Đánh giá tác động và tính dễ bị tổn thương do biến đổi khí hậu đối với sản xuất nông nghiệp và nuôi trồng thủy sản tại huyện quảng ninh, tỉnh quảng bình

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------

BÙI TRỌNG NGUYỆN

XÂY DỰNG
MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC SƠ CẤP
DỰA TRÊN BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - Năm 2014


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------

BÙI TRỌNG NGUYỆN

XÂY DỰNG
MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC SƠ CẤP
DỰA TRÊN BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số:

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS. NGUYỄN MINH TUẤN

Hà Nội - Năm 2014


MỞ ĐẦU
Toán học là một môn khoa học đóng vai trò rất quan trọng trong các
ngành khoa học. Trong đó, bất đẳng thức là một trong những mảng kiến thức
hay và thú vị nhất của toán học đặc biệt của toán sơ cấp. Việc nghiên cứu về
bất đẳng thức giúp tăng cường tính sáng tạo, khả năng giải quyết vấn đề và
phát triển tư duy. Lý thuyết cũng như các bài tập về bất đẳng thức rất phong
phú và đa dạng. Trong hầu hết các kì thi học sinh giỏi toán, các bất đẳng thức
đều được đề cập và thuộc loại toán khó hoặc rất khó. Nhiều bất đẳng thức đã
trở thành công cụ đắc lực để giải quyết các bài toán đó như bất đẳng thức
Cauchy, Bunhiacopxki, Jensen… trong khi đó bất đẳng thức Bernoulli thường
ít được quan tâm. Là một người cũng rất say mê bất đẳng thức sơ cấp nhưng
tác giả cũng biết không nhiều về bất đẳng thức này. Vì vậy, tác giả đã lựa
chọn đề tài "Xây dựng một số bất đẳng thức sơ cấp dựa trên bất đẳng thức
Bernoulli" với mong muốn tìm ra nhiều vẻ đẹp của bất đẳng thức này để có
cái nhìn tổng quan và đầy đủ hơn về bất đẳng thức sơ cấp cũng như để cung
cấp thêm một tài liệu tham khảo bổ ích về toán học trong các trường THPT
hiện nay.
Với ý nghĩa đó trong quá trình làm luận văn, tác giả đã xây dựng và lựa
chọn các bài toán hay nhằm làm nổi bật lên mặt mạnh của bất đẳng thức
Bernoulli. Luận văn được chia thành ba chương.
Chương 1. Bất đẳng thức Bernoulli. Trong chương này tác giả trình bày về bất
đẳng thức Bernoulli và các dạng phát biểu khác cùng một số ví dụ thể hiện
các kỹ thuật cơ bản của bất đẳng thức Bernoulli.
Chương 2. Một số bất đẳng thức được xây dựng dựa trên bất đẳng thức

Bernoulli. Tác giả trình bày ý tưởng xây dựng bài toán từ bất đẳng thức
Bernoulli thông qua các ví dụ cụ thể. Từ đó trình bày hệ thống bài tập.

1


Mặc dù đã rất cố gắng, nhưng chắc chắn nội dung được trình bày trong
luận văn không tránh khỏi thiếu sót, em mong muốn nhận được sự góp ý của
các thầy cô giáo và các bạn.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn chỉ bảo của thầy
PGS.TS. Nguyễn Minh Tuấn. Em xin chân thành cảm ơn thầy về sự giúp đỡ
nhiệt tình từ khi xây dựng đề cương, viết và hoàn thành luận văn.
Em xin chân thành cảm ơn khoa Toán-Cơ-Tin học, trường Đại Học
Khoa Học Tự Nhiên, ĐHQG Hà Nội, nơi em đã nhận được sự chỉ bảo tận tình
của các thầy cô để có một học vấn sau đại học căn bản.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô phản biện đã đọc và góp những
ý kiến quý báu để em hoàn thiện hơn luận văn của mình.
Em xin chân thành cảm ơn trường THPT Trưng Vương, Hưng Yên, nơi
em công tác, đã tạo điều kiện cho em đi học hoàn thành chương trình.
Cuối cùng, em xin gửi lời chúc đến tất cả các thầy các cô, kính chúc thầy cô
luôn luôn mạnh khỏe và hạnh phúc.
Chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 01 tháng 10 năm 2014
Người thực hiện
Bùi Trọng Nguyện

2

MỤC LỤC

Chƣơng 1
Bất đẳng thức Bernoulli
1.1.

Bất đẳng thức Bernoulli

1.2.

Một số ví dụ

1.2.1. Kỹ thuật đánh giá qua chênh lệch lũy thừa
1.2.2. Kỹ thuật chọn điểm rơi
Chƣơng 2
Một số bất đẳng thức đƣợc xây dựng dựa trên bất đẳng thức
Bernoulli
2.1.

Xây dựng một số hàm đơn điệu dựa trên bất đẳng thức Ber

2.2.

Phát triển một số bất đẳng thức dựa trên bất đẳng thức Ber

2.3.

Xây dựng một số bất đẳng thức dựa trên bất đẳng thức 2α

2.3.1. Một số bài toán trong tam giác

2.3.2. Một số bài toán trong lượng giác
2.4. Về bất đẳng thức AM-GM suy rộng
2.4.1. Sử dụng bất đẳng thức Bernoulli để chứng minh bất đẳng thức
AM-GM suy rộng
2.4.2. Xây dựng lại một số bất đẳng thức cổ điển
2.4.3. Một số bài toán khác

3


Chƣơng 1
Bất đẳng thức Bernoulli
1.1. Bất đẳng thức Bernoulli
Jacob Bernoulli (1654-1705) là nhà toán học nổi tiếng người Thụy Sĩ. Bất
đẳng thức Bernoulli được dạy trong trường phổ thông mang tên này để vinh
danh ông. Bất đẳng thức Bernoulli cho phép tính gần đúng lũy thừa của (1+x),
được phát biểu như sau.
Định lí 1.1 1. Nếu α là một số thực thỏa mãn α ≥1 thì
(

)

1+ x
Đẳng thức xảy ra khi x=0 hoặc α =1.
2.

Nếu α là một số thực thỏa mãn 0 < α ≤1 thì

(1 + x )α ≤ 1 + α.x , với mọi x > −1.
Đẳng thức xảy ra khi x=0 hoặc α =1.

Chứng minh. 1. Chỉ cần xét α >1, vì khi α =1thì (1.1) trở thành đẳng thức.
Xét hàm số f (x) = (1 + x )α − α.x −1 trên khoảng (−1; +∞). Ta có đạo hàm
f

'(x) = α (1 + x )α−1 − α = α (1 + x )α−1 − 1 = 0.

Ta suy ra x = 0. Từ đó, ta có bảng biến thiên sau
x
'

f (x)
f(x)

α

≥1


Theo bảng biến thiên của hàm số, ta suy ra
f (x) ≥ f (0) = 0, hay (1 + x )α ≥ 1 + α.x với mọi x > −1.
2.

1

Xét α <1. Khi đó α >1. Áp dụng kết quả trên, ta có

Ta suy ra

Vậy

Định lí được chứng minh.
Định lí 1.2
Đẳng thức xảy ra khi a =1 hoặc α =1.
2. Nếu α là một số thực thỏa mãn 0 < α ≤1 thì
Đẳng thức xảy ra khi a =1 hoặc α =1.
Chứng minh. Từ bất đẳng thức trong Định lí 1.1, ta chỉ cần đặt a = 1 + x.
Khi đó a ∈ (0;+∞).
Định lí 1.3

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x =1.
Để sử dụng bất đẳng thức Bernoulli cho trường hợp đảm bảo chắc chắn rằng
đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = x0 , với x0 là một số dương cho trước, ta
chỉ cần thay bởi bất đẳng thức trong định lý sau đây.


5


Định lí 1.4 Giả sử cho trước x0 >0 và cặp số (α, β) thỏa mãn điều kiện
α > β > 0 . Khi đó



α

x



x

 0
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = x0.

+



1.2. Một số ví dụ
1.2.1. Kỹ thuật đánh giá qua chênh lệch lũy thừa.
Các dạng toán đặc trưng của bất đẳng thức Bernoulli rất dễ nhận ra vì đó là
bất đẳng thức với những số mũ vô tỉ dương hay sự chuyển đổi số mũ vô tỉ. Kỹ
thuật chủ yếu để xử lí dạng toán đó là kỹ thuật đánh giá qua chênh lệch lũy
thừa. Xét các ví dụ điển hình sau đây.
Ví dụ 1.2.1. Giả sử a, b là hai số thực dương. Chứng minh rằng
a3

2

+ b3

2

≥ 21−

2

[ab(a + b)] 2 .

