Về toán tử chiếu metric lên tập lồi đóng và ứng dụng vào bài toán bất đẳng thức biến phân

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------

VÀNG VĂN HÀ

VỀ TOÁN TỬ CHIẾU METRIC
LÊN TẬP LỒI ĐÓNG VÀ ỨNG DỤNG VÀO BÀI TOÁN
BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2020


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------

VÀNG VĂN HÀ

VỀ TOÁN TỬ CHIẾU METRIC
LÊN TẬP LỒI ĐÓNG VÀ ỨNG DỤNG VÀO BÀI TOÁN
BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số
: 8 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS.TSKH. Lê Dũng Mưu

THÁI NGUYÊN - 2020


▼ö❝ ❧ö❝

❇↔♥❣ ❦þ ❤✐➺✉
▲í✐ ❝↔♠ ì♥
▲í✐ ♥â✐ ✤➛✉
❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à

✐
✐✐
✶
✸

✶✳✶

❚➟♣ ❧ç✐ ✈➔ ❤➔♠ ❧ç✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸

✶✳✷

❚♦→♥ tû ❝❤✐➳✉ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✺

❈❤÷ì♥❣ ✷✳ Ù♥❣ ❞ö♥❣ ✈➔♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✷✷
✷✳✶

❇➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✳✷

▼ët t❤✉➟t t♦→♥ ❝❤✐➳✉ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥
♣❤➙♥ ♣❛r❛✲✤ì♥ ✤✐➺✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✷✷

✷✺

✸✼


✐

❇↔♥❣ ❦þ ❤✐➺✉
R

t➟♣ sè t❤ü❝

Rn

❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❊✉❝❧✐❞❡

∅

t➟♣ ré♥❣

∀x

✈î✐ ♠å✐

∃x

tç♥ t↕✐

n✲❝❤✐➲✉

x
x

x

❝❤✉➞♥ ❝õ❛ ✈❡❝tì

x

x, y

t➼❝❤ ✈æ ❤÷î♥❣ ❝õ❛ ❤❛✐ ✈➨❝✲tì

x

❝❤✉➞♥ ❝õ❛ ✈➨❝✲tì

x

✈➔

y

x

V IP (F ; C)

❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥

S(F ; C)

t➟♣ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥

V IP (F ; C)




ớ ỡ
ữủ t t rữớ ồ ồ ồ
ữợ sỹ ữợ ừ ụ ữ
tọ ỏ t ỡ s s tợ ữớ tớ
t t ữợ ú ù t tr sốt q tr ự
t ụ tọ ỏ t ỡ t

tợ ổ tr trữớ ồ ồ ồ
ú ù t tr sốt tớ
ồ t t rữớ
ỗ tớ tổ ụ ỷ ớ ỡ tợ ỗ
t t ủ t tổ tr tớ ồ t
tr q tr t
t ỡ

t








ớ õ
r ữỡ tr t ờ tổ ú t q ợ
ổ õ ố ởt t tr t
ồ ữủ ữủ rở ổ
t ổ ũ ợ t t ởt t
ỗ õ ợ ởt tr ổ t tt
ỡt ởt t ý trữợ tr ổ
ởt tr ởt t trữợ ợ ọ t ữủ
ồ t tỷ t õ ữớ t r r tr ổ
rt tỹ t tỷ ởt t ỗ õ ữủ t
tỷ t ỗ õ õ trữ tú õ
õ õ trỏ q trồ tr ừ t ồ tỹ t ữ
tr ỵ tt tố ữ õ t tự

ỹ
ở ừ ỗ tự ỡ t
t ỗ tr ổ ỡt

Rn

t q t tỷ

t ỗ õ ở t t q ử t
tỷ t t tự rỡ
tr ổ

Rn

t t t t q


✷
❝ù✉ tr♦♥❣ ❜↔♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷ñ❝ tr➻♥❤ ❜➔② t❤➔♥❤ ❤❛✐ ❝❤÷ì♥❣ ✈î✐ t✐➯✉ ✤➲✿
❈❤÷ì♥❣ ✶✿ ▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à✳
❈❤÷ì♥❣ ✷✿ Ù♥❣ ❞ö♥❣ ✈➔♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥✳
◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❝→❝ ❝❤÷ì♥❣ ♥❤÷ s❛✉✿
❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ✶✱ tæ✐ tr➻♥❤ ❜➔② ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ t➟♣ ❧ç✐✱ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì
❜↔♥ ❝õ❛ t➟♣ ❧ç✐✱ ❤➔♠ ❧ç✐✳ ❚✐➳♣ t❤❡♦ ❧➔ tr➻♥❤ ❜➔② ✤à♥❤ ❧þ t→❝❤ ❝→❝ t➟♣ ❧ç✐✳
▼ët ♣❤➛♥ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❜➔② ✈➲ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ t♦→♥ tû ❝❤✐➳✉✱ ♠ët sè t➼♥❤
❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ t♦→♥ tû ❝❤✐➳✉✳
❈❤÷ì♥❣ ✷ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ tr➻♥❤ ❜➔② ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ t♦→♥ tû ❝❤✐➳✉ ♠❡tr✐❝
❧➯♥ ♠ët t➟♣ ❧ç✐ ✤â♥❣ ✈➔♦ ✈✐➺❝ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥✳
❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❧➔ ♠ët ❧î♣ ❜➔✐ t♦→♥ q✉❛♥ trå♥❣ ❝õ❛ ●✐↔✐ t➼❝❤
ù♥❣ ❞ö♥❣✳ ❇➔✐ t♦→♥ ♥➔② ❧➔ ♠ët ❧î♣ ❜➔✐ t♦→♥ tê♥❣ q✉→t ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ q✉②

