Một số thuật toán chiếu điểm gần kề giải phương trình với toán tử đơn điệu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THỊ HUỆ

MỘT SỐ THUẬT TOÁN CHIẾU ĐIỂM GẦN KỀ
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ VỚI TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội 2011


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THỊ HUỆ

MỘT SỐ THUẬT TOÁN CHIẾU ĐIỂM GẦN KỀ GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH VỚI TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU

Chuyên ngành: Toán học tính toán
Mã số: 604630

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Giáo viên hướng dẫn: GS TSKH Phạm Kỳ Anh

Hà Nội 2011

Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bảng ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Kiến thức chuẩn bị
1.1

Một số khái niệm . . . . . . . . . . . .

1.2

Phép chiếu trong không gian Hilb

2 Phương pháp chiếuđiểm gần kề
2.1

Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2

Sự hội tụ mạnh của phương phá
2.2.1
2.2.2

2.3
3

4

Phương pháp chiếuđiểm gần kề

Phương pháp CQ
3.1

Các bổ đề quan trọng . . . . . . . . .

3.2

Một số thuật toán CQ trong khôn

3.3

Một số thuật toán CQ trong khôn

Áp dụng
4.1

Bài toán khôi phục ảnh . . . . . . . .
4.1.1
4.1.2

4.2

Giải hệ phương trình đại số tuyế
4.2.1
ii


4.2.2 Phương pháp CQ song song . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Kết
luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Tài liệu tham khảo . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51


Bảng ký hiệu

φ(, )
∂f
E∗
F(T)
F(T)
I
J
P C( )
ri(D)
,
⇀Hội tụ yếu

Tích đối ngẫu hoặc tích vô hướng

S
T

Tập các không điểm hay tập
nghiệm T
Kết thúc chứng minh


Lời nói đầu
Nhiều vấn đề của khoa học và kỹ thuật như bài toán chấp nhận lồi có ứng
dụng trong lý thuyết tối ưu, khôi phục ảnh, phương pháp xử lý bức xạ,..., có thể

đưa về bài toán tìm nghiệm của hệ phương trình với toán tử đơn điệu hoặc tìm
điểm bất động của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn (tương đối).
Thuật toán điểm gần kề tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại được
Rockafellar [8] đề xuất vào năm 1976 và trải qua nhiều lần cải biên. Tuy nhiên
các thuật toán này nói chung chỉ cho kết quả hội tụ yếu. Năm 2000, M. V.
Solodov và B. F. Svaiter [11] đã kết hợp thuật toán điểm gần kề với phép chiếu
đơn giản lên giao của các nửa không gian để thu được kết quả hội tụ mạnh.
Gần đây, P. K. Anh và C. V. Chung [3] đã thực hiện song song hóa thuật toán
chiếuđiểm gần kề để tìm nghiệm của hệ phương trình toán tử đơn điệu.

Cũng dựa trên ý tưởng lai ghép, Nakajo và Takahashi đã thu được định
lý hội tụ mạnh cho ánh xạ không giãn tương đối trong không gian Hilbert và
S. Matsushita [7] đã tổng quát kết quả này cho không gian Banach. Năm
2011, Liu [6] đã cải biên thuật toán CQ của Qin và Su [9] để thu được định
lý hội tụ mạnh cho thuật toán lặp xoay vòng tìm điểm bất động chung của
một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn tương đối trong không gian Banach.
Đến năm 2011, P. K. Anh và C. V. Chung đã đề xuất phương pháp CQ song
song và chỉ ra rằng thuật toán này tốt hơn thuật toán lặp xoay vòng của Liu
ngay cả khi chạy ở chế độ tuần tự.
Bản luận văn này tập trung trình bày các thuật toán lai ghép với phép
chiếu để giải hệ phương trình với các toán tử đơn điệu trong không gian
Hilbert và tìm điểm bất động của họ các ánh xạ không giãn tương đối trong
không gian Banach.
Ngoài các phần Mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm 4
chương:
Chương 1: "Kiến thức chuẩn bị" trình bày một số khái niệm về toán tử đơn


Lời nói đầu

vi

điệu, hình học của không gian Banach và một vài tính chất quan trọng của
phép chiếu dùng trong luận văn.
Chương 2: "Phương pháp chiếuđiểm gần kề " trình bày hai thuật toán lai
ghép giữa phương pháp chiếu và phương pháp điểm gần kề trong không
gian Hilbert, trong đó phần 2 của Chương 2 trình bày thuật toán chiếuđiểm
gần kề tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại (đơn trị hoặc đa trị) và
các định lý hội tụ mạnh; phần 3 của Chương 2 trình bày thuật toán chiếuđ
iểm gần kề song song tìm nghiệm của hệ phương trình toán tử đơn điệu và
định lý hội tụ mạnh của nó.
Chương 3: "Phương pháp CQ" trình bày các định lý hội tụ mạnh của
phương pháp CQ cho một toán tử không giãn tương đối, phương pháp CQ
xoay vòng và phương pháp CQ song song cho một họ các toán tử không
giãn tương đối trong không gian Banach. Phần 3 của Chương 3 trình bày
một ứng dụng của phương pháp CQ và một cải biên của CQ song song
trong không gian Hilbert. Chương 4: "Áp dụng", chúng tôi áp dụng các
phương pháp song song trong luận văn để giải bài toán khôi phục ảnh trong
không gian Hilbert và giải hệ phương trình đại số tuyến tính. Trong chương
này chúng tôi cũng đưa ra một ví dụ số thực hiện trong môi trường Matlab
và minh họa hình học cho phương pháp chiếuđiểm gần kề song song.
Hà nội, ngày 1 tháng 12 năm 2011


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Một số khái niệm

Cho H là không gian Hilbert thực, E là không gian Banach và E∗ là đối
ngẫu của E.
1. Tập lồi: Tập C ⊂ H (hoặc E) được gọi là lồi nếu C chứa mọi đoạn thẳng

nối hai điểm bất kỳ của nó. Tức là C lồi khi và chỉ khi
∀x, y ∈ C, ∀α ∈ [0, 1] ⇒ αx + (1 − α)y ∈ C.
2. Toán tử đơn điệu: Ánh xạ T : E → E∗ được gọi là đơn điệu nếu

T x − T y, x − y ≥ 0

∀x, y ∈ E,

trong đó ký hiệu f, x chỉ tích đối ngẫu. Trường hợp E = E∗ = H ta có tích vô
hướng trong H.
Bổ đề 1.1.1. Giả sử S là tập các không điểm của T , tức là
S = {x ∈ H | T x = θ}.
Nếu T là toán tử đơn điệu và S = ∅ thì S là tập lồi.
Chứng minh. Với mọi x1, x2 ∈ S và t ∈ (0, 1) đặt x = tx1 + (1 − t)x2. Vì T là
toán tử đơn điệu nên ta có
0 ≤ T x − T x1, x − x1 = T x, tx1 + (1 − t)x2 − x1
= (1 − t) T x, x2 − x1
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị


và
0 ≤ T x − T x2, x − x2 = T x, tx1 + (1 − t)x2 − x2
= t T x, x1 − x2 .

Từ điều này suy ra T x, x1 − x2 = 0. Vậy T x = θ nghĩa là x ∈ S.
3. Toán tử ngượcđơn điệu mạnh: T được gọi là đồng bức với hằng số c > 0

hay cngược đơn điệu mạnh trên H nếu
T x − T y, x − y ≥ c T x − T y

2

∀x, y ∈ H.

4. Toán tử đơn điệu cực đại: Toán tử T được gọi là đơn điệu cực đại nếu nó

là đơn điệu và đồ thị của nó không phải là tập con thực sự của đồ thị của
một toán tử đơn điệu nào khác.
Toán tử J : E → E∗ xác định bởi
∗

J(x) = {f ∈ E | f, x =

x

2

E

= f

2
E∗

}

được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc. Hàm số φ : E × E → R cho bởi

φ(y, x) =

2

y − 2 y, Jx + x

2

với mọi x, y ∈ E, trong đó J là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc từ E vào E∗. Đại
lượng φ(x, y) gọi là khoảng cách suy rộng trên E.
5. Ánh xạ không giãn và ánh xạ không giãn tương đối: Cho C là một tập con lồi

đóng của E và T là ánh xạ từ C vào chính nó. Ký hiệu F (T ) là tập các điểm bất
động của T . Một điểm p trong C được gọi điểm bất động tiệm cận của T

nếu C chứa một dãy {xn} hội tụ yếu tới p sao cho lim (xn − T xn) = 0. Ký
n→∞

hiệu tập tất cả các điểm bất động tiệm cận của T là F (T ). Ánh xạ T được gọi là
không giãn nếu T x − T y ≤ x − y ∀ x, y ∈ C. T là ánh xạ không giãn tương đối
nếu F (T ) = F (T ) và φ(p, T x) ≤ φ(p, x) với mọi x ∈ C và p ∈ F (T ).

Nếu T là toán tử không giãn trên không gian Hilbert thì A = I − T là toán
tử đơn điệu, trong đó I là toán tử đồng nhất. Thật vậy, với mọi x, y ∈ H ta có


Tx−Ty≤

x−y.

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Do đó
2

2

0 ≤ Ax − Ay =

x − y − 2 x − y, T x − T y + T x − T y
≤ 2 x−y

2

2

− x − y, T x − T y

= 2 Ax − Ay, x − y .
6. Không gian Banach lồi đều: Không gian Banach E được gọi là lồi đều nếu

với mọi ε > 0 tồn tại δ(ε) > 0 sao cho với mọi x, y ∈ E, x ≤ 1, y ≤ 1 và x − y ≥
ε ta luôn có x + y < 2(1 − δ(ε)).
Chú ý 1. Có thể thay đổi như sau: với mọi x, y ∈ E, d > 0 tồn tại δ(dε ), x ≤
ε

d, y ≤ d, x − y ≥ ε ta có x + y ≤ 2d(1 − δ(d )).
Chú ý 2. Mọi không gian Hilbert đều là không gian lồi đều. Thật vậy, giả sử
ε > 0, x ≤ 1, y ≤ 1 sao cho
suy ra

2

2

x+y =2 x + y

2

2

2

− x−y ≤4−ε .

Do đó
x+y
Chú ý 3. Mọi không gian Banach lồi đều là không gian phản xạ, tức là E ∗∗ = E.
7. Không gian Banach lồi chặt: Không gian Banach E được gọi là lồi chặt nếu

với mọi x, y ∈ E, x = y, x ≤

1, y ≤

1 ta có x + y < 2.

8. Không gian Banach trơn và trơn đều: Đặt U = {x ∈ E | x = 1} là hình cầu

đơn vị của E. Khi đó không gian Banach E được gọi là trơn nếu giới hạn
lim
t→0

tồn tại với mỗi x, y ∈ U. E được gọi là trơn đều nếu giới hạn trên đều với
mọi x, y ∈ U. Nếu E là trơn đều thì J liên tục chuẩnchuẩn đều trên mỗi tập
con bị chặn của E.
9. Tính chất KadecKlee: Không gian Banach E có tính chất KadecKlee nếu

xn ⇀ x và xn → x thì xn → x khi n → ∞.
Bổ đề 1.1.2. Mọi không gian Banach lồi đều đều có tính chất KadecKlee.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Chứng minh. Giả sử xn ⇀ x và
Nếu x = θ thì xn → 0 suy ra xn → θ.
Nếu x = θ, không giảm tổng quát coi
xn
xn

yn =

ta có yn = 1

f
suy ra yn ⇀ x. Do E lồi đều nên tồn tại δ > 0 sao cho với mọi ξ > 0, δ(ξ) > 0

Mặt khác, với mọi f ∈ E∗ và f = 1 ta có
yn + x ≥ f (yn + x) = f (yn) + f (x).
Do đó

Theo định lý HahnBanach: tồn tại f ∈ E∗, f = 1, f (x) = x sao cho

suy ra yn → x khi n → ∞ và xn = xn yn → x x = x. Vậy xn → x.

1.2

Phép chiếu trong không gian Hilbert


Định nghĩa 1.2.1. Cho A là một tập khác rỗng (không nhất thiết lồi) của H và
điểm x ∈ H. Đặt
d

x
A(

Ta nói dA(x) là khoảng cách từ x đến A. Nếu tồn tại π ∈ A sao cho dA(x) =
π −x thì ta nói π là hình chiếu vuông góc của x lên A. Ký hiệu là π = PA(x).

Sau đây là một số tính chất quan trọng của phép chiếu trực giao mà
chúng ta sẽ sử dụng trong Chương 2, 3 và 4.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Bổ đề 1.2.1. Cho A là một tập lồi, đóng, khác rỗng của H. Khi đó với mọi x, y
∈ H và z ∈ A, các tính chất sau đúng:
x − PA(x), z − PA(x) ≤ 0;
2

2

2

PA(x) − PA(y) ≤ x − y − PA(x) − x + y − PA(y) .
Bổ đề 1.2.2. Cho A là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H. Khi đó với mọi
x ∈ H hình chiếu PA(x) của x trên A luôn tồn tại và duy nhất.
Chứng minh.
tồn tại dãy {yk} ∈ A sao cho
lim yk − x

= dA(x) < +∞.

k

Vậy dãy {yk} bị chặn, do đó nó có một dãy con {y kj } hội tụ đến một điểm π
nào đó. Do A đóng nên π ∈ A. Vậy
π

x

−
Chứng tỏ π là hình chiếu của x trên A.
Bây giờ ta chỉ ra tính duy nhất của hình chiếu. Thật vậy, nếu tồn tại hai
điểm π và π1 đều là hai hình chiếu của y trên A thì


π − x, π − y ≤ 0, π1 − x, π1 − y ≤ 0, với
mọi y ∈ A. Suy ra
π − x, π − π1 ≤ 0,

π1 − x, π1 − π ≤ 0.

Cộng hai bất đẳng thức này ta suy ra π − π1 ≤ 0 và do đó π = π1.

= b} của H. Khi đó hình chiếu của
Cho siêu phẳng H = {z ∈ H | a, z
điểm x ∈ H bất kỳ lên H là
PH (x) = x −

a, x − ba.
a2


Chương 2
Phương pháp chiếuđiểm gần kề
Trong chương này chúng ta sẽ đề cập đến một cải tiến của phương pháp điểm
gần kề cổ điển giải bài toán tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại trong
không gian Hilbert vô hạn chiều. Thuật toán mới thu được bằng cách lai ghép
phương pháp điểm gần kề và phương pháp chiếu. Trong thuật toán này, chúng
ta vẫn giữ lại những ưu điểm của phương pháp điểm gần kề trong khi không
mất nhiều chi phí tính toán trong bước chiếu. Đặc biệt, dựa vào tính chất của
toán tử đơn điệu cực đại và tính chất của phép chiếu, thuật toán sẽ cho chúng
ta kết quả hội tụ mạnh đến một nghiệm của bài toán.

2.1

Giới thiệu

Xét bài toán
tìm x ∈ H sao cho 0 ∈ T (x),
trong đó H là không gian Hilbert và T ( ) là một toán tử đơn điệu cực đại (nói
chung là toán tử đa trị) trên H. Ký hiệu tập nghiệm của bài toán này là
S := {x ∈ H | 0 ∈ T (x)}.
2. Phương pháp điểm gần kề: Giả sử đã có x k ∈ H là một xấp xỉ tới nghiệm

của bài toán (2.1), điểm lặp tiếp theo thu được từ việc giải bài toán phụ gần
kề
k

0 ∈ T (x) + k(x − x ),
trong đó

k>

0 là tham số hiệu chỉnh.
Chương 2. Phương pháp chiếuđiểm gần kề


Nếu dãy tham số hiệu chỉnh { k} được chọn bị chặn thì dãy lặp {x k} của
phương pháp điểm gần kề hội tụ yếu tới một nghiệm của bài toán (2.1) (giả
thiết bài toán (2.1) có nghiệm). O. G¨uler [4] đã đưa ra ví dụ một hàm f lồi
thực sự trong không gian Hilbert vô hạn chiều l2, thuật toán điểm gần kề cho
T = ∂f hội tụ yếu nhưng không hội tụ mạnh.
2. Việc giải chính xác bài toán phụ gần kề (2.2) nói chung khó thực hiện. Vì

vậy trong thực tế bài toán (2.2) chỉ cần giải gần đúng, nghĩa là tìm một cặp
k

k

k

y ∈ H và v ∈ T (y ) sao cho
k

k

k

k

ε = v + k(y − x ),
trong đó εk là sai số trên nghiệm chính xác của bài toán con (2.2).
Trong phương pháp điểm gần kề gần đúng thuần túy, điểm lặp tiếp theo
được xác định từ công thức
k+1

x

k

:= y .

Các điều kiện đảm bảo các phép lặp (2.3) hội tụ là
∞

k

ε ≤ σk k,
k=0

hoặc
k

ε ≤ σk

k

k

k

y −x ,
k=0

Điều kiện đầu tiên sẽ đảm bảo sự hội tụ toàn cục, trong khi điều kiện thứ hai
(cùng với giả thiết nào đó) sẽ cho tốc độ hội tụ tuyến tính địa phương. Chú ý
rằng, dãy khả tổng {σk} nói chung là được chọn trước.
Trong điều kiện thứ hai, sai số cho phép σk thỏa mãn
ε

k

Trong mọi trường hợp σk → 0, nên các điều kiện đặt lên sai số ε k là quá
chặt. Nếu {σk} là dãy hằng khác không thì sự hội tụ của dãy lặp gần kề gần
đúng không được đảm bảo, thậm chí cả trong trường hợp hữu hạn chiều.


3. Để khắc phục những khó khăn trong đánh giá sai số của thuật toán điểm

gần kề gần đúng thuần túy, chúng ta sẽ phải cải tiến phương pháp này theo
Chương 2. Phương pháp chiếuđiểm gần kề

hướng cố định sai số cho phép σ. Nói cách khác là chúng ta chấp nhận y k ∈ H

và vk ∈ T (yk) là một nghiệm của (2.3) nếu một trong hai điều kiện sau đúng:

trong đó σ ∈ [0, 1). Dưới điều kiện này, siêu phẳng
k

k

Hk := {x ∈ H | v , x − y = 0}
tách chặt điểm lặp xk khỏi tập nghiệm S (giả thiết S khác rỗng). Chúng ta thu
được một thuật toán lai ghép chiếuđiểm gần kề sau đây:
Thuật toán 2.1.1. ([10]) Chọn giá trị ban đầu tùy ý x0 ∈ H và σ ∈ [0, 1). Giả
k

sử đã có x , chọn k > 0 và
tìm yk ∈ H sao cho εk = vk +

k(yk − xk),

vk ∈ T
(yk

),

trong đó

εk ≤

σ max{ vk ,

yk − xk}

k

.

Dừng nếu vk = 0 hoặc yk = xk. Nếu không, xây dựng siêu
k

k

phẳng Hk = {x ∈ H | v , x − y = 0}.
Đặt
k+1

x

k

= PHk (x ).

Trong phương án cải tiến này, chúng ta giữ lại tất cả các ưu điểm về hội
tụ của phương pháp điểm gần kề trong khi sai số cho phép σ được cố định.
Đặc biệt, phép chiếu xk lên siêu phẳng Hk có thể được viết dưới dạng công
thức tường minh, bởi vậy nó không cần thêm nhiều chi phí tính toán. Tuy
nhiên, phương pháp lai ghép này cũng chỉ sinh ra dãy {x k} hội tụ yếu đến
nghiệm của bài toán (2.1).


Định nghĩa 2.1.1. Cho x ∈ H, > 0 và σ ∈ [0, 1). Cặp (y, v) ∈ H × H được gọi
là nghiệm gần đúng với sai số cho phép σ của 0 ∈ T ( ) + ( − x) nếu

v ∈ T (y),
v + (y − x) = ε,

và

ε≤

σ max{ v ,

y − x} .

Chương 2. Phương pháp chiếuđiểm gần kề

Mệnh đề 2.1.1. Cho x ∈ H, >

0, σ ∈ [0, 1) và giả sử rằng (y, v) là một

nghiệm gần đúng của 0 ∈ T ( ) + ( − x) với sai số cho phép σ. Khi đó
x − y, v ≥ (1 − σ) max{

2

2

x − y , v / } ≥ (1 − σ) v

x−y.

Đặt
H := {z ∈ H | z − y, v ≤ 0}.

Bốn khẳng định sau là tương đương
x ∈ H;
y = x;

v = 0;
x là một nghiệm của bài toán (2.1).

Hơn nữa,
PH (x) − x ≥
Chứng minh. Để chứng minh (2.4) ta xét hai trường hợp
x−y≤ v
Trong trường hợp thứ nhất, kết hợp với Định nghĩa 2.1.1 ta có

Suy ra

và
x − y, v ≥

(2.4)


Như vậy ta chứng minh được (2.4) đúng trong trường hợp thứ nhất.
Xét trường hợp thứ hai. Tương tự, ta có

Vì vậy
x − y, v = x − y, (x − y) + ε
Chương 2. Phương pháp chiếuđiểm gần kề
≥

2

(1 − σ) x − y .

Hơn nữa, trong trường hợp này ta có
x − y, v ≥

(1 − σ) x − y

≥ (1 − σ) v

2

y−x.

Vậy (2.4) đúng trong cả hai trường hợp.
Tiếp theo chúng ta sẽ chỉ ra sự tương đương của bốn khẳng định. Giả
sử x ∈ H, suy ra x−y, v ≤ 0. Từ (2.4) suy ra x = y. Nếu x = y thì x−y, v = 0, từ
(2.4) suy ra v = 0. Một cách tương tự, nếu v = 0 thì x = y và x là một nghiệm
của bài toán (2.1). Cuối cùng, nếu x là nghiệm của bài toán (2.1), nghĩa là 0
∈ T (x) thì từ tính đơn điệu của T
0 ≤ y − x, v − 0 = y − x, v ,
và vì vậy x ∈ H.
Cuối cùng, để chứng minh (2.5) chú ý rằng nếu x ∈ H thì x = y, v = 0 và
(2.5) đúng. Ta xét trường hợp x ∈/ H. Ta có
PH (x) = x
Vì vậy
P (x)
H

2

Nếu v / ≥ x − y thì v / ≥
thức đầu tiên của (2.4). Nếu v /


thức thứ hai của (2.4).
Chứng minh được hoàn thành.

2.2

Sự hội tụ mạnh của phương pháp chiếuđiểm gần
kề

2.2.1

Thuật toán chiếuđiểm gần kề

Thuật toán 2.2.1. ([11]) Cho x0 ∈ H là xấp xỉ ban đầu bất kỳ và σ ∈ [0, 1).
Giả sử tại bước lặp thứ k chúng ta đã có xk.
Chương 2. Phương pháp chiếuđiểm gần kề

Bước 1: Chọn

k>

k

k

0, tìm (y , v ) là một nghiệm gần đúng của bài

k

toán 0 ∈ T (x) + k(x − x )
với sai số cho phép σ.
Bước 2 (Bước chiếu): Xác định
k

k

Hk = {z ∈ H | z − y , v ≤ 0},
và
k

0

k

Wk = {z ∈ H | z − x , x − x ≤ 0}.
Tính
k+1

x

0

= PHk∩Wk (x ).

Nhận xét. 1. Trong mỗi bước lặp chúng ta cần giải hai bài toán:
Bài toán 1: Tìm nghiệm gần đúng của bài toán phụ điểm gần kề. Bài toán này
luôn có một nghiệm chính xác và nghiệm này là duy nhất. Việc tìm nghiệm gần

đúng luôn được thực hiện đơn giản hơn tìm nghiệm chính xác. Bởi vậy bước
1 của Thuật toán 2.2.1 hoàn toàn xác định. Tuy nhiên, cặp nghiệm (yk, vk) ở

bước 1 không duy nhất, bởi vậy dãy lặp {xk} không duy nhất;
Bài toán 2: Tìm hình chiếu của x 0 lên giao của hai nửa không gian H k ∩ Wk. Trong
phần tiếp theo của chương này, chúng ta sẽ chứng minh được tập H k ∩Wk luôn


luôn khác rỗng ngay cả khi bài toán (2.1) vô nghiệm. Vì vậy, Bước chiếu của Thuật
toán 2.2.1 được xác định và do đó nó xác định theo nghĩa sinh ra

một dãy vô hạn {xk}.
2. Việc tìm hình chiếu của x0 lên Hk ∩ Wk tương đương với việc giải một hệ
gồm hai phương trình tuyến tính hai ẩn số (kể cả trong không gian vô hạn
chiều). Thật vậy, giả sử tại lần lặp thứ k có Hk ∩ Wk khác rỗng. Khi đó xk+1
là nghiệm của
minz z
k

sao cho z − y ,
k

0

k

z − x , x − x ≤ 0.
Chương 2. Phương pháp chiếuđiểm gần kề

Biểu diễn z − x0 như là tổ hợp tuyến tính của v k và x0 − xk cộng với một

vectơ trực giao với vk và x0 − xk:
0

k

0

k

k

0

k

z − x = λ1v + λ2(x − x ) + h, trong đó h, v = 0, h, x − x = 0. Bài
toán trên trở thành
2

k

0

k 2

minλ1,λ2,h h + λ1v + λ2(x − x )
sao cho

k

0

k

0

k

k

0

k

0

k

k

λ1v + λ2(x − x ) + x − y ,

v
0

≤ 0,

k

λ1v + λ2(x − x ) + x − x , x − x ≤ 0.

Dễ thấy, tại nghiệm của bài toán thì h = 0. Do đó λ 1 và λ2 thu được bằng
cách giải bài toán bình phương tối thiểu hai chiều với hai ràng buộc bất
đẳng thức tuyến tính.
Hơn nữa, nếu hình chiếu của x0 lên Hk
P
Hk

nằm trong Wk thì
0

0

PHk (x ) = PHk∩Wk (x ).


Bởi vậy trong trường hợp này chúng ta thu được xk mà không cần thêm bất
cứ tính toán nào. Ngược lại, nếu PHk (x0) không nằm trong Wk ta có
0

0

k

0

k

PHk∩Wk (x ) = x + λ1v + λ2(x − x ),
trong đó λ1, λ2 là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính hai phương trình
với hai ẩn số

k

v

λ1

λ1

vk 2

Như vậy chúng ta có thể viết tường minh công thức của xk+1, điều này có nghĩa
là chi phí tính toán ở bước chiếu trong Thuật toán 2.2.1 không đáng kể.
Chương 2. Phương pháp chiếuđiểm gần kề

2.2.2

Định lý hội tụ

Chúng ta sẽ chỉ ra một số tính chất của Thuật toán 2.2.1 mà không cần
giả thiết bài toán có nghiệm. Giả sử xk, yk, vk, k = 0, 1, . . . là những đại
lượng sinh bởi Thuật toán 2.2.1.
Mệnh đề 2.2.1. Giả sử Thuật toán 2.2.1 đúng đến k + 1. Khi đó các bất đẳng
thức sau đúng

xk+1 − x0

2

≥

xk − x0

+ xk+1 − xk

2

(2.6)

2,

và
k+1

x

k

k

k

k

k

0

(2.7)

− x ≥ (1 − σ) max{ y − x , v / k}.

Chứng minh. Từ định nghĩa của Wk ta có
k

0

k

∀z ∈ Wk ⇒ z − x , x − x ≤ 0
0

0

k

0

k

k

⇒z−x ,x −x +x −x ,x −x ≤0⇒x
−x

02

0

k

≤z−x ,x −x

0


k

0 2

k

0

⇒ x −x

k

≤

x −x

0

z−x

0

0

⇒ x −x ≤

z−x .

Điều này có nghĩa xk là hình chiếu của x0 lên Wk. Áp dụng Bổ đề 1.2.1 với
A = Wk, x = x

PWk (x
Vì x

k+1

k+1

0

và y = x , ta thu được

k+1

0 2

) − PWk (x ) ≤ xk+1 − x0

∈ Wk nên PWk (x

k+1

)=x

2

k+1

− PWk (x

k+1

)−x

k+1

0

0

k

. Hơn nữa, PWk (x ) = x . Vì vậy,

xk+1 − xk 2 ≤ xk+1 − x0 2 − xk+1 − xk+1 + x0 − xk 2.
Từ đó suy ra (2.6).
Vì x

k+1

∈ Hk nên
k+1

x

k

k

k

k

k

k

− x ≥ PHk (x ) − x ≥ (1 − σ) max{ y − x , v /

Bất đẳng thức cuối cùng được suy từ Mệnh đề 2.1.1.

0 2

+ x − PWk (x ) .


Chương 2. Phương pháp chiếuđiểm gần kề

Hệ quả 2.2.1. Giả sử dãy tham số hiệu chỉnh {

k

} bị chặn và Thuật toán

2.2.1 sinh ra dãy vô hạn {xk}. Khi đó một trong hai khẳng định sau đúng
Dãy {xk} bị chặn và các điểm tụ yếu của nó nằm trong S = ∅;
k
(ii) S = ∅ và lim x = ∞.
(i)

k→∞

Chứng minh. Áp dụng liên tiếp (2.6), ta được
k

x −x

0 2

≥

(i) Giả sử {xk} bị chặn. Cho k → ∞ ta có
∞

j+1

x

−x

j 2

< ∞,

j=0

và vì vậy
lim x

k+1

k→∞

Kết hợp với (2.7) và tính bị chặn trên của {
k
lim y
k→∞

lim
k→∞

Vì dãy {xk} bị chặn trong không gian Hilbert nên nó có các điểm tụ yếu. Gọi
x¯ là một điểm tụ yếu bất kỳ của dãy {x k} và dãy con {xkj } hội tụ yếu về x¯.
Theo (2.8), dãy {ykj } tương ứng sẽ hội tụ về x¯. Vì v k ∈ T (yk) với vk hội tụ
mạnh về 0 và do tính đơn điệu cực đại của T suy ra 0 ∈ T (¯x). Nghĩa là x¯
∈ S. (ii) Giả sử S = ∅. Từ chứng minh ở trên ta suy ra dãy {x k} không bị
chặn trong trường hợp này. Từ (2.6) suy ra dãy { xk − x0} không giảm, do đó
k

0

k

x − x → ∞ khi k → ∞ và vì vậy x → ∞ khi k → ∞. Tiếp theo chúng ta sẽ

chứng minh sự hội tụ mạnh của {xk} đến nghiệm của phương trình trong
trường hợp S = ∅. Sau đó chúng ta sẽ chỉ ra tính chất của
dãy {xk } trong trường hợp phương trình vô nghiệm.
Trường hợp 1. S = ∅. Cho x0 là giá trị ban đầu bất kỳ. Đặt
0

0

U(x ) = {x ∈ H | ∀z ∈ S, z − x, x − x ≤ 0}.
Chúng ta sẽ chỉ ra tập Hk ∩ Wk luôn chứa tập nghiệm S và vì thế nó khác
rỗng. Hơn nữa, chúng ta cũng sẽ chứng tỏ dãy {xk} nằm trong U(x0).


Chương 2. Phương pháp chiếuđiểm gần kề

Mệnh đề 2.2.2. Giả sử Thuật toán 2.2.1 thực hiện được đến bước k và xk ∈
U(x0). Khi đó những khẳng định sau đây đúng:
(i) S ⊆ Hk ∩ Wk;
k+1

(ii) x

hoàn toàn xác định và x

k+1

0

∈ U(x ).

Chứng minh.(i) Từ tính đơn điệu của T ta có
k

∗

k

∗

∀x ∈ S.

v ,y −x ≥ 0
Vì vậy S ⊆ Hk.
k

0

Từ giả thiết x ∈ U(x ) suy ra
∗

k

0

k

x −x ,x −x ≤ 0

∗

∀x ∈ S.

Từ định nghĩa của Wk ta có S ⊆ Wk. Từ đó suy ra S ⊆ Hk ∩ Wk.
(ii) Từ (i) suy ra Hk ∩ Wk = ∅, do đó xk+1 hoàn toàn xác định. Vì xk+1 là hình

chiếu của x0 lên Hk ∩ Wk nên theo Bổ đề 1.2.1 ta có
z−x

k+1

0

,x −x

k+1

≤ 0

∀z ∈ Hk ∩ Wk.

Vì S ⊆ Hk ∩ Wk nên bất đẳng thức trên đúng với mọi z ∈ S. Từ định nghĩa
0

của U(x ) suy ra x

k+1

0

∈ U(x ).

Hệ quả 2.2.2. Thuật toán 2.2.1 hoàn toàn xác định và sinh ra các dãy lặp
k

k

k

k

0

{x }, {y } và {v } sao cho x ∈ U(x ), S ⊆ Hk ∩ Wk với mọi k. Hơn nữa, nếu
dãy k bị chặn trên thì {xk} bị chặn và các điểm tụ yếu của nó nằm trong S.
Chứng minh. Dễ thấy x0 ∈ U(x0). Áp dụng Mệnh đề 2.2.2 và quy nạp theo k ta
chứng minh được phần đầu của Hệ quả 2.2.2. Từ Hệ quả 2.2.1 suy ra dãy

{xk} bị chặn và các điểm tụ yếu của nó nằm trong S.
Định lý 2.2.1. Giả sử dãy {x k} được sinh ra từ Thuật toán 2.2.1 và dãy tham
k

0

số hiệu chỉnh { k} bị chặn. Khi đó dãy {x } hội tụ mạnh tới x∗ = PS (x ).
Chứng minh. Vì tập nghiệm S lồi, đóng và giả thiết khác rỗng nên tồn tại
phép chiếu x0 lên S và do đó x∗ = PS (x0) hoàn toàn xác định. Từ cách xác
định x

k+1

ta có
k+1

x

0

−x ≤

z−x

0

Chương 2. Phương pháp chiếuđiểm gần kề

∀ z ∈ Hk ∩ Wk.


∗

Vì x ∈ S ⊆ Hk ∩ Wk nên với mọi k ta có
k

∗

0

0

x −x ≤ x −x .

Theo Hệ quả 2.2.2, dãy {xk } bị chặn và có các điểm tụ yếu nằm trong S. Giả
sử {xkj là một dãy con hội tụ yếu của {x k} và x¯ là giới hạn yếu của nó. Rõ
ràng

≤ 2x

∗

−x

0 2

−2x

k

0

∗

0

−x ,x −x ,

j

bất đẳng thức cuối suy ra từ (2.10). Từ tính hội tụ yếu của {x kj } tới x¯ ta thu
được
lim sup x

k

j

j→∞

0

Áp dụng Bổ đề 1.2.1 với A = S, x = x , z = x¯ ∈ S và chú ý rằng x∗ là hình
chiếu của x0 lên S ta có
∗

0

∗

x − x , x¯ − x ≤ 0.
Từ đó suy ra
∗

0

x − x ≤ x¯ − x0, x∗ − x0 .
Kết hợp bất đẳng thức cuối cùng với (2.11) ta có
kj

lim supj→∞ x

−x

∗ 2

= 0.

Từ đó suy ra dãy {xkj } hội tụ mạnh về x∗ và rõ ràng x¯ = x∗ vì x¯ là một giới
k

hạn yếu của {x j }.
Vì x¯ là một điểm tụ yếu bất kỳ của {x k } nên x∗ là điểm tụ yếu duy nhất
của dãy này. Vì {xk} bị chặn nên toàn bộ dãy {xk } hội tụ yếu đến x∗. Mặt
khác, mọi dãy con hội tụ yếu của {xk} hội tụ mạnh về x∗. Vì vậy toàn bộ dãy
k

{x } hội tụ mạnh tới x∗ ∈ S. Trường hợp S = ∅. Trong trường hợp này dãy
{xk} vẫn xác định với mọi k và phân kỳ.
Chương 2. Phương pháp chiếuđiểm gần kề

Định lý 2.2.2. Nếu S = ∅ thì Thuật toán 2.2.1 sinh ra một dãy vô hạn {xk}.
Nếu thêm điều kiện dãy tham số hiệu chỉnh