Mô hình số giải hệ phương trình nước nông hai chiều trên lưới không cấu trúc một số kiểm nghiệm và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC
CÔNG NGHỆ

VIỆN CƠ HỌC

Nguyễn
Tất Thắng

MÔ HÌNH SỐ GIẢI HỆ
PHƯƠNG TRÌNH NƯỚC
NÔNG HAI CHIỀU TRÊN
LƯỚI KHÔNG CẤU TRÚC.
MỘT SỐ KIỂM
NGHIỆM VÀ ỨNG
DỤNG

LUẬN VĂN
THẠC SĨ


H
À
N
Ộ
I
–
2
0

0
5


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC
CÔNG NGHỆ

VIỆN CƠ HỌC

Nguyễ
n Tất
Thắng

MÔ HÌNH SỐ GIẢI HỆ
PHƯƠNG TRÌNH NƯỚC
NÔNG HAI CHIỀU TRÊN
LƯỚI KHÔNG CẤU TRÚC.
MỘT SỐ KIỂM
NGHIỆM VÀ ỨNG
DỤNG
Chuyên ngành:
Cơ học chất lỏng
Mã số: 60.44.22

LUẬN VĂN
THẠC SĨ CƠ
HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN
KHOA HỌC:
GS.TSKH. Dương
Ngọc Hải

H
À
N
Ộ
I
–
2
0
0
5


1

Môc lôc

Ch−¬ng 1 Tæng quan ...................................................................................................

1.1C¸c m« h
1.2C¸c ®èi

1.3HÖ ph−¬

1.4C¸c nhãm

1.5Mét sè d

1.6Mét sè tÝ

1.7C¸c tÝnh


2
1.7.1

Số các điều kiện giải (điề

1.7.2

Dạng của các điều kiện b

1.7.3

Yêu cầu đối với các điều

1.8 Về phơng pháp số giải hệ phơng trình nớc nông hai chiều ..............
1.9 Phơng pháp thể tích hữu hạn (FVM) ....................................................
1.10 Phơng pháp của Godunov ...................................................................
1.11 Lới không cấu trúc và các phơng pháp sinh lới không cấu trúc .....
1.11.1

Yêu cầu chun

1.11.2

Các phơng p

1.11.3

Một số phơn

Chơng 2 Giải số hệ phơng trình nớc nông hai chiều không dừng, không có gián

đoạn bằng phơng pháp sai phân trên lới không cấu trúc .......................................

2.1Hệ phơn

2.2Phơng p

2.3Điều kiện

2.4Cách giải h

2.5Cấu trúc c

2.6Kiểm địn


3
2.6.2Các thông số mô phỏng

2.6.3Một số kết quả tính toán

2.6.4Nhận xét .......................
2.7 áp dụng cho bài toán dòng chảy lũ tràn do vỡ đê giả định ....................

2.7.1Mô tả bài toán................
2.7.2Các thông số mô phỏng

2.7.3Một số kết quả mô phỏn

2.7.4Nhận xét .......................
Chơng 3 Giải số hệ phơng trình nớc nông hai chiều không dừng, có xét đến gián

đoạn sử dụng phơng pháp Godunov với xấp xỉ hàm dòng kiểu Roe .......................

3.1Phơng p

3.2Tổng quá

3.3Chơng tr

3.4Kiểm địn


3.5 Bài toán dòng chảy trong kênh hình chữ nhật, đáy phẳng......................

3.6 Bài toán dòng chảy trong sông địa hình phức tạp có công trình ............

Kết luận .....................................................................................................................
Danh mục công trình của tác giả...............................................................................
Tài liệu tham khảo.....................................................................................................
Tiếng Việt .....................................................................................................

Tiếng Anh .....................................................................................................