❤♦↕❝❤ ❧ç✐❀ ❤ì♥ ♥ú❛ ♥❤✐➲✉ ❜➔✐ t♦→♥ tr♦♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥✱ ✤↕♦ ❤➔♠
r✐➯♥❣ ✤➲✉ ❝â t❤➸ ♠æ t↔ ❞÷î✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥✳




ữỡ ởt số tự

ở ừ ữỡ tr ởt số t t ỡ
ỵ ờ q t ỗ ỗ ởt ừ
ữỡ tr ự sỹ tỗ t t
t ừ ởt t ỗ õ st ởt số t t
ỡ ừ t tỷ ở ừ ữỡ ữủ t
ừ tứ t

ỗ ỗ
rữợ t ú tổ ợ t t ỗ ởt số t
t tt
r ởt

Rn

ữớ t

t ủ tt tỡ

ố tỡ

x Rn

a, b

tr

õ

{x Rn |x = a + b, , Rn , + = 1}.

t ố a b tr Rn t ủ tỡ x õ
{x Rn |x = a + b, 0, 0, + = 1}.



ởt t

C Rn

ữủ ồ ởt

ồ t q t ý ừ õ ự

t ỗ C ự
C

ỗ


✹

∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C.

❱➼ ❞ö ✶✳✶✳
❛✮ ❚➟♣

∅

✈➔

✣♦↕♥ t❤➥♥❣

Rn

❧➔ ❝→❝ t➟♣ ❝♦♥ ❧ç✐ ❝õ❛

AB

Rn ✳

❧➔ ♠ët t➟♣ ❧ç✐✳

❍➻♥❤ trá♥ ❜❛♦ ❣ç♠ ❝↔ ❜✐➯♥ ♠➔✉ ♥➙✉ ❧➔ ♠ët t➟♣ ❧ç✐✱ ✈➻ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣ ♥è✐
❤❛✐ ✤✐➸♠

X, Y

tr♦♥❣ ❤➻♥❤ trá♥ ♥➡♠ trå♥ ✈➭♥ tr♦♥❣ ❤➻♥❤ trá♥✳

❍➻♥❤ ✶✳✶✿ ❚➟♣ ❧ç✐
❜✮ ❍➻♥❤ ❞÷î✐ ✤➙② ❧➔ ❤❛✐ t➟♣ ❦❤æ♥❣ ❧ç✐✱ ✈➻ ❝→❝ ✤÷í♥❣ ♥➨t ✤ùt ❝❤ù❛ ♥❤✐➲✉
✤✐➸♠ ❦❤æ♥❣ ♥➡♠ tr♦♥❣ ❝→❝ t➟♣ ✤â✳

❍➻♥❤ ✶✳✷✿ ❚➟♣ ❦❤æ♥❣ ❧ç✐

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳

❚❛ ♥â✐

x

❧➔

tê ❤ñ♣ ❧ç✐ ❝õ❛ ❝→❝ ✤✐➸♠ x1, . . . , xk ♥➳✉

k

k
j

λj x , λj > 0 ∀j = 1, . . . , k,

x=
j=1

λj = 1.
j=1


✺

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳ ❚➟♣ ❤ñ♣ C ❧➔ ❧ç✐ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ♥â ❝❤ù❛ ♠å✐ tê ❤ñ♣ ❧ç✐

❝õ❛ ❝→❝ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ♥â✳ ❚ù❝ ❧➔✿ C ❧ç✐ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐
k

k
1

∀k ∈ N, ∀λ1 , . . . , λk > 0 :

k

λj = 1, ∀x , . . . , x ∈ C ⇒
j=1

λj xj ∈ C.
j=1

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ ❧➔ ❤✐➸♥ ♥❤✐➯♥ tø ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ ❚❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤
✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ❜➡♥❣ q✉② ♥↕♣ t❤❡♦ sè ✤✐➸♠✳ ❱î✐

k = 2✱

✤✐➲✉ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣

♠✐♥❤ s✉② r❛ ♥❣❛② tø ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝õ❛ t➟♣ ❧ç✐ ✈➔ tê ❤ñ♣ ❧ç✐✳ ●✐↔ sû ♠➺♥❤
✤➲ ✤ó♥❣ ✈î✐
●✐↔ sû

x

k−1

✤✐➸♠✳ ❚❛ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✈î✐

❧➔ tê ❤ñ♣ ❧ç✐ ❝õ❛

k

✤✐➸♠

k

✤✐➸♠✳

x1 , . . . , x k ∈ C ✳

k

k
j

λj x , λj > 0 ∀j = 1, . . . , k,

x=

❚ù❝ ❧➔

j=1

λj = 1.
j=1

✣➦t

k−1

λj .

ξ=
j=1
❑❤✐ ✤â

0<ξ<1

✈➔

k−1

λj xj + λk xk

x=
j=1

k−1

=ξ
j=1

λj j
x + λk xk .
ξ

✭✶✳✶✮

❉♦

k−1

j=1
✈➔

λj
ξ

>0

✈î✐ ♠å✐

λj
=1
ξ

j = 1, . . . , k − 1✱
k−1

y :=
j=1

♥➯♥ t❤❡♦ ❣✐↔ t❤✐➳t q✉② ♥↕♣✱ ✤✐➸♠

λj j

x ∈ C.
ξ


✻
❚❛ ❝â

x = ξy + λxk .
❉♦

ξ > 0, λk > 0

✈➔

k

ξ + λk =

λj = 1,
j=1

♥➯♥

x ❧➔ ♠ët tê ❤ñ♣ ❧ç✐ ❝õ❛ ❤❛✐ ✤✐➸♠ y ✈➔ xk

✤➲✉ t❤✉ë❝

C ✳ ❱➟② x ∈ C ✳

▲î♣ ❝→❝ t➟♣ ❧ç✐ ❧➔ ✤â♥❣ ✈î✐ ❝→❝ ♣❤➨♣ ❣✐❛♦✱ ♣❤➨♣ ❝ë♥❣ ✤↕✐ sè ✈➔ ♣❤➨♣

♥❤➙♥ t➼❝❤ ❉❡s❝❛rt❡s✳ ❈ö t❤➸✱ t❛ ❝â ♠➺♥❤ ✤➲ s❛✉✿

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳ ◆➳✉ A, B ❧➔ ❝→❝ t➟♣ ❧ç✐ tr♦♥❣ R ✱ C ❧➔ ❧ç✐ tr♦♥❣ R ✱ t❤➻
n

m

❝→❝ t➟♣ s❛✉ ❧➔ ❧ç✐✿
✭✐✮
✭✐✐✮

✭✐✐✐✮

A ∩ B := {x|x ∈ A, x ∈ B},
λA + βB := {x|x = αa + βb, a ∈ A, b ∈ B, α, β ∈ R},
A × C := {x ∈ Rn+m |x = (a, c) : a ∈ A, c ∈ C}.

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❉➵ ❞➔♥❣ ✤÷ñ❝ s✉② r❛ trü❝ t✐➳♣ tø ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳
x1 , . . . , xk

❚❛ ♥â✐

x

❧➔

tê ❤ñ♣ ❛✲♣❤✐♥

❝õ❛ ❝→❝ ✤✐➸♠ ✭✈➨❝✲tì✮

♥➳✉

k

k
j

x=

λj x ,
j=1

❚➟♣ ❤ñ♣ ❝õ❛ ❝→❝ tê ❤ñ♣ ❛✲♣❤✐♥ ❝õ❛

λj = 1.
j=1

x1 , . . . , xk

t❤÷í♥❣ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❜❛♦

❛✲♣❤✐♥ ❝õ❛ ❝→❝ ✤✐➸♠ ♥➔②✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✹✳

▼ët t➟♣

C

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

t➟♣ ❛✲♣❤✐♥ ♥➳✉ ♥â ❝❤ù❛ ✤÷í♥❣

t❤➥♥❣ ✤✐ q✉❛ ❤❛✐ ✤✐➸♠ ❜➜t ❦ý ❝õ❛ ♥â✱ tù❝ ❧➔

∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ R ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C.


✼
❱➟② t➟♣ ❛✲♣❤✐♥ ❧➔ ♠ët tr÷í♥❣ ❤ñ♣ r✐➯♥❣ ❝õ❛ t➟♣ ❧ç✐✳

❱➼ ❞ö ✶✳✷✳
▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✸✳ M = ∅ ❧➔ t➟♣ ❛✲♣❤✐♥ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ♥â ❝â ❞↕♥❣ M = L+a
▼ët ✈➼ ❞ö ✤✐➸♥ ❤➻♥❤ ❝õ❛ t➟♣ ❛✲♣❤✐♥ ❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥✳

✈î✐ L ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ✈➔ a ∈ M ✱ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ L ♥➔② ✤÷ñ❝ ①→❝
✤à♥❤ ❞✉② ♥❤➜t✳
❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥
s♦♥❣ ✈î✐

L

M ✱ ❤♦➦❝ ♥â✐ ♥❣➢♥ ❣å♥ ❤ì♥ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ❝õ❛ M ✳ ❈❤✐➲✉ ❝õ❛

♠ët t➟♣ ❛✲♣❤✐♥
✈î✐

M

tr♦♥❣ ♠➺♥❤ ✤➲ tr➯♥ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ s♦♥❣

M

✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜ð✐ ❝❤✐➲✉ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ s♦♥❣ s♦♥❣

✈➔ ✤÷ñ❝ ❦þ ❤✐➺✉ ❧➔ ❞✐♠M ✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✹✳ ❇➜t ❦ý ♠ët t➟♣ ❛✲♣❤✐♥ M ⊂ R

n

❝â sè ❝❤✐➲✉ r ✤➲✉ ❝â ❞↕♥❣

M = {x ∈ Rn : Ax = b},

✭✶✳✷✮

tr♦♥❣ ✤â A ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ❝➜♣ (m × n), b ∈ Rm ✈➔ r❛♥❦A = n − r✳ ◆❣÷ñ❝
❧↕✐✱ ♠å✐ t➟♣ ❤ñ♣ ❝â ❞↕♥❣ ✭✶✳✷✮ ✈î✐ r❛♥❦A = n − r ✤➲✉ ❧➔ t➟♣ ❛✲♣❤✐♥ ❝â sè
❝❤✐➲✉ ❧➔ r✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✺✳

▼ët t➟♣

C

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

♥â♥ ♥➳✉

∀λ > 0, ∀x ∈ C ⇒ λx ∈ C.
▼ët ♥â♥ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

❱➼ ❞ö ✶✳✸✳

♥â♥ ❧ç✐ ♥➳✉ ♥â ✤ç♥❣ t❤í✐ ❧➔ ♠ët t➟♣ ❧ç✐✳

❛✮ ❚➟♣

Rn+ = {x ∈ Rn : x ≥ 0}

❜✮ ❈❤♦

bα ∈ Rn (α ∈ I)

✈î✐

I

❧➔ ♠ët ♥â♥ ❧ç✐✳

❧➔ t➟♣ ❝❤➾ sè ♥➔♦ ✤â✳ ❑❤✐ ✤â t➟♣

K = {x ∈ Rn : x, bα ≤ 0, ∀α ∈ I}


✽

❧➔ ♠ët ♥â♥ ❧ç✐ ✈➻

Kα ✱ ✈î✐ Kα = {x ∈ Rn : x, bα ≤ 0} ❧➔ ♥â♥ ❧ç✐✳

K=

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✺✳ ▼ët t➟♣ C ❧➔ ♥â♥ ❧ç✐ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ♥â ❝â ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t s❛✉✿
α∈I

✭✐✮
✭✐✐✮

λC ⊆ C ✱ ∀λ > 0❀
C + C ⊆ C.

❚✐➳♣ t❤❡♦✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ❣✐î✐ t❤✐➺✉ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❤➔♠ ❧ç✐ ✈➔ ✤à♥❤ ❧➼ t→❝❤ ❝→❝
t➟♣ ❧ç✐✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✻✳
✭✐✮ ❈❤♦ ❤➔♠
✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

f :C →R

①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ ♠ët t➟♣ ❧ç✐

C ⊆ Rn ✳

❑❤✐ ✤â

f

❤➔♠ ❧ç✐ ♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ C ✈➔ ♠å✐ λ ∈ (0, 1) t❛ ❝â
f [λx + (1 − λ)y] ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y).

❍➻♥❤ ❞÷î✐ ✤➙② ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ❧ç✐✳

❍➻♥❤ ✶✳✸✿ ❍➔♠ ❧ç✐
✭✐✐✮ ❍➔♠

f

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

✈➔ ♠å✐ sè t❤ü❝

❤➔♠ ❧ç✐ ❝❤➦t tr➯♥ C ♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ C ✱ x = y

λ ∈ (0, 1)

t❛ ❝â

f [λx + (1 − λ)y] < λf (x) + (1 − λ)f (y).
✭✐✐✐✮ ❍➔♠

f

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

❤➔♠ ❧ç✐ ♠↕♥❤

tr➯♥

C

✈î✐ ❤➺ sè

η >0

♥➳✉ ✈î✐


✾
♠å✐

x, y ∈ C ✱ x = y

✈➔ ♠å✐ sè t❤ü❝

λ ∈ (0, 1)

t❛ ❝â

1
f [λx + (1 − λ)y] < λf (x) + (1 − λ)f (y) − ηλ(1 − λ) x − y 2 .
2

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✼✳

❤➔♠ ❧ã♠ tr➯♥ C ♥➳✉ −f ❧➔ ❤➔♠ ❧ç✐ tr➯♥ C ✳

✭✐✐✮ ❍➔♠ f ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤➔♠ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❛✲♣❤✐♥ ✭❤❛② ❤➔♠ ❛✲♣❤✐♥ ✮ tr➯♥ C
✭✐✮ ❍➔♠

♥➳✉

f

f

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

❤ú✉ ❤↕♥ ✈➔ ✈ø❛ ❧ç✐✱ ✈ø❛ ❧ã♠ tr➯♥

❱➼ ❞ö ✶✳✹✳

❛✮ ▼å✐ ❤➔♠ ❝❤✉➞♥ ✤➲✉ ❧➔ ❤➔♠ ❧ç✐ tr➯♥

p

|xi |p

=

Rn ✿

1/p

n

x

C✳

✈î✐

p≥1

x

✈➔

∞

= max |xi |.

i=1
❜✮ ❍➔♠ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ tø ✤✐➸♠

inf y∈C x − y

x ∈ Rn

tî✐

C

1≤i≤n

✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐

dC (x) =

❧➔ ❤➔♠ ❧ç✐✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✽✳

❈❤♦

f : Rn → R ∪ {+∞}✳

❚❛ ♥â✐

x∗ ∈ Rn

❤➔♠ ❝õ❛ f t↕✐ x ♥➳✉

❧➔

❞÷î✐ ✤↕♦

x∗ , z − x + f (x) ≤ f (z), ∀z ∈ Rn .
❚➟♣ ❤ñ♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❞÷î✐ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝õ❛
❝õ❛

f

t↕✐

x

✈➔ ✤÷ñ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔

f

t↕✐

x

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

❞÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥

∂f (x).

❇ê ✤➲ ✶✳✶✳ ❈❤♦ C ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ❧ç✐ ❝õ❛ R ✳ ▼ët ❤➔♠ ❦❤↔ ✈✐ f : C → R
n

❧➔ ❧ç✐ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐

f (x) − f (y) ≥

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✾✳ ❙✐➯✉ ♣❤➥♥❣

f (y), x − y , ∀x, y ∈ C.
tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥

✤✐➸♠ ❝â ❞↕♥❣

{x ∈ Rn : aT x = α},

Rn

❧➔ ♠ët t➟♣ ❤ñ♣ ❝→❝



tr õ
tỡ

a Rn
a

ởt tỡ

tữớ ữủ ồ

0



R

tỡ t

ừ s ởt

s s ổ r ỷ ổ ỷ ổ
ữủ ữ s

ỷ ổ

ởt t ủ õ

{x Rn : aT x },
tr õ

a=0



R


aT x =

t

C



D

rộ t õ

t C D
aT x aT y,

õ s

aT x =



t t C D

aT x < < aT y,

ỵ

x C, y D.

s

x C, y D.

ỵ t

C D t ỗ rộ tr Rn s C D =
õ õ ởt s t C D
ỵ t ứ õ t s r tứ ờ ữợ
ỵ t ởt t ỗ ởt tỷ ổ tở õ

ờ

C

ờ tở

ởt t ỗ rộ sỷ x0 C õ tỗ t

t Rn , t = 0 t
Rn

t, x t, x0 x C.






ự ỵ C D ỗ C D ụ ỗ ỡ ỳ
0
/ (C D)
tỡ
ợ



C D =

t Rn , t = 0

x C, y D

ờ tr ử ợ

t, z 0

s

ợ ồ

x0 = 0

z C D



tỗ t

z =xy

t õ

t, x t, y x C, y D.


:= sup t, y ,
yD
õ s

ỵ

t, x

t

C

D

ỵ t

C D t ỗ õ rộ s C D = sỷ
õ t t ởt t t õ t õ t t ữủ
ởt s
ụ ữ tr ỵ t ữủ s r tứ ờ s õ
sỹ t ỳ ởt t ỗ õ ởt t

ờ C R

ởt t ỗ õ rộ s 0 / C
õ tỗ t ởt tỡ t Rn, t = 0 > 0 s
n

t, x > 0, x C.
ờ t
s

t, x =

C

ố t ở õ t t ử



2

ự ờ C õ 0 C tỗ t q B t
ố

r>0

s

C B =

ử ỵ t



t

C



B

t õ

t Rn \ {0}



R

s

t, x t, y x C, y B.
õ t õ t
ố s t t

t =1

r

õ tứ

t

t, x r > 0.

ự ỵ sỷ C t t r t C D
õ t sỷ
ợ

xk C, y k D

C



ự tọ

C D

t = 0

s

t õ

ú ỵ



D

0
/ C D

t, x y > 0
xC

C

zk z

õ

z k = xk y k

t õ ởt

inf t, x

ự tọ



y kj = z kj xkj z x D

j +

t



zk C D

ợ ồ



xkj x



z = x y C D

t ờ tr tỗ

x C, y D

sup t, y + .
2
2
yD

õ t t

ởt tr t t tr ỵ

ổ t ọ ữủ t ử tr õ

C := {(x, t) R2 : x 0, t = 0}, D := {(x, t) R2 : t

1
, t > 0, x > 0}.
x

ó r t ỗ õ ổ õ ữ ú ổ
t t ữủ
ứ t t r t tr ũ ởt s
t ú t ữủ ử s õ
ọ trữớ ủ ỹ ữớ t ữ r t
ú s




ữ ổ t

t
õ t

C



D

ữủ

t ú

s

aT x =



tọ t ổ ũ trồ tr s
t
ú ỵ r

A B

t ỗ

õ t t ữủ ử

A



B

riAriB = t t

ữớ ừ ởt ỳ

t tr t ú ổ t t ú
ởt q rt q trồ ừ ỵ t ờ ồ t
t ồ rs ữớ r ữủ ự tứ ữợ
ởt ỵ ồ ờ rt trỹ q ử tr
ỹ ữ tố ữ ỵ tt t tỷ

q A ởt tr tỹ m ì n a R õ
n

tr ữợ õ ởt t ởt õ
Ax 0, aT x < 0
AT y = a, y 0

ợ ởt x Rn,

ợ ởt y Rm.

ởt t tữỡ ữỡ ữợ ổ ỳ ồ ừ ờ
rs



ỷ ổ
tỡ

a

{x|aT x 0}

{x|Ax 0}

ự õ

tr õ s ừ tr

A T x 0 aT x 0





A

ự

AT y = a, y 0.

t ồ ừ ờ rt ró õ õ r õ ỗ õ

{x|Ax 0}

tr ỷ ổ

tỡ t

a

{x|aT x 0}



tr õ s ừ tr

A

ờ rs

ự ờ rs sỷ õ ởt y
ữ

Ax 0

0, y 0

t õ

t tứ

AT y = a

t ổ ữợ ợ

aT x = y T Ax 0



C

t ỗ õ

ổ õ



Ax

ổ t õ

ớ t sỷ ổ õ t

AT y = x}

x

õ

C = {x|y 0 :

0 C

a
/ C ỵ t tỗ t

p = 0 ởt số R s pT a < < pT x ợ ồ x C 0 C


< 0



x = AT y

ợ

y 0

t t ữủ

pT AT y = y T Ap



ú ỵ r

x = AT y

x C

p

x C

t ở ừ

pT AT y = y T Ap
tỡ

t

s

s r

Ap 0



y

ợ ồ

0

tứ

x = AT y

õ

õ t ợ tý ỵ tứ t tự

Ap 0

t r sỹ tỗ t ừ ởt

aT p < 0

ự tọ õ

tỷ
t t ởt t ỗ õ trỏ q trồ õ rt
ự ử tr tố ữ t tự
ử t t s ự sỹ tỗ t t t ừ
ởt t ỗ õ st ởt số t t ỡ ừ t tỷ





C=

ổ t tt ỗ

y

ởt tỡ

t ý t

dC (y) := inf x y .
xC

õ

dC (y)



tứ y C tỗ t C s
dC (y) = y ,

t t õ



ú ỵ

C



ừ y tr C

t t

pC (y)

ừ

y

tr

s ừ t tố ữ

min{
x

1
xy
2

õ t ừ
ừ t ữỡ
ỵ

xy

2

y

2

tr

tr

: x C}.

C

õ t ữ t ỹ t

C

= PC (y) ỡ ỡ P (y) ổ

t

C


✶✻

✭❛✮ ❚➟♣

C ❧ç✐

✭❜✮ ❚➟♣

C ❦❤æ♥❣ ❧ç✐

❍➻♥❤ ✶✳✻✿ ❍➻♥❤ ❝❤✐➳✉ ✈✉æ♥❣ ❣â❝

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✸✳
Rn ✱

→♥❤ ①↕

❈❤♦

PC : R n → C

C

❧➔ t➟♣ ❧ç✐ ✤â♥❣ ❦❤→❝ ré♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥

①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥✿

x − PC (x) = min x − y
y∈C

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

t♦→♥ tû ❝❤✐➳✉ tr➯♥ C ✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✹✳
t➟♣

C

t↕✐

x0

❈❤♦

C ⊆ Rn , x0 ∈ C ✳

◆â♥ ♣❤→♣ t✉②➳♥

✭♥❣♦➔✐✮ ❝õ❛

❧➔ t➟♣ ❤ñ♣

NC (x0 ) := {w : wT (x − x0 ) ≤ 0 ∀x ∈ C}.

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✻✳ ❈❤♦ C ❧➔ ♠ët t➟♣ ❧ç✐ ✤â♥❣ ❦❤→❝ ré♥❣✳ ❑❤✐ ✤â✿

❱î✐ ♠å✐ y ∈ Rn✱ π ∈ C ❤❛✐ t➼♥❤ ❝❤➜t s❛✉ ❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✿
❛✮ π = pC (y)✱
❜✮ y − π ∈ NC (π)✳
n
✭✐✐✮ ❱î✐ ♠å✐ y ∈ R ✱ ❤➻♥❤ ❝❤✐➳✉ pC (y) ❝õ❛ y tr➯♥ C ❧✉æ♥ tç♥ t↕✐ ✈➔ ❞✉②
♥❤➜t✳
✭✐✐✐✮ ◆➳✉ y ∈
/ C ✱ t❤➻ pC (y) − y, x − pC (y) = 0 ❧➔ s✐➯✉ ♣❤➥♥❣ tü❛ ❝õ❛ C
✭✐✮


✶✼

t↕✐ pC (y) ✈➔ t→❝❤ ❤➥♥ y ❦❤ä✐ C ✭❤➻♥❤ ✶✳✼✮✱ tù❝ ❧➔

pC (y) − y, x − pC (y) ≥ 0, ∀x ∈ C,

✈➔
pC (y) − y, y − pC (y) < 0.

❍➻♥❤ ✶✳✼✿
✭✐✈✮

⑩♥❤ ①↕ y → pC (y) ❝â ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t s❛✉✿
❛✮ ❚➼♥❤ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥✿ pC (x) − pC (y) ≤ x − y ∀x, ∀y.
❜✮ ❚➼♥❤ ✤ç♥❣ ❜ù❝✿ pC (x) − pC (y), x − y ≥ pC (x) − pC (y)

2

.

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✭✐✮ ●✐↔ sû ❝â π = pC (y)✳ ▲➜② x ∈ C ✈➔ λ ∈ (0, 1)✳ ✣➦t
xλ := λx + (1 − λ)π.
❱➻

x, π ∈ C

♥➯♥

✈➔

C

❧ç✐✱ ♥➯♥

π − y ≤ y − xλ

xλ ∈ C ✳

▼➦t ❦❤→❝ ✈➻

2

≤ λ(x − π) + (π − y)

⇔ π−y

2

≤ λ2 x − π
2

❧➔ ❤➻♥❤ ❝❤✐➳✉ ❝õ❛

✳ ❑❤✐ ✤â

π−y

⇔λ x − π

π

2

2

+ 2λ x − π, π − y + π − y

+ 2 x − π, π − y ≥ 0.

2

y✱


✶✽

x∈C

✣✐➲✉ ♥➔② ✤ó♥❣ ✈î✐ ♠å✐

✈➔

λ ∈ (0, 1)✳

❉♦ ✤â ❦❤✐ ❝❤♦

λ

t✐➳♥ ✤➳♥

0✱

t❛ ✤÷ñ❝

π − y, x − π ≥ 0 ∀x ∈ C.
❱➟②

y − π ∈ NC (π)✳

◆❣÷ñ❝ ❧↕✐✱ ❣✐↔ sû ❝â

y − π ∈ NC (π)✳

❱î✐ ♠å✐

x ∈ C✱

t❛ ❝â

0 ≥ (y − π)T (x − π) = (y − π)T (x − y + y − π)
= y−π

2

+ (y − π)T (x − y).

❑❤✐ ✤â✱ t❤❡♦ ❣✐↔ sû ✈➔ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❈❛✉❝❤②✲❙❝❤✇❛r③ t❛ ❝â

y−π

2

≤ (y − π)T (y − x) ≤ y − π

y − π ≤ y − x , ∀x ∈ C

❙✉② r❛

✭✐✐✮ ❱➻

dC (y) = inf x∈c x − y

tç♥ t↕✐ ♠ët ❞➣②

{xk } ∈ C

✈➔ ❞♦ ✤â

y−x .

π = p(y)✳

✱ ♥➯♥ t❤❡♦ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝õ❛ ❝➟♥ ❞÷î✐ ✤ó♥❣✱

s❛♦ ❝❤♦

lim xk − y = dC (y) < +∞.
k

❱➟② ❞➣②

π

xk

❜à ❝❤➦♥✱ ❞♦ ✤â ♥â ❝â ♠ët ❞➣② ❝♦♥

♥➔♦ ✤â✳ ❱➻

C

✤â♥❣✱ ♥➯♥

π ∈ C✳

{xkj } ❤ë✐ tö ✤➳♥ ♠ët ✤✐➸♠

❱➟②

π − y = lim xkj − y = lim xk − y = dC (y).
j

❱➟②

π

❧➔ ❤➻♥❤ ❝❤✐➳✉ ❝õ❛

k

y

tr➯♥

C✳

❚❛ ✤✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ t➼♥❤ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❤➻♥❤ ❝❤✐➳✉✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ ♥➳✉ tç♥ t↕✐
❤❛✐ ✤✐➸♠

π

✈➔

π1

✤➲✉ ❧➔ ❤➻♥❤ ❝❤✐➳✉ ❝õ❛

y

tr➯♥

C✱

t❤➻

y − π ∈ NC (π), y − π 1 ∈ NC (π).
❚ù❝ ❧➔

π − y, π 1 − π ≥ 0

✭✶✳✼✮


✶✾

✈➔

π 1 − y, π − π 1 ≥ 0.
❈ë♥❣ ✭✶✳✼✮ ✈➔ ✭✶✳✽✮✱ t❛ s✉② r❛
✭✐✐✐✮ ❱➻

π − y, π
C

✈➻

π − π 1 ≤ 0✱

✈➔ ❞♦ ✤â

π = π1✳

y − π ∈ NC (π) ♥➯♥ π − y, x − π ≥ 0 ∀x ∈ C ✳ ❱➟② π − y, x =
❧➔ ♠ët s✐➯✉ ♣❤➥♥❣ tü❛ ❝õ❛

y=π

C

t↕✐

π ✳ ❙✐➯✉ ♣❤➥♥❣ ♥➔② t→❝❤ y

❦❤ä✐

♥➯♥

π − y, y − π = − π − y
✭✐✈✮ ❚❤❡♦ ✭✐✐✮ →♥❤ ①↕

NC (p(z))

✭✶✳✽✮

✈î✐ ♠å✐

z

x → p(x)

♥➯♥ →♣ ❞ö♥❣ ✈î✐

2

< 0.

