Một số thuật toán chiếu - điểm gần kề giải phương trình với toán tử đơn điệu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
NGUYỄN THỊ HUỆ
MỘT SỐ THUẬT TOÁN CHIẾU - ĐIỂM GẦN KỀ
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ VỚI TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội - 2011
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
NGUYỄN THỊ HUỆ
MỘT SỐ THUẬT TOÁN CHIẾU - ĐIỂM GẦN KỀ
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VỚI TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU
Chuyên ng ành: Toán học tính t oán
Mã số: 604630
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Giáo viên hướng dẫn: GS TSKH Phạm Kỳ Anh
Hà Nội - 2011
Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Bảng ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
1 Kiến thức chuẩn bị 1
1.1 Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Phép chiếu trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Phương pháp chiếu-điểm g ần kề 6
2.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Sự hội t ụ mạnh của p hương pháp chiếu-điểm gần kề . . . . . . . 10
2.2.1 Thuật toán chiếu-điểm gần kề . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.2 Định lý h ội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Phương pháp chiếu-điểm gần kề song song . . . . . . . . . . . . 18
3 Phương pháp CQ 23

3.1 Các bổ đề quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Một số thuật toán CQ trong không gian Banach . . . . . . . . . 25
3.3 Một số thuật toán CQ trong không gian Hilbert . . . . . . . . . 37
4 Áp dụng 41
4.1 Bài toán khôi phục ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.1.1 Phương pháp chiếu-điểm gần kề song son g . . . . . . . . 42
4.1.2 Thử nghiệm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2 Giải hệ phương trình đại số tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2.1 Phương pháp chiếu-điểm gần kề song son g . . . . . . . . 46
ii
4.2.2 Phương pháp CQ song son g . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Bảng ký hiệu

φ(·, ·) Khoảng cách suy rộng trên E
∂f Gradient của f
E
∗
Không gian đối ngẫu của E
F (T ) Tập các điểm bất động của T

F (T ) Tập các điểm bất động tiệm cận của T
I Ánh xạ đồng nhất
J Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc
P
C
(·) Hình chiếu lên tập C
ri(D) Tập các điểm trong tương đối của D
·, · Tích đối ngẫu hoặc tích vô hướng

⇀ Hội tụ yếu
S Tập các không điểm hay tập nghiệm
T
[k]
T
k(modN )
 Kết thúc chứng minh
Lời nói đầu
Nhiều vấn đề của khoa học và kỹ thuật như bài toán chấp nhận lồi có ứng
dụng trong lý thuyết tối ưu, khôi phục ảnh, phương pháp xử lý bức xạ, , có
thể đưa về bài toán tìm nghiệ m của h ệ phương trình với toán tử đơn điệu hoặ c
tìm điểm b ất động của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn (tương đối).
Thuật toán điểm g ần kề tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại được
Rockafellar [8] đề xuất vào năm 1 976 và trải qua nhiều lần cải biên. Tuy nhiên
các thuật toán này nói chung chỉ cho kết quả hội tụ yếu. Năm 2000, M. V.
Solod ov và B. F. Svaiter [11] đã kết hợp thuật toán điểm gần kề với phép chiếu
đơn giản lên giao của các nửa không gian để thu được kết quả hội tụ mạnh.
Gần đây, P. K. Anh và C. V. Chung [3] đã thực hiện song song hóa thuật toán
chiếu-điểm gần kề để tìm nghiệm của hệ p hương trình toán tử đơn điệu.
Cũng d ựa trên ý tưởng l ai ghép, Nakajo và Ta kahashi đã thu được đ ị nh lý
hội tụ mạnh cho ánh xạ không giãn tương đối trong không gian Hilbert và S.
Matsushita [7] đã tổng quát kết quả n ày cho không gian Banach. Năm 2011,
Liu [ 6] đã cải biên thuật toán CQ của Qin và Su [9] để thu được định lý hội
tụ mạnh cho thuật toán lặp xoay vòng tìm điểm bất động chung của một họ
hữu hạn các ánh xạ không giãn tương đối trong không gian Banach. Đến năm
2011, P. K. Anh và C. V. Chung đã đề xuất phương pháp CQ song song và chỉ
ra rằng thuật toán này tốt hơn thuật toá n lặp x oay vòng của Liu ngay cả khi
chạy ở chế độ tuần tự.
Bản luận văn này tập tr ung trình bày các thuật toán lai ghép với p hép chiếu
để giải hệ phươ ng trình với các toán tử đ ơn điệu trong không gian Hilbert và

tìm điểm bất động của họ các ánh xạ không giãn tương đối trong không gian
Banach.
Ngoài các phần Mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm 4
chương :
Chương 1: " Kiến thức chuẩn bị" trình bày một số khái niệm về toán tử đơn
Lời nói đầu vi
điệu, hình học của không gian Banach và một vài tí nh chất qua n trọng của
phép chiếu dùng trong luận văn.
Chương 2: "Phương pháp chiếu-điểm gần kề" trình bày hai thuật t oán lai
ghép g i ữa p hương pháp chiếu và phươ ng pháp đi ểm gần kề trong không gian
Hilbert, trong đó phần 2 củ a Chương 2 trì nh bày thuật toá n chiếu-điểm gần kề
tìm không điểm của toán tử đơ n điệu cực đại (đơn trị hoặc đa trị) và các định
lý hội tụ mạnh; phần 3 của Chương 2 trình bày thuật toán chiếu-điểm gần kề
song song tìm nghiệm của hệ phương trình toán tử đơn đi ệu và định lý hội tụ
mạnh của nó.
Chương 3: "Phương pháp CQ" trình bày các định lý hội tụ mạnh của phương
pháp CQ cho một toán tử khô ng giãn tương đối, phương pháp CQ xoay vòng
và phương pháp CQ song song cho một họ các toán tử không giãn tương đối
trong không gian Banach. Phần 3 c ủa Chương 3 trình bày một ứng dụng của
phương pháp CQ và một cải biên của CQ song song trong k hông gi an Hilbe rt.
Chương 4: "Áp dụng", chúng tôi áp dụng các phương pháp song song trong
luận văn để giải bài toán khôi phục ảnh trong không gian Hilbert và giải hệ
phương trình đại số t uyến tính. Trong chương này chúng tôi cũng đưa ra một
ví dụ số thực hiện trong môi trường Mat lab và minh họa hình học cho phương
pháp chiếu -điểm gần kề song song.
Hà nội, ngày 1 tháng 12 năm 2011
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1 Một số khái niệm
Cho H là không gian Hilbert thực , E là không gi an Banach và E