5

Mở đầu

Mô hình nớc nông một chiều đã đợc nghiên cứu và ứng dụng rộng rãi trong
các mô phỏng thủy lực của các hệ thống kênh, rạch hay các mạng sông ít phức tạp
về mặt địa hình, lòng dẫn. Các nghiên cứu, áp dụng chuyên sâu các mô hình số
giải bài toán dòng chảy nớc nông một chiều cho nhiều chế độ dòng chảy trong
các điều kiện địa hình khác nhau đã đợc nghiên cứu từ lâu trên thế giới cũng
nh ở Việt Nam [6]. Tuy vậy do các hạn chế của các mô hình một chiều mà khả
năng ứng dụng của chúng trong một số trờng hợp, khi bài toán đợc xấp xỉ bằng
mô hình một chiều là không tốt, cần phải có sự xem xét kỹ.
Bên cạnh các hạn chế của mô hình dòng chảy nớc nông một chiều thì tính
phức tạp cùng khối lợng tính toán lớn của các mô hình giải số dòng chảy ba chiều
mà trong một số trờng hợp mô hình dòng chảy nớc nông hai chiều là lựa chọn
phù hợp. Việc mô hình hoá các dòng chảy nớc nông dựa trên việc giải số hệ
phơng trình Saint Venant hai chiều đã và đang đợc nghiên cứu, ứng dụng ở
nhiều nơi trên thế giới cũng nh ở Việt Nam. Thực tế cho thấy việc mô phỏng
dòng chảy nớc nông hai chiều, có hoặc không xét đến các tính chất gián đoạn
trong dòng chảy, trong các điều kiện địa hình phức tạp khác nhau nh các khu
đô thị, các miền thoát lũ với sự có mặt của các công trình trong miền tính nhằm
phục vụ các yêu cầu tính toán dự báo, quy hoạch phòng chống lũ lụt đã đặt ra nhu
cầu phát triển các mô hình giải số hệ phơng trình nớc nông hai chiều trên lới
không cấu trúc do tính mềm dẻo, thích ứng cao của nó. Cùng với sự phát triển của
kỹ thuật tính toán cũng nh khả năng của máy tính, các phơng pháp số sử dụng
lới tính toán không cấu trúc cũng nh các phơng pháp sinh lới không cấu trúc
ngày càng đợc phát triển mạnh.

Có hai phơng pháp số thờng sử dụng lới không cấu trúc giải hệ phơng trình
nớc nông hai chiều là phơng pháp phần tử hữu hạn (FEM) và phơng pháp thể tích
hữu hạn (FVM). Phơng pháp FEM một mặt phức tạp về lập trình, chi phí lập trình
và khối lợng tính toán lớn, mặt khác trong các nghiên cứu hiện tại, trong


6
trờng hợp hai chiều, phơng pháp này cũng mới chỉ dừng ở mức độ áp dụng đối với
lới tam giác nên dờng nh xu hớng hiện nay trên thế giới là sử dụng phơng pháp
FVM [7]. So với phơng pháp FEM, phơng pháp FVM không những đòi hỏi khối lợng
tính toán ít hơn mà còn cho các sơ đồ bảo toàn với các tính chất bắt gián đoạn bởi
phơng pháp này dựa trên dạng tích phân phơng trình bảo toàn [8, pp.38-41]. Trong
một số nghiên cứu bớc đầu [1 - 5] học viên cũng đã tìm hiểu, nghiên cứu và áp dụng
thử nghiệm các kỹ thuật rời rạc hoá trên cơ sở phơng pháp FVM. Mục đích của luận
văn là: thực hiện các nghiên cứu áp dụng cơ sở lý thuyết, xây dựng và kiểm nghiệm
mô hình giải số hệ phơng trình nớc nông hai chiều trên lới không cấu trúc theo
hai hớng kỹ thuật rời rạc hóa khác nhau. Hớng thứ nhất là áp dụng kết hợp phơng
pháp FVM và kỹ thuật sai phân ngợc dòng (upwind) ứng dụng cho các bài toán dòng
chảy tràn hai chiều tổng quát không dừng không có gián đoạn. Hớng này do một số
tác giả Nhật Bản nghiên cứu phát triển [9]. Hớng thứ hai là kết hợp phơng pháp FVM,
phơng pháp Godunov với xấp xỉ hàm dòng kiểu Roe giải các bài toán Riemann địa
phơng, đợc phát triển cho lới không cấu trúc. Sơ đồ này, có sử dụng kết hợp kỹ
thuật sai phân ngợc dòng, có khả năng mô phỏng tốt các tính chất gián đoạn của
dòng chảy [7]. Hớng nghiên cứu này hiện nay đang đợc thế giới quan tâm nghiên
cứu, ứng dụng [10, 11, 12, 13, 14, 15].

