Tìm hiểu về phân tích chuỗi thời gian

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

PHẠM THU HẰNG

TÌM HIỂU VỀ PHÂN TÍCH CHUỖI THỜI GIAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - NĂM 2014


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

PHẠM THU HẰNG

TÌM HIỂU VỀ PHÂN TÍCH CHUỖI THỜI GIAN

Chuyên ngành: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC

Mã số: 60 46 01 06

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TS. PHAN VIẾT THƯ

HÀ NỘI - NĂM 2014

Mửc lửc

1 CĂc yu t ca phƠn tch chuỉi thới gian thôm dặ
1.1 Mổ hnh cng tnh ca chuỉi thới gi
1.1.1
1.1.2
1.1.3
1.1.4
1.1.5
1.2 B lồc tuyn tnh ca chuỉi thới gian .
1.2.1
1.2.2
1.2.3
1.2.4
1.2.5
1.2.6
1.3 Tỹ hiằp phữỡng sai v tỹ tữỡng quan . .
2 Mổ hnh chuỉi thới gian

2.1 B lồc tuyn tnh v quĂ trnh ngÔu n
2.1.1
2.1.2
2.1.3
2.1.4
2.1.5
2.1.6
2.2 Trung bnh trữổt v quĂ trnh tỹ hỗi
2.2.1

2.2.2
2.2.3
2.2.4
2.2.5
2.2.6
2.2.7
2.2.8
2.3 Nhn dng mổ hnh ARMA: Phữỡng p
2.3.1
2.3.2
i


2.3.3
2.3.4
3 Mæ h…nh khæng gian - tr⁄ng th¡i (State - Space Models)
3.1 Bi”u di„n khæng gian - tr⁄ng th¡i . . . . .
3.2 Bº låc Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . . .
K‚t lu“n
T i li»u tham kh£o

ii


Lới m

u

Trong cĂc b i toĂn kinh t, k thut cụng nhữ trong cuc sng h ng ng
y, viằc bit trữợc ữổc cĂc giĂ tr ca tữỡng lai s vổ cũng quan trồng. Nõ

s giúp chúng ta hoch nh ữổc k hoch, trĂnh nhng ri ro khổng cn
thit cụng nhữ lỹa chồn nhng phữỡng Ăn ti ữu. Chuỉi thới gian ang
ữổc sò dửng nhữ mt cổng cử hu hiằu phƠn tch v dỹ bĂo trong
kinh t, x hi cụng nhữ trong nghiản cứu khoa hồc. Mt chuỉi thới gian l
tp hổp cĂc quan sĂt ca cĂc d liằu ữổc xĂc nh rê thu ữổc thổng
qua cĂc php o lp i lp li theo thới gian. PhƠn tch chuỉi thới gian bao
gỗm cĂc phữỡng phĂp phƠn tch d liằu chuỉi thới gian, t õ trch
xuĐt ữổc cĂc thuc tnh thng kả cõ ỵ nghắa v cĂc c im ca d liằu.
Nhớ õ, ta cõ cỡ s dỹ bĂo cĂc kt quÊ cho tữỡng lai.
Vợi mong mun tm hiu v phƠn tch chuỉi thới gian nhm dỹ bĂo
cĂc kt quÊ trong tữỡng lai, lun vôn nghiản cứu v t i "Tm hiu v
phƠn tch chuỉi thới gian". Lun vôn cung cĐp kin thức chnh cho
viằc phƠn tch chuỉi thới gian trong min thới gian. CĂc kin thức cỡ s
cn cõ l sỹ hi tử trong phƠn phi, hi tử ngÔu nhiản, ữợc lữổng hổp lỵ
cỹc i cụng nhữ kin thức cỡ bÊn ca lỵ thuyt kim nh. Lun vôn gỗm ba
chữỡng:
Chữỡng 1 ữa ra cĂc yu t ca viằc phƠn tch chuỉi thới gian thôm
dặ bao gỗm cĂc mổ hnh phũ hổp (Logistic, Mitscherlich, ữớng cong
Gom-pertz) cho mt chuỉi cĂc d liằu, b lồc tuyn tnh cho iu chnh
theo mũa v xu hữợng iu chnh (b lồc sai phƠn, chữỡng trnh iu tra
dƠn s X 11) v b lồc mụ cho theo dêi hằ thng. Tỹ hiằp phữỡng sai v tỹ
tữỡng quan s ữổc giợi thiằu trong chữỡng n y.
Chữỡng 2 cung cĐp php toĂn ca cĂc mổ hnh toĂn hồc v dÂy n nh
ca bin ngÔu nhiản (ỗn trng, trung bnh trữổt, quĂ trnh tỹ hỗi quy, mổ
hnh ARIMA) cũng vợi cĂc kin thức cỡ s (sỹ tỗn ti ca quĂ trnh dng,