∗
là đối
ngẫu của E.
1. Tập lồi: Tập C ⊂ H (hoặc E) được gọi là lồi nếu C chứa mọi đoạn thẳng
nối hai điểm bất kỳ của nó. Tức là C lồi khi và chỉ khi
∀x, y ∈ C, ∀α ∈ [0, 1] ⇒ αx + (1 −α)y ∈ C.
2. Toá n tử đơn điệu: Ánh xạ T : E → E
∗
được gọi là đơn điệu nếu
T x − T y, x −y ≥ 0 ∀x, y ∈ E,
trong đó ký hiệu f, x chỉ tích đ ối ngẫu. Trường hợp E = E
∗
= H ta có tích
vô hướng trong H.
Bổ đề 1.1.1. Giả sử S là tập các không điểm của T , tức là
S = {x ∈ H | T x = θ} .
Nếu T là toán t ử đơn điệu và S = ∅ thì S là t ập lồi.
Chứng m i nh. Với mọi x
1
, x
2
∈ S và t ∈ (0, 1) đ ặt x = tx
1
+ (1 −t)x
2
. Vì T là
toán tử đơn điệu nên ta có
0 ≤ T x − T x
1
, x −x

1
 = T x, tx
1
+ (1 − t)x
2
− x
1

= (1 −t)T x, x
2
− x
1

Chương 1. Ki ế n thức chuẩn bị 2
và
0 ≤ T x − T x
2
, x −x
2
 = T x, tx
1
+ (1 − t)x
2
− x
2

= tT x, x
1
− x
2

.
Từ điều này suy ra T x, x
1
− x
2
 = 0. Vậy T x = θ nghĩa là x ∈ S. 
3. Toán tử ngược-đơn điệu mạnh: T được gọi là đồng bức với hằng số c > 0
hay c-ngược đơn điệu mạnh tr ên H nếu
T x −T y, x − y ≥ cT x − Ty
2
∀x, y ∈ H.
4. Toán tử đơn điệ u cực đại: Toán tử T được gọi là đơn điệu cực đại nếu nó là
đơn điệu và đồ thị của nó không ph ải là tập con thực sự của đồ thị củ a một
toán tử đơn điệu nào khác.
Toán tử J : E → E
∗
xác định bởi
J(x) = {f ∈ E
∗
| f, x = x
2
E
= f
2
E
∗
}
được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc. Hàm số φ : E ×E → R cho bởi
φ(y, x) = y
2

− 2y, Jx+ x
2
với mọi x, y ∈ E, trong đó J là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc từ E vào E
∗
. Đại
lượng

φ(x, y) gọi là khoảng cách suy rộng trên E.
5. Ánh xạ không giãn và ánh xạ không giãn tương đối: Cho C là một tập con
lồi đóng của E và T là ánh xạ từ C vào chính nó. Ký hiệu F(T ) là tập cá c điểm
bất động của T . Một điểm p trong C đư ợc gọi điểm bất động tiệ m cận của T
nếu C chứa một dãy {x
n
} hộ i tụ yếu tới p sao cho l im
n→∞
(x
n
− T x
n
) = 0. Ký
hiệu tập tất cả các điểm bất động t iệm cận của T là

F (T ). Ánh xạ T được gọi
là không giãn nếu T x − T y ≤ x −y ∀x, y ∈ C. T là ánh xạ khô ng giãn
tương đối nếu

F (T ) = F (T ) và φ(p, T x) ≤ φ(p, x) với mọi x ∈ C và p ∈ F(T ).
Nếu T là toán tử không g iãn trên không gian Hilbert thì A = I −T là toán
tử đơn đi ệu, trong đ ó I là toán tử đồng nhất. Thật vậy, với mọi x, y ∈ H ta có
T x −T y ≤ x −y.

Chương 1. Ki ế n thức chuẩn bị 3
Do đó
0 ≤ Ax − Ay
2
= x −y
2
− 2x − y, T x − Ty + T x − Ty
2
≤ 2

x − y
2
− x − y, T x − Ty

= 2Ax −Ay, x −y.
6. Không gian Banach lồi đều: Không gian Banach E được gọi là lồi đều nếu
với mọi ε > 0 tồn tại δ(ε) > 0 sao cho với mọi x, y ∈ E, x ≤ 1, y ≤ 1 và
x − y ≥ ε ta luôn có x + y < 2(1 −δ(ε)).
Chú ý 1. Có thể thay đổi như sau: với mọi x, y ∈ E, d > 0 tồn tại δ(
ε
d
), x ≤
d, y ≤ d, x −y ≥ ε ta có x + y ≤ 2d(1 − δ(
ε
d
)).
Chú ý 2. Mọi không gian Hilbert đều là không gian lồi đều. Thật vậy, giả sử
ε > 0, x ≤ 1, y ≤ 1 sao cho  x −y ≥ ε. Từ bấ t đẳng thức hình bình h ành
suy ra
x + y