Các mô hình số đợc nghiên cứu, xây dựng sẽ là cơ sở ban đầu quan trọng
cho những ứng dụng thực tế tiếp theo nh nghiên cứu đánh giá quá trình lũ tràn
hay quá trình lan truyền sóng gián đoạn do vỡ đê, đập trong các miền hai chiều.
Chúng cũng có thể đợc sử dụng để ghép nối với các mô hình một chiều mô

phỏng đồng thời diễn biến lũ trong sông (dòng chảy một chiều) và quá trình lũ ở
bãi sông hay các miền thoát lũ (dòng chảy hai chiều). Đồng thời chúng cũng có thể
là cơ sở cho một số ứng dụng khác có liên quan trong lĩnh vực môi trờng nh khi
ghép nối với các bài toán về mô phỏng chất lợng môi trờng nớc sông ngòi, ao hồ
hoặc các bài toán về bồi xói, vận chuyển bùn cát v.v.

Nội dung của luận văn gồm các phần chính sau:


Phần Mở đầu gồm các giới thiệu chung về đề tài, các nghiên cứu liên quan,


7
phạm vi nghiên cứu, ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài và
nội dung luận văn.


Chơng 1 giới thiệu về cơ sở vật lý, toán học, hệ phơng trình nớc
nông hai chiều, các phơng pháp số sẽ đợc sử dụng trong các
chơng tiếp theo gồm phơng pháp FVM và phơng pháp Godunov,
một số vấn đề khái quát về lới không cấu trúc.



Chơng 2 trình bày kỹ thuật rời rạc hoá trên cơ sở phơng pháp FVM
kết hợp với phơng pháp sai phân ngợc dòng áp dụng cho hệ phơng
trình nớc nông hai chiều không dừng, không có gián đoạn, sơ đồ khối
chơng trình tính toán của phơng pháp, kết quả kiểm nghiệm mô
hình này bằng cách so sánh kết quả tính toán với số liệu thí nghiệm
dòng chảy tràn theo mô hình khu vực đô thị và kết quả áp dụng thử

nghiệm mô phỏng lũ tràn do vỡ đê giả định vào khu vực Hà Nội.



Chơng 3 trình bày kỹ thuật rời rạc hoá trên cơ sở phơng pháp FVM
kết hợp với phơng pháp Godunov với xấp xỉ hàm dòng kiểu Roe trên
cạnh, kỹ thuật xử lý số hạng nguồn áp dụng cho hệ phơng trình nớc
nông hai chiều dạng bảo toàn có xét đến tính chất gián đoạn có thể
tồn tại trong dòng chảy, sơ đồ khối chơng trình tính toán của phơng
pháp, kết quả kiểm nghiệm mô hình (so sánh với số liệu thí nghiệm
dòng chảy có gián đoạn do vỡ đập tức thời của CADAM) và các kết quả
áp dụng mô hình này tính toán dòng chảy hai chiều trong sông.



Phần cuối là một số kết luận và những vấn đề cần nghiên cứu
tiếp. Phần này ghi nhận tóm tắt những thu nhận chính của luận
văn và nêu một số vấn đề, theo ý kiến của tác giả, có thể là đối
tợng của các nghiên cứu tiếp theo. Ngoài ra còn có danh mục Tài
các liệu tham khảo liên quan đến chủ đề của luận văn.


8

Chơng 1 Tổng quan

1.1 Các mô hình toán học và một số khái niệm
Các phơng trình nớc nông đã và đang trở thành một công cụ phổ biến
cho việc mô hình hóa các bài toán kỹ thuật và môi trờng có liên quan đến các
dòng chảy không dừng. Các phơng trình nớc nông đợc bắt nguồn từ những

nghiên cứu từ thế kỷ XIX của nhà toán học ngời Pháp Barrè de Saint Venant [16].
Mặc dù các phơng trình đó là những mô tả đã đợc đơn giản hóa của một hiện
tợng phức tạp, chúng đã chứa đựng các đặc tính quan trọng nhất chi phối
chuyển động không dừng của chất lỏng. Với sự xuất hiện của các thế hệ máy
tính hiện đại kết hợp với các kỹ thuật tính toán ngày càng hiệu quả, nghiệm của
các phơng trình đó ngày nay đã có thể hiểu rõ và mô tả khá chính xác.

Vấn đề lớn nhất đối với các phơng trình nớc nông là chúng có thể chứa
đựng các nghiệm không liên tục. Đặc tính phi tuyến của các phơng trình
cũng hàm chứa rằng các nghiệm giải tích của những phơng trình đó chỉ
hạn chế trong một số trờng hợp bài toán rất đặc biệt. Hệ quả là các phơng
pháp số cần phải đợc sử dụng để thu nhận các nghiệm xấp xỉ.
Các phơng pháp giải số hệ phơng trình nớc nông với các kỹ thuật truyền
thống, chẳng hạn nh sử dụng sơ đồ Preissmann, đã đợc nghiên cứu nhiều [17].
Có nhiều sơ đồ số khác nhau, sử dụng các tính chất của các hệ hyperpolic, đã
đợc phát triển để giải quyết một cách chuẩn xác các tính chất không liên tục
trong dòng chảy mà vẫn cho nghiệm chuẩn xác trong các miền nghiệm trơn.
Những sơ đồ đó đã và đang đợc phát triển cho các hệ định luật bảo toàn tổng
quát chẳng hạn nh các phơng trình Euler cho động học các chất khí. Gần đây
hơn, các kỹ thuật đó đã đợc áp dụng vào giải số các phơng trình nớc nông.
Trong các mô hình bắt gián đoạn các sơ đồ hiện thờng hay đợc sử dụng hơn
là các sơ đồ ẩn. Đối với các phơng trình phi tuyến, chẳng hạn các phơng trình nớc
nông, việc sử dụng sơ đồ ẩn tạo ra hệ các phơng trình đại số phi tuyến. Trong


9
trờng hợp đó hoặc là thủ tục giải lặp sẽ đợc sử dụng để giải các phơng
trình đó hoặc là toán tử ẩn sẽ đợc tuyến tính hóa để tránh tiêu tốn thời gian
với thủ tục giải lặp. Đối với các bài toán dòng chảy dừng, các sơ đồ ẩn đợc
tuyến tính hóa tạo ra những thuận lợi rất lớn so với các sơ đồ hiện [18]. Đối với

các bài toán dòng chảy không dừng, tính ổn định và chính xác có thể không
đợc đảm bảo do việc tuyến tính hóa và do bị hạn chế bởi điều kiện CFL
[18]. Mặc dù vậy các sơ đồ hiện cũng có sự phụ thuộc vào sự hạn chế thông
thờng của số Courant, do vậy thờng các sơ đồ hiện tính toán rất lâu nên
chúng còn cần đợc nghiên cứu giảm thiểu thời gian tính toán.

1.2 Các đối tợng vật lý
Khi xem xét dòng chảy nớc nông ta tuân theo các quy ớc sau [19, pp.1-3]:

1.2.1 Cấu trúc hình học của khối nớc
Cấu trúc hình học của khối nớc đợc đặc trng bởi:


Mặt thoáng



Độ dốc đáy thoải, nếu gọi là góc nghiêng thì tan( ) và không
có bất kỳ sự biến đổi đột ngột nào đối với địa hình đáy.



Nớc nông: độ sâu cột nớc (h) nhỏ hơn rất nhiều so với bớc sóng hoặc
chiều dài đặc trng của khối nớc L. Nhìn chung h/L cỡ 10-3 đến 10-4.



Kích cỡ không gian theo chiều ngang từ cỡ 1m đến cỡ 1000km.

1.2.2 Các tính chất của chất lỏng

Tính liên tục: các tính chất cơ học và vật lý của chất lỏng không đạt đến
giá trị vô hạn hoặc chứa đựng bớc nhảy ở bất kỳ một điểm rời rạc nào.



Tính nhớt: với dòng chảy phân tầng, chất lỏng có thể đợc mô tả
một cách xấp xỉ nh là chất lỏng Newton trong đó nhớt phân tử
đóng vai trò quan trọng. Với các dòng chảy rối, chất lỏng là phi
Newton và đợc đặc trng bởi nhớt rối.


10


Tính không nén đợc: mật độ của các phần tử chất lỏng không
thay đổi theo chuyển động.



Tính đồng nhất: chất lỏng, môi trờng trong quá trình truyền tải vật chất và
dẫn nhiệt, đợc trộn lẫn tốt, hay phân bố theo không gian của mật độ của
chất lỏng không có ảnh hởng đến dòng chảy. Tính đồng nhất cùng với
tính không nén đợc hàm ý rằng mật độ là hằng số. Ta thờng xem giá trị
của mật độ của nớc tính khiết là 1000kg/m3, nớc biển là 1025kg/m3.



Tính đẳng hớng: các tham số tính chất vật chất, ví dụ nh hệ

số nhớt à , không thay đổi theo hớng.

1.2.3 Các dạng ứng xử trong dòng chảy
Dòng chảy dừng có thể đợc xem nh là giới hạn của dòng chảy không
dừng dới các điều kiện ngoài cố định khi thời gian tăng vô hạn. Trong tính
toán dòng chảy nớc nông thờng ta sử dụng một mặt phẳng nằm ngang
nh là mặt phẳng tọa độ và bỏ qua tính cong của vỏ trái đất.
Do tính nông, vận tốc theo phơng ngang trên trục thẳng đứng đợc coi là
có một phân bố thống nhất một cách tơng đối do vậy trung bình hóa theo chiều
sâu là có thể áp dụng đợc. Do đó mà dòng chảy ba chiều có thể đợc đơn giản
hóa nh dòng chảy hai chiều trong mặt phẳng bằng việc tích phân vận tốc
ngang theo phơng thẳng đứng để nhận đợc giá trị trung bình theo chiều sâu
và bằng việc bỏ qua ảnh hởng của vận tốc theo phơng thẳng đứng.

Dòng chảy thờng là xoáy, trong đó các sự kết hợp, truyền tải, khuếch tán
và tiêu tán xoáy có thể xảy ra một cách đồng thời và liên tục. Nhiệt độ thờng
đợc coi nh hằng số do quá trình sinh nhiệt do ma sát và quá trình truyền
nhiệt là có thể bỏ qua. Nếu có sự thay đổi nhiệt độ ta cũng không xét đến
sự biến đổi mật độ, độ nhớt và tính dẫn nhiệt do vậy trờng dòng chảy đợc
tách khỏi trờng nhiệt độ, chúng có thể đợc tính toán riêng rẽ.
Cao trình mặt thoáng biến thiên đều với độ cong nhỏ, do đó so sánh với gia tốc
trọng trờng thì gia tốc theo phơng thẳng đứng có thể đợc bỏ qua. Điều này cũng


11
tơng tự nh giả thiết áp suất thủy tĩnh.
Sức căng bề mặt có thể bỏ qua.
Cỡ thời gian của dòng chảy từ vài giây đến nhiều ngày.
1.2.4 Các lực ngoài

Lực hấp dẫn là lực chính chi phối dòng chảy.



Lực quán tính Coriolis do chuyển động quay của trái đất quanh trục.



Lực gây ra thủy triều.



Các lực ma sát giữa dòng chảy và đáy. Sự tiêu tán năng lợng cơ học do nhớt
rối và nhớt phân tử cũng có thể đuợc kết hợp vào trong số hạng này.



Lực ứng suất gió do trờng gió trên mặt thoáng.



Lực gradient áp suất do trờng áp suất khí quyển trên mặt thoáng.

Ba lực đầu tiên ở trên là lực khối, giá trị của chúng liên quan đến mật
độ nớc trong khi các lực còn lại phụ thuộc vào diện tích mặt thoáng của
khối nớc đợc nghiên cứu.

1.3 Hệ phơng trình nớc nông hai chiều
Các phơng trình thủy động lực học 3 chiều tổng quát mô tả động

lợng và tính liên tục của chất lỏng không nén đợc với mật độ hằng số và
không xét đến sức căng bề mặt có thể đợc biểu diễn nh sau [20]:
u
x
u

+

v
y
u

+u
t
v

x
v
+u

t
w

+u

x
w


(1.1)

(1.3)

(1.2)

(1.4)
trong đó u, v, w là các giá trị tơng ứng khi chiếu vectơ vận tốc lên các trục tọa độ x,