m sinh hiằp phữỡng sai, b lồc ngữổc v b lồc nguyản nhƠn, iu kiằn
dng, phữỡng trnh Yule Walker, tỹ tữỡng quan riảng). Chữỡng trnh
Box Jenkins cho mổ hnh ARMA s ữổc nghiản cứu mt cĂch cử th
h

iii


(tiảu chu'n thổng tin AIC, BIC v HQ). QuĂ trnh Gaussian v ữợc lữổng
hổp lỵ cỹc i trong mổ hnh Gaussian ữổc giợi thiằu cụng nhữ ữợc
lữổng bnh phữỡng ti thiu nhữ l mt khÊ nông loi tr khổng cõ tham
s. Kt quÊ ữổc kim tra bng Box Ljung.
Chữỡng 3 giợi thiằu mổ hnh chuỉi thới gian ữổc nhúng trong mổ
hnh khổng gian trng thĂi. B lồc Kalman l mt phữỡng phĂp dỹ oĂn thng
nhĐt gn vợi cĂc phƠn tch ca chuỉi thới gian trong min thới gian.
BÊn lun vôn n y ữổc ho n th nh dữợi sỹ hữợng dÔn nghiảm khc v
ch bÊo tn tnh ca PGS.TS Phan Vit Thữ. Thy  d nh nhiu thới
gian hữợng dÔn cụng nhữ giÊi Ăp cĂc thc mc ca tổi trong sut quĂ tr
nh l m lun vôn. Tổi mun b y tọ lặng bit ỡn sƠu sc n ngữới thy ca
mnh.
Qua Ơy, tổi xin gòi tợi cĂc thy cổ Khoa ToĂn - Cỡ - Tin hồc, Trữớng i
hồc Khoa hồc Tỹ nhiản, i hồc Quc gia H Ni, cụng nhữ cĂc thy cổ Â
tham gia giÊng dy khõa cao hồc 2011- 2013 lới cÊm ỡn sƠu sc nhĐt i
vợi cổng lao dy dỉ trong sut quĂ trnh giĂo dửc o to ca Nh trữớng.
Tổi xin cÊm ỡn gia nh, bn b v tĐt cÊ mồi ngữới  quan tƠm, to iu
kiằn, ng viản c vụ tổi tổi cõ th ho n th nh nhiằm vử ca mnh.
H Ni, ng y 11 thĂng 02 nôm 2014
Hồc viản
Phm Thu Hng

iv


Chữỡng 1

CĂc yu t ca phƠn tch chuỉi thới
gian thôm dặ
Chuỉi thới gian l chuỉi cĂc quan sĂt ữổc sp xp theo thới gian. V
dử, thu hoch h ng nôm ca c cÊi ữớng v giĂ ca chúng/tĐn ữổc ghi li
trong nổng nghiằp. Thổng bĂo v giĂ c phiu h ng ng y, t lằ u tữ
h ng tun, t lằ s ngữới thĐt nghiằp h ng thĂng v doanh thu h ng nôm
trong cĂc tớ bĂo kinh t. Kh tữổng hồc ghi li tc giõ h ng giớ, nhiằt
cao nhĐt v thĐp nhĐt h ng ng y, mỹc nữợc mữa h ng nôm. a lỵ hồc liản
tửc theo dêi sỹ thay i ca trĂi Đt dỹ oĂn khÊ nông ng Đt. Mt iằn nÂo
ỗ ghi li dĐu vt sõng nÂo thỹc hiằn bi mt mĂy iằn tò phĂt hiằn bằnh n
Âo, iằn tƠm ỗ dĐu vt sõng tim. Nhng iu tra x hi v t lằ sinh v t lằ
cht, cĂc tai nn trong nh v h nh vi phm ti. Tham s trong mt quĂ trnh
sÊn xuĐt ữổc theo dêi thữớng xuyản kim tra trỹc tuyn, Êm bÊo chĐt
lữổng.
Hin nhiản, cõ rĐt nhiu lỵ do ghi li v phƠn tch nhng d liằu v
chuỉi thới gian. Trong s õ, c biằt l sỹ mong mun cõ mt hiu bit tt
hỡn v cĂc d liằu to ra cỡ ch, dỹ oĂn v kt quÊ trong tữỡng lai hoc iu
khin ti ữu mt hằ thng. Tnh chĐt c trững ca chuỉi thới gian l d
liằu khổng ữổc sinh ra mt cĂch c lp, sỹ sai khĂc ca chúng thay i
theo thới gian, chúng thữớng b iu chnh bi xu hữợng v chúng cõ cĂc
th nh phn chu ký. Do õ, cĂc quĂ trnh thng kả m ngữới ta giÊ sò d
liằu cõ tnh c lp v cũng phƠn phi, s loi tr khọi phƠn tch ca
chuỉi thới gian. iu n y ặi họi nhng phữỡng phĂp thch hổp ữổc tp
hổp li dữợi cĂi tản PhƠn tch chuỉi thới gian.

1


1.1

Mổ hnh cng tnh ca chuỉi thới gian

Mổ hnh cng tnh i vợi mt chuỉi thới gian y 1; y2; : : : ; yn l giÊ
thit rng nhng d liằu trản l php th hiằn ca cĂc bin ngÔu nhiản Y t
sao cho Yt l tng ca bn th nh phn
Yt = Tt + Zt + St + Rt; t = 1; :::; n;
trong õ Tt l h m ( ỡn iằu) ca t , gồi l xu hữợng. Z t phÊn Ănh mt s tĂc ng
d i hn khổng ngÔu nhiản cõ chu ký. V dử, chu ký ni ting trong
kinh doanh thữớng bao gỗm suy thoĂi, phửc hỗi, tông trững v suy giÊm.
St mổ tÊ mt s Ênh hững khổng ngÔu nhiản theo chu ký ngn hn
nhữ l mt th nh phn theo mũa trong khi R t l mt bin ngÔu nhiản bao
gỗm tĐt cÊ lằch t mổ hnh khổng ngÔu nhiản lỵ tững y t = Tt +Zt
+St: CĂc bin Tt v Zt thữớng ữổc vit gồn th nh
Gt = Tt + Zt;
Gt mổ tÊ din bin d i hn ca chuỉi thới gian. Chúng ta s giÊ thit rng
ký vồng E (Rt) = 0 ca bin sai s tỗn ti v bng 0, iu õ phÊn Ănh giÊ thit
lằch ngÔu nhiản trản hoc dữợi mổ hnh khổng ngÔu nhiản cƠn
bng lÔn nhau v trung bnh. Chú ỵ rng E (R t) = 0 cõ th luổn t ữổc
bng cĂch thay i thch hổp mt hoc nhiu th nh phn khổng ngÔu
nhiản.
Biu ỗ dữợi Ơy ca d liằu thĐt nghiằp 1 ch ra mt th nh phn theo mũa
v mt xu hữợng giÊm. Chu ký t thĂng 7 nôm 1975 tợi thĂng 9 nôm 1979
cõ th hỡi ngn cho bit v chu ký kinh doanh d i hn.

2


Biu ỗ 1.1.1: D liằu thĐt nghiằp 1.

1.1.1

Mổ hnh vợi xu hữợng khổng tuyn tnh

Trong mổ hnh cng tnh Yt = Tt + Rt, õ ch cõ th nh phn
khổng ngÔu nhiản l xu hữợng Tt phÊn Ănh sỹ phĂt trin ca hằ thng v
giÊ thit rng E (Rt) = 0, ta cõ:
E (Yt) = Tt = f (t) :
GiÊ thit chung l
1; :::; p tức l

h m f phử thuc v o nhiu tham s (chữa bit)
f (t) = f (t; 1; :::; p) ;

tuy nhiản  bit dng ca h m f. CĂc tham s chữa bit 1; :::; p cn ữổc ữợc
lữổng t tp cĂc th hiằn yt ca bin ngÔu nhiản Yt. CĂch tip cn thổng
thữớng l sò dửng phữỡng phĂp ữợc lữổng bnh phữỡng ti
^

t

X

Nu cĂc php toĂn trản tỗn ti th b i toĂn

t

y
ữa v b i toĂn s .GiĂ tr

÷æc gåi l phƒn d÷. Chóng chøa c¡c thæng tin v• sü phò hæp cıa mæ
h…nh vîi dœ li»u.
Sau ¥y ta s‡ li»t k¶ mºt sŁ v‰ dö thæng döng cıa h m xu h÷îng.
3


1.1.2

H m Logistic

H m s

flog (t) = flog (t; 1; 2; 3) =
vợi

1; 2; 3 2 Rn f0g l h m Logistic ữổc sò dửng rng rÂi.

Biu ỗ 1.1.2: H m Logistic flog vợi cĂc giĂ tr khĂc nhau 1; 2; 3. Hin
nhiản ta cõ lim flog (t) = 3 nu 1 > 0. GiĂ tr 3 thữớng ging sỹ
t!1

sÊn sinh cỹc i hoc sỹ phĂt trin ca hằ thng. Chú ỵ rng:
1
flog (t)

=
=
=

=a+

1
Nhữ vy tỗn ti mt mi liản hằ tuyn tnh gia flog (t). iu n y cõ th
dũng l m cỡ s ữợc lữổng cĂc tham s 1; 2; 3 bng mt ữợc lữổng bnh
phữỡng ti thiu thch hổp. Trong v dử sau, ta s khợp mổ hnh xu
hữợng (1.5) vợi d liằu v sỹ phĂt trin dƠn s ca pha bc RhineWestphalia (NRW) l mt bang ca ức.
4


V‰ dö 1.1.1 (Dœ li»u d¥n sŁ 1) B£ng 1.1.1 ÷a ra sŁ d¥n (t‰nh theo ìn
và h ng tri»u) cıa bang NRW c¡c b÷îc chu ký 5 n«m, tł n«m 1935 ‚n
n«m 1980 v ÷a ra gi¡ trà dü b¡o cıa y^ t, x¡c ành b‹ng ph÷ìng ph¡p ÷îc
l÷æng b…nh ph÷ìng tŁi thi”u nh÷ mæ t£ (1.4) cho mæ h…nh Logistic.
N«m
1935
1940
1945
1950
1955
1960
1965
1970
1975
1980
B£ng 1.1.1: Dœ li»u d¥n sŁ 1.
Nh÷ mºt dü b¡o sŁ d¥n ð thíi gian t, ta nh“n ÷æc trong mæ h…nh
Logistic

y^t =

=

21:5016

1 + 1:1436exp ( 0:1675t)
^
vîi k‰ch th÷îc b¢o ho ÷îc l÷æng l 3 = 21:5016.

1.1.3

H m Mitscherlich

m Mitscherlich l mºt d⁄ng °c tr÷ng, th÷íng ÷æc sß döng trong mæ
h…nh t«ng tr÷ðng d i h⁄n cıa h» thŁng:
H

fM (t) = fM (t; 1; 2; 3) = 1 + 2exp ( 3t) ; t
trong â 1; 2 2 R v
c“n lim fM (t) =
t!1

1

v do

0;

(1.7)

3 < 0. V… 3 l sŁ ¥m n¶n ta câ d¡ng i»u ti»m

â tham sŁ

1l

gi¡ trà b¢o ho cıa h» thŁng.

Gi¡ trà (khði t⁄o) cıa h» thŁng t⁄i thíi gian t = 0 l f M (t) =

5

1

+ 2.


1.1.4

֒ng cong Gompertz

Mºt h m kh¡ thæng döng dòng ” mæ h…nh ho¡ sü t«ng ho°c gi£m
cıa mºt h» thŁng l ÷íng cong Gompertz
t

fG (t) = fG (t; 1; 2; 3) = exp 1 + 2 3 ; t 0;
trong â 1; 2 2 R v 3 2 (0; 1). Hi”n nhi¶n ta câ
t

log (fG (t)) = 1 + 2 3 = 1 + 2exp (log ( 3) t) ;
do â log (fG) l h m Mitscherlich vîi tham sŁ 1; 2 v log ( 3). Gi¡ trà b¢o
ho l exp ( 1).

v

Bi”u ç 1.1.3: ÷íng cong Gompertz vîi c¡c tham sŁ kh¡c nhau.

1.1.5

H m t÷ìng quan sinh tr÷ðng (the Allometric Function)

H m t÷ìng quan sinh tr÷ðng
fa (t) = fa (t; 1; 2) = 2t 1 ; t 0;
vîi 1 2 R; 2 > 0 l h m xu h÷îng thæng döng trong sinh v“t håc v kinh
t‚ håc. Nâ câ th” ÷æc xem nh÷ l mºt h m Cobb-Douglas °c bi»t, l mºt
mæ h…nh kinh t‚ l÷æng thæng döng ” mæ t£ sŁ l÷æng s£n ph'm ƒu ra
phö thuºc ƒu v o. V…
log (fa (t)) = log ( 2) + 1 log (t) ; t > 0;
6


l mt h m tuyn tnh ca log (t) vợi hằ s gõc 1 v im ct vợi trửc tung l
log ( 2) nản ta cõ th giÊ thit mt mổ hnh hỗi quy tuyn tnh cho d
liằu loga log (yt)

log (yt) = log ( 2) + 1 log (t) + "t; t

1;

trong õ "t l cĂc bin sai s.
V dử 1.1.2 (D liằu v thu nhp). BÊng 1:1:2 ữa ra thu nhp tch lu
tông trung bnh h ng nôm ca thu nhp trữợc thu (Gross) v thu nhp
sau thu (Net) tnh theo ỡn v nghn DM ( ỡn v tin tằ) ti ức t nôm

1960.
Nôm
1960
1961
1962
1963
1964
1965
1966
1967
1968
1969
1970
BÊng 1.1.2: D liằu thu nhp.
Ta giÊ thit rng sỹ tông ca thu nhp rặng sau thu y t l mt h m tữỡng
quan sinh trững ca thới gian t v ta cõ
log (yt) = log ( 2) + 1 log (t) + "t:
ìợc lữổng bnh phữỡng ti thiu ca 1 v log ( 2) trong mổ hnh hỗi
quy tuyn tnh trản l

trong õ log (t) =

v cui cũng log ( 2) = log (y) 1log (t) =


7


2

bi

Vy giĂ tr dỹ oĂn y^t tữỡng ứng vợi thới gian t

BÊng 1.1.3: Phn thng dữ ca d liằu thu nhp.
BÊng 1:1:3 liằt kả phn dữ yt y^t, cĂc phn dữ n y cõ th Ănh giĂ sỹ phũ
hổp ca mổ hnh (1:11).
Mt o ph thổng Ănh giĂ sỹ phũ hổp l hằ s tữỡng quan nhiu chiu
2
bnh phữỡng hoc giĂ tr R

