Tìm hiểu các phương pháp tạo chỉ số thống kê và ứng dụng

I H¯C QU¨C GIA H

N¸I

I H¯C KHOA H¯C TÜ NHI N

Nguy„n Ph÷ìng Ly

TMHI UV C CPH×ÌNGPH PT OCH S¨TH¨NGK V ÙNG DÖNG

LU NV NTH CS KHOAH¯C

H Nºi - N«m 2019


I HC QUăC GIA H

NáI

I HC KHOA HC Tĩ NHI N

Nguyn Phữỡng Ly

TMHI UV C CPHìèNGPH PT OCH SăTHăNGK V NG DệNG

Chuyản ng nh: Lỵ thuyt xĂc suĐt v thng kả toĂn hồc
MÂ s: 8460112.02

LU NV NTH CS KHOAHC

NGìI HìNG D N KHOA HC:

H Ni - Nôm 2019

TS. Trnh Quc Anh


Lới nõi

u

Trong bi cÊnh hi nhp quc t nhữ hiằn nay, viằc nƠng cao nông lỹc ca i ngụ
cĂn b l mt trong nhng yu t quan trồng nhĐt cn chú trồng; v vy, giĂo dửc v
kim nh Ănh giĂ giĂo dửc l mt phn then cht giúp Viằt Nam ta hiu
v phƠn tch ữổc cĂc thổng tin i chiu vợi mửc tiảu, tiảu chu'n ra, nhm cõ nhng
quyt nh thch hổp iu chnh, nƠng cao chĐt lữổng v hiằu quÊ giĂo dửc.

Trong b i kim tra Ănh giĂ nông lỹc, cĂc phÊn hỗi thổ ca hồc sinh cõ hai kha
cnh quan trồng l chnh xĂc v thới gian phÊn hỗi. T trữợc n nay, cĂc b i kim tra
Ănh giĂ ngữới ta thữớng ch quan tƠm n chnh xĂc ca cƠu trÊ lới v dỹa v o s cƠu
úng sai Ănh giĂ nông lỹc ca hồc sinh. Tuy nhiản gn Ơy, vợi sỹ phĂt trin ca mĂy t
nh v cổng nghằ thổng tin, ta  cõ th d
d ng ghi li ữổc thới gian phÊn hỗi tng cƠu họi ca hồc sinh khi cho l m kim tra trản
mĂy tnh t õ, ữa ra ữổc kt quÊ chnh xĂc hỡn v nông lỹc ca hồc sinh õ.
Lun vôn n y l bữợc phĂt trin tip ni sau khõa lun ca em, nghiản cứu thảm v
yu t thới gian phÊn hỗi trong Ănh giĂ nông lỹc ngữới hồc.
Lun vôn gỗm ba chữỡng.
Chữỡng 1: Kin thức chu'n b. Chữỡng n y trnh b y li nhng kin thức chu'n b v
mổ hnh ứng Ăp cƠu họi, phƠn phi chu'n, phƠn phi lognormal l m tin nghiản
cứu mổ hnh phÊn hỗi thới gian lognormal chữỡng hai. CĂc kin thức v suy lun
Bayes, phữỡng phĂp xch Markov v c biằt l giÊi thut Gibbs cụng ữổc nhc li

giúp cho phn ữợc lữổng tham s chữỡng hai v chữỡng ba ữổc rê r ng hỡn. Chữỡng
2: Mổ hnh thới gian phÊn hỗi ứng Ăp cƠu họi lổ-ga-rit chu'n (Lognormal Item
Response Theory). Chúng tổi giợi thiằu li v lch sò phĂt trin ca mổ hnh phÊn
hỗi thới gian, nõi v ng lỹc Ăp dửng mổ hnh lổ-ga-rt chu'n cho thới gian phÊn
hỗi ca th sinh v so sĂnh nõ vợi mổ hnh chu'n cho thới gian phÊn hỗi. Phữỡng
1


Lới nõi u

phĂp ữợc lữổng tham s bng giÊi thut Gibbs cụng ữổc ữa ra phn n y. Chữỡng
3: Nghiản cứu thỹc nghiằm. Phn n y trnh b y li rê r ng hỡn v nghiản cứu thỹc
nghiảm  Ăp dửng mổ hnh phÊn hỗi thới gian lognormal cho phƠn tch d liằu
trong b i thi thch ứng M cụng nhữ sp xp mÔu, ữợc lữổng tham s v xem xt
phũ hổp ca mổ hnh.

Lun vôn ữổc ho n th nh ti trữớng i hồc Khoa hồc tỹ nhiản - i hồc quc gia H
Ni, dữợi sỹ hữợng dÔn ca TS. Trnh Quc Anh.
Em chƠn th nh cÊm ỡn thy Trnh Quc Anh, cĂc nghiản cứu sinh v hồc trặ ca
thy. Trong quĂ trnh nghiản cứu, mc dũ cặn nhiu sỡ suĐt những em  ữổc thy
tn tnh dy dỉ, hữợng dÔn, cụng nhữ ng viản em trong sut thới gian l m viảc. Ngo
i ra em mun gòi lới cĂm ỡn sƠu sc n cĂc th nh viản ca nhõm seminar XĂc suĐt
thng kả, i hồc Khoa hồc tỹ nhiản  gõp ỵ rĐt nhiu trong quĂ trnh em ho n th nh
lun vôn.
Em cụng xin b y tọ lặng bit ỡn cĂc thy cổ v cĂn b ca trữớng i hồc khoa hồc tỹ
nhiản  quan tƠm giúp ù trong quĂ trnh hồc tp v nghiản cứu ti trữớng.
Em cụng xin tọ lặng bit ỡn sƠu sc n gia nh, b mà, anh ch em v anh Phm
Hỗng Viằt  bản cnh ỗng h nh, giúp ù, to iu kiằn trong sut quĂ trnh em hồc tp v
l m lun vôn thc sắ. CÊm ỡn hai thiản thn b nhọ Hỗng QuƠn, Hỗng Ngồc Â
l ng lỹc to lợn giúp em c gng vữổt qua nhng khõ khôn trong quĂ trnh

nghiản cứu ho n th nh ữổc lun vôn.
H Ni, ng y 10 thĂng 12 nôm 2019

Nguyn Phữỡng Ly

2


Mửc lửc
Lới nõi u
Danh mửc kỵ hiằu v ch vit tt
1 Kin thức chu'n b

1.1 Mổ hnh IRT . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 PhƠn phi chu'n . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 PhƠn phi lognormal . . . . . . . . . . . . .
1.4 Suy lun Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1
1.4.2

1.5 Phữỡng phĂp xch Markov Monte Car
1.5.1
1.5.2

1.6 GiÊi thut Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1
1.6.2
2 Mổ hnh phÊn hỗi thới gian ứng Ăp cƠu họi lognormal
2.1 Giợi thiằu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Mổ hnh thới gian phÊn hỗi lognorma
2.2.1
2.2.2
2.2.3

2.3 ìợc lữổng tham s . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1
2.3.2
2.3.3
2.3.4
3


MÖC LÖC

2.3.5

º phò hæp . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Nghi¶n cøu thüc nghi»m
3.1

Mæ t£ m¤u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2

×îc l÷æng tham sŁ . . . . . . . . . . . . . . .

3.3

º phò hæp cıa mæ h…nh . . . . . . . . . .

KTLUN
T ILI UTHAMKH O

4


Danh sĂch hnh v
1.1
1.2

[1]

ữớng cong c trững cƠu họi mổ hnh mt tham s
V tr khõ ca cƠu họi hoc nông lỹc ca th sinh tr
lỹc/ khõ tữỡng ứng vợi xĂc suĐt trÊ lới 0.5

[1]

..........

1.3

H m c trững cƠu họi ca nôm cƠu họi trong mổ hnh

1.4

H m c trững ca ba cƠu họi trong mổ hnh hai tham

1.5

H m c trững cƠu họi trong mổ hnh ba tham s.

1.6

H m mt xĂc suĐt tuƠn theo phƠn phi chu'n.

[wiki]

[1]

.

...
wiki

1.7

H m mt xĂc suĐt tuƠn theo phƠn phi lognormal.

.

1.8
1.9

H m phƠn phi xĂc suĐt tch lụy tuƠn theo phƠn phi lo
Minh hồa thut toĂn Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.10

Sỡ ỗ khi giÊi thut Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1

Biu ỗ miảu tÊ mổ hnh phƠn cĐp ca phÊn hỗi v thới

(RT) trong cĂc cƠu họi ca b i kim tra cĂp tip cn thứ b
2.2
2.3

V dử hai php tnh s hồc yảu cu cữớng thới gian
nh hững ca tham s phƠn biằt i vợi phƠn b thới gian

(phn trản) v phƠn b phÊn hỗi (phn dữợi). Bản trĂi l c

tham s phƠn biằt cõ giĂ tr nhọ, phn bản phÊi cõ tham

cõ giĂ tr lợn hỡn. Diằn tch phn trũng nhau ca hai ph
nu giĂ tr tham s phƠn biằt lợn hỡn.
3.1

[4]

.............

Biu ỗ phƠn tĂn vợi trung bnh v phữỡng sai ca thới gia
tnh theo giƠy cho 48 cƠu (Ênh trản) v 2000 th sinh
[4]

3.2

dữợi).
...................................
PhƠn b ca thới gian phÊn hỗi theo ỡn v giƠy ca cƠu h

3.3

trản; N=760) v cƠu họi 13 (hnh dữợi; N=490). . . . .
ìợc lữổng cữớng thới gian ( i) v tham s phƠn biằt (

[4]

mổ hnh lổ-ga-rt chu'n v mổ hnh chu'n cho cÊ hai trữ
cõ r ng buổc v cõ r ng buc ca i.
5

[4]

..............


DANHS CHHNHV

3.4 Ph¥n bŁ cıa tham sŁ tŁc º ( i) ¢ ÷îc l÷æng ð mæ h…nh læ-ga-r‰t chu'n
mæ h…nh chu'n cho c£ hai tr÷íng hæp tham sŁ
buºc
v
v

câ r ng buºc.

[4]

i

khæng câ r ng

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.5 TŒng quan º phò hæp cıa mæ h…nh læ-ga-r‰t chu'n v
cho c£ hai tr÷íng hæp tham sŁ

i

khæng câ r ng buºc v

C ng phò hæp th… ÷íng cong c ng gƒn vîi ÷íng thflng ìn v
3.6 º phò hæp cıa mæ h…nh læ-ga-r‰t chu'n cho c¥u häi tŁt nh§t
t» nh§t vîi c£ hai tr÷íng hæp tham sŁ

i

khæng câ r ng buºc

buºc. C ng phò hæp th… ÷íng cong c ng gƒn vîi ÷íng thfln
y=x

[4]

...............................

6


Danh s¡ch b£ng
1.1 ành ngh¾a v c¡c gi¡ trà tu¥n theo ph¥n bŁ chu'n: X N( ;
1.2 ành ngh¾a v c¡c gi¡ trà tu¥n theo ph¥n bŁ lognormal ln(X)
[wiki]
.....................................

2

[4]

3.1 SŁ l÷æng c¥u häi cıa tłng th‰ sinh trong m¤u. . . . . . . .
[4]
3.2 SŁ th‰ sinh mØi c¥u häi trong m¤u. . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 T l» quan s¡t ÷æc v t l» ký vång cıa th‰ sinh câ thíi gian

nhä hìn ph¥n và 5 v 10 trong ph¥n bŁ h“u nghi»m ð tłng tr
[4]

c¥u häi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 T l» quan s¡t ÷æc v t l» ký vång cıa th‰ sinh câ thíi gian

nhä hìn ph¥n và 5 v 10 trong ph¥n bŁ h“u nghi»m ð tłng tr
c¥u häi.

7

[4]

..................................


Danh möc c¡c kþ hi»u v chœ vi‚t t›t

Khæng gian m¤u
X; Y; Z:::
F (x); FX
(x)
p(x); pX (x)

X 2F

Bi‚n ng¤u nhi¶n
H m ph¥n phŁi t‰ch lôy, h m ph¥n phŁi t‰ch lôy cıa bi‚n ng¤u
nhi¶n X

H

m m“t º x¡c su§t, h m m“t º x¡c su§t cıa bi‚n ng¤u nhi¶n X

Bi‚n ng¤u nhi¶n X câ h m ph¥n phŁi t‰ch lôy

C(FX)

F T“p c¡c h m ph¥n phŁi t‰ch lôy li¶n töc

E; EX

K… vång (gi¡ trà trung b…nh), gi¡ trà k… vång cıa bi‚n ng¤u

Var; VarX

nhi¶n X Ph÷ìng sai, ph÷ìng sai cıa bi‚n ng¤u nhi¶n X

’(t); ’X (t)

H m °c tr÷ng, h m °c tr÷ng cıa bi‚n ng¤u nhi¶n X Bi‚n

X Y

H

(x)
(x)

m ph¥n phŁi chu'n t›c

H m m“t º chu'n t›c
2

N (; )
N (0; 1)
exp(a)

ng¤u nhi¶n X t÷ìng ÷ìng vîi bi‚n ng¤u nhi¶n Y

Ph¥n phŁi chu'n Ph¥n
phŁi chu'n t›c
H

m e mô

ai

Tham sŁ º ph¥n bi»t cıa c¥u häi trong mæ h…nh

bi

IRT Tham sŁ º khâ cıa c¥u häi trong mæ h…nh IRT

ci

Tham sŁ x¡c su§t tr£ líi óng ng¤u nhi¶n c¥u häi trong mæ h…nh

i

IRT Tham sŁ º dao ºng thíi gian cıa c¥u häi trong mæ h…nh LNIRT

i

Tham sŁ c÷íng º thíi gian cıa c¥u häi trong mæ h…nh LNIRT H m e

exp(a)

mô

8


DANH S CH B NG

CTT

Lỵ thuyt trc nghiằm c in - Classical Test Theory

CH

CƠu họi

TS

Th sinh

IRT

Lỵ thuyt ứng

ICC

Ăp cƠu họi - Item Response Theory

ữớng cong c trững ca cƠu họi - Item Characteristic Curve

LNIRT

Lỵ thuyt ứng

MCMC

Xch Markov Monte Carlo - Monte Carlo Markov Chain

RA
RT

Ăp cƠu họi lổ-ga-rit chu'n - Lognormal Item Response Theory

chnh xĂc ca phÊn hỗi - Response Accuracy
Thới gian phÊn hỗi - Response Time

9


Chữỡng 1

Kin thức chu'n b
1.1

Mổ hnh IRT

Lỵ thuyt ng Ăp CƠu họi (Item Response Theory - IRT) l mt lỵ thuyt ca khoa hồc
v o lữớng trong giĂo dửc, ra ới t nòa sau ca th k 20 v phĂt trin mnh m cho n nay.
Trữợc õ, Lỵ thuyt Trc nghiằm c in (Clasical Test Theory CTT), ra ới t khoÊng
cui th k 19 v ho n thiằn v o khoÊng thp niản 1970, Â cõ nhiu õng gõp quan trồng
cho hot ng Ănh giĂ trong giĂo dửc, những cụng th hiằn mt s hn ch. CĂc nh tƠm
trc hồc (psychometricians) c gng xƠy dỹng mt lỵ thuyt hiằn i sao cho khc phửc
ữổc cĂc hn ch õ. Lỵ thuyt trc nghiằm hiằn i ữổc xƠy dỹng dỹa trản mổ hnh

toĂn hồc, ặi họi nhiu tnh toĂn, những nhớ sỹ tin b vữổt bc ca cổng nghằ t
nh toĂn bng mĂy tnh iằn tò v o cui th k 20 u th k 21 nản nõ Â phĂt trin
nhanh chõng v t ữổc nhng th nh tỹu quan trồng.
Ănh giĂ i tữổng n o õ CTT tip cn cĐp mt kim tra, cặn lỵ thuyt trc
nghiằm hiằn i IRT tip cn cĐp tng cƠu họi, do õ lỵ thuyt n y thữớng ữổc gồi l Lỵ
thuyt ng Ăp CƠu họi.
Ta s quy ữợc gồi ngữới cõ thuc tnh cn o lữớng l th sinh (person) v mt ỡn v
ca cổng cử o lữớng (test) l cƠu họi (item). ỡn giÊn hõa mổ hnh nghiản cứu ta
cõ cĂc giÊ thit sau:

(i) Nông lỹc tim 'n (latent trait) cn o ch cõ mt chiu (unidimensionality),
hoc ta ch o mt chiu ca nông lỹc õ.
(ii) CĂc cƠu họi l c lp a phữỡng (local independence) , nghắa l viằc trÊ lới
mt cƠu họi khổng Ênh hững n cĂc cƠu họi khĂc.

10


Chữỡng 1. Kin thức chu'n b

Khi thọa mÂn hai giÊ thit nảu trản th khổng gian nông lỹc tim 'n

y ch

chứa mt nông lỹc. Khi Đy, ngữới ta giÊ nh l cõ mt h m c trững cƠu họi (Item
Characteristic Function) phÊn Ănh mi quan hằ gia cĂc bin khổng quan sĂt ữổc
(nông lỹc ca TS) v cĂc bin quan sĂt ữổc (viằc trÊ lới CH). ỗ th biu din h m õ ữổc
gồi l ữớng cong c trững cƠu họi (Item Characteristic Curve).
i vợi cĂc cp th sinh- cƠu họi(TS CH), cn xƠy dỹng mt thang chung biu din
cĂc mi tữỡng tĂc gia chúng. Trữợc ht giÊ sò ta cõ th biu din nông lỹc tim

'n ca cĂc TS bng mt bin liản tửc

dồc theo mt trửc, t

n +1. Khi xt

phƠn b nông lỹc ca mt tp hổp TS n o õ, ta gĂn giĂ tr trung bnh ca phƠn b
nông lỹc ca tp hổp TS õ bng khổng (0), l m gc ca thang o nông lỹc, v lằch
tiảu chu'n ca phƠn b nông lỹc bng 1. Tip n, chồn mt thuc tnh ca CH i
sĂnh vợi nông lỹc: tham s biu din thuc tnh quan trồng nhĐt õ l khõ b
ca CH. Cụng theo cĂch tữỡng tỹ cõ th biu din
liản tửc dồc theo mt trửc, t

khõ ca cĂc CH bng mt bin

n +1. Khi xt phƠn b khõ ca mt tp hổp

CH n o õ, ta chồn giĂ tr trung bnh ca phƠn b khõ õ bng khổng (0), l m gc
ca thang o khõ, v lằch tiảu chu'n ca phƠn b khõ CH bng 1.
Chúng ta s bt u bng cĂch xƠy dỹng mt h m Ăp ứng CH cho mt CH nh phƠn,
tức l CH m cƠu trÊ lới ch cõ 2 mức: 0 (sai) v 1 ( úng). GiÊ thit cỡ bÊn sau Ơy ca
George Rasch, nh toĂn hồc an Mch, ữổc ữa ra l m cỡ s xƠy dỹng mổ hnh h m
Ăp ứng CH mt tham s:
Mt ngữới cõ nông lỹc cao hỡn mt ngữới khĂc th xĂc suĐt ngữới õ trÊ lới úng mt
cƠu họi bĐt k phÊi lợn hỡn xĂc suĐt ca ngữới sau; cụng tữỡng tỹ nhữ vy, mt
cƠu họi khõ hỡn mt cƠu họi khĂc cõ nghắa l xĂc suĐt mt ngữới bĐt k trÊ lới úng
cƠu họi õ phÊi b hỡn xĂc suĐt trÊ lới úng cƠu họi sau(Rasch,1960).
Vợi giÊ thit nảu trản, cõ th thĐy xĂc suĐt mt TS trÊ lới úng mt CH n o õ phử thuc
v o tữỡng quan gia nông lỹc ca TS v khõ ca CH. Chồn biu din nông lỹc ca
TS, v biu din khõ ca CH. Gồi P l xĂc suĐt trÊ lới úng

CH, xĂc suĐt õ s phử thuc v o tữỡng quan gia v theo mt cĂch n o õ, do vy ta cõ
th biu din

trong õ f l mt h m n o õ ca xĂc suĐt trÊ lới úng.
LĐy logarit tỹ nhiản ca phữỡng trnh 1.1:
ln f(P ) = ln= lnln =b:

11


Chữỡng 1. Kin thức chu'n b

ỡn giÊn, khi xt mổ hnh trc nghiằm nh phƠn, Rasch chồn h m f chnh l
mức ữổc thua (odds) O, hoc khÊ nông thỹc hiằn úng (likelyhood ratio), tức
P

, biu din t s ca khÊ nông trÊ lới úng v khÊ nông trÊ lới sai. Nhữ vy:

O = (1

P)

ln 1
vợi ln 1

P

P

P=

b:

P ữổc gồi l logit (log odds unit). T

(1.3)

õ

(1.4)

1
Nhữ vy, ta cõ:

P+Pe
b
P (1 + e ) = e

b
e

P=

b

1 +e

v biu thức
ej

P (X ; ; b ) =
ij

j

i

b

b

1 +ej

(1.5)
i

bi

:

vợi j l nông lỹc ca th sinh thứ j; bi l khõ ca cƠu họi thứ i; X ij l cƠu trÊ lới ca th
sinh thứ j vợi cƠu họi thứ i chnh l h m c trững ca mổ hnh IRT 1 tham s (IRT
1 PL) hay cặn gồi l mổ hnh Rasch. Biu ỗ Hnh 1.1 mổ ta ữớng cong c
trững ca cƠu họi trong mổ hnh IRT 1 tham s. V mt ỵ

Hnh 1.1: ữớng cong c trững cƠu họi mổ hnh mt tham s

[1]

nghắa, mÔu s trong phữỡng trnh ch nhm mửc ch Êm bÊo h m s khổng

bao giớ nhọ hỡn khổng hoc lợn hỡn 1. Phn thú v nhĐt ca phữỡng trnh 1.5 l tò


12


Chữỡng 1. Kin thức chu'n b

s exp( j bi), ta thĐy mổ hnh mt tham s logistic  dỹ oĂn ữổc xĂc suĐt trÊ lới
úng cƠu họi dỹa v o mi tữỡng quan gia nông lỹc th sinh j v tham s cƠu họi bi.
Tham s bi ữổc gồi l tham s a phữỡng hay chnh l tham s khõ cƠu họi. Trong
Hnh 1.1, ta xĂc nh trửc ngang l trửc nông lỹc i, cụng chnh l trửc ca khõ b i.
IRT Â quy i gia nông lỹc ca th sinh vợi khõ cƠu họi.

V dử 1.1.1. Mt th sinh cõ th tm ữổc v tr ca b i trản trửc nông lỹc/ khõ
tữỡng ứng vợi im xĂc suĐt dỹ oĂn trÊ lới úng P ij( j bi) bng 0.5. iu n y ữổc th hiằn
trong Hnh 1.2. CƠu họi cõ ữớng cong c trững trong hnh cho ta thĐy cõ xĂc
suĐt trÊ lới úng cƠu họi n y l 0.5 th nông lỹc ca th sinh bng 1 hoc cụng cõ th
hiu khõ ca cƠu họi n y l 1.

Hnh 1.2: V tr khõ ca cƠu họi hoc nông lỹc ca th sinh trản trửc nông lỹc/ khõ tữỡng ứng
[1]
vợi xĂc suĐt trÊ lới 0.5 .

Hnh 1.3 cho ta thĐy h m c trững ca 5 cƠu họi cõ khõ khĂc nhau (-2.2; -1.5; 0.0;
1.0 2.0) cõ dc khĂc nhau trÊi d i trản khoÊng xĂc nh ca nông lỹc th sinh. Nôm
ữớng cong n y chy song song v khổng bao giớ ct nhau.

Hnh 1.3: H m c trững cƠu họi ca nôm cƠu họi trong mổ hnh mt tham s.

13

[1]


Chữỡng 1. Kin thức chu'n b
Mổ hnh IRT hai tham s

Mổ hnh IRT mt tham s ữổc Birnbaum m rng bng cĂch gĂn cho mỉi cƠu họi
trong thi trc nghiằm ứng vợi m phƠn biằt a khĂc nhau. Mổ hnh n y ữổc gồi l
mổ hnh IRT hai tham s cõ h m c trững cƠu họi nhữ sau

P (Xij; j; bi; ai) =
phƠn biằt ca cƠu họi c trững cho khÊ nông phƠn loi th sinh. Thổng thữớng
phƠn biằt ca cƠu họi cõ giĂ tr dữỡng. Trong trữớng hổp cƠu họi sai hoc mc lỉi
thit k th phƠn biằt cõ th mang giĂ tr Ơm. CƠu họi cõ phƠn biằt dữỡng c ng lợn
th sỹ chảnh lằch v xĂc suĐt trÊ lới úng ca cĂc th sinh cõ nông lỹc cao v nông
lỹc thĐp c ng lợn. Nõi mt cĂch khĂc, cƠu họi cõ phƠn biằt cao phƠn loi th sinh
tt hỡn cƠu họi cõ phƠn biằt thĐp.
V dử 1.1.2. Trong Hnh 1.3 ữớng cong c trững ca cĂc cƠu họi song song vợi nhau v
khổng b o giớ ct nhau; cĂc cƠu họi cõ tham s khõ khĂc nhau s cõ ữớng cong c
trững di chuyn v bản trĂi hoc phÊi trong khi hnh dng ca chúng l khổng i. Ta s
thĐy mt biu ỗ khĂc hflng Hnh 1.4. Hai cƠu họi cõ cũng khõ -1.0. Ging nhữ trong
m hnh mt tham s, xĂc suĐt cƠu trÊ lới bng 0.5 cho ta khõ ca cƠu họi. Tuy nhiản,
mt ữớng cong ( ữớng 1) dc hỡn hfln ữớng cặn li ( ữớng 2). õ
l
gồi

do cƠu họi õ cõ tham s phƠn biằt ai lợn hỡn. Tham s phƠn biằt ai cặn ữổc

l tham s dc (slope parameter), ging nhữ khõ cƠu họi b i ữổc gồi l tham s
v tr. dc ca mổ hnh hai tham s ti b l a=4.
ữớng cong cặn li ( ữớng 3) v ữớng cong thứ 2 cõ cũng dc những ữớng 3 chy v
pha bản phÊi nhiu hỡn. Do õ, cƠu họi ca ữớng 3 cõ cũng phƠn biằt vợi cƠu họi
ca ữớng hai những cõ khõ lợn hỡn.

Hnh 1.4: H m c trững ca ba cƠu họi trong mổ hnh hai tham s.
14

[1]


Chữỡng 1. Kin thức chu'n b
Mổ hnh IRT ba tham s

Thỹc t cho thĐy, trong quĂ trnh kim tra trc nghiằm khĂch quan nhiu lỹa chồn, th
sinh luổn dỹ oĂn cƠu trÊ lới (theo cĂch chồn ngÔu nhiản mt phữỡng Ăn hoc theo
cĂch loi suy dỹa trản kinh nghiằm bÊn thƠn). Trong l thuyt trc nghiằm c in,
ngữới ta giÊm viằc dỹ oĂn ca th sinh khi trÊ lới cƠu họi bng cĂch ữa v o im may
ri. Tuy nhiản, cĂch l m n y cõ nhữổc im l xem cĂc cƠu họi cõ may ri nhữ nhau.
iu n y trĂi vợi thỹc tin v th sinh thữớng dỹ oĂn trÊ lới úng cƠu họi khi gp cƠu
họi khõ hỡn l khi gp cƠu họi d. V vy, Birnbaum xuĐt thảm tham s c j 2 (0; 1) v
o mổ hnh IRT hai tham s o lữớng mức dỹ oĂn ca th sinh khi trÊ lới cƠu họi
trc nghiằm trong mỉi cƠu họi. Mổ hnh vợi tham s o lữớng mức dỹ oĂn ca th
sinh ữổc gồi l mổ hnh IRT ba tham s cõ h m c trững cƠu họi nhữ sau:

P (Xij; j; bi; ai; ci) = ci + (1 ci)
V dử 1.1.3. H m c trững ca mt cƠu họi cõ mổ hnh ba tham s nhữ Hnh 1.5.
Hnh 1.5 biu din h m c trững ca cƠu họi 3 tham s a = 1:4, b = 0 v

c = 0:3.

Nông lỹc thĐp nhĐt ỗ th l 4 v cặn cõ th thĐp hỡn th na n , những dữớng nhữ
ữớng cong cõ ữớng tiằm cn dữợi l 0.2. Ging nhữ trong mổ hnh mt tham s v hai
tham s, ữớng cong chuyn dn t lỗi n lêm ti im = b, những xĂc suĐt trÊ lới úng
cƠu họi ti = b = 0 lúc n y khổng cặn l 0.5 na m bng c + (1 c)=2 = 0:2 + 0:4 =
0:6. Hỡn na, dc ti im b lúc n y l (1 c)=4 thay v l a=4:

Hnh 1.5: H m c trững cƠu họi trong mổ hnh ba tham s.

1.2

[1]

PhƠn phi chu'n

PhƠn phi chu'n (normal distribution), cặn gồi l phƠn phi Gauss, l mt phƠn phi
xĂc suĐt cỹc k quan trồng trong nhiu lắnh vỹc. Nõ l hồ phƠn phi cõ dng tng
15


Chữỡng 1. Kin thức chu'n b
2

quĂt ging nhau, ch khĂc tham s giĂ tr trung bnh ( ) v phữỡng sai ( ).
PhƠn phi chu'n tc (standard normal distribution) l phƠn phi chu'n vợi giĂ tr trung
bnh bng 0 v phữỡng sai bng 1 ( ữớng cong m u ọ trong Hnh 1.6). PhƠn phi
chu'n cặn ữổc gồi l ữớng cong chuổng (bell curve) v ỗ th ca mt xĂc suĐt cõ
dng chuổng.
Ta cõ th khÊo sĂt phƠn phi chu'n cho mt bin ngÔu nhiản hoc nhiu bin ngÔu

nhiảu; hay nõi cĂch khĂc ta cõ th khÊo sĂt phƠn phi cho bin ngÔu nhiản mt chiu
hoc bin ngÔu nhiản nhiu chiu.

Bin mt chiu (Univariate)
2

Bin ngÔu nhiản X tuƠn theo phƠn phi chu'n X N( ; ) vợi tham s ký vồng v phữỡng
2
sai , ta s cõ cĂc thổng s nhữ trong bÊng 1.1.
nh nghắa

PDF-f(x)
CDF - F (x; ; 2)

Ký vồng - E[X]
Phữỡng sai - V ar(X)
BÊng 1.1: nh nghắa v cĂc giĂ tr tuƠn theo phƠn b chu'n: X

2 [wiki]

N( ; ).


x

ð ¥y

Bi”u ç h m m“t º x¡c su§t tu¥n theo ph¥n phŁi chu'n câ d⁄ng nh÷ trong H…nh 1.6
sau:

H…nh 1.6: H m m“t º x¡c su§t tu¥n theo ph¥n phŁi chu'n.

Nh“n x†t: Ph÷ìng sai

2

[wiki]

c ng lîn th… møc º ph¥n t¡n x¡c su§t công c ng rºng,
16


Ch÷ìng 1. Ki‚n thøc chu'n bà

¿nh th§p hìn v tr£i rºng hìn.
chu'n t›c f(x) = p

1

exp

x2

÷íng m u ä vîi
-

¥y l

=0v

2

= 1 th” hi»n ph¥n phŁi

h m Gauss (Gauss function). Ph¥n phŁi

2
2
n y th÷íng ÷æc dòng ” t‰nh c¡c ph¥n phŁi chu'n kh¡c qua c¡c ph†p bi‚n Œi tuy‚n t
‰nh.
Th÷íng c¡c ph¥n phŁi chu'n ÷æc t‰nh to¡n theo c¡c ph†p bi‚n Œi tuy‚n t‰nh tøc l
düa v o c¡c ph¥n phŁi chu'n d„ t‰nh v t‰nh ÷æc tł tr÷îc (nh÷ ph¥n phŁi chu'n t›c) ”
÷îc l÷æng cho ph¥n phŁi cƒn t‰nh. Gií ta s‡ t…m c¡ch bi”u di„n mºt ph¥n phŁi
chu'n b§t k… qua ph¥n phŁi chu'n t›c.
Gi£ sß Y = aX + b th… Y
2 2
N(a + b; a ).
Ta câ Z score cıa ph¥n phŁi chu'n l
N‚u °t a =
Z = aX + b. Nh÷ v“y, Z s‡ tuƒn theo ph¥n phŁi chu'n:
Z N(a + b; a

2 2

)


N
N(0; 1):
Nh÷ v“y Z tu¥n theo ph¥n phŁi chu'n t›c n¶n ta câ th” bi‚n Œi ng÷æc l⁄i ” thu ÷æc

ph†p bi”u di„n ph¥n phŁi chu'n qua ph¥n phŁi cıa Z.
FX (x) = P (X

=P
=

x)

X

x

P Z

x


Ph¥n phŁi t‰ch lôy chu'n t›c
ta ho n to n câ th” t‰ch ÷æc c¡c ph¥n phŁi chu'n kh¡c qua nâ.

Bi‚n

a chi•u (Multivariate)

¥y l tŒng qu¡t ho¡ cıa ph¥n phŁi chu'n Łi vîi bi‚n ng¤u nhi¶n mºt chi•u v sß döng
cho hæp cıa nhi•u bi‚n ng¤u nhi¶n - v†c-tì ng¤u nhi¶n. Gi£ sß v†c-tì ng¤u nhi¶n
17


Ch÷ìng 1. Ki‚n thøc chu'n bà

T

câ sŁ chi•u l k:X = [X1; X2; :::; Xk] . Lóc â ph¥n phŁi chu'n cıa nâ s‡ ÷æc tham sŁ
hâa bði:
T

Vecto ký vång: = E[X] = [E[X1]; E[X2]; :::; E[Xk]] .
Ma tr“n hi»p ph÷ìng sai:

P

Ph¥n phŁi n y s‡ ÷æc k‰ hi»u l
câ h m m“t º x¡c su§t

f(x) =

V‰ dö vîi tr÷íng hæp câ 2 bi‚n ng¤u nhi¶n x; y (k=2) ta s‡ câ v†c-to ký vång =


v ma trn hiằp phữỡng sai =

dng

2

f(x) =

1.3

PhƠn phi lognormal

PhƠn phi xĂc suĐt loga chu'n hay phƠn phi lognormal (Lognormal distribution) l
phƠn phi thng kả cĂc giĂ tr logarit t mt phƠn phi chu'n cõ liản quan. PhƠn phi
lognormal cõ th ữổc chuyn hõa th nh phƠn phi chu'n v ngữổc li bng cĂch sò
dửng cĂc tnh toĂn logarit liản quan. Cử th, nu bin ngÔu nhiản X cõ phƠn b
lognormal, th Y = ln(X) cõ phƠn b chu'n. Hoc ngữổc li, nu bin Y cõ phƠn b
chu'n th h m mụ ca Y l X = exp(Y ) cõ phƠn b lognormal.
Cho Z l bin chu'n tc,

v

> 0 l hai s thỹc th phƠn b ca bin ngÔu nhiản

X =e

+Z

ữổc gồi l phƠn b lognormal vợi tham s v . Nhữ vy, tham s v l giĂ tr ký vồng
(hay trung bnh) v lằch chu'n logarit ca bin tỹ nhiản chứ khổng phÊi ký vồng v
lằch chu'n ca bin X.
Mi quan hằ n y úng bĐt k vợi h m s logarit hay h m s mụ. Vợi hai s dữỡng a; b
6= 1, nu loga(X) tuƠn theo phƠn b chu'n th log b(X) cụng vy. Tữỡng tỹ, vợi 0 < a
Y

Y

6= 1, nu e tuƠn theo phƠn b lognormal th a cụng nhữ vy.
Thổng thữớng, cĂc tham s = e v = e thữớng hay ữổc sò dửng hỡn. Vợi tham s n y
ta cõ th lỵ giÊi trỹc tip: l trung bnh ca phƠn b v hu ch cho viằc xĂc nh
khoÊng phƠn tĂn.

18

XY