2
= 2

x
2
+ y
2

− x −y
2
≤ 4 −ε
2
.
Do đó
x + y ≤
√
4 − ε
2
= 2

1 −

1 −

1 − ε
2
4

.
Chú ý 3. Mọi k hông gian Banach lồi đều là không gian phản xạ, tức là E

∗∗
= E.
7. Không gian Banach lồi chặt: Không gian Banach E được gọi là lồi chặt nếu
với mọi x, y ∈ E, x = y, x ≤ 1, y ≤ 1 ta có x + y < 2.
8. Không gian Banach trơn và trơn đều: Đặt U = {x ∈ E | x = 1} là hình
cầu đơn vị của E. Khi đó k hông gian Banach E được gọi là trơn nếu giớ i hạn
lim
t→0
x + ty −x
t
tồn tại với mỗi x, y ∈ U. E được gọi là trơn đều nếu g iới hạn trên đều với mọi
x, y ∈ U. Nếu E là trơn đề u thì J liên tục chuẩn-chuẩn đều trên mỗi t ập con
bị chặn của E.
9. Tính chất Kadec-Klee: Không gian Banach E có tín h chất Kadec -Klee nếu
x
n
⇀ x và x
n
 → x thì x
n
→ x khi n → ∞.
Bổ đề 1.1.2. Mọi không gian Banach lồi đ ều đều có tính chất Kadec-Klee.
Chương 1. Ki ế n thức chuẩn bị 4
Chứng minh. Giả sử x
n
⇀ x và x
n
 → x khi n → ∞.
Nếu x = θ thì x
n

 → 0 suy r a x
n
→ θ.
Nếu x = θ, không giảm tổng quát coi x = 1 và với mọi n, x
n
= θ. Đặt
y
n
=
x
n
x
n

ta có y
n
 = 1 và với mọi f ∈ E
∗
ta có
f(y
n
) =
f(x
n
)
x
n

→
f(x)

1
= f(x)
suy ra y
n
⇀ x. Do E lồi đều nên tồn tại δ > 0 sao cho với mọi ξ > 0, δ(ξ) > 0
y
n
+ x ≤ 2(1 −δ(y
n
− x)).
Mặt khác, với mọi f ∈ E
∗
và f = 1 ta có
y
n
+ x ≥ f(y
n
+ x) = f(y
n
) + f(x).
Do đó
lim
2(1 −δ(y
n
− x)) ≥ 2f (x).
Theo định lý Hahn-Banach: tồn tại f ∈ E
∗
, f = 1, f(x ) = x sao cho
lim
2(1 −δ(y

n
− x) ) ≥ 2x = 2
suy ra y
n
→ x khi n → ∞ và x
n
= x
n
y
n
→ xx = x. Vậy x
n
→ x. 
1.2 Phép chiếu trong không gian Hilbert
Định nghĩa 1.2.1. Cho A là một tập khác rỗng (không nhất thiết lồi) của H
và điểm x ∈ H. Đặt
d
A
(x) = inf
y∈A
y − x.
Ta nói d
A
(x) là khoảng cách từ x đến A. Nếu tồn tại π ∈ A sao cho d
A
(x) =
π −x thì ta nói π là hình chiếu vuông góc của x lên A. Ký hiệu là π = P
A
(x).
Sau đây là một số tính chất quan trọng của p hép chiếu trực giao mà chúng

ta sẽ sử dụng trong Chương 2, 3 và 4.
Chương 1. Ki ế n thức chuẩn bị 5
Bổ đề 1.2.1. Cho A là một tập lồi, đóng, khác rỗng của H. Khi đó với mọi
x, y ∈ H và z ∈ A, các tính chất sau đúng:
x −P
A
(x), z − P
A
(x) ≤ 0;
P
A
(x) −P
A
(y)
2
≤ x − y
2
− P
A
(x) −x + y − P
A
(y)
2
.
Bổ đề 1.2.2. Cho A là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H. Khi đó với
mọi x ∈ H hình chiếu P
A
(x) của x trên A luôn tồn tại và duy nhất.
Chứng minh. Do d
A

(x) = inf
y∈A
y − x nên theo định n ghĩa của cận dưới đúng,
tồn tại dãy {y
k
} ∈ A sao cho
lim
k
y
k
− x = d
A
(x) < +∞.
Vậy dãy {y
k
} bị chặn, do đó nó có một dãy con {y
k
j
} hội tụ đến một điểm π
nào đó. Do A đóng nên π ∈ A. Vậy
π − x = lim
j
y
k
j
− z = lim
k
y
k
− x = d

A
(x).
Chứng tỏ π là hình chiếu của x trên A.
Bây giờ ta chỉ ra tính duy nhất của hì nh chiếu. Thật vậy, nếu tồn tại hai
điểm π và π
1
đều là hai hình chiếu của y t rên A thì
π − x, π − y ≤ 0, π
1
− x, π
1
− y ≤ 0,
với mọi y ∈ A. Suy ra
π − x, π − π
1
 ≤ 0, π
1
− x, π
1
− π ≤ 0.
Cộng hai bất đẳng thức này ta suy ra π − π
1
 ≤ 0 và do đó π = π
1
. 
Cho siêu phẳng H = {z ∈ H | a, z = b } của H. Khi đó hình chiếu của
điểm x ∈ H bất kỳ lê n H là
P
H
(x) = x −

a, x −b
a
2
a.
Chương 2
Phương pháp chiếu-điểm gần kề
Trong chương này chúng ta sẽ đề cập đến một cải t iến của phương pháp điểm
gần kề cổ điển giải bài toán tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại trong
không gian Hilbert vô h ạn chiều. Thuật toán mới thu được bằng cách lai ghép
phương pháp điểm gần kề và phương pháp chiếu. Trong thuật toán này, chúng
ta vẫn giữ lại những ưu điểm của phương pháp điểm gần kề trong khi không
mất nhiều chi phí tính toán trong bước chiếu. Đặc biệt, dựa vào tính chất của
toán tử đơn điệu cực đại và tính chất của phép chiếu, thuật toá n sẽ cho chúng
ta kết quả hội tụ mạnh đế n một nghiệm của bài toán.
2.1 Giới thiệu
Xét bài toá n
tìm x ∈ H sao cho 0 ∈ T (x), (2.1)
trong đó H là không gian Hilbert và T (·) là một toán tử đơn điệu c ực đại ( nói
chung là toán tử đa trị) trên H. Ký hiệu t ập nghiệm của bài toán này là
S := {x ∈ H | 0 ∈ T (x)}.
1. Phương pháp điểm gần kề: Giả sử đã có x
k
∈ H là một xấp xỉ tới ng hiệm
của bà i to án (2.1), đi ểm lặp tiếp theo thu được từ việc giải bài toán phụ gần
kề
0 ∈ T (x) + µ
k
(x − x
k
), (2.2)