R

2

P
1

t=1

n
P

trong õ y = n t=1 yt l trung bnh ca cĂc quan sĂt yt. Trong mổ hnh hỗi
quy tuyn tnh vợi y^t dỹa trản ữợc lữổng bnh phữỡng
ti thiu ca cĂc
n
2
2
2

tham s, R nm gia 0 v 1 suy ra R = 1 nu v ch nu (yt y^t)
P

t

2

Mt giĂ tr R gn tợi 1 l
2

=1

thun lổi cho mổ hnh. Mổ hnh (1:10) cõ
2

R = 0:9934 trong khi (1.11) cõ R = 0:9789. Tuy nhiản ta phÊi chú ỵ
^

rng mổ hnh u tiản (1:9) khổng tuyn tnh v 2 khổng phÊi l ữợc
2
lữổng bnh phữỡng ti thiu, trong trữớng hổp n y R khổng nhĐt thit
phÊi nm gia 0 v 1 v do õ ta cn phÊi xem xt c'n thn nõ nhữ l mt
o thổ ca sỹ phũ hổp.
Tng thu nhp tông trung bnh trong nôm 1960 l 6148 DM v tữỡng ứng
8


thu nhp rặng l 5148 DM. Do õ tng thu nhp trung bnh hiằn ti v
thu nhp rặng l x~t = xt + 6:148 v y~t = yt + 5:178 vợi mổ hnh ữợc
lữổng dỹa trản giĂ tr dỹ oĂn y^t

^
y~t = y^t + 5:178 = 0:47t
^

Chú ỵ rng giĂ tr thng dữ y~ t y~t = yt y^t khổng b Ênh hững bi
hng s cng 5.178 v o yt. Mổ hnh trản cõ th giúp Ănh giĂ tnh
trng ngữới õng thu trung bnh t nôm 1960 n nôm 1970 v dỹ oĂn hồ
tữỡng lai. Rê r ng t giĂ tr thng dữ trong bÊng 1.1.3 cho thĐy thu nhp
rặng yt gn nhữ l bi s ho n hÊo ca t vợi t nm gia 1 v 9 trong khi
nôm 1970, y10 tông mnh nhĐt dữớng nhữ l giĂ tr ngoi lai. Tht vy,
trong nôm 1969 chnh ph ức  cõ sỹ thay i v trong nôm 1970 cõ
mt cuc nh cổng lợn ức l nguyản nhƠn cho viằc thu nhp ca cổng
chức tông mnh.

1.2

B lồc tuyn tnh ca chuỉi thới gian

Sau Ơy ta s xem xt mổ hnh cng tnh (1:1) v giÊ thit rng
khổng cõ th nh phn chu ký d i hn. Tuy nhiản ta cho php mt xu
hữợng, trong trữớng hổp n y, l m trỡn th nh phn khổng ngÔu nhiản G t
bng h m xu hữợng Tt . Do õ, mổ hnh ữổc phƠn tch dữợi dng
Yt = Tt + St + Rt; t = 1; 2; : : :
vợi E (Rt) = 0. Cho th hiằn yt; t = 1; 2; : : : ; n trong chuỉi thới gian, mửc
^ ^
ch ca phn n y l ữợc lữổng Tt; St ca cĂc h m khổng ngÔu nhiản Tt

yt
trong chuỉi thới gian gồi l "chuỉi

1.2.1

^

St v

v

^

St

loi bọ chúng ra khọi chuỉi thới gian bng cĂch xt y t Tt

thay v o õ. Chuỉi nhn ữổ
ữổc iu chnh theo mũa".

CĂc b lồc tuyn tnh

LĐy a r; a r+1; : : : ; as l
n. Php bin i tuyn tnh

ữổc gồi l



ữổc gồi l
9

D thĐy rng d liằu u ra t hỡn d liằu u v o nu (r; s) 6= (0; 0). Mt
giĂ tr dữỡng s > 0 hoc r > 0 l nguyản nhƠn ct bọ im bt u hoc
kt thúc caT chuỉi thới gian. thun tiằn, ta gồi vctỡ ca cĂc trồng s (a u) = (a
r; : : : ; as) l mt lồc (tuyn tnh).
1
Mt lồc (au) m cĂc trồng s cõ tng bng 1,

bnh trữổt. Trữớng hổp riảng au = 2s + 1, u =

s; : : : ; s vợi mt s lã

trồng s bng nhau, hoc au =
mửc ch chồn mt s lữổng chfin trồng s trung bnh trữổt ỡn giÊn
cõ bc tữỡng ứng l 2s + 1 v 2s.
Lồc chuỉi thới gian l l m san bng nhng th nh phn bĐt thữớng ca
chuỉi thới gian, do õ tm ra xu hữợng hoc th nh phn theo mũa, m nõ
cõ th b che khuĐt bi nhng bin ng. V dử, trong khi ỗng hỗ tc
k thut s trong ổ tổ cõ th cung cĐp vn tc tức thới ca xe, cụng cho
thĐy sỹ bin ng khĂ lợn. Mt cổng cử tữỡng tỹ dũng tay v mt b lồc xƠy
dỹng l m mn cõ th giÊm tÊi cĂc bin ng những mĐt mt t thới gian
iu chnh. Cổng cử thứ hai th rĐt d ồc v cĂc thổng tin ca chúng
phÊn Ănh xu hữợng l trong hu ht cĂc trữớng hổp.
tnh u ra ca trung bnh trữổt ỡn giÊn cõ bc 2s + 1 ta sò dửng
phữỡng trnh sau:
Yt+1 = Yt +
Lồc n y l v dử riảng cho lồc thổng thĐp, bÊo to n th nh phn xu hữợng
bin i chm ca chuỉi v loi khọi nõ th nh phn bin ng nhanh hoc tn
s cao. Do õ, cõ mt sỹ thoÊ hiằp gia hai yảu cu trản l nhng bin i
bĐt thữớng nản ữổc giÊm bi mt b lồc, v dử chồn nhiu s trong trung
bnh trữổt ỡn giÊn, v do õ sỹ bin ng d i hn trong d liằu s khổng b

bõp mo bi l m trỡn quĂ mức, tức l cõ quĂ nhiu lỹa chồn s. V dử, nu ta
giÊ sò rng chuỉi thới gian Yt = Tt + Rt khổng cõ th nh phn theo mũa,
trung bnh trữổt ỡn giÊn bc 2s + 1 dÔn tợi
= s


s
X

u= s

10

Rt u = Tt + Rt :


trong õ theo lut s lợn R t E (Rt) = 0 nu s lợn. Những T t cõ th sau õ
khổng cặn phÊn Ănh Tt. Tuy nhiản, nu chồn s nhọ, ta thĐy hiằn
tữổng Rt khổng cặn gn vợi ký vồng ca nõ.

1.2.2

iu chnh theo mũa

Trung bnh trữổt ỡn giÊn ca chuỉi thới gian Y t = Tt + St + Rt phƠn t
ch th nh
Yt = Tt + St + Rt ;
trong õ St l trung bnh trữổt liản quan ca th nh phn theo mũa. Hỡn
na, giÊ sò rng St l h m chu ký p , tức l St = St+p; t = 1; : : : ; n p. V
dử nhiằt trung bnh h ng thĂng Yt o ữổc ti nhng im c nh, trong

trữớng hổp n y cõ th giÊ thit chu ký th nh phn theo mũa S t cõ chu ký
p = 12 thĂng. Trung bnh trữổt ỡn giÊn bc p cho giĂ tr bĐt bin S t = S;
t = p; p + 1; : : : ; n p . Bng viằc cng thảm hng s S v o h m xu hữợng
0
Tt v t Tt = Tt + S , ta cõ th giÊ thit S = 0. Do õ ta cõ
hiằu Dt = Yt Yt St + Rt
vợi tr p (chú ỵ rng chúng dao ng xung quanh S t )

D=
t

nt

=0

D

t+jp

S

t

trong õ nt l s chu ký dũng tnh Dt. Do õ

^
St

l mt ữợc lữổng ca St = St+p = St+2p = : : : thoÊ mÂn

^
Hiằu Yt St vợi th nh phn theo mũa gn 0 l chuỉi thới gian ữổc iu
chnh theo mũa.

1.2.3

Chữỡng trnh

iu tra dƠn s X - 11

Trong nhng nôm 50 ca th k 20, vôn phặng US iu tra dƠn s Â
phĂt trin mt chữỡng trnh iu chnh theo mũa ca chuỉi thới gian kinh
11


t, ữổc gồi l chữỡng trnh iu tra dƠn s X 11. Chữỡng trnh n y phử
thuc v o cĂc quan sĂt h ng thĂng v giÊ thit mổ hnh cng tnh
Y t = T t + St + R t
ging nhữ (1.13) vợi th nh phn theo mũa St chu ký p = 12.
Ta ữa ra mt bÊn tõm tt chữỡng trnh bi Wallis (1974), õ l kt quÊ ca
trung bnh trữổt vợi trồng s i xứng. Phữỡng phĂp iu tra dƠn s ữổc
trnh b y trong Shiskin v Eisenpress (1957); mt mổ tÊ y ữổc ữa ra
bi Shiskin et al (1967). Chứng minh lỵ thuyt ữổc dỹa trản mổ hnh
ngÔu nhiản ữổc cung cĐp bi Cleveland v Tiao (1976). Chữỡng trnh
X - 11 thỹc chĐt l m viằc nhữ iu chnh theo mũa ữổc mổ tÊ trản,
những chữỡng trnh n y cõ thảm cĂc php lp v nhiu trung bnh
trữổt khĂc nhau.
Nhng bữợc khĂc nhau trong chữỡng trnh n y l :
(i)

Tnh trung bnh trữổt ỡn giÊn Yt bc 12 loi bọ v cỡ bÊn mt xu
hữợng Yt Tt.

