Một số phương pháp giải hệ phương trình luận văn thạc sĩ toán học 60 46 01 13

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THỊ KIM NGỌC

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
HỆ PHƯƠNG TRÌNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, NĂM 2013


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THỊ KIM NGỌC

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
TS. PHẠM VĂN QUỐC

HÀ NỘI, NĂM 2013

Möc löc
L˝IC MÌN
L˝I N´I U
1 M¸TS¨D NGH V PH×ÌNGPH PCÌB N
1.1 M¸TS¨D NGH CÌB N ..........................
1.1.1
1.1.2
1.1.3
1.1.4
1.2 PH×ÌNGPH PCÌB N ............................
1.2.1
1.2.2
2 M¸T S¨ PH×ÌNG PH P GI I H PH×ÌNG TR NH
2.1 PH×ÌNGPH P T NPHÖ.........................

2.2 PH×ÌNGPH PBI N ˚IV PH×ÌNGTRNHTCH . . .

2.3 PH×ÌNGPH PDÒNGH NG NGTHÙC..............

2.4 PH×ÌNGPH PDÒNGTNH ÌN I UCÕAH MS¨. .

2.5 PH×ÌNGPH PDÒNGBT NGTHÙC..................
2.6 PH×ÌNGPH PL×ÑNGGI CHO .....................
2.7 PH×ÌNGPH PSÛDÖNGS¨PHÙC.....................

3

3 M¸T V I ÙNG DÖNG CÕA H PH×ÌNG TR NH
3.1

ÙNG DÖNG TRONG X T T×ÌNG GIAO CÕA HA

3.2

ÙNGDÖNGTRONGGI IPH×ÌNGTRNH.. . . . . . .

3.3

ÙNGDÖNGTRONGTMGTLN,GTNN. . . . . . . . .

3.4

ÙNGDÖNGTRONGGI IB ITO NKINHT . . . . . . .

K TLU N.......................................
T ILI UTHAMKH O..............................

4


LIC MèN
Ho n th nh ữổc bÊn lun vôn n y, ngo i sỹ nỉ lỹc ca bÊn thƠn, tổi  nhn ữổc sỹ
ch bÊo, giúp ù t nhiu pha ca cĂc thy, cổ giĂo, gia nh v bn b.
Lới u tiản, tổi xin b y tọ lặng bit ỡn sƠu sc tợi TS. Phm Vôn Quc, ngữới thy  tn
tnh hữợng dÔn v ch bÊo tổi trong sut quĂ trnh l m lun vôn.
Tổi xin chƠn th nh cÊm ỡn cĂc thy, cổ giĂo khoa ToĂn-Cỡ-Tin hồc, Trữớng i hồc Khoa
hồc tỹ nhiản- i hồc Quc gia H Ni, nhng ngữới  trỹc tip giÊng dy v giúp ù tổi trong

quĂ trnh hồc tp ti trữớng cũng to n th bn b v ngữới thƠn  õng gõp ỵ kin, giúp ù, ng
viản tổi trong quĂ trnh hồc tp, nghiản cứu v ho n th nh lun vôn n y.
Mc dũ bÊn thƠn  rĐt c gng v nghiảm túc trong hồc tp cụng nhữ nghiản cứu khoa
hồc những do thới gian cõ hn, kin thức bÊn thƠn cặn hn ch nản trong quĂ trnh thỹc
hiằn khổng trĂnh khọi sỡ suĐt. Knh mong nhn ữổc sỹ gõp ỵ ca thy cổ v cĂc bn.
Tổi xin trƠn trồng cÊm ỡn!