Lời giải. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

[ab(a + b)]
Hay





Áp dụng bất đẳng thức (1.3), ta có




a

b(a + b) 

2.











2.

Cộng hai bất đẳng thức trên theo vế, ta được


a



2.




b(a +

Tương đương với




Mặt khác

Nên


Tương đương với

2.


Bất đẳng thức được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Ví dụ 1.2.2. Giả sử a, b, c là ba số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức


a


b+c
Lời giải. Ta đã biết bất đẳng thức Nesbitt sau
7


a
b+c
Ta đánh giá số mũ 3 thông qua số mũ 1 trong bất đẳng thức (1.2). Áp dụng
bất đẳng thức (1.2), ta có



b+c
Tương tự



c+a



a+b
Cộng ba bất đẳng thức trên theo vế và áp dụng bất đẳng thức Nesbitt, ta được
bất đẳng thức cần chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Ví dụ 1.2.3. Giả sử a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn a + b + c =

3

2 . Chứng minh rằng

3

Lời giải. Áp dụng Định lí 1.2, ta có
(
)1 1
b+c

+ −1≤

3

3
Ta suy ra
3b+c≤

1(

)

b+c .

3
b + c +
2
. 3

b


Hay
a

b+

3

8


Tương tự, ta có
b

c

Cộng các bất đẳng thức trên theo vế, ta được
a
3

Dễ thấy

3a
b+c+2 c+a+
Hay
3a

3
b+c+2



+

Do đó
3a


+

b+c+2

b+c+2 c+a+2 a+b
Ta suy ra
3a

3b
b+c+2

+

Nên
a

3

9

b+c


Thay a + b + c =

2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =
Ví dụ 1.2.4. Giả sử a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn a + b + c =
minh rằng

Lời giải. Áp dụng Định lí 1.2, ta có

Ta suy ra
n

b+c≤

b + c + n
−1
. n

Hay

Tương tự, ta cũng có

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên, ta được


a
n

Mặt khác
10

b+c


n.a
b+c+n−1

=n


=n


= n (a + b + c + n − 1)

Ta suy ra
n.a
b+c+n−1

Hay
n.a
b+c+n−1

Do đó
a

n

Thay a + b + c =

b+c

+


1

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 2 .
Nhận xét. Với n =1 ta có bất đẳng thức Nesbitt

a
b+c
11


Ví dụ 1.2.5. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng
1 2







h
a





trong đó r là bán kính đường tròn nội tiếp, ha , hb , hc là độ dài đường cao
tương ứng với đỉnh của tam giác ABC.
Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức (1.2), ta có



3r.





3r.





3r.


Cộng ba bất đẳng thức trên theo vế, ta được

(3r)

2

 h

 a 


Mặt khác

r. 



Do đó

(3r) 2  

h
a




2

+

h


Tương đương với



12


h

 a
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.

12


Ví dụ 1.2.6. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng
2
 3

sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C ≤ 3. 

 .

Lời giải. Phát biểu của bài toán gợi cho ta nhớ đến kết quả quen thuộc sau

9

sin2 A + sin2 B + sin2 C ≤ 4 , với mọi ∆ABC.
Như vậy ta đánh giá thông qua số mũ 2. Vì A, B, C là ba góc của tam giác
ABC nên sin A > 0, sin B > 0, sinC > 0. Ta suy ra

Áp dụng bất đẳng thức (1.3), ta có




Tương đương với




Hay

Tương tự, ta có

Ta suy ra


Cộng các bất đẳng thức trên theo vế, ta được
13


2







 3

2



Tương đương với


Hay


Bất đẳng thức được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.
Ví dụ 1.2.7. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng với mọi số thực 0 < k <1,
ta luôn có

cosk

Lời giải. Ta đã biết kết quả quen thuộc sau
cos

A

B
C
3
2 + cos 2 + cos 2 ≤ 3. 2 .

Do đó, ta đánh giá thông qua số mũ 1. Vì A, B, C là ba góc của tam giác ABC
nên

A

π B π C π
2 < 2 , 2 < 2 , 2 < 2 . Suy ra
cos

A

B
C
2 > 0, cos 2 > 0, cos 2 > 0.

Hay
2

cos