trong đó µ
k
> 0 là tham số hiệu chỉnh.
Chương 2. Phươn g pháp chiếu-điểm gần kề 7
Nếu dãy tham số h i ệu chỉnh {µ
k
} được chọn bị chặn thì dãy lặp {x
k
} của
phương pháp điểm gần kề hội tụ yếu tới một nghiệm của bài toán (2.1) (giả
thiết bài toán (2.1) có nghiệm). O. G¨uler [4] đã đưa ra ví dụ một hàm f-lồi
thực sự trong không gian Hilbert vô hạn chiều l
2
, thuật toán điểm gần kề cho
T = ∂f hội tụ yếu nhưng không hội tụ mạnh.
2. Việc giải chính xác bài toán phụ gần kề (2.2) nói chung khó thực hiện. Vì
vậy trong thực tế bài toán (2.2) chỉ cầ n giải gần đúng, nghĩ a là tìm một cặp
y
k
∈ H và v
k
∈ T (y
k
) sao cho
ε
k
= v
k
+ µ
k

(y
k
− x
k
), (2.3)
trong đó ε
k
là sai số trên nghiệm chính xác của bài toán con (2 .2).
Trong phương pháp điểm gần kề gần đúng thuần túy, điểm lặp tiế p theo
được xác định từ công thức
x
k+1
:= y
k
.
Các điều kiện đảm bảo các phép lặp (2.3 ) hộ i tụ là
ε
k
 ≤ σ
k
µ
k
,
∞

k=0
σ
k
< ∞,
hoặc

ε
k
 ≤ σ
k
µ
k
y
k
− x
k
,
∞

k=0
σ
k
< ∞.
Điều kiện đầ u tiên sẽ đảm bảo sự hội tụ toàn cục, trong khi điều kiệ n thứ hai
(cùng với giả thiết nào đó) sẽ cho tốc độ hội tụ tuyến tính địa phương. Chú ý
rằng, dãy khả tổng {σ
k
} nói chung là được chọn trước.
Trong điều kiện thứ hai, sai số cho phép σ
k
thỏa mãn
ε
k

µ
k

y
k
− x
k

≤ σ
k
,
∞

k=0
σ
k
< ∞.
Trong mọi trường hợp σ
k
→ 0, nên các điều kiện đặ t lên sai số ε
k
là quá chặt.
Nếu {σ
k
} là dãy hằng khác không t hì sự hội tụ của dãy lặp gần kề gần đúng
không được đảm bảo, thậm chí cả trong trường hợp hữu hạn chiều.
3. Để khắc phục những khó khă n trong đánh giá sai số của thuật toán điểm
gần kề gần đúng thuần túy, chúng ta sẽ phải cải tiến phương p háp này theo
Chương 2. Phươn g pháp chiếu-điểm gần kề 8
hướng cố định sai số cho phép σ. Nói cách khác là chúng ta chấp nhận y
k
∈ H
và v

k
∈ T (y
k
) là một nghiệm của (2.3) nếu một trong hai điều kiện sau đúng:
ε
k

µ
k
y
k
− x
k

≤ σ hoặc
ε
k

v
k

≤ σ,
trong đó σ ∈ [0, 1). Dưới điều kiện này, siêu phẳng
H
k
:= {x ∈ H | v
k
, x −y
k
 = 0}

tách chặt điểm lặp x
k
khỏi tập nghiệm S (giả thiết S khác rỗng ). Chúng ta
thu được một thuật toán lai ghép chiếu-điểm gần kề sau đây:
Thuật toán 2.1.1. ([10]) Chọn giá trị ban đầu tù y ý x
0
∈ H và σ ∈ [0 , 1).
Giả sử đã có x
k
, chọn µ
k
> 0 và
tìm y
k
∈ H sao cho ε
k
= v
k
+ µ
k
(y
k
− x
k
), v
k
∈ T (y
k
),
trong đó

ε
k
 ≤ σ max{v
k
, µ
k
y
k
− x
k
}.
Dừng nếu v
k
= 0 hoặc y
k
= x
k
. Nếu không, xây dựng siêu phẳng
H
k
= {x ∈ H | v
k
, x −y
k
 = 0}.
Đặt
x
k+1
= P
H

k
(x
k
).
Trong phương án cải tiến này, chúng t a giữ lại tất cả các ưu điểm về hội tụ
của phương ph áp điểm gần kề trong khi sai số cho phép σ được cố định. Đặc
biệt, phép chiếu x
k
lên siêu phẳng H
k
có thể được viết dưới dạng công thức
tường minh, bởi vậy nó không cần thêm nhiều chi phí tính toán. Tuy nh iên,
phương pháp lai ghép này cũng chỉ sinh ra dãy {x
k
} hộ i tụ yếu đến nghiệm
của bài toán (2.1).
Định nghĩa 2.1.1. Cho x ∈ H, µ > 0 và σ ∈ [0, 1). Cặp (y, v) ∈ H × H được
gọi là nghiệm gần đúng với sai số cho phép σ của 0 ∈ T (·) + µ(·− x) nếu
v ∈ T (y),
v + µ(y − x ) = ε,
và ε ≤ σ max{v, µy −x}.
Chương 2. Phươn g pháp chiếu-điểm gần kề 9
Mệnh đề 2.1.1. Cho x ∈ H, µ > 0, σ ∈ [0, 1) và giả sử rằng (y, v) là một
nghiệm gần đúng của 0 ∈ T(·) + µ(· − x) với sai số cho phép σ. Khi đó
x −y, v ≥ (1 −σ) max{µx −y
2
, v
2
/µ} ≥ (1 −σ)vx − y. (2.4)
Đặt