5


LI M

U

Chuyản hằ phữỡng trnh l mt ni dung quan trồng, cn thit, cõ th xem nhữ
mt trong nhng dng toĂn cỡ bÊn nhĐt ca chữỡng trnh i s bc trung hồc. CĂc b i toĂn
v giÊi hằ phữỡng trnh xuĐt hiằn hu ht cĂc k thi i hồc, Cao flng v cĂc k thi Hồc
sinh giọi.
ứng trữợc mt hằ phữỡng trnh hồc sinh cn phÊi bit phƠn tch, nhn dng v chồn
lỹa phữỡng phĂp giÊi thch hổp. Mỉi b i toĂn u cõ th cõ nhiu cĂch giÊi. Tuy nhiản, viằc
hằ thng hoĂ cĂc phữỡng phĂp giÊi s cho php nhn nhn cĂc b i toĂn theo mt hằ thng
nhĐt quĂn. Do õ tổi  lỹa chồn nghiản cứu t i Mt s phữỡng phĂp giÊi hằ phữỡng trnh .
BÊn lun vôn ữổc chia l m 3 chữỡng:
Chữỡng 1. Mt s dng hằ v phữỡng phĂp cỡ bÊn.
Chữỡng n y nhc li mt s dng hằ cỡ bÊn v phữỡng phĂp giÊi nhữ: Hằ phữỡng trnh
bc nhĐt hai 'n, hằ i xứng, flng cĐp, hoĂn v vặng quanh cũng cĂc phữỡng phĂp cỡ bÊn l
cng v th.
Chữỡng 2. Mt s phữỡng phĂp giÊi hằ phữỡng trnh.
chữỡng n y, lun vôn nảu ra mt s phữỡng phĂp giÊi cõ th nghắ tợi khi gp mt hằ
phữỡng trnh m khổng sò dửng ữổc cĂc dng cỡ bÊn chữỡng 1.

Chữỡng 3. Mt v i ứng dửng ca hằ phữỡng trnh.
Lun vôn trnh b y 4 ứng dửng thữớng gp ca hằ phữỡng trnh l : ng dửng trong
viằc xt tữỡng giao gia hai ỗ th; trong giÊi phữỡng trnh; trong tm GTLN, GTNN v
trong b i toĂn kinh t.

H ni, thĂng 12 nôm 2013
TĂc giÊ lun vôn

NGUY N TH KIM NGC

6


Ch֓ng 1

M¸T S¨ D NG H

V

PH×ÌNG

PH PCÌB N
1.1
1.1.1

M¸TS¨D NGH
H

CÌB N

PH×ÌNG TR NH B C NH T HAI

N

*) Cì sð ph÷ìng ph¡p
a)

ành ngh¾a: H» ph÷ìng tr…nh b“c nh§t hai 'n l h» câ d⁄ng
8
<

>

a1x + b1y = c1

>

a2x + b2y = c2

:
b)

C¡ch gi£i: Thæng th÷íng sß döng mºt

trong ba c¡ch sau: C¡ch 1: Ph÷ìng ph¡p th‚.
C¡ch 2: Ph÷ìng ph¡p cºng.
C¡ch 3: Ph÷ìng ph¡p dòng ành thøc.
K‰ hi»u:
D=

TH1: D = 0, h» câ nghi»m duy nh§t
TH2: D = D x = Dy = 0, h» câ væ sŁ

a1

b1

a2

b2

= a1


7


8
>
>
>

<

>

D=0

2

TH3:
6

>
>

>

Dx 6= 0 , h» væ nghi»m.

4

>

:

Dy 6= 0

*) V‰ dö ¡p döng

8
<

>

V‰ dö 1.1. Cho h» ph÷ìng tr…nh

8X+Y =17

>

3X+7Y =1

:
Sß döng mºt trong c¡c ph÷ìng ph¡p tr¶n d„ d ng t…m

÷æc nghi»m (2;1).

B‹ng c¡ch thay X; Y bði c¡c bi”u thøc kh¡c cıa 'n ta s‡ s¡ng t¡c ra væ sŁ h» mîi. V‰ dö:

Thay

Thay

V‰ dö 1.2. Gi£i h» ph÷ìng tr…nh

>

:

Gi£i.
2

°t t = y h» trð th nh

2

D = x + 6;

2

Do t = y suy ra

x2y + 2x2 + 6y = 23


2

(x + 6)(
,

2

2

4

2

(1 x)(1 + x)(1 + x )(x + 16x + 95) = 0
x=1

V“y h» ¢ cho câ hai nghi»m (1;3), (-1;3).

8


1.1.2

H

PHìèNG TR NH

ăI XNG

*) Cỡ s phữỡng phĂp
1) Hằ phữỡng trnh

i xứng loi 1

8

> F (x; y) = 0

a)

nh nghắa: Hằ phữỡng trnh i xứng loi 1 l hằ cõ dng
Trong õ F (x; y); G(x; y) l cĂc

b) CĂch giÊi:

<

> G(x; y) = 0

:
a thức i xứng vợi x; y.

t S = x + y; P = x:y ( iu kiằn S

2

4P ).