(ii) Hiằu Dt = Yt Yt St + Rt sau õ bọ qua mt cĂch xĐp x th nh phn
bĐt thữớng cng theo mũa.
(iii)

p dửng trung bnh trữổt bc 5 cho mỉi thĂng riảng r bng cĂch tnh
(1)
+D

1 (1) (1) (1) (1) (1)

D = D + 2D + 3D + 2D
t 9 t 24
t 12
t
t+12

t+24

St:

Cổng thức trản cho ữợc lữổng ca cĂc th nh phn theo mũa S t.
Chú ỵ rng trung bnh trữổt vợi trồng s (1; 2; 3; 2; 1) =9 l trung
bnh trữổt ỡn giÊn cõ d i bng 3.
(1)

(iv) Dt ữổc iu chnh bng cng xĐp x dn v 0 trản bĐt ký chu ký 12
thĂng bng cĂch t

S^t

(1)

(1)

= Dt

ging nhữ trữợc
(vi)

õ.
(1)

D liằu iu chnh Yt s ữổc l m trỡn hỡn bi trung bnh trữổt
Henderson Yt bc 9,13 hoc 23.
12


(2)

(vii) Hiằu Dt = Yt Yt St + Rt sau õ loi ữợc lữổng thứ hai ca tng th nh
phn theo mũa v th nh phn bĐt thữớng.
(viii)

Trung bnh trữổt bc 7 ữổc ứng dửng cho mỉi thĂng mt cĂch
riảng biằt

trong õ trồng s au lĐy t trung bnh trữổt ỡn giÊn bc 3 Ăp dửng
cho trung bnh trữổt ỡn giÊn bc 5 ca d liằu gc tức l vctỡ

trồng s l (1; 2; 3; 3; 3; 2; 1) =15 . Ơy chnh l ữợc lữổng thứ hai
ca th nh phn theo mũa St.
^(2)
(ix) Bữợc (iv) ữổc lp i lp li cho ra ữợc lữổng xĐp x trung tƠm St ca
th nh phn theo mũa.

Tũy thuc d i ca trung bnh trữổt Henderson ữổc sò dửng trong bữợc
(2)
(vi), Yt l trung bnh trữổt cõ d i 165, 169 hoc 179 ca d liằu gc.
Nhn thĐy rng, iu n y dÔn n viằc lĐy trung bnh ti thới gian t dao ng
trữợc v sau 7 nôm l mt dng d i c trững ca chu ký kinh doanh  ữổc
quan sĂt trong kinh t (chu ký Juglar). Vôn phặng US iu tra dƠn s
gn Ơy  phĂt h nh mt phiản bÊn m rng ca chữỡng trnh X 11 gồi l
Census X 12 ARIMA. Nõ ữổc thỹc hiằn trong SAS phiản bÊn 8.1 v cao
hỡn l PROC X12 ( c giÊ tham khÊo cĂc t i liằu trỹc tuyn SAS bit chi
tit).

1.2.4

a thức

a phữỡng phũ hổp nhĐt

Trung bnh trữổt ỡn giÊn hot ng tt trong chuỉi thới gian hu tuyn
tnh a phữỡng, những nõ s gp phÊi mổt s vĐn khi l m viằc vợi t
nh trng hnh dng xon. Mt gổi ỵ ữa ra l ta nản l m viằc vợi a thức a
phữỡng cõ bc cao hỡn.
Xt 2k + 1 d liằu liản tửc y t k; : : : ; yt; yt+k t chuỉi thới gian. Mt ữợc
lữổng a thức a phữỡng bc p < 2k + 1 l cỹc tiu hõa 0; : : : ; p thoÊ mÂn
k

uX

p

= k

(yt+u

0

1u

:::

13

pu

)


Nu ta lĐy o h m v trĂi tữỡng ứng vợi mỉi j v t cĂc o h m õ bng 0, ta
thĐy cĂc cỹc tiu thoÊ mÂn p + 1 phữỡng trnh tuyn tnh
k
X