12
y, z; là mật độ nớc; p là áp suất thủy tĩnh của nớc; Fx, Fy và Fz là các thành
phần theo phơng x, y, z của lực khối trên mỗi đơn vị khối lợng; là ứng suất
trợt với các quy ớc sau: chỉ số dới đầu tiên chỉ hớng pháp tuyến với mặt
phẳng đang đợc xét, chỉ số dới thứ hai chỉ hớng của ứng suất.
Các phơng trình tổng quát trên mô tả cho cả hai hiện tợng dòng chảy phân
tầng và dòng chảy rối. Đối với dòng chảy rối các thành phần u, v và w biểu diễn
vận tốc trung bình trong khoảng thời gian đủ nhỏ. Các ứng suất trợt biểu diễn
nh ở trên bao gồm cả ứng suất nhớt và ứng suất Reynold phát sinh từ sự đối lu
động lợng của các chuyển động rối. Để ngắn gọn chỉ các biểu thức ứng suất
trợt trong phơng trình (1.2) đợc trình bày dới đây. Các biểu thức ứng suất
trợt trong các phơng trình (1.3) và (1.4) đợc định nghĩa hoàn toàn tơng tự.
u

xx = à

x

(u u

u

yx = à

y

'
(u

u

zx = à

z

(u

trong đó à là hệ số nhớt động học của nớc; u, v và w là các dao động của
các thành phần vận tốc quanh giá trị trung bình tơng ứng của chúng và dấu
ngoặc chỉ sự trung bình hóa trong một khoảng thời gian đủ nhỏ. Trong các
phơng trình ở trên các nhóm số hạng thứ nhất và thứ hai trong các vế phải của
các phơng trình biểu diễn ứng suất nhớt và ứng suất Reynold tơng ứng.

z

h =


Hình 1.1 Sơ đồ biểu diễn dòng chảy nớc nông trong hệ tọa độ Decard 3 chiều
Các điều kiện biên động học sau đây đợc định nghĩa cho các phơng trình

13
động học tổng quát:
tại mặt thoáng: z=(x,y,t)
dz

=

dt

d

=

dt


t

tại mặt đáy: z= (x,y,t)
dz

=

dt

d

=

dt


t

trong đó , là các cao trình của mặt thoáng và mặt đáy tơng ứng; u , v
và w là các thành phần vận tốc ở mặt thoáng theo các phơng x, y và z; u ,
v và w là các thành phần vận tốc ở mặt đáy theo các phơng x, y và z; R

là lợng ma; F là tốc độ thẩm thấu qua đáy.
Các phơng trình dòng chảy hai chiều đợc thu nhận bằng việc trung bình hóa
các phơng trình (1.1) (1.4) theo chiều sâu sử dụng các điều kiện biên động học
(1.8 và 1.9) cùng một số giả thiết [21] và các phơng trình hai chiều sẽ có dạng:

( )

q
+ x

t




2

[

q

x

t

qy
t

x

q

x

+

[

y qy2
+

trong đó g là gia tốc trọng trờng; q là lu lợng dòng chảy trên mỗi đơn vị chiều
rộng; là ứng suất trợt trên mặt thoáng; là ứng suất trợt tại mặt đáy; là hệ


số hiệu chỉnh động lợng để xét đến ảnh hởng của tính không đồng nhất
của phân bố vận tốc; các hệ số dới x và y là chỉ số chỉ phơng.
Đối với dòng chảy phân tầng, ứng suất nhớt chiếm u thế và có thể bỏ qua ứng
suất Reynold. Phơng trình cho ứng suất trợt tại biên mặt đáy khi đó đợc xác định

nh sau:

f



x

=

8
f



y

=

8

trong đó f là hệ số cản trở dòng chảy. Đối với dòng chảy phân tầng, hệ số cản
dòng chảy đợc định nghĩa bởi phơng trình Darcy-Weisbach nh sau:

f=K0/Re
trong đó K0 là tham số nhám bề mặt và Re là số Reynolds của dòng chảy.
Đối với dòng chảy rối, ứng suất Reynolds chiếm u thế và ứng suất
nhớt có thể bỏ qua. Lực ứng suất trợt trên biên có thể xấp xỉ bởi phơng
trình Manning nh sau:
=g
x

(1.16)
(1.17)

=g
y

trong đó n là hệ số nhám Manning.

Cả hai phơng trình Darcy-Weisbach và phơng trình Manning đều đợc
thu nhận cho dòng chảy dừng và đồng nhất. Do vậy các phơng trình ứng suất
trợt trên biên đợc cho ở trên chỉ đợc xem nh là một xấp xỉ. Các hệ số K0 và n
thờng đợc xác định bằng cách chuẩn hóa hay hiệu chỉnh theo các số liệu đo
đạc. Bảng giá trị của hai tham số đó trong mối liên hệ với các điều kiện bề mặt
có thể đợc tìm thấy trong nhiều tài liệu chuyên khảo (ví dụ theo [22]).


Lực ứng suất trợt trên mặt thoáng thờng đợc tạo ra bởi hai yếu tố: ma và gió.
Trong khi ảnh hởng của gió đối với dòng chảy trên mặt đất có thể đợc bỏ qua thì
ảnh hởng của ma là đáng kể. Khi các hạt ma rơi vào dòng nớc đang chảy, chúng
ảnh hởng đến mặt thoáng của dòng chảy và tạo ra rối trong dòng chảy. Những yếu
tố đó có thể gây mất mát năng lợng và làm gia tăng sức cản dòng chảy [23]. Những
ảnh hởng đó là lớn hơn đối với dòng chảy nớc nông phân tầng nhng


15
lại nhỏ hơn đối với dòng chảy nớc sâu và dòng chảy rối. Khi nớc trở nên
sâu hơn và dòng chảy trở nên rối hơn thì ảnh hởng của ma đến sức cản
dòng chảy có thể đợc bỏ qua [24].
Tóm lại, trong không gian hai chiều các phơng trình nớc nông dới
dạng bảo toàn đợc viết nh sau [19]:

ht + (hu)x + (hv)y = 0

(vh)t + (uvh)x +

(1.18)
= gh(S 0 x S fx )

(1.19)

= gh(S 0 y S fy )

(1.20)

v

trong đó h = là độ sâu; u vận tốc trung bình theo chiều sâu theo phơng
x; v là vận tốc trung bình theo chiều sâu theo phơng y; g là gia tốc trọng
trờng; t là thời gian; S0x và S0y là độ dốc đáy theo phơng x và y; Sfx và Sfy
tơng ứng là hệ số ma sát theo các phơng x và y trong hệ tọa độ Decard.

1.4 Các nhóm số hạng và ý nghĩa vật lý của chúng
1.4.1 Gia tốc địa phơng
Các số hạng quán tính địa phơng, ví dụ u t , biểu diễn tốc độ thay
đổi theo thời gian của vận tốc ở bất kỳ một điểm cố định nào và là những
số hạng duy nhất thể hiện tính không dừng của của dòng chảy [19, pp.26].

1.4.2 Gia tốc convective (số hạng convective)
Các biểu thức gia tốc convective, ví dụ uu x , biểu diễn ảnh hởng của
gradient theo không gian của vận tốc đang đợc truyền tải theo dòng chảy. Ngời ta
cũng đã chỉ ra rằng các số hạng đó cũng quyết định sự hình thành và truyền tải

xoáy. Tổng của các số hạng gia tốc địa phơng và gia tốc convective chính là đạo
hàm vật chất thể hiện gia tốc tổng thể của hạt chất lỏng, biểu thức tổng đợc gọi là
số hạng quán tính. Bằng việc loại bỏ số hạng gia tốc convective, hệ phơng trình trở


thành tuyến tính. Xấp xỉ này phù hợp trong trờng hợp số Reynold nhỏ. Thực nghiệm
chứng tỏ rằng xấp xỉ nh vậy thoả mãn tính ổn định tính toán. Tuy nhiên cơ