8

>F1(S;P) = 0

Dũng tnh i xứng ta ữa hằ v dng

<

>G1(S;P) = 0

:
GiÊi hằ trản tm ữổc S; P t õ theo nh lỵ Viet Êo, x; y l
-Mt s biu din biu thức i xứng qua S; P :
2

2

2

3

3

3

+) x + y = (x + y)

+) x + y = (x + y)
2

2

+) x y + xy = P S:
4

4

4

2 2

+) x + y = (x + y) + 2x y
2) Hằ phữỡng trnh i xứng loi 2

a) nh nghắa: Hằ phữỡng trnh i xứng loi 2 l hằ cõ dng

Trong õ F (x; y) l a thức khổng i xứng.
b) CĂch giÊi: Tr hai phữỡng trnh v theo v ta ữổc F (x; y)
Coi x l 'n s, y l tham s v
F (y; x) = f(y) + g(x). Khi õ
( ) , G(x) := f(x) + g(y)
Ta cõ G(y) = f(y) + g(y)

f(y)

f(y)

g(x) = 0

g(y) = 0.

Suy ra y l nghiằm ca phữỡng trnh G(x) = 0. Chứng tọ G(x) cõ chứa nhƠn tò (x y) theo
nh lỵ Bezout.

Nhữ vy ta cõ cĂch giÊi hằ i ứng loi 2 l : tr hai phữỡng trnh v theo v ữổc G(x; y)
= (x y):M(x; y) = 0: Sau õ giÊi hằ trong tng trữớng hổp x = y v M(x; y) = 0: *) V dử Ăp
dửng
Loi 1: Hằ phữỡng trnh

i xứng loi 1

9


8
V‰ dö 1.3. Gi£i h» ph÷ìng tr…nh

> a+b=4

<

>

a2 + b2 = 8

:

Gi£i.

8a + b = 4
>

a2 + b2 = 8

,

<
>

:

V“y h» câ nghi»m a = b = 2.

p

p

p

Thay a = 2 xy; b = x + y ta

÷æc h»:

V‰ dö 1.4. Gi£i h» ph÷ìng tr…nh
>

:

Nh“n x†t: ¥y ¢ l h» ph÷ìng tr…nh Łi xøng lo⁄i 1 nh÷ng ta khæng °t S; P ngay (v…

p

p

chøa x + y). Ta theo c¡ch ¢ t⁄o ra h» n y:
Gi£i.

H» trð th nh

Thay v o b÷îc °t ta ÷æc
>

:
V“y h» ¢ cho câ mºt nghi»m duy nh§t (1;1).
T÷ìng tü tr¶n x†t c¡c h»:
V‰ dö 1.5. Gi£i h» ph÷ìng tr…nh
Gi£i.

Nh“n x†t y = 0 khæng tho£ m¢n h» ph÷ìng tr…nh suy ra y 6= 0.
3

Chia 2 v‚ ph÷ìng tr…nh (1) cho y v

8

9(3x

3

>

x2

>
<

45

>

y

3

3

>

:

u

>

uv(u + v) = 6

8

+v

,

<

>
:
H» trð th nh

10


+

+

<
:

>

3 3

2 2

x y + x y + xy + 1 = 4y

3

Gi£i.
K y 6= 0.

H» t÷ìng ÷ìng

u=x+
°t

8
>
>
<

2
v= x

>

>

1

x+

:

8
)

>

>

y
2

1

x+

<

>

2

y


:

>

Qua c¡c v‰ dö
qua bi‚n Œi ho°c °t 'n phö ta ÷a v• h» Łi xøng lo⁄i 1.
Lo⁄i 2: H» ph÷ìng tr…nh Łi xøng lo⁄i 2
Łi vîi h» ph÷ìng tr…nh Łi xøng lo⁄i 2, n‚u f(x; y) l
v‚ cıa hai ph÷ìng tr…nh ta ÷æc ph÷ìng tr…nh d⁄ng (x
M(x; y) = 0 n‚u M(x; y) l

” ÷æc mºt h» Łi xøng lo⁄i 1.
V‰ dö 1.7. Gi£i h» ph÷ìng tr…nh

8

Gi£i.