H := {z ∈ H | z − y , v  ≤ 0} .
Bốn khẳng định sau là tương đương
x ∈ H;
y = x;
v = 0;
x là một nghiệm của bài toán (2.1).
Hơn nữa,
P
H
(x) −x ≥ (1 − σ) max{x −y, v /µ}. (2.5)
Chứng minh. Để chứng minh (2.4) t a xét hai trường hợp
µx −y ≤  v và µx −y ≥ v.
Trong trường hợp thứ nhất, kết hợp với Định nghĩa 2.1.1 ta có
ε ≤ σ v và x − y, v =
1
µ
v − ε, v .
Suy ra
x −y, v ≥
1
µ

v
2
− ε, v

≥
1 − σ
µ
v

2
và
x −y, v ≥
1 − σ
µ
v
2
≥ (1 −σ)vy −x.
Như vậy ta chứng minh được (2.4) đúng trong trường hợp thứ nhất.
Xét trư ờng hợp thứ hai . Tương tự, ta có
ε ≤ σµy − x.
Vì vậy
x −y, v = x − y, µ( x − y) + ε
Chương 2. Phươn g pháp chiếu-điểm gần kề 10
≥ µ(1 −σ)x − y
2
.
Hơn nữa, t rong trường hợp này ta có
x −y, v ≥ µ(1 −σ)x −y
2
≥ (1 −σ)vy − x.
Vậy (2.4) đúng trong cả hai trường hợp.
Tiếp theo chúng ta sẽ chỉ ra sự tương đương của b ốn khẳng định. Giả sử
x ∈ H, suy ra x−y, v ≤ 0. Từ (2.4) suy ra x = y. Nếu x = y thì x−y, v = 0,
từ (2.4) suy ra v = 0. Một cách tương tự, nếu v = 0 thì x = y và x là một
nghiệm của bài toán (2.1). Cuối cùng, nếu x là nghiệm của bài toá n (2.1), nghĩa
là 0 ∈ T (x) thì từ tính đơn điệu của T
0 ≤ y − x, v − 0 = y − x, v,
và vì vậy x ∈ H.
Cuối cùng , để chứng minh (2 .5) chú ý rằng nếu x ∈ H thì x = y , v = 0 và

(2.5) đúng. Ta xét trường hợp x /∈ H. Ta có
P
H
(x) = x −
v, x − y
v
2
v.
Vì vậy
P
H
(x) −x =
v, x − y
v
.
Nếu v/µ ≥ x −y thì v
2
/µ ≥ µx −y
2
và (2.5) được suy ra từ bất đẳng
thức đầu tiên của (2.4). Nếu v/µ ≤ x −y thì (2.5) được suy ra từ bất đẳng
thức thứ hai của (2.4).
Chứng minh đ ược hoàn thành. 
2.2 Sự hội tụ mạnh của phương pháp chiếu-điểm
gần kề
2.2.1 Thuật toán chiếu-điểm gần kề
Thuật toán 2.2.1. ([11]) Cho x
0
∈ H là xấp xỉ ban đầu bất kỳ và σ ∈ [0, 1).
Giả sử tại bước lặp thứ k chúng ta đã có x

k
.
Chương 2. Phươn g pháp chiếu-điểm gần kề 11
Bước 1: Chọn µ
k
> 0, tìm (y
k
, v
k
) là một nghiệm gần đúng của bài toán
0 ∈ T (x) + µ
k
(x − x
k
)
với sai số cho phép σ.
Bước 2 (Bước chiếu): Xác định
H
k
= {z ∈ H | z −y
k
, v
k
 ≤ 0},
và
W
k
= {z ∈ H | z −x
k
, x

0
− x
k
 ≤ 0}.
Tính
x
k+1
= P
H
k
∩W
k
(x
0
).
Nhận xét. 1. Tr ong mỗi bước lặp chúng ta cần giải hai bài toán:
Bài toán 1: Tìm nghiệm gần đúng củ a bài t oán phụ điểm gần kề. Bài toán này
luôn có một n ghiệm chính xác và nghiệm này là duy nhất. Việc tìm nghiệm gần
đúng luôn được thực hiện đơn giản hơn tìm nghiệm chính xác. Bởi vậy bước
1 của Thuật toán 2. 2.1 hoàn toàn xác định. Tuy nhiên, cặp nghiệm (y
k
, v
k
) ở
bước 1 không duy nh ất, bởi vậy dãy lặp {x
k
} không duy nhất;
Bài toán 2: Tìm hình chiếu của x
0
lên giao của hai nửa không gian H

k
∩ W
k
.
Trong phần tiếp theo của chương này, chúng ta sẽ chứng minh được tập H
k
∩W
k
luôn luôn khác rỗng ngay cả khi bài toán (2.1) vô nghiệm. Vì vậy, Bước chiếu
của Thuật toán 2.2.1 được xác định và do đ ó nó xác đị nh theo nghĩa sinh ra
một dãy vô hạn {x
k
}.
2. Việc tìm hình chiếu của x
0
lên H
k
∩ W
k
tương đương với vi ệc gi ải một hệ
gồm hai phương trình tuyến tính hai ẩ n số (kể cả tro ng không gian vô hạn
chiều). Thật vậy, giả sử tại lần lặp thứ k có H
k
∩ W
k
khác rỗng. Khi đó x
k+1
là nghiệm của
min
z

z −x
0

2
sao cho z − y
k
, v
k
 ≤ 0,
z − x
k
, x
0
− x
k
 ≤ 0.
Chương 2. Phươn g pháp chiếu-điểm gần kề 12
Biểu di ễn z −x
0
như là tổ hợp tuyến tính của v
k
và x
0
−x
k
cộng với một vectơ
trực giao với v
k
và x
0

− x
k
:
z −x
0
= λ
1
v
k
+ λ
2
(x
0
− x
k
) + h, trong đó h, v
k
 = 0, h, x
0
− x
k
 = 0.
Bài toán trên trở thành
min
λ
1
,λ
2
,h
h

2
+ λ
1
v
k
+ λ
2
(x
0
− x
k
)
2
sao cho λ
1
v
k
+ λ
2
(x
0
− x
k
) + x
0
− y
k
, v
k
 ≤ 0,

λ
1
v
k
+ λ
2
(x
0
− x
k
) + x
0
− x
k
, x
0
− x
k
 ≤ 0.
Dễ thấy, tại nghiệm của bài toán thì h = 0. Do đó λ
1
và λ
2
thu được bằng cách
giải bài toán bình phươn g tối thiểu hai chiều với hai ràng buộc bất đẳng thức
tuyến tính.
Hơn nữa, nếu hình chiếu của x
0
lên H
k

P
H
k
(x
0
) = x
0
−
v
k
, x
0
− y
k

v
k

2
v
k
nằm trong W
k
thì
P
H
k
(x
0
) = P

H
k
∩W
k
(x
0
).
Bởi vậy trong trường hợp này chúng ta thu được x
k
mà không cần thêm bất
cứ tính toán nào. Ngược lại, nếu P
H
k
(x
0
) không nằm trong W
k
ta có
P
H
k
∩W
k
(x
0
) = x
0
+ λ
1
v

k
+ λ
2
(x
0
− x
k
),
trong đó λ
1
, λ
2
là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính hai phương trình với
hai ẩn số



λ
1
v
k

2
+ λ
2
v
k
, x
0
− x

k
 = −x
0
− y
k
, v
k
,
λ
1
v
k
, x
0
− x
k
 + λ
2
x
0
− x
k

2
= −x
0
− x
k

2

.
Như vậy chúng ta có thể viế t tường minh công thức của x
k+1
, điều này có nghĩa
là chi phí tính toán ở bước chiếu trong Thuật toán 2.2.1 k hông đáng kể.
Chương 2. Phươn g pháp chiếu-điểm gần kề 13
2.2.2 Định lý hội tụ
Chúng ta sẽ chỉ ra một số tính chất của Thuật toán 2.2.1 mà k hông cầ n giả
thiết bài toán có nghiệm. Giả sử x
k
, y
k
, v
k
, k = 0, 1, . . . là những đại lượng sin h
bởi Thuật toán 2.2.1.
Mệnh đề 2.2.1. Giả sử Thuật toán 2.2.1 đúng đến k + 1. Khi đó các bất đẳng
thức sau đúng
x
k+1
− x
0

2
≥ x
k
− x
0

2

+ x
k+1
− x
k

2
, (2.6)
và
x
k+1
− x
k
 ≥ (1 −σ) max{y
k
− x
k
, v
k
/µ
k
}. (2.7)
Chứng minh. Từ định nghĩa của W
k
ta có
∀z ∈ W
k
⇒ z − x
k
, x
0

− x
k
 ≤ 0
⇒ z − x
0
, x
0
− x
k
 + x
0
− x
k
, x
0
− x
k
 ≤ 0
⇒ x
k
− x
0

2
≤ z −x
0
, x
k
− x
0


⇒ x
k
− x
0

2
≤ x
k
− x
0
 ·z −x
0

⇒ x
k
− x
0
 ≤ z − x
0
.
Điều này có nghĩa x
k
là hình chiếu của x
0
lên W
k
. Áp dụng Bổ đ ề 1.2.1 với
A = W
k

, x = x
k+1
và y = x
0
, ta thu được
P
W
k
(x
k+1
) −P
W
k
(x
0
)
2
≤ x
k+1
−x
0

2
−P
W
k
(x
k+1
) −x
k+1

+ x
0
−P
W
k
(x
0
)
2
.
Vì x
k+1
∈ W
k
nên P
W
k
(x
k+1
) = x
k+1
. Hơn n ữa, P
W
k
(x
0
) = x
k
. Vì vậy,
x

k+1
− x
k

2
≤ x
k+1
− x
0

2
− x
k+1
− x
k+1
+ x
0
− x
k

2
.
Từ đó suy ra (2.6).
Vì x
k+1
∈ H
k
nên
x
k+1

− x
k
 ≥ P
H
k
(x
k
) − x
k
 ≥ (1 −σ) max{y
k
− x
k
, v
k
/µ
k
}.
Bất đẳng thức cuối cùng được suy từ Mệnh đề 2.1 .1. 
Chương 2. Phươn g pháp chiếu-điểm gần kề 14
Hệ quả 2.2.1. Giả sử dãy tham số hiệu chỉnh {µ
k
} bị chặn và Thuật toán
2.2.1 sinh ra d ãy vô hạn {x
k
}. Khi đó m ột trong hai khẳng định sa u đúng
(i) Dãy {x
k
} bị chặn và các điểm tụ yếu của nó nằm trong S = ∅;
(ii) S = ∅ và lim

k→∞
x
k
 = ∞.
Chứng minh. Áp dụng liên tiếp (2.6), ta được
x
k
− x
0

2
≥
k−1

j=0
x
j+1
− x
j

2
.
(i) Giả sử {x
k
} bị chặn. Cho k → ∞ ta có
∞

j=0
x
j+1

− x
j

2
< ∞,
và vì vậy
lim
k→∞
x
k+1
− x
k
 = 0.
Kết hợp với (2.7) và tính bị chặn trên của {µ
k
}
k
ta thu được
lim
k→∞
y
k
− x
k
 = 0, (2.8)
lim
k→∞
v
k
 = 0. (2.9)

Vì dãy {x
k
} bị chặn trong không gian Hilbert nên nó có các điểm tụ yếu. Gọi
¯x là một đ i ểm tụ yếu bấ t kỳ của dãy {x
k
} và dãy con {x
k
j
} hội tụ yếu về ¯x.
Theo (2.8), dãy { y
k
j
} tương ứng sẽ hội tụ về ¯x. Vì v
k
∈ T (y
k
) với v
k
hội tụ
mạnh về 0 và do tính đơn điệu cực đại của T suy ra 0 ∈ T (¯x). Nghĩa là ¯x ∈ S.
(ii) Giả sử S = ∅. Từ chứng minh ở trên ta suy ra dãy {x
k
} không bị chặn
trong trường hợp này. Từ (2.6) suy ra dãy {x
k
− x
0
} không giảm, do đó
x
k

− x
0
 → ∞ khi k → ∞ và v ì vậy x
k
 → ∞ khi k → ∞. 
Tiếp theo chúng ta sẽ chứng minh sự hội tụ mạn h của {x
k
} đến ng hiệm của
phương trình trong trường hợp S = ∅. Sau đó chúng ta sẽ chỉ ra tính chất của
dãy {x
k
} trong trường hợp phương trình vô nghiệm.
Trường hợp 1. S = ∅. Cho x
0
là giá trị ban đầu bất kỳ. Đặt
U(x
0
) = {x ∈ H | ∀z ∈ S, z − x, x
0
− x ≤ 0}.
Chúng ta sẽ chỉ ra tập H
k
∩ W
k
luôn chứa tập n ghiệm S và vì thế nó khác
rỗng. Hơn nữa , chúng ta cũn g sẽ chứng tỏ dãy {x
k
} nằm trong U(x
0
).

Chương 2. Phươn g pháp chiếu-điểm gần kề 15
Mệnh đề 2.2.2. Giả sử Thuật toán 2.2.1 thực hiện được đến bước k và x
k
∈
U(x
0
). Khi đó những khẳng định sau đây đúng:
(i) S ⊆ H
k
∩ W
k
;
(ii) x
k+1
hoàn toàn xác định và x
k+1
∈ U(x
0
).
Chứng minh.(i) Từ tính đơn điệu củ a T ta có
v
k
, y
k
− x
∗
 ≥ 0 ∀x
∗
∈ S.
Vì vậy S ⊆ H

k
.
Từ giả thiế t x
k
∈ U(x
0
) suy ra
x
∗
− x
k
, x
0
− x
k
 ≤ 0 ∀x
∗
∈ S.
Từ định ng hĩa của W
k
ta có S ⊆ W
k
. Từ đó suy ra S ⊆ H
k
∩ W
k
.
(ii) Từ (i) suy ra H
k
∩W

k
= ∅, do đó x
k+1
hoàn toàn xác định. Vì x
k+1
là hình
chiếu của x
0
lên H
k
∩ W
k
nên the o Bổ đề 1.2.1 ta có
z −x
k+1
, x
0
− x
k+1
 ≤ 0 ∀z ∈ H
k
∩ W
k
.
Vì S ⊆ H
k
∩ W
k
nên bất đẳng thức trên đúng với mọi z ∈ S. Từ định nghĩa
của U(x

0
) suy ra x
k+1
∈ U(x
0
). 
Hệ quả 2 .2.2. Thuật toán 2.2.1 hoàn toàn xác định và sinh ra các dãy lặp
{x
k
}, {y
k
} và {v
k
} sao cho x
k
∈ U(x
0
), S ⊆ H
k
∩W
k
với mọi k. Hơn nữa, nếu
dãy µ
k
bị chặn trên thì {x
k
} bị chặn và các điểm tụ yếu của nó nằm t rong S.
Chứng minh. Dễ thấy x
0
∈ U(x

0
). Áp dụng Mệnh đề 2.2.2 và quy nạp theo k
ta chứng minh được ph ần đầu của Hệ quả 2.2.2. Từ Hệ quả 2.2.1 suy ra dãy
{x
k
} bị chặn và c ác điểm tụ yếu của nó nằm trong S. 
Định lý 2.2.1. Giả sử dãy {x
k
} được sinh ra từ Thuật toán 2.2.1 và dãy tham
số hiệu chỉnh { µ
k
} bị chặn. Khi đó dãy {x
k
} hội tụ m ạnh tới x
∗
= P
S
(x
0
).
Chứng minh. Vì tập nghiệm S lồi, đóng và giả thiết khác rỗng nên tồn tại phép
chiếu x
0
lên S và do đó x
∗
= P
S
(x
0
) hoàn toàn xác định. Từ cách xác định

x
k+1
ta có
x
k+1
− x
0
 ≤ z − x
0
 ∀z ∈ H
k
∩ W
k
.
Chương 2. Phươn g pháp chiếu-điểm gần kề 16
Vì x
∗
∈ S ⊆ H
k
∩ W
k
nên với mọi k ta có
x
k
− x
0
 ≤ x
∗
− x
0

. (2.10)
Theo Hệ quả 2.2.2, dãy {x
k
} bị chặn và có các điểm tụ yếu nằ m trong S. Giả
sử {x
k
j
là một dãy con hội tụ yếu của {x
k
} và ¯x là giớ i hạ n yếu của nó. Rõ
ràng
x
k
j
− x
∗

2
= x
k
j
− x
0
− (x
∗
− x
0
)
2
= x

k
j
− x
0

2
+ x
∗
− x
0

2
− 2x
k
j
− x
0
, x
∗
− x
0

≤ 2x
∗
− x
0

2
− 2x
k

j
− x
0
, x
∗
− x
0
,
bất đẳng thức cuối suy r a từ (2.10). Từ tính hội tụ yếu của {x
k
j
} tới ¯x ta thu
được
lim
j→∞
sup x
k
j
− x
∗

2
≤ 2

x
∗
− x
0

2

− ¯x − x
0
, x
∗
− x
0


. (2.11)
Áp dụng B ổ đề 1.2.1 với A = S, x = x
0
, z = ¯x ∈ S và chú ý rằng x
∗
là hình
chiếu của x
0
lên S ta có
x
0
− x
∗
, ¯x − x
∗
 ≤ 0.
Từ đó suy ra
x
∗
− x
0
 ≤ ¯x −x

0
, x
∗
− x
0
.
Kết hợp bất đẳng thức cuối cùng với (2.11) ta có
lim sup
j→∞
x
k
j
− x
∗

2
= 0.
Từ đó suy ra dãy {x
k
j
} hội tụ mạnh về x
∗
và rõ ràng ¯x = x
∗
vì ¯x là một giới
hạn yếu của {x
k
j
}.
Vì ¯x là một đi ểm tụ yếu bấ t kỳ của {x

k
} nên x
∗
là điểm tụ yếu duy nhất
của dãy này. Vì {x
k
} bị chặn n ên toàn bộ dãy {x
k
} hộ i tụ yếu đến x
∗
. Mặt
khác, mọi dãy con hội tụ yếu của {x
k
} hội tụ mạnh về x
∗
. Vì vậy toàn bộ dãy
{x
k
} hội tụ mạnh tới x
∗
∈ S. 
Trường hợp S = ∅. Trong trường hợp này dãy {x
k
} vẫn xác định với mọi k và
phân kỳ.
Chương 2. Phươn g pháp chiếu-điểm gần kề 17
Định lý 2.2.2. Nếu S = ∅ thì Thuật toán 2.2.1 sinh ra một dãy vô hạn {x
k
}.
Nếu thêm điều kiện dãy tham số hiệu chỉnh {µ

k
} bị chặn thì lim
k→∞
x
k
 = ∞.
Chứng minh. Trước hết, chúng ta chỉ ra Thuật toán 2.2.1 xác định bằng phương
pháp quy n ạp.
Với k = 0: Bài toán 0 ∈ T (x) + µ
0
(x − x
0
) luôn có nghiệm chính xá c và vì
vậy nó có nghiệm gần đúng (y
0
, v
0
). Chú ý rằng W
0
= H và H
0
luôn khác rỗng
(vì y
0
∈ H
0
). Bởi vậy phép chiếu x
0
lên H
0

∩ W
0
hoàn toàn xá c định, hay tồn
tại x
1
= P
H
0
∩W
0
(x
0
).
Giả sử x
k
, (y
k
, v
k
) đã được xác định với k = 0, . . . ,

k. Chúng ta cần phải
chứng minh x

k+1
cũng được xác định.
Gọi z
0
∈ ri(D(T )), trong đó D(T ) là miền xác định của T . Đặt
ρ = max{y

k
− z
0
, k = 0, . . . ,

k}
và
h(x) =



0 nếu x −z
0
 ≤ ρ + 1,
+∞ trong các trường hợp còn lại.
Gọi h : H → R ∪{+∞} là một hàm số nửa liên tục dưới và l ồi thực sự, do đó
∂h đơn điệu cực đại và
T
′
= T + ∂h
cũng đơn điệu cực đại. Hơn nữa,
T
′
(z) = T (z) nếu  z − z
0
 < ρ + 1.
Do đó, v
k
∈ T
′

(y
k
) với k = 0, . . . ,

k. Như vậy, x
k
, (y
k
, v
k
) thỏa mãn các đ iều
kiện của Thuật toán 2.2.1 áp dụn g cho bài toán
0 ∈ T
′
(x).
Vì T
′
có miền xác đ ịnh bị chặn nên bài toán trên có nghiệm. Sử dụng Hệ quả
2.2.2 ta suy ra x

k+1
được xác định. Vậy Thuật toán 2 . 2.1 hoàn toàn xác đị nh.
Theo Hệ quả 2.2.1 ta suy ra lim
k→∞
x
k
 = ∞. 
Chương 2. Phươn g pháp chiếu-điểm gần kề 18
2.3 Phương pháp chiếu-điểm gần kề song song
Xét hệ phương trình toán tử

A
i
(x) = 0, i = 1, . . . , N, (2.12)
trong đó H là khôn g gian Hilbert và A
i
: H → H là các toán tử đơn điệu cực
đại.
Thuật toán 2.3.1. ( [3]) Chọn giá trị ban đầu bất kỳ x
0
∈ H, ¯µ > 0 và
σ ∈ [0, 1). Giả s ử tại lần lặp thứ k, đã có x
k
:
Bước 1: Tì m nghiệm (đồng thời) y
i
k
∈ H của phương trình
A
i
(y
i
k
) + µ
i
k
(y
i
k
− x
k

) + ε
i
k
= 0, i = 1, . . . , N, (2.13)
trong đó µ
i
k
∈ (0, ¯µ), ε
i
k
 ≤ σ max{A
i
(y
i
k
), µ
i
k
x
k
− y
i
k
}.
Bước 2: X ác định (đồng thời) các hình chiếu củ a x
k
lên các nửa không gian
H
i
k

= {z ∈ H | z −y
i
k
, A
i
(y
i
k
) ≤ 0}
và tìm chỉ s ố tối ưu j
k
(1 ≤ j
k
≤ N) sao cho
x
k
− P
H
j
k
k
(x
k
) = max
i=1, ,N
{x
k
− P
H
i

k
(x
k
)}.
Bước 3: Đặ t
x
k+1
= P
H
j
k
k
∩W
k
(x
0
), (2.14)
trong đó W
k
= {z ∈ H | z −x
k
, x
0
− x
k
 ≤ 0}.
Nếu x
k+1
= x
k

thì dừng quá trình lặp.
Nhận xét. 1. Nếu x
k
∈ H
i
k
thì P
H
i
k
(x
k
) = x
k
, do đó
x
k
− P
H
i
k
(x
k
) = 0.
Ngược lại, ta có
P
H
i
k
(x

k
) = x
k
−
A
i
(y
i
k
), x
k
− y
i
k

A
i
(y
i
k
)
2
A
i
(y
i
k
),
suy ra
x

k
− P
H
i
k
(x
k
) =
|A
i
(y
i
k
), x
k
− y
i
k
|
A
i
(y
i
k
)
.