Một số mô hình phân tích chuỗi thời gian và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

ĐẶNG VĂN THOẠI

MỘT SỐ MÔ HÌNH PHÂN TÍCH
CHUỖI THỜI GIAN VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2013


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN -CƠ- TIN HỌC

ĐẶNG VĂN THOẠI

MỘT SỐ MÔ HÌNH PHÂN TÍCH
CHUỖI THỜI GIAN VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học

Mã số: 60460106

Người hướng dẫn: GS.TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG

Hà Nội - 2013

LỜI CÁM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của Luận văn em xin được bày
tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH. ĐẶNG HÙNG THẮNG - người đã
tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành khóa luận này.

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy
cô giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên,
Đại Học Quốc Gia Hà Nội đã tham gia giảng dạy và giúp đỡ em
trong suốt quá trình học tập tại khoa.
Nhân dịp này tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành
tới gia đình, bạn bè đã luôn ở bên, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em
trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp.


PHẦN MỞ ĐẦU

Nhân loại đã bước sang thập niên thứ hai của thế kỉ 21. Cùng với
sự phát triển không ngừng của các lĩnh vực kinh tế- xã hội, các môn
khoa học cơ bản cũng đã đạt được rất nhiều thành tựu đáng kể. Đặc
biệt là trong lĩnh vực Toán học, rất nhiều kết quả thu được không
những giúp nhân loại giải quyết các bài toán có tính chất lý thuyết
mà còn góp phần giải quyết các được bài toán thực tế của cuộc
sống đặt ra. Trong đó phải kể đến bộ môn Xác suất- Thống kê. Xác
suất-Thống kê hiện nay đang là một trong những ngành Toán học
thu hút được rất nhiều sự quan tâm của không chỉ các nhà khoa học
mà còn có cả các nhà quản lý, nhà đầu tư...
Dự báo là lĩnh vực ra đời từ rất sớm, gắn liền với cuộc sống thực
tiễn của con người từ xa xưa. Các quan sát trong thực tế thường được
thu thập dưới dạng chuỗi dữ liệu. Từ những chuỗi dữ liệu này người ta

phân tích và rút ra những quy luật của một quá trình được mô tả thông
qua chuỗi dữ liệu, từ đó có thể đưa ra những dự báo hay những quyết
định đúng đắn, kịp thời. Ví dụ như dự báo thời tiết, dự báo chỉ số
chứng khoán, mức tăng dân số, dự báo nhu cầu sử dụng điện, dự báo
số lượng sinh viên nhập học của một trường đại học...
Các kết quả ứng với từng thời điểm được ghi lại tạo thành một
chuỗi thời gian . Chuỗi thời gian đang được sử dụng như một công cụ
hữu hiệu để phân tích trong nhiều lĩnh vực của kinh tế, xã hội cũng như
trong nghiên cứu khoa học. Chính do tầm quan trọng đó mà nhiều tác
giả đã đề xuất những mô hình khác nhau để phân tích chuỗi thời gian
như là các mô hình hồi qui, phân tích Furie... Trong đó mô hình ARIMA
của Box-Jenkins là mô hình được đánh giá rất cao.


iii

Mô hình cho kết quả khá tốt trong phân tích dữ liệu. Tuy nhiên, sự
phức tạp của thuật toán đã gây ra những khó khăn trong quá trình
phân tích, nhất là khi chuỗi số liệu có những thay đổi phản ánh sự
phi tuyến của mô hình như chuỗi thời gian tài chính.
Trong khuôn khổ của Luận văn, tác giả đã trình bày về mô hình
phương sai có điều kiện của sai số thay đổi tự hồi quy (ARCH) và
một số mô hình mở rộng của nó (GARCH, GARCH M, TGARCH).
Sau đó, các mô hình này được áp dụng vào việc định giá quyền
chọn của cổ phiếu IBM. Nội dung chính của luận văn được trình bày
trong 6 chương có nội dung tương ứng như sau:
Chương 1: Những khái niệm ban đầu
Chương 2: Mô hình ARCH
Chương 3: Mô hình GARCH
Chương 4: Mô hình GARCH

M

Chương 5: Mô hình TGARCH
Chương 6: Ứng dụng của các kiểu mô hình ARCH trong việc
định giá quyền chọn
Trong các chương 2, 3, 4, 5 tác giả lần lượt trình bày về vấn đề:
cấu trúc , tính chất, ước lượng, kiểm định của các mô hình và cuối
cùng là áp dụng vào ví dụ thực tế. Trong chương 6, tác giả đã áp
dụng các kiểu mô hình được trình bày trong các chương trước vào
định giá quyền chọn của cổ phiếu IBM và so sánh chúng với giá
quyền chọn bằng mô hình Black-Scholes. Các ví dụ được trình bày
trong luận văn đều sử dụng phần mềm R để phân tích. Đây là phần
mềm hoàn toàn miễn phí nhưng các kết quả thu được lại rất tốt cho
việc phân tích và dự báo. Phần mềm R có thể chạy trên nhiều hệ
điều hành, sử dụng ngôn ngữ lập trình hiện đại và đang được sử
dụng rất phổ biến trên thế giới.


Mục lục
Lời cám ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i
Phần mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

Chương 1. Những khái niệm ban đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1. Quá trình dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1. Quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2. Hàm trung bình và hàm hiệp phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.3. Quá trình dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.4. Hàm tự tương quan và hàm tương quan riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4

1.2. Mô hình ARMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1. Quá trình trung bình trượt tự hồi quy ARMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2. Đánh giá về mô hình ARMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3. Lợi suất cổ phiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6
Chương 2. Mô hình ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1. Cấu trúc của mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.1. Sự biểu diễn tự hồi quy và hiệp phương sai dừng. . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.2. Moment không có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3. Ước lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13

2.4. Kiểm định hiệu ứng ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.5. Dự báo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.6. Ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17


2.7. Ưu và nhược điểm của mô hình ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
iv

v
Chương 3. Mô hình GARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1. Cấu trúc mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.1. GARCH được biểu diễn như là ARCH (¥) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
3.2.2. Điều kiện dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2.3. Moment không có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.4. Độ nhọn của mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3. Ước lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37

3.4. Kiểm định mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.5. Dự báo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
3.6. Ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.7. Ưu điểm và nhược điểm của mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Chương 4. Mô hình GARCH-M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.1. Cấu trúc mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3. Ước lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49 4.4. Kiểm định mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.5. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50 4.6. Một vài lưu ý khi áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Chương 5. Mô hình TGARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.1. Cấu trúc mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.2. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.2.1. Sự biểu diễn hồi quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.2.2. Điều kiện dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.2.3. Moment không có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.2.4. Dáng điệu của đuôi mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.3. Ước lượng và kiểm định mô hình. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58


5.4. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58

5.5. Ưu và nhược điểm của mô hình TGARCH . . . . . . . . . . . . . . .62


vi
Chương 6. Ứng dụng của các kiểu mô hình ARCH trong việc định giá
quyền chọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.1. Hợp đồng quyền chọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.2. Dữ liệu và phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.3. Kết quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74


Danh sách hình vẽ
1.1

Giá cổ phiếu IBM hàng tuần (3/1/2000 - 21/1

1.2

Biểu đồ phân bố lợi suất hàng tuần và phân

1.3

Biểu đồ lợi suất hàng tuần . . . . . . . . . . . . . .

2.1

Đồ thị ACF của lợi suất hàng tuần (IBM) . . .

2.2

Đồ thị PACF của bình phương lợi suất . . . .

2.3

Sai số chuẩn có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . .

2.4

Lợi suất thực tế với 2 đường giới hạn tin cậy

2.5

Phần dư và phần dư chuẩn hóa . . . . . . . . . .

2.6

Các hệ số tương quan của phần dư chuẩn h
phương phần dư chuẩn hóa . . . . . . . . . . . . .

2.7

Đồ thị QQ-norm của phần dư . . . . . . . . . . . .

2.8

Sai số chuẩn có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . .

2.9

Lợi suất thực tế và 2 đường giới hạn tin cậy

2.10

Phần dư và phần dư chuẩn hóa . . . . . . . . . .

2.11

Các hệ số tương quan của phần dư chuẩn h
phương phần dư chuẩn hóa . . . . . . . . . . . . .

2.12

Đồ thị QQ-std của phần dư tiêu chuẩn . . . . .

2.13

Giá trị dự báo của ARCH trong 10 bước . . .

2.14

Đồ thị mô phỏng chuỗi lợi suất . . . . . . . . . . .

2.15

Phân bố của chuỗi mô phỏng . . . . . . . . . . .

vii


viii

3.1 Độ lệch chuẩn có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Lợi suất thực tế và 2 đường giới hạn tin cậy . . . .

3.3 Đồ thì QQ-std của phần dư . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4 Phần dư và phần dư chuẩn hóa . . . . . . . . . . . . . .

3.5 Các hệ số tương quan của phần dư chuẩn hóa và
phương phần dư chuẩn hóa . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6 Kết quả dự báo của GARCH trong 10 bước . . . .
3.7 Chuỗi lợi suất thực tế và chuỗi mô phỏng . . . . . .
3.8 Phân bố của chuỗi mô phỏng . . . . . . . . . . . . . . .

4.1 Sai số chuẩn có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Lợi suất thực tế và 2 đường giới hạn tin cậy . . . .

4.3 Đồ thị QQ-std của phần dư trung bình . . . . . . . . .

4.4 Phần dư và phần dư chuẩn hóa . . . . . . . . . . . . . .

4.5 Các hệ số tương quan của phần dư chuẩn hóa và
phương phần dư chuẩn hóa . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.6 Kết quả dự báo GARCH-M trong 10 bước . . . . . .

5.1 Sai số chuẩn có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Lợi suất thực tế và 2 đường giới hạn tin cậy . . . .
5.3 Đồ thị QQ-std của phần dư . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.4 Phần dư và phần dư chuẩn hóa . . . . . . . . . . . . . .

5.5 Các hệ số tương quan của phần dư chuẩn hóa và
phương phần dư chuẩn hóa . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Chuỗi lợi suất thực tế và chuỗi mô phỏng . . . . . .
5.7 Phân bố của chuỗi mô phỏng . . . . . . . . . . . . . . .


Danh sách bảng
6.1 Dự báo giá quyền chọn với giá thực thi $190 bằng các
kiểu mô hình ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.2 Dự báo giá quyền chọn với giá thực thi $195 bằng các
kiểu mô hình ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.3 Dự báo giá quyền chọn với giá thực thi $200 bằng các
kiểu mô hình ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.4 Dự báo giá quyền chọn với giá thực thi $205 bằng các
kiểu mô hình ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.5 Dự báo giá quyền chọn với giá thực thi $210 bằng các
kiểu mô hình ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 6.6 Dự
báo giá quyền chọn bằng mô hình Black-Scholes . . . 72

1


Chương 1
Những khái niệm ban đầu
1.1. Quá trình dừng
1.1.1. Quá trình ngẫu nhiên
Cho (W, F, P) là không xác suất; BR là s

trường Borel trên R

Định nghĩa 1.1. Một quá trình ngẫu nhiên fX(t); t 2 Rg là một hàm
hai biến xác định trên R W và là hàm đo được đối với s trường BR F
Giả sử X(t), t 2 T là một quá trình (ngẫu nhiên), trong đó T là tập
chỉ số thời gian. Tập chỉ số T có thể là tập thời gian liên tục R =
+

¥; +¥); R = [0; +¥) hoặc rời rạc Z = f0; 1; 2; ...g
Định nghĩa 1.2. Quá trình X(t), t 2 R được gọi là một quá trình cấp 2
(

2

nếu EjX (t)j < ¥; 8t 2 R

1.1.2. Hàm trung bình và hàm hiệp phương sai
Định nghĩa 1.3. Hàm trung bình của quá trình ngẫu nhiên X (t) kí
hiệu là m(t) và được tính theo công thức m(t) = EX (t).
Hàm hiệp phương sai của quá trình ngẫu nhiên kí hiệu là r(s, t)
và được tính theo công thức
r (s; t) = Cov [X (s) ; X (t)] = E [(X (s)
.

m (s)) (X (t)

m (t))]


3

Định lí 1.1. Hàm hiệp phương sai r(s; t) là đối xứng và xác định
không âm, tức là
1. r(s; t) = r(t; s), 8s, t 2 T
n

n

2. 8n 2 N, 8t1; t2; ...tn 2 T, 8b1, b2, ...bn 2 R thì å å bibjr ti; tj
i=1 j=1

0

1.1.3. Quá trình dừng
Định nghĩa 1.4. Giả sử X(t) là quá trình cấp 2. X(t) được gọi là quá trình
dừng nếu hàm trung bình m(t) là hằng số và hàm hiệp phương sai r(s; t)
chỉ phụ thuộc vào s t hay r(s; s + h) không phụ thuộc và s với mỗi h 2 R

Nói cách khác quá trình X(t), t 2 R là quá trình dừng nếu nó có
cùng hàm trung bình và hàm hiệp phương sai với quá trình Y(t) =
X(t + h), 8h 2 R
Định nghĩa 1.5. Quá trình X(t), t 2 R được gọi là quá trình dừng
mạnh (hay dừng theo nghĩa hẹp) nếu với mọi h 2 R, và với mọi t1 <
t2 < .. < tn thì hàm phân phối đồng thời của fX(t1 + h); X(t2 + h); ...;
X(tn + h)g và của fX(t1); X(t2); ...; X(tn)g là như nhau.
Điều đó có nghĩa là phân phối hữu hạn chiều không thay đổi khi
ta tịnh tiến bộ chỉ số thời gian (t1; t2; ..; tn)
Định nghĩa 1.6. Chuỗi thời gian fX(t), t 2 Tg hay X(t), t 2 T là tập
hợp các giá trị quan sát theo thời gian t, t 2 T về cùng một đối tượng.
Nếu T là tập rời rạc thì X (t) được gọi là chuỗi thời gian rời rạc. Nếu
T là liên tục thì X (t) được gọi là chuỗi thời gian liên tục.
Định nghĩa 1.7. Chuỗi thời gian X(t) được gọi là dừng nếu X(t) là
quá trình dừng.
Ví dụ về chuỗi thời gian


4

Hình 1.1: Giá cổ phiếu IBM hàng tuần (3/1/2000 - 21/10/2013)
(Số liệu được lấy từ )

1.1.4. Hàm tự tương quan và hàm tương quan riêng
Định nghĩa 1.8. Cho fX(t)g là chuỗi thời gian dừng. Hàm tự hiệp

phương sai (ACVF) với độ trễ h của fX(t)g là
r(h) = Cov(X(t); X(t + h))
Hàm tự tương quan (ACF) của fX(t)g với độ trễ h là
r ( h) =

r (h)
r (0)

Hàm tương quan riêng (PACF) kí hiệu là rkk và được tính theo công thức

r = Corr(Y , Y
kk

t

t

Y

kj t

,Y

1

t

, .., Y

2

t

k+1

)


5

1.2. Mô hình ARMA
1.2.1. Quá trình trung bình trượt tự hồi quy ARMA
Định nghĩa 1.9. Quá trình ngẫu nhiên fZt; t 2 Tg được gọi là dãy ồn
2

trắng, kí hiệu fZtg WN 0; s nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:
EZtZs = 0, 8t 6= s
2

2

EZt = 0; EZt = s ; 8t 2 T
Định nghĩa 1.10. Quá trình ngẫu nhiên fXt; t 2 Tg được gọi là quá
trình tự hồi quy cấp p, kí hiệu Xt AR (p) nếu fXt; t 2 Zg thỏa mãn
Xt = a0 + a1Xt 1 + a2Xt 2 + ... + apXt p + Zt; ap 6= 0
2

Trong đó fZtg W N 0; s

Điều kiện để quá trình AR(p) dừng là các nghiệm của phương

p

trình đặc trưng 1

i

å ai L = 0 nằm ngoài vòng tròn đơn vị.

i=1

Định nghĩa 1.11. Quá trình ngẫu nhiên fXt, t 2 Tg được gọi là quá
trình trung bình trượt cấp q, kí hiệu Xt MA (q) nếu thỏa mãn
Xt = Zt + b1Zt 1 + b2Zt 2 + ... + bqZt q
2

Trong đó fZtg W N 0; s ,bi 2 R, bq 6= 0
Điều kiện để quá trình MA(q) khả nghịch là các nghiệm của phương
q

i

trình đặc trưng 1 + å bi L = 0 nằm ngoài vòng tròn đơn vị.
i=1

Định nghĩa 1.12. fXtg là một quá trình trung bình trượt tự hồi quy
cấp (p;q), kí hiệu Xt ARMA(p; q) nếu fXtg thỏa mãn
X f X
t

1 t 1

f X

2 t 2

2

Trong đó fZtg WN 0; s
Quá trình ARMA(p, q) dừng khi và chỉ khi các nghiệm của phương
trình đặc trưng 1
i=1


6

1.2.2. Đánh giá về mô hình ARMA
Mô hình ARMA thu được thành công lớn khi áp dụng cho các
chuỗi thời gian xuất phát từ các lĩnh vực khoa học tự nhiên và kỹ
thuật nhưng thất bại khi áp dụng cho các chuỗi thời gian kinh tế và
tài chính. Nguyên nhân chính là giả thiết về mặt toán học phương
sai của các chuỗi thời gian tài chính không thay đổi theo thời gian là
không phù hợp. Vì vậy mô hình ARMA có thể dự báo được kỳ vọng
nhưng thất bại khi dự báo phương sai của chuỗi thời gian tài chính
như dãy lợi nhuận của một tài sản (cổ phiếu). Đã có nhiều ví dụ thể
hiện rõ sự không phù hợp của mô hình ARMA đối với chuỗi thời gian
tài chính.
Mặc dù mô hình ARMA tỏ ra không phù hợp với chuỗi thời gian
tài chính nhưng những kỹ thuật mà nó cung cấp là một cơ sở rất
quan trọng và mang lại nhiều gợi ý cho các công trình nghiên cứu về
chuỗi thời gian sau Box-Jenkins. Chính Box-Jenkins là những người

đầu tiên đưa ra các kỹ thuật lấy sai phân để khử khuynh hướng tất
định nhằm tăng khả năng dừng của một chuỗi thời gian. Với những
vận dụng sáng tạo khái niệm khuynh hướng này, những người
nghiên cứu đi sau Box - Jenkins đã cho ra đời hai lớp mô hình rất
quan trọng đối với chuỗi thời gian tài chính. Đó là mô hình cộng tích,
Cointegration (Granger,1981) và mô hình phương sai có điều kiện
thay đổi tự hồi quy ARCH. Mô hình ARCH là cống hiến mang tính
khai phá của Engle, nó có thể giải thích sự bất thường của phương
sai mà chỉ sử dụng những thông tin quá khứ của bản thân nhiễu. Mô
hình ARCH và một số mở rộng của nó sẽ được tác giả lần lượt trình
bày trong các chương tiếp theo của luận văn.

1.3. Lợi suất cổ phiếu
Trong thực tế, có rất nhiều dữ liệu tài chính như chuỗi lợi suất cổ phiếu
được coi như một là chuỗi thời gian . Tuy vậy, việc nắm bắt được các đặc
trưng của chuỗi thời gian tài chính là điều rất khó khăn. Trong


7

mục này tác giả sẽ trình bày một số tính chất đặc trưng của lợi suất
và cố gắng minh họa điều đó bằng những ví dụ.
Chuỗi lợi suất có phần đuôi nặng hơn chuỗi có phân phối
chuẩn. So sánh đồ thị mật độ của chuỗi lợi suất với mật độ
phân phối chuẩn có cùng trung bình và phương sai, ta có thể
thấy rằng chuỗi lợi suất có phân bố cao hơn và gầy hơn nhưng
có phần đế rộng hơn so với mật độ phân bố chuẩn.

Hình 1.2: Biểu đồ phân bố lợi suất hàng tuần và phân phối chuẩn

Hình 1.3: Biểu đồ lợi suất hàng tuần


8

Mặc dù những biến động của tập các giá trị lợi suất ta không
quan sát được nhưng chúng có những tính chất đặc trưng là xu
hướng bầy đàn. Tức là lợi suất có thể biến động cao trong
những thời kì này và thấp trong các thời kì khác.
Nhìn vào biểu đồ 1.3 ta thấy, lợi suất hàng tuần của cổ phiếu
IBM cao vào giai đoạn (2000-2003) và (2007-2009)- khi cuộc
khủng hoảng kinh tế bắt đầu. Trong suốt từng thời kì những sự
thay đổi lớn thường được xuất hiện theo sau những sự thay đổi
lớn. Lợi suất IBM tương đối ổn định (ít có sự thay đổi lớn) trong
giai đoạn (2003-2007)
Những biến động của lợi suất có tính chất đòn bẩy. Điều đó có
nghĩa là độ biến động của lợi suất thường xuất hiện để tác
động trở lại sự tăng hay giảm của giá cả.
Lợi suất biến động theo thời gian theo cơ chế liên tục, tức là ít
có các bước nhảy của độ biến động lợi suất
Lợi suất không phân kì đến vô vùng, nghĩa là lợi suất biến thiên
trong một miền xác định nào đó. Về mặt toán học thì lợi suất tài
sản thường là một chuỗi dừng.


Chương 2
Mô hình ARCH
Các mô hình kinh tế truyền thống thường giả định rằng phương
sai ở các thời kì dự báo là bất biến. Tuy nhiên, trong thực tế điều
này không thật sự đúng đắn. Vì thế Robert Engle đã đề xuất một mô

hình mới để phù hợp với các quá trình có gia số độc lập mà ở đó
phương sai có thể thay đổi theo thời gian nhưng vẫn thỏa mãn
phương sai không có điều kiện là hằng số. Mô hình này được ông
giới thiệu lần đầu tiên vào năm 1982 [15] và được gọi là mô hình
phương sai có điều kiện của sai số thay đổi tự hồi quy (ARCH).

2.1. Cấu trúc của mô hình
Cho fXtg là chuỗi thời gian
Định nghĩa 2.1. Mô hình phương sai có điều kiện của sai số thay
đổi tự hồi quy bậc p, kí hiệu ARCH(p) là mô hình có dạng
Xt = g(Ft 1; b) + at, at = #t.st
2

st = Var (atjFt 1) = h(at 1; ..; at p; a)
Trong đó g(Ft 1; b) là hàm của Ft 1 và vectơ tham số b; Ft 1 là tập
hợp các thông tin có được cho tới thời điểm t 1; p được gọi là bậc
của mô hình ARCH


10

Var (atjFt 1) là phương sai của at với điều kiện Ft 1 và là hàm xác
định không âm, phụ thuộc vào thời gian và tham số a
#

t

là dãy độc lập cùng phân phối với trung bình = 0, phương sai =1

at được gọi là cú sốc hay phần dư của Xt tại thời điểm t

Định nghĩa 2.2. Mô hình ARCH được gọi mô hình tuyến tính bậc p,
kí hiệu ARCH(p) nếu
p

2

2

st = a0 + å aia t i; a0 > 0; ai 0, 8i 1

(2.1.1)

i=1

Định nghĩa 2.3. Mô hình ARCH được gọi là mô hình tuyến tính bậc
vô cùng, kí hiệu ARCH(¥) nếu
¥

2

2

st = a0 + å aia t i; a0 > 0; ai 0, 8i 1
i=1

Mô hình ARCH(p) tuyến tính được sử dụng rộng rãi trong việc mô
hình hóa chuỗi tài chính vì có khả năng nắm bắt các tính chất của
biến động và thể hiện nó một cách đơn giản .

2.2. Tính chất

2.2.1. Sự biểu diễn tự hồi quy và hiệp phương sai dừng
Giả sử at
là phân bố chuẩn
Ta có Eht = 0 và ht là không tương quan (Tsay, 2005, trang 107). Khi
đó phương trình (2.1.1) có dạng
p

2

2

a t = a0 + å aia t i + ht
i=1

2

Như vậy a t là một quá trình tự hồi quy bậc p (AR(p)). Tính chất này rất
hữu ích trong việc xác định bậc p phù hợp với mô hình ARCH cũng


11

giống như việc xác định các giá trị quan trọng khác là trung bình và
phương sai.
Định lí 2.1. Quá trình ARCH(p) có hiệp phương sai dừng nếu và chỉ nếu
p

i

tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng 1 å aiz = 0 nằm ngoài

i=1
đường tròn đơn vị. Khi đó, phương sai (không điều kiện) của dãy
phần dư at là

Chứng minh 2.1.
.
Đặt W0

Khi đó E (wt jFt 1 ) = b + Awt
Thực hiện một cách liên tiếp ta có:
= b + A (b + AE (wt 2 jFt k ))
2
= b + Ab + A ((b + AE (wt 3 jFt k ))

= ...
=
Biểu

2

I + A + A + ... + A

k 1

k

b +A w

thức này độc lập với t nên

phương sai. Giới hạn của biểu thức E (w t jFt k ) khi k tiến ra vô cùng
tồn tại khi và chỉ khi các giá trị riêng của A nằm phía trong đường
tròn đơn vị hay các nghiệm của phương trình đặc trưng nằm ngoài
vòng tròn đơn vị (Anderson (1994) trang 177 [7])


12
k

i=1

2.2.2. Moment không có điều kiện
Moment của ARCH(p) có thể tìm được bằng cách sử dụng luật kì
vọng có điều kiện. Cho X và Y là các biến ngẫu nhiên, khi đó

Với giả thiết at

Theo chứng minh ở mục 2.2.1 , với mỗi quá trình dừng ARCH(p) ta

thể không tồn tại, và nếu có tồn tại thì công thức của chúng là tương
đối phức tạp ngay cả với những quá trình có bậc thấp. Engle (1982)
[15] đã chứng minh rằng với mô hình ARCH(1) moment cấp 2m tồn
m

m
tại nếu và chỉ nếu a1 Õ (2j

1) < 1

(2.2.2).

j=1

Engle cũng đã đưa ra công thức tính moment cấp 4 của at là

Trong Tsay (2005)[24], tác giả đã trình bày một cách chứng minh
đơn giản như sau:
Cho mô hình ARCH(1) thỏa mãn (2.2.2), #t
= 3 a0 + a1a


#
(
Vì vậy,