Trł v‚ theo v‚ cıa hai ph÷ìng tr…nh ta ÷æc

,
4

x
2

6

y=0
2

x + y + xy
11

5=0


y = 0 , x = y thay v o (1):

+) x
2

2
+) x + y + xy 5 = 0:
Cºng v‚ theo v‚ cıa ph÷ìng tr…nh (1) v
Ta câ h»

2

8

x

>

x3

<

°t S =

>
:
2
x + y; P = xy; (S

<
>

8
>

<
>
:

V“y h» ¢ cho câ 3 nghi»m (0; 0); ( 5;

V‰ dö 1.8. Gi£i h» ph÷ìng tr…nh
Gi£i. K x 1; y 1.

Trł v‚ theo v‚ cıa 2 ph÷ìng tr…nh ta ÷æc


, x = y:
Thay v o h» ta ÷æc
M°t kh¡c ta câ (x
8p

)

>
<

>

:
V“y h» ¢ cho câ nghi»m x = y = 10:
N‚u ta thay

Œi h» sŁ tü do mºt chót ta s‡ câ b i to¡n mîi nh÷ sau:

V‰ dö 1.9. Gi£i h» ph÷ìng tr…nh
p
>

:
12


Nh“n x†t: B i n y ta ho n to n câ th” gi£i b‹ng c¡ch trł tłng v‚ cıa hai ph÷ìng tr…nh
t÷ìng tü v‰ dö tr¶n. Tuy nhi¶n ta câ th” câ líi gi£i ng›n gån hìn nhí ¡nh gi¡ nh÷ sau: Gi£i.
Kx

1; y

1. Khi â
p
p

x
y

1+
1+

p
p

y+6
x+6

D§u = x£y ra khi x=y=1.
V“y h» câ nghi»m duy nh§t (1;1).

V‰ dö 1.10. Gi£i h» ph÷ìng tr…nh

Gi£i.
K x 0; y 0.
Nh“n x†t (0;0) l mºt nghi»m cıa h».
X†t x>0, y>0. Trł tłng v‚ cıa hai ph÷ìng tr…nh ta câ

, (x y)(x + y +
Thay v o h» ta câ
x

,

V… x = y n¶n h» ¢ cho câ 3 nghi»m: (0; 0); (1; 1); (

V‰ dö 1.11. Gi£i h» ph÷ìng tr…nh
Gi£i.

p
7

p
7


K 3 x; y 5.
C¡ch 1

Nh“n x†t (3;3), (5;5) khæng ph£i l
Trł v‚ theo v‚ cıa hai ph÷ìng tr…nh ta

־c

13


p

x 3

,p
,

x y = 0 , x = y:

Thay v o h» ta câ

Ta công câ th” ch¿ ra x = y nh÷ sau:
C¡ch 2
H» t÷ìng ÷ìng

>

p

Tł i•u ki»n cıa x; y suy ra x

B…nh ph÷ìng hai v‚ ta ÷æc

8
>
<

>

:
C¡ch 3: Tł h» suy ra

8

>

<
p

>

:
M theo b§t flng thøc BSC

( y 3 + p 5 x) = 4

(p

x 3


DĐu bng xÊy ra

<

V dử 1.12. GiÊi hằ phữỡng trnh
GiÊi.
:

Tr v theo v ca hai phữỡng trnh trản suy ra
14
x

2

y

x

2 +3

y

y) = 0 (1)

3 + 3(x

+) Nu x > y th (1) vổ nghiằm.
+) Nu x < y th (1) vổ nghiằm.
+) x = y thoÊ mÂn (1). Hằ (I ) tữỡng

ữỡng vợi

3
x

x

(2) , 2 + 3

x

(2)

3x 2 = 0.
x

x

Xt h m s f(x) = 2 + 3
0

Cõ f (x) l h m liản tửc v ỗng bin trản R.
0
V
lim f (x) = +
x

Suy ra phữỡng trnh f(x) = 0 cõ ti a 2 nghiằm. M f(0) = f(1) = 0 nản x = 0; x = 1 l hai
nghiằm ca phữỡng trnh (2).
Vy hằ (I ) cõ 2 nghiằm l (0;0) v (1;1).
Nhn xt: i vợi cĂc hằ phữỡng trnh i xứng loi 2 m cĂc phữỡng trnh th nh phn

l phữỡng trnh siảu viằt viằc l m xuĐt hiằn nhƠn tò (x y) gp khõ khôn ta s chứng tọ x
= y bng cĂc phữỡng phĂp bĐt flng thức hoc h m s. . .
B i tp tữỡng tỹ
GiÊi cĂc hằ phữỡng trnh sau:

8
<

>

2

2

x + y + xy = 3


1.