①→❝ ✤à♥❤ ❦❤➢♣ ♥ì✐✳ ❱➻

z=x

✈➔

z = y✱

z − p(z) ∈

t❛ ❝â

x − p(x), p(y) − p(x) ≤ 0

✭✶✳✾✮

y − p(y), p(x) − p(y) ≤ 0.

✭✶✳✶✵✮

✈➔

❈ë♥❣ ✭✶✳✾✮ ✈➔ ✭✶✳✶✵✮ t❛ ✤÷ñ❝

p(y) − p(x), p(y) − p(x) + x − y ≤ 0.
❉♦ ✤â✱ t❤❡♦ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❈❛✉❝❤②✲❙❝❤✇❛r③✱ s✉② r❛

p(x) − p(y) ≤ x − y .
✣➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ t➼♥❤ ✤ç♥❣ ❜ù❝✱ →♣ ❞ö♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t ❜✮ ❝õ❛ ✭✐✮ ❧➛♥ ❧÷ñt ✈î✐

p(x)

✈➔

p(y)✱

t❛ ❝â✿

p(x) − x, p(x) − p(y) ≤ 0.

✭✶✳✶✶✮

y − p(y), p(x) − p(y) ≤ 0.

✭✶✳✶✷✮


✷✵
❈ë♥❣ ✭✶✳✶✶✮ ✈➔ ✭✶✳✶✷✮✱ t❛ ✤÷ñ❝

p(x) − p(y) + y − x, p(x) − p(y)
= p(x) − p(y), y − x + p(x) − p(y)

2

≤0

⇔ p(x) − p(y), y − x ≥ p(x) − p(y) 2 .
❚❛ ❝â ✤✐➲✉ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

❈❤ó þ ✶✳✸✳

❚♦→♥ tû ❝❤✐➳✉ ♠❡tr✐❝ ❝á♥ ❝â ♠ët t➼♥❤ ❝❤➜t ♠↕♥❤ ❤ì♥ t➼♥❤

❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ ♥➯✉ ð tr➯♥✳ ❈ö t❤➸✱ t❛ ❝â

p(x) − p(y)

2

≤ x−y

2

− p(x) − p(y) − x + y

2

∀x, y.

❚r♦♥❣ ♥❤✐➲✉ ù♥❣ ❞ö♥❣ t❤÷í♥❣ ❣➦♣✱ t➟♣ ❝❤✐➳✉ ❝â ♥❤ú♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t ✤➦❝
❜✐➺t✿ ✈➼ ❞ö ♥â ❧➔ ♥û❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥✱ ❤➻♥❤ ❝➛✉ ✤â♥❣ ❤❛② s✐➯✉ ❤ë♣ t❤➻ ✤✐➸♠
❝❤✐➳✉ ❝â t❤➸ t➼♥❤ ✤÷ñ❝ ♠ët ❝→❝❤ t÷í♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❛ ❝â ❝→❝ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ s❛✉✿

❱➼ ❞ö ✶✳✺✳
❈❤♦

C

✭❈❤✐➳✉ ❧➯♥ ♥û❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥✮

❧➔ ♠ët ♥û❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜ð✐

C = {x ∈ R : aT x ≤ α}
tr♦♥❣ ✤â

a=0

❧➔ ♠ët ✈➨❝✲tì ♥➡♠ tr♦♥❣

❑❤✐ ✤â✱ ❤➻♥❤ ❝❤✐➳✉ ❝õ❛

a

✈➨❝✲tì

u ∈ Rn

PC (u) := u − max{0;

❱➼ ❞ö ✶✳✻✳
❈❤♦

C

Rn

✈➔

❧➯♥

α

C

❧➔ ♠ët sè t❤ü❝✳

✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ s❛✉✿

a, u − α
}a.
a 2

✭❈❤✐➳✉ ❧➯♥ ❤➻♥❤ ❝➛✉ ✤â♥❣✮

❧➔ ❤➻♥❤ ❝➛✉ t➙♠

a

❜→♥ ❦➼♥❤

r

✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜ð✐

C := {x : x − a ≤ r}.
❑❤✐ ✤â✱ ❤➻♥❤ ❝❤✐➳✉ ❝õ❛

u

❧➯♥

C

✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ s❛✉✿