16
chế của sự tạo thành và lan truyền xoáy khi đó sẽ bị mất do đó các xoáy và
hoàn lu có thể không mô phỏng đợc nữa [19, pp.26].
1.4.3 Độ dốc của mặt thoáng
Các số hạng độ dốc mặt thoáng, ví dụ g z x , biểu diễn tác động của trọng
trờng. Đối với dòng chảy nớc nông có mặt thoáng, những số hạng đó thờng là
các yếu tố tác động chính và chúng phát sinh từ giả thiết áp suất thủy tĩnh. Trong
các nghiên cứu lý thuyết chúng ta thờng hay phân tích thành phần đó thành

gradient áp suất và độ dốc đáy,

suất do biến thiên độ sâu, phần thứ hai biểu diễn ảnh hởng của địa hình đáy, mà
nó thể hiện tác động nh một lực ngoài. Theo dạng này thì có thể coi h là một ẩn
trong tất cả các phơng trình. Nhng trong các tính toán thực tế chúng thờng đợc
tích hợp vào trong biểu thức, z x , để cực tiểu hóa các sai số do rời rạc hóa, do độ
dốc của mặt thoáng là thờng nhỏ hơn rất nhiều so với độ dốc đáy [19, pp.26-27].

1.4.4 Lực do ứng suất gió bề mặt
Các biểu thức ứng suất gió trên bề mặt, ví dụ x , biểu diễn lực kéo
sinh ra bởi gió thổi trên bề mặt. Tác động của ứng suất gió tỷ lệ nghịch
với độ sâu khối nớc do vậy mà thành phần này có vai trò quan trọng trong

dòng chảy nớc nông [19, pp.28-29].
1.4.5 Ma sát đáy
Các số hạng liên quan đến nhám ở đáy, ví dụ



x

, có ảnh hởng phi

tuyến làm chậm dòng chảy. Thông thờng nhám đáy đợc ớc lợng sử dụng
các công thức thực nghiệm hoặc bán thực nghiệm nh:


Công thức thủy lực: trong trờng hợp hệ phơng trình Saint-Venant một
chiều, biểu thức nhám có thể đợc biểu diễn bằng gSf với Sf là độ nhám
thủy lực. Giả thiết rằng lực ma sát đáy trong dòng chảy hở hai chiều
không dừng có thể đợc ớc lợng bằng cách liên hệ tơng tự tới công thức
này, các công thức chi tiết có thể đợc tìm thấy trong [19, pp.31-34].


17
Công thức hải dơng học: do một số khác biệt giữa vật chất cấu tạo



đáy sông và đáy biển nên các công thức cho biển có sự khác biệt và
cũng có thể đợc tìm thấy trong [19, pp.31-34].
1.4.6 Các lực khối
Các số hạng lực khối biểu diễn ngoại lực tác động lên phần tử chất lỏng

trên mỗi đơn vị khối lợng. Bên cạnh trọng lực đã đợc xét đến còn có hai
ngoại lực khác gồm:


Lực quán tính Coriolis: sinh ra do chuyển động quay của trái đất.



Lực sinh ra thủy triều: đây là lực hấp dẫn vũ trụ theo định luật Newton.
Lực này tác động lên khối nớc và chủ yếu sinh ra do tác động của mặt
trăng và mặt trời. Ngoại trừ các khối nớc lớn nh biển và đại dơng thì lực
sinh ra thủy triều nhìn chung có thể bỏ qua đợc [19, pp.34-36].

1.5 Một số dạng dẫn xuất của hệ phơng trình nớc nông hai chiều
1.5.1 Dạng trong hệ tọa độ Decard (theo các biến u, v và h)
h + (hu) + (hv) = 0

t

x

y

u
u
u
h
t+u x+v y+g x

=

v
v
v
h
t+u x+v y +g y

pa

1
x

=

1


p
y

Các lực ngoài ở vế phải của hai phơng trình cuối cùng đợc ký hiệu ngắn
gọn bởi Fx và Fy; áp suất khí quyển trên mặt thoáng đợc ký hiệu là pa; Ta có thể
thấy xuất hiện vấn đề lựa chọn biến độc lập là h hay z. Do cao trình đáy có thể
biến đổi rất mạnh và do độ dốc đáy đợc xấp xỉ bởi các hằng số theo từng đoạn
trong phơng pháp sai phân nên sai số chứa đựng trong xấp xỉ sai phân cho các
biểu thức g zb x v.v., thờng lớn hơn nhiều so với các sai số khác. Điều này có thể
gây sai số lớn và có thể gây mất ổn định tính toán. Do vậy các đạo hàm riêng theo
không gian của h trong phơng trình động lợng có thể đợc viết lại nh đạo hàm
của z trong khi h vẫn đợc sử dụng trong tất cả các số hạng khác.