>

:

S: (1;1), (-1;-1).
2.

<
:

xy3 + x3y = 2

>

xy(xy + x + y + 1) = 12
2

2

H÷îng d¤n: °t u = x + x; v = y + y:
3

8 x + 1 = 2x

3.

2

> y3 + 1 = 2y2

<

>

:

1.1.3

H

PH×ÌNG TR NH

NG C P

*) Cì sð ph÷ìng ph¡p
a)

ành ngh¾a:
+

k

Bi”u thøc f(x; y) gåi l flng c§p b“c k n‚u f(mx; my) = m f(x; y):
15


8
+ H»
b)

<

:

>

f(x; y) = a

>

g(x; y) = b

trong â f(x; y); g(x; y)

flng c§p b“c k gåi l h»

flng c§p.

C¡ch gi£i:

X†t x = 0 thay v o h» ki”m tra xem câ tho£ m¢n khæng.

a

Chia v‚ theo v‚ cıa hai ph÷ìng tr…nh ta ÷æc f(1; t) = bg(1; t). Gi£i ph÷ìng tr…nh n y t…
m ÷æc t thay v o h» ta t…m ÷æc (x; y).
*) V‰ dö ¡p döng

8

V‰ dö 1.13. Gi£i h» ph÷ìng tr…nh
Gi£i.

D„ th§y x = 0 khæng tho£ m¢n h» suy ra x 6= 0.
°t y = tx thay v o h» ta ÷æc
8
>

<
>

:
)

+) t = 0 ) y = 0 ) x = 1.
+) t = 1 ) y = x thay v o h» ) 2x

3

V“y h» ¢ cho câ 2 nghi»m (1; 0); (
V‰ dö 1.14. Gi£i h» ph÷ìng tr…nh

8

Gi£i.

8

°t y = tx h» trð th nh

<

>

2

2

22

x + 2x t 3x t = 0 (1)

(1)

+) Vîi t = 1;

x
,

2

(1 +


+) Vîi t =
V“y h» ¢ cho câ 2 nghi»m ( 1;
Nhœng h» ph÷ìng tr…nh tr¶n ta •u nh“n ra ngay d⁄ng h» flng c§p. Sau ¥y ta x†t mºt
sŁ v‰ dö m ph£i qua bi‚n Œi mîi ÷a ÷æc v• h» flng c§p .
8
2
> 2y(x

V‰ dö 1.15. Gi£i h» ph÷ìng tr…nh

<

2

y ) = 3x

>x(x2 + y2) = 10y

:
(Tr‰ch • thi chån ºi tuy”n THPT chuy¶n Lam Sìn, Thanh Ho¡ 2010)
Gi£i.
Nh“n x†t n‚u x = 0 th… y = 0 v ng÷æc l⁄i n¶n (0,0) l mºt nghi»m cıa h». X†t
xy 6= 0, tł h» suy ra
2

20y (x

2

2

2

2

2

y ) = 3x (x + y ) , 3x

4

V… x 6= 0, °t y = tx ph÷ìng tr…nh trð th nh

4

2

4

x (3 17t + 20t ) = 0

+) t =

)y=

2
1

+) t =

)

2

3

+) t =

r

+) t =

5

r

V“y h» ¢ cho câ 5 nghi»m (0; 0); (2; 1); (

Nh“n x†t: D§u hi»u ” ta câ th” nh“n ra y‚u tŁ flng c§p â l
tr…nh •u l»ch nhau 2 b“c. Do â ta ¢ nh¥n hai ph÷ìng tr…nh l⁄i vîi nhau ” ÷æc mºt ph÷ìng
tr…nh çng b“c.
Ta x†t mºt sŁ v‰ dö nœa v• ÷a mºt h» v• ph÷ìng tr…nh çng b“c: