm hồa lụ
lửt b nhĐt), cho HTT n y vng v ng Êm nhn trồng trĂch chứa ữổc (trong dung t
ch phặng lụ nõi trản) 1 lữổng nữợc lụ cao nhĐt cõ th tr n v trong
4


mũa lụ chnh vử. S l khổng cn thit v vổ nghắa, nu ta chuyn mửc tiảu ca b i
toĂn T TC v dng cỹc i dung tch phặng lụ, v dung tch n y ch cõ nghắa khi
cặn tỗn ti HTT (khổng xÊy ra cĂc hiằn tữổng vù p v thÊm hồa lụ lửt). Gn vợi mửc
tiảu cn ữu tiản nõi trản, trong b i toĂn T TC n y cặn cõ cĂc tiảu ch ti thiu cn
Ăp ứng v dung tch chng hn, cung cĐp nữợc tữợi tiảu cho nổng nghiằp, nữợc cho
sinh hot, tham gia iu phi v ct lụ h du. Ơy l nhng nhƠn t liản quan mt thit n

phặng chng bÂo lửt-hn hĂn. Cũng vợi cĂc tiảu ch trản Ơy cặn cõ cĂc tiảu ch
ti thiu v phĂt iằn v dung tch phặng lụ, m nhớ cõ cĂc tiảu ch n y b i toĂn GiÊm
thiu thiản tai lụ lửt mợi t ữổc sỹ cƠn i, h i hặa gia nhiằm vử phĂt iằn v thy lổi Â
ra trong thit k HTT .
Vợi nhng ỵ nghắa õ, trong lun vôn n y chúng tổi s nghiản cứu b i toĂn GiÊm
thiu thiản tai lụ lửt bng HTT bc thang. Do b i toĂn n y cõ dng tng quĂt ca 1 loi iu
khin ngÔu nhiản tng hổp trong mổ hnh liản tửc, nản Chữỡng 1 ca lun vôn s gi
nh cho viằc giợi thiằu tng quan v nhng cổng cử ngÔu nhiản v giÊi tch

h m cõ liản quan n b i toĂn. Trong Chữỡng 2, mổ hnh toĂn hồc ca b i toĂn trản
s ữổc phĂt biu trong ngổn ng cÊi biản ca b i toĂn GiÊm thiu ri ro lụ lửt [14],
[15], [21] cho HTT bc thang. Thổng qua viằc rới rc hõa h m iu khin, mt loi
phữỡng phĂp Monte Carlo trỹc tip cụng ữổc ngh sò dửng trong chữỡng n y
giÊi b i toĂn. Cui cũng, mt ứng dửng v o viằc tham gia giÊm thiu thiản tai lụ lửt
cho vũng ỗng bng Bc B s ữổc bĂn tợi trong Chữỡng 3 ca Lun Ăn.

5


Chữỡng 1
Mt s cổng cử ngÔu nhiản v giÊi t
ch h m liản quan
1.1 Php tnh vi v
1.1.1

KhĂi niằm v o h m v
1

Cho on thflng [to; T ] R v
k kX :

hiằu l

nh nghắa 1.1.1 : nh x f : [to; T ] ! X gồi l liản tửc ti t 2 [to; T ] nu:
t

Nu f liản tửc ti mồi im t 2 (t o; T ) v liản tửc trĂi ti t o, liản tửc phÊi ti T th Ănh x f
gồi l liản tửc trản [t o; T ]. Ta kỵ hiằu B-khổng gian ca nhng Ănh x liản tửc trản [t o;
T ] (xem [30] tr.40-41) l : C([to; T ]; X) = C(to; T ; X), trong õ chu'n ca mỉi phn tò
xĂc nh theo cổng thức:
k

kC = k

f

nh nghắa 1.1.2: (xem [25] tr.451-453) nh x f

_

vi ti t 2 [to; T ] nu tỗn ti toĂn tò tuyn tnh f (t)
8 t : t + t 2 [to; T ] ta cõ:

(

+ )
f

t

t

f(t)


6


_

Khi õ toĂn tò tuyn tnh f (t) ữổc gồi l o h m mnh (Frechet) ca f ti t. Trong trữớng

_

hổp toĂn tò o h m f : [to; T ] ! X l liản tửc ti t 2 [to; T ] th Ănh x
f

gồi l khÊ vi liản tửc ti t. Nu Ănh x n y khÊ vi liản tửc ti mồi im t 2 (t o; T )

_

v f liản tửc phÊi ti to, liản tửc trĂi ti T th f ữổc gồi l khÊ vi liản tửc trản [t o; T ].
Khổng gian Banach ca nhng Ănh x khÊ vi liản tửc trản [t o; T ] (xem [30] tr.44-45)
1

1

ữổc kỵ hiằu l : C ([to; T ]; X) = C (to; T ; X), trong õ chu'n ca mỉi phn tò ữổc xĂc
nh nhữ sau:
n

o
1

=

C1

C

f

f

nh nghắa 1.1.3: (xem [25] tr.437-439) Cho Ănh x f : [t o; T ] ! X v mt dÂy im f
n
ig i=0

n o õ gn vợi mt phƠn hoch ftig

to < t1 < ::: < tn = T ;
ng vợi dÂy
Pn

im v

1

f( i):j ij. Khi maxo
i=0

i2

n
i=0

bĐt ký ca on [to; T ], sao cho:
ti (8i = 0

[ti; ti+1] := i ; j ij := ti+1

phƠn hoch nõi trản, ta lp tng Rieman

i n 1fj ijg

n
f(ti; i)g

1):
n
i=0

:=

! 0, nu tng Rieman nõi trản cõ giợi hn

trong X (khổng phử thuc v o f(ti; i)gi
trản [to; T ], vợi giĂ tr ca tch phƠn l

n
=0)

th Ănh x f : [to; T ] ! X gồi l

T
Z

t

o

f
nh lỵ 1.1.1 : (xem [25] tr.458-459) Nu Ănh x f : [t o; T ] ! X khÊ vi (Frechet) liản
tửc trản [t1; t2] [to; T ], th nõ cụng khÊ tch trản [t1; t2] v ta cõ cổng thức Neuton
- Leibnitz sau:
Z

t2

_
f (t)dt = f(t2)

f(t1) 2 X:

(1:1:6)

t1

p

Chú ỵ 1.1.1 : Vợi X = L (U;

167) nhng h m

U

U

; ) (1

p

1) l B-khổng gian (xem [7] tr.162,

- o ữổc gn vợi khổng gian o (U;

U

; ), ta cõ th dỹa v o cĂc

nh nghắa nõi trản xƠy dỹng khĂi niằm o h m v tch phƠn tữỡng ứng ca Ănh x:

(t; u) ! f(t; u) (8(t; u) 2 [to; T ] U); f(t; ) 2 X (8t 2 [to; T ]);
p

p

L (U) = L (U;

U

; ) := g : kgkLp(U) :=

n
7


1

1

L (U) = L (U;
(1:1:9)
2

Trong trữớng hổp p=2, B-khổng gian X = L (U) tr th nh khổng gian Hilbert vợi
tch vổ hữợng:

Z

(g; h) :=

U

2

g(u):h(u) (du)

Ngo i ra, khi khổng gian o (U;

U

(8g; h 2 L (U)):

(1:1:10)

; ) l khổng gian xĂc suĐt (kgxs) ( ; ; P ) (P ( ) = 1),

ta cõ th din t Ănh x (1.1.7) cũng vợi cĂc khĂi niằm liản tửc, o h m v tch phƠn ca
nõ trong nhng ngổn ng ngÔu nhiản sau Ơy.

1.1.2

o h m v tch phƠn ca quĂ trnh (h m) ngÔu nhiản
Hilbert

nh nghắa 1.1.4: (xem [13] tr.142) Gn vợi kgxs ( ; ; P ) Â cho, mỉi Ănh x
1

! ! (!) :

! R ữổc gồi l bin ( i lữổng) ngÔu nhiản, nu nõ l

-o

ữổc trản

. i lữổng ngÔu nhiản ( lnn) n y gồi l cõ mổ men bc p (1 p < 1) hu hn nu 2
p

1

1

L ( ), gồi l giợi ni hu chc chn (a.s.) nu 2 L ( ). Khi 2 L ( ), lnn
gồi l cõ ký vồng hu hn vợi ký vồng ữổc kỵ hiằu l :

Z

Ef g = Ewf (!)g :=
nh nghắa 1.1.5: (xem [13] tr.236-237) Ta gồi:
2

2

L ( ) = L ( ; ; P) =

l

n
khổng gian Hilbert ca cĂc lnn cõ moment bc 2 hu hn xĂc nh trản kgxs

( ; ; P ), trong õ tch vổ hữợng v chu'n cõ dng:
( ; ):=

Z

Khi sò dửng ngổn ng tng trỹc tip cĂc khổng gian Hilbert (xem [7] tr.277-278),
ta cõ th m rng nh nghắa trản dữợi dng:
nh nghắa 1.1.5*: Vợi n v m l
2

Ln

m

2

:= Ln

m(

)=

n

=


8


l
b“c

khæng gian Hilbert cıa c¡c bi‚n (ma tr“n) ng¤u nhi¶n (n m)-chi•u câ moment

2 hœu h⁄n, trong â t‰ch væ h÷îng v chu'n ÷æc x¡c ành d÷îi d⁄ng:

( ; )L

n2 m

:=
i =1 j =1

XX

Tr÷íng hæp m = 1, ta gåi L2

nhi¶n n-chi•u.
ành ngh¾a 1.1.6: (xem [13] tr.237) nh x⁄ (1.1.7) vîi U =
l
qu¡ tr…nh (h m) ng¤u nhi¶n Hilbert (qtnn H) x¡c ành tr¶n khæng gian x¡c
su§t
(; ;P)v

־c

L2

( ) gåi l

tr⁄ng

khæng gian tr⁄ng th¡i (v
g›n vîi bi‚n cŁ sì c§p ! 2
T÷ìng tü nh÷ ành ngh¾a 1.1.5*, ta câ th” mð rºng ành ngh¾a 1.1.6 th nh:
ành ngh¾a 1.1.6*: nh x⁄ (1.1.7) vîi U =
÷æc gåi l qtnn H (n
kþ hi»u l

(t) =

tr⁄ng th¡i l

Ln2

thíi i”m t l bi‚n (ma tr“n) ng¤u nhi¶n (t) =
Chó þ 1.1.2 : Khi m=1, qtnn nâi trong ành ngh¾a tr¶n trð th nh qtnn H n-chi•u
1
2
0
(t) = f1(t; ); :::; fn(t; ) ; to
t T
vîi khæng gian tr⁄ng th¡i l L n( ). Khæng
h⁄n ch‚ t‰nh tŒng qu¡t, d÷îi ¥y ta ch¿ cƒn x†t c¡c qtnn H lo⁄i n y, trong

â ¡nh x⁄

(1.1.7) câ d⁄ng:
0

(t; !) ! f1(t; !); :::; fn(t; !) (8(t; !) 2 [to; T ]
2

fi(t; ) 2 L ( ) (8t 2 [to; T ]; i = 1
Khi â ta thu ÷æc c¡c m»nh • d÷îi
m»nh • trong Ti”u möc 1.1.1.

n):

);
(1.1.14)

¥y, nh÷ l nhœng tr÷íng hæp °c bi»t cıa c¡c

m


ành ngh¾a 1.1.7: (xem [13] tr.237-238) qtnn H n-chi•u f (t) =
1

0

Chuy”n và cıa vec tì h ng (f1; :::; fn) ÷æc kþ hi»u l (f1; :::; fn)
9


t

T g ÷æc gåi l li¶n töc trung b…nh ph÷ìng (TBP) t⁄i t 2 [to; T ], n‚u ¡nh x⁄ (1.1.14)

li¶n töc t⁄i t (theo

ành ngh¾a 1.1.1):
n
t!0

n

i=1

lim

E

X

0

ành ngh¾a 1.1.8: (xem [13] tr.239) qtnn H n-chi•u f (t) = f 1(t; ); :::; fn(t; ) ; to t T g
÷æc gåi l kh£ vi TBP t⁄i t 2 [t o; T ], n‚u ¡nh x⁄ (1.1.14) kh£ vi (Frechet) t⁄i t (theo ành
ngh¾a 1.1.2):
n

n

E!

i=1

fi(t + t; !) f

X

_

f t

_

=)

_

trong â ⁄o h m Frechet (t) = f (t; ) := f

_

1(t;
0

); :::; f

_

i(
n(t;

0

;)=

2

) 2 L n( ) gåi l ⁄o h m TBP t⁄i

t cıa qtnn H n-chi•u f (t) = f1(t; ); :::; fn(t; ) ; to t T g.
0
ành ngh¾a 1.1.9: (xem [13] tr.243) qtnn H n-chi•u f (t) = f 1(t; ); :::; fn(t; ) ; to t T g

÷æc gåi l kh£ t‰ch tr¶n [to; T ], n‚u ¡nh x⁄ (1.1.14) kh£ t‰ch tr¶n â (theo ành
ngh¾a 1.1.3) vîi gi¡ trà cıa t‰ch ph¥n l :
T

Z
t

to

T kh£ vi li¶n töc TBP tr¶n [t1; t2] [to; T ], th… nâ công kh£ t‰ch tr¶n [t1

ành lþ 1.1.2 : (xem [25] tr.244) N‚u qtnn H n-chi•u f (t) =
g
câ cæng thøc Neuton - Leibnitz

Z
_

f i(t; !)dt = fi(t2; !)

Chó þ 1.1.3 : N‚u c¡c h m trong (1.1.14) câ d⁄ng °c bi»t:
fi(t; !)

1

fi(t) 2 R (8t 2 [to; T ]; ! 2

(khæng phö thuºc v o bi‚n cŁ sì c§p ! 2
÷æc t§t ành

;i=1

n)

), th… qtnn H n-chi•u trong Chó þ 1.1.2


f1(t); :::; fn(t)
ni» m "li¶n töc TBP" ( à nh ngh¾a 1.1.7) v " ⁄o h m TB P" ( ành ngh¾a

â, c¡c kh¡i


1.1.8) tr th nh cĂc khĂi niằm liản tửc v o h m thổng thữớng ca h m vec tỡ := (f 1; :::;
0

n

fn) : [to; T ] ! R . KhĂi niằm tch phƠn ( nh nghắa 1.1.9) v cổng thức NeutonLeibnitz ( nh lỵ 1.1.2) tr th nh khĂi niằm v cổng thức quen thuc tữỡng ứng i vợi
vec tỡ h m nõi trản, trong õ cĂc tch phƠn ữổc hiu theo nghắa LebesgueRieman.

1.1.3

Phữỡng trnh vi phƠn vợi tham s ngÔu nhiản

Xt b i toĂn Cauchy trong B-khổng gian X:
z(t) = g t; z(t) (to < t
trong õ Ănh x z : [to; T ] ! X l

T ) ; z(to) = zo( Â cho) 2 X

nghiằm (cn tm) vợi o h m Frechet ca nõ ti

t l z(t) 2 X; Ănh x ( Â cho) g : [to; T ]
Liptschitz, vợi sỹ tỗn ti hng s C>0
0

kg(t; x ) g(t; x")kX

Ckx

(1:1:19)

0

X ! X l liản tửc v thọa mÂn iu kiằn
cho:
0

x"kX (8x ; x" 2 X; t 2 [to; T ]):

nh lỵ 1.1.3 : (xem [30] tr.179-180) Vợi sỹ thọa mÂn iu kiằn (1.1.20) ca Ănh x
1

liản tửc g, phữỡng trnh vi phƠn (1.1.19) luổn tỗn ti duy nhĐt nghiằm z 2 C [to; T ];
X . Chú ỵ 1.1.4 : Ta cõ th tch phƠn phữỡng trnh vi phƠn (1.1.19), nghắa l sò
dửng cổng thức Neuton-Leibnitz (1.1.6) bin phữỡng trnh n y th nh phữỡng tr
nh tch phƠn tữỡng ữỡng:
z(t) = zo +

Z
t
g s; z(s) ds (to

t

T ):

(1:1:21)

to

Khi dỹa v o Chú ỵ 1.1.2 v nh nghắa 1.1.8 ta cõ th thit lp b i toĂn Cauchy
2

(1.1.19) vợi X = L n( ) trong dng "phữỡng trnh vi phƠn ngÔu nhiản", theo nghắa
dữợi Ơy:
nh nghắa 1.1.10 : Phữỡng trnh vi phƠn (1.1.19) trong khổng gian Hilbert X =
2

L n( ) ữổc gồi l phữỡng trnh vi phƠn vợi tham s ngÔu nhiản - differential equation
with random parameters- (gồi tt l phữỡng trnh vi phƠn ngÔu nhiản - PTVPNN), nu

z(t) = z1(t; ); :::; zn(t; )

nghiằm

ti t,
o h m

TBP ca quĂ trnh n y
11


2

0

2

L n( ) v mỉi th nh phn ca vec tỡ ngÔu nhiản ( Â cho) zo := (z01; :::; zon) 2 L n( ) u
cõ mổ men bc 2 hu hn.
GiÊ thit v

iu kiằn Liptschitz (1.1.20) khi õ cõ dng:

0

kg(t; z ) g(t; z")kL2n( )

Ckz

Nhữ l mt hằ quÊ trỹc tip ca

0

0

2

z"kL2n( ) (8z ; z" 2 L n( ); t 2 [to; T ]):

nh lỵ 1.1.3, ta cõ mằnh dữợi

(1:1:22)

Ơy:

nh lỵ 1.1.4 : Nu g liản tửc TBP v thọa mÂn iu kiằn (1.1.22), th PTVPNN
(1.1.19) trong khổng gian
1
2
C [to; T ]; Ln ( ) .
Trữớng hổp
th nh phữỡng trnh vi phƠn tuyn tnh:
z(t) = A(t):z(t) + g(t) (to < t T ) ;
ta cõ th thay giÊ thit (1.1.20) bi cĂc giÊ thit yu hỡn sau Ơy:

vợi A(t) (8t 2 [to; T ]) l
nh lỵ 1.1.5 : (xem [30] tr.191) Vợi sỹ thọa mÂn cĂc iu kiằn (1.1.24), phữỡng
1

trnh vi phƠn tuyn tnh (1.1.23) luổn tỗn ti duy nhĐt nghiằm z 2 C [to; T ]; X .
Khi xt phữỡng trnh vi phƠn tuyn tnh (1.1.23) trong khổng gian Hilbert X =
2

Ln ( ), ta xem rng qtnn H n-chiu g(t) =
cũng vợi qtnn H (n n)-chiu
cõ dng:
g

kjA(t)kj :=

Khi õ, t

nh nghắa 1.1.10 ta trỹc tip thu ữổc hằ quÊ dữợi Ơy ca

nh lỵ 1.1.5:

Hằ quÊ 1.1.1 : Vợi sỹ thọa mÂn cĂc iu kiằn (1.1.25), phữỡng trnh vi phƠn ngÔu


12


2

1

nhiản tuyn tnh (1.1.23) (vợi X = L n( )) luổn tỗn ti duy nhĐt nghiằm z 2 C [to; T ];
2

L n( ) .
Cui cũng, t Chú ỵ 1.1.3 ta nhn thĐy rng: phữỡng trnh vi phƠn ngÔu nhiản
tuyn tnh nõi trản l sỹ m rng trỹc tip ca hằ n phữỡng trnh vi phƠn tuyn tnh
n

(1.1.23) või X = R (theo nghắa tĐt nh thổng thữớng). Khi õ vợi sỹ thay th tnh
liản tửc TBP trong giÊ thit (1.2.25) bi tnh liản tửc tng khúc trản [t o; T ], ta thu
ữổc mằnh quen thuc dữợi Ơy (nhữ l hằ quÊ ca Hằ quÊ 1.1.1):
Hằ quÊ 1.1.2 : (xem [12] tr.56) Nu cĂc h m A : [t o; T ] ! R

nn

n

; g : [to; T ] ! R liản tửc
n

tng khúc trản [to; T ], th phữỡng trnh vi phƠn (tĐt nh) (1.1.23) (vợi X = R ) luổn
n

tỗn ti duy nhĐt nghiằm z 2 C [to; T ]; R khÊ vi tng khúc trản [to; T ].

1.2

B i toĂn

iu khin vợi tham s ngÔu nhiản v

tng quan v mt s phữỡng phĂp
1.2.1

KhĂi niằm v b i toĂn

giÊi nõ

iu khin ti ữu vợi tham s

ngÔu nhiản
Gn vợi kgxs ( ; ; P ) Â cho, ta xt b i toĂn iu khin ti ữu vợi tham s ngÔu nhiản optimal control problem with random parameters - (gồi tt l b i toĂn iu khin (ti ữu)

2

ngÔu nhiản - KNN ) trong dng tng quĂt (general form) dữợi Ơy:

trong õ bin iu khin l

t

T ; bin trng thĂi l
2

Cn phƠn biằt li nõi tt n y vợi b i toĂn kinh in v " iu khin ti ữu ngÔu nhiản " (stochastic
optimal control) [12], [2], trong õ phữỡng trnh vi phƠn ngÔu nhiản hiu theo nghắa Ito.
13


2

t T ; hằ ng lỹc (vợi tham s) ngÔu nhiản l PTVPNN (1.2.2) trong khổng gian L n( )
2

vợi z(t) 2 L n( ) l o h m TBP ca bin trng thĂi ti t. iu kiằn (1.2.3) gồi
l
r ng buc v bin iu khin, iu kiằn (1.2.4) gồi l r ng buc v bin trng thĂi,
iu kiằn (1.2.5) gồi l r ng buc hỉn hổp gia bin iu khin v trng thĂi. CĂc Ănh x
o

( Â cho) g; f trong hằ ng lỹc (1.2.2) v h m mửc tiảu (1.2.1)) ữổc giÊ thit l cõ dng:

2

2

2

o

2

2

1

8g : [to; T ] Ln ( ) Lm ( ) ! Ln ( ); f : Ln (to; T ; ) Lm (to; T ; ) ! L ( );
>

p


>
:
p

n

p

trong õ Lk (to; T ; ) = L
tr.162) v L

2
m to;

T ; l khổng gian Hilbert (xem [13] tr.241-243) ca nhng qtnn H

m-chiu bnh phữỡng khÊ tch trản [t o; T ] (theo nh nghắa 1.1.9)) vợi tch vổ
hữợng v chu'n cõ dng:
8< x; y >Lm2 :=
P

>
<

8x = (x1; :::; xm)0; y = (y1; :::; ym)0

>

:

(1.2.6*)

Chú ỵ 1.2.1 : Ta cụng cõ th phĂt biu b i toĂn KNN (1.2.1)-(1.2.5) vợi t o; zo; T chữa
bit tữỡng tỹ nhữ trong trữớng hổp tĐt nh (xem [12] tr.39-40).
nh nghắa 1.2.1 : i vợi mt lợp h m iu khin n o õ:
2

Xo = Xo(to; T ; Lm ( )) :=
- Hằ ng lỹc (1.2.2) gồi l
x

=
1

iu khin

ữổc bi lợp h m n y, nu vợi mồi
2

iu khin
1

2 Xo PTVPNN (1.2.2) trong L n( ) cõ nghiằm duy nhĐt thuc lợp L n(to; T ; )
2

L [to; T ]; Ln ( ) .
- Nu hằ ng
Xo thọa mÂn cĂc iu kiằn r ng buc (1.2.4)-(1.2.5):
2
m(

X = X(to; T ; L

2
m(

)) := x 2 Xo(to; T ; L

)) : thọa mÂn (1:2:4)

(1:2:5) (1:2:7 )

gåi l t“p hæp c¡c i•u khi”n ch§p nh“n ÷æc. MØi i•u khi”n x 2 X gåi l ch§p nh“n ÷æc CN (admissible).
14


-

iu khin CN x 2 X khổng phử thuc v o bin trng thĂi z trong hằ ng lỹc (1.2.2)

gồi l iu khin theo chữỡng trnh (programme [11], open-loop control [2]) v
b

i toĂn KNN (1.2.1)-(1.2.5) gồi l b i toĂn iu khin theo chữỡng trnh.

-

Nu iu khin x(t) = x t; z(t) (phử thuc v o trng thĂi z(t)) vợi hằ ng lỹc

(1.2.2) v lợp h m iu khin (1.2.7) ln lữổt cõ dng:
8
>
<

z(t) = g t; z(t); x t; z(t)

T ) ; z(to) = zo ( Â cho) 2 L2 ( );

(to < t

>Xo(to; T ; Lm

n

2

:
th mỉi iu khin CN x = x(z) 2 X gồi l
closed-loop, feedback control [2]) v b i toĂn KNN (1.2.1)-(1.2.5) gồi l b i toĂn iu
khin tng hổp.
Chú ỵ 1.2.2 : Nu ch xt b i toĂn KNN (1.2.1)-(1.2.3) (khổng cõ r ng buc bin trng
thĂi (1.2.4) v r ng buc hỉn hổp (1.2.5)), trong õ hằ ng lỹc ữổc giÊ thit l iu khin
2
m(

ữổc bi lợp h m Xo = Xo(to; T ; L

)) th lợp h m n y cụng gồi l tp
2

hổp cĂc iu khin CN ca b i toĂn (1.2.1)-(1.2.3): X = X(t o; T ; Lm ( )) Xo
[2] tr.230).
2

nh nghắa 1.2.2 : iu khin CN x 2 X(to; T ; Lm ( )) gồi l ti ữu, nu:
2

JG(x ) JG(x) (8x 2 X(to; T ; Lm ( )):
Ta cõ th xt nhng trữớng hổp riảng dữợi Ơy ca h m mửc tiảu tng quĂt JG(x):
nh nghắa 1.2.3 : B

Bolza, nu:
8
>
>
>

>
>
<
>

>
>
>
>

JG(x) = JL(x)


:
Chó þ 1.2.3 : T÷ìng tü nh÷ trong tr÷íng hæp t§t ành (xem [12] tr.40-41), ta câ th”
ch¿ ra r‹ng: 3 d⁄ng tr¶n ¥y cıa b i to¡n KNN l t÷ìng ÷ìng, theo ngh¾a: tł d⁄ng n y câ
th” chuy”n sang d⁄ng kia.
15