0

u= k

vợi j = 0; : : : ; p. p + 1 phữỡng trnh n y gồi l
v cõ th vit dữợi dng ma trn

trong õ

X=

T

T

ma trn thit k, = ( 0; : : : ; p) v y = (yt k; : : : ; yt+k) .
T
Hng ca X X bng hng ca X, v khổng gian khổng ca chúng trũng
T
nhau. Do õ ma trn X X l khÊ nghch khi v ch khi cĂc ct ca X l c lp
tuyn tnh. Tuy nhiản, a thức bc p cõ nhiu nhĐt p nghiằm phƠn biằt.
Do õ cĂc phữỡng trnh chu'n tc (1.16) phÊi cõ nghiằm duy nhĐt
l

Dỹ bĂo tuyn tnh ca yt+u dỹa trản u; u
2

y^t+u = 1; u; u ; : : : ; u

p

Trữớng hổp riảng, chồn u = 0 ta cõ 0 = y^t l
trung tƠm yt gia yt k; : : : ; yt+k. XĐp x a thức a phữỡng bao gỗm
viằc thay th yt bi im giao 0.

Mc dũ, dữớng nhữ nu a thức a phữỡng phũ hổp yảu cu mt tnh
toĂn lợn bi tnh 0 cho mỉi yt, những thỹc ra l tnh trung bnh trữổt.
Ta cõ th suy ra t cổng thức (1.18)

14

j

u + 1


vợi cu 2 R khổng phử thuc giĂ tr yu ca chuỉi thới gian v
P

(cu) l mt lồc tuyn tnh. Ta tip tửc chứng minh rng

do õ

k

u= k

cu = 1. Chồn

yt+u = 1 vợi u =
k; : : : ; k. Do õ 0 = 1; 1 = : : : = p = 0 l nghiằm
tm thữớng ca b i toĂn cỹc tiu hoĂ (1.15). Do nghiằm l duy nhĐt nản
ta cõ
1= 0=
do õ, (cu) l trung bnh trữổt, nõ cõ trồng s i xứng. Ta tng hổp

cĂc khÊo cứu trản trong kt quÊ sau:
v

nh lỵ 1.2.1 Phũ hổp a phữỡng bng phữỡng phĂp bnh phữỡng ti
thiu mt a thức bc p cho 2k + 1 > p im d liằu liản tửc y t k; : : : ; yt+k v
dỹ bĂo yt bng im ct 0 tnh ữổc, dÔn n trung bnh trữổt (c u) bc 2k
T
1 T
+ 1; cho bi h ng u tiản ca ma trn X X X .
V dử 1.2.2 Phũ hổp a thức a phữỡng bc 2 cho 5 im d liằu liản
tửc dÔn n trung bnh trữổt

1

(cu) = 35 ( 3; 12; 17; 12; 3)T :

1.2.5

B lồc sai phƠn

Ta  thĐy l ta cõ th loi bọ th nh phn theo chu ký mũa ra khọi chuỉi
thới gian bng cĂch sò dửng mt b lồc tuyn tnh thch hổp. Ta cụng
s ch ra rng mt h m xu hữợng a thức cõ th ữổc loi bọ bi mt b lồc
tuyn tnh phũ hổp.
p

B 1.2.3 Cho a thức f (t) = c0 + c1t + : : : + cpt bc p, sai phƠn
f (t) = f (t)
l

f (t

1)

a thức bc cao nhĐt p 1.

Chứng minh. Khflng
(t 1)

nh l hằ quÊ trỹc tip ca khai trin nh thức

p

15


BŒ • ch¿ ra r‹ng sai ph¥n l m gi£m b“c cıa
2

f (t) =

f (t)

f (t

a thøc. Do â

1) =

( f (t))

l a thøc b“c khæng qu¡ p

l a thøc b“c khæng qu¡ p
t‰nh
vîi trång sŁ a0 = 1; a1 =
ành ngh¾a » quy
p

p 1

Yt = Yt ; t = p; : : : ; n;
l bº låc sai ph¥n b“c p.
V‰ dö, bº låc sai ph¥n c§p 2 vîi trång sŁ a0 = 1; a1 =
2

Yt = Y t
= Yt

N‚u chuØi thíi gian Yt câ mºt a thøc xu h÷îng Tt =
p

c¡c h‹ng sŁ th… bº låc sai ph¥n Yt b“c p lo⁄i bä xu h÷îng tîi h‹ng sŁ.
ChuØi thíi gian trong kinh t‚ th÷íng câ mºt h m xu h÷îng bà lo⁄i bä bði bº
låc sai ph¥n c§p 1 ho°c c§p 2.

1.2.6

L m trìn h m mô

Cho Y0; : : : ; Yn l mºt chuØi thíi gian v
låc tuy‚n t‰nh
Y = Y
t

vîi Y0 = Y0 ÷æc gåi l l m trìn h m mô.
BŒ • 1.2.4 L m trìn h m mô vîi h‹ng sŁ

2 [0; 1] , ta câ

t 1
X

Yt =

(1

j

) Yt j + (1

j=0

16

t

) Y 0;

t = 1; 2; : : : ; n: